Устойчивость обратных задач спектрального анализа в непрерывной и разностной постановках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕШ НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РСФСР

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСГВЕШЕЙ ЛШЕГСИТЕГ ИМ. ЛЕНИНСКОГО кшсшодл

На правах рукопяои

СУЛТАНОВ ЮТЛГ АВДПШСТРСЕШ

УДК 5X9.63:517.946

УСТОЙЧИВОСТЬ ОББШШХ ЗАДАЧ СПЕКТЕУННОГО АНАЛИЗА. ' В НШРЕШИЮЛ И РАЗНОСТНОЙ ПОСТАНОВКА!

01.01.07 - вычислителхная матеиатйка

Автореферат

диссертации на ооиокание учевой степени кандидата . физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1532

Работа выло л не па в Новосибирском государственной университете им. Ленинского комсомола

Научный руководитель: доктор физико-матенатичеоких наук,

профессор А.Л.Буггейы

Официальные оппоненты: доктор физико-матеиатическюс наук,

профессор В.Г.Яхно,

кандидат физико-математических наук, , доцент С.П.Бедивскиа

Ведущая организация: Челябинский государственный

университет

Защита сооаоитоя "•/ «ФВ&О с^ 1992 г. в /¿ часов на заоеданки Специализированного совета К 063.98.04 Новосибирского госуниверситета по присуздению ученой степени кандидата наук по адресу:

630050, Еовосибирск-£0, ул. Пирогова, 2.

С дисоертацаей можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета..

Автореферат разослан 'У^у" е? - ^ ул 1992 и.

Ученый секретарь

Специализированного совета К 063.98.04

доктор фпзико-ыатештаческих наук ^Г(^^-—Б.В.Кшитонов

(¡-•■Г* Г)

0Б1Щ.Я ХДШСТЕгастКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование обратных задач, в кото-рах по измерениям соотояния сиотемы пни процеоса требуетоя эпредэлить некоторый набор причинных характеристик имеют важное прикладное значение. Такое нарушение естественных причин-ао-следственпнх связей и влечёт за собой нвкорректнооть иатэ-латичеокоЗ постановки обратной задачи. Практическая значимость обратных задач настолько велика, что га последние 30 лет возникла новая область математики - теория некорректная задач, основы которой бит заложена в работах А.Н.Тихонова,

Лаврентьева, В. К. Ива нова.

Разнообразные подхода к исследованию и построению алгоритмов репения некорректных и обратных задач отражены в рабо-гах таких авторов как Л.С.Алексеев, Ю.Е.Авиконов, В.Я.Ароенин, 1.Б.Бакушнокиа, Н.Я.Безнощенко, Ю.Ы.Березанский', А.С.Благове-це некий, А.Л.Бухгейы, Г.Ы.Вайникко, В.В.Васин, В.А.Винокуров, З.Б.Гпаско, А.В.1Ънчарский, В.К.Ивапав, А.Д.Искендерсш, С.И.Ка-Заннхан, О.А.Лисковец, В .А.Морозов, А.И.Прияепко, В.Г. Романов, З.Н.Страхов, В.П.Танана, В.А.Иецохо, АЛ.Черепащук, А. Г.Яго па, З.Г.Яхно и др.

Заработка и теоретическое обоснование устойчивых разноот-

анх методов решения некорректных обрагвнх задач обусловлено постоянная расширение« области практических приложение »той георип.

Цель работы состоит в построении и коследовании устойчивых рнзноотиых методов решения коэффициентной обратной задачи дяя уравнения Шредингера, а также получение оценок уолов-ной устойчивости решения этих обратных задач.

Методика исследования. В работе применяются метода теории разностяих охеы, разностный вариант метода весовых априорных оценок.

Научная новизна. Предложен и обоснован устойчивый разностный метод решения обратной задачи определения коэффидаенга уравнения Шредингера, основанный ва устойчивости трехслойно!! "возмущенной" развоотно! схемы дяя некорректных задач Кошн. Получены оценки усяовной устойчивости и найдены достаточные условия безусловной устойчивости предлоаеяных разностных охе! дм решения обратной задачи. Доказаны теоремы об оценках устойчивости восстановления потенциала уравнения Шредингера (как одномерною так и многомерного) в нестационарной и спек1 ральной постановках в непрерывном случае.

Теоретическая "и практическая ценность. Результаты работы ыогут найти применение для построения-разностных методов решения многомерных обратных задач и при обосновании-их сходимости. ,

Апробация работы. Основные результаты диооертации докладывались: -

- на У Школе молодых математиков Сибири и Дальнего Воете ка (Новосибирск,: 1990);

- на ХХШ региональной ыолодекной конференции (Екатеринбург, 1992);

- па Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1392);

й

- на кафедре математические метода геофизики ШУ. Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре рабо-

гы.

. Структура и объём работы, Диссертация соотоит из ввзде-гая, трех глав и списка литературы из 52 наименований. Работа изложена на 160 стр. машинописного текста.

С0ДКЕЕД1ППЗ РАБОТЫ

Введение содержит краткиЛ обзор работ по теме дисоертацип i основные результат диосертации.

В первой главе иосдедуются вопросы устойчивости епредеяв-вия коэффициента уравнения Шредингера в нестационарной и спектральной постановках в непрерывном случае.

В первом параграфе методой весовых априорных оценок доказывается теорема условной устойчивости решения одномерной обратной задачи в нестационарной постановке. Перейдём к формулировке результатов.

Пусть Ul£%t) - гладкое решение с ведущей краевой задачи: .

Щ + ÜXX -а(х)и-б, ¿е(0Л), UP, г*—/, (i)

- f[X), 1¿x(O,t)~Ux(Z,t)°0¿; (2)

Здесь а(х) достаточно гладкий вещоотвенннй потенциал, начальные дакгшэ f(X) в общем случае могут приппмать комплексные зпачйния, Тпсбуется, зная о лёд решения U{X¿) при Х^О:

u(oj)-fd), г^еБЛГ], \ (з)

по функциям f и q восстановить потенциал а(я) . По отношению к обратной задаче (1)-(3) справедлива .

Теорема I. Пуоть üf(X.),ae(X) - два решения обратной задачи (1)-(3) о даняши (fg,Ç2) соответственно. Пуоть кроме того, Oj £ W^itf.fc) « тае Ц^ - пространство Соболева, для всех Хе Q?, %] ? d%j/da?-*О, dKfjfd!CK-Û при ¿DmО ъ я~>ъ, /-А 2, Л"— Тогда существует число &а такое, что для всех £ £ (0,6д) имеет место оценка устойчивости

где c(£)*exp(c/s*).

Во втором па ратраке тлавн I доказывается теорема устойчивости решения решения многомерного аналога обратной задачи Ш-(З). .

В третьем параграфе главы I теорема I сформулирована в спектральной постановке. Еаосыотраы 'задачу на собственные значения . -

Lu s- ¿¿"ix) + a(z)u -Ли, хе(о,ъ)} (4) .

и'(0) = О, и'[%)-0. (5)

Здесь û[x) доотаточно гладкий вещественный потенциал. Пуоть - собственше значения краевой задачи (4), (5) ^нумерованные в порядке возрастания, а Ик№) - соответствующие шл орт'онодоирозанные в {О,I)собственные функции. Спектральными данными задачи (4), (5) будем называть после- ; доватеяьность

где < ¿,.> - окалярвое произведение - / ^

Г - заданная гладкая функция. Обозначим через Хк , ик (х) -собственные значения и соответствующие им собственные функции задача (4), (5) о С1-ае , В.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы Г, Бзяи

1</7г » то Л™ шэбого . имеет место

оценка устойчивости

(¿^0)^ т{с,/&{//б)) , €> — ¿7.

Здесь ^ - /шм; (| - л! |, I 2?' - |}, 4 >0,

В четвертом параграфе главы I доказан многомерный аналог теоремы 2. .

В главе 2 проводится построение к иооледованяв разностного метода решения обратной задачи Ш-(3). В первой главе доказывается, что устойчивость решения обратно!! задачи Ш-(3) следует из оценки устойчивооти решения задача Коши (с дав-ннш при х=0 ) для интегредафференциального уравнения .

г^.- а,(£кг +

i . Л-' -т ; .. '

(6)

о - ■

Поэтому, прл обосновании разностных методов решэпия обратных

задач, рассмотренных в главе I, возникает необходимость получения сценок устойчивости решений разностных схем, аппроксимирующих уравнение (6). Функции аг $0, Кп Кг в (6) предполагаются достаточно гладкими функциями своих переменных.

В первом параграбя главы 2 о помощью разностного варианта метода априорных весовых оценок доказывается устойчивость двухслойных разностных схем. Отметим, что разностный вариант метода априорных веоовых оценок бая развит АД.Бухгеймом Щ в овяаи о построением теории разностных схем для некорректных задач Коши, охватывающий уравнения о переменными коэффициентами. На основе понятия финитной устойчивости разностной схемы им был!! получены различные критерии устойчивости двухслойных операторно-разностшэс схем, аппроксимирующих некорректную абстрактную задачу Коти. •

Пусть// гильбертово пространство о нохыой |®| и скалярным произведение« с .,.> ;; ,

20 —"И - функция дискретного аргумента/ со значениями в И . Положим '

й- и^,, й-и^,.

Ич

Здесь Ъ- шаг сетки, Т >0 . Для функции г/г /

положим

I. Бухгейы'Д.Д. 1Ьзнсстпые методы решения некорректных задач. - Новосибирск:ВЦ СО АН СССР, 1986. - 148 с,

н

\u\t - ¥?(з)1илг,

•> ¿ч) * '

где , ср: в>0, + О

для воех . Эта норма есть разностный аналог -

нормы о Бесом ехр . Введем такке следующее обоз-

начение

К,* - 4

Здесь к целое неотрицательное число.

Известно, что финитная устойчивость разностной схема обеспечивает её £~ устойчивость в норме % И},

Н"< М < Н. т.е. только во "внутрапней обя~отл" сетки Для получения оценки устойчивости на всей сетке л, нужно учесть вклад внеинтеграшгах членов, возникающих при использовании формулы суммирования по частям, и, следовательно, следует работать не о финитным.; функциями Сд (2а ), а с произвольными и :

Шссмотрнм разностную схему

Р±и- - (А ¿3)и ~

где А,Зе£(Ю, к*-к>0% = О,

- коммутатор операторов ъг>~-1 и операторн

к,В

не зависят от з Теорема 3. Пусть для всех в^Вд и некоторого (?>О выполнены условия

Mi*[sipi£±rs<pi<x,\B\i)E>stf£,

M0 а-1$(р{(/-сС-')£ - vAs-O, ос>0.

у

Тогда для воех S>Sgf и: ZQ И ' для разностной охеш P+U ~ ¿¿£ + (А + lj3)u имеет место оценка

• Теорема 4. Пусть для воех S>Sa а некоторого (?>С выполнены условия"

Тоща для всех и: Z0 —*Н, S^Sa для разностной схемы Pju. - Щ-\А + ¿В)U имеет место оценка

Во втором параграф главы 2 доказана теорема условной ус" тойчивости трехолойной разноогной схемы, полученной в результате аппроксимации, угавнен&я (6) . Метод доказательства основан на сведении трехслойной схемы к двум двухслойным схемам н

■ ., применении результатов предыдущего параграфа.

В третьей указе рассматриваются вопросы построения и исследования безусловно устойчивых разностных схем для решения

■ - обратной задачи (1)-(3).

В персом паратое главы 3 рассмотрена абстрактная трех-■ сдойная разностная схема с двумя весами :

."■■. 10

Ри " U£ - А,(би + (/-£0)и+ бй) -

-h^U* U(7)

urgt игиа.

Здесь А„ 4 е A*z~ Аг*0, [Л„ Q - О,

СИ/ » А^] - коммутатор операторов и

операторы Л,, А3 не завноят от /.

Достаточные уоловия безусловной устойчивости абстрактной трехслойной разностной схещ (7) были получены Н.А.Вектеме -совш М . Теорема, о гро рлу гарованкая ниже, обобьет результат работы [2] .

Теорема 5. Пусть выполнены услозм

£ + 2г2(/-0)Л,+ О.

Тогда для всех 2Г6 (¿7, £>¿7, tf: для разностной схемы (7) шеет место сценка устойчивости

2, Бектеиесов Н.Д., Устойчивость трехслойной разностной схеш для некорректных задач Koir'// Методы решения обратных задач. - Новосибирск: Ш СО АН СССР, .¿990. - С. 45-54. •

II

- ортопроектодо пространства' Н. на подпространства Н ■ ,

...

. . Бо втопом параграфе главы 3 используя устойчивость разностной схемы.(7) доказывается устойчивость "возмущенной" схемы:

Ой- Ри-кй-?, . (9)

где

Теорема 6. Пуоть выполнены уоловия теоремы 5. Пусть, далее, оператор К удовлетворяет щенке

\Ки\ * С{№$+ ) Уие£г (О,А/-,//).

И

, Тогда для всех Б >¿7, М\2а-*-Н для

ра?ноотной охеш 0.и- Ри~ Кй выполнена оценка устойчивости (8).

На основе устойчивости "возмущенной" схемы (9) построены . безуолозно устойчивые трехолойные разностные охеш, аппроксимирующие некорректную задачу Коти для уравнения (6).

В третьем' паоагшве гдавц 3 доказана теорема сходимооти разноотной охеш, соответствующей абстрактной задаче Кош:

1Г(0)Ш 1Гд , ¿5 10) - О. ,

, Здесь

/4-/4,+ 4, Л,

>0, Ай*0 - линейные, неограниченные, не завиоящяе от Ь операторы с областью определе-. имя ¿й[к) СуУ; Я - гильбертово пространство;

12

; tií) .•функция Vi 0?, Г] —•//• чета режды непрерывно диф<$ереицируена в оияьном ошоле,. т.о.

И ) , причем v{t)e¿0{Á ) для всех íe.\p,T],

В заключение автор шраяает иокреншоо благодарность научному руководители д.ф.-м.н., проф. A.JT.Byxreß.iy за поотановку задач и внимание к работе.

Публикации по теие даосертации:

1. Султанов И.А. Устойчивость одномерной обратной задачи для уравнения Иредингера// Матештичеокнй анализ : дискретная математика. - Пензуз. сб. науч.тр.- Нозооибирок:Изд-зо Но-вссиб. roo.ун-та, IS89. С. 27-3-3.

2. Султанов H.A. Об устойчивости восстановления двумерного потенциала в уравнении Шрадингера// Метода решения обратных задач. - Новооибирой.-ИЫ СО АН СССР, 1990. С. I2I-I30.

3. Султанов U.A. Многомерная обратная задача опектрального анализа// Тезисы докладов Всесоюзной коиф. "Уоловно-кор-рентные задачи математичеслой физики и анализа". Новосибирск, IS92. С. 79-гО.

4. Бухгейм А.Л., Султанов U.A. Устойчивость разностных методов реиешзя обратных коэффициентных задач// Тезисы докладов Всесоюзной конф. "Услозво-корректине задачи математической физики и анализа". Новосибирск, 1992. С. 12-13.