Спектральная классификация дифференциально - операторных иррегулярных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Дифференциально - операторные уравнения

1.1 Метод модельных операторов

1.1.1 Операторные уравнения и модельные операторы

1.1.2 Операционное исчисление для оператора Ь

1.2 граничные задачй и операторные уравнения

1.2.1 Типы иррегулярностей.

1.2.2 Иррегулярные уравнения и граничные задачи

1.2.3 П-операторы.

2 Дифференциальные операторы первого порядка

2.1 Иррегулярные уравнения первого типа

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Нелокальная задача; спектр • 2.1.3 Нелокальная задача; свойства ССФ

2.1.4 "Прямая" задача Коши; спектр

2.1.5 "Прямая" задача Коши; свойства ССФ

2.1.6 "Обратная" задача Коши; спектр

2.2 Иррегулярные уравнения второго типа

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Задача Коши; свойства решений

2.2.3 "Прямая" задача Коши; спектр

2.2.4 "Обратная" задача Коши; спектр.

2.2.5 "Прямая" задача Коши; свойства ССФ

2.2.6 Нелокальная задача; пространства ]¥а

2.2.7 Нелокальная задача; свойства решений.

2.2.8 Нелокальная задача; спектр

2.2.9 Нелокальная задача; свойства ССФ

3 Операторные уравнения первого порядка

3.1 Иррегулярные уравнения первого типа.

3.1.1 Оператор а£аД + А\ спектр

3.1.2 Оператор аРД + А; свойства ССФ

3.1.3 Оператор а£аД + А; некоторые примеры . . :

3.2 Иррегулярные уравнений второго типа

3.2.1 Оператор а(£)Д + А; спектр

3.2.2 Оператор а(£)Д + свойства ССФ.

3.2.3 Оператор а(Ь)Д + А\ некоторые примеры

4 Дифференциальные операторы второго порядка

4.1 Иррегулярные уравнения первого типа

4.1.1 Задача Дирихле; спектр.

4.1.2 Задача Дирихле; свойства ССФ

4.2 Иррегулярные уравнения второго типа

4.2.1 Задача Бицадзе-Самарского; спектр

5 Операторные уравнения второго порядка

5.1 Иррегулярные уравнения первого типа

5.1.1 Оператор а£аД2 + А\ спектр

5.1.2 Оператор а^В] + А; свойства ССФ

5.2 Иррегулярные уравнения второго типа . . . . . . . . 195 5.2.1 Оператор а(£) • Д2 + А\ спектр

где ахЫа1, если £ < 0;

А(Ь) = если £ > 0,

Диссертация посвящена спектральной классификации иррегулярных линейных дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства. Другими словами, в диссертации в каждом отдельном случае исследуется функциональная зависимость спектральных свойств изучаемой граничной задачи от параметров задачи.

Используя абстрактную форм|у записи, изучаемые (операторные) уравнения можно записать й виде

Ьи +А(£)г/ = /, (0.1) фАи если £ < 0; если £ > 0.

Операторная форма записи (0.1) целесообразна в том смысле, что она позволяет взглянуть на соответствующие уравнения безотносительно к их типу, т.е. независимо от того, является Ь обыкновенным дифференциальным оператором (А(£), а(£) -комплексные функции), или Ь-оператор в частных производных (Л(£) и (или) а(Ь) -операторные функции, действующие в некотором комплексном гильбертовом или банаховом пространстве). Следует отметить, что основой подхода, используемого в диссертации, является теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. При этом, как условия разрешимости, так и свойства решений той или иной граничной задачи описываются либо в терминах свойств спектра, либо в терминах свойств системы собственных функций (ССФ) замкнутого оператора Ь, сопоставляемого задаче.

Поясним сказанное. Присоединив к уравнению, изучаемому на некотором множестве значений переменного систему условий

Ти = 0, (0.2) описывающую поведение функции и = и{Ь) в граничных точках этого множества, получим граничную задачу. Понятие обобщенного решения, введённое С.Л.Соболевым [83], позволило рассматривать граничную задачу как некоторый замкнутый оператор, действующий в соответствующим образом подобранном функциональном пространстве. Определив понятие решения, получим оператор Ь, о котором шла речь выше. При этом, если оператор Ь является правильным [24, стр. 51], то граничная задача объявляется регулярной.

Отличительной чертой проводимых исследований является изучение существенных связей между спектральной теорией линейных операторов с общим описанием регулярных граничных задач. Отметим, что идея описания (построения) регулярных граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных безотносительно к их типу ". принадлежит М. И. Вишику [13]. В общем виде оно было проведено Хёрмандером [100]." [18, стр.465]. Однако оно не эффективно в том смысле, что не даёт инструмента для описания граничных условий в общепринятом понимании.

Исследуя ультрагиперболические уравнения, А. А. Дезин [19] построил для них правильные операторы, используя так называемые нелокальные граничные условия. Он также предложил [20], [23] использовать условия такого вида при построении регулярных граничных задач для произвольной линейной дифференциальной операции с постоянными коэффициентами. Этому посвящены работы [60], [77]. Отметим также, что вопросы построения регулярных граничных задач изучались в работах Т. Ш. К^льменова [37], Б. К. Кокебаева [46], А. Н. Шыныбекова [98]. В частности, в [46] описаны регулярные граничные задачи для псевдопараболического и ультрагиперболического операторов. Причём, при построении использовались спектральные свойства оператора, порождённого задачей Бицадзе - Самарского [10] для оператора Лапласа. Таким образом, проблема существования регулярных граничных задач в («рлучае постоянных коэффициентов решёна полностью. Однако1 задача явного описания всех граничных условий для общих дифференциальных операций, приводящих к регулярной граничной задаче, по-видимому, ещё далека от решения.

Значительно большие трудности возникают при изучении граничных задач для операций с переменными коэффициентами. Важные результаты в этом направлении, связанные с совпадением слабых и сильных расширений дифференциальных операций с переменными коэффициентами, принадлежат А. А. Дезину [18], [24], К. О. Фридрих-су [101], [102], Л. Хёрмандеру [93], [94]. С другой стороны, в случае обыкновенной дифференциальной операции с достаточно гладкими коэффициентами в [22] явно описан весь класс регулярных граничных задач. Отметим, что в последние годы внимание математиков привлекают так называемые нестандартные задачи [27]. С позиций теории правильных операторов нестандартные задачи можно описать с помощью правильных сужений или разрешимых расширений ,[24] соответствующих дифференциальных операций. Исследованию спектральных свойств правильных сужений и разрешимых расширений посвящены работы Б. Р. Биярова [12], X. Т. Отарова [72].

Вернёмся еще раз к уравнению (0.1) и сделаем важное замечание относительно приложений проводимых исследований. Именно, ограничения, накладываемые на А(£) и а(£), таковы, что объектами исследований становятся как вырождающиеся уравнения, так и уравнения смешанного типа. Примером соответствующего дифференциального уравнения в частных производных, попадающего в поле наших исследований, может служить уравнение

8ёпг Щад + Д,и(*, х) = Л«(*, х) + /(*, х) со спектральным параметром Л, где Ах - самосопряженный полуограниченный эллиптический оператор [92], порождённый регулярной граничной задачей в ограниченной области О с достаточно гладкой границей, (г, я) 6 = Ц х П, 0 е%, к = 1,2.

Теория граничных задач для уравнений смешанного типа берёт своё начало от фундаментальных исследований итальянского математика Ф. Трикоми, опубликованных в серии работ начиная с 1923г. Для модельного уравнения (уравнения Трикоми) им была изучена регулярная граничная задача (задача Трикоми). Позднее в работах И. Н. Векуа, Л. И. Седова, Ф. И. Франкля, С. А. Чаплыгина и др. проявились многочисленные физические приложения соответствующих исследований. Задача Трикоми и её естественные обобщения (см., например, [9], [85]) стали, например, теоретической основой трансзвуковой газадинамики. А в дальнейшем-теории малых изгибаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории изгибов пластинки переменной толщины с острым углом. Проблемы теории уравнений смешанного типа и связанные с ней задачи привлекли внимание математиков различных стран мира. В первую очередь следует упомянуть исследования К. И. Бабенко, А. В. Бицадзе, В. Н. Врагова, С. Геллерстедта, Т. Д. Джураева, М. А. Лаврентьева, А. М. Нахуйева, М. С.Салахитдинова, М.М.Смирнова, в которых были сформулированы и исследованы другие регулярные граничные задачи для уравнений смешанного типа.

Проводимые исследования, естественно, привели к более детальному изучению свойств решений уравнений, вырождающихся на границе области. Работа М.В.Келдыша [41], посвященная изучению эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, послужила началом большой серии работ в этом направлении. В частности, она стала опорным пунктом, позволившим в [26], с одной стороны, ввести классификацию уравнений в частных производных на так называемые ьно и слабо иррегулярные уравнения. А с другой стороны, показать в терминах спектральной теории линеиных операторов целесообразность сравнительного изучения свойств решений граничных задач для соответствующих друг другу иррегулярных уравнений. Типичными представителями сильно и слабо иррегулярных уравнений являются Нижеследующие/уравнения пд2и д2и ди ,ди „, ' /л .

III д2и . 1пд2и ди ■ ди ■ . 1Ч

• ^ + + + = (0.4) рассматриваемые над открытым множеством, замыкание которого имеет непустое пересечение с прямой t = 0.

Спектральная теория операторов, порождённых граничными задачами для таких уравнений, начала развиваться сравнительно недавно в работах Т. Ш. Кальменова [35] - [37], Е. И. Моисеева [64], [67], I

С.М.Пономарева [73], [74] и ряда других авторов. В диссертации, в частности, исследован спектр оператора, порождённого задачей Би-цадзе - Самарского для уравнения Лаврентьева-Бицадзе д2и д2и „, л

Причём, полученные результаты о точечном спектре примыкают к теории Биркгофа [87] нахождения асимптотики собственных значений обыкновенных дифференциальных операторов. Существенной особенностью является экспоненциальная точность (в отличии от степенной у Биркгофа) соответствующей асимптотики. Отметим, что исследование спектра оператора, порождённого изучаемой задачей, напрямую связано с проблемой описания граничных условий для заданной операции в частных производных, приводящих к регулярной граничной задаче (правильному оператору).

Помимо спектра немаловажную роль в изучении поставленной граничной задачи играют свойства всей или части совокупности её собственных функций. Например, при попытках исследовать решение рассматриваемой граничной задачи с помощью линейных комбинаций этих функций или при построении решения неизбежно возникает вопрос о свойствах ССФ в некотором банаховом пространстве, т.е. вопрос о полноте, минимальности, базисности и тому подобных системных свойствах этого набора. С другой стороны, "базисные" свойства ССФ необходимы всякий раз при использовании метода разделения переменных при решении некоторых задач математической физики и механики, когда приходится апроксимировать граничные значения решения по некоторой совокупности собственных функций соответствующего оператора. Свойства ССФ в связи е изучением вопросов спектральной теории дифференциальных операторов изучали А. В.Бицадзе [8], А. А.Дезина [26], В.А.Ильин [32], [33], Н. И. Ионкин [34], Н. Ю. Капустин [39], Г. М. Кесельман [42], В. П. Михайлов [62], Е.И.Моисеев [65], [66], [68], [39], С.М.Пономарёв [73], С. Г.Пятков [75], [76], А. А. Шкаликов [97]. Системные свойства экспонент, синусов и косинусов изучали Б.Т.Билалов [5]-[7], Г.£.Дев-, . * » дариани [28], [29]. Соответствующие исследования нашли своё отражение в предлагаемой работе.

Резюмируя вышесказанное молено сказать, что в настоящее вр'е-мя изучены спектры и свойства системы собственных функций ряда граничных задач в банаховых пространствах лишь для некоторых модельных уравнений указанных типов [67]. В связи с этим, изуче

1 ; ние вопросов спектральной теории для рассматриваемых типов уравнений математической физики - перспективного и интенсивно развивающегося направления современной математики, является важной задачей. Одной из целей, преследуемых диссертантом, являлась выроботка единых подходов к изучению спектра граничных задач для модельных вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа, изучаемых с позиций дифференциально - операторных уравнений. При этом за основу брались дифференциально - операторные уравнения первого и второго порядков по выделенной переменной Напомним, что зачастую уравнение (0.1) при соответствующих требованиях на операторы А^), а(¿) называют дифференциально -операторным уравнением порядка к.

Отметим еще раз, что объекты, изучаемые нами, являются модельными в том смысле, что выделены они при максимально упрощающих реальные физические задачи предположениях. Тем не менее, как это следует из перечисленных выше работ, даже для модельных уравнений такие вопросы спектральной теории дифференциальных уравнений, как изучение структуры спектра и распределения собственных значений граничных задач на комплексной плоскости, построение1-собственных и присоединённых функций, исследование полноты и базисности систем таких функций в различных функциональных пространствах, которые имеют важные приложения, являются достаточно трудными и требуют специальных исследований. РассмоI тренные модельные ситуации позволяют глубже понять и осмыслить природу ряда специфических явлений, присущих реальным объектам, и дать достаточно содержательные ответы на поставленные вопросы.

Построение спектральной теории граничных задач для дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и в частных производных, по-видимому, невозможно без привлечения современной теории дифференциальных уравнений, использующей идеи й методы функционального анализа. Последние позволяют построить более стройную теорию, а также получить наиболее полные и содержательные результаты. Излагаемая работа, опирающаяся в большей степени на методы функционального анализа, посвящена сравнительному изучению спектральных характеристик граничных задач для некоторых общих дифференциальных операций Ь(И) первого и второго порядков по выделенной переменной t. При анализе спектральных I характетистик используются методы, основанные на аналитических свойствах функций Грина, изучаемых граничных задач; свойствах интегральных уравнений с симметрическим ядром; асимптотических методах (нахождения нулей, разложения, поведения в окрестности некоторых "точек") для аналитических функций.

При изучении поставленных вопросов для уравнений в частных производных используется метод модельных операторов (ММО), являющийся обобщением классического метода разделения переменных (см. [90], [36], [70]) восходящего к работам Ж. Фурье. Соответствующий подход при изучении ряда принципиальных вопросов теории граничных задач для уравнений в частных производных впервые был применён в работах [19]- [21], а в дальнейшем в работах А.Х.Мамян [60], [61], В. К. Романко [77]-[82], Л.П.Тепоян [88], [89] и ряда других авторов. Отметим, что ММО является одним^ из инструментов исследования свойств граничных задач для неклассичеI ских« уравнений в частных производных. Опишем принципиальную схему исследований.

Рассматриваемый в работе класс граничных задач сводится стандартным приёмом ММО к изучению соответствующего специального класса дифференциально-операторных уравнений. Коэффициентами таких уравнений служат линейные замкнутые неограниченные операторы с плотцой областью определения и вполне определёнными свойствами. Обычно (В. И. Корзюк, Н. И. Юрчук [47], Н. И. Юрчук [99], В. И. Чесалин, Н. И. Юрчук [96]) при рассмотрении дифференциально-операторных уравнений предположения относительно входящих в уравнение операторов носят такой характер, что их спектр располагается в фиксированном секторе комплексной плоскости. Последнее диктуется спецификой рассматриваемых задач и применяемыми методами исследований. Ограничения, накладываемые нами на спектральные свойства рассматриваемых операторов, тоже достаточно жёсткие, но носят другой характер. Они не исключают произвола в расположении спектра на комплексной плоскости. Используемый класс операторов является очень специальным, но он всё же достаточно богат, что позволяет применить единый подход к различным граничным задачам и охватить уравнения в частных производных как классических, так и неклассических типов.

Изучаемые в работе задачи содержат классические задачи сопряжения для уравнений смешанного типа и для уравнений классических типов с разрывными коэффициентами. Задачи сопряжения ргшее изучали Н. X. Агаханов [1], [2], В. А. Ильин [31], Л. И. Камынин, В. Н. Масленникова [38], В. К. Романко [78] - [80] и ряд других авторов. Задачам сопряжения для дифференциально - операторных уравнений смешанного типа посвящены работы Н. В. Кислова [43], [44]. Отметим, что здесь изучены свойства слабых решений граничных задач для двучленных дифференциально - операторных уравнений произвольного порядка по

Сделаем несколько замечаний о структуре и оформлении диссер тации. Главы диссертации разбиты на пункты; пункты - на подпункты. Формулы и высказывания типа теорем, лемм и т.д. нумеруются по главам двумя числами, первое из которых есть номер главы. Чи- ' ело в квадратных скобках означает ссылку на соответствующий источник в списке литературы, помещённой в конце диссертации. Использование знака "открытой двери" □ означает начало, а; "знака

Халмоша" ■-конец доказательства. Отсутствие знака □ , а вместе ■ ! с ним и текста между знаками □ и ■, означает, что доказательство либо было проведено ранее, либо оно очевидно, либо даётся ссылка на источник, содержащий доказательство приведённого высказывания. Определения не всегда выделены в специальный абзац. В этом случае определяемое понятие набирается курсивом.

Перейдём к краткому изложению содержания диссертации состоящей из введения, пяти глав и списка литературы, вынесенных в оглавление. В оглавление вынесены1 также пункты и подпункты.

Введение. Обосновывается актуальность темы исследований, даётся предыстория затрагиваемых вопросов, а также кратко излагаются основные результаты диссертации.

1. АгахановН.Х. О задачах сопряжения для уравнений третьего порядка // Дифференц. уравнения.-1986.-Т. 22, №5,-С. 813823.

2. АгахановН.Х. Свойства решений задач сопряжения для некоторых иррегулярных уравнений // Мат. заметки. -1987.-Т. 42,2.-С. 235-243.

3. БерезанскийЮ. М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов // Киев.: Наукова Думка, 1965.-798с.

4. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения- М.: Наука, 1975.-480с.

5. БилаловБ.Т. О равномерной сходимости рядов по одной системе синусов // Дифференц. уравнения.-1988.-Т. 24, №1.-С. 175-177.

6. Билалов Б. Т. Базисность некоторых систем функций // Дифференц. уравнения.-1989.-Т. 25, №1.-С. 163-164.

7. БилаловБ.Т. Базисные свойства систем собственных функций некоторых дифференциальных операторов и их обобщения: Ав-тореф. дисс. .доктора физ.-мат. наук, М., МГУ. -1995. -25с.

8. БицадзеА.В. Об одной системе функций // Успехи математических наук.-1950.-Т. 5, вып. 4(38).-С. 154-155.

9. БицадзеА.В. Уравнения смешанного типа-М.: АН СССР, 1959.-164с.

10. БицадзеА. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР.-1969.-Т. 185, №4.- С, 739-741.

11. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных-М.: Наука, 1981.-448с.

12. БияровБ.Н. О спектральных свойствах корректных сужений и расширений одного класса дифференциальных операторов: Ав-тореф. дисс. .канд. физ.-мат. наук. Алма-Ата, ИМиМ АНКаз ССР.-1989.-18с.

13. ВишикМ.И. Об общих краевых задачах для эллиптических$дифференциальных уравнений // Труды Московского математического общества.-1952.-Т. 1-С. 187-246.

14. Владимиров В. С. Уравнения математической физики: Учебн. пособие для студентов ВУЗов.-3-е изд.-М.: Наука, 1976.-528с.

15. ГохбергИ. Ц., КрейнМ.Г. Введение в теорию несамосопряжённых операторов- М.: Наука, 1965. -448с.

16. ДанфордН., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теория- М.: И.Л., 1962.-895с.

17. ДанфордН., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, Т.2. Спектральная теория-М.: Мир, 1966.-1063с. "

18. Дезин А. А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Математический сборник. -1959.-Т. 49(91), №4.-С. 459-484.

19. Дезин А. А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов /"/ Докл. АН СССР.-1963.-Т. 148, fe.-C. 1013-1016.s ' 1

20. Дезин А. А. Операторы с первой производной во "времени" и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем.-1967.-Т. 31, Выпуск 1.-С. 61-86.

21. Дезин А. А. Несуществование некоторых разрешимых расширений // Докл. АН СССР.-1968.-Т. 183, №3.-С. 507-510.

22. Дезин А. А. К общей теории граничных задач // Математический сборник.-1976.-Т. 100(142), №2(6).-С. 171-180. ,,

23. Дезин А. А. Об операторных уравнениях второго порядка // Сиб. мат. журнал.-1978.-Т. 19, №5.-С. 1032-1042.

24. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач-М.: Наука, 1980. -207с.

25. Дезин А. А. Вырождающиеся операторные уравнения // Мате, .матический сборник.-1981.-Т. 115(157), №3(7).-С. 323-336.

26. Дезин А. А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения.-1981.-Т. 17, №10.-С. 1851-1858.

27. Дезин A.A. Нестандартные задачи / / Математические замет-ки.-1987.-Т. 41, №3.-С.356-364.

28. Девдариани Г. Г. О базисности одной тригонометрической системы функций // Дифференц. уравнения. -1986. Т.22, №1. - С. 168-170.•

29. Девдариани Г. Г. О базисности одной системы функций // Дифференц. уравнения,-1986-Т.22, №1.-С. 170-171.

30. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции-М.: Наука, 1979.-158с.

31. Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР.-1962.-Т. 142, №1.-С. 21-24. ;

32. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале системы собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов второго порядка // Докл. АН СССР. -1983. -Т. 273, №5-С. 1048-1053.

33. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго, порядка // Дифференц. уравнения.-1986.-Т. 22, №12.-С. 20592071.

34. ИонкинН. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения.-1977.-Т. 13, №2.-С. 294-304.

35. Кальменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Дифференц. уравнения.-1977.-Т. 13, №8.-С. 1418-1425.

36. Кальменов Т. Ш. О полупериодической задаче Дирихле для одного класса уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения'. -1978.-Т. 14, №3.-С. 446-547.

37. Кальменов Т. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Дисс. .доктора, физ.-мат. наук. М., МГУ, 1982.-241с.

38. Камынин Л. И., МаотенниковаВ. Н. О некоторых свойствах решений смешанных задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР.-1960.-Т. 133, №5.-С. 1003-1006.

39. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения.-1997.-Т. 33, №1.-С. 115-119.

40. КачмажС., ШтейнгаузГ. Теория ортогональных рядов-М.:Физматгиз, 1958. -508с. in• .

41. Кесельман Г. М. О бёзусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторьгх дифференциальных операторов // Изв. вузов. Математика.-1964.-№2(39).-С. 82-93.

42. КисловН. В. Краевые задачи для дифференциально- операторных уравнений. смешанного типа // Дифференц. уравнения.-1983.-Т. 19, №8.-С. 1427-1436.

43. КисловН.В. Неоднородные граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений: Дисс. .доктора, физ-мат. наук. М.,-1988.-235с. !!|

44. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебн. для студентов ВУЗов.-5-е изд. -М.: Наука, 1981.-544с.

45. КокебаевБ.К. Об общих нормально разрешимых задачах для некоторых дифференциальных уравнений: Автореф. дисс.>< . канд. физ.- мат. наук. Алма-Ата, ИМиМ АНКаз ССР, 1984.-15с.

46. КорзюкВ. И., ЮрчукН. И. Задача о сопряжении нестационарных абстрактных линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.-1971.-Т. 7, №9.-С. 1629-1638.

47. Корниенко В. В. О гладкости решений иррегулярных уравнений // Дифференц. уравнения.-1989.-Т.25, №9.С. 1572-1577.

48. Корниенко В. В. О сильно иррегулярных уравнениях ДАН Уз-ССР. -1987, №10.-С. 16-17.

49. Корниенко В. В. К спектрам иррегулярных операторов // В сб: Математик тахлил ва унинг тадбиклари масалари. Илмий маколалар туплами. Самарканд: Изд-во СамГУ.-1994.-С. 46-48.

50. Корниенко В. В. О распределении собственных значений одной нелокальной задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Республ. конф. молодых математиков: Тез. докл.-Наманган, 1994.-С. 46.

51. Корниенко В. В. К спектрам сильно иррегулярных уравнений //Дифференц. уравнения.-1995.-Т. 31, №11.-С. 1907-1912.

52. Корниенко В. В. К слабой и сильной иррегулярности // Сиб. мат. журнал.-1996.-Т. 37, №3.-С. 599-609.

53. Корниенко В. В. О спектре иррегулярных операторных уравнений // International conference on some topics of mathematics: Тез. докл.-Самарканд, 1996.-С. 84.

54. Корниенко В. В. К спектрам вырождающихся операторных уравнений // ДАН РУз. -1997. №10. - С. 8 -11. '

55. Корниенко В. В. К спектрам иррегулярных операторных уравнений первого порядка // Математический сборник.-1997.-Т. 188, №8.-С. 103-124.

56. Корниенко В. В. О спектре задачи Коши для иррегулярных уравнений // Межд. конф. по актуальным проблемам теоретической и прикладной математики: Матер, конф. Самарканд, 1997.-С. 63-68.

57. Корниенко В. В. К спектрам вырождающихся операторных уравнений// ДАН России.-1998.-Т. 361, №1.-С. 10-13.

58. Люстерник J1. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа: Учебн. пособие для студентов ВУЗов.-3-е изд.-М.: Высшая школа, 1982.-271с.

59. МамянА.Х. Построение разрешимых расширений в параллелепипеде для линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Дифференц. уравнения.-1970.-Т. 6, №2-С. 358-370.

60. МамянА.Х. О некоторых свойствах множества граничных задач // Матем. сборник.-1983.-Т. 121, №3,-С. 370-380.

61. Михайлов В. П. О базисах Рисса в £2(0,1). Докл. АН СССР. -1962.-Т. 144, №5.-С. 981-984.

62. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных Производных: Учебн. пособие для студентов ВУЗов.-2-е изд. пере-раб. и допол.-М.: Наука, 1983.-424с.

63. Моисеев Е. И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа: Дисс. .доктора физ.-мат. наук.-Москва, МГУ, 1979. . . '

64. Моисеев Е. И. О базисностй системы синусов и косинусов // ' Докл. АН СССР.-1984.-Т. 275, №4.-С. 794-798.

65. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифферент уравнения.-1987.-Т.23, №1.-С. 177-179.

66. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным парамером изд - во МГУ, 1988г. -150с.

67. Моисеев Е. И. О неполноте системы корневых функций задачиIТрикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения.-1989.-Т.25, №1.-С. 170-172.

68. НаймаркМ. А. Линейные дифференциальные операторы-М.: Наука, 1969.-526с.

69. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения.-1970.-Т. 6, №1.-С. 190-191.

70. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения-М.: Наука, 1960.

71. Отаров X. Т. Спектральные свойства корректно и везде разрешимых расширений и сужений обыкновенных дифференциальных операторов: Автореф. дисс. .канд. физ.-мат. наук.-Алма-Ата, ИМиМ АНКаз. ССР, 1986.-15с.

72. Пономарёв С. М. Об одной задаче на собственные значения // Докл. АН СССР.-1979.-Т. 249, №5.-С. 1068-1070.

73. Пономарёв С. М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева-Бицадзе: Дисс. .доктора физ.-мат. наук, М., МИАН, 1981. -163с.

74. Пятков С. Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР.-1985.-Т. 285, №6.-С. 1327-1329.

75. Пятков С. Г. Некоторые сойства собственных функций линейных пучков // Сиб. мат. журнал.-1989.-Т. 30, №4.-С. 111 — 114.

76. Романко В. К. К теории операторов вида ^ — А. // Дифференц. уравнения.-1967.-Т. 3, №11,-С. 1957-1970.

77. Романко В. К. К теории граничных задач для уравнений с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР.-1978.-Т. 241, №4.-С. 761-764.

78. Романко В. К. Трехточечные граничные задачи для уравнений « с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения.1979.-Т. 15, №3.-С. 479-491.

79. Романко В. К. О задачах сопряжения для некоторых уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. -1979.-Т. 244, №4.-С. 831-835.

80. Романко В. К. Граничные задачи для общих дифференциальных операторов с выделенной переменной: Дисс. .доктора физ. -мат. наук, М., МИАН, 1980.

81. Романко В. К. О собственных значениях краевых задач для некоторых уравнений, меняющих тип // Дифференц. уравнения. -1983.-Т. 19, №10.-С. 1759-1764.

82. Соболев С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике-М.: Наука, 1998,-334с.

83. СмирновВ.И. Курс высшей математики, т. 3, ч. 2. -М.: Наука, 197-1. 572с.

84. СмирновМ. М. Уравнения смешанного типа-М., Высшая школа, 1985.-304с.

85. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений-М.: Госте-хиздат,1945. 406с.

86. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды Петроград, 1917. - 398с.

87. ТепоянЛ. П. Вырождающиеся дифференциально операторные уравнения четвёртого порядка: Дисс. .кандид. физ.-мат. наук.-М.,МИАН, 1986.

88. ТепоянЛ. П. Вырождающиеся дифференциально операторные уравнения четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. -1987.-Т. 23, №8.-С. 1366-1376.

89. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1977.-736с.

90. ФедорюкМ. В. Асимптотика: Интегралы и ряды-М.: Наука, 1987-544с.

91. Функциональный анализ, коллектив авторов: изд. 2-е, переработанное и дополненное (серия " Справочная математическая библиотека"), редактор С. Г.Крейн, М.: Наука, 1972.-544с.

92. Хёрмандер Л. Дифференциальные операторы главного типа // Сб. Математика.-1961.-Т.5, №5.-С. 89-114.

93. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными- М., Мир, 1965.-830с.

94. ХиллеЭ., ФиллипсР. Функциональный анализ и полугруппы-М.: ИЛ, 1962.-830с.

95. Чесалин В. И., Юрчук Н. И. Задача сопряжения абстрактных параболических и гиперболических уравнений с нелокальными условиями по г У/ Докл. АН БССР.-1974.- Т. 18, №3.-С. 197200.

96. Шкаликов А. А. О свойствах части собственных и присоединённых элементов самосопряжённых квадратичных пучков операторов // Докл. АН СССР.-1985.-Т. 283, №5.-С. 1100-1106.

97. Шыныбеков А. Н. О корректных сужениях и расширениях некоторых дифференциальных операторов: Автореф. дисс. .канд. физ.- мат. наук.-Алма-Ата, ИМиМ АНКаз. ССР, 1983.-16с.

98. ЮрчукН. И. Разрешимостй граничных задач для некоторых■ 1дифференциально операторных уравнений // Дифференц. уравнения. -1977.-Т. 13, №4.-С. 626-636.

99. HormanderL. On the theory of general partial differential operators// Acta Math.-1955.-94, №3-4.-P. 161-248.

100. FridrichsK. O. On the identify of weak and strong extensions of differential operators // Trans. Amer. Math. Soc.-1944.-55.-P. 132-151.

101. FridrichsK. O. Summetric hyperbolic linear differential equation // Comm. Pure Appl. Math.-1954, 7, №2.-P. 345-392.