Неклассические операторно-дифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.9

РГВ 01

13 ДЕК ?пт

АБАШЕЕВА Нина Леонидовна

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2000

Работа выполнена на кафедре теории функций Новосибирского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор С. Г. Пятков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Ю. Н. Валицкий

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Шелухин

Ведущая организация - Челябинский государственный

университет

Защита состоится 20 декабря 2000 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета К 002.23.02 в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 48" ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

А. С. Романов

вЗ^ 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пусть Е комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и нормой || • || и В, L линейные операторы, действующие и нем. Рассмотрим уравнение

But = Lu + f, t е (О, Г), Т < оо. (0.1)

Краевые задачи для уравнения (0.1) представляют собой абстрактную форму многих краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, для интегро-дифференциальных уравнений. Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике. Рассмотрим также уравнения

B{t)Ul = L(t)u + f, t е (0,T), (0.2)

B(t)ut = G(t,u) + /, t £ (О,Г), (0.3)

где B(t), L(t) - семейства линейных операторов, действующих в пространстве Е, G(t, ■) - семейство монотонных операторов, действующих в Е.

Для уравнений соболевского типа или близких к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих соболевскому типу, корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева (как правило, это означает, что спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси). Ранее, в работах М.С. Бауэнди и П. Гринара, С.А. Терсенова, С.Г. Пяткова, Р. Билса, Н.В. Кислова, В. Гринберга, К.В.М. ваи дер Ми, X. Капера, Г. Леккеркеркера, А. Зеттла и др. были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида (0.2).

В абстрактной форме уравнения, не являющиеся уравнениями типа Соболева, рассматривали, например, Р. Биле, Н.В. Кислов, В. Гринберг, К.В.М. ван дер Ми и П.Ф. Звейфел, С.Г. Пятков. Эти авторы предполагали, что операторы L, В самосопряженные в гильбертовом пространстве Е, причем L либо положительный, либо неотрицательный с конечномерным ядром. Ставились краевые условия вида

£+u(0) = uj, Е~и(Т) = uj (Г < оо), (0.4)

E+u(0) = u+ (Т = оо). (0.5)

где Е+ и Е~ - спектральные проекторы оператора В, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра. Для исследования этих задач применялись вариационные методы, основанные на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп и теории интерполяции, метод Фурье (разложение по собственным функциям). Доказаны теоремы существования решения задачи (0.1), (0.4) и ограниченного или убывающего на бесконечности решения задачи (0.1), (0.5). Было получено необходимое и достаточное условие единственности ограниченного на бесконечности решения. Решение уравнения было представлено в явном виде.

Итак, в вышеупомянутых работах предполагалось, что операторы Б, Ь самосопряжены. Естественным выглядит желание обобщить эти результаты в следующих направлениях: оператор Ь диссипативный; операторы В, Ь зависят от ¿; оператор в правой части нелинейный.

Пусть операторы Ь, В не зависят от параметра £. Тогда с уравнением (0.1) связана спектральная задача

Ьи = А Ви. (0.6)

Центральное место занимает исследование вопроса о базисности но Риссу собственных и присоединенных элементов задачи (0.6) в гильбертовом пространстве ^о с нормой

1Мк = \\\в\1/2и\\

(базис Рисса - это базис, ортонормировапный относительно некоторого эквивалентного скалярного произведения данного гильбертовою пространства) . Пусть оператор В есть оператор умножения на веществен-нозначную функцию д{х) (х 6 П С Еп), а Ь — равномерно эллиптический дифференциальный оператор порядка 2т, самосопряженный в Е = Ьг(П). Если функция д положительна или отрицательна в П, то результат по вопросу о базисности является классическим. Если д меняет знак, то эта задача становится нетривиальной. Вопросы базисности собственных и присоединенных элементов задачи (0.6) в этом случае стали исследоваться сравнительно недавно. Первыми работами, посвященными этим вопросам, были работа Р. Билса, М. Файермана и Г.Ф. Роуча, Г.К. Лангера и Б. Чургуса, С.Г. Пяткова. Ими найдены необходимые и достаточные условия, установлены достаточные условия, гарантирующие базисность по Риссу с.п.э. задачи (0.6).

После этого возник естественный вопрос: существуют ли операторы Ь, В такие, что собственные функции задачи (0.6) не образуют базис

Рисса в пространстве .Ро? Первый пример такой функции, меняющей знак бесконечное число раз, был представлен С.Г. Пятковым. Еще один пример был построен А. Флейге. Недавно X. Волкмер установил некоторые результаты о плотности в случае т = 1 и п = 1. К сожалению, его доказательство, основанное на теореме Бэра о категориях, не было конструктивным и его статья не содержит нового примера.

Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача обобщить результаты вышеперечисленных работ на случай, когда оператор Ь равномерно диссипативен. Также рассмотрено более слабое условие: оператор Ь диссипативен и равномерно диссипативен на £}(Ь) П М, где М - некоторое подпространство конечной коразмерности. Обобщение можно сделать и в следующем направлении: операторы В, Ь зависят от t, где операторы В{1) симметричны и обладают некоторой гладкостью н операторы Ь{Ь) равномерно диссипативпы. Также исследовался вопрос о разрешимости краевых задач для квазилинейных операторно-дифференциальных уравнений вида с монотонным оператором в правой части. Дополнительно исследовалась структура функций д, для которых собственные функции задачи (0.6) не образуют базис Рисса в пространстве 1*о (даже после соответствующей нормировки). Также рассматривался вопрос: как много существует таких весовых функций в различных пространствах.

Методы исследования. Для исследования указанных задач используются методы функционального анализа, в частности, проекционные теоремы, результаты спектральной теории, теории интерполяции, теории полугрупп, теории пространств с индефинитной метрикой.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

- доказана разрешимость краевых задач для уравнения (0.2), установлено достаточное условие для единственности решения и исследована гладкость решения;

- в случае Т < оо установлено существование решений краевых задач для уравнения (0.1), найдены достаточные условия для единственности и гладкости решения;

- в случае Т = оо установлены необходимые и достаточные условия существования ограниченных и убывающих на бесконечности решений краевых задач для уравнения (0.1), найден критерий единственности ограниченного решения;

- доказана разрешимость краевых задач для уравнения (0.3);

- выделен класс нечетных весовых функций, для которых базис-ность но Риссу собственных функций задачи (0.6) в пространстве ^

места не имеет;

- показана плотность таких весовых функций в соответствующих пространствах.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Основная часть результатов носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных задач, сводящихся к абстрактной задаче (0.1) с соответствующими операторами В и L. Данные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора A.M. Блохина, на семинаре профессора В.Н. Врагова, на семинаре профессора Т.П. Зеле-няка, на Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" в 1997 г., на Международной конференции "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс".в 1999 г., на Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике в 1998, 2000 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. В совместной работе [1] научному руководителю принадлежит постановка задачи, результаты автором получены самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 108 страниц. Библиография содержит 114 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления исследования, сформулированы цели исследования и его основные результаты, дан краткий обзор основной литературы.

В первой главе рассматриваются краевые задачи для уравнения (0.2) в случае, когда оператор В самосопряжен в пространстве Е и оператор L равномерно диссипативен. Эта глава содержит шесть параграфов.

Первый параграф носит характер вводного. Здесь даются определения и делаются необходимые предположения.

(A) Найдется гильбертово пространство Hi, плотно вложенное в Е и такое, что L(t) € Ь^О^ЦН^Щ)), B(t) € И^О.Г; L(tfb Н[)). Операторы В{0) и В(Т) (если Т < оо) самосопряжены в Е. Операторы B(t) симметричны во внутренних точках интервала (0,Т). Пространство Нг плотно вложено в ОЦВЩ^2) и в D(\B(T)l1/2).

(B) Найдется постоянная 6 > 0 такая, что

1

Rc((-L(i)--^(i))ti,u)>i||u||

я,

для всех и £ Я, п почти всех £ 6 (0, Т).

Пусть Го = ЯаВД^/кегад.Со = 0{\В(Т)\1/2)/кегВ(Т), ^ = Со = Е±{Т)во (здесь Е±(0), Е±(Т) - спектральные проекторы операторов В(0) и В(Т), соответствующие положительной и отрицательной частям спектра). Положим ^ = Я1/(кег Я(0)ПЯ1), С\ = Я]./(кегВ{Т) П Нх). Построим также пространства 1, как пополнения Ео, <30 по нормам НиЦ^ = ||Я(0)и||я;, ||и||с_1 = ||Я(Т)и||Я; соответственно.

Дополним уравнение (0.2) краевыми условиями

Я+(0)и(0) = и+, Шпи(4) = 0 (Г = оо); (1.1)

Я+(0)и(0) = Лп£-(0)и(0) + Л12В+(Т)и(Г) + и+, £-(Т)И(Т) = /1з1£-(0)и(0) + /122£+(Т)п(Г) + ц- ^ <сс)'

Ни е /112 6 £(<?+ г0+), е ^22 е Ь(С+,С0-).

Определим оператор

!" ei(Fo-xG0+,F0+xG0-).

/>■11 /«12 /121 /122

Обозначим норму этого отображения через ря.

В §2 доказываем ряд теорем о свойствах пространства \У = {?((£) £ Ь2{й,Т-,Н\) : € £2(0, Т; Я{)}, из которого мы и ищем реше-

ние краевых задач для (0.2). Установлены плотность гладких функций в ТУ. теоремы о следах, формула интегрирования по частям.

Далее, в §3, учитывая полученные утверждения, доказываем разрешимость краевых задач (0.2), (1.1) и (0.2), (1.2).

Теорема 1.5. Пусть / € Ь2(0,У; Н[), £ ^, 6 (Зд , выполнены условия (А), (В) и, кроме того, рн < 1. Тогда существует решение краевой задачи (0.2), (1.2), принадлежащее пространству , такое, что и(0) 6 и(Т) б <_?о и, следовательно, равенства (1.2) имеют смысл.

В §4 установлены достаточные условия для однозначной разрешимости задач (0.2), (1.1) и (0.2), (1.2).

Теорема 1.7. Пусть / 6 £2(0,Т; Н[), и^ е /<о+, и7г е Сц , выполнены условия (А), (В), рн <1 и справедливы равенства

(^1,^-1)1/2,2 = Ро, (^1, (7-1)1/2,2 = С о- (1-3)

Тогда существует единственное решение краевой задачи (0.2), (1.1), принадлежащее пространству IV. Справедлива оценка

1К*)1к + 1М0)||*ъ + ||«(т)||Со < с(||/|и2{о,Т;Я1) + \К\\Ро + \\ит\\с0),

где с - положительная постоянная, не зависящая от /(£), и^', и^, В §5 исследуем гладкость полученного решения. Вводим дополнительное условие на операторы В(£), !/(£). (С) Операторнозначные функции В (Ь), ¿(£) 6 Ь(НХ\Н[)).

Найдется положительная постоянная 6о > 0 такая, что

Пе((—Х,(4) + (» - > ¿о||«||/л VI» ё Яь £ 6 (0,Т), г = Т^Г.

Положим ^ = (Т - г)2г£2® при Т < оо и = тш(12', 1) при Т = оо. Теорема 1.8. Пусть / € Ь2(0,Т;Н[), £ Х2(0,Т;Я() (г =

1,т), ид 6 ит ^ выполнены условия (А)-(С), рн < 1 и справедливы равенства (1.3). Тогда существует единственное решение и(£) краевой задачи (0.2), (1.2), такое, что у/ц^^и € Ь2(0,Т;Н1) (г = 1,т), у/^&ВЮщ еЬ2(0,Т;Н[).

Заметим, что избавиться от веса мы не можем в том смысле, что имеются уравнения вида (0.2), для которых краевая задача имеет гладкое решение (без веса) лишь при выполнении конечного или бесконечного количества дополнительных условий типа ортогональности для правой части и граничных данных.

В §6 полученные результаты иллюстрируются на примере параболического уравнения с меняющимся направлением времени.

Во второй главе, состоящей из восьми параграфов, исследуется вопрос о разрешимости краевых задач для уравнения (0.1).

В §1 вводим необходимые определения и предположения. (Б) Найдется гильбертово пространство IIплотно вложенное в Е, такое, что Ь 6 Ь{Н\\ Н[) и В € Ь(НиН[). Оператор В : Е Е самосопряжен в Е. Н\ плотно вложено в 0(\В\1/2).

(Е) Для и 6 Н\ Ие(—Ьи, и) > 0 п найдется постоянная 6 > 0 такая,

что

IIе{-Ьи,и) > ¿||и||я,

для всех и € М', где М' - некоторое дополнение в Н\ к конечномерному подпространству М С Н\. Для всех и € М справедливо равенство Ке(Ьи, и) = 0.

Пусть ^ = Б(\В\1/2)/кетВ, ^ = Е±Е0. Дополним уравнение (0.1) краевыми условиями

£+7/(0) = (Т = оо); (2.1)

Е+и(0) = Ы1Е-и(0) + Н12Е+и(Т) + и+,

Е-и(Т) = к21Е-и(0) + П22Е+и{Т) + ит К ^ >' К >

где Ли е /112 е цр+), /г21 е ОД-), н22 с

Вводим дополнительное условие

кег ВпМ= {0}. (2.3)

В §2 в случае Т < оо мы доказываем теоремы о разрешимости задачи (0.1), (2.2), единственности и гладкости полученного решения.

Теорема 2.1. Пусть / € Ь2(0,Т; Н[), ид" € Е^, и^ £ выполнены условия (Б), (Е), (2.3), рн < 1 и справедливо равенство

(Е1,Е-1)1/2,2 = Е0. (2.4)

Тогда существует единственное решение краевой задачи (0.1), (2.2) принадлежащее пространству IV. Справедлива оценка

1И*)1к + ||Ц0)|к + МТ)\\Ро < с(||ли2(0,т;я;) + ЫЫ + \\Пг\\р0),

где с - положительная постоянная, не зависящая от /(£), «д , и^, и(Ь). В §3 исследуются некоторые свойства пучка (0.6). Говорим, что Л € С принадлежит резольвентному множеству р{Ь — А В) пучка Ь — ХВ, если оператор Ь — А В : —> Н[ ограниченно обратим. Положим сг(Ь — А В) = С \ р(Ь — А В). Под собственным элементом задачи (0.6) понимаем функцию и 6 Н\ (и / 0) такую, что для некоторого А € С выполнено равенство (0.6). Множество

{■Uj}"=:0 (щ € Hi) есть цепочка собственных и присоединенных элементов длины п+ 1 (с.н.э.) задачи (0.6), соответствующих А 6 С, если {L — \B)uí = Bui-i, и~i = 0, i — 0,п. Корневое подпространство пучка (0.6), соответствующее некоторому Л 6 С, т.е. замыкание в Н\ линейной оболочки с.п.э. задачи (0.6), соответствующих данному Л, будем обозначать через L\. Говорим, что {и;}™0> где щ € Н\ (i = 0,т — 1), ит 6 ^(l^l1/2), есть цепочка с.п.э. длины т + 1 пучка (0.6), соответствующих Л = оо, если Вщ = Luí-i, i = 0,m, u_i = 0.

Лемма 2.3. Мнимая ось ¿R = {А : Re А = 0}, за исключением конечного числа точек, принадлежит резольвентному множеству пучка L-XB.

Далее, представляем пространство Н\ в виде прямой суммы некоторых подпространств.

Лемма 2.4. Длины цепочек с.п.э. задачи (0.6), соответствующих А — оо, равны 1. Существуют проекторы S и S € L(Hi) на N = ker В П #! такие, что

S*L = LS, S*B = BS = 0,

где S*, S* £ L(H[) - сопряженные операторы к операторам S, S.

Положим Fi = (J — S)Hi, F\ = (I — S)Hi. Построим пространство как пополнение ío но норме ||u||f_i —

В §4 определяется J-диссипативный оператор А, действующий в пространстве Крейна Fq .

В подпространстве F-i определен J-диссипативный оператор А — £ L(Fi, f_i). Рассмотрим оператор А как неограниченный оператор и Fq с областью определения F-¿ = D(A) = {u € Fi : Au £ Fq}. Тогда этот оператор замкнутый, максимальный J-диссипативный, плотно определенный и имеет то же самое резольвентное множество, что и оператор А : i -> F-\. Спектр сг(А) П гК состоит из нормальных собственных значений. И, кроме того, справедливы следующие оценки резольвенты.

Лемма 2.6. Найдется R > 0 такое, что iy 6 р(А) при > R, у € Ж ir справедлива оценка

\\(А - iyr'/ÜF^a + М) + \U - ч,)"1/»* < c\\f\\F^, V/ 6 Если в дополнение выполнено равенство (2.4), то справедлива оценка \\(А - iy)-1/11^(1 + ¡2/1) + \\(А - 1уГЧ\\п(А) < cll/lh, V/ е Fq.

В §5 вводится проектор Рисса, соответствующий мнимой части спектра оператора А

pu=-J- f (д _ \)~1udX.

2т J

1

Положим Fia = P-yFi, Fib = (I - -P7)fi 0 = -1,0,1,2). Проектор P7 построен также еще одним способом с помощью построения некоторого специального базиса подпространства Foa — = 1Лп{1<л : Re Л = 0}

В §6 выделены некоторые максимальные семидефинитные подпространства, инвариантные относительно оператора А.

Сначала показано, что в подпространстве Foa существуют максимальные неотрицательное подпространство Fq~0 и неположительное _F0~, инвариантные относительно оператора А. Причем F^ с

Далее, для оператора Аь = -4|.г0ь с областью определения i<26 найдется S > 0 такое, что S = C\(S+ US~) С р(Аь), S~(+) = {z:\ arg z\ < n/2 - S (I arg z\ > 7t/2 + ¿), \z\ > <5}, и для любого луча {arg z = в} С S справедливы оценки резольвенты

IK^-A)-1/!^ < 0x11/11^(1 + 1Л1)-1 (г = -1,1).

Тогда определены операторы

P±f = MAb~Z)~X f dz, Г± = dS±, / € D{Al).

r±

При выполнении (2.4) эти операторы Р± допускают продолжение до операторов класса L(F0b)- Соответствующие подпространства F^b = R(P+), Fçb = R(P~) являются максимальными неотрицательным и неположительным подпространствами пространства Fob, инвариантными относительно оператора А. При этом все пространство Foi, предста-вимо в виде F06 = F^b+Fgb.

Следовательно, при условии (2.4) F± = максимальные се-

мидефинитные подпространства Fq, инвариантные относительно оператора А, и операторы V± — Е± осуществляют изоморфное отображение подпространств F± на подпространства F^.

В §7 ищем в случае Т = оо убывающие и ограниченные на бесконечности решения задачи (0.1), (2.1).

Построенные проекторы позволяют получить из (0.1) следующую эквивалентную систему уравнений

Su = —L_1S*/> Ааиа + Р1д, = Аащ + {I - Ру)д, (2.5)

где иа = Р7(/ - S)u, щ — (I — Р-у)(Г - S)u, (I - S*)f = Вд.

Положим A= Ai,|F+, Аь — . Тогда операторы Af и —А^ яв-

ляются инфинитезимальными операторами аналитических полугрупп ель1 и е~Аъг, экспоненциально убывающих на бесконечности. Следовательно, ограниченную на оо (более того, убывающую на оо) компоненту решения уравнения (2.5) из подпространства Fob можно записать в виде (при условии, что д € £2(0, Т; ,F_i))

щ = еАь1Р+(1 - Р>(0) + gb(t),

t оо

gb{t) = J e^Aip+(I-P^)g(Odi- j е""«^P~(7 - P7)s(fl о t

Если выполнены равенства (2.4),

{F2b,Fob)i/2fi=Fib, (2.6)

функция g(t) € ¿г(0, oo;F_i), элемент P+(I — P7)u(0) € F0, то компонента решения G ¿2(0,00; Fi), иы £ Ьг(0, ос;F_i).

Пусть {Ai,A2,...,Am} = сг(Л) П® и itffc (г = l,ns, к = 0,р?) -базис в La,(^4) (s = 1 , m), состоящий из цепочек с.п.э. оператора Л, отвечающих собственному значению Xs G &(А) П г'Е. Тогда компонента решения (2.5) из подпространства Foa записывается в виде

иа = йа+ 9a(t), üa = Y: Cik^ikit), s,i,k

где

* ti _ _ _

üik = eX'lYlUik-'J\> S = 1>m> i = = 1=0

m n. P'i { °S P- , \

= -EEE /Vir*"

s=l t=l k=0 \Jt l=k K >' j

и gh (r) - коэффициенты разложения P7g(i) по базису

Под убывающим на бесконечности решением задачи (0.1), (2.1) понимаем решение u(t) = иа + щ + Su из класса Wioc = {u £ (О, Г; Hi) : (Bu)t £ L2{0,T;H[) для любого Т > 0} такое, что Su(t) € X,2(0,oo;#i) иЭ lim Ipl^KOO+MOMNO.

t—wo

Под ограниченным на бесконечности решением задачи (0.1), (2.1) мы понимаем решение u(t) — иа 4- щ + Su из класса Wioc такое, что Su(t) G £«,((), оо; Яг) и Ttarillßl1/2^^) +ub(i))|| < 00.

t—+ 00

Положим Mo = 1лп{кег(Л — AjI), г = 1,..., s} и g0(t) = ga(t) + <7&(i). Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (D), (Е), равенства (2.3), (2.4), (2.6).

a) Для того чтобы для данного элемента u J е Fq и данной функции / такой, что f € ¿2(0,00;Н[), Р7д(г)(1 + t)l+e е Ьг(0,оо;Я{) (I = шах pf, е > 0) существовало решение задачи (0.1), (2.1)

l<s<m,l<i<na;

из пространства Wioc, убывающее на бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы

P1(V+)-1E+(u+ -90( 0)) = 0.

В этом случае компонента решения iia(t) = 0. Убывающее на бесконечности решение единственно, если существует.

b) Для того чтобы для данного элемента ujj" е F^ и данной функции f такой, что (I - S*)f € Ь2{0,00; Н[), P7g{t){l + £)' € U (0,00; Н[) (I = max pf) и S*f G Ьж(0, оо; Н[) существовало решение за-

l<s<m,l<i<n,

дачи (0.1), (2.1) из пространства W[oc, ограниченное на бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы

P1(V+)-1E+(u+ -до(О)) € PyiV+^E+Mo.

Задача о существовании ограниченного решения безусловно разрешима тогда и только тогда, когда отображение R — Py(V+)~l Е+ : Mq -> F^a есть отображение "на". Ограниченное решение единственно тогда и только тогда, когда ker R = {0}.

В §8 полученные результаты применяются к уравнениям в частных производных, к интегро-дифференциальным уравнениям теории переноса.

В третьей главе, содержащей четыре параграфа, исследуются краевые задачи для уравнения (0.3) с монотонным оператором G(t, •). В §1 даются определения и вводятся следующие предположения. (F) Найдутся рефлексивные банаховы пространства X nY, плотно вложенные в Е, такие, что B(t) G W^(0,T; L(X ПУ,Г + У'))- Операторы ¿3(0) и В(Т) (если Т < оо) самосопряжены в Е. Операторы Bit) симметричны во внутренних точках интервала (0, Г). Операторы G(t,-) : XПY —> X'+ Y' семинепрерывны и —(G(i, ■) + ^Bt(t)) монотонны для п.вс. t б (0, Г). Существует непрерывная функция h : R+ —> R+,

что

2(0,Т,Х') + Ь„(0,Т\У') 2(0,Т;Х)ПЬр(0,Т-,Г))

для Уи е Ь2(О, Т; X) П Ьр(0, Т; У) (2 < р < оо, £ + \ = 1). X П У плотно вложено в В{\ВЩ1'2) и в Д(|В(Г)|1'2).

(в) Найдется постоянная 6 > 0 такая, что

Ие(-|в,(«)и - <7(*,и),и) > ¿(1Н1х + ||и||*)

для всех и Е X П У и почти всех Ь Е (О, Т).

Пространства Го, Со, Г^ и бц здесь те же, что и в главе 1.

В §2 доказаны теоремы о плотности и о следах для пространства решений уравнения (0.3) Ш = {и(*) е Ь2(0,Т-,Х)ПЬр(0,Т;У) : еЬ2(0,Г;Х')+^(0,Т;Г)}

Затем в §3 установлена разрешимость краевых задач (0.3), (1.2) и (0.3), (1.1) с и^ = 0, и^ — 0.

Теорема 3.4. Пусть / Е Ь2(0, Г; X') + ¿,(0, Г; У), выполнены условия (Г), (С) я, кроме того, рн < 1- Тогда существует решение краевой задачи (0.3), (1.2) с и^ = 0, и^, = 0, принадлежащее пространству Ш, такое, чтои(0) Е Го, и(Т) Е бц и, следовательно, равенства (1.2) имеют смысл.

В §4 полученные результаты применяем к квазилинейным уравнениям в частных производных.

Четвертая глава состоит из пяти параграфов. Она посвящена исследованию структуры таких весовых функций д{х), что собственные функции задачи (0.6) не образуют базис Рисса в пространстве Г0 = Ь2,д(П).

В §1 даются некоторые определения и вводятся необходимые предположения. Оператор В есть оператор умножения на вещественнознач-пуго функцию д(х) Е ЬР(П) (х Е П С Мп, р > 1, р > п/2т), а Ь -равномерно эллиптический дифференциальный оператор порядка 2т, самосопряженный в Е. Дополнительно предполагаем, что

(Н) при некотором взаимнооднозначном отображении у = 1г(х) области О на область (7, якобиан которого отделен от нуля и ограничен и такого, что Н Е СШ(П) и Е С"1 (С), некоторая область Б С П (5 С П) переходит в цилиндр <3 = Б"-1 (0,1) х (-1,1), где Бп-1(0,1) - (п — 1 )-мерный единичный шар с центром в начале координат. Пусть в цилиндре (¿в - В"-1 х (-1 - 6,1 + <5) с (7 (0 < 6 < 1) функция

!j(h 1 (у)) совпадает с функцией g(yn), 'Ж Я меняет знак на гиперплоскости {уп = 0} и g = gX, X е Cm{-1 -S, 1 + 5), |x| > ¿1 > 0 и

Г $(-1+5), ynE(-l~S,-l + 6) 9={ g(yn), yne(-i + 6,i-6) [ g(l-S), уп£(1-6,1+6)

В §2 приведены некоторые вспомогательные результаты.

В §3 установлены необходимые условия базисности по Риссу собственных функций задачи (0.6).

Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (Н), причем функция д(у) нечетная, положительная при у > 0. Если существуют числовые последовательности {а/;} и {б*;} (0 < ajt < bk < 1) такие, что

bk/bk \2 г ,ak \2i-l

а) при m = 1 Ik = J ^/ dtj dy (bk - ak) (J g{y) dyj при k —> oc,

bk -1 (bk - ak)^r- f g(y)dy

0

b) при m > 1 Jk = / 2/ö(y) ¿У

о

о

0 при

k —^ oo, то собственные функции задачи (0.6) не образуют базис Рисса (даже после соответствующей нормировки ) в пространстве L2l9(fl).

В §4, пользуясь полученными условиями, строим примеры весовых функций, для которых базисность по Риссу собственных функций задачи места не имеет, из пространств суммируемых функций и из пространств дифференцируемых функций.

В случае n = 1 в §5 установлена плотность весовых функций, для которых нет базисности, в некоторых пространствах.

Без ограничения общности считаем, что Q = (—1,1). Через Cl0\— 1,1] обозначим конус в Cl[— 1,1], состоящий из нечетных функций д, положительных при х > 0 и §¡£(0) = 0 для i = 1,1. Пусть Lp<0(—1,1) (р > 1) подмножество пространства Lp(—1,1), состоящее из нечетных, положительных при х > 0 функций.

Теорема 4.3. Множество функций д £ С10[—1,1] (или LPi0(—1,1)), таких, что собственные функции задачи (0.6) не образуют базис Рисса Li L2,g(-1,1) плотно в С о [ 1,1] (или LPi0(-1,1))-

Работы автора но теме диссертации:

1. Abasheeva N.L., Pyatkov S.G. Counterexamples in indefinite Sturm-Liouville problems // Sib. Adv. Math. 1997. V. 7, N 4. P. 1-8.

2. Абашеева H.J1. Контрпримеры для эллиптических спектральных задач с незнакоопределенной весовой функцией / / Неклассические уравнения математической физики: Тр. III Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1998. С. 113-121.

3. Абашеева Н.Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. 60 с. (Препринт N 9).

4. Абашеева Н.Л. О разрешимости краевых задач для квазилинейных операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа // Неклассическне уравнения математической физики: Тр. IV Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. С. 49-55.

5. Абашеева Н.Л. Контрпримеры для задачи Штурма-Лиувилля с незнакоопределенной весовой функцией // Материалы XXXV Меж-дунар. науч. студенческой конф. "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1997. С. 3.

6. Абашеева Н.Л. Контрпримеры для незнакоопределенной задачи Штурма-Лиувилля // Тез. докл. III Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике, ч. IV. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1998. С. 3.

7. Абашеева Н.Л. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциального уравнения первого порядка // Тез. докл. Между-нар. конф. "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс". Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1999. С. 61.

8. Абашеева Н.Л. Краевая задача для операторно-дифференциаль-ного уравнения первого порядка // Тез. докл. IV Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике, ч. I. Новосибирск: Изд-во Инта математики, 2000. С. 40.

Обозначения и соглашения.

Введение.

ГЛАВА 1. Линейные уравнения: положительно определенный случай

§ 1. Определения и предположения.

§ 2. Теория пространства

§ 3. Теоремы существования.

§ 4. Теоремы единственности.

§ 5. Теоремы о гладкости.

§ 6. Параболическое уравнение с меняющимся направлением времени.

ГЛАВА 2. Линейные уравнения: вырожденный случай.

§ 1. Предположения.

§ 2. Теорема существования и единственности (случай Т < оо).

§ 3. Спектральный пучок Ь — \В

§ 4. 7-диссипативный оператор.

§ 5. Проектор Рисса.

§ 6. Существование максимальных семидефинитных инвариантных подпространств.

§ 7. Теорема существования и единственности (случай Т — оо).

§ 8. Примеры.

ГЛАВА 3. Квазилинейные уравнения.

§ 1. Определения и предположения.

§ 2. Теория пространства У/.

§ 3. Теоремы существования.

§ 4. Примеры.

ГЛАВА 4. Эллиптические спектральные задачи с незнакоопределенной весовой функцией.

§ 1. Определения и предположения.

§ 2. Вспомогательные результаты.

§ 3. Необходимые условия базисности по Риссу.

§ 4. Контрпримеры.

§ 5. Теоремы о плотности.

Пусть Е комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и нормой || • || и В, Ь линейные операторы, действующие в нем. Рассмотрим уравнение + * € (0,Т), Т < оо. (1)

Если оператор В непрерывно обратим, то уравнение (1) сводится к щ = Аи + д, (2) где А = В~гЬ. Задача Коши для уравнения (2) полностью решается с помощью теории полугрупп [43, 47]. Если кег В ф {0}, то в работах [88, 89] развита теория полугрупп с ядрами, обобщающая результаты классической теории полугрупп на случай уравнения (1). Эта теория применима к уравнениям соболевского типа: спектр пучка Ь + ХВ содержится в одной из полуплоскостей вида Яе Л < а, Ие Л > а. Мы также предполагаем, что оператор В необратим, в частности, он может иметь ненулевое ядро. Но мы не делаем ограничений на спектр оператора В, т.е. он имеет произвольное расположение спектра.

Ранее вопросы разрешимости краевых задач для таких уравнений рассматривались в случае, когда операторы Ь, В самосопряжены в пространстве Е [13, 31, 38, 37, 50, 72]. Оператор Ь мог иметь конечномерное ядро. Для исследования этих задач применялись вариационные методы, основанные на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп, метод Фурье (разложение по собственным функциям). Моей задачей было обобщить результаты этих работ на случай, когда оператор Ь равномерно диссипативен. Под равномерно диссипативным оператором мы понимаем оператор, удовлетворяющий условию

Яе(-Ьщи) > <5|Н|2 для всех и £ Е){Ь). Также нужно было рассмотреть более слабое условие: оператор диссипативен, т.е.

Ие(-Ьи,и) > 0 для всех и Е D(L) (такое определение диссипативности используется в [34, 43, 47] в отличие от [9], где вышеприведенное неравенство заменяется неравенством Im(Lu, и) > 0) и равномерно диссипативен на D(L) П М (М - некоторое подпространство конечной коразмерности). Это условие существенно осложняет исследование краевых задач в случае Т = оо. Задача в пространствах L2 становится некорректной, появляются решения однородного уравнения, степенным образом ведущие себя на бесконечности. Однако именно такая ситуация наиболее часто встречается в приложениях. Также обобщение можно сделать в следующем направлении: операторы В, L зависят от t. Тогда имеем следующее уравнение

B(t)ut = L(t)u + f, t е (0,Т), Т < оо. (3)

Здесь мы предполагаем, что операторы B(t) симметричны и обладают некоторой гладкостью и операторы L(t) равномерно диссипативны. Также мы исследуем вопрос о разрешимости краевых задач для квазилинейных операторно-дифференциальных уравнений вида

B{t)ut = G{t,u) + f, t Е (0,Т), Т<оо, (4) где G(t, •) (t Е (0,Т)) - семейство монотонных операторов, определенных в пространстве Е.

Пусть операторы L, В не зависят от параметра t и самосопряжены в Е. Тогда с уравнением (1) связана спектральная задача вида

Lu = ХВи. (5)

Центральное место занимает исследование вопроса о базисности по Риссу собственных и присоединенных элементов задачи (5) в гильбертовом пространстве Fq с нормой

Hf„ = |||В|1/2и|| базис Рисса - это базис, ортонормированный относительно некоторого эквивалентного скалярного произведения данного гильбертовою пространства) . Пусть оператор В есть оператор умножения на вещественнозначную функцию д(х) (х 6 Q С Rn), а L - равномерно эллиптический дифференциальный оператор порядка 2т. Если функция д положительна или отрицательна в то результат по вопросу о базисности является классическим. Если д меняет знак, то эта задача становится нетривиальной. Как известно, при некоторых условиях на операторы L, В собственные функции задачи (5) образуют базис Рисса в пространстве Fo. Мной исследовался вопрос: какова структура функций д, для которых собственные функции задачи (5) не образуют базис Рисса в пространстве Fq (даже после соответствующей нормировки). Также рассматривался вопрос: как много существует таких весовых функций в различных пространствах. Заметим, что строя такие весовые функции, мы одновременно строим контрпримеры для некоторого интерполяционного равенства, гарантирующего корректность краевых задач для уравнения (1).

Актуальность темы исследования

Краевые задачи для уравнения (1) представляют собой абстрактную форму многих краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, для интегро-дифференциальных уравнений. Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике.

Пусть X, У - банаховы пространства и операторы Б, Ь действуют из X в У. Если оператор В непрерывно обратим, то это уравнение сводится к (2). Тогда применима теорема Хилле-Иосиды [43], устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между разрешающей полугруппой однородного уравнения (2) и оператором А, называемым инфинитезимальным оператором полугруппы. Можно выделить три версии теоремы: 1. оператор А = В~1Ь е Ь(Х) и порождает аналитическую в равномерной топологии разрешающую полугруппу; 2. оператор А секториален и является генератором аналитической полугруппы разрешающих операторов; 3. оператор А радиален и порождает сильно непрерывную полугруппу разрешающих операторов.

Если оператор В необратим, то исследование уравнения (1) проводилось многими математиками как в абстрактной форме, так и для конкретных уравнений в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений.

Для уравнений соболевского типа (они называются так, потому что первым начал рассматривать начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, С.Л. Соболев) это задачи гидро и газовой динамики, теории упругости и некоторые другие. Среди работ, посвященных таким уравнениям, отметим [40, 58, 68, 84, 87, 90, 93]. Сошлемся также на недавно вышедшую книгу А. Фавини и А. Яги [95], где можно найти подробную библиографию и ряд результатов.

Уравнения не типа Соболева возникают в гидродинамике при изучении движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости, в теории переноса при описании процессов переноса нейтронов в ядерном реакторе, рассеивания электронов в металле, проникновения х-лучей и 7-лучей сквозь рассеивающую среду и других аналогичных процессов - движения частиц (нейтронов, фотонов, электронов и т.д.) в некоторой среде [12, 20, 30, 31, 44, 46, 48, 62]. Также они возникают в геометрии, популяци-онной генетике [21, 60, 61] и некоторых других областях.

Полное исследование уравнения (1) в конечномерном случае (В, L -постоянные матрицы размера тхп) проведено К. Вейерштрассом для регулярных и JI. Кронекером для сингулярных пучков квадратных матриц (пучок квадратных матриц L + \В называется регулярным, если определитель det(L + AB) не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным). Ими были рассмотрены вопросы о построении канонических цепочек собственных и присоединенных элементов соответствующей спектральной задачи, о построении общего решения, о существовании решений задачи Коши и ряд других. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [25].

Ю.Е. Бояринцев в своей монографии [19] продолжил исследование конечномерной задачи, используя различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных матриц.

Для случая, когда матрицы L, В зависят от параметра t, вопрос о построении общего решения уравнения (1) рассматривался в работах В.Ф. Чистякова и некоторых других авторов (см., например, [109]).

Достаточно подробно исследован вопрос о существовании решений задачи Коши и( 0) = щ или близкой к ней) для уравнений соболевского типа (или близких к ним).

Однородное уравнение (1) (/ = 0) изучали математики из школы С.Г. Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К. Вейерштрассу и JI. Кро-некеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка L + А В (пучок L -f А В называется регулярным, если За > 0 VA G С |А| > а =>- (L + AB)'1 € L(Y, X)).

В работе В.Б. Осипов [69] рассмотрел случай, когда операторы L, В замкнуты, X = Y, D(L) С D(B), кет В ф {0}, L(ker В) П R(B) = {0}. Показано, что если За G R такое, что для всех А G С, Re А > а, выполнено

1 - АВ^ВНцх, < то для любого по G R{{L — АВ)~1В) задача Коши для (1) разрешима.

С.Г. Крейн и В.Б. Осипов [57] изучали однородную задачу с линейными ограниченными операторами В, L в банаховом пространстве X. При этом они использовали метод, предложенный С.Г. Крейном и С.Д. Эйдель-маном, который основан на построении функции Ляпунова. Показано, что если, в отличие от оператора В, оператор L или при некотором А оператор L + А В обратим, то решения однородного уравнения (1) заполняют некоторое собственное подпространство. В этом подпространстве задача Коши однозначно разрешима.

С.П. Зубовой и К.И. Чернышовым [40] исследован случай, когда X, Y - банаховы пространства, В - замкнутый фредгольмов, L - ограниченный оператор. Для регулярного случая доказана однозначная разрешимость однородной задачи Коши при начальных значениях из некоторого подпространства с конечным дефектом. Решение неоднородной задачи Коши существует для достаточно гладких функций f(t), удовлетворяющих некоторым условиям согласования с начальными данными. В сингулярном случае решение однородной задачи не единственно и существует только при начальных данных, удовлетворяющих счетному числу условий. Для разрешимости неоднородной задачи от функции f(t) требуется бесконечная гладкость и выполнение счетного числа условий согласования с начальными данными.

P.E. Шовальтер в работе [114] рассматривает уравнение (1) с эллиптическими дифференциальными операторами В и L порядка 2т и 21 соответственно, причем т < I. Решается обобщенная смешанная начально-краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения, показана его регулярность. Обсуждается асимптотическое поведение решений.

Исходя из ряда физических задач, в работе Ж.Е. Лагнеса [58] исследована задача (1) в гильбертовом пространстве. Причем оператор В -самосопряжен, kerВ ф {0}, D(B) С D(L) П D(L*), kerВ инвариантно относительно оператора L. Найдены условия однозначной разрешимости, включающие в себя условия гладкости функции f(t) и согласованности ее с начальными данными.

Применяя методы классического и локального преобразования Лапласа и спектральную теорию операторных пучков, А.Г. Руткас [87] исследовал задачу (1), в случае, когда X, Y - банаховы пространства, В, L- линейные ограниченные операторы. В статье исследованы вопросы разрешимости задачи Коши, экспоненциальной ограниченности решения, корректности и равномерной корректности, диссипативности задачи Коши, описано начальное многообразие при различных условиях. Результаты исследования применяются к задачам рассеяния и прохождения сигналов в дискретных структурах.

Результаты Руткаса были обобщены в работе Н.И. Радбель [84] для однородного уравнения с замкнутыми операторами В, L. На основе спектральных свойств операторного пучка L + Л В исследовано начальное многообразие задачи Коши, определена корректная и диссипативная задача Коши. Рассматривается частный случай D(B) С D(L).

H.A. Сидоров и М.В. Фалалеев [90] исследовали задачу Коши для линейного уравнения типа Соболева с замкнутым фредгольмовым оператором Б, замкнутым оператором L, банаховыми пространствами X, У", D(B) С D(L). Кроме того, считается, что оператор В имеет полный L-жорданов набор, a f(t)~ достаточно гладкая функция. Обобщенное решение уравнения построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.

А.И. Кожанов [52], распространяя теорию уравнений математической физики составного типа на уравнения нечетного порядка в многомерных пространствах, в частности, рассматривает уравнения вида

1-А)щ = Ьи + /, где A, L - дифференциальные (по х) операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и L.

А. Фавини [93] вводит в рассмотрение задачу

YBu{t) = Lu(t) + 0 < i < оо,

CLL lim Bu(t) = щ о / с замкнутыми линейными операторами В, L. В [94] автор рассматривает то же уравнение на конечном отрезке [0, Т] с начальным условием J3w(0) = Вщ, D(B) Э D{L) Э wo, X = Y. В терминах оператора L(L — \В)-1 сформулированы теоремы существования и единственности решения этих задач при некоторых условиях на начальное значение wo и гладкость функции f{t).

Т.к. Свиридюком и его учениками [88, 89] была обобщена классическая теория полугрупп на случай кет В ф {0}. Они получили аналоги теоремы

Хилле-Иосиды для этого случая и ряд теорем о разрешимости задачи Ко-ши. Были построены полугруппы разрешающих операторов для спектрально ограниченных, секториальных и радиальных операторов Ь относительно оператора В. Было введено понятие фазового пространства уравнения - множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши для этого уравнения.

И.В. Мельникова и М.А. Алыпанский [68] применили методы теории полугрупп для исследования задачи Коши для однородного уравнения (1) с ограниченным оператором В и замкнутым оператором Ь. Выделено естественное максимальное множество корректности и в терминах условий на операторную функцию получены необходимые и достаточные условия корректности на этом множестве. Введено понятие вырожденной полугруппы и получены необходимые и достаточные условия ее существования.

Таким образом, как видно из вышеприведенного обзора ряда работ, для уравнений соболевского типа или близких к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих соболевскому типу, корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева (как правило, это означает, что спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси). Ранее, в работах [10, 12, 15, 39, 49, 70, 91] были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида (1).

Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М. Же-врея [39]. Он рассматривал уравнение вида sgn х \х\рщ = а(х, Ь)ихх 4- Ь(х, £)их + с(х, £)и + /, гдер > 0, > 5 > 0. Он показал, что при некоторых предположениях это уравнение есть каноническая форма параболического уравнения типа

А(х, €)щ = а(х, £)ихх + Ь(х, Ь)их + с(ж, €)и + /, где коэффициент А(х, £) меняет знак.

После долгого перерыва в 60-х годах появилось много работ в этом направлении. В работе М.С. Бауэнди и П. Гривара [10] рассмотрено конкретное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени я2т хи* + = /» (*> *) е (а, 6) х (0, Т), а < 0 < 6 с краевыми условиями дки дхк 0, к = 0, т — 1, х=а,Ь и(х, 0) = щ(х) при х > 0, и(х,Т) = ит(х) при х < 0. (7)

Применение вариационных методов (проекционной теоремы Лионса) позволило им доказать существование и единственность слабого решения. К.Д. Пагани и Дж. Таленти [70] исследовали уравнение sgnх щ = ихх -&« + /, е (-1,1) х (0, оо).

С помощью теории интегральных уравнений Винера-Хопфа доказаны теоремы существования регулярного решения.

С.А. Терсеновым [91] исследовалось, в частности, модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени sgnхщ = ихх, (я,*) € (-1,1) х (0,Т), которое с помощью теории потенциала редуцируется к системе сингулярных интегральных уравнений. Как известно, в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий полностью обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера ННо в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам. С.А. Терсеновым получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в пространствах Нпри р > 2.

С.Г. Пятков в [73] исследовал параболическое уравнение с меняющимся направлением времени п ^ п д(х)щ = + + с(х^)и + /(ж,*), г,.7=1 1 i=l где х е С К.п, t € (0,Т) с краевыми условиями (7). Изучены свойства собственных функций соответствующей спектральной задачи (5), с помощью которых доказана разрешимость краевой задачи. Как упоминалось выше, в работах С.А. Терсенова в случае п = 1 при повышении гладкости данных задачи решение будет гладким при выполнении некоторого конечного числа условий ортогональности. С.Г. Пятковым показано, что в случае п > 1 число условий ортогональности бесконечно. Им доказаны теоремы о безусловном повышении гладкости решений с некоторым весом.

В [76] С.Г. Пятковым исследовалось уравнение в частных производных т П д П у)иу, = — у)иХ]) + Ь((х, у)иХ{ + с(х, у)и + /(х, у),

1 г,7=1 1 г=1 где х £ О, С у £ Ох С Мт. Это уравнение при т = 1 входит в класс рассматриваемых уравнений (1). Вариационными методами доказаны теоремы существования и единственности слабого решения. Также показано, что при повышении гладкости данных задачи повышается внутренняя гладкость решения.

Уравнения вида (1) часто возникают в теории переноса [30, 46, 48]. Например, уравнение переноса нейтронов при определенных предположениях имеет вид 1 шх(х, д) = сг(д)и(ж, /л) — J р)и(х, у) (1р, (ж, /л) 6 (—а, а) х (—1,1).

-1

Уравнения такого вида исследовались, например, в работах М. Мохтар-Харуби и X. Латрака [60, 61, 62]. В частности, они занимались спектральной теорией.

В. Гринберг [29] исследовал систему уравнений, описывающих многогрупповой перенос нейтронов 1 цих(х, ¡1) = Еи(х, ц) — С J и(х, р) (ж, 6 (—а, а) х (—1,1),

-1 где и = (щ,. ,ип)Т, Е - диагональная положительная матрица и С = 11си11у=Т^г постоянная симметричная матрица. Он рассматривал случай с1е1;(Е — С) ф 0. Используя функциональный подход, в частности, теорию пространств с индефинитной метрикой, он представил решение системы явно.

Также в теории переноса для описания процесса рассеивания электронов предлагается следующее уравнение

Оно исследовалось многими математиками. Это уравнение и связанная с ним спектральная задача рассматривались, например, в работах Р. Билса

12], X. Капера, Г. Леккеркеркера, А. Зеттла [44]. Р. Билсом были доказаны теоремы об однозначной разрешимости краевых задач (7) для этого уравнения. В работе [44] исследованы свойства собственных функций и дано представление общего решения этого уравнения.

В работе М. Клауса, К.В.М. ван дер Ми и В. Протопопеску [51] даны два эквивалентных метода построения в явном виде решения краевой задачи и(0,ц) = если > О, и{х^)\\ Ь2,и(а,Ъ) = 0(1) ИЛИ 0(1) При X У СЮ и и(х, ¡л) удовлетворяет самосопряженным краевым условиям оператора Lh = —(ph')'. Функция из меняет знак на (а, Ь) конечное число раз. В класс рассматриваемых ими уравнений входят уравнение рассеивания электронов, уравнение Фоккера-Планка [15]. Первый из предложенных методов основан на разложении по собственным функциям, а второй использует теорию интегральных уравнений типа Винера-Хопфа и факторизацию.

Нелинейные параболические уравнения с меняющимся направлением времени рассматривались, например, в [59]. Там исследовалось уравнение, предложенное Н.Н. Яненко для моделирования сложных течений вязкой жидкости, ди л ди д г /ди\~\ , ч .

Ж + = О е (о, 1) X (о,т), где Л равна либо нулю, либо единице, а функция и такова, что ш'(р) > 5 > О для \р\ > N, где N - некоторая положительная постоянная, и для |р| < N функция а/ может менять знак.

Что касается спектральных задач (5) с В - оператором умножения на вещественнозначную функцию g(x) (х € С Мп), то они были предметом большого количества исследований. Первые работы появились в начале этого века. Следует упомянуть работы Д. Гильберта, изложенные в книге [26]. Для случая m = 1, п = 1, L- положительный оператор им доказано существование бесконечного числа положительных и отрицательных собственных значений и рассмотрено соответствующее разложение по собственным функциям. В случае га = п = 1, Q = (0, оо) задача (5) рассматривалась X. Вейлем [22]. Различные вопросы, связанные с такими спектральными задачами, рассматривались в то время также О. Хауптом[105], X. Хилбом[107], Р.Г.Д. Ричардсоном [86]. В многомерном случае первые результаты были получены Е. Хольмгреном [108]. Он рассмотрел задачу Дирихле для уравнения

А и + Хд(х)и = 0, х 6 П С Еп, когда д(х) непрерывная и меняющая знак функция, и доказал существование бесконечного числа положительных и отрицательных собственных значений, которые могут быть охарактеризованы принципом "min-max".

Асимптотическое распределение этих собственных значений было установлено в работе А. Плейеля [71]. Говоря о распределении собственных значений, следует сослаться на серию работ М.Ш. Бирмана и М.З. Соло-мяка (см. [18] и имеющуюся там библиографию), на работы Ж. Флекингер и ряда других авторов [103, 104]. Можно сказать, что в настоящее время вопрос об асимптотике спектра для задач (5) исследован достаточно полно. Исследовались и вопросы о вариационной характеристике спектра как для задач вида (5), так и для более общих задач (см. [17, 23, 86]). Исследовались также вопросы асимптотики спектра в случае, когда В не оператор умножения на функцию, а дифференциальный или псевдодифференциальный оператор (см., например, [63]).

Многочисленные работы посвящены исследованию вопросов базисности, факторизуемости и др. для самосопряженных операторных пучков (и для возникающих при этом линейных пучков специального вида). Отметим хорошо известные работы М.В. Келдыша, М.Г. Крейна [28], А.Г. Костюченко и М.Б. Оразова [53, 54], A.C. Маркуса [67], Г.К. Лангера, В.А. Ильина [41, 42], A.A. Шкаликова [112, 113] и др. При сделанных предположениях относительно операторов L, В большинство этих результатов применимо лишь в ограниченной мере.

Множество работ было посвящено изучению модельных задач, возникающих в математической физике [13, 14, 15, 44, 45, 51, 64, 106]. Среди вопросов, рассмотренных в этих работах были вопрос о плотности собственных функций задачи (5) в Fo = L\ ^о), вопрос о плотности собственных функций задачи (5), соответствующих положительным (отрицательным) собственным значениям в Здесь = {ж 6 О : д(х) > (<)0}, f2o = О, \ (Г2+ U Г2—). Наиболее общие результаты, посвященные этим вопросам, появились не так давно в работах М. Фаейрмана [97, 98]. Случай несамосопряженного оператора L был рассмотрен в [98].

Историография вопроса

Уравнение вида (1), не являющееся уравнением соболевского типа, в абстрактной форме исследовалось, например, Р. Билсом, Н.В. Кисловым, В.

Гринбергом, К.В.М. ван дер Ми, П.Ф. Звейфелом, С.Г. Пятковым, П. Гри-варом. Среди методов, применяемых для исследования разрешимости краевых задач для таких уравнений, можно выделить вариационный метод, основанный на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп, метод Фурье (разложение по собственным функциям).

Н.В. Кислов в [50] рассматривал дифференциально-операторные уравнения вида (1) в случае, когда операторы Ь, В симметричные в гильбертовом пространстве Е, причем Ь положительный. Краевая задача (1),

Е+и(0) = Е~и(Т) = и? (Т < оо), (8) где Е+ и Е~ - спектральные проекторы оператора В, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра, исследуется им в вариационной постановке. В работе была доказана некоторая абстрактная теорема типа теоремы Лакса-Мильграма, позволяющая доказывать существование и единственность слабых и сильных решений краевых задач (1), (8). Схема, предложенная Н.В. Кисловым, применима и в случае,, когда оператор Ь диссипативный.

Р. Биле исследовал уравнение (1), когда В - ограниченный, самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Е с кегБ = {0}, {—Ь) положительно определенный, ограниченный и существует ограниченный Ь~1. Поставлены краевые условия (8) и

Е+и(0) = и% (Т = оо). (9)

Были применены два подхода: вариационный и операторно-теоретический. В первом случае краевые условия (8), (9) возникают естественным образом. Доказаны теоремы существования слабого решения задачи (1), (8) и убывающего на бесконечности слабого решения задачи (1), (9). Второй подход является конструктивным и состоит в сведении задач (1), (8) и (1), (9) к задачам (2) и

Р+и(0) = Р~и(Т) = Ут (Т < оо), (8')

Р+и(0) = у$ (Т = оо). (9')

Здесь Р+, Р~ - спектральные проекторы оператора Ь~1В, самосопряженного относительно скалярного произведения (и, у) 1 = (Ьи,у). Решение представлено в явном виде. Эти результаты были обобщены на случай, когда оператор В не предполагается ограниченным, а оператор Ь ограниченный, самосопряженный, неотрицательный с замкнутой областью значений Я(Ь) и конечномерным ядром кег Ь. Дополнительно предполагалось, что В(кегЬ) инвариантно относительно оператора Ь.

В. Гринберг, К.В.М. ван дер Ми и П.Ф. Звейфел [31] искали ограниченное на бесконечности (Т = оо) решение уравнения (1), удовлетворяющее краевому условию (9). Они предполагали, что оператор В - самосопряженный, ограниченный и kerB = {0}, a (-L) - неотрицательный с конечномерным ядром kerL и замкнутой областью значений R(L). Разлагая гильбертово пространство Е в прямую сумму двух других, они свели исходное уравнение к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и к уравнению, к которому применима спектральная теорема [85, 43]. Краевые условия для полученных уравнений были выведены из (9) с помощью некоторого оператора альбедо. Была доказана теорема о безусловной разрешимости уравнения (1) и получено необходимое и достаточное условие единственности решения. Решение уравнения представлено в явном виде.

В работе С.Г. Пяткова [74] рассматривалось операторно-дифференциальное уравнение (1), где L самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в данном комплексном гильбертовом пространстве Е областью определения, В самосопряженный, осуществляющий изоморфизм Е на Е. С помощью теории интерполяции были исследованы свойства собственных функций спектральной задачи (5). Было доказано, что при некоторых дополнительных условиях собственные функции задачи (5) образуют базис Рисса в пространстве Fq = Е. Точнее, было найдено необходимое и достаточное условие базисности и установлены достаточные условия для базисности. Далее, с помощью разложения в ряд по собственным функциям задачи (5) были доказаны теоремы существования и единственности решения задачи (1), (8).

Пусть оператор В обратим и резольвентное множество пучка L — ХВ содержит мнимую ось. Тогда имеем уравнение (2) с оператором А, на расположение спектра которого нет никаких ограничений, кроме р(А) Э Ж. Чтобы применить теорию полугрупп, нужно разделить спектр <j(A) = cr+Ucr", <т+(-) — {А £ & {А) : Recr > (<)0). Под этим подразумевается, что нужно представить исходное пространство в виде прямой суммы инвариантных относительно А подпространств Е+ и Е~ так, что <т+ и а~ суть спектры ограничений оператора А на эти подпространства. Хорошо известно, что если положительная а+ или отрицательная о~ часть спектра ограничена или оператор А самосопряжен и пространство Е гильбертово, то можно провести разделение спектра [43, 47, 85].

Вопросом разделения спектра оператора без дополнительных предположений о самосопряженности оператора А или ограниченности сг+ или сг" занимался П. Гривар [33]. Он рассматривал уравнение (2) с замкнутым линейным оператором А, определенным в банаховом пространстве Е и имеющим на мнимой оси резольвенту с минимальным ростом, т.е.

1Р - А/Щад < ^ для Л е Ж. Ему удалось, используя теорию интерполяции, произвести разделение спектра при выполнении некоторого интерполяционного равенства. Поэтому рассматриваемое уравнение распадалось на два других, для каждого из которых применимы теоремы классической теории полугрупп или результаты известной работы самого автора и Дж. Да Прато [35]. Также П. Гривар исследовал асимптотическое поведение решений.

Дж. Доре и А. Венни [36] тоже исследовали проблему разделения спектра оператора А. Они также предполагали, что оператор А действует в банаховом пространстве Е, замкнут и имеет резольвенту с минимальным ростом на мнимой оси. При этих предположениях найдено необходимое и достаточное условие разделимости спектра в терминах комплексных степеней оператора А.

В работах С.Г. Пяткова [79, 80] также рассматривался вопрос о разделении спектра оператора А в случае, когда Е - пространство Крейна и А 7-диссипативный оператор. Им было получено достаточное условие разделимости в виде некоторого интерполяционного равенства. Причем, если оператор А /-диссипативный, то полученные подпространства Е+ и Е~ являются максимальными семидефинитными подпространствами, инвариантными относительно оператора А.

Проблема выделения максимальных семидефинитных подпространств, инвариантных относительно оператора А, интересна сама по себе и исследовалась многими специалистами в области теории пространств с индефинитной метрикой (см. [9] и имеющуюся там библиографию). В нашем случае вопрос о существовании максимальных семидефинитных подпространств, инвариантных относительно оператора А, возникает в связи со сведением уравнения (1) к уравнению (2) и получением краевых условий типа (8'), (9')

Вопросы базисности собственных и присоединенных элементов задачи (5) стали исследоваться сравнительно недавно. Первыми работами, посвященными этим вопросам, были работа Р. Билса [16], М. Файермана и Г.Ф. Роуча [96], Г.К. Лангера и Б. Чургуса [110], С.Г. Пяткова [72, 74, 75, 77, 80, 81]. В работе Р. Билса [16] рассматривался случай т = п = 1. В работе С.Г. Пяткова [72] L есть эллиптический оператор второго порядка и В - оператор умножения на функцию д(х), обладающую свойством О < 5 < \д(х)\ < М почти всюду в Q. В [74] L эллиптический оператор произвольного порядка и д{х) обладает тем же свойством. В работе М. Файермана и Г.Ф. Роуча [96] L эллиптический оператор второго порядка и д(х) имеет специальное поведение вблизи границ дГ2±. Вопросам базисно-сти посвящены также работы [78, 82, 83, 111, 99]. Отметим также недавно вышедшую книгу [101], где рассматривались в том числе и вопросы ба-зисности и приведены различные условия базисности с.п.э. задачи (5) при т = п — 1 в терминах теории меры.

Для исследования подобных вопросов ранее использовались различные подходы. В нашем случае применима теория дефинизируемых операторов в пространстве Крейна, развитая в работах М.Г. Крейна и Г.К. Лангера, которая и использовалась в ряде работ [110, 111].

Другой подход основан на следующем соображении [16, 51]. Предположим, что оператор L положителен и обратим. Тогда оператор Ь~гВ самосопряжен в пространстве D(L1//2) со скалярным произведением (u,v)i = (L1//2it, Lll2v). Пусть P± - спектральные проекторы этого оператора, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра. Доказательство базисности основано на доказательстве эквивалентности следующих норм

Но = |P|1/2u||, IMIo - ({L-'B^u)1/2 = (В(Р+ - P-)u,u

Этот подход использовался, например, в [16] и ряде других работ.

В работах С.Г. Пяткова использовался подход, основанный на теории пространств с индефинитной метрикой и теории интерполяции банаховых пространств. Им найдены необходимые и достаточные условия, приведены достаточные условия, гарантирующие базисность по Риссу с.п.э. задачи (5).

После этого возник естественный вопрос: существуют ли операторы L, В такие, что собственные функции задачи (5) не образуют базис Рисса в пространстве Fo? Первый пример такой функции, меняющей знак бесконечное число раз, был представлен С.Г. Пятковым в [77]. Еще один пример был построен А. Флейге [102]. Недавно X. Волкмер [24] установил некоторые результаты о плотности в случае m = 1 и n = 1. В частности, он доказал, что множество функций g £ Li)0(—1,1), для которых собственные функции задачи (5) не образуют базис Рисса, плотно в Lij0(—1,1). Здесь -£а,о(~1>1) подмножество Zq(—1,1), состоящее из нечетных, положительных при х > 0 функций. К сожалению, это доказательство, основанное на теореме Бэра о категориях, не было конструктивным и его статья не содержит нового примера.

Краткое содержание диссертации

Опишем содержание работы. В первой главе рассматриваются краевые задачи для уравнения (3) в случае, когда оператор В самосопряжен в пространстве Е и оператор L равномерно диссипативен. Сначала вводится одно специальное пространство, из которого мы и ищем решение краевых задач для (3). Доказывается ряд теорем о свойствах этого пространства: теорему о плотности в нем гладких функций, теоремы о следах, формулу интегрирования по частям. Далее, учитывая полученные утверждения, доказана разрешимость ряда краевых задач для уравнения (3). Для этого модифицируется вариационный метод, предложенный Н.В. Кисловым. Затем при выполнении дополнительного условия (некоторого интерполяционного равенства) установлено, что полученное решение единственно. Наконец, вводя дополнительное условие на операторы B(t), L(t) и увеличивая гладкость данных задачи по переменной t, мы получаем более гладкое по переменной t решение нашей задачи. При выполнении дополнительных условий на операторы Bit), L(t), гладкость решений по переменной t повышается и далее. Заметим, что мы получаем гладкость решений в некоторых весовых пространствах и избавиться от веса мы не можем в том смысле, что имеются уравнения вида (3), для которых краевая задача имеет гладкое решение (без веса) лишь при выполнении конечного или бесконечного количества дополнительных условий типа ортогональности для правой части и граничных данных.

Во второй, основной, главе предполагается, что в уравнении (1) операторы L, В не зависят от t и условие равномерной диссипативности ослаблено, требуется лишь, что Re(—Lu, и) > £||it||2 для всех и € D(L) П М (М - некоторое подпространство конечной коразмерности). В случае Т < оо мы доказываем теоремы о разрешимости, единственности и гладкости с помощью метода е-регуляризации, состоящего в том, что оператор L приближается семейством равномерно диссипативных операторов L — е. Но в случае Т = оо ослабление условия равномерной диссипативности существенно осложняет исследование краевых задач. Мы ищем убывающие и ограниченные на бесконечности решения. Наши рассуждения позволяют искать и решения, полиномиальным образом ведущие себя на бесконечности. Метод исследования состоит в разложении исходного пространства в прямую сумму некоторых подпространств. Сначала мы представляем все пространство в виде прямой суммы ядра оператора В и некоторого дополнения. Тогда на этом дополнительном подпространстве определен 3-диссипативный оператор А = В~гЬ, т.е.

Ие[- Аи, > 0.

Причем спектр этого оператора, лежащий на мнимой оси, состоит из конечного числа нормальных собственных значений. Поэтому определен проектор Рисса оператора А, соответствующий мнимой части спектра. Таким образом, получаем еще два подпространства, одно из которых конечномерно, и, значит, мы приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а на другом мы имеем уравнение вида (2) с «/-диссипативным оператором Аь в правой части. Поскольку резольвента оператора Аь имеет на мнимой оси минимальный рост, то оказалось возможным применить результаты П. Гривара и других авторов о разделении спектра. Таким образом, уже получаем два оператора А^ и А^, спектры которых лежат в левой и правой полуплоскостях соответственно. Тогда из классической теории полугрупп мы имеем представление решения уравнения (2). Начальные условия для получаемых задач вытекают из данного условия с помощью специального изоморфизма пространства (в теории переноса этот изоморфизм называется оператором альбедо). Для построения этого изоморфизма мы выделяем некоторые се-мидефинитные, инвариантные относительно оператора А подпространства пространства ^о- Затем мы рассматриваем вопрос о единственности решения задачи и устанавливаем критерий единственности. Заметим, что случай операторов, зависящих от t, в данной ситуации требует сложных дополнительных рассмотрений и может быть темой отдельной работы. Полученные результаты применимы к уравнениям в частных производных, к интегро-дифференциальным уравнениям теории переноса.

В третьей главе исследуются краевые задачи для уравнения (4) с монотонным оператором •). Были доказаны теоремы о плотности и о следах для пространства решений уравнения (4). Затем установлена разрешимость ряда краевых задач для этого уравнения. Метод исследования в данном случае является классическим, основанным на свойстве монотонности оператора •). Полученные результаты применяем к квазилинейным уравнениям в частных производных.

Наконец, в последней главе мы описываем специальный класс нечетных функций д, плотный в 1,1), для которых собственные функции задачи (5) не образуют базис Рисса. Кроме того, мы покажем, что результат X.

- 21

Волкмера остается справедливым, если даже заменить конус Li}0(—1,1) на конус С10[—1,1] (подмножество С1[—1,1], состоящее из нечетных положительных при х > 0 функций). Также строятся функции д в случае п > 1, для которых собственные функции задачи (5) не образуют базис Рисса.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора A.M. Блохина, на семинаре профессора В.Н. Врагова, на семинаре профессора Т.Н. Зеленяка, на Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" в 1997 г., на Международной конференции "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс" в 1999 г., на Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике в 1998, 2000 гг.

Благодарности

Хочу искренне поблагодарить моего научного руководителя профессора Сергея Григорьевича Пяткова за чуткое руководство, ценные советы и консультации.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 97-01-00894, 99-01-00621).

1. Абашеева H.J1. Контрпримеры для задачи Штурма-Лиувилля с незнакоопределенной весовой функцией // Материалы XXXV Меж-дунар. науч. студенческой конф. "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1997. С. 3.

2. Abasheeva N.L., Pyatkov S.G. Counterexamples in indefinite Sturm-Liouville problems // Sib. Adv. Math. 1997. V. 7, N 4. P. 1-8.

3. Абашеева H.JI. Контрпримеры для незнакоопределенной задачи Штурма-Лиувилля // Тез. докл. III Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике, ч. IV. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1998. С. 3.

4. Абашеева Н.Л. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциального уравнения первого порядка // Тез. докл. Между-нар. конф. "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс". Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1999. С. 61.

5. Абашеева Н.Л. Краевая задача для операторно-дифференциального уравнения первого порядка // Тез. докл. IV Сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике, ч. I. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. С. 40.

6. Абашеева Н.Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. 60 с. (Препринт N 9).

7. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986. 352 с.

8. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une equation d'évolution changeante de type // J. Funct. Anal. 1968. V.2, N 3. P. 352-367.

9. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965. 800 с.

10. Beals R. On an equation of mixed type from electron scattering // J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 58, N 1. P. 32-45.

11. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering // J. Funct. Anal. 1979. V. 34, N 1. P. 1-20.

12. Beals R. Partial-range completeness and existence of solutions to two-way diffusion equation // J. Math. Phys. 1981. V. 22, N 5. P. 954-960.

13. Beals R. and Protopescu V. Half-range completeness for the Fokker-Planck equation // J. Stat. Phys. 1983. V. 32, N 3. P. 565-584.

14. Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness // J. Differ. Equations. 1985. V. 56, N 3. P. 391-408.

15. Binding P., Najman B. A variotional principle in Krein spaces // Trans. Am. Math. Soc. 1994. V. 342, N 2. P. 489-499.

16. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ. 1977. С. 5-59.

17. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. 158 с.

18. Van der Мее C.V.M. Semigroups and factorization methods in transport theory. Amsterdam: Math. Centre Tract., 1981. N 146.

19. Webb G. A model of proliferating cell population with inherited cycle length // J. Math. Biol. 1986. V. 23. P. 269-282.

20. Weyl H. Uber gewônliche lineare Differentialgleichungen mit singulàren Stellen und ihre Eigenfunctionen // Nachr. Akad. Wiss. Gôtt, II. Math.-Phys. Kl. 1910. P. 442-467.

21. Weinberger H.F. Variational methods for eigenvalue approximation. CBMS Regional Conf. Ser. Appl. Math. V. 15. SIAM, Philadelphia, Penn., 1974.

22. Volkmer H. Sturm-Liouville problems with indefinite weights and Eve-ritt's inequality // Proc. R. Soc. Edinb, Sect A. 1996. V. 126. P. 10971112.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. M: Наука, 1988. 576 с.

24. Hilbert D. Grunzuge einer allgemeinen théorie der linearen intergleichungen. New York: Chelsea, 1953.

25. Гохберг И.Ц., Крейн M.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. // Усп. мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 2. С. 43-118.

26. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 448 с.

27. Greenberg W. Functional calculus for the symmetric multigroup transport operator // J. Math. Phys. 1976. V. 17. P. 159-162.

28. Greenberg W., Van der Мее C.V.M., and Protopopescu V. Boundary value problems in abstract kinetic theory. Basel: Birkhäuser, 1987.

29. Greenberg W., Van der Мее C.V.M. and Zweifel P.F. Generalized kinetic equations // Integral Equations Oper. Theory. 1984. V. 7, N 1. P. 60-95.

30. Grisvard P. Commutative de deux functeurs d'interpolation et applications //J. Math. Pures Appl, IX Sér. 1966. T. 45, fasc. 2. P. 143-206.

31. Grisvard P. An approach to the singular solutions of elliptic equations via the theory of differential equations in Banach spaces // Differential Equations in Banach Spaces. Lect. Notes Math. 1986. V. 1223. P. 131156.

32. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

33. Da Prato G., Grisvard P. Sommes d'opératours linéaires et équations différentielles opérationelles // J. Math. Pures Appl., IX Sér. 1975. T. 54, fasc. 3. P. 305-387.

34. Dore G., Venni A. Separation of two (possibly unbounded) components of the spectrum of a linear operator // Integral Equations Oper. Theory. 1989. V. 12, N 4. P. 470-485.

35. Egorov I.E. On smoothness of a solution to a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Мат. заметки ЯГУ, 1995. Т. 2, вып. 1. С. 98-104.

36. Egorov I.E. Solvability of a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation of mixed type // Мат. заметки ЯГУ, 1995. Т. 2, вып. 2. С. 61-72.

37. Gevrey М. Sur les equations aux derives partelles du type parabolique // J. Math. Appl. 1913. V. 9, N 6. P. 305-475.

38. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при старшей производной / / Диф-фер. уравн. примен. 1976. Вып. 14. С. 21-39.

39. Ильин В.А. О безусловной базисности на замнутом интервале систем собственных и присоединенных векторов дифференциальных операторов второго порядка // Докл. Акад. наук СССР. 1983. Т. 273, N 5. С. 1048-1053.

40. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Диф-фер. уравн. 1986. Т. 22, N 12. С. 2059-2071.

41. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

42. Kaper H.G., Lekkerkerker C.G., Zettl A. Linear transport theory and an indefinite Sturm-Liouville problem // Conf. on Ordinary and Partial Differential Equations, Dundee. Lect. Notes Math. 1982. V. 964. P. 326361.

43. Kaper H.G., Kwong M.K., Lekkerkerker C.G., Zettl A. Full and partial-range eigenfunction expansions for Sturm-Liouville problems with indefinite weights // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1984. V. 98, N 12. P. 69-88.

44. Case K.M. and Zweifel P.F. Linear transport theory. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969.

45. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с.

46. Cercignani С. Mathematical Methods in kinetic theory. New York: Pergamon Press, 1969.

47. Кислов H.B. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл. Акад. наук СССР. 1980. Т. 255, N 1. С. 26-30.

48. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально -операторного уравнения смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т. 125, вып. 1. С. 19-37.

49. Klaus М., Van der Мее C.V.M. and Protopopescu V. Half-range solutions of indefinite Sturm-Liouville problems // J. Funct. Anal. 1987. V. 70, N 2. P. 254-288.

50. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990. 132 с.

51. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка // Функц. анал. прилож. 1975. Т. 9, N 4. С. 28-40.

52. Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки // Тр. семин. им. И.Г. Петровского. 1981. Вып. 6. С. 97-146.

53. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 500 с.

54. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 464 с.

55. Крейн С.Г., Осипов В.Б. Функции Ляпунова и задача Коши для некоторых систем уравнений в частных производных // Диффер. уравн. 1970. Т. 6, N 11. С. 2053-2061.

56. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space // SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4, N 4. P. 623-637.

57. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Янеико Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

58. Latrach К. Compactness properties for linear transport operator with abstract boundary conditions in slab geometry // Transp. Theory Stat. Phys. 1993. V. 22. P. 39-65.

59. Latrach K. and Mokhtar-Kharroubi M. On an unbounded linear operator arizing in the theory of growing cell population // J. Math. Anal. Appl. 1997. V. 211. P. 273-294.

60. Latrach K. and Mokhtar-Kharroubi M. Spectral analysis and generation results for streaming operator with multiplying boundary conditions // Positivity. 1999. V. 3, N 3. P. 273-296.

61. Левендорский С.З. Асимптотика спектра линейных операторных пучков // Мат. сб. 1984. Т. 124, N 2. С. 251-271.

62. Lekkerkerker C.G. The linear transport equation. The degenerate case с — 1. I. Full-range theory. II. Half-range theory // Proc. Edinb. Math. Soc., Sect. A 75. 1975. P. 259-282. 1976. P. 283-295.

63. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 588 с.

64. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971. 372 с.

65. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986.

66. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // Докл. Росс. Акад. наук. 1994. Т. 336, N 1. С. 17-20.

67. Осипов В.Б. Об одном уравнении в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной // Сб. работ асп. по мат. и мех. Воронеж, ун-та. 1968. С. 42-47.

68. Pagani C.D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. Mat. Рига Appl., IV Ser. 1971. T. 90, N 4. S. 1-58.

69. Pleijel A. Sur la disribution des valeurs proptes de problèmes regis par l'équation Au + \k(x,y)u = 0 // Ark. Mat., Astr. Fysik. V. 29 B, N 1. P. 1-8.

70. Пятков С.Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. СО АН СССР. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1984. С. 115-130.

71. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. Акад. наук СССР. 1985. Т. 285, N 6. С. 1322-1327.

72. Пятков С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сиб. матем. ж. 1989. Т. 30, N 4. С. 111-124.

73. Пятков С.Г. Разрешимость краевых задач для одного ультрапараболического уравнения // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. науч. тр. СО АН СССР. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1990. С. 182-197.

74. Пятков С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков // Мат. заметки. 1992. Т. 51, вып. 1. С. 141-148.

75. Pyatkov S.G. Some properties of eigenfunctions of linear pencils and applications to mixed type operator-differential equations // Banach Cent. Publ. Warszawa, 1992. V. 27, part 2. P. 373-382.

76. Pyatkov S.G. Maximal semidefinite invariant subspaces for some classes of operators // Conditionally well-posed problems. Moscow, Utrecht: TVP/TSP, 1993. P. 336-338.

77. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков // Мат. сб. 1994. Т. 185, N 3. С. 93-116.

78. Pyatkov S.G. Elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Sib. Adv. Math. 1994. V. 4, N 2. P. 87-121.

79. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. матем. ж. 1998. Т. 39, N 2. С. 409-426.

80. Pyatkov S.G. Interpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems // Oper. Theory, Adv. Appl. Birkhauser Verlag Basel-Switzerland, 1998. V. 102. P. 179-200.

81. Радбель Н.И. О начальном многообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = 0 // Диффер. уравн. 1979. Т. 15, N 6. С. 1142-1143.

82. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. 588 с.

83. Richardson R.G.D. Theorems of oscillation for two linear differential equations of the second order with two parameters // Trans. Am. Math. Soc. 1912. V. 13, N 1. P. 22-34.

84. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx{t) — f(t) // Диффер. уравн. 1975. Т. И, N 11. С. 1996-2010.

85. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Усп. мат. наук. 1994. Т. 49, N 4. С. 47-74.

86. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. ж. 1995. Т. 36, N 5. С. 1130-1145.

87. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старших производных // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, N 9. С. 1516-1526.

88. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.

89. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

90. Favini A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. Mat. Appl. 1979. V. 12, N 3-4. P. 511-536.

91. Favini A. An operational method for abstract degenerate evolution equations of hiperbolic type // J. Funct. Anal. 1988. V. 76. P. 432-456.

92. Favini A, Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. Pure Appl. Math., Marcel Dekker. 215, New-York, 1999.

93. Faierman M., Roach G.F. Full and half-range eigenfunctions expansion for an elliptic boundary value problem involving an indefinite weight / / Proc. 1987 Equadiff Conf. Lect. Notes Pure Appl. Math. Dekker, New-York and Basel, 1989. V. 118. P. 231-236.

94. Faierman M. Elliptic problems involving an indefinite weight // Trans. Am. Math. Soc. 1990. V. 320, N 1. P. 253-279.

95. Faierman M. Nonselfadjoint elliptic problems involving an indefinite weight // Commun. Partial Differ. Equations. 1990. V. 15, N 7. P. 939982.

96. Fleige A. The "Turning Point Condition" of Beals for Indefinite Sturm-Liouville Problems // Math. Nachr. 1995. V. 172. P. 109-112.

97. Fleige A. Spectral Theory of Indefinite Krein-Feller Differential Operators. Math. Res. V. 98, Berlin: Akad. Verl. 1996.

98. Fleige A. A Counterexample to completeness Properties for Indefinite Sturm-Liouville Problems // Math. Nachr. 1998. V. 190. P. 123-128.

99. Fleckinger J., Lapidus M.L. Eigenvalues of elliptic boundary value problems with an indefinite weight function // Trans. Am. Math. Soc. 1986. V. 295, N 1. P. 305-324.

100. Fleckinger J. and Mingarelli A.B. On the eigenvalues for some nondefinite elliptic operators // North-Holland Math. Stud. 1984. V. 92. P. 219-227.

101. Haupt O. Untersuchungen über oszillationstheoreme. Leipzig: Teubner, 1911.- 108

102. Hess P. On the relative completeness of the generalised eigenvectors of elliptic eigenvalue problems with indefinite weight function // Math. Ann.1985. V. 270, N 3. P. 467-475.

103. Hilb H. Eine erweiterung des kleinschen oszillationstheoreme // Jahres-ber. Dtsch. Math.-Ver. 16. P. 279-285.

104. Holmgren E. Uber randwertaufgaben bei einer linearen differentialgleichung zweiter ordnung // Ark. Mat., Astr. Fysik. 1904. V. 1. P. 401-417.

105. Чистяков В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы //В кн. Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск,1986. С. 123-128.

106. Curgus В., Langer Н. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function //J. Differ. Equations. 1989. V. 79, N 1. P. 31-61.

107. Curgus В., Najman B. A Krein space approach to elliptic eigenvalue problems with indefinite weights // Differ. Integral Equ. 1994. V. 7, N 5/6. P. 1241-1252.

108. Шкаликов А. А. О принципах отбора и свойствах части собственных и присоединенных элементов пучков операторов // Вестн. Моск. унив. Сер. матем., механ. 1988. Вып. 4. С. 16-25.

109. Шкаликов А.А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи связанные с ними // Тр. семин. им. И.Г. Петровского. 1989. Вып. 14. С. 140-224.

110. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Рас. J. Math. 1969. V. 31, N 3. P. 787-793.