О предельных множествах отображений графов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 515.126 и 517.938

Редкозубое Вадим Витальевич

О ПРЕДЕЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГРАФОВ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С. А. Богатый.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. Ю. Жиров; кандидат физико-математических наук А. Й. Демин.

Ведущая организация: Московский городской

педагогический университет.

Защита диссертации состоится 18 февраля 2005 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан 18 января 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, доктор физико-математических наук профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация относится к теории итераций непрерывных отображений графов. Одномерные топологические динамические системы рассматривались в работах А. Пуанкаре, А.Н. Шар-ковского, Дж. Милнора, 3. Нитецки, М. Мисюревича и других математиков. В настоящее время их исследование интенсивно продолжается.

Интерес к таким системам объясняется несколькими причинами. С одной стороны, существует тесная связь с другими разделами теории динамических систем. Например, для отображений многообразий с инвариантным слоением коразмерности один соответствующее фактор-отображение оказывается определенным на пространстве с одномерной структурой. Динамика псевдоаносовских гомеоморфизмов поверхностей в ряде случаев может быть сведена к анализу некоторых специальных графов1,2. А. Н. Шар-ковский и его школа углубили3 изучение разностных уравнений, основываясь на современной теории одномерных динамических систем (во многом созданной ими). С другой стороны, граф обладает следующим техническим преимуществом — топологическим свойством, тесно связанным с общеизвестной теоремой о промежуточном значении: малая окрестность точки разбивается этой точкой, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной.

Основная задача топологической и, в частности, одномерной динамики — изучение асимптотических инвариантов, характеризующих такие свойства как возвращение и раз бегание траекторий. Так как чаще всего требуется выяснить как ведет себя траектория на бесконечном интервале времени, изучение самой траектории сводится к изучению ее предельных точек — Степень «возвращаемости» точек в произвольную окрестность своего первоначального положения можно переформулировать на языке w-предельных множеств. Из структуры w-предельных множеств можно также установить наличие или отсутствие свойства разбегания траекторий. Систематическое исследование одномерных систем на основе анализа множеств началось с работ А. Н. Шарковского.

1 Franks J.Misiurevicz M. Cycles for disk homeomorphisms and thick trees. Contemporary Mathematics. 1993. v.152, p. 69-139.

"*Кэссон Э., Блейер С.. Теория поверхностей по Нильсену и Терстону, пер. с англ. Жиров* А.Ю под ред. Аносова Д.В. Москва.: Фазис, 1998.

3Шарковский А.Н.. и др. Разностные уравнения и их приложения. Киев.: Науковадумка, 1986.

Конечные w-предельные множества — периодические траектории (циклы) — играют особую роль в одномерной динамике. А. Н. Шарковский получил4 теорему о сосуществовании периодов циклов непрерывных отображений отрезка в себя. Она дает окончательный ответ на вопрос, какие периоды влекут за собой появление других периодов. Теорема Шарков-ского инициировала важное направление в исследованиях одномерных динамических систем — комбинаторную теорию. Часть усилий здесь была направлена на получение теорем, аналогичных теореме Шарковского, для систем с более сложным фазовым пространством. Наиболее близкий по форме результат был получен С. Балдвином для случая n-ода (т.е. графа, состоящего из п расходящихся отрезков от общего центра)5. Возможные множества периодов отображений окружности описаны в работах6, 7' 8. Однако для окружности нет такой строгой иерархии периодов, как в случае отрезка: зависимость между циклами не сводится лишь к одним периодам, но сохраняет элементы комбинаторного типа траектории, т.е. перестановки точек траектории под действием отображения9. Долгое время незатронутым оставался вопрос сосуществования траекторий более сложных, чем периодические. Трудность заключалась в том, что для этих траекторий не существовало такого полезного инварианта, каким является период для периодических точек.

Прорыв в этом направлении был осуществлен Е Сян Дуном в конце 80-х гг10. Каждой почти периодической точке (т.е. точке, замыкание траектории которой совпадает с w-предельным множеством и это множество минимально) был сопоставлен инвариант — декомпозиционная функция (D-функция), играющий ту же роль, что и период для периодической точ-

* Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. JM. с. 61-71.

5Baldwin S. An extension of Sharkovskii's theorem to n-od// Ergod. Th. Dynam. Sys. 1991. v.ll, p.

*Block L. et. at. Periodic points and topological entropy of one dimensional maps. Lecture notes in m&th.

7 Block L. Periods of periodic points of maps of the circle which have a fixed point 11 Proc. Airier. Math.

'Maiurevicz M. Periodic points of maps of degree one of a circle // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1982. v.2,

'Atseda L., Llibre J., Misxurevncz U. Badly ordered cycles of circle maps // Pacif. Journal of Math.

10 E Слндун Минимальные множества и сосуществование почти периодических точек преобразований отрезка // Доклады АН СССР, т.309. №5. 1989. с. 1049-1051.

ки. Получена теорема11, характеризующая в терминах ^-функций сосуществование почти периодических траекторий непрерывных отображений отрезка.

А. И. Демин развил идеи Е Сян Дуна, «двигаясь» в двух направлениях. С одной стороны, он дал определение D-функции для рекуррентной тонки (т.е. точки, замыкание траектории которой совпадает с ее ш-предельным множеством), основываясь на теории ультрафильтров12, и показал эквивалентность с определением Е Сян Дуна в случае, когда рекуррентная точка является почти периодической. С другой стороны, получено обобщение теоремы Шарковского для всех рекуррентных траекторий n-ода. А именно, для эндоморфизма n-ода описаны всевозможные множества периодов периодических точек и .D-функций рекуррентных, но не периодических, точек13. Отметим, что к понятию аналога периода рекуррентной точки с других позиций пришел Д. Бэнкс14.

Определение D-функции можно дать и для общей точки. Возникает вопрос: верен ли результат в духе теорем Шарковского-Е Сян Дуна-Демина для всех точек? В диссертации рассматривается следующая задача. Зная характер динамической сложности одной точки (не обязательно периодической, почти периодической или рекуррентной), определить все обязательно наличествующие динамические сложности траекторий других точек.

Отправной точкой другого направления в одномерной динамике можно считать работу15, где показано, что одномерность фазового пространства накладывает сильные ограничения на структуру множеств, важных с точки зрения динамики отображения. Типичным примером здесь служит результат А. Н. Шарковского о том, что замыкание рекуррентных точек отображения отрезка всегда совпадает с замыканием его периодических точек. Когда фазовым пространством системы является отрезок многие технические трудности в изучении динамики удается избежать, воспользо-

11 YeX.D. D-function of minimal set and extension of Sharkovskii's theorem to minimal sets// Ergod.

13Демин А. И. Стабилизатор рекуррентной точки // Вестник Моск. ун-та, сер.1, математика, меха-

18 Делит А. И. Сосуществование периодических, почти периодических и рекуррентных точек п-ода

// Вестник Моск. ун-та, сер.1, математика, механика. 1996. №3. с. 84-87.

"Banks J. Regular periodic decompositions for topologicals transitive maps 11 Ergod. Th. Dynam. Sys.

16 Шаркоаский А. И. Неблуждающие точки и центр непрерывного отображения прямой в себя //

вавшись линейным порядком на нем. Таким образом, актуальна проблема: какие свойства динамическая система приобретает, а какие свойства остаются неизменными при замене отрезка более «сложным» графом? Среди работ этого направления особо отметим статью А. М. Блоха16. Результаты этой работы применяются в диссертации.

Цель работы. Цель настоящей диссертации — исследовать топологические и комбинаторные свойства предельных множеств одномерных динамических систем.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми и состоят в следующем.

— Доказано, что образ ^-функции точки является идеалом в решетке натуральных чисел. Построен пример, показывающий, что этот инвариант (в общем случае) не определяется одним лишь предельным множеством.

— Для отображений графов со свойством топологического перемешивания установлено наличие всех за исключением, быть может, конечного числа ^-функций. Доказаны теоремы о сосуществовании точек п-ода (в частности, отрезка) относительно введенного инварианта. Аналогичные результаты получены для окружности и топологических цепей Маркова.

— Для отображений графов доказана, известная в случае отрезка, теорема о том, что объединение всех предельных множеств есть асимптотический образ множества неблуждающих точек.

Методы исследования. В работе используются методы теории континуумов, теории линейно упорядоченных топологических пространств и методы символической динамики.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в исследованиях по теории одномерных динамических систем.

Апробация диссертации. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах: научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова, семинар «Меры, размерность и топологическая динамика» под рук. проф. В.В. Федорчука, проф. С.А. Бога-

Блох A.M. О динамических системах на одномерных разветвленных многообразиях. // Теория функций, функциональный анализ и их при л. 1986. Т. 46, с. 8-18.

того, доц. Ю.В. Садовничего, семинар «Эргодическая теория и динамические системы» под рук. акад. Д.В. Аносова, проф. A.M. Степина, а также на конференции молодых ученых МГУ (2004 г.).

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 64 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 35 наименований.

Основное содержание диссертации

Во введении подробно обосновывается актуальность темы, формулируются известные результаты и теоремы автора.

В первой главе для общей точки х компактного метрического пространства X относительно эндоморфизма f определен инвариант — D-функция, играющий ту же роль, что и период для периодической точки. А именно, функцию : N N назовем D-функцией т о ч к тхр ели значение fx(n) равно наименьшему натуральному к такому, что u>(fk(x), /") = ш(х, /"). Пусть Е обозначает множество функций s : N —► N, удовлетворяющих условиям:

а) s(n) | п для каждого п € N;

б) если / | п, то s(l) = (I, s(n)) для каждого I, п € N.

Предложение 1.3. Для любой тонки х ее D-функцил fx принадлежит множеству Е.

D-функция точки определяется w-предельным множеством, когда оно минимально:

Предложение 1.6. Если для точки х 6 X ее ш-предельное множество

совпадает с минимальным множеством А С X, то совпадают и их D-функции fx — /д.

Построен пример (пример 1.2) непрерывного отображения / отрезка / в себя и таких точек х, у 6 что их предельные множества совпадают w(a:, /) = ui(y, /), но fx ф- /„. Таким образом, условие минимальности предельного множества в предложении 1.6 существенно.

Инвариант типа периода, аналогичный D-функции точки, может быть построен с помощью R-предельного множества. Для отображений графов предложен другой вариант определения D-функции точки — псевдо D-функция . Модифицированный вариант обладает теми же свойствами.

Декомпозиционный идеал транзитивного отображения и D-функция рекуррентной точки связаны согласно следующей теореме.

Теорема 1.1. Декомпозиционный идеал совпадает с областью значений Б-функции точки х € X со всюду плотной орбитой, т.е Ю1{/) =

Ш).

Теорема 1.1 позволяет получить другое доказательство теоремы Бэнкса. Теорема А. Декомпозиционный идеал •£>/(/) является идеалом в решетке (М, -<).

Во второй главе доказаны теоремы, характеризующие сосуществование точек различного динамического поведения относительно введенного инварианта.

Теорема П.2. Если отображение / : С? —У С? является перемешиванием, то у него имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Следствие П.5. Транзитивная цепь Маркова имеет все Б-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Определим частичные порядки >-р на множестве Для этого разо-

бьем Е на счетное число подмножеств. Положим

= € Е | в(2' • р) = 2' для всех I 6 N и всех нечетных р };

Заметим, что множество У^ состоит из одной функции, будем обозначать ее 2°°. Пусть

ур = у;пу,' /е^ми{о^и{<»},рем.

Через к ■ 2°° обозначим такую функцию в € Е, что выполнено 5(2' ■ д) = 2'(А, q) для любого нечетного д и любого 0 < г < оо.

Порядки определяются условиями

V(2к + 1) ¡-1,2 2^(2к + 3) Х1>2 ^1,2 2'+1(2т + 1)

для любых г, з ^ 0 и т, к > 0.

Порядки >-1,2 совпадают с линейным порядком из работы10. Будем называть его порядком Шарковского - Е Сян Дуна.

Порядок в общем случае уже не является линейным, но

содержит линейную часть из D-функций и натуральных чисел, кратных р.

Это в точности порядок «умноженный» на р:

2>(2к + 1)р Ур 2>(2к + 3)р >-р У? 2*+1(2т + 1 )р >р У£ >-, 2°° • р 2'+1р 2>р

для любых Кроме т!

р

для любых г, j > О, Пусть

УДА) = {£} и € N и Е I к >р з };

•Л>(р ' 2°°) = {р • 2°°} и {р • 2" : 71 = 0,1,2,...};

Доо) = {р-2": п = 0, 1,2, ...}.

Обозначим через £>Р(/) множество периодов периодических точек и 2?-функций почти периодических, но не периодических точек, а через РИР(/) — множество периодов и псевдо £>-функций точек с конечными и бесконечными ш-предельными множествами соответственно. Возможные множества £>.Р(/) и РОР(/) для непрерывных отображений п-ода описывает

Теорема 11.4. Пусть / : Хп —► Хп непрерывное отображение п-ода Хп в себя. Тогда множества и Р£>.Р(/) совпадают и представляют

собой конечное объединение кр) начальных отрезков в порядках >-р, р ^ п, для некоторых кр 6 {р • 2°°} и {оо} и N \ {2, 3, ..., р — 1}. И обратно, любое вышеописанное множество является множеством ,Р£)/*'(/) екя некоторого отображения / € С(Л"П, -Х"п) с неподвижным центром.

Доказывается сформулированный результат редукцией к теореме Демина о сосуществовании почти периодических точек п-ода13.

Следующие результаты описывают сосуществование точек относительно введенных инвариантов в случае отображений окружности.

Теорема П.6. Предположим, что отображение / : 51 —► 51 таково, что 1 € П(/) и п £ П(/) для некоторого натурт&кЗго Тогда для

множества псевдо И-функций РОР(/) выполнена, по крайней мере, одна из следующих ситуаций:

1) Е\РИР(/) конечно, т.е. имеются все п с В-фудсщт а исключением, быть может, конечного числа;

2) PDF(f) D Ji(n), т.е. имеются все псевдо D-функции, стоящие правее п в порядке Шарковского-Е Сян Дупа.

Теорема II.9. Если у отображения f : Sl —» S1 степени 1 интервал вращения невырожден, то имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Сопоставление точке окружности ее числа вращения задает отображение S1 в R. Назовем это отображение функцией вращения. Связь между предельными множествами и интервалом вращения описывает

Теорема II.8. Существует такая точка х € S1, что интервал вращения является образом предельного множества ш(х, /) при функции вращения.

Третья глава посвящена топологическим вопросам, связанным как с предельными множествами, так и с глобальной структурой отображения.

Объединение предельных точек u>(f) = UxeGw(x, /) всех траекторий и множество неблуждающих точек связаны соотношением

Теорема III. 1. Для отображения f : G —¥ G графа G справедлива следующая формула

Следующая теорема позволяет редуцировать некоторые вопросы динамики отображений окружности к соответствующим вопросам отображений отрезка.

Теорема III.2. Пусть для f : Sl S1 множество P(f) непусто. Если неблуждающая точка с не лежит в замыкании периодических точек, то у нее найдется такая окрестность U, что отрезок U является периодическим и точка с принадлежит Г1(g), где g — сужение /" на U, а п — период U.

В заключение приношу глубокую благодарность профессору С.А. Богатому за научное руководство и всестороннюю помощь в подготовке работы.

Работы автора по теме диссертации

[1] Редкозубое В. В. Сосуществование сопредельных множеств //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1., Математика. Механика. 2003. №2, с. 8-12.

[2] Редкозубое В. В. Центр и глубина центра непрерывных отображений дерева // Тезисы докл. XXVI конф. молодых ученых МГУ. Москва, апрель 2004, с. 100-101.

Подписано в печать /4 Формат 60x84/16. Усл.псч.л. О, Ъ Тираж /ОО экз. Заказ

Отпечатано в Отделе печати МГУ

01. oí— Ol РЗ

1 ü

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Инвариант типа периода общей точки

1.1 Основные понятия и необходимые леммы.

1.2 D-функция как аналог периода общей точки

1.3 .D-функция точки и декомпозиционный идеал транзитивного отображения

Глава 2. Комбинаторика предельных множеств 2.1 «Спектральная» теорема Блоха и следствия из нее.

2.2 Множество D-функций отображений графов.

2.3 Комбинаторика предельных множеств. Случай n-ода и окружности

Глава 3. Топология предельных множеств

3.1 Асимптотический образ множества неблуждающих точек

3.2 Топология предельных множеств окружности

Представленная работа относится к топологической динамике. Цель работы — исследовать топологические и комбинаторные свойства предельных множеств одномерных динамических систем.

1. Основы топологической динамики были заложены А. Пуанкаре в конце XIX века, предложившим качественное описание решений дифференциальных уравнений, не допускающих аналитического решения.

Известно, что автономная система дифференциальных уравнений, удовлетворяющая условиям единственности и продолжаемости решений, определяет поток — однопараметрическую группу преобразований фазового пространства. Дж.Д. Биркгоф, развивая идеи Пуанкаре, заметил [1], что многие понятия и результаты теории автономных систем дифференциальных уравнений могут быть перенесены на потоки в абстрактных пространствах. Он ввел важное понятие минимального множества, классифицировал движения по форме их возвращения, заложив тем самым основы общей теории топологических систем. Эта теория была развита в работах М. Морса, В.Х. Гот-шалка, Г.А. Хедлунда, А.А. Маркова, В.В. Немыцкого.

Следуя современной терминологии, под динамической системой понимается «действие группы (полугруппы) на каком-либо пространстве». Точнее, пусть X — топологическое пространство, Т — топологическая группа (полугруппа), 7г : X х Т —> X — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям (образ точки (х, t) при отображении ж обозначим через тгь(х)):

1) -ке{х) — ж, где х € X, е — единица группы Т;

2) 7г®(7г*(я:)) = 7rts(x), где xGl, t,s€ Т.

Тогда тройка (X, Т, 7г) называется топологической динамической системой. При этом X называется фазовым пространством, группа (полугруппа) Т — временем. Для точки х G X определим множество orb(x) = {ттг(х) : t Е Т}, называемое орбитой или траекторией точки х (относительно системы (X, Т, тг)).

Динамическая система (X, Т, 7г) называется дискретной, если Т = Z (Т = 1м+). При этом если обозначить отображение 7Г1 через /, то для любого п Е Z(Z+) выполнено тсп(х) = fn(x), где fn обозначает n-ю итерацию отображения / (в случае Т = Z отображение / является гомеоморфизмом). И наоборот, всякий гомеоморфизм (непрерывное отображение) / по формуле тгп(х) = fn(x) определяет действие группы (полугруппы) Т = Ъ (Т = Z+) на пространстве X. Таким образом, дискретная динамическая система полностью определяется парой (X, /). Динамические системы, рассмотренные в диссертации, являются дискретными и необратимыми, т.е. Т = Z+.

Определим класс топологических систем — символических, представляющих особый интерес в динамике. Фазовым пространством символической системы является множество бесконечных (двусторонних или односторонних) последовательностей над некоторым конечным алфавитом, снабженное тихоновской топологией произведения, а отображением — единичный сдвиг последовательности [9]. Изучение таких систем важно, во-первых, из-за того, что они являются хорошим источником примеров и контрпримеров. Во-вторых, сужения ряда систем на различные инвариантные множества выглядят как символические системы. Такое «кодирование» используется для нахождения у системы орбит с заданными свойствами: чаще их проще найти у символической системы, а затем индуцировать на исходную. Метод «кодирования» широко применяется в диссертации.

Основная задача динамики — изучение асимптотических инвариантов, характеризующих такие свойства как возвращение и разбегание траекторий. Так как чаще всего требуется выяснить, как ведет себя траектория на бесконечном интервале времени, изучение самой траектории сводится к изучению ее предельных точек — ш-предельного множества.

Рассмотрим типичные формы «возвращаемости» точек в произвольную окрестность своего первоначального положения. В классических динамических системах часто встречаются периодические движения (когда движущаяся точка через равные промежутки времени попадает в первоначальное положение). А. Пуанкаре указал примеры непериодических движений, при которых точка сколь угодно поздно возвращается в сколь угодно малую окрестность исходного положения. Движения такого рода называются рекуррентными (в литературе также встречается термин «устойчивые по Пуассону»). Дж.Д. Биркгоф среди рекуррентных выделил класс движений с ограничением на время возвращения: в любом промежутке времени длины, зависящей от окрестности начального положения, найдется момент, при котором точка попадет в эту окрестность. Такие движения называются почти периодическими.

Введенные выше понятия можно переформулировать на языке сопредельных множеств. Точка является периодической, если ее о;-предельное множество совпадает с самой траекторией, рекуррентной — если сопредельное множество совпадает с замыканием траектории, и почти периодической — если она рекуррентна и каждая траектория из ее со-предельного множества всюду плотна в нем (другими словами точка является почти периодической, если она принадлежит своему а;-предельному множеству и это множество минимально).

Разбегание траекторий чаще всего измеряется энтропией отображения. Системы, в которых отображение / имеет положительную энтропию h(f), принято считать хаотическими. Но при этом на множестве полной лебеговой ^ меры траектории могут вести себя регулярно, скажем, притягиваться к одной периодической орбите. Поэтому, чтобы хаотичность системы стала «наблюдаемой» в физическом смысле, нужны дополнительные условия. Примером такого условия является транзитивность отображения, т.е. «неразложимость» фазового пространства на два инвариантных множества с непустой внутренностью. Оказывается свойство транзитивности может быть также сформулировано на языке cj-предельных множеств: система (X, /) тран-зитивна, если существует такая точка х € X, что и(х, /) = X.

В одномерной динамике фазовым пространством чаще всего выступает граф. За последние 10-15 лет появилось множество работ по этой тематике. Интерес к ней объясняется несколькими причинами. С одной стороны, существует тесная связь с другими разделами теории динамических систем. Например, для отображений многообразий с инвариантным слоением коразмерности один соответствующее фактор-отображение оказывается определенным на пространстве с одномерной структурой. Динамика псевдоано-совских гомеоморфизмов поверхностей в ряде случаев может быть сведена к анализу некоторых специальных графов [26]. А.Н. Шарковский и его школа значительно углубили [13] изучение разностных уравнений, основываясь на современной теории одномерных динамических систем (во многом созданной ими). С другой стороны, граф обладает следующим техническим преимуществом — топологическим свойством, тесно связанным с общеизвестной теоремой о промежуточном значении: малая окрестность точки разбивается этой точкой, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной.

2. Результаты главы 2 лежат в русле исследований, инициированных теоремой Шарковского, т.е. посвящены сосуществованию точек различного динамического поведения.

Рассмотрим следующее упорядочивание натуральных чисел (порядок Шарковского):

3>5>7О.>2-3>2-5О2-7о.>22-3>22.5>22-7О.> 23 > 22 > 2 > 1.

Подмножество L С N есть начальный отрезок порядка >, если вместе с числом к оно содержит все числа, стоящие правее к в порядке >.

Теорема Шарковского [И]. Если непрерывное отображение / : I —> / отрезка I в себя имеет периодическую точку периода п, то f имеет пе-i> риодические точки всех периодов, следующих за п в порядке Шарковского, т.е. множество периодов П(/) представляет из себя начальный отрезок порядка Шарковского.

Теорема Шарковского породила важное направление в исследованиях одномерных динамических систем — комбинаторную теорию. Часть усилий здесь была направлена на получение аналогичных результатов для систем с более сложным фазовым пространством. Например, доказано, что сосуществование периодов отображения окружности зависит от степени этого отображения. Если степень не равна 1, то периоды сосуществуют согласно порядку Шарковского с одним исключением (в случае deg(/) = — 2 может отсутствовать периодическая точка периода 2) [21], [23]. Если степень равна 1, то множество периодов есть объединение следующих подмножеств натуральных чисел: знаменателей дробей из некоторого интервала и (возможно) двух отрезков порядка Шарковского, «умноженных» на натуральные числа [30]. Задача сосуществования периодов непрерывных преобразований пода (т.е. графа, состоящего из п расходящихся отрезков от общего центра) была решена С.Балдвином [18].

Определим частичные порядки ур на натуральных числах: а) — порядок Шарковского о. б) Для р > 1, 6 N к Ур т, если выполнено одно из следующих условий:

1) т= 1;

2) р | к, р | т и (к/р) > (т/р)\

3) к не делится на р, т = гк + jp для некоторых целых г ^ 0, j > 0.

Теорема Балдвина [18]. Если f : Хп Хп — непрерывное отображение п-ода Хп в себя, то множество периодов П(/) есть непустое конечное объединение начальных отрезков порядков >~р, 1 ^ р ^ п. И обратно, для любого подмножества К натуральных чисел, являющегося объединением конечного числа начальных отрезков порядков Ур, 1 ^ р ^ п, существует такое непрерывное отображение f п-ода в себя, оставляющее центр на месте, что П(/) = К.

Теоремы Шарковского и Балдвина дают окончательный ответ на вопрос, какие периоды влекут за собой появление других периодов. Однако долгое время незатронутым оставался вопрос сосуществования траекторий более сложных, чем периодические. Трудность заключалась в том, что для этих траекторий не существовало такого полезного инварианта, каким является период для периодических точек. Лишь в начале 90-х гг. Е Сян Дун дал решение этой проблемы для почти периодических точек, а А. И. Демин — для рекуррентных точек. Опишем вкратце их конструкции.

Рассмотрим минимальное для отображения / множество А. При fn множество А не обязано оставаться минимальным, но оно замкнуто и /пинвариантно, следовательно, в А существует подмножество Ао, минимальное при /п. Положим Ai = Р(Ао), г = 0, 1, — Нетрудно показать, что все множества Ai минимальны при итерации /п и найдется такое к, что выполнено Ak = Aq и Ai ф Ао при 0 < г < к (в частности, пересечение AiDAj пусто при 0 < \i — j\ < к). Так как множество и^Д- замкнуто, /-инвариантно и не содержит собственных подмножеств, обладающих этими свойствами, мы имеем разложение

А = А0 U . U Ак-1.

Таким образом, каждому минимальному множеству А можно сопоставить функцию /а '■ N —> N по правилу п —V /л(^) = к. Этот инвариант Е Сян Дун назвал декомпозиционной функцией, или Р-функцией, минимального множества А. D-функция fx для почти периодической точки х определяется как D-функция ее ^-предельного множества ш(х, /). Е Сян Дун показал [8], [32], что для любого /-минимального множества А функция /а принадлежит Е — множеству функций s : N —У N, удовлетворяющих условиям: а) для любых взаимно простых т,п выполнено s(mn) = s(m) • s(n); б) для любого простого р существует такое а(р) € N U {0} U {оо}, что выполнено s(pl) = (р1, ра^) для всех натуральных I.

Верно и обратное [32]: любая функция из Е реализуется как D-функция некоторой минимальной динамической системы.

Для периодической точки х периода т функция fx(n) = (m, п). Заметим, что период т полностью определяется D-функцией fx. Поэтому D-функцию можно рассматривать как обобщение периода для периодической точки. На множестве Е можно ввести линейный порядок. Основной результат [32] заключается в том, что почти периодические траектории непрерывных отображений отрезка сосуществуют в смысле этого порядка.

А. И. Демин развил идеи Е Сян Дуна, «двигаясь» в двух направлениях. С одной стороны, он дал определение £)-функции для рекуррентных точек, основываясь на теории ультрафильтров [6], и показал эквивалентность с определением выше в случае, когда рекуррентная точка является почти периодической. С другой стороны, получено обобщение теоремы Балдви-на для всех рекуррентных траекторий n-ода. А именно, для эндоморфизма n-ода описаны всевозможные множества периодов периодических точек и .D-функций рекуррентных, но не периодических, точек.

Как заметил А. И. Демин, D-функцию рекуррентной точки х можно определить как число различных предельных множеств в разложении lj(x, /) при n-й итерации /". Фактически при этом он пользовался свойствами ^-предельного множества, справедливыми для любой точки (см. лемму 1.1). Вышесказанное позволяет дать определение D-функции общей точки. Это сделано в первой главе настоящей работы. Здесь также установлена тесная связь .D-функции точки и декомпозиционного идеала транзитивного отображения (по Д. Бэнксу).

Возникает вопрос: верен ли результат в духе теорем Шарковского-Е Сян Дуна-Демина для всех точек? То есть мы рассматриваем задачу: зная характер динамической сложности одной точки (не обязательно периодической, почти периодической или рекуррентной), определить все обязательно наличествующие динамические сложности траекторий других точек. Для пода и окружности ответ о сосуществовании точек относительно введенного инварианта дают теоремы, доказанные во второй главе.

Когда фазовым пространством системы является отрезок многие технические трудности в изучении динамики удается избежать, воспользовавшись линейным порядком на нем. Таким образом, актуальна проблема: какие свойства динамическая система приобретает, а какие свойства остаются неизменными при замене отрезка более «сложным» графом? В главе 3 предложен прием, позволяющий редуцировать некоторые вопросы динамики отображения окружности к соответствующим вопросам отображения отрезка. Это позволило ответить на два поставленных в книге ([22], с. 227, 230) вопроса о сохранении на окружности S1 свойств предельного множества, известных в случае отрезка. Кроме того, здесь для отображений произвольных конечных графов доказана формула Блоха о том, что объединение всех предельных множеств есть асимптотический образ множества неблуждающих точек.

3. Сформулируем основные результаты диссертации.

Для произвольной точки х компактного метрического пространства X относительно эндоморфизма / определен инвариант — D-функция fx: N —>• N, обобщающий период периодической точки. Инвариант строится на основе разложения си-предельного множества точки х при п-й итерации /п. Показано, что для любой точки х функция fx принадлежит множеству Е (предложение 1.3) и что D-функция определяется ^-предельным множеством, когда оно минимально:

Предложение 1.5. Если для точки х £ X ее ш-предельное множество является минимальным множеством А С X, то D-функция точки х совпадает с D-функцией множества А.

Построен пример (пример 1.2) непрерывного отображения / отрезка I в себя и таких точек х, у G /, что их предельные множества совпадают с/) = /), но fx ф fy. Таким образом, условие минимальности предельного множества в предложении 1.5 существенно.

Инвариант типа периода, аналогичный D-функции точки, может быть построен с помощью Л-предельного множества. Установлена его связь с D-функцией (утверждение 1.1, замечание 1.8). Для отображений графов предложен другой вариант определения D-функции точки — псевдо D-функция. Модифицированный вариант обладает теми же свойствами.

Декомпозиционный идеал транзитивного отображения и /^-функция рекуррентной точки связаны согласно следующей теореме.

Теорема 1.1. Декомпозиционный идеал совпадает с областью значений D-функции точки х G X со всюду плотной орбитой, т.е. DI(f) = /X(N). Теорема 1.1 позволяет получить другое доказательство теоремы Бэнкса. Теорема I.A. Декомпозиционный идеал DI(f) является идеалом в решетке (N, -<).

Наличие «почти всех» D-функций установлено у отображения графа со свойством перемешивания.

Теорема II.2. Если отображение f : G —> G является перемешиванием и множество P(f) непусто, то у него имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Эта теорема является следствием двух утверждений ниже (/ J означает, что отрезок / накрывает отрезок J при g-й итерации).

Предложение II.1. Если f : G —» G является перемешиванием и множество P(f) непусто, то найдутся два непересекающихся отрезка М\ и

М2 таких, что Mi А Мь Mi Л М2 « М2 —^ М\ с (q, г) = 1.

Теорема II. 1. Если на G найдутся два непересекающихся отрезка Mi и М2 таких, что Mi A- Mi, Mi А- и М2 —^ Mi с (q, г) = 1, то у отображения f имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Следствие II.5. Транзитивная топологическая цепь Маркова имеет все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Определим частичные порядки на множестве N U Е. Для этого разобьем Е на счетное число подмножеств. Положим

Yi = {seE | s{2l) = (2Z, 2l) для всех I G N}, 0 < i < 00; Y^ = {s E E I s(2l • p) = 2l для всех I € N и всех нечетных р }; Y00 = {sG E\Y^ I s{21) = 2l для всех l еЩ.

Заметим, что множество Y£ состоит из одной функции, будем обозначать ее 200. Пусть

YP = {s <Е Е | s(p) =р}, ре N;

YP = Yi П YP, г € N U {0} U {00}, р £ N.

Через к • 2°° обозначим такую функцию s € Е, что выполнено в(2г • q) = 2г(к, q) для любого нечетного q и любого 0 ^ г < оо.

Порядки >-i и У2 определяются условиями

2*'(2к + 1) ^1,2 2>(2к + 3) Yj 2J+1(2m + 1) >-1,2 2°° 2J+1 >-1,2 2i для любых г, J ^ 0 и га, к > 0.

Порядки 2 совпадают с линейным порядком из работы [8]. Будем называть его порядком Шарковского - Е Сян Дуна.

Порядок при р > 2 в общем случае уже не является линейным, но содержит линейную часть из D-функций и натуральных чисел, кратных р. Это в точности порядок >-i, «умноженный» нар:

2J(2k + 1 )р 2* (2к + 3)р Ур Yf 2J+1(2m + 1 )р >-р Y& 2°°-рУрЯ+1р ур2>р для любых г, j ^ 0 и га, к > 0. Кроме того, для к £ р • N kypik + jp У \ Yp Yp Uр • N ур 1 для любых г, j > 0.

Для натуральных чисел порядок >~р совпадает с соответствующим порядком С.Балдвина, описанным выше.

Более наглядное представление о порядке ур дает рисунок 1, где изображены порядки >-з и >-4. Пусть

Jp{k) = {к} U {s G N U Е | k^ps}-, Jp(p.2°°) = {p.2°°}U{p-2n: n = 0,1,2,.}; J{oo) = {p-2n: n = 0, 1, 2, .}.

Обозначим через DF(f) множество периодов периодических точек и D-функций почти периодических, но не периодических точек, а через PDF(f) — множество периодов и псевдо D-функций точек с конечными и бесконечными ^-предельными множествами соответственно. Возможные множества DF(f) и PDF(f) для непрерывных отображений n-ода описывает

Теорема II.4. Если f : Хп —»• Хп непрерывное отображение п-oda Хп в себя, то множества DF(f) и PDF(f) совпадают и представляют собой конечное объединение Jp(kp) начальных отрезков в порядках У-р, р ^ п, для некоторых kp G {р- 200} U {оо} UN \ {2, 3, ., р— 1}. И обратно, любое вышеописанное множество является множеством PDF(f) для некоторого отображения f 6 С(Хп, Хп) с неподвижным центром.

Доказывается сформулированный результат редукцией с помощью «спектральной» теоремы Блоха (теорема II.С) к теореме Демина о сосуществовании почти периодических точек п-ода [7].

I 12 1

1 20

15 .

• ■

• ■ j y3 Y; rr 1

Порядок <1?

Порядок умноженный на 4 умноженный на 3 yi

12

I б I

3 I 1

Y4

Л- м

16

I 8 I

4 I 1

Рис. 1: Частичные порядки >~з (слева) и >-4 (справа).

Наличие «квазисопряжения» подмножества графа с топологической цепью Маркова обеспечивает

Теорема II.3. Пусть на ребре I С G (возможно петле) задана совокупность отрезков С — {/i, /2, ., In} с попарно непересекающимися внутренностями и обладающая свойством от каждой вершины определяемого ею графа Маркова есть путь в вершину, из которой идут по крайней мере два ребра. Пусть А — (0,1)-матрица, ассоциированная с С. Тогда существует такое замкнутое f-инвариантное подмножество X С U"=1/j, что системы (X, /1 X) и а) обладают общим топологическим фактором (£, а). Причем полусопряжения взаимнооднозначны за исключением счетного числа точек, на которых они двукратны.

Следующие результаты описывают сосуществование точек относительно введенных инвариантов в случае отображений окружности.

Теорема II.6. Предположим, что отображение f : S1 —» S1 таково, что 1 € П(/) и п £ П(/) для некоторого натурального п > 1. Тогда для множества псевдо D-функций PDF(f) выполнена, по крайней мере, одна из следующих ситуаций:

1) E\PDF(f) конечно, т.е. имеются все псевдо D-функции за исключением, быть может, конечного числа;

2) PDF(f) D J\{n), т.е. имеются все псевдо D-функции, стоящие правее п в порядке Шарковского-Е Сян Дуна.

Теорема II.9. Если у отображения f : Sl S1 степени 1 интервал вращения невырожден, то имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Связь между предельными множествами и интервалом вращения описывает

Теорема II.8. Существует такая точка х Е S1, что интервал вращения является образом предельного множества f) при функции вращения.

Объединение предельных точек u(f) = UX£gu(x, f) всех траекторий и множество неблуждающих точек связаны соотношением

Теорема III. 1. Для отображения f : G —> G графа G справедлива формула

Л = П /*(«(/))• fc^O

Следующая теорема позволяет редуцировать некоторые вопросы динамики отображений окружности к соответствующим вопросам отображений отрезка.

Теорема III.2. Пусть для f : Sl —> S1 множество P(f) непусто. Если неблуждающая точка с не лежит в замыкании периодических точек, то у нее найдется такая окрестность U, что отрезок U является периодическим и точка с принадлежит £1{д), где g — сужение fn на U, а п — период U.

Методы исследования. В работе используются методы теории континуумов и теории линейно упорядоченных топологических пространств. Использованы также методы символической динамики.

Апробация диссертации. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах: научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова, семинар «Меры, размерность и топологическая динамика» под рук. проф. В.В. Федорчука, проф. С.А. Богатого, доц. Ю.В. Садовничего, семинар «Эргодическая теория и динамические системы» под рук. акад. Д.В. Аносова, проф. A.M. Степина, а также на конференции молодых ученых МГУ (2004 г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [33], [34] и [35].

В заключение приношу глубокую благодарность профессору С.А. Богатому за научное руководство и всестороннюю помощь в подготовке работы.

1. Биркгоф Г. Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

2. Блох A.M. О динамических системах на одномерных разветвленных многообразиях. 1 // Теория функций, функциональный анализ и их прил. 1986. Т.46, с. 8-18.

3. Блох А. М. О транзитивных отображениях одномерных разветвленных многообразий. В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. Сб. научн. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 3-9.

4. Богатый С. А. Периодические точки отображений отрезка. Общая топология. Отображения топологических пространств. Сборник под ред. В. В. Федорчука и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. с.3-12.

5. Верейкина М. Б. Поведение решений разностных уравнений и почти возвращающиеся точки динамических систем. В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. Сб. научн. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 20-24.

6. Демин А. И. Стабилизатор рекуррентной точки // Вестник Моск. унта, сер.1, математика, механика. 1994. №6. с.3-6.

7. Демин А. И. Сосуществование периодических и почти периодеческих орбит непрерывных отображений триода в себя. // Вестник Моск. унта, сер.1, математика, механика. 1996. №3. с.84-87.

8. ЕСяндун Минимальные множества и сосуществование почти периодических точек преобразований отрезка // Доклады АН СССР, т.309. №5. 1989. с.1049-1051.

9. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

10. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук. 1983. т.141. №2. с.343-374.

11. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. №1. с.61-71.

12. Шарковский А. Н. Притягивающие множества, не содержащие циклов // Украинский математический журнал. 1968. №1. с.136-142.

13. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев.: Наукова думка, 1986.

14. Энгельгинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

15. AlsedaLL, Llibre J. A note on the set of periods for continuous maps of the circle which have degree one // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. v.93, №1, p. 133-138.

16. Auslander J., Katznelson Y. Continuous maps of the circle without perioic points // Israel. J. Math. 1979. v.32, p. 375-381.

17. Bae J., Yang K. u;-limit sets for maps of the circle // Bull. Korean Math. Soc. 1988. v.25, p. 233-242.

18. Baldwin 5., An extension of Sharkovskii's theorem to n-od // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1991. v.ll, p.249-271.

19. Banks J. Regular periodic decompositions for topologically transitive maps 11 Ergod. Th. Dynam. Sys. 1997. v.17, p. 505-529.

20. Bernhardt C. Periodic orbits of continuous mappings of the circle without fixed points// Ergod. Th. Dynam. Sys. 1981. v.l, p. 413-417.

21. Block L. Periods of periodic points of maps of the circle which have a fixed point // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. v.82, p. 481-486.

22. Block L.S., Coppel W.A. Dynamics in One Dimension. N.Y.: Springer-Verlag, 1992.

23. Block L., Guckenheimer J., Misiurevicz M., Young L. S. Periodic points and topological entropy of one dimensional maps. Lecture notes in math. 1980. v.819, p.18-34.

24. Blokh A. M. Spectral decomposition, periods of cycles and a conjecture of M. Misiurewicz for graph maps. Lecture notes in math. 1992. v.1514, p.24-31.

25. Evans M., Humke P., Lee Ch., O'Malley R. Characterizations of turbulent one-dimensional mappings via cu-limit sets// Trans. Amer. Mathr Soc. 1991. v.326, №1, p. 261-280.

26. Franks J., Misiurevicz M. Cycles for disk homeomorphisms and thick trees. Contemporary Mathematics. 1993. v.152, p. 69-139.

27. Hedlund G. A. Sturmian minimal sets // Amer.J. of Math. Sos. 1944. v.66, p.605-620.

28. ItoR. Rotation sets are closed // Math. Proc. Cambridge Philos. Sos. 1981. v.89, p. 107-111.

29. Llibre J., Misiurewicz M. Horseshoes, entropy and periods for graph maps // Topology 1993. v.32, №3, p. 649-664.

30. Misiurevicz M. Periodic points of maps of degree one of a circle // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1982. v.2, p. 221-227.

31. Nitecki Z. Topological dynamics on the interval. Progress in Math. 1982. v.21, p. 1-73.

32. Редкозубое В. В. Предельные множества отображений окружности // Матем. заметки. 2005 (принято к печати).

33. Редкозубое В. В. Центр и глубина центра непрерывных отображений дерева // Тезисы докл. XXVI конф. молодых ученых МГУ. Москва, апрель 2004, с. 100-101.