К теории операторно-дифференциальных уравнений высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Краевые задачи для операторно-дифферен-циального уравнения четвертого порядка на полуоси.

Глава П. Краевые задачи для операторно-дифферен-циального уравнения четвертого порядка с нормальной главной частью на полуоси

Глава Ш. О разрешимости операторно-дифференциаль-ного уравнения четвертого порядка на всей оси.

Успешное применение функциональных методов в прикладных целях явилось результатом того бурного развития, которое переживает функциональный анализ с начала нашего века. Оно служило мощным толчком для общего развития математики и помогло достичь крупных успехов в решении ряда важных вопросов научной практики. С другой стороны, прикладные задачи, в свою очередь, в немалой степени стимулировали последовательное расцветание функционального анализа как математической науки. Они служили для абстрактной теории "тем насущным хлебом, которым она живет", если выражаться словами французского математика А.Веиля.

Использование сильных орудий функционального анализа оказалось плодотворным, и обусловило крупнейшие достижения в различных областях математики, как дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, эргодической теории, теории управления и других.

Широкое применение, которое нашли и находят функциональные методы, вызванные прежде всего тем новым подходом к исследованию различных проблем математического анализа, той общей абстрактной формой рассмотрения этих проблем, которые позволяют одновременно изучать разные по прикладной сущности вопросы, рассматривая их с более глобальной точки зрения. Из этих соображений возникли такие задачи как изучение разрешимости абстрактных операторных и операторно-дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах. В их прикладной основе стоят различные проблемы механики и математической физики. К числу таких уравнений относится, в частности, операторно-дифференциальное уравнение общего вида:

Fft/M-jUfH-iydj^' О п>>1 (0.1) dtr*-J с различными краевыми условиями в различных пространствах. Поэтому в последние годы широкое развитие получили исследования по этому направлению.

Среди уравнений вида (0.1) подробно изучены уравнения первого и второго порядков, для которых корректны задачи Коши, см. Cl,2] . В этом плане, нужно прежде всего упомянуть, ставшие классическими, результаты исследований Хилле, Филлипса, Иосиды и Като [*1,2,з] . Ими были получены первые теоремы существования решения задачи Коши для уравнения вида (0.1) при

К - 1 с неограниченным оператором A f и Ав банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В этих работах были заложены основы теории операторно-дифференциальных уравнений, и как правило, рассматривалась задача Коши и предполагалось, что ^ - производящий оператор для полугруппы.

Задача Коши для операторно-дифференциальных уравнений более широкого класса была изучена в [ 4 ] . В случае дифференциальных операторов A J, краевые задачи для уравнения (0.1) исследованы в работах Г.Е.Шилова, Г.В.Дикополова, В.П.Доломадо-ва ГбЗ . Для уравнений второго порядка вида (0.1) краевая задача при так называемых нелокальных граничных условиях на [о , Т] рассмотрена в [б ] . Эта задача исследована также в [2 ] методом теории полугрупп. Впервые краевая задача для уравнения: f (0.2) без указанного предположения относительно оператора А , была изучена А.А.Дезиным в [в] и [9] . Последняя работа посвящена исследованию уравнения (0.2) в банаховом пространстве при граничных условиях: где f< - произвольное комплексное число, ^ - заданный элемент пространства. В работе строится обобщенное решение задачи при предположении, что спектр оператора А не пересекается с полюсами функции: а.% \ - f fa) U

В работе Романко fioj оператор в (0.2) заменен и А предполагается нормальным оператором, порожденным дифференциальным выражением с постоянными коэффициентами. Изучены постановки корректных задач и установлена их разрешимость. Тот же круг идей исследуется в работах Н.И.Юрчука /"ilj и [iz] для уравнений, содержащих в главной части операторы вида: iJLM+1 д или где А - некоторый абстрактный оператор в гильбертовом пространстве, удовлетворяющий условию самосопряженности.

В серии работ /~I3,I4,I5,I6j М.Г.Гасымова развивается теория к> - корректных задач для уравнения вида (0.1) на полуоси, изучается связь разрешимости краевых задач с кратной полнотой части корневых векторов характеристического пучка, связь факторизации характеристического пучка с корректностью задачи с fc- краевыми условиями при * - 0 . Позже, в работах [17,18] М.Г.Гасымова установлена разрешимость краевых задач для опера-торно-дифференциальных уравнений с характеристическим многочленом в виде пучка М.В.Келдыша. В работах А.Ш.Кахраманова и Ш.Д?к. Маме до вой

19,20,21] найден класс уравнений, для которых существует корректно поставленная краевая задача.

В работах С.С.Мирзоева [22-28] получены точные условия на малости коэффициентов характеристического пучка, которые обеспечивают корректную разрешимость краевых задач на полуоси. В частности, получены условия корректной разрешимости краевых задач вида:

Jt#Hto - А" (о.з) fj, Jso,.-~jir-H0A) гДе .< ytm4f

В работах Шкаликова А.А. [29] и Власова /30-31J изучена ф - разрешимость краевых задач, полнота и минимальность убывающих решений, а в работе А.Г.Костюченко и А.А.Шкаликова [32] изучена корректная разрешимость для уравнений второго порядка на полуоси. В ряде работ С.А.Якубова и его учеников исследованы корректная разрешимость и фредгольмовость операторно-диффе-ренциальных уравнений при различных предположениях относительно коэффициентов (см. (33-36] ). Отметим, что в работах [37-39] Ю.А.Дубинского приводится классификация наиболее общих уравнений указанного типа и изучается постановка задач для этих уравнений и их разрешимость. Следует также отметить работы З.И.Ха-лилова [55,56] , где предиеьлагается метод, при помощи которого разрешимость смешанных задач сводится к отысканию решения задачи Коши для одного класса абстрактных дифференциальных операторов. В работе [40] Х.А.Хасайнейна изучены корректность и фредгольмовость операторно-дифференциальных уравнений второго порядка с нормальной главной частью. Настоящая работа посвящается исследованию операторно-дифференциального уравнения виДа: & J* S a

Uf ^ +/ - JP(t) Го f (0.5) где A ) Aj f J- о,линейные операторы в гильбертовом пространстве Н . Уравнение (0.5) рассмотрено при различных предположениях относительно абстрактного оператора А и коэффициентов A j . Изучены, в частности, корректная разрешимость краевых задач для уравнения (0.5) на полуоси и корректная разрешимость на всей оси.

Работа состоит из трех глав. В главе I, следуя метод работы [26J , мы изучаем уравнение (0.5) при предположении, что оператор Д самосопряженный и положительно определенный, с краевыми условиями:

11^(1) = о / (0.6)

В § I первой главы вводятся необходимые определения и обозначения и ставится задача.

Область определения t)(А*) 7° ) является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения:

Мы обозначим его через И / .

Обозначим через t) ( R+, У) линейное множество бесконечно-дифференцируемых функций со значениями в Н^, имеющие компактные носители на ^ - (° ,

Относительно скалярного произведения:

К *)w = № + (^'A^UtbH) оно является гильбертовым пространством. Обозначим его пополнение через

Далее, определяется пространство \л/{R+ / А/, s*,s<t) следующим образом:

Определение 0.1 Задача (0.5)-(0.б) называется регулярной, если для каждой функции из и (Ь, И) существует вектор функция W (К/> И ), которая удовлетворяет уравнещю (0.5) почти всюду, а граничные условия j0.6) выполняются в смысле сходимости по норме пространства H^ss-i/^ Такой вектор функцию 11 ((г) мы назовем регулярным решением задачи (0.5М0.6).

Такая постановка задачи имеется в работе /22J С.С.Мирзоева, где задача (0.5)-(0.6) рассмотрена при з* = Si- 4 . В данной работе, опираясь на результаты работы /26J , мы улучшаем результаты, полученные в /227 и получаем новые точные условия на малости коэффициентов Aj »обеспечивающие разрешимость задачи (0»5)-(0.6) при различных значениях So, >V из

Отметим, что результаты первой главы получены совместно с М.М.Мирзоевым. Основные результаты этой главы изложены в следующих теоремах:

Теорема I. Дусть имеет место следующее неравенство:

Тогда задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из к/ ( R+ , W, s*ysi ) в следующих случаях: - о , s9 =. 1? - *

S* r 1 / Л

Теорема 2. Цусть в задаче (0.5)-(0.6) s9 = *t - $ и имеет место следующее неравенство: f%lll Г/А /А ггц+(%)'<Ц4> f/l+lw4lh'

Тогда задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из (R4./ Н,* / * ) •

Теорема 3. Пусть в Задаче (0.5)-(0.6) s^-0,**-1 и имеет место следующее неравенство:

М'Л^/А № Wf%'A f 7-1

Тогда Задача (0.5М0.6) имеет единственное регулярное решение из Н, о } f).

Теорема 4. Пусть в Задаче (0.5)—(0.6) s0 = ~ * и имеет место следующее неравенство:

Ijhlh UJ-'ll+llA^-'lb ^{lAJ-'ll'llW'llh 1

Тогда Задача (0.5М0.6) имеет единственное регулярное решение из А/ ( R. + , //, о, 3).

В главе П, в уравнении (0.5) оператор А предполагается нормальным, а его спектр с* ( А ) удовлетворяет следующим условиям:

Л € ^ (А ) =-> / MfyJl / ^ £ У/г/

SnfffeTs ai о

В краевых условиях (0.6) принимают следующие значения:

- о , si = J

S0 - Q , n

Sv = * \ S» - * ; = 1 Такие же краевые условия для уравнения (0.5) были рассмотрены Мирзоевым в работе /23 J . В данной работе, поменяв условия на спектр с1 (А )» мы улучшаем результаты работы /23 J .

Основные результаты второй главы изложены в параграфе 4 в следующих теоремах:

Теорема 5. Пусть в Задаче (0.5М0.6) «Л> = о, = * и //П Г^Л >V7* Г'Л//'

Тогда Задача (0.5)-(0.б) - имеет единственное регулярное решение из W (/{+ Н, oJ 1),

Теорема б. Пусть имеет место следующее неравенство: HAvA-7/ < (1-<гни*£)/2/

Тогда при Sa~ о } ^ - и - si - 2 задача

0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из М,'*,*,).

Теорема 7. Цусть в Задаче (2.2Ы3.2) - > si - 3 и имеет место:

• II+ЫЧИ П/ ♦ ('4 )1/"Hh Г//, ft)

Тогда Задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из W (R+, Н/ * ).

В главе Ш мы изучаем разрешимость уравнения (0.5) на всей оси. В этой части работы оператор А предполагается нормальным и его спектр о^(А) удовлетворяет следующим условиям:

1. ^ С G^ (А) £ < ^

2. TbP&i =, if*

В этой главе получены новые результаты об условиях разрешимости уравнения (0.5) на всей оси.

В изложении результатов используются пространства iz ^ и V (Rj 1-1) * которые мы определяем аналогично Li, ( R'+ , И) и W(AV, И)•

Исследуем достаточные условия, обеспечивающие существование и единственность решения (0.5) из пространства

W (R, И) при правой части ^(У) из пространства /.£, (R, /7 J . Определение 2. Если при всех из

U (в, н) существует вектор функция Kfc) из W(R , И} такой, что равенство (0.5) выполняется пости всюду, то будем говорить, что урав-нени е (0.5) имеет регулярное решение из a/(R, Н).

Основной результат этой главы изложен в следующей Теореме: Теорема 8. Пусть имеет место следующее неравенство: С

-J 1

J- i

Тогда уравнение (0.5) имеет единственное регулярное решение из W(H, Н). Здесь числа С- (£) определяются следующим образом:

Г \ Л ^ s. л,

3) * при о ^ /f

V, при tr/f - f - %

-h.

-емче)'* при J'/ fi, < 8 * ^

Lb) 4 при 0 ^ £ - "Я/ е 4

Лт^вУ при 37, < £ < L

За постановку задачи, полезные советы и постоянное внимание к работе автор приносит глубокую благодарность своим научным руководителям профессору А.Ш.Габибзаде и доценту С.С.Мир-зоеву.

1. Хилле Э., Филлипс Р.С. функциональный анализ и полугруппы. ПЛ, 1962.

2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., "Наука", 1967.

3. Иосида К. функциональный анализ. М., "Мир", 1967.4. Л 4т** S. ЛP^e^es of *f

4. Шилов Г.Е. Математический анализ (второй спецкурс). М., "Наука", 1965.

5. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве.

6. Диффуравнения П, 7 (1966).

7. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Корректность граничных задач для дифференциального уравнения в банаховом пространстве.П, Диффуравнения, 3 (1966).

8. Дезин А.А. К теории операторов вида ^ . ДАН СССР, т. 164, № 5 (1965).

9. Юрчук Н.И. О граничных задачах для уравнений с операторамиjl/nвида dy + Л Диффуравнения 10, № 51 (1979).

10. Гасымов М.Г. К теории эволюционных уравнений регулярного типа. ДАН СССР, т. 200, № I (1971).

11. Гасымов М.Г. О кратной полноте части собственных и присоединенных векторов полиномиальных операторных пучков.Изв. АН Арм.ССР, т. У1, № 2-3 (1971).

12. Гасымов М.Г. К теории эволюционных уравнений высокого порядка. ДАН СССР, т. 206, № 4 (1972).

13. Гасымов М.Г. Кратная полнота с конечномерным дефектом части собственных и присоединенных векторов операторных пучков. Функциональный анализ, теория функции и их приложения. Махачкала, 1976, 6, 3, I.

14. Гасымов М.Г. К теории полиномиальных операторных пучков. ДАН СССР, 199, $ 4 (1971).

15. Гасымов М.Г. О разрешимости 1фаевых задач для одного класса операторно-дифференциальных уравнений. ДАН СССР, т. 235, № 3, 1977.

16. Кахраманов А.Ш., Мамедова Ш.Дж. Краевые задачи для опера-торно-дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Матер, ХУ научн.конференции, посвященной итогам научно-исследовательских работ за 1973 г., 2, Б, (1974).

17. Мамедова Ш.Дж. О краевых задачах для операторно-дифферен-циальных уравнений 2п-го порядка. Ученые записи MB и ССО Азерб.ССР, сер. физ.-мат.наук, № 2 (1978).

18. Мамедова Ш.Дж. К теории операторно-дифференциальных уравнений. Деп. ВИНИИТИ, № 7220-73.

19. Мирзоев С.С. Двукратная полнота части собственных и присоединенных векторов полиномиальных операторных пучков четвертого порядка. Изв. АН Азерб.ССР. Сер. физ.-мат.наук, № 6, 1974.

20. Мирзоев С.С. Кратная полнота части корневых векторов полиномиальных операторных пучков четвертого порядка с нормальной главной частью. Спектральная теория операторов. В.4, Труды ШШ АН Аз.ССР, Баку, "Элм", 1982.

21. Мирзоев С.С. Кратная полнота части корневых векторов полиномиальных операторных пучков, S^eeJ-^f ВаиасЯ CohJ-fi уиьб&сомм , V- 8, PWH, Poti's* Soi*mJift'cPUbstw* Warsaw, •

22. Мирзоев С.С. О кратной полноте корневых векторов полиномиальных операторных пучков, отвечающих краевым задачам на полуоси, функциональный анализ и его приложения,т.17, вып. 2.

23. Мирзоев С.С. Об условиях корректной разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений. ДАН СССР, № 2, т. 273, М., 1983.

24. Мирзоев С.С. О корректной разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений нечетного порядка на полуоси. Спектральная теория операторов. Тем.сб.науч. тр. Баку, 1982.

25. Мирзоев С.С. О корректной разрешимости задач для оператор-но-дифференциальных уравнений. Спектральная теория операторов. Тем. сб.науч.тр., Баку, 1984.

26. Шкаликов А.А. Некоторые вопросы теории полиномиальных операторных пучков. УМН, т. 38, в. 3 (231), 1983.

27. Власов В.В. Кратная минимальность части системы корневых векторов пучка М.В.Келдыша. ДАН СССР, т. 263, № 6, 1982.

28. Власов В.В. О минимальности производных цеаочек. УМН, т. 37, № 5, 1982.

29. Костюченко А.Г., Шкаликов А.А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи, функциональный анализ и его приложения, т. 17, вып. 2, 1983.

30. Якубов С.Я. Корректность краевой задачи для эволюционных уравнений второго порядка. Изв. АН Аз.ССР,сер. физ.-мат. наук, № 2, 1973.

31. Якубов С.Я., Бадаев М.К. Корректная разрешимость дифференциально-операторных уравнений на всей оси. ДАН СССР,т. 229, № 3, 1976.

32. Якубов С.Я., Карасик Б.Г., Мамедов К.С. Фредгольмовость краевых задач для дифференциально-операторных уравнений высшего порядка. Изв. АН Аз.ССР, сер.тех.мат. наук, № 2, (1976).

33. Якубов С.Я., Алиев Б.А., Алиев И.В. Краевые задачи для эллиптических дифференциально-операторных уравнений ВИНИИТИ. Деп. № 511-84.

34. Дубинский Ю.А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка. ДАН СССР, т. 196, № I (1971).

35. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях общего вида. ДАН СССР, 201, № 5 (1971).

36. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка. Матем.сб. 90 (132):I (1973).

37. Р.Х.А.Хасайнейн. Полнота части собственных и присоединенных векторов полиномиальных операторных пучков второго порядка. Ученые Записки АТУ, сер. физ.-мат.наук, № 5, 1976.

38. Радзиевский Г.В. О полноте производных цепочек,отвечающих краевым задачам на конечном отрезке. Ум.Ж., 31:3, 1979.

39. Радзиевский Г.В. 0 полноте производных цепочек, отвечающих краевым задачам на полуоси. Ум.Ж., 31:4, 1979.

40. Палкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит. Прикладная математика и механика, т. 5, вып.З, 1941.

41. Устинов Ю.А., Юдович В.П. 0 полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе. Прикладная математика и механика, т. 37, 1973.

42. Сулейманов Н.А. О корректных краевых задачах для операторных уравнений в полупространстве в классе обобщенных функций. Изв. АН Аз.ССР, сер.физ.-мат.-тех. наук, 5 (1959).

43. Оразов М.Б. О полноте элементарных решений для некоторых операторных дифференциальных уравнений на полуоси и отрезке. ДАН СССР, т. 245, № 4, 1979.

44. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. ДАН СССР, 77 (1951).

45. Шахмуров В.Б. Компактность вложения в анизотропных пространствах вектор-функции и их приложения. ДАН СССР, т. 241, № 6, 1978.

46. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. "Мир", Москва, 1971.

47. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. "Наука", 1965.

48. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

49. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. "Наука", 1971.

50. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.М."Мир",1972.54. Р Gri^arJ fy0*"* ^JjLaOUf***, А** .Л.Л^. P.s*,*<

51. З.И.Халилов. Об одном методе решения смешанных задач. ДАН СССР, том 83, № 5 (1952).

52. З.И.Халилов. К теории одного метода решения смешанных задач. ДАН Азерб.ССР. том 9, № 8 (1953).

53. С.С.Мирзоев, Нуар Ахмед. 0 разрешимости некоторых краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений четвертого порядка. Деп. в АзНИИНТИ, № 281-Аз 84.

54. Нуар Ахмед. 0 разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка на всей оси. Деп. в АЗНИИНТИ, № 83 Аз-83.

55. Нуар Ахмед. Разрешимость операторно-дифференциальных уравнений четвертого порядка на полуоси. Тезисы УП республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана. Баку, 1984.

56. Нуар Ахмед. 0 разрешимости операторно-дифференциального уравнения высокого порядка на всей оси. Материалы У1 республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана. Баку, 1983.