Поведение итераций в окрестности неподвижной точки при случайных возмущениях параметров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Запас устойчивости разностных линейных систем при случайных возмущениях параметров.

§ I.I. Коэффициентный критерий устойчивости решений стохастических разностных уравнений в R*1.

§ 1.2. Экспоненциальная устойчивость решений линейных разностных уравнений со случайными коэффициентами в сепа-рабельном гильбертовом пространстве

Глава П. Поведение итераций при малых случайных возмущениях параметров

§ 2.1. Асимптотическое поведение нормиро -ванных уклонений от решения уравнения невозмущенного движения

§ 2.2. Исследование устойчивости равновесия в критическом случае

Многие задачи теории вычислительной математики, теории автоматического регулирования, имитационного моделирования, радиоэлектроники и т.д. приводят к необходимости анализа дискретных динамических систем, описываемых разностными уравнениями. Одна из самых распространенных форм разностных уравнений имеет вид

- ff^M (X) где уъ - вектор из , а - параметр, характеризующий систему в целом и принадлежащий некоторой действительной области А , -f Я**1* А з f - достаточно гладкая функция. Как правило, в этих задачах ищется неподвижная точка у 'flyi^J уравнения (I).

Под эту схему прямо подходят итерационные методы вы -числительной математики, например, итерационные методы решения линейных уравнений, решение нелинейных уравнений методом Ньютона, многие задачи оптимизации. Таким же уравнением описываются и также приводят к поиску неподвижной точки задачи моделирования биологических и экологических систем, некоторые задачи планирования и управления народ -ным хозяйством. Даже в теории надежности программ число ошибок в программе описывается аналогичным уравнением, где неподвижной точкой является число ошибок, так и оставшихся в программе во время ее эксплуатации (не теряя общности, можно считать, что неподвижная точка - нулевая).

Надо отметить, что почти во всех задачах параметр сь задается неточно. Так в последнем примере из области программирования, где параметром сь является число операторов в программе, которое на первый взгляд кажется вполне определенным, имеется неточность, так как при исправлении ошибок число операторов в программе все время меняется. Поэ -тому рассматривается уравнение где - какие-то случайные возмущения параметра сь . Обычно сравнительно малы. Практически всегда требуется исследовать процесс в окрестности неподвижной точки

2. уравнения (I); и это показывает, что ва жен вопрос об устойчивости итерационного процесса (2) к малым возмущениям параметра в окрестности неподвижной точки. К поиску неподвижной точки итерационного соотношения сводятся также некоторые задачи стохастической аппроксимации [l5j.

Все сказанное выше позволяет утверждать, что анализ поведения итераций в окрестности неподвижной точки при наличии случайных возмущений является весьма актуальной за -дачей.

Все результаты диссертации в некоторой мере связаны с изучением поведения итерационных схем, описываемых уравнением (2). Обозначим 2 + • Тогда при малых оС^ и ^ +■ DJM< + Dzcftzrfx^ + £ или где D^ -f означает матрицу производных вектор-функции f по координатам вектора]?. Функция -f в окрестности неподвижной точки обычно мало чувствительна к изменениям параметра d (иначе задача поиска неподвижной точки уравнения (2) теряла бы смысл), поэтому в предыдущем разложении можем считать, что Debf(E/cb) = 0 . Тогда в первом приближении получаем

Dzfth.aJX hj -f- DzCO fa т.е., получаем уравнение вида А к^ + 8 voc^ , (4) где А и 6 - действительные j^x/nj-матрицы. Исследо -вание устойчивости линейных стохастических разностных систем вида (4) посвящена первая глава диссертации.

Вообще исследованию устойчивости решений разностных уравнений со случайными параметрами посвящено сравнительно мало работ. Среди первых работ в этой области следует указать прежде всего (24J, где исследование устойчивости проводится при помощи функций Ляпунова и само понятие устой -чивости связано с положительностью некоторого супбрмартин-гала. Однако, результаты этой работы мало доступны для приложений, поскольку они сформулированы в терминах существования функции Ляпунова без указания способов ее построения.

Большое внимание в литературе уделено исследованию стохастических линейных разностных систем. Частично это можно объяснить тем, что доказана [в] теорема об устойчи -вости по первому приближению, согласно которой для устой чивости нелинейного стохастического разностного уравнения достаточно, чтобы его линейная часть была экспоненциально устойчивой, а нелинейная часть в некотором смысле достаточно мала. Подробно изучено линейное скалярное стохастическое уравнение [9], получены необходимые и достаточные условия устойчивости тривиального решения этого уравнения, которые не всегда удобны для приложений, так как критерий устойчивости получен в виде неравенств, связывающих величины корней характеристического уравнения невозмущенной системы и дисперсии возмущений, а не в виде условий на коэффициенты системы. Авторам работ [l7,I9j удалось получить критерий устойчивости тривиального решения линейного скалярного стохастического уравнения 2-го порядка, выраженный через коэффициенты уравнения.

В настоящей диссертации получен практически удобный критерий устойчивости тривиального решения уравнения (4). Для этого применен новый способ исследования разностных стохастических систем, когда устойчивость связана со свойствами определенных операторов в пространстве симметрических матриц с конусом неотрицательно определенных матриц. Полученный критерий экспоненциальной устойчивости в сред -нем квадратичном тривиального решения системы (4) в случае разностного скалярного стохастического уравнения /п-го порядка является аналогом критерия Рауса-Гурвица устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Указанная методика исследования устойчивости разностных стохастических систем применена и в бесконечномерном случае.

Во второй главе диссертации исследуется поведение итераций при малых случайных возмущениях параметра. Рас -смотрим то же уравнение (2), ту же неподвижную точку, но перепишем уравнение (3) в следующем виде г—

Исследуем случай, когда -f(X h,^*;) мало, т.е., рас смотрим уравнение (5) где cS0 - любое малое положительное число. Уравнения типа (5) получаются и при решении дифференциаль -ного уравнения в интеРвале Г°/т] ПРИ начальном условии на ЭВМ методом сеток. Тогда

Ь является шагом сетки. Выбирая простейший способ аппроксимации, когда производная у f представляется как ^(h+tfb^)—tyC^^), ^ обозначая - Х^ » получаем

X 4-Х • практически из-за ошибок округления приходится работать с уравнением х*. + , (6) которое является частным случаем уравнения (5) при /4-Х.

Во второй главе диссертации введен принцип усреднения для стохастических разностных уравнений и по аналогии с дифференциальными уравнениями jl,18j изучена нормированная разность решений исходной и усредненной систем. Получены результаты, характеризующие асимптотическое поведение этой разности при малых 6 . Отметим, что полностью перейти на предел при <£ -»о здесь нельзя, так как сама постановка задачи тогда теряет смысл. Рассмотрена еще одна задача с малым параметром £ , когда при d -о имеется критический случай, а именно, рассматривается разностное стохастическое уравнение кл„ = (А + & ВсЬ,) X*., (7) исследуется устойчивость тривиального решения этого уравнения при малых £ , при этом при £ - о полученное уравнение Кпн -Ах^ находится на границе устойчивости. Подобное уравнение можем получить из уравнения (2) при дополнительном условии, что взято в виде dd^ и при любом ^ ) t <S 6 (Oj doj . Действительно, тогда итерационная схема имеет вид

Положив 2: и, = Хъ + 5 , получаем

Кн + Ь =

1 -h хП// f г J = ь а+г dL^ + Dtffe, а+ & , т.е., в первом приближении xw = А (г^Хд, . (8)

В диссертации рассмотрен случай, когда случайные величины в уравнении (8) образуют однородную марковскую цепь. Общие вопросы устойчивости линейных стохастических систем вида - А(с(л)Хк » где случайные возмущения образуют марковскую цепь, за исключением критического случая,изучены в [25,26,27J. В диссертации устойчивость системы (7) свя зывается с положительной определенностью решения некоторой системы матричных уравнений. Предлагается новый для раз -ностных уравнений метод, когда решение этой системы ищется в виде ряда по целым неположительным степеням <£« . С по -мощью этого метода подсчитаны некоторые примеры.

Диссертация состоит из введения и двух глав, каждая глава состоит из двух параграфов. Нумерация параграфов, а также формул, теорем и определений состоит из двух цифр, первая из них указывает главу, вторая - параграф.

1. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. - М.: Наука, 1979. - 492 с.

2. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.:Изд-о иностр.лит., 1956. 605 с.

3. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.:Физматгиз, 1963.

4. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.:Наука, 1965. - 520 с.

5. Калныня Д.А. 0 принципе усреднения для стохастических разностных систем. В кн.: Латв.мат.ежегодник. Рига:3и-натне, 1982, вып.26, с.223-236.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.:Наука, 1977. 740 с.

7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.:Мир, 1972. - 740 с.

8. Константинов В.М. Об устойчивости стохастических раз -ностных систем. ПЛИ, 1970, т.6, вып.1, с.81-86.

9. Вишик В.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. УПМ, I960,т.15,вып.З, с.3-80.

10. Милыптейн Г.Н. Экспоненциальная устойчивость положи -тельных полугрупп в линейном топологическом пространстве. Известия ВУЗ-ов, Математика, 1975, 9,с.35-42.

11. Милынтейн Г.Н. Линейные функции Ляпунова для уравнения ,/ с положительными решениями и среднеквадратичная устой -чивость. ДАН СССР, 1972, т.204, 3, с.550-553.

12. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.-.Наука, 1972. -302 с.

13. Свердан М.Л., Царькова В.Н. Устойчивость решений линейных разностных систем со случайными коэффициентами в пространстве 1л, . В кн.: Топологические пространства и отображения в них. Рига:ЛГУ, 1976, вып.2, с.68-75.

14. Свердан М.Л., Царьков Е.Ф. О линейных разностных уравнениях со случайными коэффициентами. Известия ВУЗ-ов, Математика, 1972, 5, с.80-83.

15. Хасьминский Р.З. О случайных процессах, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром. Теория вероятностей и ее применения, 1966, т.II, вып.2,с.240-259.

16. Хижняк В.Н., Царьков Е.Ф. Об устойчивости решения систем разностных уравнений со случайными коэффициентами. В кн.: Латв.мат.ежегодник. Рига:3инатне, 1969, вып.5, с. 153-173.

17. Царьков Е.Ф. Об устойчивости решений линейных стохастических дифференциальных уравнений. В кн.Топологические пространства и отображения в них. Рига:ЛГУ, 1976, вып.2, с.76-87.

18. Царькова В.Н., Калныня Д.А. К вопросу об устойчивости решений линейных стохастических систем разностных уравнений. В кн.:Топологические пространства и их отображения. Рига:ЛГУ, 1980, с.137-143.

19. Царькова В.Н., Эглит Д.А. Об экспоненциальной устойчи -вости решения линейных разностных уравнений со случай -ными коэффициентами в пространстве Гильберта. В кн.: Латв.мат.ежегодник. Рига:3инатне, 1980, т.24,с.178-184.

20. Эглит Д.А. Об устойчивости линейных разностных стохастических систем. В кн.: Случайный поиск. Рига:3инатне, 1978, вып.7, с.250-258.

21. Morozan T. Stability and control of some linear discrete-time systems with jump Markov disturbances. Rev. Roum.Math.Pures et Appl., 1981, v.26, 1,p.101-120.

22. Morozan T. On the stohastic stability of nonlinear discrete-time systems with jump Markov perturbations. -Rev.Roum.Math, Pures et Appl., 1981,v.26, 1, p.121-134.