Обращение интегральных операторов типа В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ШИШКИНА ЭЛИНА ЛЕОНИДОВНА

ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА

В-ПОТЕНИИАЛОВ РИССА С ОДНОРОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 '— математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 2006

Работа выполнена в Воронежской государственной технологической академии

Защита состоится 24 октября 2006 т.. в 15.40 на заседании диссертационного совета K212.Q38.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г, Воронеж, Университетская пл,, 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан: <2 3. сентября 2006 п

Научный руководитель:

доктор физико-математических

наук

Ляхов Лев Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук,

профессор

Калитвин Анатолий Семенович

Ведущая организация:

Владимирский государственный педагогический университет

Ученый секретарь совета

Ю. Е. Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Потенциалы, порожденные обобщенным сдвигом, впервые изучались известным американским математиком А. Вайнштейном и его школой (1947-1965) при построении осеси м метр ической теории потенциала. Конструкция введенных потенциалов характеризовалась присутствием так называемого обобщенного сдвига. Ранее (1938), эгог сдвиг изучался Ж. Дельсартом, работы которого послужили основой нового научного направления — теории обобщенного сдвига, созданного усилиями В.М. Левитана его учениками и последователями.

Впоследствии И.А. Киприянов (1967) стал использовать более общий вид сдвига, включающего обычный и обобщенный, что Давало возможность вводить потенциалы нового вида, учитывающие симметрию. При постановке соответствующих задач использовалась известная работа М,В. Келдыша о дифференциальных уравнениях, вырождающихся на границе области. Появились исследования соответствующих задач выполненных Я.И. Житомирским, Ж.-Л. Лионсом, И.А. Киприяновым, В.В, Катраховым, Л.А. Ивановым, М.И. Ключанцевым, Д«Н. Ляховым и да,

В 1967 г. И.А. Киприянов и В.И. Кононеикорассмотрели обобщения потенциалов Вайнштейна в Лп, когда обобщенный сдвиг действовал по одной из переменных. Более общий случай, при котором обобщенный сдвиг действовал по части переменных, а по другой части действовал обычный сдвиг рассмотрен И.А. Киприяновым и Л.А. Ивановым (1983) При построении фундаментальных решений соответствующих В-эллиптических уравнений. В этой же ситуации Л.Н, Ляховыад получены теоремы (типа теорем С.Л. Соболева) об ограниченности смешанных В-потенциалов в пространствах непрерывных и интегрируемых с весом функций. Интегралы типа В-погенциалов с однородной характеристикой также рассмотрены Л.Н. Ляховым, но только в случае когда по всем переменным действует обобщенный сдвиг.

С.Г. Самко в ряде работ (1970-1983) предложил использовать конструкций Стейна-Лизоркина для исследований решений

интегральных уравнений с потенциальными ядрами* Эти конструкции были обобщены и названы "гиперсингулярными интегралами".

Конструкции Стейна-Лизоркина-Самко использовались Л.Н. Ляховьгм для введения В-гиперсингулярных интегралов, которые были применены к классу интегральных уравнений с В-потенциалышми ядрами. Эти исследования ограничились лишь случаем действия обобщенного сдвига по каждой из переменных. Рассмотрение общей ситуации натолкнулось на сложности принципиального характера, связанные с построением общих гиперсингулярных интегралов, включающих в себя одновременно гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко и В-гиперсингулярные интегралы.

Данная работа посвящена исследованию общих В-гиперсингулярных (далее примем сокращение — о.В-г,е.) интегралов с однородной характеристикой и их применению к исследованию нового класса интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами. Изучаются В-потенциалы, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Построены эффективные конструкции операторов обратных к таким интегральным операторам. Обращение достигается посредством применения общих В-гиперсингулярных интегралов с характеристикой, специальным образом построенной по характеристике интегрального оператора типа В-потенциала. Это построение основано на разложении характеристик по весовым сферическим функциям, ранее введенных Л.Н. Ляховым при исследовании сингулярных интегралов (типа интегралов Михлина-Кальдерона-Зигмунда), порожденных обобщенным сдвигом,

Дели работы, Исследование В-нотенциалов с точки зрения их непрерывности (классической и квалифицированной) в различных весовых пространствах и обобщение формулы Кйприянова-Пицетти для весового среднего по сфере от основной функции. Исследование операторов типа В-потенциаяа Рисса с непостоянными характеристиками и вычисление их. символов. Введение общих В-гиперсингулярных интегралов с однородной характеристикой, регуляризация которых достигается применением нецентрировалных и центрированных обобщенных конечных разностей. Вычисление

символов в образах Фурье-Бесселя общих В-гиперсингулярных интегралов. Представление сингулярных дифференциальных операторов общими В-гиперсингулярными интегралами. Обращение интегралов типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства основных функций построенных по типу основных пространств П.И. Лизоркина. Обращение интегралов Типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства Лебега Щ с вестой интегральной мерой.

Методика исследования. Применяются методы теории функций, функционального Анализа, интегральных и дифференциальных уравнений. Более коикректно: а) методы гармонического анализа, применяющие разложения по сферическим функциям; б) методы изучения многомерных сингулярных интегральных операторов Мих л и н а- Кал ьдерои а-3 и гму I вда й решения многомерных сингулярных интегральных уравнений; в) техника псевдодиффереициальных операторов, построенных на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя; ; г) методы регуляризации растодящихся интегралов на основе конечных разностей и методы регуляризации в смысле конечной части сингулярного интеграла по Адамару и др.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми

1. Рассмотрены интегральные операторы типа потенциалов Рисса, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Доказаны теоремы о квалифицированной непрерывности и компактности смешанных В-потенциалов.

2. Определен интегральный оператор типа В-ттотенциала Рисса с характеристикой,, представляющей собой однородную, четную по части переменных функцию, бесконечно дифференцируемую на соответствующей части единичной сферы. Вычислен символ такого оператора.

3. Введены и классифицированы гиперсингуляриые интегралы с однородной характеристикой, названные общими В-гиперсингулярными интегралами (о.В-г.с. интегралы). Вычислены их символы.

4. Получено представление о.В-г.с. интегралов в виде обобщенной

свертки с соответствующей обобщенной функцией,

5. Получены формулы, представляющие некоторые однородные сингулярные дифференциальные операторы'в частных производных в виде о.В-г.с. интегралов.

6. Рассмотрены соответствующие интегральные уравнения, когда символ удовлетворяет условию' В-эллиитичности, а плотность (неизвестная) принадлежит весовому классу Щ. Построен обращающий (левый) В-гиперсингулярный интеграл (с характеристикой "ассоциированной" с характеристикой интеграла типа В-потенциала Рисса), тем самым конструктивно решен вопрос о решениях В~ эллиптического класса этих интегральных уравнений.

Практическая и теоретическая значимость* Работа носит теоретический характер и дает конструктивное решение содержательной математической задачи; Результаты исследования обратимости операторов типа B-потенциалов Рисса на основе общих В-гиперсингулярных интегралов привели к новому классу интегральных уравнений. Эти исследования позволят рассматривать: на современном уровне многие проблемы с осевой и многросевыми симметриями в механике сплошных сред, безмоментной теории оболочек, теории малых изгибаний поверхностей вращения, в задачах газовой динамики и да. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, 'проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. Стеклова РАН,.в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре доктора физ,-мат. наук Л,Н, Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю.И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. A.C. Калитвина в Липецком государственном педагогическом университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН России, на

международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Математический институт им. Е.А. Стеклова РАН, Москва, 2005), на международной конференции "Analysis and Related Topics" (Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005), на Воронежской зимней математической школе 2006 года, на научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовскне чтения - 2006" (Санкт-Петербург, 2006), на Воронежской весенней математической школе 2004, 2006 годов, на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации опубликованы в работах |2] ~ [5], [6], [7], [11] - [15] автора и в совместных работах fl], [8] ~ [10].. Работы [1], [8], |10j написаны совместно с Л. Н- Ляховым, Которому принадлежит постановка задачи. Доказательства получены автором лично. Из совместной работы [9] с Е. Г. Гоц в диссертацию вошли только полученные лично автором результаты;

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения; трех глав, включающих тринадцать параграфов» и списка литературы. Объем диссертации 118 страниц. Библиографический список содержит 55 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, кратко характеризуется тема работы, её цели, задачи. Дано общее Описание изучаемой проблемы, основные направления и методы её исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

Первая глава посвящена потенциалам, порожденным сдвигом ТУ fix) = С(7) J... / П sin^-1 A/Ux'i-2xlPl cos Дг-by'f,...

О 0 1=1

^х1-2хпупСовр1 + у1,х" - у") ¿0, С (у) = Ц

где 7 = (71,...,7П) — мультииндекс, состоящий из фиксированных положительных чисел, и получению некоторых формул для обобщенной весовой функции г4.

В параграфе 1.1 приведены теоремы Соболева для смешанных В-иотенциалоп Рисса и доказаны следующие теоремы о квалифицированной непрерывности и компактности смешанных В-потенциалов Рисса, Введем обозначения (ж'', х"), х'={тл, ...,хп) , ж"=(а;п+1,ху), хг>0, ...,хп>0} и

Щф) - {/(*) : /(х)(*Т/р е £р(П)>,тде (*')?= П п<М.

¿=1

Теорема 1.1.3 Пусть А < N + 171, А Ф '— ограниченная

область вй^ /(у) 6 Х^(П^) и 5мрр/(х) = тогда

№) -изы <кть^\х-У\^

где К ■— некоторая константа, ¡3 б (0,1],

Теорема 1.1.5 В допредельной области А < смешанный В-

потенциал, как оператор действующий из в С(1,(ПЛг) является

вполне непрерывным, то есть преобразует произвольное множество чЫотностей ОТ, ограниченное в в компактное лтожество в

пространстве

В параграфе 1.2 получено обобщение формулы Киприянова-Пицетти:

м;(г) = срф) + ±(мдо)у>г2 +... + =

= |9+, V-._ЛЩ^_

¿6 2РР'-(М + ЫХ^+Ы +2)...(Лг + 171

+■ |7|+2)...(-

где М£(г) — весовое сферическое среднее от функции <р(х) € ^(М^)

п н а2

по части сферы 5^={|а:|=1 : Ж1>0,..., хп> 0}, А в = X) Ас, +

1=1 «=п+1

а Вх< = ЩТ-+ ^дгг ~~ оператор Бесселя.

В параграфе 1.3 выписаны разложения обобщенной весовой функции гЛ в ряды Тейлора и Лорана.

В параграфе 1.4 строится преобразование Фурье-Бесселя обобщенной весовой функции г\

Во второй главе рассмотрены следующие интегральные операторы типа В-потенциала с. однородной характеристикой ©(х/|х|):

ф(у) (г/)7 а>0.

В параграфе 2.1 получены формулы представления весовых сферических интегралов от функции типа весовой плоской волны:

/ ¿т=сл 7)7 'Щ(*.р)№( 1 - Р2)2^ ¿Р,

^ -1

где — некоторое весовое среднее функции в.

В параграфе 2.2 доказана

Теорема 2.2.1 При а £ (0,1) для символа оператора и"е имеют место представЛетт

= Г(а) I е(ауР(г(-г(о,{)Г°(оГ ¿ЗН,

5+ 4=1

"и»

гс?е 5'^+п={|х|=1:з;2>0,Х4>0,..,,Х2п>0} и введено обозначение

В параграфе 2.3 построена регуляризация расходящегося интеграла по части сфере с 'особенностью ''на плоском сечении части сферы. При этом, использованы р.Г.-интегралы — адамаровские конструкции расходящихся интегралов.

В параграфе 2.4 содержится основная теорема о. представлении символауказанными р.Г.-интегралами, Будемобозначать через Т2> оператор Пуассона, действующий на интегрируемые функции, четные по каждой из первых п переменных и Аг©(£,р) =

Теорема 2.4.1 Символ !£*©(£) интегрального оператора типа В-потенциала Риеса при 1 <;а < /^ + ¡7) вычисляется по формулам

= ^ргР«/' / «,¿1,2, з,...

9$

гг-т-1 дт-1 Щ (х/>р)

(т — 1)1 дрт-х

, О;;—■

р= о

где р./. ] г(щ£))~а(сг')"( 43(сг) — котчнм часть

% . '

сингулярного интеграла по Адамару,

Третья глава посвящена обращению интегрального оператора типа В-потснциала с однородной характеристикой. Обращающий оператор представляет собой общий В-гпперсингулярньш интеграл, характеристика которого специальным образом построена по характеристике интеграла типа В-потенциала.

Общий В-гиперсингулярный (о.В-г.с) интеграл имеет вид

м,

1«

где 4к\1,у{а) — нормирующая константа, а '(Ш|/).(®) обобщенная конечная разность. В зависимости от типа разности будем рассматривать о.В-г.с. интегралы нейтрального, четного и нечетного типа, а именно о.В-г.с. интеграл будем называть о.В-г.с. интегралом нейтрального типа, если он построен с помощью

нецентрированной разности (Ш|/)(х)= ^ (—. 1)кС£Т£*/(х) и о.В-г.с.

fc=о

интеграл- будем называть о.В-г.с. интегралом четного (нечетного) типа, если Он построен с помощью центрированной разности

(□£/)(ж)— '^(—í)kCi:Txk~^tf(x) четного (нечетного) порядка I.

'■ ' к=О '

В параграфе 3.1 вычисляется символ о.В-г.с. интеграла, при этом в частных случаях целых а символ о.В-г.с. интеграла оказывается многочленом, четным по каждой из первых я переменных.

Теорема 3.1.1 Пусть Sí (jfj^ 6 ЩЗ^), тогда для символа оператора будут сщпведливы следующие представления:

для Б-гиперслтгулярпого интеграла нейтрального типа, при а 1,3,5,...

=сщЩщ ¡«mw^ww

s%

для В-гиперсингуЛярного интеграла четного типа

4

для В-гиперсингулярпого интеграла нечетного типа

щш = / <mrz\{*,t)\a«i9n{*,o(cTV ds, *=t

В параграфе 3.2 доказано представление о.В-г.с. интеграла в виде обобщенной свертки (/* 5)7(а:) = / f(y)(Tyg)(z)(yf)'t dy. А именно,

К

справедлива

Теорема 3.2.1 Пусть SI (]fj) е < а f(x) е ^ív и ограничена.

Справедливы, формулы

- * ф 1,3,5,...,

Л*л о.В-г.с. интегралов соответственно нейтрального. Четного и нечетного типа. В исключенных слу*мях целых а о.В-г.с. интеграл является смешанным сингулярным дифференциальным оператором в частных производных порядка а:

п Г(^) |2та'+з"|=« '

где 2т'=}.Щ'^у) — П В (¿±1, , 0,= / (а')'* ¿Б — весовой

сферический момент функции П(ег), При а и 2,4,6Г... слева в последнем равенстве о.В-г.с. интеграл нейтрального или четного типов, а при а 1,3,5,... — о. В-г.с. интеграл нечетного типа.

В параграфе 3.3 доказано утверждение о том, что все однородные смешанные дифференциальные операторы в частных производных1 порядка а с постоянными коэффициентами можно записать в виде о.В-г.с. интеграла с однородной характеристикой. При этом из

обобщенной формулы Функа-Гекке получен ее частный случай

Д Г Г(а + 1) ЭшатгГ (М)

где УД — весовая сферическая функция порядка т.

В параграфе 3.4 доказаны теоремы об обращении интегрального оператора типа В-потенциала в В-эллиптическом случае. Уравнение

/

К

ТУ

■<р(у)ЫУ д.у = /О)

называется В-эллиптическим если символ интегрального оператора типа В-потендиала удовлетворяет условию Ц® Характеристику О(аг/1ж¡), построенную по характеристике в(х/|х|) по правилу

ад*»=-ЩМ^Ш),

sm-2

О ф 2, 4,6.....

в случае о.В-г.с. интеграла нейтрального или четного типа и fl(jt/|x|) = -C(i!4y"Wl*|), 1,3,5,...,

COS ■

в случае о.В-г.с. интеграла нечетного типа, где

оо р (jy+hr|+fc+a\

--V-- Е VA J^(x/\x\),

<=i

будем называть ассоциированной с ©(ж/|х|).

Сначала вопрос «вращения рассматривается в рамках С^-функций для плотностей <р- В-потенциала из класса основных функций Ф(М^), построенных по типу основных пространств Лизоркииа и'получена

Теорема 3.4.1 Пусть характеристика <Э{х/\х\) потенциала и"©V пРи а2,3,... удовлетворяет условию В-эллиптичности и в(х/|х|)еС££(£>^), Тогда о.В-г.с. интецтл нейтрального типа с ■таржтерисгппкой И(х/\х\) ассоциированной с <ё>(х/\х\) обращает потенциал и"©;

Если 0(х/\х\) четна (нечетна), то можно также взять

четного (нечетного) типа..

Также получены результаты и для случая целого а. В. параграфе 3.5 рассмотрено обращение оператора и"© в 1 < р < При этом о.В-г.с. конструкция уже не будет сходиться в

обычном смысле, а она будет пределом по ¿^-норме соответствующих

усеченных о.В-г.с. интегралов, в области интегрирования которых вырезана некоторая шаровая окрестность нуля, а именно

Щпт = нт

где ,

— усеченный о.В-г.с. гаггеграл, а, = е К^ ; ||| > £}.

Сначала доказаны свойство аннигиляции ядра ассоциированным о.В-г.с. интегралом и интегральное представление усеченных о.В-г.с. интегралов. Наконец, доказана

Теорема 3.5.4 Пусть II" в — В-эллиптический интегральный оператор типа В-потенциала Рисса и пусть <р(х) е 1 < р < , ©(х/|х|) е « и:= /Саг), тогда

Список литературы

{1] Шишкина Э. Л. Обобщение формулы Киприянова о разложении функции на весовые плоские волны./ Д. Н, Ляхов, Э, Л. Шишкина // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-Х\<",2004 г.-ВГ^-Воронеж, - 2004.- С, 242.

[2] Шишкина Э. Л, В-потенциал дробного порядка 0 < а < 1,/ Э, Л. Шишкина // Материалы ХШН отчетной научной конференции за 2004 год - ВГТА-- Воронеж, - 2005.- С. 202.

[3] Шишкина Э. Л. Применение преобразования Киприянова-Радона к вычислению некоторых весовых криволинейных интегралов./ Э. Л. Шишкина // Международная конференция "Функциональные,; пространства", теория'приближений, нелинейный анализ": Тезисы докладов.- М.: Математический институт им. В.А. Стекяова РАН, - 2005.- С. 248.

|4) Шишкина Э- Л. Представление некоторых весовых сферических интегралов,/ Э. Л, Шишкина // Материалы второй международной; научной конференции "Функционально дифференциальные уравнения и их приложения".- Дагестанский государственный университет.- Махачкала, - 2005.- С.

[5] Шишкина Э. Л. Обобщение формулы Киприяиова-Пицетти./ Э. Д. Шишкина // Вестник Елецкого Государственного Университета им. И.А. Бунина. Вып.8: Математика. Компьютерная математика.-Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, - 2005.- С. 114-120.

[6] Шишкина Э. Л, Преобразование Фурье-Бесселя обобщенной весовой функции./ Э. Л, Шишкина // Материалы международной конференции "Analysis and Related Topics",- Национальный Университет им. Ивана Франко.- Львов, Украина, - 2005.- С. 98.

(7| Шишкина Э. Л, Символ В-потенциала Рисса дробного порядка 1 < /3 < N + I7I./ Э. Л. Шишкина // Материалы конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования Воронеж: Воронежская государственная технологическая академия, 2005.- С. 247.

[8] Шишкина Э. Л. Регуляризация Адамара расходящихся весовых сферических интегралов./ Л, Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // Вестник Липецкого Государственного Педагогического Университета.- Т.1. - Вып.1. - 2006.- С. 42-49.

[9] Шишкина Э. JI. Символы общих В-гиперсингулярных интегралов./ Е. Г. Гоц, Э. Л. Шишкина // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С, Г. Крейна - 2006. - Воронеж: ВГУ, - 2006.-С. 36.

[10] Шишкина Э. Л. Обобщенные В-потеициалы Рисса смешанного типа./ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // ДАН- 2006.- Т. 406.- Л"» 3.- С. 303-307.

[11] Шишкина Э. Л. RWK-потенциалы смешанного типа с однородной характеристикой./ Э. Л. Шишкина // Материалы научной

конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006".- СПб., 2006.- С. 220-224.

[12] Шишкина Э. Л. Общие В-гинерсингулярные интегралы с, В-га р м он и ческ и ми характеристиками./ Э. Л. Шишкина //* Материалы ХЫУ отчетной научной конференции за 2005 год.-ВГТА-Воронеж, 2006.-Ч.2.-0, 217-218.

(131 Шишкина Э. Л., Сингулярные дифференциальные многочлены й Общие В-гиперсингулярные интегралы,/ Э. Д; Шишкина // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов,- Владимир, Владимирский Государственный университет, 2006.- С. 229-230,

[14| Шишкина Э. Л. Обобщенная весовая функция гА./ Э. Л. Шишкина //' Вестник ВГУ, серия физика, йатематика.-Воронеж.- 2006.- №1,-С, 215-221.

(15] Шишкина Э. Л. Преобразование Фурье-Бесселя ядра общих В-гицерсмнгулярных интегралов с однородной х^актериегакой,/ Э. Л. Шишкина // Труды: зимней математической школы-2006. -Воронеж: ВГУ, - 2006.- С. 203-212,

сс^рсцссс^- у, с&ргб-*- С^-^СЛ^^ БД У- Р V

Подписано и печать (ч.ОЪ.ОЬ Формат 60Х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризограф и и. Усл. пен; л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ ЧИХ

ГОУВПО "Воронежская государственная технологическая академия" (ГОУВПО"ВГТА") Участок оперативной полиграфии ГОУВПО ''ВГТА" Адрес академии и участка оперативной полиграфии: 394000 Воронеж, пр. Революции, 19

Введение

1 В-потенциал Рисса

1.1 Непрерывность и компактность В-потенциалов.

1.2 Формула Киприянова-Пицетти.

1.3 Ряды Тейлора и Лорана для весового функционала

1.4 Преобразование Фурье-Бесселя радиальной функции

2 Интегральный оператор типа В-потенциала Рисса порядка а

2.1 Весовые средние функций, заданных на части сферы

2.2 Вычисление символа интегрального оператора типа В-потенциала Рисса при 0 < а; < 1.

2.3 Регуляризация расходящихся весовых интегралов по части сферы.

2.4 Основная теорема о представлении символа.

3 Обращение оператора типа В-потенциала

3.1 Символ о.В-г интеграла.

3.2 Общие В-гиперсингулярные интегралы как свертки с обобщенной функцией.

3.3 Представление некоторых сингулярных дифференциальных операторов.

3.4 Обращение оператора U"0 с плотностью из Ф7.

3.5 Обращение U"0 в LJ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Потенциалы, порожденные обобщенным сдвигом, впервые изучались известным американским математиком А. Вайнштейном и его школой (1947-1965) при построении осесимметрической теории потенциала. Конструкция введенных потенциалов характеризовалась присутствием так называемого обобщенного сдвига. Ранее (1938) этот сдвиг изучался Ж. Дельсартом, работы которого послужили основой нового научного направления — теории обобщенного сдвига, созданного усилиями Б.М. Левитана его учениками и последователями.

Впоследствии И.А. Киприянов (1967) стал использовать более общий вид сдвига, включающего обычный и обобщенный, что давало возможность вводить потенциалы нового вида, учитывающие симметрию. При постановке соответствующих задач использовалась известная работа М.В. Келдыша о дифференциальных уравнениях, вырождающихся на границе области. Появились исследования соответствующих задач выполненных Я.И. Житомирским, Ж,-Л. Лионсом, И.А. Куприяновым, В.В. Катраховым, Л.А. Ивановым, М.И. Ключанцевым, Л.Н. Ляховым и др.

В 1967 г. И.А. Киприянов и В.И. Кононенко рассмотрели обобщения потенциалов Вайнштейна в Дп, когда обобщенный сдвиг действовал по одной из переменных. Более общий случай, при котором обобщенный сдвиг действовал по части переменных, а по другой части действовал обычный сдвиг, рассмотрен И.А. Куприяновым и Л.А. Ивановым (1983) при построении фундаментальных решений соответствующих В-эллиптических уравнений. В этой же ситуации Л.Н. Ляховым получены теоремы (типа теорем С.Л. Соболева) об ограниченности смешанных В-потенциалов в пространствах непрерывных и интегрируемых с весом функций. Интегралы типа В-потенциалов с однородной характеристикой также рассмотрены Л.Н. Ляховым, но только в случае, когда по всем переменным действует обобщенный сдвиг.

С.Г. Самко в ряде работ (1970-1983) предложил использовать конструкции Стейна-Лизоркина для исследований решений интегральных уравнений с потенциальными ядрами. Эти конструкции были обобщены и названы "гиперсингулярными интегралами".

Конструкции Стейна-Лизоркина-Самко использовались Л.Н. Ляховым для введения В-гиперсингулярных интегралов, которые были применены к классу интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами. Эти исследования ограничились лишь случаем действия обобщенного сдвига по каждой из переменных. Рассмотрение общей ситуации натолкнулась на сложности принципиального характера, связанные с построением общих гиперсингулярных интегралов, включающих в себя одновременно гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко и В-гиперсингулярные интегралы.

Данная работа посвящена исследованию общих В-гиперсингулярных (далее примем сокращение — о.В-г.с.) интегралов с однородной характеристикой и их применению к исследованию нового класса интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами. Изучаются В-потенциалы, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Построены эффективные конструкции операторов обратных к таким интегральным операторам. Обращение достигается посредством применения общих В-гиперсингулярных интегралов с характеристикой, специальным образом построенной по характеристике интегрального оператора типа В-потенциала. Это построение основано на разложении характеристик по весовым сферическим функциям, ранее введенных Л.Н. Ляховым при исследовании сингулярных интегралов (типа интегралов Михлина-Кальдерона-Зигмунда), порожденных обобщенным сдвигом.

Цели работы. Исследование В-потенциалов с точки зрения их непрерывности (классической и квалифицированной) в различных весовых пространствах и обобщение формулы Киприянова-Пицетти для весового среднего по сфере от основной функции. Исследование операторов типа В-потенциала Рисса с непостоянными характеристиками и вычисление их символов. Введение общих В-гиперсингулярных интегралов с однородной характеристикой, регуляризация которых достигается применением нецентрированных и центрированных обобщенных конечных разностей. Вычисление символов в образах Фурье-Бесселя общих В-гиперсингулярных интегралов. Представление сингулярных дифференциальных операторов общими В-гиперсингулярными интегралами. Обращение интегралов типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства основных функций Ф7, построенных по типу основных пространств П.И. Лизоркина. Обращение интегралов типа В-потенциалов Рисса с плотностью из пространства Лебега 1Л с весовой интегральной мерой.

Методика исследования. Применяются методы теории функций, функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений. Более конкректно: а) методы гармонического анализа, применяющие разложения по сферическим функциям; б) методы изучения многомерных сингулярных интегральных операторов Михлина-Кальдерона-Зигмунда и решения многомерных сингулярных интегральных уравнений; в) техника псевдодифференциальных операторов, построенных на базе смешанного преобразования Фурье-Бесселя; г) методы регуляризации расходящихся интегралов на основе конечных разностей и методы регуляризации в смысле конечной части сингулярного интеграла по Адамару и др.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми.

1. Рассмотрены интегральные операторы типа потенциалов Рисса, порожденные смешанным обобщенным сдвигом. Доказаны теоремы о квалифицированной непрерывности и компактности смешанных В-потенциалов.

2. Определен интегральный оператор типа В-потенциала Рисса с характеристикой, представляющей собой однородную, четную по части переменных функцию, бесконечно дифференцируемую на соответствующей части единичной сферы. Вычислен символ такого оператора.

3. Введены и классифицированы гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой, названные общими В-гиперсингулярными интегралами (о.В-г.с. интегралы). Вычислены их символы.

4. Получено представление о.В-г.с. интегралов в виде обобщенной свертки с соответствующей обобщенной функцией.

5. Получены формулы, представляющие некоторые однородные сингулярные дифференциальные операторы в частных производных в виде о.В-г.с. интегралов.

6. Рассмотрены соответствующие интегральные уравнения, когда символ удовлетворяет условию В-эллиптичности, а плотность (неизвестная) принадлежит весовому классу Щ. Построен обращающий (левый) В-гиперсингулярный интеграл (с характеристикой, "ассоциированной" с характеристикой интеграла типа В-потенциала Рисса), тем самым конструктивно решен вопрос о решениях В-эллиптического класса этих интегральных уравнений.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное решение содержательной математической задачи. Результаты исследования обратимости операторов типа В-потенциалов Рисса на основе общих В-гиперсингулярных интегралов привели к новому классу интегральных уравнений. Эти исследования позволят рассматривать на современном уровне многие проблемы с осевой и многоосевыми симметриями в механике сплошных сред, безмоментной теории оболочек, теории малых изгибаний поверхностей вращения, в задачах газовой динамики и др. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. Стеклова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре доктора физ.-мат. наук JI.H. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю.И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. A.C. Калитвина в Липецком государственном педагогическом университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А. Стеклова АН России, на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, 2005), на международной конференции "Analysis and Related Topics" (Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005), на Воронежской зимней математической школе 2006 года, на научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2006" (Санкт-Петербург, 2006), на Воронежской весенней математической школе 2004, 2006 годов, на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации опубликованы в работах [42] - [45], [46], [47], [51] - [55] автора и в совместных работах [41], [48]-[50]. Работы [41], [48], [50] написаны совместно с Л. Н. Ляховым, которому принадлежит постановка задачи. Доказательства получены автором лично. Из совместной работы [49] с Е. Г. Гоц в диссертацию вошли только полученные лично автором результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих тринадцать параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 118 страниц. Библиографический

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа./ Ж. Адамар // М. Наука, -1978. 352 с.

2. Бейтман Г. Высшие транстцендентные функции./ Г. Бейтман, А. Эрдейн // М.: Наука, т. 2, -1974. -463 с.

3. Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения./ О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский // М.: Наука, -1975. -480 с.

4. Вайнштейн А. (Weinstein A.) Discontinious integrals and generalized potential theory./ А. Вайнштейн // Trans Amer. Math. Soc.-1955. V.63. -P. 342-354.

5. Ватсон Г.И. Теория Бесселевых функций. Ч. 1. / Г.И. Ватсон // М: ИЛ.-1949. -798 с.

6. Гельфанд И. М. Обобщенные функции и действия над ними: Учеб. пособие. / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов // -М:Изд-во физ-мат. лит-ры,-1958, -440 с.

7. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций./ И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов // М: Физматгиз, -1963. -234 с.

8. Гоц Е.Г. Обобщенные разности и общие гиперсингулярные интегралы./ Е.Г. Гоц, JI.H. Ляхов // Доклады Академии Наук.-2005,- Т. 405.- № 4. -С. 444-447.

9. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений./ И. С. Градштейн, И. М. Рыжик // М.-.ГИФМЛ, -1963. 1100 с.

10. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя./ Я. И. Житомирский // Мат. сб. -1955, т.36, №2. -С. 299-310.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды./ А. Зигмунд // М.:, Мир, -1965, т. 1. 356 с.

12. Киприянов И. А. Получение фундаментальных решений для однородных уравнений с особенностями по нескольким переменным./ И. А. Киприянов, Л. А. Иванов // Акад. наук СССР, Сиб. отд., Труды семинара Соболева, -1981, №1. -С. 55-77.

13. Киприянов И. А. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов./ И. А. Киприянов , В. В. Катрахов // Мат. сборник, -1977, Т. 104, М. -С. 49-68.

14. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические задачи./ И. А. Киприянов // М.:Наука, -1997. -199 с.

15. Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П.Е. Соболевский.- М.: Наука, -1966. -499 с.

16. Курант Р. Уравнения математической физики./ Р. Курант, Д. Гильберт // М.:Наука, -1914. -674 с.

17. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения./ Б. М. Левитан // Науч. изд-е, -М.:Гос. изд-во физмат лит-ры, -1962. -325 с.

18. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье./ Б. М. Левитан // Успехи матем наук, т. VI, в.2 (42), -1951. -С. 102-143.

19. Лизоркин П. И. Обобщенное Лиувиллевское дифференцирование и функциональное пространство Ьтр(Еп). Теоремы вложения./ П. И. Лизоркин // Мат. сб. -1963, т. 60, №3. -С. 325-353.

20. Лизоркин П. И. Описание пространств Ьгр(Еп)в терминах разностных сингулярных интегралов./ П. И. Лизоркин //- Мат. сб., -1970, 81, № 1. -С. 79-91.

21. Ляхов Л. Н., Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом./ Л. Н. Ляхов // Науч. изд-е. -ВГТА, -1997, -145 с.

22. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы./ Л. Н. Ляхов // Диф. уравнения, -1985, т. 21, № 6. -С. 1020-1032.

23. Ляхов Л. H. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя./ Л. Н. Ляхов // Труды математического института им. В. А. Стеклова. -1997, т. 214, -С. 234-249.

24. Ляхов Л. Н. О решениях В-полигармонического уравнения./ Л. Н. Ляхов, А. В. Рыжков // Диф. ур. -2000, т.36, №10. -С. 1365-1368.

25. Ляхов Л. Н. О рядах по весовым сферическим функциям./ Л. Н. Ляхов // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, -1984. -С. 102109.

26. Ляхов Л. Н. О символе интегрального оператора типа В-потенциала с однородной характеристикой./ Л. Н. Ляхов // ДАН, -1996, т. 315, № 2. -С. 161-165.

27. Ляхов Л. Н. Обращение B-потенциалов./ Л. Н. Ляхов // ДАН, -1991. т. 321, №3. -С. 466-480.

28. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения./ С. Г. Михлин // М.: Физматгиз, -1962. -456 с.

29. Никольский С. М. Курс математического анализа./ С. М.Никольский // М.: Физматлит, -2001, -592 с.

30. Пицетти П. (Р. Pizetti) Sulla media dei valari che una fanzione del punti dello spazio assume alia superficie di una sfere./ П. Пицетти // Rendiconti Lincei (5), v. 18, -1909, -P. 309-316.

31. Пуассон С. (Poisson S. D.) Memoire surlesintegrales definies./ C. Пуассон // J. I'Ecpolytech. Te. 19.-1923. -P. 249-403.

32. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения./ С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев // Минск: Наука и техника, -1987. -687 с.Самко / Изв. вузов. Мат., № 7 (193), -1978. -С. 73-78.

33. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы с однородными характеристиками; их символы и обращение./ С. Г. Самко // Труды Математического института АН СССР, т. 156, -1980. -С. 157-222.

34. Самко С. Г. Пространства LPjr(Rn) и гиперсингулярные интегралы./ С. Г. Самко // Stud. Math., vol.61, № 3, -1977. -P. 193-230.

35. Свешников А. Г. Теория функций комплексной переменной./ А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов // Уч. -изд. М.: Физматлит, -2001. -335

36. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике./ С.Л. Соболев // М.: Наука, -1988. 405 с.

37. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного./ А. Ф. Тиман // М.: ГИФМЛ, -1960. 231 с.

38. Шишкина Э. Л. Обобщение формулы Киприянова о разложении функции на весовые плоские волны./ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХУ"2004 г.-ВГУ.-Воронеж, 2004.- С. 242.

39. Самко С. Г., О преобразовании Фурье функциис.

40. Шишкина Э. JI. В-потенциал дробного порядка 0<а<1./Э. Л. Шишкина // Материалы XLIII отчетной научной конференции за 2004 год,- ВГТА.- Воронеж, 2005.- С. 202.

41. Шишкина Э. Л. Обобщение формулы Киприянова-Пицетти./ Э. Л. Шишкина // Вестник Елецкого Государственного Университета им. И.А. Бунина. Вып.8: Математика. Компьютерная математика.- Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, -2005,- С. 114-120.

42. Шишкина Э. Л. Преобразование Фурье-Бесселя обобщенной весовой функции./ Э. Л. Шишкина // Материалы международной конференции "Analysis and Related Topics".- Национальный Университет им. Ивана Франко.- Львов, Украина, 2005.- С. 98.

43. Шишкина Э. Л. Регуляризация Адамара расходящихся весовых сферических интегралов./ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина / / Вестник Липецкого Государственного Педагогического Университета,- Т.1. Вып.1. - 2006.- С. 42-49.

44. Шишкина Э. Л. Символы общих В-гиперсингулярных интегралов./ Е. Г. Гоц , Э. Л. Шишкина // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна 2006.- Воронеж: ВГУ, 2006,- С. 36.

45. Шишкина Э. Л. Обобщенные В-потенциалы Рисса смешанного типа./ Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // ДАН,- 2006,- Т. 406,- № 3,-С. 303-307.

46. Шишкина Э. Л. Общие В-гиперсингулярные интегралы с В-гармоническими характеристиками./ Э. Л. Шишкина // Материалы ХЫУ отчетной научной конференции за 2005 год.-ВГТА,- Воронеж, 2006. -Ч.2.- С. 217-218.

47. Шишкина Э. Л. Обобщенная весовая функция гх./ Э. Л. Шишкина // Вестник ВГУ, серия физика, математика.-Воронеж.-2006,- № 1,- С. 215-221.

48. Шишкина Э. Л. Преобразование Фурье-Бесселя ядра общих В-гиперсмнгулярных интегралов с однородной характеристикой./ Э. Л. Шишкина // Труды зимней математической школы-2006. Воронеж: ВГУ, - 2006,- С. 203-212.