Проблема центра и фокуса для аналитических дифференциальных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ПНСТГСЭТ «¿ТЕМАТИКИ АКЛДЕШ НАУК Е2ЛАК7С11 УДК 517.925/.925.56

: Г Л С Л 2 9 ДПР 1825

САДОВСКИЙ АНТОН ПАВЛОВА

ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА И ФОКУСА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДКМЕРЕНЦИАЛЬНЬЕ -СИСТЕМ

Специальность :01.01.02-дафферонцяалышг> уравнения

. Автореферат диссертации ка сопсхаккз учйкой стспога доктора физико-иатамзтическш: нар:

Г.йшас-1996

Работа выполнена в Гродненском государственной университете

им.Я.Купалы.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор АНДРЕЕВ Алексей Фёдорович

доктор физико-математических наук, профессор ДОЛОВ Михаил Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор ЧЕРКАС Леонид Антонович

Оппонирующая организация:Институт математики АН Украины

Защита состоится " 21 " '_мая 1936 года

в ^часов на заседании Совета по защите диссертаций Д 01.02.02 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072,г.Минск, ул. Сурганова, 11, Институт математика АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан " апреля

1996 года.

Учёный секретарь Совета по защите диссертаций, старший научный сотрудник

ЛАс-Ц^- А.И.Астровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность rein.Одной из вакнейших задач качественной теории

- дифференциалышх уравнений является вопрос о расположении траекторий автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в окрестности изолированной особой точки.Этот вопрос был поставлен Пуанкаре.Важнейшее место здесь занимает проблема различения центра и фокуса.А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым бнли указаны два метода репа-кия этой проблеш в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линейной части:в полярных координатах а декартовых координатах.Эти методы позволяют установить наличие центра путём проверки бесконечного числа условий,которые в общем случае очень слоены.Поэтому в дальнейшем усилия исследователей была направлены на разработку различных методов реиешя этой проблемы,позволяющих упростить нахождение необходимых п достаточных условий центра,а также на изучение различных частных случаев таких систем.Значительные результаты в этой направлении получены Г.Дюлаком.М.И.Аль-мухаме довым ,11. С. Кукле со и, H.A. Сахарнпковын, К. С. Сибирским, Л. А. Черкасом, Н.Г.Ллойдои.Г.Колондекои и шютш другими математиками. Отметил эффективность использования нормальных форм при рекении проблемы центра и фокуса в случав чисто ишмнх корней (К.Л.Зигель, А.Д.Бршо.Ю.Н.Бибиков) .А.М.Ляпуновым был указан метод решения проблеш центра и фокуса и в случае нулевых корней характеристического уравнения при ненулевой линейной части.Нахседеиао необходимых и достаточных условий центра по этому методу приводят к

• очень сложным вычислениям,из которых не- ясна структура условий центра.

Наиболее сло&ной проблема центра и фокуса является в случае аналитических систем о нулевой линейной частыо.Дяя аналитически систем со сложными особыми точками возникает проблема различения двух типов особых точек:особых точек первой группы,т.е.особых точек,не являющихся особыми точками типа фокуса или центра и особых точек второй группы (монодрошшх особых точек),т.е.особых точек топа фокуса ила центра.Впервые метод решения этой проблемы был указан И.Бендиксоном.й.Бендиксоном для произвольной аналитической системы был разработан метод расщепления сложной особой точки, позволяющий конечный числом шагов определить топологический тип

расположения траекторий (с точностью до различения центра и фокуса).Результата И.Бевдиксона были существенно дополнены и развиты Г.Дюлаком.М.Фроммером был предложен новый эффективный метод расщепления сложной особой точки«который подробно рассматривался в работах И.С.Куклеса А.О.Андреева,Г.Шинтани и др.Наиболее существенные и законченные результаты в этом направлении принадлежат

A.Ф.Андрееву.Другие методы расщепления слояной особой точки были предложены А.Д.Бршо, А.Ц.Воробьёвым,Э.И.Грудо.Метод расщепления особенностей для систем класса С™ рассматривался Ф.Дюмортье.Любой из методов расщепления особенностей позволяет конечным числом иа-гов определить является ли особая точка ионодромной или нет. Заметим, что для аналитических систем центро-фокус невозможен

(Ю.С.Ильяшенко).Проблема центра и фокуса для систем с нулевой линейной частью рассматривалась лишь для некоторых частных слу- • чаев.Например,для случаев,когда проблема центра п фокуса разрешается путём перехода к полярным координатам или к различным их обобщениям (Г.Форстер,Н.В.Медведев, М.Я.Ятаев).Проблема центра и фокуса для различных случаев сложной особой точки рассматривалась в работах Э.И.Грудо,Д.В.Скитовича,С.А.Золотарёва,Н.Б.Медведевой,Ф.С.Березовской и Н.Б.Медведевой.Содержательный результат, основанный на использовании функции Ляпунова.имеется в работе

B.В.Амелькина и И.В.Гайшуна.Проблема центра и фокуса приобретает особую актуальность в связи с исследованием предельных циклов в окрестности особой точки,а также с многочисленными приложениями аналитических систем с особой точкой типа фокуса или центра.Разработка методов решения этой проблемы,позволяющих эффективным образом использовать современную компьютерную технику,также представляется весьма актуальной.

Связь работы с крупными научными темами. Диссертационная работа

выполнена на кафедре математического анализа Гродненского госуниверситета в рамках научно-исследовательской теш,которая входит в программу важнейших НИР Академии наук Беларуси "Математические модели".

Цель и задачи исследования. Разработка методов решения проблемы

центра и фокуса для произвольных аналитических систем¡решение этой проблемы для различных классов дифференциальных систем с полиномиальными правыми частями.

Научная новизна. Доказаны новые теореш о необходимых и достаточных условиях центра в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения,указан эффективный метод вычисления фокусных величин для таких систем,приводится явный вид фокусных величин для конкретных классов систем типа систем Льенара.получены необходимые и достаточные условия центра для полиномиальных систем типа Льенара,дано решение проблемы различения центра и фокуса для кубических систем нелинейных колебаний.Указан новый эффективный метод решения проблемы центра и фокуса для аналитических систем с ненулевой линейной частью и нулевыми корнями характеристического уравнения,впервые доказана алгебраическая разрешимость проблемы центра и фокуса в этом случае,решена проблема центра и фокуса для кубических систем нелинейных колебаний в случае нулевых характеристических чисел линейной части,доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях голоморфного интеграла.Указана методика нахождения орбитальных нормальных форм для двумерных аналитических систем с нулевой линейной частью¡получен явный вид орбитальных нормальных форм систем зз окрестности монодромной особой точки в случае нулевых линейных,квадратичных и ненулевых кубических частей. Указан алгоритм решения проблемы различения центра и фокуса для аналитических систем со сложной монодромной особой точкой.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при качественном исследовании динамических систем с монодрсм-ными особыми точками,для исследования устойчивости тривиального решения в критических случаях,при исследовании различных математических моделей из физики,химии,биологии,экологии и т.д.

Основные положения,выносимые на заг^иту.

Новые теоремы о необходимых и достаточных условиях центра в случае чисто мнимых корней характеристического уравнения¡эффективный метод вычисления фокусных величин для таких систем ¡способы вычислешя фокусных величин для систем типз систем Льенара¡явный вид фокусных величин для конкретных классов систем типа Льенара .необходимые и достаточные условия центра для полиномиальных систем типа Льенара .имеющзе алгебраический характер¡решение проблемы*центра и фокуса для кубических систем нелинейных колебаний.

Новый метод решения проблемы центра и фокуса для аналитических систем с ненулевой линейной частью и нулевыми корнями характерно-

тического уравнения,с помощью которого впервые доказана алгебраическая разрешимость проблема центра и фокуса для таких систем;ре-шенне проблемы центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний в случае нулевых характеристических чисел линейной час-ти;теореш о необходимых и достаточных условиях голоморфного интеграла; теорема о бифуркации периодических решений в случае нулевых корней характеристического уравнения.

Методика нахождения орбитальных нормальных форм для двумерных аналитических систем с нулевой линейной частыо;явный вид орбитальных нормальных форм систем в окрестности монодрошой особой точки в случае нулевых линейных,квадратичных и ненулевых кубических частей.

Алгоритм решения проблемы различения центра и фокуса для аналитических систем со сложной монодрошой особой точкой.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на:

Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1971,1976; Кишинев, 1979; Иркутск, 1986); конферещи стран СНГ по качественной теории дифференциальных уравнений (Самарканд, 1992) ¡Республиканских конференциях математиков Беларуси (Минск,1971,1975;Гродно,19Э2)¡Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их прилотдашя" (Одесса,1987)¡Республиканских научшх чтениях по обыкновенный дифференциальным уравнениям (Минск,1990){Международной научной школе "Функции Ляпунова и их применение" (Иркутск,1939){семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ (Москва,1985,1990,1992),руководители -проф .В. А. Кондратьев, проф. В. М. Миллионщиков, проф ЛI. X. Розов; Ленинградском городском семинаре по дифференциальным уравнениям (Ленинград , 1 980 , 1 987,1989),руководитель-чл.-корр. РАН,проф.В.А.Плисс;Кишинёвском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинёв,1977,1985),руководитель-академик АН МССР К.С.Сибирский ¡Кишинёвском семинаре,посвящённом памяти К.С.Сибирского (Кишинёв, 1993) ¡республиканском семинаре по дифференциальным уравнениям (Шнек, 1985,1987) .руководитель-профессор Ю.С.Богданов;семинаре, лаборатории моделирования и анализа систем Института математики АН РБ (Минск, 1993),руководитель-академик АН РБ И.В.Гайшун;сешнаре кафедры функционального анализа БГУ (Минск, 1994),руководители-проф.Я.В.Радано.проф.П.П.Забрейко.проф.А.В.Антоневич;семинаре по дифференциальным уравнениям института математики АН Украины (Киев, 1994),руководитель-академик HAH Украины A.M.Самойленко;семинаре

Белорусского математического общества (Минск,1994),руководитель-академик АН РБ И.В.Гайшун.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации

спубликозаш в работах [2-241 и отраясены в монографии 111.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения,общей

характеристик! работы,пяти глав,выводов.списка использованных источников. Объём диссертации-224 страницы.Список использованных источников на 11 страницах,содержащих 163 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена разработке методов решения проблемы центра и фокуса для произвольных аналитических систем на плоскости и решению этой проблемы для некоторых частных случаев дифференциальных систем с полиномиальными правыми частями.

В первой главе даётся обзор литературы по проблеме различения центра и фокуса для аналитических дифференцнальных систем.Проводятся анализ результатов.полученных А.Пуанкаре,А.М.Ляпуновым, М.й. Альмухаме довым, II. С. Кукле сом, К. С. Сибирским, Л. А. Черкасом, А.Ф.Андреевым,Г.Долаком.Излагаются новые метода решения проблеш различения центра и фокуса,полученные автором,и описываются способы их получения.Указываются результаты,полученные с помощью этих методов.Приводится краткое содержание работы.

Во второй главе рассматривается проблема центра и фокуса для система

dx/dt=y+P(x,y), ay/dt=-x-Q(x,y), (1)

где P.Q-голоморфные в окрестности х=у=0 функции.Доказана следующая теорема,представляющая собой обобщение теоремы И.С.Куклеса из метода обобщённой симметрии на случай произвольной аналитической системы (1).

ТЕОРЕМА 1 .Для того,чтобы напало координат систем. (1) 6u.no центром,необходимо и достаточно,чтобы для любых голоморфных в окрестности u=v=0 функций ф(и,т),*(и.?> с («•(0,0)1 + 14'(0,0) 1*0 существовали голоморфные в. окрестности х=у=0 функции u(x,y),v(x,"y), w(x,y) (u(0,0)=v(0,0)=w(0,0)=0),5^ которых выполняшея условия

(U.V )<пг/лу+о> (u,v)<>v/<?y=[y+p (х,у) 1 t1+w(x,y) 1,

(и,'V><>и/<Я+Ф (и,V)оу/ох= [2+0 (х,у) П1+н(х,у>1.

Суть теоремы 1 состоит в том,что в случае центра для уравнения йу/(12;=-[ х+в (х, у) 1 / Су+Р(х, у)) . (2)

существует аналитическая замена переменных

и=и(Х,у), 7=у(х,у), приводящая (1) к уравнению

й7/йи=* (Ц, V )/0 (и,'V ) ,

где и(0,0)=у(0.0)=0,ф(и,\'),ч'(иру)-произвольные аналитические функции с |ф(0,0)1+1*(0,0)

С помощью теоремы 1 получены нетривиальные достаточные условия центра для кубической система дифференциальных уравнений. Для уравнения (2) существует единственная формальная замена

У=х+ Е Фр^зОУ2*, (3)

к=0

где <?2^(х)-голоморфные в окрестности х=0 функцаи,Ф0(0)«рд(0)=1. приводящая (2) к формальному уравнению

где 10(х),Ь2к(х)-голоморфные в окрестности х=0 функции,10(0)=1. .

ТЕОРЕМА 2.Особая точна 0(0,0) сиапели (1) будет ценирол тогда и только тогда,когда, в (4)

С2к+1=0, к=1,2..........(5)

Теорема 2 даёт новый метод решения проблемы центра и фокуса уравнения (2),который будем называть функциональный. Для уравнения нелинейных колебаний

уу'=-х!0(х)+ЗхГ1 (х)у+ Е *к(х)у*, (6)

и 1 к=2

где правая часть (6)-голоморфная в окрестности х=у=0 функция,

(х)-голоморфные в окрестности х=0 функции,10(О)=1.необходимые и достаточные условия центра (5) можно записать в виде

ч<21с(0)=0, к=1,2,...,

где Уз^С^)-являются голоморфными в окрестности х=0 функциями и

представляют собой рациональные функции от (х) () и их производных порядка 1<к. Приводится явный вид пяти первых функций доставляющих пять первых необходимых условий центра для

(6).

ТЕОРЕМА З.Для того,чтобы начало координая ураванения (2) было центром, необходимо и достаточно существование единственного голоморф юг о в окрестности х=У=0 преобразования (3), приводящего (2) к виду

И'=-2-1 (2, ТС2),

где 1 (х,ъ)-г0А0Г0рфщя в окрестности х=г=0 функция,1{0,0)=1^(0,0)= =0.

С помощью описанного выше функционального метода составления условий центра доказывается следующая

ТЕОРЕМА 4. Для того,чтобы начало координат уравнения (2) было центром,необходило и достаточно.чтобы

§£(0)=0, к=1,2..........(7)

где

в1(х)=11(х)/10(х), 5к(х)=Е^_1(х)/Сх10(х)3, к=2,3,... .

С использованием языка аналитических вычислений КЕШСВ и условий (7) для произвольного уравнения Льенара получены первые сесть фокусных величин.В частности,для уравнения Льенара пятой степени проблема центра и фокуса реиена до конца.Уравнение Льенара пятой степени рассматривалось такгз в работе С.Линча. Для уравнения нелинейных колебаний

13(х)уу*=-х10(х)+3х11 (х)у+12(х)у2, (8)

где ^-голоморфные в окрестности х=0 фушсц£ш,10(0)=13(0)=1 .доказана

ТЕОРЕМА 5.Для того,чтобы начало координат уравнения (8) было центрол,необходимо и достаточно,чтобы

рк(0>=0, к=1,2.....

где

рк=131 (рк_1/2)'10-(2к-1 )р1с_11д/х!+(2к-1 )р1с_11012/х, к=2,3.....

Для уравнения

I4(2)yy'=-xr0(x)+3zi1(x)y+I2(x>y2+I3{x)y3, (9)

где -<|(х)-голоыорф1ше в окрестности х=0 фушщии,:Г0(0)=14(0)=1, справедлива

ТЕОРЕМА 6.Для того.чаоби итало координат уравнения (9) было центром,tisoOxodiuso и достссючно выполнение следухяцих условий:

Pj^OisO, k=1,2.....

где

Рк=10*4<Рк-1/2> 4(2k~1 >Pfc-1 (3xlf+l0l2-I6i4)/z, k=2,3.i... .

С использование!! теоремы И.С.Куклеса о суше произведений и ыо-тода,разработанного Л.А.Черкасгм.доказывается ТЕОРЕМА Для наличия в начале координат центра систэми

йх/йиу, dy/dt=-l0(z)<p0(y)-l1 (2)ч>1 (у),.

где Х^ч^-голояорфные в окрестюст нуля функции вида

aQ=-c^ÜQ/bQ, a^d-c^J/bQ, üq^+CqCI^O, b0*0, Cq+^O,необходимо

и достаточно выполнение одной из следующих двух серий условий: ^ .систеш уравнений

F^D^Cy), G1(x)=G1(y>

uaeera голоморфное в окрестности 2=0 решение у=<р (зс) ,<р (0)=0,ф ' (0)= =-1;

2.c0=0,cucm&m уравнений

F2(X)=P2(y>, G2(x)=G2(y)

шнеет голоморфное в окресяносши 2=0 решение y=v(z),v(0)=0,v' (0)= =-1,где

х

Р1(Х)=Ф1(2)/Ф0№), [t/q>0(t)]dt,

Для системы

с1х/(К=Р4(х)у, (Зу/«=-Р0(х)-Р2(х)у2-Р2п+1(х)у2г1+1, (10)

где Р1-'.люгочлгт1.Р0(0)=01 РрС0>=Р4(0)=1. Р2п+1 (х)=х2га+1Р(х),

Р(О)*0,га-неотрицательное цэлоа число,справедлива

ТЕОРЕМА. В.Для наличия в начале координат центра систехш (10) необходило и достаточно,чтобы.систела уравнений

к2™-1 (3>Р^(У)?|^(У)=Й2Г1+1 (У)Р^(Х)Р|^3(Х)1

(11)

а (х)Р0 (х)к2 (у )=д (у )Р0 (у ж2 (х),

где

Н=Р4 (Р0Р2П+1 -Р0Р2П+1 >+ <2п+1 >Р0Р2Р2П+1 •

°=Р4(К'Р2п+1"ЗНР2П+1)+4пР2Р2П+1Н-и.«ела голоморфное в окрестности х-0 решение у=<р(х), <р(0)=0, <?'(0)=

При п=0 эта теорема была впервые доказана Л.А.Черкассы. В теореме 8 второе уравнение система (11) истаю заменить уравнением

3(х)Р4(х)К2(у)=3(у)Рд(у)П2(х),

гдз

3= (2п+1 )Р0Р2п+1К'-4пР6Р2п+1й-(2п,3)Р0РДп+1К.

Для уравнения нелинейных колебаний

Р4(х)уу'=-хР0(х)-ЗхР1(х)у-Р2(г)у2-Р3(х)у3, (12)

гдо Р1(х), 1=07^-12!01'очлош,Р0 (0)=?4 (0)=1 .доказана

ТЕОРИИ 9.Для того,чтобы начало координат, уравнения (12) было центрсия,необходимо и достаточно,чжобы систз.?а уравнений

у4!*3(х)С^(у)=х4Н3(у)й|(х), хд(х)Н2(у)=уЗ(у)Н2(х), (13)

где

W2-3zP1+P0P4' %=2ХРЗ-Р0Р1Р2+Р2Р3+Р0Р1'Р4-Р6Р1РЙ. Q^PqP^

R=Q4(Q3-xQ^)+3zQ2Q3, Q=Q4(R'Q3-3RQ£)+4Q2Q3R,

ил:ело голоморфное в окрестности. х=0 решение у=ф(х),<р(0)=0,ф' (0)=-1.

В теореме 9 второе уравнение системы (13) можно заменить уравнением

Q4 (x)S (X)R2 (y)=Q4 (y)S (У JR2 (х),

где

S=3xQ3R'-5zQ^R-4Q3R.

Другим способом теорема 9 получена Л.А.Черкасои. Кубическое уравнение нелинейных колебаний .

yy,=-z+Ax2+3Bxy+Cy2+Kx3+3ts2y+Mxy2+Ny3, . (14) являющееся частным случаем уравнения (12),подстановкой

У= (1-Ах-Кх2 У£/11 + (B+Lx)Yl приводится к уравнению (не меняем обозначения у)

(1 -As-Kx2 )уу' =-х+1А+С+ (3B2-AC+2K+U )х+ (6EL-CK-Ail )х2+ (ЗЬ2-1Ш )2? ] у2*-

+ [AB+BC+L+II+ (2B3-ABC+2BS+CL+BM-2AN)X+ (6B2L-ACL-ABM-BCK+KL+Di+A2N-

-2KII )xz+ (6BL2-CKb-BKM-AIii+2AKN )x3+ (2L3-K№-K2N )x41 у3. (15)

Наряду с (15) рассмотрю.! уравнение

(1 -Ах-Кх2 )уу' =-х+ (aQ+a | x+a^+Q^x3 )у2+ (bQ+b1 х+Ь^+Ь^+ЪдХ4 )у3.

(16)

Очевидно,что (15)-частный случай уравнения (16).С использованием язьпса REDUCE для уравнения (16) получены первые семь необходимых условий центра.При нахождении кавдого из последующих условий центра учитывались все предыдущие условия.Приводится выражение л такое,что при д*0,необходимыми и достаточными условиями наличия в начале координат центра уравнения (16) являются

bj.sO, k=U7?.

Далее с использованием первых шести необходимых условий центра для (16) и языка REDUCE подучены первые шесть необходимых уело-

вий центра для (14).В порядке контроля проводилась проверка выполнимости всех шести условий для различных значений параметров, при которых точка 0(0,0) для уравнения (14) является центром.В этих условиях центра,кроме второго,параметр В входит линейно.Вычислено также выражение Р такое,что при Р*0 необходимыми и достаточными условиями наличия в начало координат центра уравнения (14) являются

АВ+ВС+Ь+№=0, 2В3-АВС+2ВХ+СЬ+БМ-2АМ=0,

6В21г-АСЬ-АВМ-ВСХ+га:+Ш+А2К-2И;=0, (17)

6ВЬ2-СК1,-ВКМ-А1Л+2АЖ=0, 2Ь3-КЬМ+К%=0.

Заметим,что в любом случае (17)-достаточшв условия центра для (14).

Рассматриваются частные случаи К=0 и В=0,для которых проблема центра и фокуса для уравнения (14) решена полностью.Заметим,что при Н=0 проблема центра и фокуса впервые была решена И.С.Куклесоа, а при В=0 эта проблема была решена в работе Н.Г.Ллойда п Дк.Пирсон.

ТЕОРЕМА 10.Начало координат уравнения. (14) при 1Г=0 авляется центром тогда и только тогда, когда выполняется одна из следухярх трёх серий условий:

1.В=0, Ь=0;

2.К=С(А+С), Ь=-В(А+С), И=-С2(А+С>/(А+2С), А+20=0;

3.А=0, С=0, Ь=0.

ТЕОРЕМА 11 .Для того,чтобы начало координат уравнения (14) при В=0 било центром,необходимо и достаточно выполнение одной из следующих двух серий условий:

1.С=-2А, К=-А2/3, 11=0, Ь=тд2/ (ЗУ?), К=±Д2/(ЗУ2);

2.Ь=0, N=0.

Доказывается существование систем вида

х=у, у=-х+ху+Ах2+Су2+Кз^+31х2у.(18).

с шестью предельными циклами в окрестности начала координат.Заметам,что аналогичный вопрос для систем (18) рассматривался такна в работе Н.Г.Ллойда и Дх.Пирсон.

Пусть В№*0.Тогда для (14),не ограничивая общности, мошю счя-

тать,что В=Н.Итак,при В№*0 рассматриваем уравнение

уу' =-х+Ах2+ЗМху+ (и-а) у2+КХ3+31д2у+1,12у2+ыу3. (19)

Из (17) получаем,что при выполнении одной из следующих двух серий условий:

1 )К= (и+1) (и-А+1), 11= (А-и-1) [А(11+2)-(и+1) (и+3) 1/ (А-21Т-2), (20)

112= (и-А+1 >3/ [2 (Л-2и-2) 1, Ь=-Н(и+1), (и-А+1 )(А-2и-2)>0;

2 )А=и (и+1) (<3-11-5 )/2, К=и (и+1 )2 (и+3-<3 )/2, Ь=-ГТ (и+1),

Иг=Ц2(и+1 )С0(Цг+5и+б)-(и+1) (и2+10и+18) 1/4, (21) 1ЫЦи+1 )[0(и+3)-и2-8И-9]/2,

где

02=(и+1 )(и+9), (и+1 )(и+9)г0, 1^(11+1 )[<2(и2+би+б)-(и+1) (Ц2+Юи+18) ]>0

начало координат уравнения (19) является центром.Других достаточные условий центра уравнения (19) из (17) мы не получим.

Для получения других достаточных условий центра уравнения (19) обратимся снова к уравнению (1б).Предаолои2м,что для (16) выполнены первые четыре необходимые условия центра.

ТЕОРИЙ. 11.Для тога,чтобы начало координат уравнения (16) было центрах,необходимо и досхтоюю,чтобы сисгаага уравнений

55(х)К3(у)=К3(2)05(у), Р(х)Б(х)К2(у)=К2(х)Р(у)3(у), (22)

где

6(х)=-Ъ1+За0Ь1х-Ь322-Ь41^, Щх)= ц г^ч г0=3(Аа0-5а|+а1 )Ь1+2Ь3,

к-О

г1=-5а0г0, г2=3(а3-3а0а2 )Ь1 + (За1-2К)Ь3+3(а0-А)Ь4, г3=-9а0а3Ъ1+Эа2Ь3+3(а1-К)Ь4, г4=ЗазЬ3+За2Ьд, г5=За3Ь4,

Р(х)=1-Ах-Кх2, Б(х)= £ б.^1, в0=10(За^Ь1+Ь3)г0-6Ь1г2,

в1=(А-10а0)е0, в2=-60а0Ь4г0+4Ь3г2+12а0Ь1г3-12Ь1г4, в3=9Ь4г2+Ь3г3+21 а^г^5Ь1 г5, в4=:6Ь4г3-2Ъ3г4+30а0Ь1 г&,

13

в5=ЗЬ4г4-5ЬЗг5'

ил'.ела голоморфное в тцюсяиюсгхи. х=0 решение у-ф (х) , ф(0)=0, ф'(0)= =-1 ,ши одно из уравнений систем (22) было тохдествоя.

ТЕОРЕМА Для каждого из следующих •щестнайи/ят уравнений вида (16):.

(1-Ах-Кх2)уу'=-х+(а0+а1х+а2х2+а3з3)у2, СМА-а^х] (1-а0х)уу'=-х+[а0+а1х-а0(Аа0-а^+а1) (2-а0х)ж2Зу2+

(1-Ах-Кх2)уу'=-х+а1ху2+Ь1ху3, (1-Кх2 )уу' =-х+(а1+ЗЗХ2 )ху2++Ь3х2 )ху3, И + СА-Зад)^] [1-(2А-За0)х1уу*=-х+£а0+(А-За0> (2А-За0)х1у2+ х[1+(Л-Зад)х!2[1-(гА-Зад)х]у3, (1 -За0х/2) [ 1 - (2Л-За0 )х/2 ]уу' =-х+а0 [ 1 - (2Л-За0 )х/2

+Ъ1х(1-3а0х/2)2у3.

(1 -За0х-Кх2 )уу' =-х+ (а^гЕх/З )у2+Ь1 х (1 -За^-Кз2 )у3, [ 1 - (А-Зад )х 1 (1 -ЗаоХ >уу• =-х+а0 [ 1 - (А-Зад )х] у2+Ь1 х (1 -За^ »у3, (1-?а0х/3>2уу•=-х+а0(1-7а0х/3)у2+Ь1г(1-7адХ/3 >(1-адХ/3)2у3, (1 -бадХ/З )2уу * =-1+0(5 (1 -5а0х/3 )у2+Ь1 г (1 -бадХ/З)2 (1 +адХ/3 Эу3,

(1-7а0х/2)2уу'=-х+а0(1-7а0х/2)у2+Ь1х(1-За0х/2)2у3, (1 -5адХ/2 )2уу' =-х+а0 (1 -5аоХ/2 х (1 -5а0х/2) (1 -а^г^у3, (1-5а0х)2уу'=-х+а0(1-5а0х >у2+Ь1х(1-ЗадХ¿у3,

(1 -7а0х)уу' =-х+а0у2+Ь1х (1 ) (1 +2а0х)2у3, (1 -Ба^ )уу' =-х+а0у2+Ь1х(1-5а0х)(1+2а0х

(1 -5а0х/2 )уу * =-х+а0у2+Ь1 х (1 -5а0х/2 )2(1+2а0х)у3

начало координат ¡Шлются центром.

Для уравнений вида (16),отличных от уравнений,приведённых в теореме 12,начало координат может быть центром лишь в случаях, когда ш одно из уравнений системы (22) не обращается в тождество.Показывается,что для уравнений вида (16)

(1+Ах) (1-2Ах)уу'=-х+а1ху2+х(Ь1-За0Ъ1 х+Ъ3х2+2Л.Ъ3х3/3) у3, (1-За0х)2уу'=-х+[а0+а1х-2а0 (За2+а1 )х2+а^ (За2+а1 )х3]у2+

+х (Ь1 -За0Ъ1 х+Ь3х2-а0Ь3х3/3 Эу3

начало координат является центром,однако ни одно из уравнений системы (22) не обращается в тождество.Других таких уравнений не существует.Таким образом,имеем полное решение проблемы центра и фокуса для уравнения (16).Для кубического уравнения нелинейных колебаний (14) отсюда получаем следующий результат.

ТЕОРЕМА 13.Начало координат уравнения (14) при №*0 является центром тогда и только тогда,когда выполняемая условия (17).

Отсюда получаем полное решение проблемы центра и фокуса для кубического уравнения нелинейных колебаний (14).

В заключение второй главы рассматривается проблема центра и фокуса для уравнения Абеля,а также приводящейся к нему кубической система дифференциальных уравнений.

В третей главе рассматривается проблема различения центра и фокуса для аналитической системы

йх/<П=у+ахп+1 +... +Р (х, у )у,

йу/с1г=-х2п-1+...+(Ах11-1 +ьхп+... )у-ка (х.у)у2, (23>

о

где 4п-А >0.

ТЕОРЕМА М,Существует форжиъное преобразование

15

п-1 к «> п-1 к=2 К,° и=1 к=0

п-1 „.V > » п.

у»,О^^Е ^ &(га+1 )п+к-1,0х

(т+1 )п+1с-1 „ (га+1-1)п+к-1 1. к-1

хи ■ * (т+1 -1)п+к-1,1 у "^к-1,га+1и х

Х7т+1],

приводящее (23) к форлшъной систелхе типа систеяы Лъенара аи/<п=у, ¿у/(1г=-и2п"1+АиГ1~1у+

(25)

+ г и(т+2)п+к-2 . (гп+1 )п+к-2„,

пьО ¿2 <т2 >п+к-2,0й (га+1 )п+к-2,1 71 •

Систему (25) будем называть нормальной формой системы (23). Доказательство теоремы 14 даёт эффективный алгоритм построения нормальной формы (25). ТЕОРЕМА 15.Существует форлшьное преобразование

00 со

Х=и+ Е <Р1Ди,У), у=у+ Е УтДи.у), к=2 к к=2 К

^-однородные полином к -ой степени) .приводящее систелгу дифференциальных уравнений (23) к форлплъной системе (норихиъной форме)

и=у+Аип/п+ е у=-и2п-1+ е (26)

к=п+1 К к=2п

Теорема 15 впервые методом теории групп Ли била доказана Ф.Та-кенсом.

ТЕОРЕМА 16.Для того,чтобы особая точка 0(0,0) систем (23) была центрш\,необходимо и достаточно,чтобы фор.'хзлъно построенная система. (25),полученная из (23) посредством (24),и«зш в 0(0,0) центр.

Для исследования преобразованной системы (25) поступим следующим образом.Преобразуем (25) посредством подстановки

х, = и-га£ пит+к-1/((га+2)п+к-1))1/(2п>1^

(27)

-¡¿о ¡¿2 (т+2 )и+Зх-2,01

е№(и)11/(2п)и, с^Ь'С^)^'

где ),Ь(0)=01Ь' (0)=-1-репсше уравнения

21 = [Р(и>]1/(2П>и. Преобразованная система имеет вид

й21/й-г=у1, ау/йт^^ + СА^"1* Ё А1г^1)У1. (28)

ТЕОРЕМА 17.Для того,чтобы 0(0,0) системы (23) была ц&щхия.иеобь ходш:о и достаточно,чтобы для сиег.е.ш (28),полученной из (25) с помощью вожены (27),

Д^О, 3=Сп/21,(п/2]+1,...,

где АП_1=Д.

Необходимые п достаточные условия центра для (23) выражаются в виде равенства нулю полиномов с целыми коэффициентами от коэффициентов правых частей (23).Структура условий центра дюз (23) аналогична системе с чисто цжшап корнями характеристического уравнения. Проблема центра и фокуса для системы (23) алгебрапчоска разрешима.

Для решения проблемы центра и фокуса система (23) ш;а:о использовать такке НО (26).Для этого в система (26) произведём закону

и1,и[1-2п|2пе2^-гп+1/ск+1 )11/(2п)=и+Ь(и), у1=у, йт=И-2пЕ £,Д11:_2пИ/(к+1)]17(2п)_1 (1+2 С].ик~2п+1)«.

В результате получаем систему вида

йи1/йт=у1+Д1Л7п+ Ё Д,л&, йу1/йт=-и?г1"1. (29) 1 1 1 1с=п+1 *к 1 1 1

Проблема центра п фокуса системы (23) с помощью Ш> (26) решается так.

■ ТЕОРЕМА 18.Особая точна 0(0,0) сиетелт (23) будет центром тогда и только тогда,когда для её орбитальной норлплъной форт (29)

А21+1=0, 1=[П/21 , Сп/2]+1,... .

Для систем Льенара

х=у, у=-10(х)-11(х)у, (30)

где -голоморфные в окрестности х=0 функции вида

0 • К=2п 1 к=п-1 ^ п 1

справедливы кладущие теоремы..

ТЕОРЕМА 19.Л-4Я наличия в начале координат центра систэлти (30) необходимо н достаточное',тобы

х1 (х)=®Сф(х)1ф'(з),

где

ч>(х)=з2[1+2п Е аихЧ"2п+1/(к+-1)11/п, 3:=2п

ч>{?,)-голо^.оррюя в огсрестности. е=0 функция.

ТЕ0РЕ;!Д 2О.Для того,чтобы начало координат систехн (30) было центро/л, необходима и достаточгю,чтобы

££(0)=0, Зг=1,2,...,

где

(х)/р(х), к=2,3,...,

р(х)=хС1+2пЕ а1гх5'~2п+1 /(И+1 > 11/п-1 (1 + Е а,гГС""2п+1)•

ТЕОРША 21.Для того,-чтобы 0(0,0) систем (30) была цапронеобходимо и достаточно,чтобы систеля уравнений

г-(2)=Р(у), о(х)=а(у),

где

Г(х)=2п|:Г0(-1)сП, ОСО^, (*)<»,

иглела голоморфное в асрзстности решение у=ч»(х),у(0)=0,у' (0)=>

Для систеш (30),где £0,1.,-!п1огочлены,указан алгоритм,позволяющей конечным число«.! алгебраачесзги операций рззрэпзть проблем различения центра п фокуса.

Для кубической системы нелинейных колебаний вида

х=у. У=-х3+Аху+Ву2+Кх2у+Ьху2+Му3, (31)

р

где 8-А >0,проблема различения центра и фокуса решается следующей теоремой.

.. ТЕОРЕМА 22.Особая точна 0(0,0) системы (31) является центром тогда и только тогда,когда АВ=0,К=М=0.

В связи с проблемой существования голоморфного в окрестности х=у=0 интеграла системы (23) имеем следующие теоремы. ТЕОРЕМА 23.Система (23) имеет формальный интеграл вида

пу2+ е 1к(х,у)=С, (32)

к=3 Л \

где 1к-однородные полиномы к-ой степени, 12п(1,0)=1 тогда и только тогда,когда существует формальное преобразование

X.—оокр(х,у), У»—>у+у(х,у) (33)

(ф ,ч-форлшь>1ыэ ради без свободных и линейных членов) .приводящее (23) к НФ

ахЛИ=уи(х>, с1у/с1г=-х2п~1и(х)> (34)

где и (х)-форлолътЛ ряд с ы(0)=1. Теорема 23 без использования НФ была доказана Н.Г.Макеевым. ТЕОРЕМА 24.Если для системы (23) существует формальное преобразование (33),приводящее её к НФ (34),то для (23) существует голоморфный в окрестности х=у=0 интеграл вида (32).

ТЕОРЕМА 25.Для существования голоморфного в окрестности х=у=0 интеграла системы (23) необходимо и достаточно,чтобы для любых голоморфных в окрестности и=у=0 функций «'(и,у),*(и1у) с |»(0,0)! + |* (0,0)|*0 существовали голоморфные в окрестности х=у=0 функции и(х,у)>7(х,у),и(х,у) с и(0,0)=у(0,0)=и(0,0)=0,Зля которых

-*(и,7)ви/ау+Ф(и,у)ду/ву=[у+ахп+1+...+Р(х,у)]С1+»(х,у)1,

. + (Ах11-1 +Ьхп+... )у+

•ИЗ(х,у)у2Ш+и(х,у)]. Для голоморфной системы

со со

АгЛК=у+ £ Х2к_1 (х,у)„ С1у/йг= Е У2к_1 (х,у), (35) 15=2 к—2

где Х25с_1 -однородные полиномы 2к-1-ой степени, справедлива

ТЕОРЕМА 26.Для того,чтобы начало координат систолы (35) было центром,необходимо и достаточно существование голоморфного в окрестности х=у=0 интеграла V(х,у)=С.

В. заключение третей главы приводится исследование бифуркации периодических решений системы

х=у+х(х,у ) , у=у(х,у,е).

В четвёртой главе рассматривается применение орбитальных нормальных форм для исследования сложных монодромных особых точек. Методика нахсздения орбитальных нормальных форы для системы

1?0Ап-1,1:1П"1у1+Р(х'у> • У=~ 1|0вгг_ 1,13[Г1~ ^ (х, у), (36)

гдэ р ^-голоморфные в окрестности х=у=0 функции выше п-го измерения .основывается на приведении системы (36) с помощью формального преобразования

Х=1Л+ £ а1 ^и17;',у=7+ Е ■Л!1"/'' ,йт= (1 + Е Г* лЧ'')« (37) 1+3=2 1,3 1+3=2 1,3 1+3=1

к системе вида

йи/йт= 2 Ап_1 .и11" "М+ Е а, 1=0 71-1,1 1+3=п+1 1,3

(38)

йу/(1т=- 2 В„ < Е Ъ., .лдЧ''.

1=0 п-1,1 1+з=п+1 1,3

При этом формальное преобразование (37) подбираем таким образом,

чтобы среда коэффициентов а,Ь правых частей системы (38) было

. как мозшо больше нулей.Для коэффициентов

1=0,га+п-1 нормальной формы (НФ) (38) получаем систему линейных уравнений,для которой,вообще говоря,2т+п+1 неизвестных можно положить равными нулю. Найдены НФ систем вида

сЗх/с^у211-1 +р(х.у), .

Для системы

ахЛИ=Р3(х,у)+р(х,у), ау/«=-<Зз(з,у)^(х,у), (39)

гдз Р3,<23-однородные псшшош третьей степени,причём

(2 ,у) +»33 (х ,у )*0 У(х,у)*(0,0), (40)

0(0,0) является особой точкой типа фокуса или центра.Систему (39) линейным невырожденным преобразованием можно привести к виду

йх/й^ДхЗ+Ва^у-Лз^+уЗ+рСх.у), йу/аг^Ллз^у+их^-Ау3^(х,у),

(41)

где -2<В-Ц52. ТЕОРЕМ 27.Если

А3 (В2-2Ш+М2+4В-4Ц+4 )+А (В2Ц+ВЫ2-2М3-2ЕН+ЗВ+5Ы-2 У 0, то систем (41) формально орбигллъно эквивалентна системе

б2/(11=Ах?+Вз2у-Аху2+у3+х2 Ё в^у^+х Ё Ё

к=0 к=0 к=0

(42)

ву/йЪ=-х3+Азгу+Ь1ху2-Ау3.

В НФ (42) при Л*0 а^.бообцэ говоря,мстю положить равныхи нулю.

Получена такжо НФ сйетеш (41) и при ¿=0. Если начало координат системы (39),где |Р3| + |(}3|*0,причём условие (40) на выполняется,является монодромной особой точкой,то аффинным преобразованием и заменой времени (39) можно привести к одной из следующих систем:

ХяД22у+Вау2+Су3+р (X, у ) , ус-ху2^ (X, у) , (43 )

где В2-40(А+1)<0,

.' х=-х2у+Су3+р(х,у), у=-ху2^(х,у), (44)

где С<0,

х=Ах2у+р(х,у), у=-ху2^(х,у), (45)

где ¿(¿+1)*0,

х=р(х,у), у=-ху2^(х,у), (46)

х=х2у+Су3+р(х,у), у=—у3—<1 (х,у), (47)

где 4С-1>0,

х=х2у+Су3+р(х,у), у=^(х,у), (40)

где 00,

э&^+рСх.у). у=-д(х,у). (49)

■Для всех случаев систем (43)-(49) указываются формальные орбитальные нормальные формы.Для всех' формальных орбитальных нормальных форм систем (43)-(49) получены необходимые и достаточные условия монодромностн особой точки 0(0,0).При этом сначала рассматриваются случаи НФ систем (43)-(48),а затем Н5 системы (49).

Пятая глава посвящена проблеме различения центра и фокуса для аналитической системы

« СО ш 00

х= £ РЛзс.У), у= Е СЫх.у), (50)

1=п 1 1=п 1

где Р^, (^-однородные поликош 1-ой степени, |?П| + |0П|^0.

Для решения пробле.ча центра н Фокуса системы (50) предлагается следующий метод.

После перехода к полярным координатам х=ГсовФ, у=гп I гл> и псклг-чения времени получаем уравнение

йг г[с(ф)+гй(г,ч>)]

-= -, (51)

(Ь Р(<р)+Г1(Г,<?)

где Р(ч>)ггО.Есяа ?(ч>)*0 дат *ч><^,то нэтод решения проблема центра л фокуса систем (50) пзвестен.Дспустпл.что

Р(<?)=[Ь(<?)]%(<г), (52)

ГДе Ъ(<;)=з1те(о1-<р),Ф (а)*0.В (52) 13^2,

й (ф )=[ дг (ч>) З^Н (ч>),

где ,Н(а )-0 (в у том случае счятсеи Пь>"»).Предпо-

ложим, ЧТО ДЛЯ <уе[а0,а},где а0<а<а0+я/2, 0<а<п, Ф (<р)*0.ПрОВОДИТСЯ исследование несений уравнения (51),удовл8творяв:зх усдсню г(«0)=с,где с-достаточно малое пологштелыгсэ число.При этом фузга-цип П(г,ф),г22(г,ф) из (51) представляем в гада

П(г,ф)= Е 1« -.ЫШЫ!1?3, ггг(г,ф)= Е &, 1(?>)№(ф)]кг1, (53)

где -^-однородные трпгонокотрпческпо полнпош,а^^> ^ (" )*

¡'О, Ъ^ 1=£к'1(а)^0,3>1 ,1>2.Выберем о=мЛ> (н,и)=1 ) таКПМ,ЧТО

для всех 1,3,Ь,1 из (53) 1+032^ ,1»в(1-1 )+1>та«п<т1 ,га2+1 ).Если га^Юр+ито а выберем к тему ::е и удсвлетвсряка;п.! услсвяэ Н(а)/

/«•(а)+ст>0.

Сначала рассматривается случай.когда т.,£т2+1.Тогда из уравнения (51) находим решения ДЛЯ Фе[а0>а-ат-со«пСр4'] .где 0<Р<1/(^).Получены формулы,дающие асимптотическое представление решений уравнения

(51) При Ф=а-агсе(пСР*.ПрИ Ф=с»-агсо«пСр4' осуществляется СКЛеЙКЭ решений,задающих участки одной и той же траектории системы (50).

Для исследования окрестности исключительной прямой ф=<* уравнения (51) поступим следующим образом.Ненулевым слагаемым функций гХ(г.ф).г^г.ф) из (53) поставим в соответствие точки плоскости си соответственно вида Х^ ^=(1,3+1 ),Укд=(к+1,1),функции К(ф) точку Х^,о= ^га1'^»Функции 0(ч>) (в случае'О(ф)*0> точку ^,1 =

=(Ш2+1,1).Указанное множество точек плоскости представляет собой диаграмму Ньютона уравнения (51) в точке (о,0).Пусть -р/ч, где (р^)=1-угловой коэффициент стороны ломаной Ньютона с вершиной 7(1^,1).Для <ре[Ф0,а] преобразуем уравнение (51) при помощи замены

Ь(ф)=рРсоеРе, Т=Р%1пЯо.

В результате получаем дифференциальное уравнение

. ар рСС. (е)+ра1 (р,е)1

-= -, (54)

¿0 в{п.е[Р1 (е)+р!1 (р.о)]

где (в)^0.рассматривается решение уравнения (54)-.удовлетворяющее условию р(Р0)=в.,где в>0,0<Р0<я/2,для ее(0,Р03 Р1 (о)*0.Считаем, что б выбирается таким,что из уравнений (51),(54) определяются участки одной и той ке траектории системы (50).удовлетворяющей условию Г(а0)=С. ' Пусть

(а ) ^Ф (а )+рН(а ) ] "1 >0. Тогда уравнение (54) можно записать в виде

£|р/с1ввС-}-1о15О+у(0)]р+81п"1о 2 Н„(е)рк, 1 к=2 к

где у(е),Н11(е)-рацаонально-тригонометрические и ограниченные для

е<=£0,Р01 функции.В этом случае связь между сив даёт следующая

теорема.

ТЕОРЕМА 28.Пусть аавана анамшияеская система (50),для которой 6 0(0,0) возникает проблема различения центра и фокуса,причём.

для функций Р,0 из (51) т1£т2+1 Оля Фе[сг0,а],Г1>о.Тогда

для решения уравнения (51),удовлетворяхщего условию г(«0)=с, иоеея жесто соотношение

• Г(с-8РоовР|50)=ВС1о4пЧр0, (55)

где в выражается формулой

с 1 С1+г(с>], (56)

причёл Z(c),Z(0)=0-oгpamчe^¿нaя в окрестности с=0 функция,пред ставшая в случае иррационального в виде асишпотического ряда по степеням с,а в случае рационального г^ в виде аслттогшческого ряда по степеням с и натуральнылг степеням. -ст1пс. В частности,если в (51) Р1 (в)*0 для ее(0,«/23,то в (53) г(а)=вЧ

(Р0=п /2).

Во всех случаях указывается способ нахождения функции г(с) из (54) в виде асиштотического ряда. Если Ц®(«)+рН(а)=0,ТО в (54)

Р1 (о)=0{„^кео1 (е),

где п^пь^И ,к=р*1 .»^¿[п^Л}] (е)*0.Полагая в (54)

р=р.|3{пЯкв,

получаем уравнение

(Зр1/й9=[-'1К21х10озв/(О{г.(1к-1+29)+у(в)]р1+о1п"'1е Ё 1(9)р?, (57) 1 1^1 1 1 к=2

где х-^'Ч«)/^ (0)>0,у(в),н^(9)-рацяонально-трпгоно1£атрическпе и ограниченные для о<з[0,р0] функции.Для уравнения (57)

В этом случае связь ме.иду сиз выражается формулой

с=(-о/1пЗ)1/кС1+21(0)1,

(в),г1 (0)=0-ограниченная в окрестности 5=0 функция,представшая в виде асиштотического ряда относительно в,-1/1пЗ, (-1/7пз)м1х

х!п(-1пС).

Если в (52) т^л^+га-И .где т>0,то из уразнешя (51) находим решения ДЛЯ сре[ад,с<-а,-сз{п(-<<>1пС)-1/'ГГ1] ,ГДе 0<ч<П/г ,Г-Н(а )/0 (а )> >0.Найдено асимптотическое представление решений уравнения (51) при Ф=а-аг-сэ{п(-«1пс)~1/П1.В этом случае склейка решений осущест-

24 —1/п

ВЛЯВТСЯ ПрЗ Ф=а-ат-св4п(-и1пС) .В ОКреСТНССТЦ ИСКЯНЧИТеЛЫЮЙ прямой <р=а дифференциальное уравнение (54) имеет вид

(ру +е1'п—^о 2 еде ЭР1,

1=1 1=шр+2

где (0)=С1 (о)/Р1 (е),£(е)^1 (о)-ограничеш!Ы0 для ве[0,Р01 функции. Связь между сив выражается формулой

Р0

в=егр1^ g1 (т)йт][-1'/(тпс)]

1/(тр)[и22(с)]>

где 22(с),г2(0)=0-ограшченная в окрестности с=0чфункция.Указывается метод нахождения функции г2(с) в виде асимптотического ряда.

Таким образом,при любых ю1для уравнения (51) находим соотношение (55),где в выражается известной функцией от с.представи-мой в виде асимптотического ряда.В частности,если в (54) Р1 (о)*0 ДЛЯ 6е(0,п/2],ТО В (55; Р0=л/2.

Для нахождения функции последовакия системы (50) поступаем следующим образом.Пусть для решения г=г(<р) уравнения (51),удовлетворяющего УСЛОВИЮ Г(с»0)=С,Г(а0)=С,ГДе Р (ф ДЛЯ вб(0,п/23,ТО аналогично случаю фе[а0,а] уравнения (51) с использованием замены а-Ф=-сг+ч> рассматривается и случай ч>е[а,ы0].в результате получаем соотношение вида'(55),где Р0=л/2,в выражается в виде асимптотического ряда относительно с.Далее находим в виде асимптотичес-

* (V л»

кого ряда соотношение с=Х(с).Допустим,что в (54) (р)=0.где ре(0,п/2),г1 (о)*0 ДЛЯ ее(0,р).Тогда в уравнении (54) (э)==01 (р>= =0 (в противном случае 0(0,0)-особая точка первой группы для

(50)).С помощью повторения описанных выше рассуждений для решения уравнения (51) с г(«0)=о ссслодуется решение уравнения (54),удовлетворяющее условию р(Р0)=з.В результате получаем соотношение типа (55) вида

(V /V

л» --л» (V-, ^л»

р (<5-Ооое1Фо)=В%з{пчр0,

где в выражается в виде ряда от в и т.д.Конечным числом описанных выше шагов может быть найдена футеция исследования V (с) уравнения

(51),для которой

г(<*0+2я)=у(с). (58)

Функция ¥(с) пз (58) выражается в виде асимптотического ряда.Если ¥(с)=с,то начало координат системы (50) является центром.Если ¥(с)-с=м»1 (с)+у£(с)»где ч,2Сс)=оС¥1 (с)](с)"0 при всех достаточно малых с>0,то 0(0,0) для (50) будет фокусом.

Решение проблемы центра и фокуса для системы (50) значительно упрощается,если вместо системы (50) рассматривать её орбитальную нормальную форму.

Подробно проблема различения центра и фокуса рассматривается для системы дафференциалышх уравнений

.00 . со

2 X. (г,у), у= 2 Ук(х,у), (53)

к=2т-1 К к=2пМ К

где' Х^.У^-одаородиые полиномы к-ой степени,

Х2пн-±-1 (з.У(пь-п+1 >—1 (х'у>'

(Р^.Ч-роднородше полинома 3-ой степени),пе2,п>1 ,га>п, * <*-У>-«2(и-п)С*.У>-УР2(га-п)-1•

®(х,у)=22^е2(ПЬГ1+1) (0,1 »^У-^Рг^!,-! (0.1

знакоопределёшше формы,у=о(1,0)/1*(0,1 )>0Л1зучается текло обобщение системы дифференциальных уравнений (59). -В заключение до конца решается пребтамз центра п фокуса для систем дифференциальных уравнений

р ¿=х2у+у5, у=-х3-.1у4-Вху3-Ву5, (50)

где А <1,

х=2х2у+вху4+у5, уг-Аху2, (61)

ж=х2у+Взу4-у5, у^+ху2. (62)

Системы (60)-(62) иллюстрируют разлившие случая,возникайте в методе реше!шя проблемы центра п фокуса для слояной особой точки.

ВЫВОДЫ

В работе даны новые метода решения проблемы различения центра п

фокуса для произвольных аналитических систем на плоскости с помощью которых получены аффективные алгоритмы решения проблемы центра и фокуса для различных классов полиномиальных систем.

1.В работе для аналитических систем на плоскости в случае чисто шшмых собственных значений линейной части получен новый критерий существования центра,позволяющий установить наличие центра для различных классов полиномиальных систем.Указывается новый эффективный метод составления условий центра,называемый в работе функциональным.С помощью этого метода приводятся способы вычисления фокусных величин для различных классов систем типа Льенара.Приводится явный вид фокусных величин для конкретных классов систем типа Льенара.Для полиномиальных систем типа Льенара получены эффективно проверяемые необходимые и достаточные условия центра,имеющие алгебраический характер.В частности,найдены необходимые и достаточные условия центра для кубических систем нелинейных колебаний. С использованием этих условий получено полное решение проблемы центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний.Указы- . вается метод решения проблемы центра и фокуса для уравнения Абеля,

а также приводящейся к нему кубической системы дифференциальных уравнений.

2.Для аналитических систем с ненулевой линейной частью и нулевыми ей собственными значениями указан новый метод решения проблемы центра и фокуса,основанный на использовании нормальных форы.Доказана алгебраическая разрешимость проблемы центра и фокуса для тагах систем.Указывается алгоритм решения проблемы центра и фокуса для полиномиальных систем Льенара,Решена проблема центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний в случае нулевых собственных значений линейной части.Таким образом,в работе даётся полное решение проблемы центра и фокуса для произвольной кубической системы нелинейных колебаний.Доказываются теоремы о необходимых и достаточных условиях существования голоморфного интеграла.Приво- . датся исследоваше бифуркации периодических решений системы в случае нулевых собственных значений линейной части.

3.Указывается методика нахождения орбитальных нормальных форм для двумерных аналитических систем с нулевой линейной частью.Получен явный вид орбитальных нормальных форм систем в окрестности мокод-ромной особой точки в случае нулевых линейных,квадратичных и ненулевых кубических частей.

■ 4.Для произвольных аналитических систем с нулевой линейной частью указывается метод решения проблемы различения центра и фокуса.Приводятся различные примеры систем,для которых проблема центра и фокуса эффективно разрешается этим методом.

Результаты диссертации могут быть использованы для решения проблемы центра и фокуса конкретных динамических систем на плоскости, при качественном исследовании динамических систем с монодромными особыми точками,для исследования устойчивости тривиального решения в критических случаях,при исследовании различных математических моделей из физики,химии,биологии,экологии и т.д.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Амелькин В.В..Лукашевич H.A..Садовский А.П.Нелинейные колебания в системах второго порядка.-Минск:Изд-во БГУ,1982.-208 с.

2.Садовский А.П.О проблеме центра и фокуса // Дифферекц.уравнения .-1963.-Т.4,т1.-С.2002-2009.

3.Садовский А.П.Об условиях центра одной системы дифференциальных уравнений // Диффзренц.уравнения.-1971 .-T.7,f312.-С.2285-2286.

4.Садовский А.П.О проблеме различения центра п фокуса. // Диф-ференц.уравнения.-1973.-Т.9,гё4.-С.650-659.

5.Садовский А.П.Репенае проблемы центра и фокуса для систем Льенара с полиномиальными коэффициентами // Дифференц.уравнения.-1975.-Т.11,й11.-С.2102-2104.

6.Садовский А.П.О проблеме различения центра и фокуса для систем с ненулевой линейной частью // Дифференц.уравнения.-1976.-Т.12,К7.-С.1237-1246.

7.Садовский А.П.Решение проблемы центра и фокуса для некоторых систем нелинейных колебаний // Дифференц.уравнения.-1978.-Т.14, JS2.-С.380-382.'

8.Садовский А.П.Формальные преобразования п проблема различения центра и фокуса// Дифференц.уравнения.-1978.-Т.14,Л12.-С.2185-2189.

Э.Садовский А.П.Фу нкциона лышй метод составления условий центра // ДАН БССР.-1979.-Т.23.Й6.-С.492-494.

Ю.Садовский А.П.К условиям центра и фокуса для уравнений нелинейных колебаний// Дифференц.уравиеншь-1979.-Т.15,К9.-С. 1716-1719.

11.Садовский А.П.Формальные преобразования двумерных динамических систем // ДАН БССР.-1979.-Т.23,Й12.-С.1077-1079.

12.Садовский А.П.Элементарной доказательство И'применения одной теоремы Ф.Такенса // Дифференц.уравнения.-1980.-Т.16,К12.-С.2284-2287.

13.Садовский А.П.Существование голоморфного преобразования специального вида в случае центра // Вестник БГУ,серия 1.-1982.-Й1.-С.48-49.

14.Садовский А.П.О проблема различения центра и фокуса для одного случая сложной особой точки // Дифференц.уравнения.-1986.-Т.22, )ё5.-С.789-794.

15.Сэдоеский А,П.Замечания о существовании голоморфного интеграла в критическом случае двойного нулевого корня // Дифференц.уравнения. -1987.-Т.22.Й2.-С.355-357. \

16.Садовский А.П.Проблема центра и фокуса для одного случая сложной особой точки // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений:Сб.научных трудов.-Новосибирск:Наука,1988.-С.52-56.

17.Садовский А.П.Проблема центра и фокуса для аналитических систем с нулевой линейной частью.1 // Дифференц.уравнения.-1989.-

Т.25,К5.-С.790-799.

18.Садовский А.П.Проблема центра и фокуса для аналитических систем с нулевой линейной частью.II // Дифференц,уравнения.-1939,Т.25, йб.-С.950-956.

19.Садовский А.П.Условия возникновения проблемы центра и фокуса для Ад-системы.// Дифференц.уравнения.-1990,Т.26,М1.-С.1743-1753.

20.Садовский А.П.Фокусные величины кубической системы нелинейных колебаний // Дифференц.уравнения.-1992,Т.284,>37.-С. 1122-1127.

21.Садовский А.П.Критерий существования голоморфного интеграла для систем с ненулевой линейной частью // Матем.исследовашм¡Гродно.-С.91-97.

22.Садовский А.П.О достаточных условиях центра для кубической системы дифференциальных уравнений // Известия АН Республики Молдова. -1993. -К1 (11).-С.81-84.

23.Садовский А.П.О предельных циклах кубической системы нелинейных колебаний // Дифференц.уравнения.-1993,Т.29,Ä2.-С.226-231.

24.Saüo7Bkil А.P.The centre and locus problem and the stability problem for two-dimensional analytic differential system with zero linear and quadratic right-hand sides // The byapunov functional method and applications.IMACS.-1990.-P.41-43.

РЕЗЮМЕ САДОВСКИЙ АНТОН ПАВЛОВИЧ

ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА И ФОКУСА ДЯЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИМЕРЕНЦИАЛЬНЬК СИСТЕМ

Ключевые слова.Мозюдромше особые точки,условия центра,кубические системы,предельные циклы,нормальные формы,голоморфные интегралы, функции последования.

Объекты исследования.Аналитические системы на плоскости с монод-ромными особыми точками.

Цель•работы.Разработка методов решения проблема центра и фокуса для произвольных аналитических систем на плоскости и решение этой проблемы для различных классов полиномиальных систем.

Методы исследования.Используются методы преобразований систем (в том числе и метод нормальных форм),метода расцепления особенностей,метода,развитые в работах А.Пуанкаре,Д.М.Ляпунова,Г.Дюлака, Д. Ф.Андреева, А. П. Воробьёва, Э. II. Груда, Ю. II. Бибикова, Л. А. Черкаса, асимптотические методы.методы теории бифуркаций.

Полученные результаты п их новизна.В случае чисто мнимых собст-вешшх значений линейной части получен новый зсритерий существования центра.Указан новый эффективный метод решения проблемы центра и фокуса,с помощью которого приводятся способы вычисления фокусных величин для различных классов систем типа Льенара.Для печшюмиаль-ных систем типа Льенара получены эффективно проверяемые необходимые и достаточные условия центра,имещза алгебраический характер. Впревыв решена. проблема центра а фокуса для кубичесзсах систем нелинейных колебаний. Для систем с ненулевой .линейной частью и згуле-выми её собственные значения!.® указан новый эффективный метод рз-шезшя проблемы центра и фокуса,основазпшй на использовазЕП нормальных форм.Впервые доказана алгебраическая разрешимость проблемы центра и фокуса для таких систем.Получен явный ввд орбитальных нормальных форм систем в окрестности ионодроиной особой точки в случае ¡гулевых линейных,квадратичны*, и ненулевых кубических частей.Указан метод решения проблемы центра и фокуса для систем со

сложной монодромной особой ТОЧКОЙ.

Области применения.Результаты диссертации могут быть использованы для решения проблема центра и фокуса конкретных динамических систем,при качественном исследовании динамических систем с моно-дромными особыми точками,для исследования устойчивости тривиального решения в критических случаях,при исследовании различных математических моделей из физики,химии,биологии,экологии и т.д.

РЭЗШЭ

САД0УСК1 АНТОН ПАУЛАВ1Ч ^

ПРАБЛЕШ. ЦЭНТРА I ФОКУСА ДЛЯ АНАЛ1ТЫЧНЫХ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫХ С1СТЭМ

Ключавыя слови.Манадромныя асабл1выя пушсты.умовы цзнтра,куб1ч-1шя с1стэмы,л1м1тавыя циклы,нармалышя формы,галаморфныя 1нтэгра-лы,функцы1 паследавання.

Аб'екты даследавання.Анал1тычшя с1стэмы на плоскасц1 з манад-ромным1 асабл1вым1 пунктам!.

Мзта работы.Распрацоука мет ада у рашэння праблемы цзнтра 1 фокуса для адвольных анал1тычных с1стам 1 рашэнне гэтай праблеш для розных класау пал1нам1ялышх сЮтэм.

Метады даследавзння.Выкарыстоуваюцца метады пераутварзнияу с1с-тэм (у тым л1ку 1 метод нармалышх форм),метады распгчаплення асаб-л!васцей,метады,разв1тыя у працах А.Пуанкаре,А.М.Ляпунова,Г.Дзюла-ка,А.Ф.Андрэева,А.П.Вараб'ёва,Э.1.Грудо,Ю.М.Б1б1кава,Л.А.Чэркаса, ас1штатичныя метады,мвтады тэоры1 б1фуркацый.

Атрыианыя вын!к1 1 нав!зка.У выпадку чыста уяуных уласшх зна-чэшшу л1нейнай частк1 атрыманы новы крытзрый 1снавання цзнтра. Указаны новы эфектыуш кетад вшачэшш фокусных вел!чынь,з дапамо-гай якога прыводзяцца спосабы выл!чэння фокусных вел!чынь для розных класау с!.стэн типу Льянара.Для пал1нам1яльных с!стэм тылу Льянара атрышны эфектыуна правяраемыя неабходцыя 1 дастатковыя умовы цзнтра,як1я маюць алгебра1чш характер.Упершыню вырашана праблема цзнтра 1 фокуса для куб!чных с1стэм нел1нейнш: ваишнау.

Для с1стэм з ненулявой л1нейнай часткай 1 нулявым! яе уласным1 значэнням! указаны новы эфектыуны метад рашэння праблемы дзнтра 1 фокуса,заснаваны на выкарыстанн! нармальных форм.Упершыню дака-зана алгебра1чная вырашальнасць праблемы цэнтра 1 фокуса для так!х с1стэм.Атрыманы яукы в1д арб1тальных нармальных форм с1стэм у на-ваколл! манадромнага асабл1вага пункта у выпадку нуляЕых л!нейных, квадратичных 1 ненулявых куб!чшх частак. Указаны метад рашэння праблемы цэнтра 1 фокуса для с1стэм са складанш манадрошшм асабл!вым пунктам.

Гал1на прымянення.ВынЛк! дысяртацы1 могуць быць выкарастаны для рашэння праблеш цэнтра I фокуса канкрэтных с1стэм на плоскас-ц1,пры лкасным дзслэдванн! дт1ац1чнпх с!стсм з манадрс;.акм! асаб-л1вым1 пунктам!,для даследвання устойл1васц1 трыв1яльнага рашэтш ' у крытычных выпадках.пры даследванн1 розных матзматычшх мадэляу з ф1з1к1,х1м11,б1ялог11,экалог11 1 г.д.

SUMMARY SAD07SKII AHTOM PAVLOVICH

THE CENTRE AMD FOCUS PROBLEM FOR ANALYTIC DIFFEBEtfTIAL SYSTKÍS

Keywords.ftfonodromlal critical pointa,centre conditions,cubic systems,limit cycles,normal f orr.3,holomorphic integrals, first return function.

Objects of research.Analytic systems on plane with monodromial critical points.

A purpose ot work.The development oí methods lor solving ol the center and locus problem lor optional analytic systems on plane and the solving ol this problem lor dillerent classeB ol polynomial systems.

Methods of researh.Methods of systems transformation (Including the normal forms method)¡methods of desingularisation;methods,developed in the works of A. Poincare', A.M.Lyapunov,H. Dulac, A. F. And-reev,E.I.Grudo,Y.N.Bibikov,i.A.Cherkas;asyroptotlc methods;methods

ol the bifurcation theory are used.

Tlie results obtained and novelty .The new criterion of the centre conditions existence In the case of the pure imaginary eigenvalues oi the linear partB is obtained.The new effective method ior solving ol the centre and locus problem,with the help ol which the ways ol calculations ol the local values lor dillerent classes ol lienard systems are given,is pointed out.For the polynomial systems ol tienard type ellectively verifiable necessary and sufficient centre conditions which have the algebraic character are obtained.For the first titr.o the centre and locus problem is solved for the cubic systems ol nonlinear oscillations.For the system with non-aero linear part and zero eigenvalues the new ellective method of the center and locus problem solving,based on the using ol normal 1orras.is pointed out.For the lirst time the algebraic solubility ol the centre and locus problem lor such systems is proved.The explicit form ol orbital normal forms in the neighbourhood of monodromial critical point in cases ol zero linear, quadratic and non-zero cubic parts is received.The method ol solving ol the centre and locus problem for the systems with the complex monodromial particular point is pointed out.

Fields ol applications.The results of dissertation may be used for solving of the center and focus problem lor the concrete systems on the plane,for the qualitative investigation ol dynamic system with monodromial critical points,lor the investigation ol stability of the trivial solution in the critical cases,for the investigation of different mathematical models from physics,chemistry .biology,ecology,otc.

Подписано в печать- 16.02.96. Фермат 60x81/16 Усл.печ.д. 1,86. Усл.кр.-отт. 2,21. Уч.кзд.л. 1,53. Тираж 100 экз. Заказ $

-Институт математики АНВ. 220072, Минск, ул. Сурганова, 11. Отпечатано на ротапринте Института математики Д11Б. 220072. }&тск, у д. Сурганова, 11.