О четырехлистных полиномиальных отображениях С2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

< л о

И , ^

^ / 5 Ч — ^ч

ГК. . Ь ? Ь

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.55

Домрина Александра Владимировна

О ЧЕТЫРЕХЛИСТНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ С2

01.01.01 — математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ академик РАН

Витушкин Анатолий Георгиевич

Москва 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Глава I. Предварительные сведения 7

§1. Двойственные графы и сплайс-диаграммы 7 §2. Разветвленные аналитические накрытия и отображения

алгебраических поверхностей. 14

Глава II. Отображения с одной дикритической компонентой 24

§3. Свойства дикритической компоненты и ее разрещения на

бесконечности . 24

§4. Структура графа Loo : ■ .д.'.4' 26

§5. Запрет диаграмм рис. 7(в)-(е) 32

§6. Запрет диаграмм рис. 7(а), (б) 34

Глава III. Отображения с двумя дикритическими компонентами 36

§7. Свойства дикритических компонент и их разрешения на

бесконечности 36

§8. Вспомогательные утверждения 38

§9. Структура графа Ь^, 43

§10. Запрет диаграмм 2а),б) рис. 20 52

§11. Запрет диаграмм 1а)-1г) рис. 20 52

§12. Запрет диаграмм За),б) рис. 20 59

§13. Запрет диаграмм 4а),б) рис. 20 64

Глава IV. Пример строго псевдовыпуклой гомеоморф-ной шару области, к которой снаружи подклеивается комплексный диск 71

§14. Формулировка результата 71

§15. Построение области 71

§16. Подклейка диска 75

Литература 76

Typeset Ьу Дд^З-ТеХ

ВВЕДЕНИЕ

В 1939 г Келлером [15] была сформулирована гипотеза, которую стали называть гипотезой о якобиане. Она состоит в том, что полиномиальное отображение / : С2 С2 якобиан которого равен ненулевой константе, то есть

(0.1) det /' = const ф 0,

обратимо, причем обратное отображение также полиномиально. Здесь С2 и С2 — два экземпляра комплексной плоскости. Заметим также, что так как det f — многочлен, то условие (0.1) эквивалентно локальной обратимости / в каждой точке С2.

Гипотеза о якобиане до сих пор не доказана и не опровергнута. Известные подходы к этой проблеме используют самые разнообразные методы от алгебры и комплексного анализа до комбинаторики и применения вычислительной техники. Обзоры частичных результатов имеются в [24], [12].

Число прообразов общей точки называется топологической степенью отображения. Отображения степени п называют также п-листными. Отображение /, удовлетворяющее условию (0.1), является полиномиально обратимым тогда и только тогда, когда общая точка из С2 имеет один прообраз. Известно, что полиномиальных отображений топологической степени два или три, удовлетворяющих условию (0.1), не существует. Случай степени два элементарен (см. [12, теорема (2.1)]), а для случая степени три это утверждение было доказано С.Ю. Оревковым в [8]. В настоящей диссертации разобран случай степени четыре.

ТЕОРЕМА 1. Не существует локально обратимого полиномиального отображения f : С2 —У С2 топологической степени 4.

Таким образом, если существует отображение, доставляющее контрпример к гипотезе о якобиане, то топологическая степень этого отображения не меньше пяти.

Для доказательства теоремы 1 мы используем геометрический подход. Он заключается в следующем. С помощью конечного числа сг-процессов на бесконечности можно продолжить / до регулярного рационального отображения F : X —У X неособых компактных комплексных многообразий X и X, содержащих соответственно пространства С2 и С2 в качестве открытых подмножеств, а дополнения к этим пространствам L := X \ С2 и L := X \ С2 являются кривыми, состоящими из конечного числа неособых рациональных компонент, пересекающихся трансверсально и не более чем попарно. При этом образ при

Typeset by Лл^-ТеХ

отображении 2*1 каждой неприводимой компоненты кривой Ь либо содержится в Ь, либо является точкой из С2, либо представляет собой кривую, лежащую целиком в С2 за исключением одной точки (см., например, [8, лемма 2.1]). В последнем случае неприводимая компонента называется кривой ветвления или дикритической компонентой отображения Р. Таким образом, мы называем неприводимую компоненту д кривой Ь дикритической, если Р(д) (£_ Ь и 2*1 непостоянно на д. Отметим, что если отображение 2*1 не имеет дикритических компонент, то 2Г'_1(С2) = С2, т.е. отображение / собственно. Но собственное локально обратимое полиномиальное отображение С2 —У С2 глобально обратимо (см. [12, теор. (2.1)]), то есть имеет степень 1. Таким образом, если имеется отображение /, являющееся контрпримером к гипотезе о якобиане, то отвечающее ему отображение 2^ должно иметь по крайней мере одну дикритическую компоненту.

Так как по условию теоремы 1 топологическая степень отображения / равна четырем, то число дикритических компонент отображения ¥ не больше двух (см. ниже §7).

Глава II посвящена доказательству следующего частного случая теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2. Не существует четырехлистного локально обратимого полиномиального отображения / : С2 —У С2, имеющего одну дикритическую компоненту.

В главе III доказано, что не существует четырехлистных отображений 2^ с двумя дикритическими компонентами. Таким образом, главы II и III содержат полное доказательство теоремы 1.

Приведем схему доказательства теоремы 1. Раздувая многообразия X и X, можно добиться того, что образ каждой дикритической компоненты трансвер-сально пересекает кривую Ь. Нас будет интересовать поведение отображения 2*1 в окрестности "бесконечности", т.е. в окрестности кривой Ь.

Сопоставим каждой из кривых Ь, Ь ее двойственный граф, вершины которого отвечают неприводимым компонентам кривой, а ребра —■ точкам пересечения неприводимых компонент. Вес вершины — индекс самопересечения соответствующей компоненты. Определитель двойственного графа — это определитель взятой со знаком минус матрицы пересечения соответствующей кривой. Мы будем изучать поведение отображения 2*1 в окрестности "бесконечности" в терминах двойственных графов кривых Ь, Ь. Нужные нам сведения о графах и отображениях алгебраических поверхностей в терминах графов составляют содержание главы I, носящей вспомогательный характер.

Оказывается, что определители ветвей двойственного графа кривой Ь, выходящих из нодальных (т.е. валентность которых > 3) вершин, выражаются через порядки ветвления отображения 2*1 в этих вершинах (см. определение (2.3)) и через определители ветвей графа выходящих из нодальных вершин (см. предложение (2.11) и лемму (2.20)). Назовем эти данные комбинаторной структурой отображения 2<\ Так как топологическая степень 2^ ограничена, то могло бы быть только конечное число комбинаторных структур отображения 271. Мы доказываем невозможность каждой из них по отдельности.

Поскольку Ь и Ь получены раздутиями из бесконечной прямой, то опреде-

лители отвечающих им двойственных графов равны -1. Это тоже накладывает серьезные ограничения на комбинаторную структуру отображения F. Совмещая эти ограничения с условием постоянства якобиана F*(dx A dy) = const dx A dy, записанным в терминах канонических дивизоров многообразий X и X (см. леммы (6.1), (8.1)), мы в каждом из случаев приходим к противоречию. (Коэффициенты разложения К£ = ХлсЕ fyl также выражаются в терминах сп лай с- диаграмм, см. лемму (1.9)).

Пример, построенный в работе С.Ю. Оревкова [7] (см. также [21]), показывает, что без дополнительных ограничений этот подход не работает для случаев большой топологической степени. Топологическая степень отображения, построенного в [7], равна 36. Как сообщил автору С.Ю. Оревков, меняя числовые данные, можно понизить топологическую степень до 9 и это — минимальная возможная степень для примеров такого рода. Поэтому представляется весьма правдоподобным, что с помощью методов, приведенных здесь, можно доказать, что топологическая степень возможного контрпримера к гипотезе о якобиане больше или равна 9.

В связи с гипотезой о якобиане А.Г.Витушкиным был поставлен следующий вопрос.

Существуют ли разветвленное аналитическое накрытие т : У —>■ У (где У - некоторое комплексное многообразие, a Y - область в С2) , биголоморфная шару область ft С Y и комплексный диск D С Y такие, что

1) ft содержится в регулярной части накрывающей У;

2) 8D С dft, int D С У \ ft.

Мотивировка этого вопроса такова. Допустим, что существует полиномиальное отображение / : С2 -> С2, которое является контрпримером к гипотезе о якобиане. Отвечающее ему отображение F : X —> X, как отмечено выше, должно иметь по крайней мере одну дикритическую компоненту д. Выберем точку р Eg так, что F(p) Е С2, и возьмем локальные голоморфные координаты (х,у) с центром в точке р, в которых д задается уравнением х = 0. Пусть с — кривая, определенная в окрестности точки р и задаваемая уравнением у = 0. Тогда для достаточно большого шара ft С С2 С X компонента связности D множества с \ П, содержащая р, является комплексным диском, образ которого при отображении F лежит в С2. Так как F непрерывно, то для области У, состоящей из П и маленькой окрестности диска Р, область Y := F(Y) целиком содержится в С2. Поэтому ограничение г = F\y : Y —> Y является разветвленным аналитическим накрытием, удовлетворяющим свойствам 1) и 2), сформулированным выше.

Этот вопрос А.Г. Витушкина до сих пор остается открытым. В главе IV диссертации мы даем утвердительный ответ на вопрос, аналогичный предыдущему, но сформулированный при более слабых ограничениях на область ft, а именно:

Существуют ли разветвленное аналитическое накрытие т : Y —> Y , строго псевдовыпуклая гомеоморфная шару область ft С Y и комплексный диск D С Y такие, что

1) ft содержится в регулярной части накрывающей У;

2) 3D С ЭП, int D С У \ ft•

Приведем теперь точную формулировку нашего результата, доказательству которого посвящена глава IV.

ТЕОРЕМА 3. Существуют комплексное многообразие Y, разветвленное аналитическое накрытие / : У —> В4 (где В4 - единичный шар в С2), строго псевдовыпуклая гомеоморфная четырехмерному шару область П С Y и комплексный диск D С Y такие, что

1)0, содержится в регулярной части накрывающей Y;

2) 3D С dSl, int D С Y \ И.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по комплексному анализу кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители семинара академик А.Г. Витушкин и профессор А.Г. Сергеев) и на Международных конференциях: "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 28-30 мая 1996 г., "Complex analysis and applications", Варшава, 14-25 июля 1997 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3], [4], [5]. Работа [3] выполнена совместно с С.Ю. Оревковым, которым была предложена общая схема доказательства теоремы 2. Однако, прямолинейное применение этой схемы привело бы к рассмотрению очень большого количества частных случаев. Автором диссертации были предложены дополнительные соображения, позволившие существенно сократить перебор случаев.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю академику А.Г. Витушкину за постановку задачи и неизменное внимание к работе.

Автор искренне признателен С.Ю. Оревкову за многочисленные полезные обсуждения и плодотворное сотрудничество.

ГЛАВА I

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1. Двойственные графы и сплайс-диаграммы

Двойственные графы.

Пусть У — комплексное многообразие комплексной размерности 2, кривая L С Y приведена (т.е. не имеет кратных компонент), состоит из конечного числа неприводимых компонент и все ее неприводимые компоненты суть неособые замкнутые комплексные кривые, пересекающиеся трансверсально и не более чем попарно. Сопоставим кривой L граф Г^, называемый двойственным графом кривой L, вершины которого соответствуют неприводимым компонентам L, а ребра —- точкам пересечения неприводимых компонент. При этом некомпактные кривые изображаются стрелками. Если надо явно указать поверхность У, будем называть Гх двойственным графом пары (Y,L).

Пара (У, L) называется правильной, если Y — компактная алгебраическая поверхность и все неприводимые компоненты кривой L суть алгебраические кривые. В этом случае граф Гх, является взвешенным, его веса — это индексы самопересечения.

Определим для произвольного взвешенного графа Г, состоящего из вершин vi,...,vn с весами w(-«i),...,w{yn) его матрицу инцидентности Ay = (o-ij) следующим образом:

(w(vi) при г = j,

1, если i ф j is. vi,Vj соединены ребром, О, иначе

Определителем графа Г назовем detГ := det(—Аг)- Заметим, что определитель графа не зависит от порядка его вершин. Кроме того, если Al есть матрица пересечений кривой L, то detTi = det(—Al). Нам будет также удобно рассматривать "вырожденные пары" (У, L), где L либо точка из У, либо L = 0. В этих случаях мы будем считать (У, L) правильной парой и положим TL = 0, detTi = 1.

Если (У, L) — правильная пара и кривая С трансверсально пересекает L, то двойственным графом Tl,c кривой С возле L мы будем называть двойственный граф пары (U, (LUC)f]U), где U — достаточно малая окрестность кривой L, таким образом, стрелки на этом графе соответствуют росткам кривой С возле L. Остальные вершины снабжены весами. В частности, если (7 = 0, то Гl,c = Гь- Если L — простая двойная точка кривой С, то двойственный граф кривой С возле L имеет вид <-

Typeset by Лд^-ТеХ

Все рассматриваемые ниже графы будут двойственными графами некоторых кривых. Поэтому подграфом графа Г будем называть такой граф Г', что

а) вершины Г' являются вершинами Г,

б) если две вершины Г' соединены ребром графа Г, то они должны быть соединены и некоторым ребром Г'.

Таким образом, подграф определяется своими вершинами. В дальнейшем мы будем обозначать неприводимые компоненты и отвечающие им вершины одинаковыми строчными буквами, а кривые (вообще говоря, приводимые) и соответствующие им подграфы—одинаковыми прописными буквами. Валентность 1/р(5) вершины 5 графа Г равна числу выходящих из нее ребер. Вершина 5 называется концевой, линейной или нодалъной вершиной графа Г, если ее валентность равна 1, 2 или > 2 соответственно. Связный подграф С графа Г называется линейным, или линейной цепочкой, если для любой вершины а £ С имеем ьт(а) < 2. Ветвями графа Г в вершине V (или ветвями, выходящими из вершины у) называются компоненты связности графа Г — V. Вершина V называется смежной с вершиной д, если они соединены ребром. Подграф £) называется смежным с вершиной V, если V ^ жи смежна с некоторой вершиной подграфа С}.

ОБОЗНАЧЕНИЯ (1.1). Пусть граф Г является деревом. (Напомним, что деревом называется связный граф без циклов). Пусть а и Ъ — различные вершины графа Г. Введем обозначения:

Ьга(Ь, Г) — ветвь графа Г, выходящая из вершины а, которая содержит 6;

(аЬ)г = Ьга(Ь,Г) ПЬгь(а,Г);

[аЪ)г = (аЬ)г и {а}; [аЬ]г = [аЬ)г и {Ъ}-

(аЪ)г — минимальный связный подграф графа Г, который содержит а ж Ъ\

6(аЬ)г = [аЬ]г — {аЬ)г ■

ЗАМЕЧАНИЕ. Все графы, рассматриваемые ниже, являются деревьями.

Мы будем опускать индекс графа Г в обозначениях (1.1), если из контекста ясно, о каком графе Г идет речь. Например: Ьга(6), (аЪ), и т.д.

Раскладывая определитель взвешенного графа по строке, получаем:

(1.2). Пусть Г — взвешенный граф, V — вершина Г; и>(и) — вес V. Обозначим через Г1,... ,ГГ компоненты связности Г\г;. Пусть Г^- := Г^- — и^, где V] — вершина Т], смежная си, 1 < ] < г. Тогда

г г

Г = -ад(г>) Д (1е1 Г,- - ^ с^ Г^- Д с^ Г^.

3=1 3=1 кфз

Доказательство следующего утверждения имеется в [19], однако мы приведем его для полноты изложения.

ЛЕММА (1.3). Пусть Г — взвешенный граф, а, Ь — его вершины. Тогда

¿е^аЬ) ¿еЬ Г = Ъта(Ъ) Ьгь(а) - с!е1;(Г - [аЬ])(с^ 5(аЬ))2.

1-1

[Напомним, что если вершины а иЬ соседние, то (аЪ) = 0 и с1е<;(аЬ) = 1.) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нам понадобится вспомогательное утверждение:

(*) Пусть Г — взвешенное дерево, состоящее из вершин Г1,...,г?п, Ар (о^ ) — его матрица инцидентности, с^ Ар ф 0 , Дг = = -Ар •

Тогда ¿^ — — det(Г — («¿г^)) / det Г.

Докажем утверждение (*). По формуле Якоби для элементов матрицы —Юр = (—Ар)-1, имеем —¿^ — det(—Ар)^/det(—Ар), где (—Ар)^ — алгебраическое дополнение к элементу —а^. Согласно [14, лемма (20.2)], det(—Ар)^ = det(—Ар)]{ = det(Г — Учитывая det(—Ар) = detГ, получаем (*).

Докажем теперь утверждение (1.3). Допустим сначала, что det Г ф 0, det(Г— [аЬ]) ф 0. Пусть М — минор, полученный из —Ар удалением двух столбцов и строчек, отвечающих элементам а и Ь. Тогда М = det(Г — [аЬ]) det(аЬ). С другой стороны, по формуле Якоби для минора обратной матрицы, имеем

(**) М/ det Г = det ( ~<\аа

\ —аъа —аьь

Обозначим Са = det(Г — а — Ъта(Ь)), Съ = det(Г — Ъ — Ьг&(а)). Заметим, что СаСъ = det(Г — [аЬ]). Согласно (*), ¿аа = — Са det Ьга(Ь)/ det Г, ¿ьь = -Сь<1е1;Ъгь(а)/<1е1;Г, ¿Ъа = ¿аЬ = — det(Г - [аЬ]) det 5(аЪ)/ det Г. Учитывая (**), получаем (1.3).

Поскольку все члены формулы (1.3) непрерывно зависят от весов графа Г, получаем, что (1.3) справедлива и в случае, когда det Г det(Г — [аЬ]) = 0. □

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае, если (аЬ) является линейной цепочкой и det(Г) = ±1, формула (1.3) была доказана в работе Эйзенбуда и Неймана [7], где она называлась формулой для определителя ребра. Из формулы (1.2) вытекает

СЛЕДСТВИЕ (1.4). Пусть Г — взвешенный граф и detГ = ±1. Тогда определители всех ветвей, выходящих из одной и той же вершины, попарно взаимно просты. В частности, если один из них равен 0, то любой другой должен равняться 1 или —1.

Двойственные графы с корнем