Инвариантные меры необратимых отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБ ЭНТРОПИЙНОЙ СТОХАСТИЧНОСТИ НЕОБРАТИМЫХ

ОТОБРАЖЕНИЙ.'

§ I. Построение инвариантной меры отображений со свойством марковости методом измеримых сечений.

§ 2. Асимптотические свойства итераций квадратичных отображений.

ГЛАВА 2. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ

НЕСЖИМАЩИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОКРУЖНОСТИ.

ШВА 3. ОБ ОДНОМЕРНОМ ОТОБРАЖЕНИИ, МОДЕЛИРУЩЕМ

ПРОЦЕСС БУРЕНИЯ.

§ I. Об устойчивости неподвижных точек отображения, моделирующего процесс бурения.

§ 2. Существование абсолютно непрерывной инвариантной меры отображения в случае квадратичного профиля р

Настоящая работа относится к одному из активно развиваемых направлений функционального анализа - метрической теории динамических систем. Основы этой теории заложены в работах Биркгофа, фон Неймана, А.Н.Колмогорова. Современное состояние теории динамических систем с инвариантной мерой (эр-годической теории) отражено в монографиях Д.В.Аносова [i] ; И.П.Корнфельда, Я.Г.Синая, С.В.Фомина [2] и обзорах [з] , М

Значительный раздел эргодической теории посвящен исследованию свойств стохастичности динамических систем. Имеются различные представления о свойствах стохастичности. Так, например, говорят, что преобразование Т компакта X обнаруживает стохастическое поведение, если на X существует неатомическая ~Т -инвариантная мера, относительно которой преобразование Т обладает, по крайней мере, одним из следующих свойств: I) эргодично или перемешивает в некотором смысле, 2) имеет положительную энтропию, 3) является К -системой. Из вариационного принципа для топологической энтропии следует, что второе (энтропийное) свойство стохастичности совпадает со свойством квазислучайности динамических систем [б] .

Один из основных приемов обнаружения стохастического поведения траекторий потоков и обратимых отображений состоит в построении марковской подсистемы. При этом существенным оказывается свойство гиперболичности рассматриваемой динамической системы. Для необратимых отображений марковское свойство можно сформулировать без предположений о гиперболичности. Представляет интерес исследование энтропийной стохастичности необратимых отображений с марковским свойством. Если же гладкое необратимое отображение обладает гиперболическим инвариантным множеством, то для исследования энтропийной стохастичности его возмущений естественно использовать устойчивость гиперболичности.

Весьма содержательный класс динамических систем с точки зрения исследования их стохастических свойств образуют системы с одномерным фазовым пространством. Для одномерных отображений представляет интерес вопрос о существовании абсолютно непрерывных инвариантных мер. Имеется тесная связь сложного асимптотического поведения итераций одномерных отображений и последовательными бифуркациями их периодических точек. Глубокое исследование в этом направлении выполнено А.Н.Шарковским [б^ . Изучение одномерных отображений имеет также и прикладной аспект. Так, например, к исследованию таких отображений приводит одна математическая модель процесса бурения.

Цель работы - исследование свойств (метрической) стохастичности необратимых отображений, обладающих свойством марковости, квадратичных преобразований симплекса и одномерных отображений.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе исследуется энтропийная стохастичность преобразований метрического компакта, обладающих свойством марковости, и квадратичных преобразований \\ -мерного комплекса.

В § I первой главы предложен новый метод построения инвариантных мер косых произведений. Этот метод применен к необратимым преобразованиям с марковским свойством. Будем говорить, что преобразование Т" компакта X обладает свойством марковости, если наймутся такие непересекающиеся замкнутые множества . •, /\ у\, пространства X » что выполнены включения

J Ak.sT(AKI <«> i-1 L причем 1 для любого . Отметим, что это условие марковости носит чисто топологический характер, в частности, оно не предполагает гиперболичности отображения Т . Преобразования с марковским свойством имеют инвариантную подсистему, являющуюся расширением односторонней топологической марковской цепи. Соответствующее отображение проектирования имеет измеримое сечение и удовлетворяет условиям теоремы Ершова [7] , что позволяет "поднять" инвариантную меру топологической марковской цепи до борелевской "Г -инвариантной меры на X •

В соответствии с включениями (0.1) построим ориентированный граф Г с W вершинами, соединяя ориентированным ребром вершину L с вершиной j , если AjfiTCAO . Пусть П - матрица переходов графа I , состоящая из нулей и единиц. Обозначим через Кр число, равное логарифму наибольшего положительного собственного значения матрицы П

ТЕОРЕМА I.I. Если непрерывное преобразование Т метрического компакта X обладает свойством марковости, то на X существует такая ~Т -инвариантная эргодическая борелевская мера jA. , что Ь|лСГ)У/ llр .

Эта теорема усиливает один результат из [в] для преобразований метрических компактов.

В § 2 первой главы свойство энтропийной стохастичности используется при изучении асимптотического поведения интеращй квадратичных преобразований ft -мерного симплекса

П + 1 к=1

Задача об асимптотическом поведении итераций таких отображений ставилась С.Уламом [9 3 и Ю.И.Любичем [iO ] . В одномерном и двумерном случаях ряд результатов в этом направлении получен в работах [ll] , £12] , [н] .

ТЕОРЕМА 1.2. В пространстве однородных квадратичных преобразований симплекса найдется такое открытое множество W что для любого отображения существует

-инвариантное замкнутое множество /\1С 6 п. ж борелев-ская ^ -инвариантная нормированная мера |Л. на А/ , для которых эндоморфизм пространства с мерой (Л/,^4 ) точен.

Доказательство этого результата об энтропийной стохас-тичности квадратичных преобразований использует теорему о семействе £ -траекторий гиперболических эндоморфизмов (см.[1з]).

С помощью теоремы 1.2 в § 2 даны ответы (теорема 1.3) на поставленные в [ю! вопросы о поведении траекторий квадратичного преобразования Q и средних вида m-i 6

V^Zj ^бгх. к=о

Вторая глава посвящена вопросу о существовании абсолютно непрерывных инвариантных мер одномерных отображений. Б связи с задачей о существовании интегрального инварианта У -систем А.М.Степин в 1970 г. предложил метод (см. [l5j ) построения и исследования абсолютно непрерывных мер для преобразований, обладающих свойством гиперболичности. Метод основан на исследовании оператора Кузьмина, связанного с отображением, и использовании подходящего критерия компактности. Для одномерных растягивающих отображений доказательство существования абсолютно непрерывной инвариантной меры дано Ля-сотой и Йорком Гхб 1 и Адлером [l7] . Во второй главе диссертации рассмотрен класс которых услоше растяжения числе точек. Такие отображения назовем не сжимающими.

Пусть - несжимающее преобразование окружности S -АЦ1 класса С , растягивающее на множестве SNlXv,.,Xa]|. Рассматривая вопрос о существовании абсолютно непрерывной инвариантной меры, можно, без ограничения общности, считать, что - неподвижные точки для

П. . Пусть - непрерывная ветвь обратного отображения в окрестности точки Ч^ (Х0Г • Ьудем говорить, что отображение i удовлетворяет условию соответственно ( А ) ) в точке X i , если для некоторого i >0 существует такая точка } Xl+ £) (соответственно h £ (.X; -) и число что для любых

Г — £ —. точек 1 (соответственно (£)] )"• щером 117 j . но второй главе дис-одномерных отображений j- , для I 11 I > 1 нарушается в конечном с*о m-i к

П VWv)

К=\- 0 L

С?).

ТЕОРЕМА 2.1. Если несжимащее преобразование окружности класса С растягивает вне неподвижных точек Х^.^Х^ и в точках XI выполнены условия (Л+) и (/\ ) , то существует абсолютно непрерывная -инвариантная мера, которая необходимо бесконечна.

С метрической точки зрения изучение несжимащих преобразований окружности класса С сводится к исследованию несжимащих преобразований отрезка 1= [0,11 , удовлетворяющих условиям: а) существует такое разбиение 0 = Qo<C\i<.<OU~i отрезка X » что ограничение отображения | на tCA к-1, К ^ продолжается до функции | класса С на отрезке б) все функции ц возрастают и взаимно однозначно отображают [САК-1,(ХК] на 1} К=1,.му\.

ТЕОРЕМА 2.2. Если несжимащее отображение отрезка \ в себя, удовлетворяющее условиям а) и б), растягивает вне неподвижных точек Xi, i= ив точках OC*L выполнены условия c/VK сд-) то существует абсолютно непрерывная инвариантная мера, которая необходимо бесконечна.

При доказательстве теоремы 2.2 используется прием перехода к индуцированному отображению, предложенный Я .Г.Синаем (см. [18] ).

Отметим, что в теоремах 2.1 и 2.2 не предполагается монотонности производной отображения в окрестности неподвижных точек, как это делается в работе С*9] • Ьолее того, из условия монотонности производной в окрестности неподвижных точек следует выполнение условий тлю предложение 2.1).

Ограничение на класс гладкости в теоремах 2.1 и 2.2 существенно, как показывает следующий результат.

ТЕОРЕМА 2*3. Для любого сКбСОД) существует такое несжимающее преобразование окружности класса С*'* » что оно обладает конечной абсолютно непрерывной инвариантной мерой.

Б третьей главе изучается одномерное отображение, возникающее при моделировании процесса бурения шарошечным долотом, вращающимся с постоянной угловой скоростью. Вопросам разрушения горных пород шарошечными долотами посвящено много работ специалистов по бурению и горному делу (см., например, [20\, C2ll , [3ll ) ♦ В f2l} описана модель работы перекатывающейся по забою шарошки. В работах L 221 и [ 32 1 эта модель исследована в предположении постоянной поступательной скорости шарошки. Доказательство существования абсолютно непрерывной инвариантной меры соответствующего одномерного отображения в работе ^22^. ошибочно.

Следуя \2l\ , шарошечное долото будем представлять вращающейся зубчатой шестерней, взаимодействующей с горизонтальной плоскостью. Считаем, что не происходит скольжения зубьев по плоскости и что удары шестерни о плоскость абсолютно неупругие. Пусть шестерня имеет радиус R , массу , угловое расстояние между соседними зубцами и вращается с положительной угловой скоростью . Пусть, кроме того, на шестерню действует направленная вертикально вниз постоянная сила От . Составим безразмерный параметр к~ о

Кривую u= ptsi-- Cob[^Us.-2Ks)-1)], где I^S) - целая часть S , в - плоскости назовем основным профилем. Рассматриваемое одномерное отображение л отрезка [ОД ] в себя допускает следующее геометрическое описание. Проведем через точку (So, р( So)) параболу X lY

U^ll^.So^pCSol^pCSol'CS-So)- — (S-So) соприкасающуюся с основным профилем. Пусть число S\> So наименьшее из таких, что парабола ^X-LlCS,So) пересекает основной профиль в точке p(S0) . Такая точка найдется, если T\-Cos1!> \ . Положим T^CSo^ ЗлС\ТАОс\ {). В § I третьей главы в зависимости от значения параметра Л найдены зоны устойчивости и неустойчивости неподвижных точек отображения Тд .

ТЕОРЕМА 3.1. Отображение имеет неподвижных точек, причем а) для

1 < Л '

Cos^ /х Sin^ неподвижная точка притягивающая; б) для о \ У\ Ч

- II обе неподвижные точки притягивающие; в) для л/v^1 '< л WM+W одна - притягивающая, а другая - отталкивающая; г) для л/VW все неподвижные точки отталкивающие.

В § 2 третьей главы рассмотрен вопрос о существовании абсолютно непрерывной инвариантной меры отображения 'ТГ^ в случае квадратичного приближения основного профиля. В качестве основного профиля возьмем кусочно-квадратичную кривую

0.2)

Отображение t в рассматриваемом случае можно задать явными формулами.

ТЕОРЕМА. 3.2. При Л >/% преобразование , построенное по основноглу профилю (0^2), имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру.

Доказательство основано на приеме перехода к индуцированному отображению 1 д . Явное задание отображения позволяет доказать, что отображение I ^ растягивает. Функции, задающие отображение , не принадлежат классу С , однако кусочно-алгебраический характер отображения позволяет доказать существование абсолютно непрерывной инвариантной меры.

Результаты диссертации докладывались на семинарах по динамическим системам механико-математического факультета МГУ и на школе-семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям в г. Ужгороде в 1980 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ЗЗ] , [34] , [35] .

Диссертант выражает глубокую благодарность своему научному руководителю A.M.Степину за постоянное внимание, поддержку и большую помощь в работе.

1. Аносов Д.В,, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Тр. мат. ин-та АН СССР, 1967, 90.

2. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С;В., Эргодическая теория. М., "Наука", 1980.

3. Алексеев B.M., Лекции по символической динамике. Киев, ин-т мат. АН УССР, 1976.

4. Шарковский А.Н., Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. Украин. матем. журн., 1964, 16, № I, 61-71.

5. Ершов М.П., Продолжение мер и стохастические уравнения. Теория вероят. и ее прилож., 1974, 19, $ 3, 457-471.8.hovSoia &., InvaCMCwvl measures onЪроЦ\с<л1 Bolt. Un. НоШДЫ,., {.w,1. B, o/l 2, 592- 603.

6. Улам С., Нерешенные математические задачи. М., "Мир", 1964.

7. Любич Ю.И., Основные понятия и теоремы эволюционной генетики свободных популяций. Успехи мат. наук, 1971, 26, £ 5, 51-116.

8. Валландер С.С,, 0 предельном поведении последовательности итераций некоторых квадратичных преобразований. Докл. АН СССР, 1972, 202, № 3, 515-517.

9. Захаревич М.И., 0 поведении траекторий и эргодической гипотезе для квадратичных отображений симплекса. Успехи мат. наук, 1978, 33, J6 6, 207-208.

10. Pc^t^okb P., Anosov enciomop-ptyu 5WIS. S^AAC^VC*KeW»., 1Mb, 58,^3,2^9-285".

11. Якобсон M.B., Топологические и метрические свойства одномерных эндоморфизмов. Докл. АН СССР, 1978 , 243, № 4, 866869.

12. Mter- H.b., F-eoop&nsions pevi/sitecl. Liect. Woksin Mai»»., тз, m,{-5.

13. Бунимович Л.А., Об одном преобразовании окружности. Мат. заметки, 1970, 8, № 2, 205-216.

14. Bowen R,., Invaxlapt jor Markov mopso\ uAervat Comwun. КсЖ РЦ*, ЙМ, Д-Н.

15. Барон Л.И., Глатман Л.Б., Загорский СЛ., Разрушение горных пород проходческими комбайнами. Разрушение шарошками. М., "Наука", 1969.

16. Эйгелес P.M., Разрушение горных пород при бурении. М.,Недра", 1971.22. httsoia A., Rusek P., Application сг^эскс ttaorvj o\ deter-mining o^ cocj<jec\ felts e^-icVev>cvj.ArcUwuvn Go^nlcW, ВПЛЗ^З,241-235".

17. Wv Intrinsic К c\c-kov chains. Irans.

18. Рохлин В.А., Об основных понятиях теории меры. Мат. сборник, 1949, 67, * I, 107-150.

19. Рохлин В.А., Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой. Успехи мат. наук, 1967, 22, № 5, 3-56.

20. Рохлин В.А., Точные эндоморфизмы пространств Лебега. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961, 25, В 4 , 499-530.

21. ХалмошП.Р., Лекции по эргодической теории. М., ИЛ, 1959.

22. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., "Наука", 1970.

23. Ren^i A., Representation ^or ceai numbers cmcltWir- <гг cyclic proper-ties.Ad» Mcdi. A\<л.Sci. Нглг^агч,

24. Данфор H., Шварц Дж.Т., Линейные операторы. Общая теория. М., ИЛ, 1962.

25. Эйгелес P.M. , Стрекалова Р.В., Расчет и оптимизация процессов бурения скважин. М., "Недра", 1977.32. lj(*sotaA., IWk р., Pro stcAiittosciprat^ uar^ed^ic* w procesie wiercewia o^cotowecjo sv/ic\rami ^r^ow^mi. ArcJtawum &omclwc\,1.0,15,<XR3} 105-216.

26. Ахалая Ш.И., 0 стохастических свойствах непрерывных преобразований метрических компактов. Сообщения АН ГССР, 1979, 93, № I, 17-19.

27. Ахалая Ш.И,, Стёпин A.M., Об инвариантных мерах несжимаю-щих отображений. Сообщения АН ГССР, 1980, 100, № 3 , 549552.

28. Ахалая Ш.И., 0 стохастичности динамической системы, моделирующей процесс бурения. Рукопись депонирована в ВИНИТИ от 5 мая 1983 г., № 2392-83 Деп.