Оценки числа периодических решений уравнений Абеля и Льенара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Оценка числа циклов для некоторых типов уравнения Абеля

1.1 Введение

1.2 Уравнения г малыми периодическими коэффициентами.

1.3 Двойное отношение и уравнения, имеющие не больше трех периодических решений.

1.4 Случай л = 4: контактная структура и поведение решений.

2 О массивности множества отображений Пуанкаре уравнений Абеля

2.1 Введение

2.2 Леммы о композициях одномерных отображений.

2.3 Основная лемма.

2.4 Доказательство теоремы о массивности (Теорема 2.2)

3 Некоторые оценки сверху числа замкнутых циклов векторных полей на плоскости и их применения к уравнению Льенара

3.1 Введение

3.2 Оценки для числа замкнутых циклов.

3.2.1 Оценки, использующие неявный параметр.

3.2.2 Оценки, использующие явные данные.

3.3 Область определения обратного отображения

Пуанкаре уравнения Льенара

3.3.1 С-полиномы

3.3.2 Дикритические узлы на бесконечности.

3.3.3 Выталкивающие области вблизи бесконечности.

3.3.4 Область определения обратного отображения Пуанкаре.

3.3.5 Область определения и приращение обратного отображения Пуанкаре

3.3.6 Надстройка над отображением Пуанкаре.

3.4 Время первого возврата.

3.4.1 Окрестность особой точки.

3.4.2 Полоса вдоль вертикальной изоклины

3.4.3 Оценка сверху времени первого возврата.

3.5 Аналитическое продолжение отображения

Пуанкаре.

3.5.1 Комплексная область определения обратного отображения Пуанкаре

3.5.2 Оценка правой части и времени первого возврата.

3.5.3 Применение Теоремы 3.2.

3.5.4 Финальная оценка и упрощения.

Одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений является задача об оценке числа периодических орбит полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости. Можно считать, что такого рода вопросы восходят ко второй части шестнадцатой проблемы Гильберта. В настоящей работе проблема оценки числа периодических орбит исследуется для уравнений Абеля и Льенара.

В первой главе исследуются несколько частных случаев задачи об оценке числа периодических решений уравнения Абеля. Мы будем рассматривать полиномиальное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами вида х = хп + an-i(t)xn-1 + . + aQ(t), (1)

При малых коэффициентах уравнение (1) имеет не более п периодических решений с учетом кратности.

Теорема 1.1. Пусть Т = ^ и для любого t корни многочлена хп + an-i{t)xn~l + . + а0 W, включая комплексные, по модулю не превосходят Тогда отображение Пуанкаре имеет не более п неподвижных точек.

Эта теорема доказывается с помощью выхода в комплексную область. При п = 3 число периодических решений оценено в работах [1] и [2] (с указанием на то, что результат принадлежит Смейлу). В разделе 1.3 использован новый подход к этой проблеме, основанный на исследовании свойств двойного отношения, составленного из четырех несовпадающих решений равнения Абеля. А именно,

Теорема 1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида х = х3 + a(t)x2 + b(t)x + c(t) с гладкими коэффициентами a(t), b(t) w с(£). Обозначим через cp(x,t) решение этого уравнения с начальным условием </?(ж,0) = х. Пусть Х\, X2, — четыре произвольные точки на прямой, расположенные в порядке возрастания х\ < X2 < < х±. Пусть S{x,t) есть двойное отношение точек ip(xi,t), tp(x2,t), ,t), (fi(x^t):

Тогда двойное отношение S(x, t) является возрастающей функцией времени.

Теорема 1.3. Рассмотрим дифференциальное уравнение х = f(x,t) с правой частью, обладающей тем свойством, что в каждый момент времени график функции f(x,t) пересекается с любой параболой вида ах2 + Ьх + с не более, чем в трех точках. В этом случае, для любых четырех несовпадающих решений двойное отношение S(x, t) является монотонной функцией времени.

Из этих теорем вытекает новая оценка

Следствие 1.3. Отображение Пуанкаре дифференциального уравнения вида не может иметь более трех неподвижных точек.

При п = 4 число периодических решений уравнения (1) может быть равно шести [1]. В разделе 1.4 настоящей работы построен новый класс уравнений типа (1) с п = 4 и шестью периодическими решениями. А именно, рассматриваются дифференциальные уравнения вида с периодически зависящими от времени коэффициентами: a(t + Т) = a(t), b(t + Т) = b(t). Оказывается, что поведение решений для всего этого класса уравнений регулируется следующей 1-формой

S(x, t) — cp{xht) - y{x2,t) ip(xt,t) - ip(x3,t) cp(xi, t) - (p(x3, t) <p(xi, t) ~ cp(x2, t) '

X = х2пЛ~1 + a(t)x2 + b(t)x + c(t) x = (x2 - l)(x2 + a{t)x + b(t))

2)

X2 ~ ХЪ dx 3.

Теорема 1.4. Пусть xi(t), х2(£), (t) — три различных решения уравнения (2). Поставим им в соответствие кривую x(t) = (xi{t),x2(t),x3(t)), лежащую в Ж3. Тогда имеет, место соотношение а(Щ) = (x2{t) - ®i(t))(®3(t) - x2(t))(x1(t) - ar3W). (3)

Верно и обратное утверждение. Пусть кривая x(t) = {xi(t),x2(t),x3(t)) удовлетворяет соотношению (3), причем

-1 < a?i(*) < < < 1

Тогда найдутся функции a(t) и b(t) такие, что функции Х\(t), х2(t), х%(t) являются решениями соответствующего уравнения (2).

Основные результаты этой главы опубликованы в [13].

Во второй главе основным объектом изучения является уравнение вида х = a3(t)x3 + a2(t)x2+ ai(t)x + ao(t), <е[0,1], щеС1. (4) Введем несколько стандартных обозначений. Рассмотрим уравнение вида x = h(x,t), he С1. (5)

Пусть <p(x,t) решение этого уравнения с начальным условием р(х, 0) = х.

Обозначим через PT[h] отображение Пуанкаре этого уравнения за время

Т,

PT[h] : х <р(х,Т).

Можно поставить вопрос, сколько невырожденных циклических решений может иметь уравнение (4). Циклическим решением уравнения (4) будем называть решения принимающие одинаковые значения при t — 0 и t = 1. Известно [1], что при as(t) = 0, a2(t) = 0 уравнение (4) может иметь не более двух невырожденных циклических решений, при as(t) = 0 не более трех, а при a%(t) > 0 не более четырех невырожденных циклических решений. Однако J1. Нето [3] показал, что без этих ограничений уравнение (4) может иметь сколь угодно большое число невырожденных циклических решений.

Конструкция Л. Нето, позволяющая строить уравнения вида (4) со сколь угодно большим числом невырожденных циклических решений состоит в следующем. Рассматривается уравнение вида х = a,2(t)x2, для которого отображение P1[a2(t)x2} тождественно на некотором малом отрезке G, содержащем 0. Далее уравнение возмущается с помощью добавки £az(t)xs, где е мало и показывается, что за счет выбора аз(t) можно получить сколько угодно много невырожденных циклических решений на отрезке G. Таким образом видно, что в конструкции JI. Нето отображение P1[£a,2,(t)y3 + a,2(t)x2] близко к тождественному. Нас будут интересовать свойства всевозможных отображений Пуанкаре для уравнения (4) - Р^а^х* + ■ ■ ■ + aQ(t)}.

Оказывается, что множество отображений Пуанкаре уравнений вида (4) всюду плотно в множестве всех непрерывных монотонных функций.

Теорема 2.1. Для любого отрезка множество отображений Пуанкаре уравнений вида (4) за время 1 всюду плотно в пространстве сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов этого отрезка на свой образ.

Следствие 2.1. Уравнение вида (4) может иметь любое число циклических решений.

Доказательство Теоремы 2.1 опирается на следующие результаты.

Лемма 2.1. Рассмотрим множество уравнений вида х — апхп + Gn\xn"1 +----1- «о, G Ж. (6)

Для любого отрезка множество отображений Пуанкаре уравнений вида (6) за время 1 всюду плотно в пространстве сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов отрезка на свой образ.

Теорема 2.2. Пусть отображение Пуанкаре Р1^^71 -+- • —ai ^ уравнения (б) определено на отрезке [о, Ь]. Тогда для любого £ существует уравнение вида (4) такое, что отображения Пуанкаре уравнения (4) и уравнения (6) за время 1 отличаются не более чем на £ па отрезке [а,Ц.

Основные результаты этой главы опубликованы в [14].

В третьей главе исследуется специальный класс уравнений — уравнения Льенара, для которых отображение Пуанкаре всюду определено и не тождественно. Эти уравнения исследовались многими авторами; в [4] обсуждались малые возмущения линейного центра; замкнутые циклы с малой амплитудой были объектами изучения в [5]. Все эти исследования базировались на различного рода техниках возмущений. В этой главе изучаются уравнения, далекие от интегрируемых, и замкнутые циклы, удаленные от точки равновесия. Используемый метод был разработан в [6] для линейных уравнений, он основан на теореме о нулях и росте для голоморфных функций. Использование этой теоремы позволяет получить оценку сверху для числа замкнутых циклов векторных полей на плоскости — Теоремы 3.1 и 3.2. Главным результатом является Теорема 3.3, дающая оценку для уравнения Льенара в предположении, что коэффициенты ограничены сверху константой С; оценка зависит от этой константы, а также от степени полинома п. Оценка в Теореме 3.3 трижды экспоненциальная и не претендует на реалистичность (Смейл предположил, что оценка полиномиальна по п и не зависит от С). Тем не менее, это единственно известная оценка числа замкнутых циклов для уравнения Льенара с произвольной нечетной степенью полинома. При п = 2 уравнение Льенара имеет не более одного замкнутого цикла [4], тоже самое и для п = 3, см. [7].

Недавно подобный метод был применен Ю.С. Ильяшенко [11] для оценки числа замкнутых циклов уравнения Абеля. Пусть v аналитическое векторное поле на действительной плоскости, которое может быть продолжено в С2. Для любого множества D в метрическом пространстве, через Ue(D) обозначим б-окрестность D. Метрику в С и С2 зададим следующим образом: p(z,w) = \z — w\, z,w E С; p(z,w) = max(|2ri — wi\, \z2 — W2\), z, w E С2. Обозначим через \D\ длину отрезка D. Для любого другого отрезка D, содержащего D', пусть p(D, dD') будет хаусдорфовым расстоянием между D и D'.

Рассмотрим систему

7)

Теорема 3.1. Пусть Г секущая векторного поля v, D С Г — отрезок. Пусть Р это отображение Пуанкаре уравнения (7), определенное на D, и D С D' = P(D). Предположим, что Р можно аналитически продолжить на U = U£(D) С С, г < 1, и

P(U) С U\D') С С.

Тогда число #LC(D) замкнутых циклов, пересекающих D, допускает, оценку сверху:

LC(D) < log |D'I + 2 p(D, dD')'

Аналогичное верно для P, замененного на Р"1.

Пусть, как и раньше, Р : D —)• D' отображение Пуанкаре уравнения (7). Для любого х G D определим ipx,p(x), дугу фазовой кривой уравнения (7), стартующую из точки х и заканчивающуюся в точке Р(х). Пусть

ЩР>)= (J Ч>х,Р(х)xeD

Теорема 3.2. Пусть в предположениях Теоремы 3.1

1 < а = max Ы, L = 2и.

Пусть t{x) — это время прохождения дуги (рх,р(х)> и

Тюах = ma.xt(x), Т = Гтах + 1. xeD

Пусть

8 < e~LT, А = VS, е — б2.

Обозначим через (zi,zz) координаты в С2, СГ = = 0}, v — (fi,^)-Пусть К С D это отрезок, К' = Р(К), П* = Vs(0) х UX{K'). Предположим, что

V2 Щ Ц в П<5

Тогда

1. Отображение Пуанкаре Р : К —> К' уравнения (7) может быть аналитически продолжено в U£(K) С Г; и P(U£{K)) С U1 {К').

2. Для уравнения (7)

LC{K)<eW"\og |В'1 + 2 р(К,дК>)

То же самое верно для Р, замененного на Р'1. В этом случае

P~1(D) = D', О - (J <рхгр(х). xeD'

Теорема 3.3. Рассмотрим уравнение Льенара га—1 х = у — F(x), у = -х, F(x) = хп + азх'(8) 1

Ы <С, С > 4, п > 5 и предположим, что п нечетное. Тогда число L(n,C) замкнутых циклов уравнения (8) допускает следующую оценку сверху:

Ь(щС) <ехр(ехрСЫп).

Замечание 3.1. Допущение ^(0) = 0 не меняет общности, поскольку может быть осуществлено за счет сдвига у ну а, аналогично, предположение о том, что старший коэффициент равен единице, может быть реализовано за счет перемасштабировки х и у.

Результаты, изложенные в третьей главе настоящей работы, реализованы в совместной публикации с Ю.С. Ильяшенко [12]. Замысел данной публикации принадлежит Ю.С. Ильяшенко, доказательства Теорем 1, 2, 3 данной статьи (Теоремы 3.1, 3.2, 3.3 в диссертации) принадлежат автору.

Автор благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Юлию Сергеевичу Ильяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Плисе В.А. О числе периодических решений уравнения с полиномиальной правой частью / / Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. JV"^ 5. 965-968.

2. Shahshahani S. Periodic solutions of polinomialfirst order differential^ equations / / Nonlinier Anal. 1981. V . 5. 2. P. 157-165.

3. Neto A .L . Number of Solutions of an Equation x a^{t)x^. . + ао(^)/ / Inventiones Maht. V. 59. P. 67-76.

4. Neto A .L . , de Meló W., Pugh On Lienard equation / / Lecture Notesin Math. 1977. V . 597. P. 335-357

5. Lloyd N . , Linch S. Small amplitude limit cycles of certain Lienardsystems // Lecture Notes in Math 1998. V . 418, Proceedings Roy. Soc. 1.ndon P. 199-208

6. Ilyashenko Y u , Yakovenko S. Counting real zeros of analytic functionssatisfying linear ordinary differential equations // J . Differential Equations 1996. V . 126. P. 87-105

7. Dumortier P., Rousseau Ch. Lienard equation with linear damping //Nonlinearity 1990. V . 3. P. 1015-1037

8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ,1952.

9. Арнольд В.И. Математические методы классической механики,и.: Наука, 1989.

10. Smale S. Mathematical problems for the next century //Math.Intelligencer 1998. V . 20. :N'5 2. P. 7-15

11. Ilyashenko Y u . Hilbert type numbers for Abel equations, growth andzeros of holomorphic functions /f Nonlinearity 20,00. V . 13. C. 13371342

12. Ilyashenko Yu . , Panov A. Some upper estimates of the number of limitcycles of planar vector fields with applications to Lienard equations // Moscow Math. Journal 2001. V . 1. №- 4. P. 583-599

13. Панов A .A . 0 числе периодических решений полиномиальных дифференциальных уравнений // Мат заметки. 1998. Т. 64. Jf^ 5. 720727.

14. Панов А.А. О многообразии отображений Пуанкаре // Функц. анаЛИЗ 1УУУ. 1. 04. J r 4. Ъ . 0 Ч : - 0 0