Построение квадратурных формул для вычисления сингклярных интегралов с ядром Коши тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГБ ОД

2 9 днг да

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Марданов Алексей Асмедович

ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ЯДРОМ КОШИ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фиэико - математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики ма-тематико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент Самокиш Борис Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Натансон Гаральд Исидорович

кандидат физико-математических наук, доцент

Кузьменков Валерий Алексеевич

Ведущая организация — Центральный научно-исследовательский институт им. акад. А. Н. Крылова

Защита состоится " О^'^^^ 2000 г.

в // часов на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная пл., д. 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 063.57.30 Ю.А.Сушков

В*г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интегралы типа Коши лежат в основе построения теории аналитических функций комплексного переменного. Решение многих краевых задач теории аналитических функций выражается через интегралы типа Коши с заданной плотностью или с неизвестными плотностями, для нахождения которых нужно решать в общем случае систему сингулярных интегральных или интегро - дифференциальных уравнений, содержащих сингулярный интеграл - главное значение интеграла типа Коши. Методы приближенного вычисления интегралов типа Коши приобретают все большее теоретическое и практическое значение, поскольку теория краевых задач имеет разнообразные и многочисленные приложения в задачах математической физики, особенно в задачах механики сплошной среды. Поэтому задача построения квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши с плотностью, имеющей особенности на концах и обладающих повышенной скоростью сходимости является весьма актуальной как в теоретическом, так и в чисто прикладном отношении.

Цель работы. Построение квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши, имеющих высокую скорость сходимости (выше степенной).

Методика исследования. Для получения новых квадратур всюду используются узлы оптимальной в классе Харди Hi квадратурной формулы с чебышевским весом для обычных интегралов от функций, аналитических внутри отрезка, построенной Б.А. Са-мокишем, а также квадратурная формула A.A. Корнейчука для сингулярного интеграла с ядром Гильберта, точная для тригонометрических многочленов. При оценке погрешности полученных формул используется представление остатка контурным интегралом, техника контурного интегрирования, теория эллиптических функций Якоби.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) впервые получены новые квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Коши от функций, имеющих особенности степенного характера на концах промежутка интегрирования, обладающие высокой скоростью сходимости (выше степенной);

2) получены оценки остаточных членов построенных формул, годные для внутренних точек отрезка интегрирования, а также равномерные на всем отрезке.

Практическая значимость. Полученные формулы могут быть использованы при решении сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах, и следовательно могут найти применение во всех прикладных задачах, сводящихся к сингулярным интегральным уравнениям на разомкнутых контурах.

Апробация работы и публикации. По результатам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры вычислительной математики СПбГУ. По теме диссертации опубликованы две работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на семнадцать параграфов, заключения, одного приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 105 страниц. Библиография содержит 33 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и сформулированы ее основные результаты.

Диссертация посвящена построению квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши

с плотностью, аналитической внутри отрезка и имеющей особенности степенного характера на концах.

Построенные формулы основываются на оптимальной в Н2 квадратурной формуле для промежутка [—а,а] С [—1,1], предложенной Б. А. Самокишем и имеющей вид:

где — йп ит = 8п(2т~"~1.КГ, К = К(к) - полный эллиптический интеграл, к = а2, а модуль к и множитель А выбраны в соответствии с' первым главным преобразованием п-й степени эллиптических функций Якоби:

Формула (1) применяется для обычных интегралов от функций, аналитических внутри отрезка [—а, а] при о близком к единице и может быть приспособлена для вычисления интегралов с особенностями.

Для формулы (1) в классе функций из Я1, допускающих оценку

для фиксированного к получена оценка остатка порядка 0(е~сп) (с - постоянная, п - число узлов ). Для этой же формулы, примененной для вычисления интеграла

Г -Ш=<Ь « тгА-1 £ (1)

}-а ча1 - X2 ^Гх

А К = п1, А К' = и.

1

от функций, регулярных внутри единичного круга и удовлетворяющих оценкам

/ Ш^К м2, !Я*Ж^|1±хГ,

У|г|=1-0

получена оценка порядка

При а близком к единице из асимптотических представлений

ва(и, к) « еЬ(г4> « 1 - 2е'2и

вытекает, что узлы этой формулы сгущаются к концам отрезка приближенно по закону геометрической прогрессии. Эти узлы используются всюду в дальнейшем для построения квадратурных формул для сингулярных интегралов. Различные подходы к построению формул дают различные формулы для квадратурных коэффициентов.

Рассмотрены два подхода к построению приближенных формул. В первом случае сначала строится квадратурная формула для сингулярного интеграла по промежутку \—а, а] (формула открытого типа), которая затем применяется для вычисления исходного интеграла по промежутку [—1,1]. Таким образом, при оценке ее погрешности приходится учитывать погрешность, возникающую за счет сужения интервала. Во втором случае строится приближенная формула для сингулярного интеграла на отрезке [—1,1] без отбрасывания концов (формула замкнутого типа).

В настоящей работе построены квадратурные формулы открытого типа с чебышевским весом для сингулярных интегралов с ядром Коши. Для функций класса Аа, регулярных внутри единичного круга и удовлетворяющих оценкам

J\z\=l-0

для построенных формул получены оценки погрешности, годные для внутренних точек отрезка [—а, а] порядка

В главе 1, § 1 строится квадратурная формула открытого типа, точная для рациональных дробей с полюсами первого порядка в точках, обратных к узлам. Коэффициенты ее зависят от параметра. Для расчета коэффициентов при одном значении параметра

приходится решать по формулам Крамера линейную систему порядка п и выполнять п2 арифметических операций. В случае, ко-

2

> гда число параметров равно числу узлов, приходится вычислять п значений коэффициентов и выполнять п3 операций. В § 2 получена оценка остатка построенной формулы. В § 3 построенная формула применяется для приближенного вычисления интеграла J(t).

Узлы формулы (1) хт = а5п(ит,к) — а£п(2т~"г1 К, к) можно рассматривать как преобразование с помощью функции х = а 5п(и, к) равномерной сетки чисел ат = с шагом

так что если ввести переменную х — аъпи = аэп то в переменной в числа ит образуют равномерную сетку. При этом также оказывается, что после замены переменной в исходном интеграле коэффициенты квадратурной формулы, полученной из формулы (1), оказываются постоянными, так что эта формула похожа на формулу средних прямоугольников. Однако она не является ею, так как квадратурные суммы указанных формул отличаются множителем, близким к единице. Естественно все же рассмотреть формулу прямоугольников для этого интеграла, взяв в качестве узлоз числа ат, т= 1,п.

В связи с этим в § 1 главы 2 формула средних прямоугольников после указанной выше эллиптической замены переменной применяется для вычисления обычного интеграла с чебышевским весом по вложенному промежутку.

В § 2 для вычисления того же интеграла применяется формула трапеций с узлами огт = = 0, п, которая также точна

для тригонометрического полинома.

В § § 1 и 2 получены оценки погрешностей построенных формул, совпадающие по порядку с оценкой для формулы (1).

В § 3 полученные формулы применяются для вычисления обычного интеграла от функции, аналитической внутри отрезка [—1,1] и имеющей особенности на концах. Для функций класса Аа получены оценки остатков этих формул порядка

Отметим, что формула (1) точна для рациональных дробей, а формула средних прямоугольников точна для тригонометрических полиномов. Оказывается возможным построение достаточно простых формул для сингулярного интеграла на основе формулы типа средних прямоугольников, т.е. точных для тригонометрических многочленов. Такие формулы для интеграла с ядром Гильберта

были построены A.A. Корнейчуком.

В § 4 для сингулярного интеграла с ядром Коши после эллиптической замены, выделения полюса с помощью ядра Гильберта и применения формулы A.A. Корнейчука построены формулы открытого типа с узлами формулы средних прямоугольников и трапеций. Коэффициенты их вычисляются существенно проще по сравнению с коэффициентами формулы, полученной в первой главе.

В § 5 получены оценки погрешности построенных формул.

В § 6 построенные формулы применяются для вычисления сингулярного интеграла по промежутку [—1,1].

В § 7 для сингулярного интеграла с ядром Коши построена фору-мула открытого типа с узлами формулы трапеций, основанная на замене плотности тригонометрическим многочленом.

В § 8 получена оценка остатка построенной формулы.

В § 9 построенная формула применяется для вычисления интеграла J(t).

В главе 3 получены равномерные по параметру t оценки погрешности формул, построенных в § § 4 и 7 главы 2. Задача вычисления сингулярного интеграла с плотностью, имеющей особенности на концах отрезка по универсальным формулам, т.е. без явного выделения особенности, особенно актуальна при решении методом механических квадратур сингулярного интегрального уравнения на отрезке, поскольку даже при гладких коэффициентах решение такого уравнения имеет на концах особенности, которые трудно выделить явно. Для этой цели важно иметь квадратурные формулы, остаток которых можно оценить на всем отрезке интегрирования или по крайней мере на отрезке, содержащем все узлы квадратурной формулы.

В § 1 такая оценка получена для формулы открытого типа, построенной в § 4 главы 2, совпадающая по порядку с оценкой для формулы (1).

В § 2 для случая, когда параметр t пробегает совокупность узлов квадратурной формулы, построенной в § 4 главы 2, примененной для вычисления интеграла J(t), для функций класса Аа и нечетного числа узлов п получена равномерная оценка остатка порядка 0(e~'mv'"/(2(i+2a))n3/2)

В § 3 для функций, аналитических в единичном круге и допус-

кающих оценку

l/MUJVxIl-x2!0, О < а < 1

получена равномерная оценка остатка аналогичной формулы замкнутого типа порядка v"/(a+1)n.2).

В § 4 получена равномерная оценка остатка формулы, построенной в § 7 главы 2, совпадающая по порядку грубо с оценкой для формулы (1).

В § 5 для случая, когда параметр t пробегает совокупность узлов квадратурной формулы, построенной в § 7 главы 2, примененной для вычисления интеграла J(t), для функций класса Аа и нечетного числа узлов п получена равномерная оценка остатка порядка О (e-*<Vn/(2(1+2а))„^

Заключение содержит сводку построенных формул и анализ полученных результатов. Все оценки, полученные для квадратурных формул, применяемых для вычисления интеграла J(t), годные для внутренних точек отрезка [—а, а], имеют один и тот же порядок в главном члене 0(е~'^2). Этот порядок достигается путем выбора оптимальным образом модуля эллиптических функций, который зависит от зависит от величины а, характеризующей класс, в котором даются оценки. Что касается "равномерных" оценок, то они для разных формул различны и тут оптимальное а достигается при другом выборе модуля эллиптических функций.

В диссертации имеется приложение. В него вынесены численные эксперименты по применению полученных формул для вычисления сингулярных интегралов.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

Марданов A.A. 06 одной квадратурной формуле для интегралов типа Коши с плотностью, аналитической внутри отрезка // Методы вычислений. Вып. 17. СПб, 1995. С. 131-144.

Марданов A.A. О вычислении сингулярных интегралов с плотностью, аналитической внутри отрезка // Методы вычислений. Вып. 18. СПб, 1999. С. 144-159.