Коэффициентная устойчивость разностных схем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Институт математики Национальной академии наук Беларуси УДК 519.Go

РГБ ОД

2 л ¿JCD

Панайотона Иорданка Николова

К03ФФИЦХ1ЕПТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

01.01.07 вычислительная математика

Автореферат диссертации па соискание ученой степей и кандидата физико-математических наук

Минск, 2000

Работа пьпюллепа i; Институте математики НЛП Беларуси

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Матус ll.II.,

кандидат физико-математических наук, доцент Волков Л.Г.

Официальные оппоненты: член-корреепопдепт ПАН Украины

доктор физпко-математических паук, профессор Макарон В.Л.,

Оппонирующая организация:.

Московский государственный университет.

Зашита состоится 6.06.2000 в 14— на заседании совета по защите диссертации Д 01.02.02 при Институте математики Национальной академии наук Беларуси по адресу: 220072, (Минск, ул. Сурганона 1.1, тел. учёного секрета))« -- 28-1-1 !)-(>.'?.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Национальной ЛИ Беларуси

Лптореферат разослан " апреля 2000 г.

Учений секретарь сонета по защите диссертаций,

доктор ^ниико-матемагических наук, у

члои-кирреснилдент НЛП Беларуси до кто!) фнзпко-матсма'гпческпх. паук, профессор Корзюк 7>.И.

профессор

П. П. Мату с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Теория устойчивости разностных схем для нестационарных задач математической физики стала самостоятельной областью исследования уже в 50-ые годы после того, как были опубликованы известные работы Дж.Неймана и Р.Рихтмайера, П.Лакса, В.С.Рябенького, А.Ф.Филлипова и др. авторов. В 60-х годах в работах А.А.Самарского была построена общая теория устойчивости для операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерном гильбертовом пространстве.

При исследовании корректности вычислительных методов для начально-краевых задач математической физики основное внимание уделяется устойчивости решения по начальным данным и правой части. Однако при решении дифференциальной задачи может оказаться, что коэффициенты уравнений заданы не точно, а приближенно (например, при помощи некоторого вычислительного алгоритма, в результате, физических измерений и т.п.). Отсюда ясно, насколько важной является задача изучения схем с возмущенными коэффициентами. Несмотря на важность проблемы, эта задача для эволюционных уравнений до недавнего времени не была решена.

Впервые значимость коэффициентной устойчивости была отмечена еще в конце 50-ых годов А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским при разработке теории однородных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Следует отметить, что коэффициентная устойчивость рассматривалась в ходе исследований в работах А.А.Самарского и В.Л.Макарова, A.A.Самарского, П.Н.Вабищеви-ча и П.П.Матуса, С.Г.Михлина, Н.И.Юрчука, П.К.Сенаторова, П.Е.Соболевского и др. авторов.

Настоящая диссертация посвящена исследованию сильной устойчивости дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем с ограниченными операторными коэффициентами. В работе представлен операторный подход к изучению устойчивости разностных схем по отношению к возмущению начальных данных, правой части и коэффициентов. На его основе получены новые априорные оценки для операторных уравнений первого рода и абстрактного параболического уравнения. Для трехслойных операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерном гильбертовом пространстве, подобные оценки получены впервые.

В рамках выбранного направления исследований дальнейшее развитие получила теория устойчивости разностных схем для нестационарных задач математической физики.

Связь с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках Государственной программы фундаментальных исследований Алгоритм 04 "Вычислительные методы высокого порядка точности на адаптивных сетках", включенной на 1996— 2000 г.г. в план НИР, выполняемых отделом численного моделирования Института математики Национальной АН Беларуси, а также в соответствии с договором с Белорусским Республиканским фондом фундаментальных исследований № ФУ 8-019 от 1 марта 1999 г. по гсме "Разностные схемы для нестационарных задач с обобщенными решениями".

Цель и задачи исследования. Целыо диссертационной работы является доказательство сильной (коэффициентной) устойчивости дифференциально-операторных уравнений и операторао-разностных схем при возмущении операторных коэффициентов. Для достижения этой цели в диссертации решались следующие задачи: для линейных операторных уравнений первого рода с оператором, действующим в вещественном гильбертовом пространстве, получить априорные оценки устойчивости по отношению к возмущениям правой части и самого оператора. Исследования провести в случае самосопряженного и несамосопряженного оператора; для эволюционных дифференциально-операторных уравнений первого порядка и соответствующих двухслойных операторно-разностных схем доказать устойчивость решения по отношению к возмущениям операторных коэффициентов, начальных данных и правой части. Исследования провести в случае постоянных и переменных операторов, действующих в гильбертовых пространствах; для трехслойных операторно-разностных схем получить априорные оценки коэффициентной устойчивости и устойчивости но начальным данным, правой части в нормах И, На-

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дифференциально-операторные уравнения и соответствующие операторно-разностные схемы.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы дифференциальных уравнений в частных производных, функциональна > анализа и вычислительной математики. При получении априорных оценок сильной устойчивости применяется общая теория устойчивости операторно-разностных схем, метод энергетических неравенств, принцип суперпозиции и техника исследования в интегральных по времени нормах.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты, приведенные в диссертационной работе, являются новыми. Их новиз-

la состоит в том, что получены новые априорные оценки сильной устойчивости для линейных операторных уравнений, доказана сильная устойчивость решений эволюционных дифференциально-операторных уравнений и двухслойных операторно-разностных схем; для решения хбстрактной задачи Коши первого порядка получены достаточные условия коэффициентной устойчивости в случае переменного оператора; впервые доказана коэффициентная устойчивость для трехслойны} эператорно-разностных схем.

Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы для исследования сильной устойчивости конкретных разностных схем для различных типов задач математической физики.

Экономическая значимость. Работа относится к фундаментальным исследованиям, что не позволяет на данном этапе оценить экономическую значимость полученных результатов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. D настоящей диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

— для линейного операторного уравнения с несамосопряж.енным оператором, действующим в вещественном гильбертовом пространстве, получены априорные оценки сильной устойчивости;

— для эволюционных дифференциально-операторных уравнений первого порядка и двухслойных операторно-разностных схем в случае постоянных и переменных операторов доказана устойчивость решения по отношению к возмущениям операторных коэффициентов, начальных данных и правой части. Полученные априорные оценки сильной устойчивости согласуются на дифференциальном и разностном уровне как в отношении требований, предъявляемых к от^юторам, так и в плане норм;

— доказана коэффициентная устойчивость трехслойных операторно-разностных схем с весами в нормах Н, %а ■

Личный вклад соискателя. Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных с научным руководителем работ в диссертацию вошли результаты, полученные автором лично, а также результаты, полученные на паритетных началах.

Апробация результатов. Основные результаты докладывались:

— на II Международной конференции "Finite Difference Methods: Theory and Applications"(r. Минск, июль 1998г.);

- на III Международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis" (г. Юрмала, Латвия, октябрь 1998г.);

- городском семинаре по математическому моделированию.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Среди них 3 статьи в белорусских и российских журналах, 2 статьи в материалах международных конференций, 1 тезис международной конференции. Общий объем опубликованных материалов составляет 38с.

Структура и объем диссертации. В диссертации имеется введение, общая характеристика работы, 4 главы, список исполызованных источников. Полный объем — 73 е., из них 6 с. занимает список использованных источников (63 наименования).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор современного состояния проблемы коэффициентной устойчивости разностных схем, кратко излагается содержание и структура диссертации, приводятся основные результаты.

В первой главе диссертации дается краткий обзор литературы по теме исследований.

Во второй главе вводится новая мера возмущения оператора. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки устойчивости при возмущении оператора и правой части операторного уравнения. Исследования проводятся в гильбертовом пространстве с самосопряженным и несамосопряженным оператором. С помощью этих оценок доказывается устойчивость разностных схем по отношению к возмущению коэффициентов в равномерной метрике для одномерных и многомерных стационарных уравнений.

В вещественном гильбертовом пространством % со скалярным произведением (•, •) и нормой || • || рассмотрим операторное уравнение

Аи=Г, (1)

где А: 71 - линейный оператор, / £ % - заданный вектор, мёЯ-искомый вектор. Задача (1) называется корректно поставленной, если существует единственное решение этого уравнения для любых / € Н и оно непрерывно зависит от правой части, т.е. выполняется неравенство

||u - mild) /||(2),

где щ - решение уравнения (1) с возмущенной правой частью /г.

Аи! =/ь

а || ■ к = 1,2- некоторые нормы в пространстве ~К.

Естественно требовать, чтобы решение операторного уравнения (1) непрерывно зависело не только от возмущения правой части, но и от возмущения оператора А, например, от коэффициентов дифференциального или разностного уравнений.

Напомним, что операторное уравнение (1) называется коэффици-еитно устойчивым, если его решение непрерывно зависит от возмущения оператора. В уравнении (1) возмутим правую часть и сам оператор Получим возмущенную задачу

Аи = I (2)

где возмущенной оператор А линеен и действует из 11 в //, и 6 / <Е К.

Обозначим через Ис> где О* = С > 0, гильбертово пространство, состоящее из элементов пространства Н, со скалярным произведением {у,ъ)а = (Су, и) и нормой ЦуЦс = у/{у,у)а, У,ъ £4. Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получим задачу для возмущения

А(и-и) = (/-/)-(А-А)и. (3)

И хотя операторы в (3) линейны, тем не менее Аи — Аи ф А(и — и) ф ф А(и—и). Последнее соотношение показывает принципиальное отличие изучения сильной устойчивости, которое заключается в нелинейности задачи для возмущения, от исследования устойчивости лишь по правой части или начальным данным в случае эволюционных уравнений. В диссертационной работе рассматриваются ограниченные операторные коэффициенты. Однако, если мы имеем семейство операторов Ан, действующих соответственно в пространствах Нн (ситуация, характерная для разностных схем), то различают ограниченность при фиксированном параметре Л и равномерную по 1г ограниченность (т.е. существование постоянной М > 0, не зависящей от Л такой, что ||Л/,|| < М при всех /г). В качестве примера можно привести оператор второй разностной производной

(Ану){ = (?/,•+! - 2у; + у,-:)//'2, г = 1, 2,...,N- 1, у0 = !Ш = О,

2/г = г,- = г'/г, { - 0, 1,ТУ, х0 = О, ж/у = /,

для которого

ill )■ 4 , irk А

Следовательно, норма оператора Ah не является равномерно ограниченной по Л. С другой стороны, размерность пространства Ль (как и норма оператора Л^) стремится к бесконечности при Л —> 0.

На основании изложенного выше ясно, что второй принципиальный момент исследования коэффициентной устойчивости разностных схем связан с умением оценивать меру возмущения, вообще говоря, неограниченных операторов.

Определение 1. Пусть линейные операторы А и А являются самосопряженными и положительно определенными. Мерой возмущения оператора А будем называть постоянную а, наймет шую среди неотрицательных чисел С, удовлетворяющих при всяком v 6 Л неравенству:

ial-^u.^KdbyHU, с ^ о. (4)

Определение 2. Операторное уравнение (1) называется сильно устойчивым, если оно коэффициентно устойчиво и его решение непрерывно зависит от возмущения правой части, т.е. существуют такие постоянные MUM2 ^ 0, не зависящие от выбора входных данных задач (1), (2) такие, что выполняется неравенство

||г-«||(1)<лг1||7-/||(2) + ам2||/Ц(з).

Доказывается следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть линейные операторы А, А являются положительно определенными и самосопряженными:

А* {В, А* = Л > SE, S, 6 = const ^ 0, (5)

а а - мера возмущения оператора А. Тогда, если «, 57- решения уравнений (1), (2) соответственно, то справедлива оценка сильной устойчивости:

цг-чи ^||J-/IU- + «№->• (6)

Отметим, что данный результат был доказан А.Н.Тихоновым и Л.А.Самарским в конце 50-ых годов. Однако с помощью новой введенной меры возмущения (4) вывод априорной оценки (6) значительно упрощается.

В качестве иллюстрации рассматривается первая краевая задача для одномерного стационарного уравнения

(fc (*)«')'= -/(*), 0<х</, и(0) = и(/) = 0, (7)

при естественном предположении 0 < сг < к[х) < сг- На равномерной сетке й>д задача (7) аппроксимируется разностной схемой

{Лу)( = = »' = 1,2,...,//- 1, уо = ук = 0, (8)

где а(г), 9? - стандартные шаблонные функционалы от к, /, причем О < ^ а(х) ^ С2, а; 6 = оци {гдг = /}. Наряду с исходной

схемой (8) рассматривается возмущенная задача:

(-Ау) = - (а&е)*,! = 0 < С! ^ а(ж) ^ с2, у0 = ЙУ = 0. (9)

Показывается, что решение разностных схем (8), (9) удовлетворяет априорной оценке вида (б):

\\У~У\\л ^ +со||а-а||с||£||;1-1, || • ||с = тах | • |. (10)

гбш/,

Отметим, что априорная оценка (10) приводится также в известных монографиях Л.Л.Самарского "Теория разностных схем "и А.А.Самарского, Р.Д.Лазарова, В.Л.Макарова "Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями".

В данной главе рассматривается также и случай несамосопряженного оператора /1* ф А. В этом случае вводится следующее

Определение 3. Мерой возмущения оператора А будем называть постоянную а, наименьшую среди неотрицательных чисел С, удовлетворяющих при всяком V неравенству:

||(1-л)г,!|^С||1г,||, 0. (]'.)

Доказывается следующая

Теорема 2.2. Пусть и, и-решения уравнений (1), (2) соответственно и выполнены условия (5). Тогда, если а — мера возмущения, определенная условием (11), то имеет место оценка сильной устойчивости:

||«-и||дм<||/-/||+а||/||. (12)

Данная теорема применяется для исследования коэффициентной устойчивости разностных схем, аппроксимирующих задачу Дирихле

для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами

+£ =х=6 с-

и(я)=0, хбГ.

Прямоугольная область G покрывается равномерной сеткой W/,, на которой дифференциальная задача аппроксимируется разностной

{Ау){х) = - (ai(x)yil)Xi - {a2{x)yi2) = р(х), х 6 uh,

(14)

у(х) = 0, г € ГЛ. Соответствующая возму1ценная задача имеет вид

(Ау)(х) = -(al{x)yil)ti - (а2{х)уц3)гз = !р(х), х £

у{х) = 0, х G ГА.

При естественных условиях на коэффициенты в диссертации доказывается сильная устойчивость схемы (14), т.е. устанавливается априорная оценка (12) в сеточной полунорме при

а ^ со (c*i + «г)» с0 = const > 0, Qj = max{||ai - mile, Ца2-а2||с},

а2 = max{||«ixi - nixJIc, Ца2г2 -огг2||с}-Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что в отличие от априорных оценок (6), (10) доказательство коэффициентной устойчивости в более сильной норме требует и большей гладкости от коэффициентов ki(x), ^(я) дифференциального уравнения (13). Кроме того, теорема 2.2 позволяет исследовать коэффициентную устойчивость и в случае несамосопряженного оператора, например, для стационарных задач конвекции-диффузии.

Третья глава посвящена получению априорных оценок устойчивости по начальным данным, правой части и операторным коэффициентам (сильной устойчивости) двухслойных операторно-разностных схем. При получении конкретных результатов используется общая теория устойчивости разностных схем, метод энергетических неравенств и техника исследования устойчивости в интегральных по времени нормах Полученные априорные оценки сильной устойчивости разностных схем согласованы с соответствующими оценками для дифференциально-операторных уравнений.

В §1 рассматривается задача Коши для дифференциально-операторного уравнения:

D— + Аи = /(«), 0 < t < Т, ti(0) = tf0,

(is;

где D, А — линейные постоянные операторы, действующие из К в - конечномерное гильбертово пространство, щ — заданный элемент из И, гi(t), f(t), df/dt — абстрактные функции непрерывной переменной t со значениями в %.

Через u(i) обозначим решение возмущенной задачи:

D^ + Au = f(t), 0< t<T, и(0) = «о- (16)

Определение 4. Решение задачи (15) будем называть сильно устойчивым, если существуют такие положительные постоянные Mi, Мз > 0, не зависящие от выбора входных данных задач (15), (16), что выполнено неравенство

Н«(0 - «(011(1) ^ м,||«о - 41(1) + М2||Л0 - Л0Н(2)+ +ол;3 (!1"о!|(з) +11/(011(4)).

Здесь а = max{ai, «г}, - мера возмущения оператора А, «2 - оператора D, определенные неравенством (4) или (11).

Теорема 3.2. Пусть операторы задач (15), (16) удовлетворяют условиям:

А* = А ^ SE, 5 > 0, D' = D^ еЕ, е = const. > 0,

А> 0, A*D^ 0. Тогда решение задачи (15) сильно устойчиво и имеет место оценка

с

IR0 - "(011д < р(0) - u(o)|& + i J ||/(0) - fm*

о

+ Н Ual J\\7{0)\^d0 + (qj + 2«^) I \\АЦт2м) ,

f 10+

причем

t i i ~ J\\M0)\\40^4tet |Йп(0)||Ч||Л0)||Чтах||/>)||2 + / W'^fdO] .

ai,a2 - меры возмущения операторов A, D соответственно, заданные определением 3.

В этом же параграфе при более слабых ограничениях устанавливается априорная оценка, выражающая свойство сильной устойчивости и в норме пространства Tip.

В §2 изучаются двухслойные разностные схемы, трактуемые как оиераторно-разностные уравнения с постоянными операторными коэффициентами, действующими в гильбертовом пространстве.

Пусть wr = {tn = пг, л = 0,1,... ,по, т = Т/по} - равномерная сетка по времени с постоянным шагом. Тогда любая двухслойная операторно-разностная схема с операторами, действующими в И, может быть записана в каноническом виде

B(tnfn+1 ~Vn + A(tn)yn = <р,1} п = 0,1,..., т/о- задано. (17) т

В дальнейшем будем пользоваться безындексными обозначениями У = Уп+1 = y{tn+1) = y(t + г), у = j/„_i, yt = (у-у)/т, j/(-= (у-у)/т.

Для применения общей теории операторно-разностных схем выделяется так называемое исходное семейство, определяемое при помощи условий: оператор А не зависит от t (постоянный оператор); оператор В = B(t) — положительный, В > 0, t € wT; А = Л* > 0. Известно, что для схем из исходного семейства условие

необходимо и достаточно для устойчивости в На по начальным данным, т.е. выполнена оценка

1Ы1л ^ 1МЬ, п=1,2,...,

где уп ~ решение задачи (17) с однородной правой частью.

Предполагая в дальнейшем линейность и постоянность операторов А и В, задачу (17) перепишем в безындексной форме:

Вуь + Ау = <р{1), ¡/(0)=|Л). (18)

Соответствующая ей возмущенная задача имеет вид

Вус + Ау — у{0)=уо- (19)

Вычитая из (19) соответствующие уравнения (18), получаем задачу для возмущения = у{1) — у(£):

+ = (£ - ф) - (С - Ой -(А-

го = щ — ьо,

где С = В — О,5т А, 0=В-0,5гА.

Теорема 3.3. Пусть операторные коэффициенты разностных задач (18), (19) удовлетворяют условиям

Л* = А ^ 6Е, С* = С= В- 0,5 гА ^ О, А> О, А*В' -0,ЬгА*А. Тогда решение схемы (18) сильно устойчиво и имеет место оценка

п

к= О

(г«\ ¿т||^|Г + (а? + 2*\)^т\\А%

в которой

п

Е $ '»+1 ( \\Ауо\\ + ||£о|1 + шах ||п|| + £ Т\\<Р1,

к=0 \ к = 1

,;..............................-rd°'s,||!

\ к = 0 к=0

*lll >

<*ь «2 - меры возмущения операторов A, G соответственно, заданные определением 3.

При более сильных предположениях на оператор G = В — 0,5А ^ еЕ аналогичная оценка сильной устойчивости доказывается и в энергетическом пространстве %а-

В §3 аналогичные исследования при более слабых ограничениях выполнены для абстрактного параболического уравнения и соответствующих двухслойных операторно-разностных схем в случае переменных операторов.

Пусть линейный оператор А = A(t) : TL —> % зависит от времени, является самосопряженным и положительно определенным в гильбертовом пространстве ~К\

A* (t) - A(i) ^ 8Е, 6 = const > 0. (20)

Рассматривается абстрактное параболическое уравнение du

— +A{t)v = f{t), 0 < t <Т, и(0) = мо. (21)

Пусть u(t) решение соответствующей возмущенной задачи (ill ""

— +A{t)ü = f(t), 0 <i<T, u(0) = «o.

Ä* (t) = Ä{i) ^ SE, 6 = const > 0. (22)

Согласно определению 1 предполагается, что

I ((1(0 - Л(0) | ^ aIMI.J(t)IMU(t)i a ^ о. (23)

Доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.5. Пусть выполнены условия (20), (22), (23). Тогда для возмущения решения справедлива априорная оценка

t

R0 - «(Oll2 < Po - .oil2 + J IIДО) - f(0)\\2A->{e)d0+

о

+«2 ^||ïïo||2 + I ||/(ö)||2--1(9)riöj .

Аналогичные исследования выполнены и для двухслойных операторпо-разностных схем с весами, аппроксимирующих абстрактную задачу Ко-ши. С этой целью проводится дискретизация по времени. Пусть т > 0 - шаг по времени и уп = y(tn), Ап = Л(гп), /„ = /(¿п), ¿п = ит- Для задачи Коши (21) запишем следующую схему с весами

yt,n + Апу(°] = /„, п = 0, 1,...,п0- 1, Уо = «о- (24)

Здесь у!17' = ступ-и + (1 — с)Уп• Возмущенная разностная схема имеет ВИД

Ш,п + Ап№ = /„, п = 0,1,... ,по — 1, Уо=«о- (25)

Имеет место __ _

Теорема 3.6. Пусть <т ^ 0,5 и операторы Ап — Л(<„), А„ = /1(<п) удовлетворяют условиям (20), (22) и (23). Тогда для решений задач (24) и (25) справедлива априорная оценка

п

||Уп + 1 - Уп + 1 II2 ^ ||5о - «oll2 + £ г||Л -

fc=0 *

+a2 (iMP + èrlIÂII2--.).

Аналогичные исследования проведены и в норме На-

В четвертой заключительной главе исследуется коэффициентная устойчивость трехслойных операторно-разностных схем с весами

+ т/о = «о, У1=«1, (26)

где Уи = (У ~ 2у+ у)/т2, =агу+ (1 - аг - <т2)у + а2у.

Обозначим через у решение задачи (26) с возмущенной правой частью, начальным условием и операторным коэффициентом

т + ¿7о = «о, У1 = «1- (27)

Вычитая из (27) соответствующие уравнения (26), получим задачу для г:

ги + Лг'"1'"2' = у) - [Л-А)^»^, (28)

г0 — щ — п0, 2\ =йх — и1. (29)

В качестве меры возмущения постоянного оператора А будем использовать неотрицательную постоянную а из (23).

Отметим, что исследование равномерной устойчивости в ?{ по начальным данным и правой части для трехслойных схем является очень непростой задачей. В известных монографиях А.А.Самарского, А.А.Самарского и А.В.Гулина для этих целей используется принцип суперпозиции, который, к тому же, позволяет избавиться от условия /»-устойчивости. Эти идеи вместе с соответствующими определениями меры возмущения оператора используются в диссертационной работе для доказательства следующей теоремы.

Теорема 4.1. Пусть линейные операторы А, А являются положительными и самосопряженными, а веса сгх, стг удовлетворяют условиям:

0-1 ^ СГ2 > О, СГ! -+• <72 ^ 1,

<Т1+ст2 с = тах{||Л||,||1||}.

Тогда для решения задачи (28), (29) имеет место оценка сильной устойчивости

||*п+1|| ^ те М|г0|| + ||*,о||х>, + ¿т||£, - +

V »=1

(\\yob + 11^о||5 + £ ф,\\3

где Dx = А'1 + 0,5r2(<Ti -f а2)Е, D = Е + 0,5r2(<7i + <т2)А, mc = а/(1 + £ > О, а - постоянная, фигурирующая в неравенстве (23).

Соответствующие априорные оценки сильной устойчивости получены и в более сильных энергетических нормах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости дифференциально-операторных и операторно-разностных схем по отношению к возмущению операторных коэффициентов, начальных данных и правой части, т.е. так называемой сильной устойчивости.

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Получены априорные оценки сильной устойчивости для линейного операторного уравнения с несамосопряженным оператором. Ключевым моментом в ходе исследования устойчивости является предложенная мера возмущения оператора ([2], [4], [5]).

2. Для дифференциально-операторных уравнений первого порядка и двухслойных операторно-разностных схем доказаны оценки устойчивости по отношению к возмущениям операторных коэффициентов, начальных данных и правой части, согласующиеся на дифференциальном и разностном уровне как в отношении требований, предъявляемых к операторам, так и в плане норм.

3. Получены достаточные условия сильной устойчивости трехслойных операторно-разностных схем с весами в энергетических нормах 71 и Существенным для проводимого исследования устойчивости в сеточной норме является принцип суперпозиции, который позволяет избавиться от ограничительных условий р-устойчивости.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Матус П.П., Панайотова И.Н. Сильная устойчивость двухслойных операторно-разностных схем// Докл. НАН Беларуси. - 1999. - Т. 43, №1. - С. 32-36.

2. Матус П.П., Панайотова И.Н. Сильная устойчивость дифференциал ьно-операторных уравнений и операторно-разностных схем// Дифференц. ур-ния. - 1999. - Т. 35, №2. - С. 256-265.

3. Матус П.П., Панайотова И.Н. Сильная устойчивость трехслойных операторно-разностных схем// Докл. НАН Беларуси. - 1999. - Т. 43, №6. - С. 33-37.

4. Matus P.P., Panayotova I.N. On coefficient stability of difference schemes // Second International Conference on Finite Difference Methods (Theory and Applications): Book of Abstracts. Minsk, July 6-9. 1998. / Institute of Mathematics of NASB. - Minsk. 1998. - P. 43.

5. Matvis P.P., Panayotova I.N. On coefficient stability of difference schemes // Second International Conference on Finite Difference Methods (Theory and Applications): Book of Proceedings. Minsk, July 6-9. 1998. / Institute of Mathematics of NASB. - Minsk. 1998. - Vol. 2. - P. 121-129.

6. Panayotova I.N. Coefficient stability of operator-difference schemes with time variable operators // Third International Conference: Mathematical Modelling and Analysis, October 8-9, 1998, Jurmala, Latvija / Mathematical Modelling and Analysis. Technika, Vilnius. -1998. - Vol. 3. - P. 152-159.

РЕЗЮМЕ Плнлйотовл ЙорданкА Николонл Коэффициентная устойчивость разностных схем

Ключевые слова: операторно-разностная схема, коэффициентная устойчивость, сильная устойчивость, мера возмущения, априорная оценка.

В диссертационной работе решается проблема сильной устойчивости дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем с операторными коэффициентами. Получены новые априорные оценки для операторных уравнений первого рода, абстрактного параболического уравнения и трехслойных операторно-разиостных схем с операторными коэффициентами, действующими в конечномерном гильбертовом пространстве.

Основные результаты диссертации заключается в следующем:

— для линейного операторного уравнения с несамосопряженным оператором, действующим в вещественном гильбертовом пространстве, получены априорные оценки сильной устойчивости;

— для эволюционных дифференцильно-операторпых уравнений первого порядка и двухслойных операторно-разиостных схем в случае постоянных и переменных операторов доказана устойчивость решения по отношению к возмущениям операторных коэффициентов, начальных данных и правой части. Полученные априорные оценки сильной устойчивости согласуются на дифференциальном и разностном уровне как в отношении требований, предъявляемых к операторам, так и в плане норм;

— доказана коэффициентная устойчивость трехслойных операторно-разиостных схем с весами в нормах % и На-

Все результаты диссертации являются новыми. Они имеют как теоретическое, так и прикладное значение и могут быть использованы при исследовании конкретных разностных схем, аппроксимирующих соответствующие задачи математической физики.

РЭЗЮМЕ

ПЛНАЁТАВА ЙАРДАНКА Н1КОЛАВА Каэфщыентная устойл1васць рознасных схем

Ключавыя словы: аператорна-рознасная схема, каэфщыентная ус-тошпвасць, моцная устойл!васць, мера узрушэння, апрыёрная ацэнка.

У дыссертацшнай рабоце вырашаецца праблема моцнай ус.тойл1вас-щ дыферэнцыяльна-аператарных урауненняу 1 аперата])на-рознасных схем з аператарным1 каэфщыентамь Атрыманы новыя апрыёрныя визига для аператарных урауненняу першага роду абстрактнага ларабал!ч-нага ураунення ! трехслойных аператарна-рознасных схем з аператар-ньип каэфщыентами, ягая дзейшчаюць у канечнамернай г1льбертавай прасторы.

Асноуныя вышк! дысертаци заключаюцца у наступным:

— для лшейнага аператарнага ураунення з несамаспалучаным апе-ратарам, яга дзейшчае у рэчаюнай пльбертавай прасторы, атрыманы апрыёрныя аценга моцнай устойл1васцц

— для эвалюцыйных дыферэнцыяльна-аператорных уРаУненняУ першага парадку 1 двухслойных аператорна-рознасных схем для вы-падку пастаянных I змеиных аператарау даказана устойл1васць рашэн-ня у дачыненш да узрушэнняу аператарных каэфщыентау, пачатковых дадзеных 1 правай частга. Атрыманыя апрыёрныя ацэнга моцнай устой-лхвасщ узгоднены на дыферэнцыяльнам 1 рознаснам узроуш як у ад-носшах патрабаванияу, прад'яуляемых да аператарау, так I у плане норм;

— даказана каэфщыентная устойл1васць трохслойных аператарна-рознасных схем з вагам! у нормах % I На-

Усе вышк1 дысергацьп з'яуляюцца новыми Яны маюць як тэарэ-тычную, так 1 прыкладную важнасць 1 могуць быць выкарыстаны пры даследавашп канкрэтных рознасных схем, я к ¡я апракам'фуюць адпа-ведныя задачи матэматычнай ф1зш.

SUMMARY PANAYOTOVA lORDANKA NlKOLOVA Coefficient stability of difference schemes

Keywords: operator-difference scheme, coefficient stability, strong stability, perturbation measure, a priori estimate.

In the thesis the problem of strong stability of differential-operator equations and operator-difference schemes with operator coefficients is solved. New a priori estimates for operator equations of the first kind, abstract parabolic equation and three-layered operator-difference schemes with operator coefficients acting in a finite, dimensional Ililbcrt space are obtained.

Main results of the thesis are:

- a priori estimates of the strong stability for linear operator equation with non-selfadjoint operator acting in a real Ililbcrt space are obtained;

- the stability of solutions with respect to perturbations of operator coefficients initial data and right-hand side is proved for both evolutionary differential-operator equations of the first kind and two layered operator-difference schemes with constant and variable operators. The a priori estimates for the strong stability are consistent for difference and differential case, as with respect to operator requirements as norms used;

- coefficient stability of three-layered operator-difference schemes with weights in the norms 7i and rHy\ is proved.

All the results are new. They have both theoretical and applied meaning and can be used for investigation of concrete difference schemes approximating correspondent problems of mathematical physics.