Методы приближенного вычисления гиперсингулярных интегралов и интегралов в смысле Адамара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГШЕРСИНГУЛЯРНОГО

ИНТЕГРАЛА ПО ОТРЕЗКУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ

§1.1. Построение квадратурной формулы.

§ 1.2. Оценка погрешности квадратурной формулы в

С (a, i)

•§ 1.3. Оценка погрешности квадратурной формулы Ln в классе Но^,*" . О неулучшаемости оценки погрешности по порядку.

§ 1.4. " £ - оценка" для гиперсингулярного интеграла с весом в классе С&-Л

§ 1.5. О порядке аппроксимации таперсинхулярного интеграла с весом по отрезку

§ 1.6. Представление тапереингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов в терминах специальных функций

ГЛАВА П. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ

СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА АДАМАРА.

§ 2.1. Построение интерполяционной квадратурной формулы. Вычисление коэффициентов

§ 2.2. Оценка погрешности квадратурной формулы в классе И^

Актуальность темы. К настоящему времени в построении и исследовании приближенных методов вычисления сингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, достигнуты значительные успехи. Библиография работ по построению квадратурных форщгл для сингулярных интегралов с ядром Коши весьма обширна. Обзор полученных в этом направлении результатов имеется в монографиях Иванова В.В. [23] , Габдулхаева Б.Г, [14] , а так же в специальных обзорных работах этих же авторов [24,13] .

В отличии от сингулярных интегралов, приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов и интегралов, понимаемых в смысле конечного значения по Коши-Адамару (интеграл Адамара), исследованы мало, хотя в ряде прикладных задач встречаются именно эти интегралы. Так, например, при решении интегральных уравнений линейной теории несущей поверхности [10,66,67] возникают интегралы Адамара, а при обращении обобщенных риссовских потенциалов [54-55] и при представлении некоторых классов псевдодифференциальных операторов [44-47] - гиперсингулярные интегралы.

В связи с этим представляет интерес изучение методов приближенного вычисления указанных интегралов.

Цель работы. Работа посвящена построению и обоснованию приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения Коши, и интегралов Адамара.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в работе результатов используются теория приближения функций, свойства гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

- строится квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла с непрерывной на интервале плотностью и находится оценка погрешности, которая является неулучшаемой в классе /-/^д;

- дан способ получения оценки погрешности приближения гиперсингулярных интегралов с непрерывной плотностью гиперсингулярными интегралами с полиномиальной плотностью в весовых пространствах, основанный на £ -оценке для гиперсингулярных интегралов;

- в терминах специальных функций найдено представление для гиперсингулярного интеграла с весом по отрезку от алгебраических многочленов;

- построена интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара и найдена оценка её погрешности в классе целое).

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в построении и обосновании методов приближенного вычисления, учитывающих специфику гиперсингулярных интегралов и интегралов Адамара. Полученные результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории приближенных мтодов вычисления рассматриваемых интегралов.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к численному решению прикладных задач, в которых встречаются гиперсинзулярные интегралы и интегралы Адамара.

Диссертация является самостоятельным исследованием автора.

По материалам диссертации опубликованы работы ["2,6,7,8] .

Состояние вопроса и полученные результаты. В диссертационной работе рассматривается гиперсингулярный интеграл где Ыб С(о-,ё) , О < А < 1 и интеграл понимается в смысле главного значения Коши.

Для изучения вопроса аппроксимации этого интеграла нам понадобятся специальные функциональные пространства. С этой целью остановимся несколько подробнее на классах и пространствах функций, в которых исследовался сингулярный интеграл ( А-О) по разомкнутой кривой. ^

Н.И.Мусхелишвили был введен класс

Н [зэ] Пусть гладкая кривая. /У* - класс функций, определенных на У \ {<*»£/ и допускающих представление

Ра\ Ъ™ I Ч> (-Р4- , где (о, 1) , а функции , , % удовлетворяют условию Гельдера. Им было показано, что если 1~1* , то этим же свойством обладает особый интеграл

А.И.Гусейновым был введен класс функций Ц^ ^ [ 19 ] , определенных на (а, &) и удовлетворяющих условиям ir где скк* , .

У ~ банахово пространство в норме llfllu = truxocí Suf lt(*>/(x-CL)«(g-x)fi Swl^pM и оператор a. Г-f действует из в Ц^^г и ограничен [ 19 ] .

Классы 1~1* и Й^ р у связаны следующим образом н*= и fw

А.А.Бабаев и В.В.Салаев продолжили эти исследования в несколько ином направлении. А.А.Бабаевым СЗ ] были введены характеристики непрерывных на (a., i) функций f(x.) : где 1 , °lyo , J+ \ i g-a. i o<B<g-cL, названные,соответственно, локальным максимумом и локальным модулем непреывности. Им же найдены оценки этих характеристик образа особого интеграла через те же характеристики прообраза, на основе которых построены банаховы пространства М^у д и изучено действие оператора в этих пространствах. Далее, В.В.Салаевым [52] были уточнены оценки А.А.Бабаева, построена более широкая шкала банаховых пространств 1-1 ^^ и было найдено описание таких функций ? и ^ , для которых сингулярный оператор действует в Ну, у и ограничен,

В основу определения И* могут быть положены различные шкалы пространств. В.в.Салаевым [53] были введены пространства М^1^1 и показано, что действует из Мв себя и ограничен, если ,^2.>о , ^ 0<. Р.В.Дудучава [22] для исследования свойств особого интеграо ла ввел банаховы пространства Ц^ (р) .

Н^(р)={16 Сс^а,/ кщ (Щст Н, ей* Щ шд ш= где НJц - класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем ^ .^Ш^^'Оч)*1 = 0<, 0<Н♦ о

Ир (р) - банахово пространство в норме

МмгНЩнтм^ и сингулярный оператор действует в Н^(р) ограниченно. Обозначим

Г I Г -¿->аг и '

В.В.Салаевым в 53 было доказано, что при о<ск,^1Г4. -/ , , О < , о(г-//с * , о«//*/ ,

Перейдем к изложению основных результатов первой главы диссертации.

В § 1,1 предлагается усложненная (по терминологии С.М.Никольского [ 40] ) квадратурная формула дай гиперсингулярного интеграла й е и сл.) г 1 1 -1 с плотностью, непрерывной на (<*-,&) .

Для её построения отрезок |а, £] разбивается на /ь {¡ь* 8 ) равных частей точками А. , ^ - о^уь , А . Пусть

Тс~сх.+ (2С-1)£ , ¿=/,/г . Через X* (х*) обозначается точка ^ ( к= о^уь ), ближайшая слева (справа) к точке , а через где при х-^сс ; при

За квадратурную формулу для интеграла принимается выражение где

С*(х,А)= 4-/—1.*?

I О-:/х ;

Для ^ € С (а, вводятся следующие характеристики 3 ] :

Б терминах этих характеристик в § 1.2 устанавливается оценка I и Сое.)- Lrt(ulx)| при различных положениях точки (&-,£) . В § 1.3 продолжается изучение остатка квадратурной формулы

Г1(и,х)= и.(хуЬп(и,х).

Пусть = М) .Имеет место

ТЕОРЕМА I. Пусть и { ). Тогда спрак) ведлива оценка ' где зс€(а,а+к]:> к г-а

1-ы

Р У ■■ " Л к^'К —-г+4, , хе(а.+к^]

КпМ ~ { ^ 2 ' х-а.)*' 1

Здесьй>с€> означает, что существуют положительные постоянные С., , С2 , зависящие от , , > и ^ , такие что С^^С^ а

А/

А.' s1 + а /Р+А -С ^

В §§ 1.4 и 1.5 настоящей работы изучается порядок аппроксимации гиперсинхулярного интеграла

1Гг\Л-г иы),

Т о

UCc)d\ где 0<А ¿7 и У-еС [<*,£] , гиперсингулярными интегралами бы^А » где Ри, - некоторый агрегат, приближающий функцию в определением смысле. Отметим, что в случае сингулярного интеграла ( А = о ) в качестве агрегата Ru берется алгебраический многочлен наилучшего равномерного приближения или же полином, удовлетворяющий условиям типа теоремы С.А.Теляковского и И.Е.Гопенгауза. Эти вопросы для сингулярного интеграла были изучены в работах Д.Г.Саникид-зе [57] , М.А.Шешко[б4] , В.Н.1>усака и М.А.Шешко [49 ] ,Ъ.ШМ'а. и F. 71.72] * Э.Д.Муратшаевой и Б.й.Мусаева [ 32 ] ,

Б.И.Мусаева [Зб] и др.

В § 1.4 в терминах характеристик j|ccL = так /аС*Л и 0)К»=тах ¡иС^-иШ/

U[cl,C3 доказывается

- II

ТЕОРЕМА 2. Пусть 16 € С/а, ¿7ССо-,Ц/ и 5< , Тогда для любого ££ (о, справедлива оценка где - постоянная, зависящая лишь от & , /3 и А . Эта оценка (называемая далее 8 - оценкой) позволяет получить оценку погрешности ^крЖ&А) для различных агрегатов ^(т), приближающих и(т) ,

Как обычно обозначим через Ф множество неотрицательных, монотонно-возрастающих на + функций У (5") таких, что о и 4(5)15 - монотонно убывает. Пусть ф .

-целое),

В дальнейшем существенно используется следующая

ТЕОРЕМА Т-Г Г60.177 . Пусть {¿Ну^аЛ - Целое).

Тогда для любого п>,Цг+5 существует такой алгебраический многочлен степени не выше ^ , что при любом У= 3 справедлива оценка

Алгебраический многочлен интерполяционного типа, удовлетворяющий (I), при 1=о был построен в [ 68 ] ♦

Пусть Ш - алгебраический многочлен, аппроксимирующий функцию / в определенном смысле. Верна следующая

ТЕОРЕМА 3. Пусть ({,а.) = {М) - ft. (f, £)= О и

J f ~J'xco ((-Рп4 • Тогда справедлива оценка о ^ ^

II Я, * а (/- PJ, i)llc * С (d,b, A j mm Г Г a>(t-Pnf,})j7 +

O,Ll9-]L6 * Cltt-PJIlJ .

Если хотя бы одно из f(<x) - рл (4, О-) или - £) отлично от нуля, то интеграл х (Рп Д тп {) , где принимаем за приближенное значение интеграла 6Цд л (-f, i) в точке ж в этом параграфе доказывается ТЕОРЕМА 4. Пусть S и) (4- PJ, I + .Тогда о * справедлива оценка . lis,, д ((-pj-ij,t)llc sC(<*,f,*) ли«- [

0<£ < Ь~С<~ О Iz

Как частные случаи предыдущих теорем доказываются:

ТЕОРЕМА 5. Пусть 0 , J j'^yfjjc/f < + * -ft Ну и * ° (i) - алгебраический многочлен, указанный в теореме Т-Г. Тогда верна оценка

0< £ < О I г ^ 2иг 5 с крьЩ; +е (; о Л- °

ТЕОРЕМА 6. Пусть Ч^Ф % 5 )<?(? ¿ + * о э * й т

- целое) и (■£,) - алгебраический многочлен, указанный в теореме Т-Г. Тогда справедлива оценка

IIV (Ш)1С6 С 201

В § 1.6 дается способ вычисления гиперсингулярного интеграла по отрезку с весом от алгебраических многочленов, т.е.

Д /0 л \ Рп.(~Оо>т о (т-сО°Ч£-т) Ни- -и/т-±\х ~ где , , 0< 1 , Р^ - алгебраический многочлен, а ггы; ГГ2-Ы-А) ^ х у Г(1-бО-к)-Г(Р+к) /¿а \* Г, 2,¿п.¿л ч Г(3-Ы- > + Ю-/с! [ ё- а. ) (€-а.)-ГМ ^ Г К+Л)- </ иа/У

- 14

-*)* i) = (-D у/*-«/*' г га-***), г (1-й) у £(!-* +P).r(t+P) /У-О sPi)

2 r(z-0L-\+K+/>).p! (jrz) JJ +

L гы * r(p)- SiVl^-kAJTT frL e П nfi-fi) ^ J ' S<X(oL+A)X- 7x V nfa-K+pyrfa+fi+b-t-l+P) /-t-CL \P —

Р(с1+л- K+ p)-pi \g-ct.) >

Во второй главе диссертации рассматривается интеграл Адама-ра ( см.напр., в I ) где

U сс-1,

1] и интеграл понимается в смысле Коши-Адамара, т.е. s (I i)= ¿V [(1♦ i) T~w- > * * <4 i). (3)

Пусть Ш) -непрерывно-дифференцируемая на fi, i] функция. Тогда S представима в следующем виде

Следовательно, вычисление интеграла Адамара редуцируется к вычислению сингулярного интеграла с ядром Коши, для которого этот вопрос достаточно хорошо разработан. Однако такой переход от интеграла (2) к интегралу (4), во-первых, сильно усложняет соответствующее интегральное уравнение, а во-вторых, он нежелателен, когда $ - эмпирически заданная функция. Таким образом, становится естественной задача непосредственного вычисления интеграла (2),

Методы вычисления сингулярных интегралов Адамара практически только начинают разрабатываться. Отметим здесь недавно появившиеся работы [18] , [69] ,[70] , [63] и т.д., где предлагаются и исследуются некоторые квадратурные формулы для интеграла Адамара.

В работе [18] строится интерполяционная квадратурная формула которая точна для некоторых агрегатов. Однако полученная при этом оценка не позволяет получить порядок приближения интеграла (2).

В [63] проводится оптимизация квадратурных формул с узлами произвольной кратности для интегралов Адамара с подвижной особенностью и строится квадратурная формула, использующая не только значения плотности интеграла, но и всех ее производных. Там же устанавливается оптимальность по порядку построенных формул на классах дифференцируемых функций, определяемых выпуклым вверх модулем непрерывности. При этом не указываются способы вычисления коэффициентов рассматриваемых квадратурных формул,

В § 2.1 данной главы диссертации строится интерполяционная квадратурная формула для интеграла Адамара, использующая только значения плотности интеграла (но не значения производных), сле-дзующим образом. Пусть - интерполяционный многочлен степени не выше , интерполирующий функцию Ф в нулях многочлена » т.е. в точках tclt

XK= Cos , к= о, уь t где u^tt) - многочлен Чебышева второго рода (см.стр.105). Имеем sa,i)=s(pj,t) + s(4-pj,i), где

У п. к. % К-0,1ь определяется определенным образом ( см. стр. 114-116), а - погрешность квадратурной формулы

В § 2.2 оценивается погрешность квадратурной формулы в классе Н^ . Доказывается следующая

ТЕОРЕМА 7. Пусть У6 0 , 4>( , ^еН^Г-АД]

-целое) и Р^И,^)- интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами, являющимися нулями многочлена ( (-ь) многочлен Чебышева второго рода). Тогда для остаточного члена квадратурной формулы справедлива оценка б (/- с (,)-Н({ Ч)[] О

Тс/л. 7

Из этой теоремы следует

Следствие I. Пусть /е Ц^С-1,1]Сг)Е-1,1]/сд(^(г); В) от}

О <ы. < £ ). Тогда верна оценка

5 (Ши f T^Jl^j^tl} , (пъЧт+5) .

Справедливо

Следствие Пусть ^ . ¡Г^Ж £?-± - целое) и /да - алгебраический многочлен, указанный в теореме Т-Г. Тогда {Н-ъЧг+ь ) верна оценка к.

-i.il о* $ п

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Азгосуниверситета им.С.М.Кирова (1982 - 1983 г.г.), на V Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азерб.ССР, в I] Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, 1984г.),

В заключение, пользуясь случаем, выражаю благодарность научным руководителям - член-корр. АН Азерб.ССР, профессору Бабаеву A.A. и доценту Мусаеву Б.И. за постановку задач и ценные советы.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частнымипроизводными гиперболического типа. М.: "Наука", 1978, 351 с.

2. Азимова Г.Г., Бабаев P.M. Квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла. Сб. "Сшиулярные интегральные операторы". Баку: Изд-во АГУ, 1983.

3. Бабаев A.A. Некоторые оценки для особого интеграла. ДАНСССР, 1966, т.70, № 5, C.I003-I006.

4. Бабаев A.A., Садырханов P.C. Об одном квадратурном процесседля сингулярного интеграла и его приложении. -ДАН СССР, 1974, т.214, Jfc 4, с.743-746.

5. Бабаев A.A., Садырханов P.C. Квадратурный процесс для сингулярного интеграла по разомкнутому контуру вещественной оси и условия его сходимости. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ.-техн.и мат.н., 1978, № 2, с.8-16.

6. Бабаев P.M. О порядке аппроксимации гиперсшнулярных интегралов. Тезисы докладов У Республиканской научной конференции аспирантов вузов Азербайджана. Баку: Изд-во АзИНХ, 1982.

7. Бабаев P.M. О порядке аппроксимации гиперсинзулярного интеграла по отрезку действительной прямой. -Деп. в АзНИИНТИ 18 апреля 1983г., В 65Аз-Д83.

8. Бабаев P.M. Интерполяционная квадратурная формула для сингулярного интеграла Адамара. Деп. в АзНИИНТИ26 сентября 1983г., А 114 Аз- Д83. 9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: "Наука", 1975, 632 с.

9. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость.М.: ИЛ, 1958.

10. Бойков Б.В. Приближенное решение особых интегральных уравнений. ДАН СССР, 1975, т.224, № 6, с.1241-1244.

11. Вертгейм Б,А. Приближенное вычисление некоторых сингулярныхинтегралов. Сб. "Исследования по современным проблемам ТШГ, М.: Физматшз, 1961, с.450-454.

12. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. -Математический анализ, т.18.

13. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейныхзадач. Казань: Изд-во Казанского университета, 1980, 232 с.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: "Наука", 1977, 640 с.

15. Гахов Ф.Д., Фесчиев М.Х. О приближенном вычислении сингулярных интегралов. Изв. АН БССР, 1977, № I.

16. Гопенгауз И.Е. К теореме А.Ф.Тимана о приближении функциймногочленами на конечном отрезке. Мат.заметки, 1967, т.1, № 2, с.163-172.

17. Гур-Мильнер С.Н. Интерполяционно-квадратурная формула длявычисления сингулярного интеграла, встречающегося в теории несущей поверхности. Сб."Прикл.и вычисл.математика в судостроении", Ленинград, 1981, с.75-82.

18. Гусейнов А.И. Об одном классе нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Изв. АН СССР, сер.физ.-мат.н., 1948, т.12, № 2, с.193-212.

19. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейныхсингулярных интегральных уравнений. М.:"Наука", 1980, 416 с.

20. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.:Изд-во ЛГУ, 1977, 184 с.

21. Дудучава Р.В. 0 сингулярных интегральных операторах в пространстве Гельдера с весом. ДАН СССР, 1970, т.191, }Ь I, с.19.

22. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение кчисленному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: "Наукова думка", 1968, 287 с.

23. Иванов В.В. Метода приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Математический анализ, 1963 (итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., 1965, с.125-177.

24. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости.М.: "Наука", 1973.

25. Корнейчук A.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. Доп. к ЖВМ и МФ, 1964, т.4, М , с.64-74.

26. Кулиев Р.Д., Муоаев Б.И. О сходимости интерполяционных квадратурных формул, содержащих производные, для сингулярных интегралов. ДАН Азерб.ССР, 1978, т.34, й 4.

27. Кустов Ю.А. Приближенное вычисление сингулярных интеграловпо отрезку действительной прямой. ДАН Азерб. ССР, 1979, т.35, № I, с.14-20.

28. Лифанов И.К., Полонский Я.Б. Обоснование численного методадискретных вихрей" решения сингулярных интез> ральных уравнений. ПММ, 1975, т.39, вып.4, с.742-746.

29. Маковоз Ю.И., Шешко М.А. Об оценке погрешности квадратурнойформулы для сингулярного интеграла. Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.н., 1977, )£ 6, с.36-41.

30. Михайлов Л.Г. Об одной формуле обращения. ДАН Тадж.ССР,1976, XIX, Я I, с.3-7.

31. Муратшаева Э.Д., Мусаев Б.И. О сходимости квадратурных процессов для сингулярных интегралов по отрезку. Уч.записки МБ и ССО Азерб.ССР, сер.физ.-мат.н., 1978, № 3, с.64-73.

32. Муратшаева Э.Д. Квадратурные формулы для особого интегралас ядром Коши по отрезку прямой. Кандидатская диссертация, Баку, 1979.

33. Мусаев Б.И. Квадратурные формулы для особого интеграла поотрезку действительной прямой. Изв.вузов Математика, 1977, В 8, с.56-57.

34. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М.:Наука", 1968, 512 с.

35. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: "Наука", 1979,256 с.

36. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.М.: "Наука", 1981, 800 с.

37. Пыхтеев Г.Н. О квадратурных формулах для интегралов типаКоши по прямолинейному разомкнутому контуру и метода оценки их погрешности. Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.н., 1969, № 5, с.55-63.

38. Рубин Б.С. Об операторах типа потенциала в весовых пространствах. ДАН СССР, 1972, 207, №2, с.3-12.

39. Русак В.Н. ,Шешко М.А. О приближении сингулярных интеграловинтегралами с полиномиальной плотностью. -Изв. физ.-мат.н., 1969, $ I.

40. Садырханов P.C. Решение одного класса нелинейных сингулярныхинтегральных уравнений методом квадратур. -Изв. АН Азерб.ССР, 1978, Ш 6,. с.30-36.

41. Сакалюк К.Д., Няга В.И. Обращение одного сверхсингулярногоинтеграла с ядром Коши-Абеля. Исслед. по функц.анализу и диф.уравнениям, мат.н., Кишинёв, 1981, с.85-93.

42. Салаев В.В. Некоторые свойства особого интезтрала. Уч.зап.А1У им.С.М.Кирова, сер.физ.-мат.н., 1966, №6.44. Раджабов ЭЛ.45. Раджа бов ЭЛ.46. Раджабов ЭЛ.47. Раджабов ЭЛ.

43. Салаев В.В. Сингулярный оператор Коши по разомкнутой кривой.Теорема Мусхелишвили. Уч.зап. МВ и ССО Азерб. ССР, сер. физ.-мат.н., 1976, В I.

44. Самко С.Г. Гиперсингулярнын интегралы и пространства- Изв. АН БССР, сер. физ.-мат.н., 1976, $ 2, с.34-41.

45. Самко С.Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярныеинтегралы с однородными характеристиками, их символы и обращение. Тр. МИАН СССР, 1980, т.156, с.157-223.

46. Саникидзе Д.Г. К вопросу оценки погрешности квадратурныхформул для некоторых сингулярных интегралов. -Сообщ. АН Груз.ССР, 1968, т.50, J6 3, с.525 -530.

47. Саникидзе Д.Г. О порядке приближения некоторых сингулярныхоператоров квадратурными суммами. Изв. АН Арм.ССР, матем., 1970, т.5, Л 4, с.371-384.

48. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: "Наука", 1974, 808 с.

49. Стейн Н. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойствафункций. М.: "Мир", 1973.

50. Теляковский С.А. Две теоремы о приближений алгебраическимимногочленами. Мат.сб., 1966, т.70 (112), $ 2, с.252-265.

51. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

52. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. М.: "Hayка", 1968.

53. Шарапов Р.Н. Некоторые вопросы оптимизации квадратурныхформул для сингулярных интегралов. Изв.вузов, матем., 1982, № 4, с.81-84.

54. Шешко М.А. О порядке приближения сингулярных интегралов состепенно-логарифмической особенностью. ДАН БССР, 1976, т.20, № II.

55. Шешко A.M. О сходимости квадратурных процессов для сингулярных интегралов. Изв.вузов, матем., 1976, № 12 (175).

56. Эшли X., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969.

57. Icllm. W.E.A. 77-еог^ of Llf-èCn-g SuK-fixczs Os<UeôoLhihj^ oci PXjz.cpu,ejï-ot<2.s en.Ol Su-isonlc Si-ce.cc/n. j ARC t oun-t A7em. , M> 3SS? , ¿95? .

58. Mites T.M.} 1/аг^а. A.K. Л new ргоо/. о/

59. Л- Te CjC^KO 1rs К С S OuJbfi^ODZL/riCiA'oft-Iknoxjztri. S+ud. S et, Mctàk. 1-Lu.n.Q .m (me), Mi-wt. *69. PcL^eé b.p. 7/4el-Lo-dcKfTLcULci й'т-Ye -рал,^ LH.-Le.oia-¿S. AWt. Modk.}ÎSSiJ v.3Q) tfity} p. Ш Vf* .