Квадратурные формулы для гиперсингулярных интегралов и численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКИХ КРИВЫХ.

1.1. Задача Неймана для уравнения Лапласа в плоском случае. Сведение ее к гиперсингулярному интегральному уравнению.

1.2. Гиперсингулярный интеграл на отрезке.

1.3. Гиперсингулярное интегральное уравнение на отрезке.

1.4. Гиперсингулярный интеграл на окружности.

1.5. Гиперсингулярное интегральное уравнение на окружности.

ГЛАВА 2. ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ И

ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА СФЕРЕ

2.1. Задача Неймана для уравнения Лапласа в пространственном случае. сведение ее к гиперсингулярному интегральному уравнению.

2.2. Преобразование ядра гиперсингулярного интеграла на сфере. Некоторые спектральные соотношения.

2.3. Квадратурные формулы. Равномерная сходимость вне окрестности полюсов.

2.4. Численное решение гиперсингулярного интегрального уравнения на сфере.

2.5 Исследование влияния сдвига расчетных точек в методе дискретных замкнутых вихревых рамок на результаты вычислений.

ГЛАВА 3. ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ И

ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА ТОРЕ.

3.1. Параметрическое представление тора. Преобразование ядра гиперсингулярного интеграла на торе.

3.2 Квадратурные формулы. Равномерная сходимость по всем расчетным точкам.

3.3. Численное решение гиперсингулярного интегрального уравнения на торе.

ГЛАВА 4. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЙ ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

4.1 Классическое определение двумерного сингулярного интеграла на плоскости.

4.2. Обобщение классического понятия двумерного сингулярного интеграла на плоскости.

4.3. Обобщение понятия двумерного гиперсингулярного интеграла на плоскости.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Теория сингулярных интегральных уравнений, как указано в [24], начала развиваться почти непосредственно вслед за возникновением классической теории интегральных уравнений Фредгольма в работах А. Пуанкаре и Д. Гильберта [34,38]. Однако долгое время теория этих уравнений находилась в тени и только необходимость исследования плоских задач теории упругости и гидродинамики вызвала бурное ее развитие, которое было подытожено в двух монографиях [6,24]. Параллельно проблемы моделирования задач в аэродинамике и гидродинамике привели к необходимости численного решения сингулярных интегральных уравнений.

Наиболее ранней работой (1932 г.) в этом направлении является работа М.А. Лаврентьева [17], в которой дано численное решение сингулярного интегрального уравнения для обтекания тонкого профиля, основанное на полигональной аппроксимации решения, предвосхитившую в частном случае общую схему методов типа Ритца-Галеркина. В 1938 году появилась работа Мультхоппа [37], в которой решение одномерного сингулярного интегрального уравнения на отрезке представляется в виде произведения гладкой функции и весовой функции, определяющей особенности решения на концах. Такая функция раскладывается в ряд по полиномам Чебышёва первого рода, а правая часть уравнения раскладывается в ряд по полиномам Чебышёва второго рода. С помощью спектрального соотношения для соответствующего сингулярного оператора между этими полиномами составляется система линейных алгебраических уравнений для коэффициентов этого ряда. Однако такой подход не удалось распространить на двумерные сингулярные интегральные уравнения, к которым сводится пространственная задача обтекания поверхностей.

В начале пятидесятых годов С.М. Белоцерковский предложил [2] метод численного решения одномерных и двухмерных сингулярных интегральных уравнений указанного выше типа (метод дискретных вихрей). С математической точки зрения такой подход является методом коллокации численного решения сингулярных интегральных уравнений на основе применения специальных квадратурных формул типа прямоугольников к соответствующим сингулярным интегралам.

С другой стороны, сингулярные интегральные уравнения, к которым сводятся задачи обтекания поверхностей идеальной несжимаемой жидкостью, являются граничными уравнениями для решения задачи Неймана для уравнения Лапласа при ее решении с помощью потенциала двойного слоя. В этом случае неизвестной функцией является градиент плотности потенциала двойного слоя.

В плоских задачах, при обтекании контура, плотность потенциала двойного слоя является функцией одной переменной и поэтому градиент плотности потенциала двойного слоя имеет одну составляющую. Эта составляющая имеет удобную физическую интерпретацию как интенсивность распределенного вихревого слоя, которым моделируется обтекаемый контур в задачах аэродинамики.

В пространственных задачах, при обтекании поверхности, плотность потенциала двойного слоя является функцией двух переменных и поэтому ее градиент имеет две составляющие. Так как эти составляющие не являются независимыми функциями, то получающиеся алгоритмы численного решения пространственных задач обтекания методом дискретных вихревых отрезков имели очень сложную структуру даже для простых поверхностей, лежащих в плоскости [5]. Поэтому в работе [19] было предложено в качестве неизвестной функции брать плотность потенциала двойного слоя и сводить задачу Неймана для уравнения Лапласа к гиперсингулярному интегральному уравнению относительно этой плотности. Решение этого гиперсингулярного интегрального уравнения с помощью специальных квадратурных формул типа прямоугольников получило название метода дискретных замкнутых вихревых рамок [4,18]. Этот метод быстро получил широкое распространение в задачах аэродинамики, часть которых была опубликована в книгах [3,33].

Остановимся более подробно на вопросе, почему в аэродинамике оказалось более удобно решать задачи обтекания идеальной несжимаемой жидкостью замкнутых и разомкнутых контуров (поверхностей) в плоском (пространственном) случае с помощью потенциала двойного слоя. Действительно, указанные задачи обтекания с математической точки зрения являются задачами Неймана для уравнения Лапласа. Традиционно [31] задача Неймана, когда граничная кривая (поверхность) является замкнутой, решалась с помощью потенциала простого слоя и сводилась к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Однако, если граничная кривая (поверхность) является разомкнутой, то задачу Неймана необходимо решать с помощью потенциала двойного слоя, так как его нормальная производная непрерывна [31] при переходе через граничную кривую (поверхность). Поэтому, с точки зрения единообразия, при решении задачи Неймана для уравнения Лапласа для замкнутых и разомкнутых граничных кривых (поверхностей) лучше использовать потенциал двойного слоя. С другой стороны, в аэродинамике градиент плотности потенциала двойного слоя имеет ясный физический смысл интенсивности распределенного вихревого слоя, моделирующего обтекаемую поверхность.

Одновременно численные методы решения одномерных и двумерных сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений начали широко использоваться в различных приложениях [7-15,26-29].

Отметим, что метод дискретных замкнутых вихревых рамок в основном развивался на основе численного эксперимента и физических представлений. Долгое время единственным математическим результатом в этом направлении был результат Лифанова И. К. о сходимости квадратурных формул типа метода дискретных замкнутых вихревых рамок внутри области с кусочно-гладкой границей, лежащей в плоскости [18]. Затем в работах Полтавского JL Н. и Лифанова И. К. вопросы сходимости квадратурных формул и численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений были изучены для разомкнутых гладких поверхностей [18,27,35].

Для замкнутых гладких поверхностей таких результатов до настоящего времени не было. Численный эксперимент показывал, что численное решение гиперсингулярного интегрального уравнения на сфере равномерно по расчетным точкам сходится к точному [19,33]. Доказать математически это пока не удавалось и было впечатление, что и сами квадратурные формулы для гиперсингулярного интеграла на сфере равномерно сходятся по расчетным точкам к точному значению интеграла. Поскольку и этот факт математически доказать не удавалось, то автором был поставлен аккуратный численный эксперимент в результате которого выяснилось, что поведение квадратурных формул типа дискретных замкнутых вихревых рамок и численного решения соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения на сфере подобно поведению аналогичных квадратурных формул и численного решения соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке.

В диссертационной работе получены следующие результаты: 1. Доказано, что квадратурные формулы типа метода дискретных вихревых пар на отрезке (аналог метода дискретных замкнутых вихревых рамок на поверхности) сходятся равномерно по всем расчетным точкам вне фиксированной окрестности концов отрезка и интегрально сходятся на всем отрезке. Численное решение метода дискретных вихревых пар для гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке сходится равномерно на всем отрезке, а разностная производная этого численного решения сходится к производной решения исходного гиперсингулярного интегрального уравнения на отрезке таким образом, как квадратурные формулы этого метода к точному значению гиперсингулярного интеграла на отрезке.

2. Для гиперсингулярного интегрального уравнения типа Гильберта доказано, что квадратурные формулы типа метода дискретных вихревых пар, а также его численное решение этим методом и разностная производная этого численного решения равномерно по расчетным точкам сходятся, соответственно, к точному значению интеграла, к точному решению уравнения и производной этого решения.

3. Для гиперсингулярного интеграла на сфере доказана равномерная вне полюсов сходимость квадратурных формул метода дискретных замкнутых вихревых рамок. В численном эксперименте показано, что имеется интегральная сходимость этих квадратур на всей сфере и равномерная по всем расчетным точкам сходимость численного решения гиперсингулярного интегрального уравнения на сфере. Для гиперсингулярного интеграла на сфере получено новое спектральное соотношение для сферических функций.

4. Для гиперсингулярного интеграла на торе доказана равномерная по расчетным точкам сходимость квадратурных формул типа метода дискретных замкнутых вихревых рамок к значению интеграла.

5. Дано более общее, чем традиционное, определение двумерного сингулярного интеграла для области на плоскости. Для таких сингулярных интегралов на плоской области предложены некоторые квадратурные формулы типа прямоугольников и доказана их сходимость, если плотности интегралов являются функциями Гёльдера на области интегрирования. Предложено новое определение гиперсингулярных интегралов на плоскости.

Изложим теперь содержание диссертации по главам.

В первой главе рассмотрены гиперсингулярные интегралы и уравнения с ними в одномерном случае. В первом параграфе получено уравнение

1 = /(Мо) ,M0eL,( 1)

2яг I гш0 к которому сводится задача Неймана для уравнения Лапласа с граничной кривой L с помощью потенциала двойного слоя. В уравнении (1) гШо- вектор, соединяющий точки М и М0; rLa =(w>VaJ; пм- °РТ нормали к кривой L в точке М. Причем, если L - замкнутая кривая, то пм является внешней нормалью, а если L является разомкнутой гладкой кривой, то пм меняется непрерывно при движении точки М по L.

Во втором параграфе рассматривается случай, когда L является отрезком [а,Ь\- В этом случае уравнение (1) получает вид а V*0 Х)

2)

Потом, дается вначале определение интеграла слева в (2) когда g(x) s 1, а затем для случая, когда g(x)eHl(a) на [а,Ь], т.е. g'(x) е Н(а). В этом случае полагаем

Г JWA 2g(5i)| (3)

J(x0-x) ^nooU^o"*) * Потом для функций g(x) е Я* (а) таких, что g'(x) = (х~ a)~v(b - x) AVF(x), где Ч'(х) € Н(а) на [a, b], у,ц < 1, исследуются квадратурные формулы следующего типа.

Возьмем на [а, Ь] точки хк = а + (к - \)h, h = -—& = 1,.,и + 1, и п h точки х0к=хк + ~. Будем говорить, что множества E = {xk,k = l,.,n + l} и Е0 = {х0к,к = 1образуют каноническое разбиение отрезка [а,Ь]. Заменим интеграл /(х0) в (3) в точке следующей суммой

• ■ I ' X0 j Х) fc=l 1 1

X0j Хк+\ X0 j Хк j

4) где j = l,.,n.

Доказана теорема.

Теорема 1.3. Пусть функция g(x)&H[(a) на [а,Ь]. Пусть множества точек Е и Е0 образуют каноническое разбиение этого отрезка. Тогда справедливо неравенство j g(x)dx a(x0j-x) k=l

If 1 1 A yX0 j Xk+\

X0j Xk ) x0j),j = \,.,n,

5) где величина ©(xoy) удовлетворяет неравенствам: а) для всех точек x0j e[a+8,b-S], где S>0 - сколь угодно малое число

0(хО;)<С/,О<А<1, (6) б) для всех точек x0J е [а,Ь]

4f fe/WW-i ш.' А (л *. А лГ хЛ $

Г flM'-jB^ газ /г* ''

Ye(xQj)h<ch^, o<^<i, (7) м где Сs, С — некоторые константы, не зависящие от п.

Таким образом, имеется равномерная сходимость по расчетным точкам вне окрестностей концов отрезка (см. (6)) квадратурной суммы к точному значению интеграла, и имеется интегральная сходимость (см. (7)).

Для проверки в расчетах полученных теоретических положений для интеграла /(х0) получено следующее спектральное соотношение (теорема 1.4) J-—J A JkB/WP* r ll-x UJx)^ = ж{п + 1}^(Хо)^ Хо е(1Д) (8) ^^

У ^ sin((« + l)arccosx) sin(arccosx) где Un (х) - полином Чебышёва второго рода. Jj&cJV0

На рис. 1.2.3-1.2.6 показано реальное поведение сходимости квадратурных формул вычисления интеграла с помощью использования равенства (8) при п = 2 и п = 4, которые подтверждают теоретические выводы.

Третий параграф посвящен вопросам численного решения уравнения (2), которое находится из системы линейных алгебраических уравнений (с.л.а.у.)

Г 1 1 \

1>„(*0*)---= f(x0J),j = l,.,n. (9) к=\ yXOj X0j Хк

Показано (теорема 1.5), что ^(^-^(x^l^cV, 0<А<1, к = \,.,п, а

О J J I — » IJf J между разностной производной ; "v ок~1' и g'(xM) h выполняются оценки вида (6) и (7).

На рис. 1.3.1-1.3.4 показано реальное поведение сходимости численного решения интегрального уравнения с помощью использования равенства (8) при п- 2 и п = 4, которые подтверждают теоретические выводы.

В четвертом параграфе первой главы полагается, что L является окружностью единичного радиуса с центром в начале координат. В этом случае уравнение (1) получает вид

2* g(e)dO ю)

2 Сп о sin ° 2

Интеграл в уравнении (10) понимается в том же смысле, что и в уравнении (2), и существует для любой функции g(9)eHl(a), гб {&-)

О— v • т

0<а<1. Пусть множества точек Е-{9к,к = 1,.,» + 1} и Е0={вйк,к = \,.,п} образуют каноническое разбиение отрезка [0,2л-]. Теперь интеграл в (10) в точке вй] заменим суммой dO

SrAbj) = 1.8(0») J к=1 <9, в ■ 2 &0 j ~ 6 01 sm --

0ni-6k ctg~~~--Ctg

П)

Если g(0) является 2n периодической и g(ff)eHx(a), то доказано (теорема 1.8), что

IrA0oj) = \lAOoj)-SrA0oj)\ = g(0)dO

2я f jOoi-в 0 sin2 1 ctg&^-ctg&A „ In» .

C—,7 = 1,.,». n

2 . 2 . 02)

В пятом параграфе показано, что такая же оценка (теорема 1.9) выполняется между точным решением уравнения (10) и численным решением, полученным из с.л.а.у. п

Уоп +2 2>й(0о*) к=\ J

2л- ti n где величина y0„ является регуляризирующей.

Используя известное [18] спектральное соотношение

2л

13) 1

I-л—п(ап cosnO + Ъп sin nO)d& = о sm 2 -4л»(а„ cosпв0 +b„ sin»0o), n = 0,1,2,. , 60 e [0,2л-], (14) получены численные расчеты, показанные на рис. 1.4.3-1.4.6, 1.5.11.5.4 подтверждающие теоретические положения.

Во второй главе рассмотрены гиперсингулярный интеграл и уравнение с ним на сфере. В первом параграфе этой главы получено интегральное уравнение

4лгммл g(M)d(rM = f(M0), М0 ест, (15) к которому сводится задача Неймана для уравнения Лапласа в пространственном случае с граничной поверхностью а с помощью потенциала двойного слоя. Интеграл в (15) понимается в смысле конечной части по Адамару [1].

Во втором параграфе второй главы, в случае, когда о является сферой С\ радиуса R с центром в начале координат, с использованием сферических координат получено представление (теорема 2.2)

KN(M,M0)g(M)daM=^ J

2 Л 2 f \

1 1 з— + мм,

16)

О У где через KN(M,M0) обозначено ядро интеграла в (15), для любой точки (ф0Д), 0<ф<2л-, 0 < 0О < я-.

Используя представление (16) и известные [18,30] спектральные соотношения для сферических функций для интегралов на сфере с ядрами KN(M,M0) и у , получено новое гмил спектральное соотношение для этих функций (теорема 2.3) j- / -1-Гн(в,<p)d*M = -^Г„(0о,Фо),п = О,1,., (17)

4я" ci, гмм0 4 где Уп(в,ф)- сферическая функция порядка п.

В третьем параграфе рассмотрены квадратурные формулы метода дискретных замкнутых вихревых рамок (м.д.з.в.р.) для интеграла (16), когда этот интеграл заменяется суммой

2 п п

SNAM0Jfim)^I,S(M0iM) jKN(M,M0jfim)dam, (18) м к. 1 где j = 1,.,2п,т = 1,.,п; <т|Д- часть сферы являющейся образом прямоугольника с центром в точке на которые разбивается прямоугольник / = [0,2л-] х[0, л-] плоскости Оф0 линиями Ф = Ф;, i = \,.,2n, в = вк, к = 1,.,«, где точки ф, и 0к разбивают на равные части отрезки [0,2л-] и [0,л], соответственно (см. рис.2.3.5).

Если через 1(М0) обозначить интеграл в (16), то для всех точек M0jfim лежащих вне окрестности полюсов сферы доказана (теорема 2.5) оценка

0т) ^ (M0j0m)\<Cshalnn, (19) где С8- константа и ват е [S,я-S], 3 >0- достаточно малое положительное число.

Численные расчеты (рис. 2.3.6- 2.3.13), проведенные с помощью спектрального соотношения [18] \KN{M,M,)Yn{e^)dau = п = 0,1,. (20)/

4л- i R(2n +1)

-х показали, что для квадратурных формул м.д.з.в.р. имеется интегральная сходимость, т.е.

2и и

Y^HMOj,om)-SniKjfim)^j,rn О, ПРИ П -> СО . (21)

7=1 ш=1

В четвертом параграфе показано, что численное решение интегрального уравнения (15) с помощью м.д.з.в.р., найденное из с.л.а.у.

I N* "е

Уоп + -7- ЕЕ^^'Фо/) (М,М0JQm)dcrM = f(e0m,(?0j), 4ЛГ '=> m = \,.,Ne,j = \,.,N<?, (22)

Nv Ne где A<rik- площадь поверхности atJl, равномерно no всем расчетным точкам сходится к точному решению. Проведенные расчеты представлены на рис. 2.4.1- 2.4.8.

Интересными являются также численные расчеты, проведенные в пятом параграфе, показывающие влияние сдвигов расчетных точек на результаты вычислений (см. рис.2.5.2-2.5.9).

В третьей главе уравнение (15) рассматривается на торе. В первом параграфе дано параметрическое представление тора z = Rl sin в,

• jc = (а + Rr cos 0) coscp, (23) у = (a+ RX cos &) sin q>, где 0<6>,ф<2ж.

Используя представление (23) интеграл ITN(M0) в (15) на торе преобразован к виду (см. (3.20)) ч

1ж1п f - .

4яг о о

1 +мм,м0) з

ГММ0 гмм,

R^a + R, cos в)с1Ш<р, (24)

Во втором параграфе доказано (теорема 3.1), что выполняется оценка T,N (Kj ,0m)

MOJOm)\<Chalnn,0<cc<\, (25) где

2и-12и-1

ST,NWoJfim) = XXS(M0iM) JKTN(M,MOJOm)dcrM , j,m = 1,.,2л-1.(26)

Разбиение на торе и выбор расчетных точек показан на рис. 3.2.1.

В расчетах, представленных на рис. 3.2.2-3.2.7, 3.3.1-3.3.6, подтверждена равномерная сходимость квадратурных формул и численного решения соответствующего гиперсингулярного интегрального уравнения к точному.

В последней, четвертой главе, дано обобщение понятия двумерного сингулярного интеграла, которое потребовалось в доказательстве теорем во второй и третьей главах.

Во втором параграфе четвертой главы рассмотрен интеграл

27)

D ГММ„ где f(M0,ф)- функция точек М и М0 (ср- полярный угол точки М по отношению к точке М0), являющаяся ограниченной на DxD, непрерывной на множестве D\M0 при фиксированной точке М0, и достаточно гладкой функцией в полярных координатах с центром в точке М0 на плоскости OXY, D с OXY, g(M) е Н(а).

Для интеграла (27) дано следующее определение

I(M0) = lim

-»0

D\O{M0,e) 'MM а о

28)

Теперь для существования интеграла 1(М0) достаточно только условия g(M) е Н(а) и не надо требовать выполнения классического условия [23]

2ж j/W0,cpy<p = 0. (29) о

Для интеграла 1(М0), понимаемого в смысле равенства (28), на прямоугольнике D рассмотрена квадратурная сумма

Sh{M^m) = tlsiMom) j = (30) i=i k=i Dlk rMM0J,0m m-l,.,n2, и доказана оценка l(MOLOm)-Sh(MOJfim)\<Cha\lnh\, (31) где Л = тт(/г1,/г2).

В третьем параграфе четвертой главы дано также обобщение понятия гиперсингулярного двумерного интеграла.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, М., Наука, 1978, 352с.

2. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа, М., Наука, 1965,244с.

3. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях, М., Наука, 1985, 256с.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Михайлов А.А. Расчет бесциркуляционного обтекания произвольных тел, Ученые записки ЦАГИ, 1987, t.XVIII, №5, с.1-10.

5. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью, М., Наука, 1978, 352с.

6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, М., Наука, 1977, 640 с.

7. Давыдов А.Г., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких цилиндрических экранах. //ДАН СССР, 1981, т.261, №2, стр.338-341.

8. Давыдов А.Г., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях вращения //ДАН СССР, 1983, Т.269, №2., с.329-332.

9. Захаров Е.В., Давыдов А.Г., ХалееваИ.В. Интегральные уравнения с ядрами Адамара в задачах дифракции. //Актуальные вопросы прикладной математики. М.: Изд-во МГУ, 1989, стр.118-127.

10. Захаров Е.В., Загороднов И.А., Тарасов Р.П. Гиперсингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции на кубе. Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 1998, №3.

11. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: Изд. предприятие редакции журнала «Радиотехника», 1996.

12. КолтонД., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния, М., Мир, 1987, 311с.П.Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы, Тр. ЦАГИ, 1932, вып.118, с.3-56.

13. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент, М., ТОО «Янус», 1995, 520с.

14. Лифанов И.К., Михайлов А.А. К расчету безотрывного и отрывного обтекания тел, Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковского, 1986, вып.1313, с.137-145.

15. Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Пространства дробных отношений, дискретные операторы и их приложения. I, Математический сборник, 1999, т. 190, №9, с.41-98.

16. Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Пространства дробных отношений, дискретные операторы и их приложения. II, Математический сборник, 1999, т. 190, № 11, с.67-134.

17. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.27, М.: ВИНИТИ, 1988, стр.131-228.

18. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М., Физ.-мат., 1962, 256с.

19. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М., Наука, 1968,512 с.

20. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах, Киев, Наукова Думка, 1989,256с.

21. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках, Киев, Наукова Думка, 1976, 443с.

22. Полтавский Л.Н. Математическое обоснование некоторых численных схем в аэродинамике, Докторская диссертация, МГУ им. М.В .Ломоносова, Москва, 1993.

23. Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные уравнения. //Ж. выч. матем. и матем. физ., 1996, т.32, №5, стр.772-787.

24. Самохин А.Б., Самохина А.С. Метод решения задач дифракцииэлектромагнитных волн на трехмерном диэлектрическом теле. //Ж. выч.матем. и матем. физ., 1996, т.36, №8, стр.138-157.

25. Смирнов В.И. Курс высшей математики, t.IV, часть вторая, М., Наука, 1981.

26. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М., Наука, 1966, 724с.

27. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III, М-Л, Физматгиз, 1960.

28. Belotserkovsky S.M. and LifanovI.K. Method of Discrete Vortices, CRC Press, 1993, 452p.

29. Hilbert D. Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Leipzig-Berlin, 1912.

30. Lifanov I.K. and Poltavskii L.N. Quadrature formulae for the Hadamard integral over a curvilinear surface, Russ. J.Numer.Anal. Math. Modelling, 1998, Y.13, №1, pp27-44.

31. MittraR., ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. New York: Springer Verlag, 1975.

32. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragfliigeln, Luftfahrtforchung, 1938, X, №4, p.153-169.