Устойчивость монодромных особых точек векторных полей на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.9

МЕДВЕДЕВА НАТАЛИЯ БОРИСОВНА

УСТОЙЧИВОСТЬ МОНОДРОМНЫХОСОБЫХТОЧЕК ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПЛОСКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 2004

Работа выполнена в Челябинском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.С. Ильяшенко, доктор физико-математических наук А.Г. Хованский,

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Давыдов.

Ведущая организация - Институт математики и механики Уральского Отделения РАН

Защита диссертации состоится ^ __2004г.

в 14-00 час. на заседании диссертационного совета Д.002.002.02 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 117966 Москва, ул. Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан

/8

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.002.02, профессор

Ю.Н. Дрожжинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных вопросов качественной теории дифференциальных уравнений является вопрос о расположении траекторий вещественно-аналитического векторного поля ( системы дифференциальных уравнений) в окрестности изолированной особой точки. Он был поставлен А.Пуанкаре. Им же, а также И.Бендиксоном, А. Дюлаком, М.Фроммером и A.M. Ляпуновым были получены и первые результаты в этом направлении.

Особые усилия направлялись на изучение сложных особых точек аналитических систем методом их расщепления (И.Бендиксон, А. Дюлак, М. Фроммер). Результатом этих усилий явилось создание нескольких вариантов „локальной схемы состояния равновесия" (М. Фроммер, А.Ф. Андреев, А.Д. Брюно, А.П. Воробьев, Ф. Дюмортье и другие), то есть некоторого алгоритма построения фазового портрета в окрестности особой точки. Суть любого метода расщепления особенностей (разрешения, раздутия) состоит в следующем. В различных частях проколотой окрестности особой точки делаются замены переменных, которые растягивают расстояния между точками, близкими к особой. В результате особая точка заменяется вклеенной инвариантной кривой, вблизи которой определено аналитическое поле направлений, имеющее на вклеенной кривой более простые особые точки, чем исходная. Продолжая этот процесс по индукции, получаем такие простые особые точки, чтобы их было легко исследовать, например, элементарные (у которых существует по крайней мере одно ненулевое собственное значение матрицы линейной части поля). Построив фазовые портреты в окрестностях особых точек, полученных в результате раздутия, получим фазовый портрет в окрестности исходной особой точки.

В подавляющем большинстве случаев предложенные алгоритмы позволяли строить фазовый портрет только с точностью до различения центра и фокуса. Только в отдельных работах белорусских математиков процесс кратного полярного раздутия применялся к исследованию особых точек типа центр-фокус (монодромных особых точек), причем были исследованы наиболее простые частные случаи, для которых результат излагался в виде довольно сложного алгоритма, как правило не доведенного до вычислительных формул.

В представленной работе исследуются монодромные особые точки аналитических векторных полей на плоскости, то есть такие, у которых не су-

еос. нлцномяымя ( iWMim I

ществует траекторий, входящих в особую точку с определенной касательной .(характеристических траекторий). Основными классами монодром-ных особых точек, алгоритмы исследования которых были предложены в классических работах А. Пуанкаре, А.Ляпунова, В.В. Немыцкого и В.В. Степанова являются: невырожденные особые точки с невещественными собственными значениями, особые точки, линейная часть векторного поля в которых имеет вид нильпотентной жордановой клетки и особые точки без исключительных направлений. Общим для всех трех перечисленных случаев является следующее. С помощью специальной замены переменных векторное поле, имеющее в нуле монодромную особую точку одного из перечисленных типов, может быть превращено в векторное поле, определенное в полуокрестности инвариантной окружности, на которой нет особых точек. Другими словами, исследование векторного поля в окрестности особой точки может быть сведено к исследованию векторного поля в окрестности замкнутой траектории. Преобразование монодромии в этих

А / \ 00 к

случаях является аналитическим отображением тей-

к-2

лоровские коэффициенты которого могут быть вычислены путем последовательного решения уравнений в вариациях. Поскольку в случае центра то различение центра и фокуса состоит в сравнении преобразования монодромии с тождественным отображением. Если хотя бы одна из величин Ы с, с* отлична от нуля, то особая точка является фокусом.

Сложные монодромные особые точки, которые не принадлежат к перечисленным классам, исследуются с помощью того или иного метода раздутия особенностей.

В совместной статье Березовской Ф.С. и Медведевой Н.Б. 1991 года был предложен один шаг процесса расщепления особенности векторного поля, который позволяет исследовать особые точки при условии выполнения некоторых условий невырожденности. В представленной работе этот процесс продолжается по индукции и может быть применен к исследованию окрестности произвольной особой точки вещественно-аналитического векторного поля. Предложенный метод по сути является усовершенствованием метода М.Фроммера в том виде, в котором он изложен А.Андреевым, и позволяет в отличие от него исследовать монодромные особые точки, а не только особые точки с характеристической траекторией, то есть траекторией, входящей в особую точку с определенной касательной.

В отличие от особой точки с характеристической траекторией, для построения фазового портрета в окрестности сложной монодромной особой

точки не достаточно произвести процесс раздутия. Алгоритм различения центра и фокуса в данном случае довольно сложен и включает в себя построение нормальных форм в окрестностях элементарных особых точек, полученных после раздутия, и решение уравнений в вариациях вдоль дуг вклеенных при раздутии кривых, не содержащих особых точек, с целью построения асимптотического ряда преобразования монодро-мии монодромной особой точки. Описанная идеология восходит к работе А.Дюлака „О предельных циклах". Если асимптотический ряд преобразования монодромии не совпадает с асимптотическим рядом тождественного отображения, то особая точка является фокусом. В представленной работе получены эффективные формулы для первых двух членов асимптотического разложения преобразования монодромии сложной монодром-ной особой точки.

Принимая во внимание сложность описанного алгоритма, Ю.С. Илья-шенко предложил исследовать проблему различения центра и фокуса с точки зрения алгебраической и аналитической разрешимости. Понятие алгебраически разрешимой локальной задачи (задачи о ростках) было введено В.И. Арнольдом и означает, что ответ в задаче может быть получен путем конечного числа арифметических действий над коэффициентами струи, если росток не принадлежит некоторому исключительному множеству бесконечной коразмерности. Аналогично может быть дано определение аналитически разрешимой задачи: арифметические действия заменяются вычислением значений аналитических функций от коэффициентов струи. Известно, что проблема различения центра и фокуса является алгебраически разрешимой в первых двух из перечисленных выше классов и не является алгебраически разрешимой в третьем из них. Вопрос об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса в этом классе, а также в других, более сложных классах моно-дромных особых точек до последнего времени оставался открытым. В представленной работе получен положительный ответ на этот вопрос.

Цель работы. Исследовать проблему различения центра и фокуса с точки зрения аналитической разрешимости. Получить необходимое и достаточное условие того, чтобы особая точка аналитического векторного поля на плоскости была монодромной. Вычислить некоторые коэффициенты асимптотического разложения преобразования монодромии моно-дромной особой точки, которые позволяют сформулировать достаточное условие того, чтобы особая точка была фокусом.

Метод исследования. В работе применяются два варианта метода многократного раздутия особенностей: метод диаграмм Ньютона и - процесс, а также метод нормальных форм и метод Дюлака изучения асимптотики преобразования монодромии сложного цикла. В доказательстве теоремы об аналитической разрешимости используется введенное автором понятие обобщенной диаграммы Ньютона, которая отражает ход всех шагов раздутия по диаграммам Ньютона.

Научная новизна. В диссертации впервые доказаны следующие результаты:

1. Доказана аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса в произвольном простейшем классе векторных полей с моно-дромной особой точкой. Каждый простейший класс характеризуется определенным ходом процесса разрешения особенностей, связанного с диаграммами Ньютона и объединение всех простейших классов представляет из себя множество всех векторных полей с монодромной особой точкой.

2. Получены две формулы для так называемой "обобщенной первой фокусной величины", равной логарифму коэффициента при главном члене асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки. Отличие от нуля этой величины гарантирует наличие фокуса в особой точке. В первой из двух полученных формул участвуют величины, определяемые в процессе раздутия по диаграммам Ньютона, а во второй - величины, определяемые через кратный сигма-процесс. Обе формулы применимы в случае любой, как угодно сложной монодромной особой точки и представляют из себя наиболее общие результаты среди всех имеющихся в настоящее время формул для вычисления обобщенной первой фокусной величины.

3. Получено необходимое и достаточное условие того, чтобы особая точка аналитического векторного поля на плоскости была монодромной. Результат сформулирован на языке раздутия по диаграммам Ньютона.

4. Вычислен второй член асимптотики преобразования монодромии мо-нодромной особой точки векторного поля из некоторого класса векторных полей, имеющих диаграмму Ньютона, состоящую из двух ребер.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти приложение в качественной теории дифференциальных уравнений.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, отдела динамических систем ИММ Уро РАН (г. Екатеринбург), отдела дифференциаль-

ных уравнений МИР АН им. В.А. Стеклова, кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова.

Кроме того результаты работы докладывались на следующих научных мероприятиях:

1) Международный Конгресс Математиков, г.Цюрих, Швейцария, 1-11 августа 1994 года. 2) Симпозиум "Особенности дифференциальных уравнений и пфаффовых систем". г.Варшава, Польша, Международный математический центр Стефана Банаха, 1-19 октября 1995 года. 3) Международная конференция Deterministic and stochastic modelling of biointeraktion (DESTIBIO'97) (г. София, Болгария, 27-31 августа 1997 года.) 4) International Conference dedicated to the 90th Anniversary of L.S. Pontryagin, Moscow, RUSSIA, August,31,- Seprember,6,1998. 5) Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения",22-26 июня 1999г., Челябинск. 6) Sixth Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations. August 10-14, 1999, Szeged, Hungary 7) The Third International Conference "Differential equations and applications", June 1217 2000, Saint Peterburg. 8) International Conference on Differential and Functional Differential Equations, August 11-17, 2002, Moscow. 9) Международная конференция Hilbert's Sixteenth and Related Problems in Dynamics, Geometry and Analysis. In honor of 60-th anniversary of Yu. S. Ilyashenko. The Independent University of Moscow. December 26-29, 2003.10) Международная конференция им. И.Г.Петровского. Москва, МГУ. 16-22 мая 2004г.

Исследования были поддержаны грантами:

Долгосрочные гранты международного научного фонда М98000( 19941995), М98300(1996); гранты международного фонда гражданских исследований CRDF RM-1-229 (1997), RM-1-2086 (2000), 1-2358-МО-02 (20022003); гранты РФФИ 97-01-10857 (1997), 98-01-00821 (1998), 99-01-00821 (1999), 99-01-10749 (1999), 00-01-00745 (2000-2002), 03-01-00270 (2003-2004); гранты ISSEP 702d (1997), d98-1294 (1998), d99-411 (1999).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [12], список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и добавления, состоящего из двух частей. Общий объем диссертации - 252 страницы. Список литературы содержит 104 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается история исследуемых в диссертации вопросов, даются необходимые определения и формулировки.

В главе 1 подробно описан процесс раздутия, связанный с диаграммами Ньютона.

Рассмотрим аналитическое векторное поле V в окрестности точки ноль на плоскости. Оно определяет динамическую систему, которую нам будет удобно записывать в виде

Здесь функции X и Y делятся на у и а: соответственно.

Рассмотрим разложения Тейлора

Определения. Векторным коэффициентом точки ^,.¡) называется вектор (йу, 6у). Носителем системы (1), а также векторного поля V называется множество таких пар {%,]), ЧТО (ау,Ьу) ф (0,0). Показателем точки носителя (У) называется величина Ьу/ау. Рассмотрим множество

где - положительный квадрант, объединение берется по всем точкам ((¿), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона векторного поля V. Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона, а их концы - ее вершинами. Если граница выпуклой оболочки множества (3) содержит луч, который не лежит на координатной оси, то будем называть его неограниченным ребром диаграммы Ньютона. Если вершина диаграммы Ньютона не лежит ни на одной координатной оси, то она называется внутренней, в противном случае граничной. Показателем ребра неограниченного ребра диаграммы Ньютона называется тангенс угла между ребром неограниченным ребром и осью ординат.

Один шаг метода раздутия особенностей по диаграмме Ньютона состоит в следующем. Окрестность нуля в первом квадранте разбивается на криволинейные секторы, соответствующие ребрам и вершинам диаграммы Ньютона, каждый сектор с помощью степенной замены переменных

превращается в прямоугольник. Границы прямоугольников склеиваются с помощью функций перехода.

Векторное поле, полученное после степенной замены переменных и определенное в прямоугольнике, соответствующем ребру диаграммы Ньютона, имеет, вообще говоря, более простые особые точки, а векторное поле, определенное в прямоугольнике, соответствующем внутренней вершине, всегда имеет единственную особую точку, притом элементарную.

Этот процесс продолжается по индукции, если поместить начало координат в особую точку, полученную после раздутия и расположенную в прямоугольнике, соответствующем ребру, а затем произвести вышеописанный процесс в соответствии с диаграммой Ньютона векторного поля, полученного после раздутия.

Основными результатами диссертации, доказанными в главе 1, являются две теоремы: критерий монодромности особой точки, позволяющий для любой вещественно-изолированной особой точки определить, имеет она характеристическую траекторию или является монодромной, а также теорема о главном члене асимптотики преобразования монодромии, где вычисляется логарифм коэффициента при главном члене, отличие которого от нуля гарантирует наличие фокуса в особой точке. Результаты формулируются в терминах диаграмм Ньютона ростков векторных полей, получаемых в процессе раздутия, связанного с диаграммами Ньютона. Обе теоремы сформулированы таким образом, что их применение может быть осуществлено с помощью ЭВМ.

В формулировках обеих этих теорем используется понятие Ньютонова дерева раздутия, которое мы сейчас определим.

По данному ростку векторного поля Уо с вещественно-изолированной особой точкой (0,0) построим граф, который является деревом, следующим образом. Вершинам дерева поставим в соответствие ростки векторных полей в особых точках, которые получаются в процессе раздутия в прямоугольниках, соответствующих ребрам диаграммы Ньютона. Корнем дерева будем считать росток исходного векторного поля Пусть все ростки векторных полей в изолированных особых точках, расположенных в прямоугольниках, соответствующих ребрам диаграмму Ньютона векторного поля V). Поставим росткам V* в соответствие вершины дерева, соединим эти вершины отрезками с корнем. Далее процесс продолжается по индукции.

Построенный граф будем называть Ньютоновым деревом раздутия. Обозначим через - множество всех вершин Ньютонова дерева раздутия.

Той же буквой будем обозначать множество ростков, соответствующих этим вершинам.

Определение. Для каждой внутренней вершины с диаграммы Ньютона векторного поля V определим две величины кс и кс следующим образом. Пусть ( и I - два примыкающих к этой вершине сверху и снизу ребра (или неограниченных ребра) с показателями аий(0<а<а< 00.) Занумеруем целочисленные точки на ребре (или неограниченном ребре) присваивая вершине с номер ноль. Через кс обозначим номер ближайшей к вершине с целочисленной точки, лежащей на которая является точкой носителя и показатель которой отличен от Пусть - ее векторный коэффициент. Если такой точки не существует, то положим кс = 00.

Аналогично, перенумеруем целочисленные точки на ребре (или неограниченном ребре) I, присваивая вершине с номер ноль. Через кс обозначим номер ближайшей к вершине с целочисленной точки, лежащей на которая является точкой носителя и показатель которой отличен от показателя а. Пусть {ä, Ь) - ее векторный коэффициент. Если такой точки не существует, то положим

Для каждой внутренней вершины с диаграммы Ньютона векторного поля которая не является самой нижней (то есть имеющей минимальную ординату) вершиной диаграммы Ньютона, и для которой определим величину по формуле

Теорема 1. Особая точка (0,0) аналитического векторного поля Vo является монодромной тогда и только тогда, когда множество вершин V ее Ньютонова дерева раздутия конечно и выполняются условия

1) диаграмма Ньютона ростка Vo имеет две граничных вершины;

2) верхняя вершина диаграммы Ньютона любого ростка V G V, V ф-Vo, является внутренней; ее нижняя вершина является граничной;

3) диаграмма Ньютона любого ростка V € V, V ф Vo, не содержит точки (1,1);

4) для любой внутренней вершины с диаграммы Ньютона любого ростка V £V вклУчйцаконечна;

5) для любой внутренней вершины диаграммы Ньютона любого ростка У € V выполняется неравенство ис > 0;

6) для любой внутренней вершины с диаграммы Ньютона любого ростка V € V все вел и купинщ'кяъ&лтя ю т с я четными числами, где т/п и тп/п - несократимые дроби, равные соответственно а и а -

показателям ребер (неограниченных ребер), примыкающих к вершине с, а < а.

Было доказано (Ю.С. Ильяшенко, Н.Б. Медведева), что при подходящем выборе трансверсали главный член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости линеен, то есть имеет вид X —> СХ, с> 0. Величина Ы с называется обобщенной первой фокусной величиной сложной монодромной особой точки.

В главе 1 доказана формула для величины Ы с, которая имеет вид линейной комбинации главных значений интегралов следующего вида

где суммирование ведется по максимальным ребрам всех диаграмм Ньютона ростков векторных полей, возникающих в процессе раздутия. Точная формулировка соответствующей теоремы требует многочисленных определений и потому здесь не приводится.

Под интегралом в формуле (4) в числителе и знаменателе стоят многочлены, определяемые по ребрам диаграммы Ньютона. Одновременно с выводом формулы для Ы с доказывается, что главный член преобразования монодромии линеен. Это происходит из-за того, что в композиции отображений соответствия, дающей преобразование монодромии, сингулярности вида и им обратные в определенном смысле взаимно уничтожаются.

Основной вклад в выражение для Ы с дают "регулярные отображения вдоль вклееных дуг". Главные члены этих отображений линейны. Логарифм произведения мультипликаторов таких отображений, соответствующих ребру в пределе равен главному значению интеграла в формуле

Свойство ребра диаграммы Ньютона быть максимальным связано с количеством и расположением полученных после раздутия вырожденных и невырожденных особых точек, соответствующих вершинам диаграмм Ньютона, участвующих в процессе раздутия.

Отображения соответствия для гиперболических секторов невырожденных особых точек имеют степенные главные члены. Отображения соответствия для гиперболических секторов вырожденных особых точек бывают двух видов: отображения соответствия К центральному многообразию (К) и отображения соответствия ОТ центрального могообразия (ОТ).

(4).

Первое содержит сингулярность вида , второе обратно к первому.

Разложению преобразования монодромии в суперпозицию отображений соответствия для особых точек, а также регулярных отображений, соответствует график кусочно-линейной непрерывной функции, называемой "характеристикой суперпозиции"(термин Ю.С. Ильяшенко). Отображению с номером в суперпозиции, считая справа (обозначается ) соответствует отрезок графика характеристики над промежутком оси абсцисс. Он направлен под 45° вниз (соответственно вверх), если Д* -отображение К (соответственно ОТ). Во всех остальных случаях отрезок, соответствующий горизонтален.

Таким образом, высота, на которой находится отрезок графика характеристики, соответствующий отображению Д*, вычисляется рекуррентно. Эта высота и есть определяемая ниже "метка ребра". Ребро с максимальной меткой называется максимальным.

Все отображения, соответствующие отрезкам характеристики не максимальной высоты, не вносят вклад в мультипликатор преобразования монодромии. Действительно, при подходящем выборе начальной транс-версали все такие отображения могут быть сгруппированы в так называемые забывающие блоки" вида /5"1 о (ах" + • • •) 0 /о> гДе /о = Суперпозиция такого вида имеет линейный главный член с мультипликатором Этот коэффициент затем сокращается с мультипликатором и, возникающим в аналогичной суперпозиции. Этим объясняется выбор слагаемых с максимальной меткой в формуле (4).

Коэффициенты в формуле (4) возникают при взятии суперпозиции двух отображений со взаимнообратными степенными главными членами и отображения с линейным главным членом, при этом коэффициент при линейном главном члене возводится в степень, например если х* о Сх о я* = С\х, то 1п С\ = А1п С.

При отражении векторного поля относительно координатных осей в прямоугольнике, соответствующем ребру его диаграммы Ньютона, оказываются определенными четыре отображения соответствия по числу отраженных векторных полей. Если ребро четное (то есть несократимая дробь, равная его угловому коэффициенту, имеет четный числитель или знаменатель), то мультипликаторы этих отображений соответствия попарно сокращаются в силу нечетности подинтегральной функции, участвующей в их выражении через интегралы. Отсюда £( = 0, если ребро четное. В случае нечетного ребра эти мультипликаторы напротив попарно совпадают, что приводит к удвоению интеграла в формуле (4).

В главе 2 доказывается теорема об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса. Пусть Ц^о - пространство всех ростков аналитических векторных полей с особой точкой - про-

странство ¿-струй векторных полей с особой точкой (0,0), р* : 1Уо -► " естественная проекция. Если W - подмножество И'о, то через И^ будем обозначать множество ¿-струй ростков из W. Ростки из Шд, имеющие в нуле монодромную особую точку, будем называть монодромными.

Определение. Подмножество V области D конечномерного пространства называется полуаналитическим подмножеством области D, если у каждой точки а £ И существует ее окрестность U в области D такая, что пересечение V П V является конечным объединением множеств, задаваемых конечным числом уравнений вида / = 0 и неравенств вида g > 0, где /и д - аналитические в U функции.

На некотором множестве рассмотрим бинарную локальную

задачу, то есть задачу, в которой решается вопрос о принадлежности ростка к одному из двух классов и $2'- IV Э 51 и Примеры: 1) задача об устойчивости, 2) проблема различения центра и фокуса; в этом случае =" устойчивый фокус" , ¿>2 ="неустойчивый фокус". Определение. Задача называется аналитически разрешимой в классе IV С Мо, если для любого к существует такое разбиение некоторой окрестности множества в пространстве на непересекающиеся полуаналитические подмножества этой окрестности что 1)№Т| тр1С 5;, 1 = 1,2, 2) Ит ахИтТк = со.

Множество называется множеством нейтральных к— струй. Простейшим монодромным классом называется класс эквивалентности монодромных ростков: два монодромных ростка эквивалентны, если процесс их раздутия протекает одинаковым образом и результат раздутия (тип особых точек, полученных после раздутия) тоже одинаков.

Простейшие монодромные классы являются полуалгебраическими множествами. В главе 2 доказывается, что множество всех монодромных ростков является счетным объединением простейших монодромных классов. Основным результатом, доказанным в главе 2, является следующая Теорема 3. Проблема различения центра и фокуса аналитически разрешима в любом простейшем монодромном классе.

Утверждение этой теоремы означает, что множество ростков, имеющих в нуле особую точку типа центр, имеет коразмерность оо, а наличие фокуса (устойчивого или неустойчивого) может быть установлено путем вычисления конечного числа аналитических функций от тейлоровских ко-

эффициентов ростка для всех ростков кроме тех, что принадлежат некоторому множеству бесконечной коразмерности.

Основными моментами доказательства теоремы 3 являются 1) утверждения об аналитической зависимости коэффициентов асимптотического разложения преобразования монодромии от коэффициентов струи на некоторых подмножествах в пространствах струй и 2) вычисление градиентов некоторых из этих коэффициентов с целью оценки ранга системы аналитических уравнений, задающей множество нейтральных струй.

Схема доказательства. Поскольку система координат в окрестности особой точки фиксирована, то пространство струй можно отождествить с вещественным конечномерным пространством. Координатные функции в этом пространстве будем называть коэффициентами струи. Каждый коэффициент струи соответствует моному определенной степени тейлоровского разложения векторного поля.

Рассмотрим простейший монодромный класс который состоит из монодромных ростков, имеющих диаграмму Ньютона, состоящую ровно из одного ребра, процесс раздутия которых завершается после одного шага. Пусть это ребро лежит на прямой т + тЗ = ка- Через щ обозначим множество коэффициентов струи, соответствующих мономам для которых Положим

¿=0

В результате раздутия ростка класса получается векторное поле, не имеющее особых точек в реберных прямоугольниках, поэтому преобразование монодромии исходной особой точки, определенное на оси абсцисс, является аналитическим ростком. Коэффициенты разложения Тейлора этого отображения могут быть вычислены путем решения уравнения в вариациях. В результате этих вычислений получаем, что преобразование монодромии имеет разложение вида

- аналитическая функция от на при некотором N, зависящем

от к. Через дгаЛьСк обозначим вектор из частных производныхпо переменным из Прямое вычисление показывает, что либо при всех четных, либо при всех нечетных к. Множество нейтральных N струй задается системой уравнений где к зависит or N и стремится к бесконечности при N —> оо. В силу вышесказанного ранг матрицы Якоби этой системы, а значит и коразмерность множества нейтральных струй оценивается снизу величиной, приблизительно равной к/2. Аналитическая разрешимость в классе М\ доказана.

В общем случае преобразование монодромии исследуется следующим

образом. Производится раздутие особой точки, при этом окрестность особой точки заменяется цепочкой склеенных вершинных и реберных прямоугольников. Тем самым преобразование монодромии разбивается в суперпозицию отображений соответствия для гиперболических секторов особых точек, расположенных в вершинных прямоугольниках, а также отображений соответствия для частей реберных прямоугольников, которые не содержат особых точек на границе. Последние исследуются так же, как в случае одного ребра путем решения уравнений в вариациях.

Для исследования отображений соответствия в вершинных прямоугольниках используется алгоритм Дюлака приведения к нормальной форме. Предположим, что особая точка в вершинном прямоугольнике, соответствующем вершине с, является невырожденным седлом. Именно с такими вершинами и связаны основные технические трудности доказательства. Обозначим через Хс гиперболическое отношение седла, равное минус отношению его собственных значений.

Рассмотрим простейший монодромный класс М такой, что все особые точки, полученные в результате раздутия и расположенные в вершинных прямоугольниках, являются невырожденными седлами. Гиперболические отношения этих седел являются аналитическими функциями от коэффициентов некоторой струи.

Преобразование монодромии ростка класса М имеет для любого п асимптотическое разложение вида

где Со > 0,1 < 1/1 < VI < ... < Ц < ... 00, Р*(1п р) - многочлен от 1п р, причем последовательность и степени многочленов зависят от

выбора ростка, все определяются через коэффициенты полиномов

определяются коэффициентами некоторой оо при п оо.

Разбиение пространства на полуаналитические подмноже-

ства, участвующие в определении аналитической разрешимости, осуществляется следующим образом. Сначала множество М^"' разбивается на конечное число полуалгебраических подмножеств, на каждом из которых преобразование монодромии имеет разложение вида (5), где являются не совпадающими ни в одной точке полиномами от Хс, степени многочленов определяются индексом к, а их коэффициенты аналитичны на указанных подмножествах. Пусть X - одно из таких подмножеств. При

приближении к границам X коэффициенты полиномов Р* могут терять аналитичность, но таким образом, что множества их нулей остаются аналитическими подмножествами всего а не только X. Пересечение множества нейтральных ЛТп-струй с X задается системой аналитических уравнений, которая получается в результате приравнивания со к 1 и коэффициентов полиномов Р\,...,Рп к нулю.

Далее каждое из построенных подмножеств X делится на конечное -число полуалгебраических подмножеств соответствующих всем ребрам i всех диаграмм Ньютона, участвующих в схеме раздутия, таким образом, что в выполняется неравенство grad для некоторого номера зависящего от причем существует ненулевая частная производная по такому коэффициенту -струи, который не является коэффициентом JVfc-i-струи. Отсюда следует, что коразмерность множества нейтральных iV/f-струй стремится к 00 при к —> 00. Аналитическая разрешимость в классе М доказана.

Общий случай, когда в результате раздутия в вершинных прямоугольниках могут появляться вырожденные седла, легко сводится к только что рассмотренному.

В главе 3 доказаны некоторые технические утверждения об отображениях соответствия, в композицию которых разбивается преобразование монодромии. Эти утверждения используются в доказательстве теоремы об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса. Мы не приводим здесь соответствующих формулировок ввиду их многочисленности и громоздкости.

В части I Добавления доказывается теорема о старшем члене асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки. Результат сформулирован на языке кратного сг-процесса. Формула имеет вид (4) как и аналогичная формула, доказанная в главе 2. Суммирование в этой формуле ведется по максимальным окружностям, вклеенным в процессе раздутия.

В части II Добавления рассматриваются векторные поля класса Mj (Г), имеющие монодромную особую точку и диаграмму Ньютона Г, состоящую из двух четных ребер. Точное определение рассматриваемого класса дается в главе 2. При некоторых дополнительных ограничениях для ростков этого класса вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии.

В статье Березовской Ф.С. и Медведевой Н.Б. 1991 г. вычислена обобщенная первая фокусная величина In с для Г - невырожденных вектор-

ных полей, где Г - диаграмма Ньютона. Однако, оказалось, что если все ребра диаграммы Ньютона Г четные, то In с = 0 на всем пространстве ростков с диаграммой Ньютона Г, то есть преобразование монодромии в этом случае имеет асимптотику

Д (р) = р + 0(р),

а значит невозможно получить достаточное условия фокуса с помощью главного члена асимптотики.

Пусть диаграмма Ньютона Г состоит из двух ребер I и I. Пусть а = т/п - показатель ребра t, rh/h - несократимая дробь, а = т/п - показатель ребра I, т/п - несократимая дробь, а > а.

Пусть векторное поле класса (Г) задает систему (1). Члены ряда Тейлора правой части системы (1) сгруппируем таким образом, что

Х(х,у) = Ё Хк{х,у),

к=О

У(*,У)=ЕЯ(*,»), (6)

к=0

где Хк(х, у) и Yk(x, у) - квазиоднородные полиномы степени к+ко с весами пит переменных х а у соответственно, kq > 0. Обозначим Fk(x, у) = Yk{x,y) - áXk(x,y).

Во второй части Добавления доказана следующая Теорема 5. Пусть V - векторное поле класса (Г), оба ребра диаграммы Ньютона Г четные, (Ло, Во) - векторный коэффициент общей вершины ребер luí. Пусть кроме того, выполняются следущие условия V ^Ва-аА^ > 1; А - иррациональное число;

2)

<0

(Во-бА,)

3) г = тп — пт > 1,

4) тп - четное число.

Тогда преобразование монодромии особой точки (0,0) векторного поля V, определенное на оси х, имеет ( быть может после обращения времени и при подходящем выборе параметра ) асимптотику вида

Д(р) = p(l + F2pi + o(pi)), р-т,

где в случае п = 1

F2 = 2 / Ф^иИ df

*o[X>y)-ñyF0(x,yy*l(X>y)- ñyFi(x,y)

В случае п > 1 Fi = 0 .

Если ф 0, то особая точка - фокус.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Крушина Н.П., Медведева Н.Б. Об аналитической разрешимости проблемы устойчивости в некоторых классах монодромных ростков // Дифф. уравнения. - 2001. Т.37. Вып.9. - С. 1168-1176. .

[2] Медведева Н. Б. Главный член преобразования монодромии моно-дромной особой точки линеен // Сиб. мат. журн.. - 1992. - Т.ЗЗ.

№ 2. - С. 116-124.

[3] Медведева Н. Б. Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по геометрии раздутия // Сиб. мат. журн.. -1997. - Т.38. № 1. - С. 135-150.

[4] Медведева Н. Б. Главный член асимптотики преобразования монодро-мии: вычисление по диаграмме Ньютона // Тр. МИАН им. Стеклова. - 1997. - Т. 213. - С. 226-238.

[5] Медведева Н.Б. Критерий монодромности особой точки векторного поля на плоскости // Алгебра и анализ. - 2001. - Т.13. № 2. -

С. 130-150.

[6] Медведева Н.Б. Проблема различения центра и фокуса в классе ростков с двумя ребрами диаграммы Ньютона // Вестник ЧелГУ. Серия 3. - 2003. - № 3(9). - С. 86-110.

[7] Медведева Н.Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса // ДАН. - 2004. - Т. 394. № 6. - С. 1-4.

[8] Медведева Н.Б., Мазаева Е.В. Достаточное условие фокуса для мо-нодромной особой точки // Труды ММО. - 2002. - Т. 63. - С. 87-114.

[9] Medvedeva N., Batcheva E. The second term of the asymptotics of monodromy map in case of two even edges of the Newton diagram // EJQTDE. Conference Proceedings of the 6-th Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations. No. 19. - Szeged, 2000.

P. 1-15. (www.math.u-szeged.hu/ejqtde/)

[10] Medvedeva N Necessary and Sufficient Conditions for Singular Point to be Monodromic // The third international conference "Differential equations and applications" June 12-17 2000. Book of abstracts. - Saint-Petersburg, 2000. - P. 73.

[11] Medvedeva N.B. Analytic Solvability of the Center-Focus Problem in Some Classes of Vector Fields with a Complex Monodromic Singular Point // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl.2. - 2002. - P. S120-S140.

[12] Medvedeva N.B. On the analytic solvability of the center-focus problem // Hilbert's Sixteenth and Related Problems in Dynamics, Geometry and Analysis. In honor of 60-th anniversary of Yu. S. Ilyashenko. The Independent University of Moscow. December 26-29. 2003. - P.28.

>238 6 5

Подписано в печать 22.09.04. Формат 60 х 84-^. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ.л.0,8. Уч.-изд.л.0,8. Тираж 100 экз. Заказ 235. Бесплатно.

Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра ЧелГУ 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

Введение

1 Процесс раздутия по диаграмме Ньютона.

1.1 Раздутие по диаграмме Ньютона.

1.2 Особые точки, полученные после раздутия.

1.3 Продолжение процесса раздутия.

1.4 Критерий монодромности.

1.5 Пример: семейство монодромных ростков.

1.6 Раздутие в секторах, соответствующих ребрам и вершинам.

1.7 Необходимое и достаточное условие монодромности.

1.8 Доказательство теоремы 1.

1.9 Главный член асимптотики преобразования монодромии

1.10 Пример: вычисление обобщенной первой фокусной величины.

1.11 Схема раздутия.

1.12 Суперпозиция отображений соответствия.

1.13 Отображение соответствия в вершинном прямоугольнике.

1.14 Отображения соответствия в реберных прямоугольниках.

1.15 Отображения соответствия для максимальной линии схемы раздутия.

1.16 Некоторые композиции отображений соответствия.

1.17 Доказательство леммы 1.4.

1.18 Доказательство теоремы 2.

1.19 Доказательство предложения 1.19.

1.20 Доказательство предложения 1.20.

2 Аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса

2.1 Простейшие монодромные классы.

2.2 Особые точки, полученные в результате раздутия.

2.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем ребру.

2.4 Случай одного ребра.

2.5 Определение расширенных отображений соответствия

2.6 Случай двух ребер и невырожденной вершины.

2.7 Случай двух невырожденных ребер и вырожденной вершины.

2.8 Случай нескольких невырожденных ребер.

2.9 Случай невырожденных вершин.

2.10 Асимптотическое разложение преобразования монодромии

2.11 Обобщенная диаграмма Ньютона.

2.12 Множества, соответствующие ребрам.

2.13 Преобразование коэффициентов струи при сдвиге.

2.14 Окончание доказательства леммы 2.7.

2.15 Случай произвольного простейшего монодромного класса

3 Отображения соответствия

3.1 Нормальная форма в окрестности невырожденного седла

3.2 Нормальная форма в резонансном случае.

3.3 Отображение соответствия в окрестности невырожденного седла.

3.4 Отображение соответствия в резонансном случае.

3.5 Нормальная форма в окрестности вырожденной особой точки

3.6 Отображение соответствия в окрестности вырожденной особой точки.

3.7 Расширенные отображения соответствия в случае невырожденной вершины.

3.8 Расширенные отображения соответствия в резонансном случае.

3.9 Расширенные отображения соответствия в случае вырожденной вершины.

3.10 Случай вырожденных ребер.

3.11 Расширенные отображения соответствия в случае верхней вершины.

Добавление

4 Часть I. Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по геометрии раздутия

4.1 Венок Мебиуса.

4.2 „Хорошее раздутие".

4.3 Изображающая точка.

4.4 Существенные оси.

4.5 Функция

4.6 Дерево раздутия.

4.7 Ключевые вершины.

4.8 Индекс ребра дерева раздутия.

4.9 Характеристика суперпозиции отображений соответствия.

4.10 Обобщенная первая фокусная величина.

4.11 Примеры.

4.12 Лемма об отображениях соответствия.

4.13 Ветви дерева раздутия.

4.14 Доказательство теоремы 4.

4.15 Отображение соответствия для правильной ветви.

5 Часть II. Второй член асимптотики преобразования мо-нодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона

5.1 Асимптотика преобразования монодромии.

5.2 Раздутие особенности.

5.3 Замена переменных в секторе, соответствующем ребру диаграммы Ньютона.

5.4 Отраженные векторные поля.

5.5 Отображение соответствия в прямоугольнике Раа.

5.6 Параметризация трансверсалей.

5.7 Отображения соответствия в прямоугольниках, соответствующих ребрам.

5.8 Коэффициенты суперпозиции отображений соответствия.

1. Результаты. В работе доказана аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса и получены эффективные формулы для коэффициентов при первых двух членах асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости. Получено также необходимое и достаточное условие того, чтобы особая точка была монодромной. Используются два варианта метода разрешения особенностей: раздутие по диаграмме Ньютона и сг— процесс.

2. Топология фазового портрета. Рассмотрим задачу построения фазового портрета вещественно-аналитического векторного поля в окрестности особой точки на плоскости с точностью до орбитальной топологической эквивалентности. Другими словами нас будет интересовать поведение фазовых кривых в окрестности особой точки а также направление движения по ним, но не скорость движения.

Если матрица линейной части поля в особой точке невырождена, то особая точка называется невырожденной и может быть, как известно, одного из следующих типов: седло, узел, фокус, центр.

Если матрица линейной части векторного поля в особой точке имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение, то особая точка называется элементарной. Векторное поле в окрестности элементарной особой точки может быть приведено к полиномиальной нормальной форме с помощью гладкой замены переменных. Список нормальных форм приведен в ([10], с.88). С точки зрения топологии локального фазового портрета элементарная особая точка кроме вышеперечисленных четырех типов может быть еще только седло-узлом. Топологический тип невырожденной особой точки, кроме случая центра по линейным членам, определяется набором собственных значений матрицы линейной части поля в этой точке. О различении центра и фокуса в последнем случае подробнее будет сказано ниже. Для построения фазового портрета в окрестности вырожденной элементарной особой точки достаточно произвести конечное число арифметических действий над коэффициентами разложения Тейлора векторного поля в особой точке и решить конечное число алгебраических уравнений.

Если особая точка неэлементарна, то исследование ее окрестности производится с помощью того или иного варианта метода разрешения особенностей (раздутия). Суть этого метода состоит в следующем. Проколотая окрестность особой точки с помощью замен переменных специального вида превращается в окрестность или полуокрестность вклеенной инвариантной кривой, содержащей особые точки. Векторные поля, полученные после этих замен переменных, имеют только элементарные особые точки. Поскольку фазовые портреты в окрестностях элементарных особых точек всегда могут быть построены, то проектируя картинки, полученные после раздутия, в окрестность исходной особой точки, получаем фазовый портрет в этой окрестности. В статье Ф.Дюмортье [81] этот метод подробно описан в случае полярного раздутия, а также дается орбитальная топологическая классификация особых точек нескольких младших коразмерностей, имеющих характеристическую траекторию, то есть траекторию, входящую в особую точку с определенной касательной. Согласно [81] топология фазового портрета в окрестности особой точки с характеристической траекторией исследуется по конечному отрезку ряда Тейлора этого поля в особой точке с помощью конечного числа арифметических действий над тейлоровскими коэффициентами и решений алгебраических уравнений. Различные варианты метода разрешения особенностей рассматриваются в [75], [71], (38], (371, [22], [73], [74], [27], [13], [6], [17], [18], [15], (69], [88], [40], [15], [19].

В случае, когда у особой точки нет ни одной характеристической траектории, описанная выше схема построения фазового портрета с помощью разрешения особенностей не работает, поскольку по результатам раздутия можно только констатировать факт отсутствия характеристических траекторий и совсем невозможно понять, замыкаются траектории или нет.

3. Основная альтернатива.

Определение. Фазовая кривая векторного поля на плоскости называется характеристической траекторией особой точки, если она входит в эту точку при t —> +оо или t — оо, касаясь некоторой прямой.

Определение. Особая точка векторного поля называется монодром-нощ если существуют окрестность этой точки и дуга с началом в этой точке, гладкая и трансверсальная полю всюду вне начала, такие, что векторное поле в окрестности с выброшенной дугой топологически орбитально эквивалентно стандартному (рис.1). Точнее, существует непрерывное отображение замкнутого прямоугольника на замыкание окрестности особой точки, гомеоморфно переводящее внутренность прямоугольника на дополнение окрестности до упомянутой трансверсальной дуги и преобразующее горизонтальные прямые - в фазовые кривые исходного векторного поля; вертикальные стороны оно отображает на трансверсаль, а нижнюю горизонтальную сторону переводит в особую точку. Каждая фазовая кривая исходного поля с началом на трансвер-сали, достаточно близким к особой точке, сделав один виток вблизи этой точки, возвращается на ту же трансверсаль. Отображение, переводящее начальную точку каждой такой дуги в ее конец (точку первого возвращения на трансверсаль), называется преобразованием монодро-мии особой точки (рис.1).

Каждая траектория в окрестности монодромной особой точки является или спиралью, или окружностью.

Рис. 1:

Во внутренних точках трансверсали преобразование монодромии имеет тот же класс гладкости, что и векторное поле, и аналитично вместе с ним. Однако оно может не продолжаться гладко в начальную точку трансверсали даже в случае аналитического векторного поля.

Теорема. [10] Вещественно-изолированная особая точка аналитического векторного поля на плоскости либо имеет характеристическую траекторию либо монодромна.

Легко привести пример гладкого векторного поля, особая точка которого не имеет характеристической траектории и не является моно-дромной [10].

Из теоремы конечности числа предельных циклов [85] следует, что монодромная особая точка аналитического векторного поля на плоскости является либо центром, либо фокусом.

Росток векторного поля в монодромной особой точке будем называть монодромным ростком.

Задачу об исследовании топологии фазового портрета в окрестности монодромной особой точки принято называть проблемой различения центра и фокуса. Топологический тип монодромной особой точки может быть только одним из следующих: устойчивый фокус, неустойчивый фокус и центр. Однако, поскольку одним из основных результатов данной диссертации является доказательство того факта, что „центр" имеет коразмерность бесконечность, то на самом деле мы имеем дело с задачей различения устойчивого и неустойчивого фокуса, которую мы далее будем называть проблемой различения центра и фокуса отдавая дань традиции.

4. Проблема различения центра и фокуса. Проблема различения центра и фокуса является классической задачей качественной теории дифференциальных уравнений. Перечислим основные классы мо-нодромных ростков, в которых эту проблему можно считать решенной.

Наиболее популярный и широко исследованный класс - это ростки, имеющие в особой точке центр по линейным членам. Необходимым и достаточным условием центра ([59],[38], [10]) в этом случае является существование формального первого интеграла. Условием же существования последнего является обращение в ноль бесконечного числа Ля-пуновских фокусных величин, которые являются полиномами от Тейлоровских коэффициентов ростка. Существует большое количество работ, посвященных нахождению условий центра для различных классов векторных полей в случае центра по линейным членам (см.например [86], [80], [35], [36], [66],[67], [2], [68], [3], [101], [102], [103], [87]). Мы не останавливаемся на перечислении всех этих работ, поскольку с одной стороны их очень много, а с другой стороны настоящая работа посвящена исследованию более сложных монодромных особых точек, хотя почти все ее результаты справедливы и для случая центра по линейным членам. Обзор литературы по проблеме различения центра и фокуса имеется в монографиях [3], [68].

Следующий класс - монодромные ростки, имеющие в особой точке линейную часть в виде ненулевой нильпотентной жордановой клетки. Этот класс впервые был исследован A.M. Ляпуновым [38] с помощью раздутия, использующего специальные функции. Условием центра здесь как и в случае центра по линейным членам является обращение в ноль бесконечного числа полиномов от Тейлоровских коэффициентов ростка. Проблема различения центра и фокуса для особых точек этого класса исследуется также например в работах [4], [60], [3], [100], [21].

Еще один класс монодромных ростков исследован в [58]. Пусть разложение Тейлора векторного поля в особой точке ноль начинается с г-ых степеней : (Хг + . + (Уг + . г - нечетно. Говорят, что росток векторного поля не имеет в особой точке ноль исключительных направлений, если однородный многочлен —yXr + xYr не имеет вещественных линейных множителей. Ростки без исключительных направлений всегда монодромны. Переход к полярным координатам и последовательное решение уравнений в вариациях позволяют выразить условия центра в виде равенства нулю бесконечного числа интегралов, которые являются аналитическими функциями от коэффициентов ростка. Проблема различения центра и фокуса в классе ростков без исключительных направлений исследуется например в [17], [61], [62], [3], [21].

Общим для всех трех перечисленных случаев является следующее. С помощью специальной замены переменных векторное поле, имеющее в нуле монодромную особую точку одного из перечисленных типов, может быть превращено в векторное поле, определенное в полуокрестности инвариантной окружности, на которой нет особых точек. Другими словами, исследование векторного поля в окрестности особой точки может быть сведено к исследованию векторного поля в окрестности замкнутой траектории. Преобразование монодромии в этих случаях является

ОО аналитическим ростком А(ж) = сх + £ СкХк, тейлоровские коэффицик=2 енты которого могут быть вычислены путем последовательного решения уравнений в вариациях. Поскольку в случае центра А (х) = х, то различение центра и фокуса состоит в сравнении преобразования моно-дромии с тождественным отображением. Если хотя бы одна из величин In с, Ck отлична от нуля, то особая точка является фокусом.

Основной целью настоящей работы является исследование монодром-ных особых точек, которые не относятся к перечисленным классам. Как уже отмечалось, для исследования таких сложных особых точек применяется метод раздутия особенностей. Поскольку большинство результатов диссертации сформулированы в терминах диаграмм Ньютона и раздутия, связанного с диаграммами Ньютона, начнем с соответствующих определений.

5. Диаграмма Ньютона. Рассмотрим аналитическое векторное поле У в окрестности точки ноль на плоскости. Оно определяет динамическую систему, которую нам будет удобно записывать в виде ух - Х(х, у), ху=: Y(x, у). (0.1)

Здесь функции X и Y делятся на у и х соответственно.

Рассмотрим разложения Тейлора £ OfjxУ, Y(x,y)= £ bijXУ, (0.2) i,j> 1 i,j>l

Определения. 1. Векторным коэффициентом точки (i,j) называется вектор (a,ij,bij). Носителем системы (0.1), а также векторного поля V называется множество таких пар (i,j), что (а^Ь^) Ф (0,0). Показателем точки носителя (г, j) называется величина bij/aij, если a,ij ф 0 оо, если dij = 0.

2. Рассмотрим множество

J{(iJ) + Klh (0.3)

Сi,j) где R+ - положительный квадрант, объединение берется по всем точкам (г, j), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона векторного поля V (см.рис.2). Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона, а их концы - ее вершинами.

Рис. 2:

3. Если граница выпуклой оболочки множества (0.3) содержит луч, который не лежит на координатной оси, то будем называть его неограниченным ребром диаграммы Ньютона.

4. Если вершина диаграммы Ньютона не лежит ни на одной координатной оси, то она называется внутренней, в противном случае граничной.

5. Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное рациональное число, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат. Если диаграмма Ньютона имеет неограниченное горизонтальное ребро, то припишем ему показатель равный оо, а если вертикальное, то - 0. Каждому ребру диаграммы Ньютона сопоставляется несократимая дробь т/п, равная показателю этого ребра. Для вертикального неограниченного ребра положим т = 0,п = 1, для горизонтального -т = 1,п = 0.

6. Пусть I и I - два примыкающих к внутренней вершине с сверху и снизу ребра (или неограниченных ребра) с показателями а к а (0 < а < а < оо,) (3 - показатель вершины с. Вершина с называется невырожденной, если /3 а, (3 ^ а. Вершина с называется вырожденной вверх, если (3 = а, и вырожденной вниз, если (3 = а.

Заметим, что все представители одного ростка аналитического векторного поля в особой точке имеют один и тот же носитель, диаграмму Ньютона, а также векторные коэффициенты всех точек носителя.

6. Метод раздутия, связанный с диаграммой Ньютона. Подход к исследованию особых точек векторных полей на плоскости с точки зрения диаграммы Ньютона традиционен. Например, в случае, когда у особой точки имеется характеристическая траектория, по диаграмме Ньютона можно построить фазовый портрет в окрестности этой особой точки ([17],[13]), для „большинства" ростков векторных полей с данной диаграммой Ньютона можно построить асимптотики траекторий, входящих в особую точку, а также вычислить ее индекс [17], [13], [11],[12]. Кроме того за последнее время были получены результаты, касающиеся различения центра и фокуса и сформулированные на языке раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона ([15], [76], [52], [14], [42], [43], [48], [49], [57]).

В статьях [15],[52], [76], [53] ,[57] и §1.1 главы 1 описан один шаг разда-тия, связанного с диаграммой Ньютона. Близкие схемы даны в [17], [13], [11], [71], [6], [37]. Этот шаг состоит в следующем. Окрестность нуля в первом квадранте разбивается на криволинейные секторы, соответствующие ребрам и вершинам диаграммы Ньютона, каждый сектор с помощью степенной замены переменных превращается в прямоугольник. Границы прямоугольников склеиваются с помощью функций перехода.

Векторное поле, полученное после степенной замены переменных и определенное в прямоугольнике, соответствующем ребру диаграммы Ньютона, имеет, вообще говоря, более простые особые точки, а векторное поле, определенное в прямоугольнике, соответствующем внутренней вершине, всегда имеет единственную особую точку, притом элементарную.

Этот процесс продолжается по индукции, если поместить начало координат в особую точку, полученную после раздутия и расположенную в прямоугольнике, соответствующем ребру, а затем произвести вышеописанный процесс в соответствии с диаграммой Ньютона векторного поля, полученного после раздутия.

Описанный метод разрешения особенностей является наиболее быстрым среди всех известных в настоящее время. Для сравнения объема вычислений при использовании различных методов раздутия особенностей можно привести следующее высказывание: для любого натурального п существует векторное поле с особой точкой, процесс раздутия которого по диаграмме Ньютона осуществляется с помощью двух замен переменных, а кратный сг-процесс (а также полярное раздутие) состоит более, чем из п шагов [47]. В главе 1 доказывается, что процесс раздутия, связанный с диаграммами Ньютона, в случае вещественно-изолированной особой точки конечен.

В главе 1 доказаны две теоремы: критерий монодромности особой точки, позволяющий для любой вещественно-изолированной особой точки определить, имеет она характеристическую траекторию или является монодромной, а также теорема о главном члене асимптотики преобразования монодромии, где вычисляется логарифм коэффициента при главном члене, отличие которого от нуля гарантирует наличие фокуса в особой точке. Результаты формулируются в терминах диаграмм Ньютона ростков векторных полей, получаемых в процессе раздутия, связанного с диаграммами Ньютона.

Обе теоремы сформулированы таким образом, что их применение может быть осуществлено с помощью ЭВМ.

В формулировках обеих этих теорем используется понятие Ньютонова дерева раздутия, которое мы сейчас определим.

По данному ростку векторного поля Vo с вещественно-изолированной особой точкой (0,0) построим граф, который является деревом, следующим образом. Вершинам дерева поставим в соответствие ростки векторных полей в особых точках, которые получаются в процессе раздутия в прямоугольниках, соответствующих ребрам диаграммы Ньютона. Корнем дерева будем считать росток исходного векторного поля Vo- Пусть Vi,., V^ - все ростки векторных полей в изолированных особых точках, расположенных в прямоугольниках, соответствующих ребрам диаграммы Ньютона векторного поля Vq. Поставим росткам V^1 в соответствие вершины дерева, соединим эти вершины отрезками с корнем. Далее процесс продолжается по индукции.

Построенный граф будем называть Ньютоновым деревом раздутия. Обозначим через V - множество всех вершин Ньютонова дерева раздутия. Той же буквой будем обозначать множество ростков, соответствующих этим вершинам.

7. Критерий монодромности.

Определение. Для каждой внутренней вершины с диаграммы Ньютона векторного поля V определим две величины кс и кс следующим образом. Пусть I и t - два примыкающих к этой вершине сверху и снизу ребра (или неограниченных ребра) с показателями аиа(0<а<а< оо.) Занумеруем целочисленные точки на ребре (или неограниченном ребре) £, присваивая вершине с номер ноль. Через кс обозначим номер ближайшей к вершине с целочисленной точки, лежащей на £, которая является точкой носителя и показатель /3 которой отличен от а. Пусть (a, b) - ее векторный коэффициент. Если такой точки не существует, то положим кс = оо.

Аналогично, перенумеруем целочисленные точки на ребре (или неограниченном ребре) I, присваивая вершине с номер ноль. Через кс обозначим номер ближайшей к вершине с целочисленной точки, лежащей на £, которая является точкой носителя и показатель (3 которой отличен от показателя а. Пусть (a, b) - ее векторный коэффициент. Если такой точки не существует, то положим кс = оо.

Замечание. Поскольку показатель вершины с отличен или от а или от а, то по крайней мере одна из величин кс, кс равна нулю, а по крайней мере один из показателей (3, (3 совпадает с показателем вершины с.

Для каждой внутренней вершины с диаграммы Ньютона векторного поля V £ V, которая не является самой нижней (то есть имеющей минимальную ординату) вершиной диаграммы Ньютона, и для которой кс + кс< оо, определим величину vc по формуле vc — {b — aa)(b — аа).

Теорема 1. Особая точка (0,0) аналитического векторного поля Vq является монодромной тогда и только тогда, когда множество вершин V ее Ньютонова дерева раздутия конечно и выполняются условия

1) диаграмма Ньютона ростка Vo имеет две граничных вершины;

2) верхняя вершина диаграммы Ньютона любого ростка V 6 V, V ^ Vo, является внутренней; ее нижняя вершина является граничной;

3) диаграмма Ньютона любого ростка V G V, V ф Vo, не содержит точки (1,1);

4) для любой внутренней вершины с диаграммы Ньютона любого ростка V £ V величина кс + кс конечна;

5) для любой внутренней вершины диаграммы Ньютона любого ростка V G V выполняется неравенство vc > 0;

6) для любой внутренней вершины с диаграммы Ньютона любого ростка V £ V все величины kcn -f кстг, кст + кспг являются четными числами, zdemjn и rh/fi - несократимые дроби, равные соответственно а и а - показателям ребер (неограниченных ребер), примыкающих к вершине с, а < а.

Теорема 1 доказывается в главе 1.

8. Обобщенная первая фокусная величина. Монодромную особую точку будем называть сложной, если ее окрестность никаким методом раздутия особенностей не возможно превратить в окрестность замкнутой фазовой кривой, а лишь в окрестность сложного цикла -инвариантной кривой, содержащей особые точки. Преобразование моно-дромии сложной монодромной особой точки не является аналитическим ростком, а представляет из себя полурегулярное отображение ([28],[29]).

Преобразование монодромии монодромного сложного цикла впервые было исследовано Дюлаком [28]. Суть метода Дюлака состоит в следующем. Преобразование монодромии сложного цикла разбивается в композицию аналитических отображений и отображений соответствия для гиперболических секторов элементарных особых точек. Последние отображения как правило не являются аналитическими, а имеют более сложную структуру. В результате асимптотический ряд компози

ОО ции этих отображений имеет вид А(х) = cxv° + £ Pfc(lnx)xVk, где {щ} - строго монотонно возрастающая последовательность положительных чисел, стремящаяся к бесконечности, - многочлены ([28],[29]).

В [29],[10] Ю.С. Ильяшенко предложил применить метод Дюлака для решения проблемы различения центра и фокуса в случае сложной монодромной особой точки. Имеет место следующая

Теорема. При подходящем выборе трансверсали главный член асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости линеен.

Идея доказательства этой теоремы принадлежит Ю.С.Ильяшенко [10], полное доказательство опубликовано в [50]. Мы не приводим доказательство этой теоремы в настоящей работе, поскольку в каждой из теорем 2 и 4 этот факт устанавливается одновременно с формулой для коэффициента при главном члене.

Определение. [10] Пусть главный член асимптотики преобразования монодромии есть х —> сх, с > 0. Величина In с называется обобщенной первой фокусной величиной сложной монодромной особой точки.

Если обобщенная первая фокусная величина отлична от нуля, то монодромная особая точка является фокусом.

Аналогами Ляпуновских фокусных величин в случае сложной моно-дромой особой точки являются величина In с и коэффициенты полиномов Pk• Алгоритм их вычисления в самом общем виде изложен в [10].

Для вычисления обобщенной первой фокусной величины использовались по крайней мере три варианта метода раздутия особенностей: полярное раздутие, сг-процесс и метод диаграмм Ньютона.

В [44], [46], [51], [41] для вычисления величины In с используется сг-процесс, в [14], [15], [76], [52], [57], [48] - метод диаграмм Ньютона. Случай, когда диаграмма Ньютона состоит из одного ребра, исследуется в книге [17], а также в статьях [40],[19],[20],[21],[5]. Проблема различения центра и фокуса в различных частных случаях векторных полей со сложной монодромной особой точкой исследуется в [22], [26], [63], [64], [65], [70], [82], [83], [84], [90], [91].

Каждый из упомянутых способов раздутия имеет свои достоинства и недостатки. При полярном раздутии, например, картинки после раздутия расположены на плоскости, но в формулах участвуют трансцендентные функции. При сг-процессе, наоборот, замены переменных задаются простыми формулами, но картинки расположены на двумерном неориентируемом многообразии древообразной структуры. Метод диаграмм Ньютона использует степенные замены переменных и плоские картинки, к тому же он является более быстрым, чем первые два. Однако окрестности особых точек, полученных после раздутия, склеиваются из полуокрестностей, расположенных в разных местах.

В [15],[76], [14], [16] величина In с вычислена для так называемых Г-невырожденных ростков векторных полей, которые определяются с помощью диаграммы Ньютона векторного поля в особой точке. В [52], [48] этот результат был обобщен для некоторого более широкого множества векторных полей.

В настоящей работе вычисляется величина In с для монодромной особой точки произвольного аналитического векторного поля на плоскости. А именно доказаны две формулы. В первой результат формулируется в терминах диаграмм Ньютона ростков векторных полей, получаемых в результате раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона (теорема 2, глава 1). Во второй результат формулируется в терминах кратного сг-процесса и неориентируемых многообразий, которые получаются в результате этого процесса (теорема 4, добавление).

Выражение для In с как в той так и в другой формуле имеет вид линейной комбинации главных значений интегралов следующего вида где суммирование ведется либо по вершинам дерева раздутия, имеющим максимальную метку либо по максимальным ребрам всех диаграмм Ньютона ростков векторных полей, возникающих в процессе раздутия. Точные формулировки соответствующих теорем требуют многочисленных определений и вместе с ними приводятся ниже (глава 1 и добавление).

Прокомментируем одну из формул. В случае формулы, использующей процесс раздутия по диаграмме Ньютона под интегралом в числителе и знаменателе стоят многочлены, определяемые по ребрам диаграммы Ньютона. Одновременно с выводом формулы для In с доказывается, что главный член преобразования монодромии линеен. Это происходит из-за того, что в композиции отображений соответствия, дающей преобразование монодромии, сингулярности вида жА, е" и им обратные в определенном смысле взаимно уничтожаются. Механизм этого взаимного уничтожения объяснен впервые в [50]. Объяснение основано на топологических свойствах "венка Мебиуса неориентируемой поверхности, получаемой при раздутии сложной монодромной особой точки. Другое объяснение этого явления дано в главе 1 в терминах диаграммы Ньютона. Оно использует так называемое "раздвоение особых точек"(§1.2

Основной вклад в выражение для In с дают "регулярные отображения вдоль вклееных дуг". Главные члены этих отображений линейны. Логарифм произведения мультипликаторов таких отображений, соответствующих ребру в пределе равен главному значению интеграла в формуле (0.4).

Свойство ребра диаграммы Ньютона быть максимальным связано с количеством и расположением полученных после раздутия вырожденных и невырожденных особых точек, соответствующих вершинам диаграмм Ньютона, участвующих в процессе раздутия.

Отображения соответствия для гиперболических секторов невырожденных особых точек имеют степенные главные члены. Отображения со

0.4) гл.1). ответствия для гиперболических секторов вырожденных особых точек бывают двух видов: отображения соответствия К центральному многообразию (К) и отображения соответствия ОТ центрального могообра-зия (ОТ). Первое содержит сингулярность вида е-*, второе обратно к первому.

Разложению преобразования монодромии в суперпозицию отображений соответствия для особых точек, а также регулярных отображений, соответствует график кусочно-линейной непрерывной функции, названной в [29] "характеристикой суперпозиции". Отображению с номером к в суперпозиции, считая справа (обозначается А &) соответствует отрезок графика характеристики над промежутком [к — 1, к] оси абсцисс. Он направлен под 45° вниз (соответственно вверх), если А& - отображение К (соответственно ОТ). Во всех остальных случаях отрезок, соответствующий Д^, горизонтален.

Таким образом, высота, на которой находится отрезок графика характеристики, соответствующий отображению А^, вычисляется рекур-рентно. Эта высота и есть определяемая ниже "метка ребра". Ребро с максимальной меткой называется максимальным.

Внешне предыдущее определение никак не напоминает определение §1.9 главы 1. Тем не менее, эти определения эквивалентны по следующей причине. В суперпозиции отображений соответствия, представляющей преобразование монодромии, чередуются отображения соответствия, отвечающие ребрам и вершинам всех диаграмм Ньютона, участвующим в процессе раздутия, в определенном древообразном порядке. Собственные значения элементарной особой точки, соответствующей вершине с диаграммы Ньютона, пропорциональны величинам b — аа, b — аа, где (а, 6) - векторный коэффициент вершины с, а, а> - показатели примыкающих к ней ребер (неограниченных ребер). Условие (3 = а или (3 = а равносильно наличию седлоузла в прямоугольнике, соответствующем вершине с. Первое из них означает, что соответствующее отображение - К центральному многообразию, а второе - ОТ него.

Все отображения, соответствующие отрезкам характеристики не максимальной высоты, не вносят вклад в мультипликатор преобразования монодромии. Действительно, при подходящем выборе начальной транс-версали все такие отображения могут быть сгруппированы в так называемые "забывающие блоки"вида /q1 о (axu -f.) о /0, где /о = е~* (см.

29]). Как показано в [29] суперпозиция такого вида имеет линейный главный член с мультипликатором Этот коэффициент затем сокращается с мультипликатором и, возникающим в аналогичной суперпозиции. Этим объясняется выбор слагаемых с максимальной меткой в формуле (0.4).

Коэффициенты щ в формуле (0.4) возникают при взятии суперпозиции двух отображений со взаимнообратными степенными главными членами и отображения с линейным главным членом, при этом коэффициент при линейном главном члене возводится в степень, например если хх о Сх ох* = С\х, то InCi = Л In С.

При отражении векторного поля относительно координатных осей в прямоугольнике, соответствующем ребру I его диаграммы Ньютона, оказываются определенными четыре отображения соответствия по числу отраженных векторных полей. Если ребро четное (то есть несократимая дробь, равная его угловому коэффициенту, имеет четный числитель или знаменатель), то мультипликаторы этих отображений соответствия попарно сокращаются в силу нечетности подинтегральной функции, участвующей в их выражении через интегралы. Отсюда et = 0, если ребро четное. В случае нечетного ребра эти мультипликаторы напротив попарно совпадают, что приводит к удвоению интеграла в формуле (0.4).

Результаты главы 1 опубликованы в [53], [95], [57], [99].

Теорема о вычислении старшего коэффициента преобразования мо-нодромии, сформулированная на языке сг-процессов, доказывается в Добавлении и опубликована в [51].

9. Алгебраическая разрешимость. Пусть Wo - пространство всех ростков аналитических векторных полей с особой точкой (0,0) € R2; Jo* - пространство &-струй векторных полей с особой точкой (0,0), Рк ' Wo Jq - естественная проекция. Если W - подмножество Wo, то через WW будем обозначать множество fc-струй ростков из W. Ростки из Wo, имеющие в нуле монодромную особую точку, будем называть монодромными.

Понятие алгебраически разрешимой локальной задачи введено В.И. Арнольдом в [7]. Согласно Арнольду В.И. под задачей понимается разбиение пространства ростков И^о на классы Wo = U'S'i, где i 6 /, I— i некоторое множество индексов. Если например рассматривается задача об устойчивости по Ляпунову, то таких классов всего два: Si, состоящий из устойчивых ростков (то есть ростков, имеющих устойчивую особую точку) и S2, состоящий из неустойчивых ростков.

Определение. Подмножество вещественного числового пространства называется полуалгебраическим множеством, если оно является объединением конечного числа множеств, задаваемых конечным числом алгебраических уравнений и неравенств.

Определение. ([7], [10]). Задача о ростках векторных полей в особой точке (0,0) 6 R2 называется алгебраически разрешимой, если для любого к существует такое разбиение пространства струй Jok на непересекающиеся полуалгебраические подмножества Jok = U Jk,i U «/£, что е/ PkXjk,i С Sh г е 1,

2) lim codimJL = 00.

Например, если речь идет о различении устойчивых и неустойчивых ростков, то все ростки, fc-струи которых принадлежат Jj-j, одновременно либо устойчивы, либо неустойчивы.

Доказано [9], что проблема устойчивости особой точки векторного поля в R" при п > 2 не является алгебраически разрешимой.

Можно говорить об алгебраической разрешимости локальной задачи не в пространстве всех ростков Wq, а ограничиваясь некоторым его подмножеством W. Тогда п.1) определения заменяется условием WHp^JkjCSi.

Аналогично алгебраически разрешимым могут быть определены аналитически разрешимые локальные задачи; множества J^, J'k в этом случае должны быть полуаналитическими множествами в пространстве струй или аналитическими подмножествами множества струй ростков из рассматриваемого класса [10],[31],[29].

Обзор результатов, касающихся алгебраической и аналитической разрешимости некоторых локальных задач, приведен в [10],[31]. Известно например, что проблема устойчивости по Ляпунову и проблема топологической классификации особых точек аналитических векторных полей (в Rn) не являются ни алгебраически ни аналитически разрешимыми [9],[30]. Построенные в [9],[30] примеры относятся к многомерному случаю (п > 2). В случае п = 2 границы устойчивости устроены более просто.

Множество всех монодромных ростков обозначим буквой М.

Из теорем о раздутии особенностей (см. например [81]) следует, что проблема различения монодромных ростков и ростков с характеристической траекторией алгебраически разрешима. Более того, множество М представляет собой счетное объединение м = им„ а полуалгебраических множеств различных коразмерностей, состоящих из монодромных ростков.

Из тех же теорем вытекает, что проблема устойчивости по Ляпунову и проблема орбитальной топологической классификации на множестве ростков с характеристической траекторией алгебраически разрешимы.

Из результатов [10], [31],[59], [38], [1],[100] легко вывести, что в классе ростков, имеющих центр по линейным членам, а также в классе ростков, имеющих линейную часть в виде нильпотентной жордановой клетки, проблема различения центра и фокуса, а следовательно и проблема устойчивости алгебраически разрешима.

Как было обнаружено Ю.С. Ильяшенко [32], существуют множества Ма, на которых проблема различения центра и фокуса, а следовательно и проблема устойчивости не является алгебраически разрешимой. Более точно, неалгебраическая граница устойчивости была обнаружена в некотором семействе, состоящем из ростков без исключительных направлений. Тем самым проблема различения центра и фокуса не является алгебраически разрешимой на всем множестве монодромных ростков.

10. Аналитическая разрешимость.

В случае, когда проблема не является алгебраически разрешимой, было предложено (В.И.Арнольд, Ю.С.Ильяшенко) использовать понятие аналитической разрешимости [10], [31].

Определение. Подмножество V области D конечномерного пространства называется полуаналитическим подмножеством области D, если у каждой точки а Е D существует ее окрестность U в области D такая, что пересечение VnU является конечным объединением множеств, задаваемых конечным числом уравнений вида / = 0 и неравенств вида g > 0, где / ир - аналитические в U функции.

Полуаналитическое подмножество области может не быть полуаналитическим подмножеством всего пространства. Например, множество на плоскости, задаваемое уравнением у — sin^ = 0 является полуаналитическим подмножеством области х > 0, но не является полуаналитическим подмножеством всей плоскости.

На некотором множестве W С Wo рассмотрим бинарную локальную задачу, то есть задачу, в которой решается вопрос о принадлежности ростка к одному из двух классов S\ и W Э Si U S2. Примеры: 1) задача об устойчивости, 2) проблема различения центра и фокуса на любом подмножестве W С М\ в этом случае Si =" устойчивый фокус", S2 ="неустойчивый фокус".

Определение. Задача называется аналитически разрешимой в классе W С Wo, если для любого к существует такое разбиение некоторой окрестности Uk множества W^ в пространстве Jo* на непересекающиеся полуаналитические подмножества этой окрестности Uk = Jk,i U Jk,2 U J'k, что 1) W Прк1 Jk,i С Si, i = 1,2, 2) lim codimJj, = 00. к—too

Множество J'k называется множеством нейтральных к— струй.

Заметим, что если в каждом из каких-либо двух классов задача аналитически разрешима, то отсюда вовсе не следует ее аналитическая разрешимость в объединении этих классов.

Доказано [30], что проблема устойчивости и проблема топологической классификации особых точек векторных полей в R" при п > 2 не являются аналитически разрешимыми.

Определение. Подмножество W С Wo называется полуалгебраическим множеством, если оно является объединением конечного числа подмножеств, задаваемых конечным числом алгебраических уравнений и неравенств на координаты iV-струи при некотором N.

11. Аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса.

Для того, чтобы сформулировать основной результат главы 2, дадим определение простейших монодромных классов, на которые разбивается все множество монодромных ростков.

Процесс раздутия, связанный с диаграммами Ньютона, подробно описан в §1.1 и состоит в следующем: окрестность нуля разбивается на секторы, соответствующие ребрам и вершинам диаграммы Ньютона; в каждом из этих секторов делается своя степенная замена переменных, которая превращает сектор в прямоугольник; в прямоугольниках, соответствующих вершинам (вершинных прямоугольниках), имеется только одна особая точка, причем элементарная. В прямоугольниках, соответствующих ребрам (реберных прямоугольниках), могут появляться особые точки, нуждающиеся в дальнейшем раздутии. В случае монодромной особой точки процесс продолжается до тех пор, пока в реберных прямоугольниках не перестанут появляться особые точки. Доказано, что этот процесс конечен.

Описанный процесс раздутия сопровождается построением схемы диаграмм. Изобразим диаграмму Ньютона исходного ростка. Если в прямоугольнике, соответствующем ребру I данной диаграммы Ньютона, имеются особые точки векторного поля, полученного после раздутия, то занумеруем их в определенном порядке и построим диаграммы Ньютона ростков этого векторного поля в этих точках. Направим стрелку от ребра I к каждой из новых диаграмм. Далее - по индукции. Разметим построенную схему следующим образом. Каждой внутренней вершине диаграммы Ньютона поставим в соответствие ее метку. Если вершина с невырожденная, то ее метка равна 1, если вырожденная вниз, то ее метка равна 1 + кс. Если же вершина с вырождена вверх, то ее метка равна 1/(1 -Ь кс).

Определение. Простейшим монодромным классом называется класс эквивалентности монодромных ростков: два монодромных ростка эквивалентны, если они имеют одинаковую размеченную схему диаграмм.

Из теоремы Тарского-Зайденберга следует, что простейшие моно-дромные классы являются полуалгебраическими множествами. В главе 2 доказывается, что все множество монодромных ростков М является счетным объединением простейших монодромных классов.

Примерами простейших монодромных классов являются 1) множество ростков с невещественными собственными значениями линейной части векторного поля в особой точке, 2) множество ростков без исключительных направлений с фиксированной степенью младших членов.

Основным результатом, доказанным в главах 2 и 3, является следующая

Теорема 3. Проблема различения центра и фокуса аналитически разрешима в любом простейшем монодромном классе.

Утверждение этой теоремы означает, что множество ростков, имеющих в нуле особую точку типа центр, имеет коразмерность оо, а наличие фокуса (устойчивого или неустойчивого) может быть установлено путем вычисления конечного числа аналитических функций от тейлоровских коэффициентов ростка для всех ростков кроме тех, что принадлежат некоторому множеству бесконечной коразмерности.

Доказательство теоремы 3 состоит в реализации алгоритма исследования сложной монодромной особой точки [10] во всем простейшем мо-нодромном классе, при этом основными моментами являются 1) утверждения об аналитической зависимости коэффициентов асимптотического разложения преобразования монодромии от коэффициентов струи на некоторых подмножествах в пространствах струй и 2) вычисление градиентов некоторых из этих коэффициентов с целью оценки ранга системы аналитических уравнений, задающей множество нейтральных струй.

Алгоритм различения устойчивого и неустойчивого фокуса состоит в сравнении асимптотического разложения преобразования монодромии Д(р) с асимптотическим разложением тождественного отображения. Если разложение Д(р) — р имеет хотя бы один ненулевой член асимптотики, то особая точка - фокус. Знак коэффициента при первом ненулевом члене дает ответ на вопрос об устойчивости.

Поскольку система координат в окрестности особой точки фиксирована, то пространство струй можно отождествить с вещественным конечномерным пространством. Координатные функции в этом пространстве будем называть коэффициентами струи. Каждый коэффициент струи соответствует моному определенной степени тейлоровского разложения векторного поля.

Рассмотрим простейший монодромный класс Mi, которому соответствует схема диаграмм, состоящая только из одной диаграммы Ньютона, имеющей ровно одно ребро. Пусть это ребро лежит на прямой ш + mj = ко. Через Kk обозначим множество коэффициентов струи, соответствующих мономам xty*~1eitxt~1y:'e2, для которых пг -f mj = к ко + к. Положим 7r<k = U nj- В результате раздутия ростка класса Ы\ j=о получается векторное поле, не имеющее особых точек в реберных прямоугольниках, поэтому преобразование монодромии исходной особой точки, определенное на оси абсцисс, является аналитическим ростком. Коэффициенты разложения Тейлора этого отображения могут быть вычислены путем решения уравнения в вариациях. В результате этих вычислений получаем, что преобразование монодромии Д имеет разложение вида А(р) = сор(1 + £ Скрк), где Ск - аналитическая1 функция от 7Г<к на при некотором N, зависящем от /г. Через gradkCk обозначим вектор из частных производных по переменным из 7Г&. Прямое вычисление показывает, что gradkCk ф 0 либо при всех четных, либо при всех нечетных к. Множество нейтральных TV-струй задается системой уравнений со = 1, с\ = . = Ск = 0 где к зависит от N и стремится к бесконечности при N —> оо. В силу вышесказанного ранг матрицы Якоби этой системы, а значит и коразмерность множества нейтральных струй оценивается снизу величиной, приблизительно равной к/2. Аналитическая разрешимость- в классе Mi доказана.

В общем случае преобразование монодромии исследуется с помощью метода [28], [10]. Производится раздутие особой точки, при этом окрестность особой точки заменяется цепочкой склеенных вершинных и реберных прямоугольников. Тем самым преобразование монодромии разбивается в суперпозицию отображений соответствия для гиперболических секторов особых точек, расположенных в вершинных прямоугольниках, а также отображений соответствия для частей реберных прямоугольников, которые не содержат особых точек на границе. Последние исследуются так же, как в случае одного ребра путем решения уравнений в вариациях.

Для исследования отображений соответствия в вершинных прямоугольниках используется алгоритм [28] приведения к нормальной форме. Предположим, что особая точка в вершинном прямоугольнике, соответствующем вершине с, является невырожденным седлом. Именно с такими вершинами и связаны основные технические трудности доказательства. Обозначим через Ас гиперболическое отношение седла, равное минус отношению его собственных значений.

Рассмотрим простейший монодромный класс Мт, которому соответствует такая размеченная схема диаграмм Т, что вершины всех составляющих ее диаграмм Ньютона, имеют метку 1, то есть соответствующие особые точки являются невырожденными седлами. Гиперболические отношения Ас этих седел являются аналитическими функциями от коэффициентов некоторой струи. Преобразование монодромии ростка класса Мт имеет для любого п асимптотическое разложение вида ([10], функция называется аналитической на некотором подмножестве в пространстве Jq , если она аналитична в некоторой окрестности этого подмножества.

Д(р) = coP+t Pk{\np)pVk + о(/Л), (0.5) fc=i где c0 > 0,1 < v\ < U2 < . < Vk < •. • —V oo, Р^(1п/э) - многочлен от Inp, причем последовательность щ и степени многочленов Рк(\пр) зависят от выбора ростка, все щ определяются через Лс, коэффициенты полиномов Pi,. ,Рп определяются коэффициентами некоторой Л^-струи, где Nn —> оо при п —> оо.

Разбиение пространства ЛГп-струй на полуаналитические подмножества, участвующие в определении аналитической разрешимости, осуществляется следующим образом. Сначала множество разбивается на конечное число полуалгебраических подмножеств, на каждом из которых преобразование монодромии имеет разложение вида (0.5), где щ являются полиномами от Ас, степени многочленов Pjt(lnp) определяются индексом к, а их коэффициенты аналитичны на указанных подмножествах. Пусть X - одно из таких подмножеств. При приближении к границам X коэффициенты полиномов Рк могут терять аналитичность, но таким образом, что множества их нулей остаются аналитическими подмножествами всего а не только X. Пересечение множества нейтральных Л^п-струй с X задается системой аналитических уравнений, которая получается в результате приравнивания со к 1 и коэффициентов полиномов Pi,. ,Рп к нулю.

Далее каждое из построенных подмножеств X делится на конечное число полуалгебраических подмножеств соответствующих всем ребрам I всех диаграмм Ньютона, участвующих в схеме раздутия, таким образом, что в Qi выполняется неравенство grad Рк(0) ф 0 для некоторого номера к <п, зависящего от I, причем существует ненулевая частная производная Pfc(0) по такому коэффициенту Nk-струи, который не является коэффициентом i-струи. Отсюда следует, что коразмерность множества нейтральных JV&-струй стремится к оо при к —> оо. Аналитическая разрешимость в классе Мт доказана.

Общий случай, когда в результате раздутия могут появляться вырожденные седла, легко сводится к только что рассмотренному.

Аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса в классе ростков, имеющих диаграмму Ньютона, состоящую из одного ребра, доказана в [34], [56]. Аналитическая разрешимость проблемы различения центра и фокуса в классе ростков, имеющих диаграмму Ньютона, состоящую из двух ребер с показателями 1 и 2, и невырожденную особую точку, полученную после двух раздутий, доказана в [96]. Тот же результат для класса ростков, имеющих диаграмму Ньютона, состоящую из двух ребер, и вырожденную особую точку в прямоугольнике, соответствующем соединяющей их вершине, получен в [54].

Заметим, что из аналитической разрешимости в каждом из двух полуалгебраических множеств вовсе не следует аналитическая разрешимость в их объединении, поскольку полуаналитическое подмножество одного из полуалгебраических подмножеств может не быть полуаналитическим множеством объединения (см. пример в п. 10 введения). Вопрос о поведении границ устойчивости при приближении к границам классов монодромных ростков не исследован даже в случае множества ростков без исключительных направлений.

12. Второй член асимптотики преобразования монодромии.

Определение. Пусть £ - ребро диаграммы Ньютона, имеющее показатель т/п, где т/п - несократимая дробь. Ребро £ называется нечетным, если тип- нечетные числа и четным, если одно из т и п -четно.

В статье [15] вычислена обобщенная первая фокусная величина In с для Г - невырожденных векторных полей, где Г - диаграмма Ньютона. Однако, оказалось, что если все ребра диаграммы Ньютона Г четные, то In с = 0 на всем пространстве ростков с диаграммой Ньютона Г, то есть преобразование монодромии в этом случае имеет асимптотику

Д(р) = р + о(р), а значит невозможно получить достаточное условия фокуса с помощью главного члена асимптотики, а также построить первую границу устойчивости в классе ростков с данной диаграммой Ньютона.

Во второй части добавления рассматриваются векторные поля класса

Г), имеющие диаграмму Ньютона Г, состоящую из двух четных ребер. Точное определение рассматриваемого класса дается в главе 2. При некоторых дополнительных ограничениях для ростков этого класса вычисляется второй член асимптотики преобразования монодромии.

Пусть диаграмма Ньютона Г состоит из двух ребер int. Пусть а — т/п - показатель ребра £, т/п - несократимая дробь, а = т/п ~ показатель ребра £, т/п - несократимая дробь, а > а.

Пусть векторное поле класса M£(Г) задает систему (0.1). Члены ряда Тейлора правой части системы (0.1) сгруппируем таким образом, что

ОО ОО

Х(х,у) = £ Хк{х,у), Y{x,y) = £ Ук{х,у), (0.6) к=0 к=О где Xk(x,y) и Yk(x,y) - квазиоднородные полиномы степени к + ко с весами пит переменных х и у соответственно, ко > 0. Обозначим Fk(x, у) = Yk(x, у) - аХк(х, у).

Во второй части Добавления доказана следующая

Теорема 5. Пусть V - векторное поле класса М^Г), ребра диаграммы Ньютона Г четные, (Ао, Во) - векторный коэффициент вершины диаграммы Г, соединяющий ребра tut. Пусть кроме того, выполняются следущие условия

1) ^ = > 1; А - иррациональное число;

2) {Во-йАо) < 0

3) г — тп — пт > 1,

4) т - четное число.

Тогда преобразование монодромии особой точки (0,0) векторного поля V, определенное на оси х, имеет ( быть может после обращения времени и при подходящем выборе параметра ) асимптотику вида

Д(р) = p(l + F2p»+o(p")), 0, где в случае п = 1

Ф0(1 ,T)dT

I TJUT

Ф!(1,Оео dt; ОО л и - Х°(х<у) д> ,л уо(х>y)Xi(x, у) - Yi{x,у)Хо(я, у) 9о(Х'У> ~ nyF0(x,yy9l[-X'y> ~ nyFZ(x,y)

В случае п > 1 F2 = 0.

Если ф 0, то особая точка - фокус.

Результат второй части Добавления опубликован в [93],[94]. * *

Результаты работы докладывались на следующих научных мероприятиях:

1) Международный Конгресс Математиков, г.Цюрих, Швейцария, 111 августа 1994 года. 2) Симпозиум "Особенности дифференциальных уравнений и пфаффовых систем". г.Варшава, Польша, Международный математический центр Стефана Банаха, 1-19 октября 1995 года. 3) Международная конференция Deterministic and stochastic modelling of biointeraktion (DESTIBIO'97) (г.София, Болгария, 27-31 августа 1997го-да.) 4) International Conference dedicated to the 90th Anniversary of L.S. Pontryagin, Moscow, RUSSIA, August,31,- Seprember,6, 1998. 5) Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения",22-26 июня 1999г., Челябинск. 6) Sixth Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations. August 10-14, 1999, Szeged, Hungary 7) The Third International Conference "Differential equations and applications", June 12-17 2000, Saint Peterburg. 8) International Conference on Differential and Functional Differential Equations, August 11-17, 2002, Moscow. 9) Международная конференция Hilbert's Sixteenth and Related Problems in Dynamics, Geometry and Analysis. In honor of 60-th anniversary of Yu. S. Ilyashenko. The Independent University of Moscow. December 2629, 2003. 10) Международная конференция им. И.Г.Петровского. Москва, МГУ. 16-22 мая 2004 г.

Исследования были поддержаны грантами:

Долгосрочные гранты международного научного фонда М98000( 19941995), М98300(1996); гранты международного фонда гражданских исследований CRDF RM-1-229 (1997), RM-1-2086 (2000), 1-2358-МО-02(2002-2003); гранты РФФИ 97-01-10857(1997), 98-01-00821(1998), 99-01-00821 (1999), 99-01-10749 (1999), 00-01-00745(2000-2002), 03-01-00270(2003-2004); гранты ISSEP 702d (1997), d98-1294 (1998), d99-411 (1999).

Автор выражает свою искреннюю благодарность Ю.С.Ильяшенко за постановку задач и внимание к работе, Ю.С.Ильяшенко, С.М.Воронину, А.А.Соловьеву, В.И.Ушакову, В.Н.Ушакову за внимание к работе и полезные обсуждения.

1. Алексеев Б.В. Проблема различения центра и фокуса с точки зрения алгебраической разрешимости j j Рукопись депонирована в ЦНИИТЭИ приборостроения. Пермь. 09.04.87, № 3728-87. - 26с.

2. Альмухамедов М.И. Об устойчивых и неустойчивых центрах // Учен. Зап. Казан, гос. пед. ин-та. 1955. - Вып. 10. - С. 9-28.

3. Амелькин В.В., Лукашевич Н.А., Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Минск.: Изд-во Белор.гос. ун-та, 1982. - 208с. j

4. Андреев А.Ф. Решение проблемы центра и фокуса в одном случае // ПММ. 1953. - Т. 17. Вып. 3. - С. 333-338.

5. Андреев А.Ф., Ходы-Заде П.Д. Исследование проблемы центра и фокуса в одном случае // Дифф. уравнения. 1984. - Т. 20. № 2. -С.187-197.

6. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. -Минск.: Вышэйшая школа, 1979. 136с.

7. Арнольд В.И, О локальных задачах анализа // Вестник Московского университета. Серия математика, механика. 1970. № 2. -С. 52-56. !

8. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304с.

9. Арнольд В.И. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову и проблемы топологической классификации особых точек аналитической системы дифференциальных уравнений // Функц. анализ. 1970. - Т.4. Вып.З. - С.1-9.

10. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. I // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. T.l. М.: ВИНИТИ 1985. С. 7-149.

11. Березовская Ф.С. Степенные асимптотики системы дифференциальных уравнений второго порядка. Препринт. Пущино: ЦНТИ НЦ-БИ, 1976. 16с.

12. Березовская Ф.С., Крейцер Г.П. Степенные асимптотики системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Препринт. Пущино: ЦНТИ НЦБИ, 1976. 16с.

13. Березовская Ф. С., Сложная стационарная точка системы на плоскости: структура окрестности и индекс. Препринт. Пущино: ЦНТИ НЦБИ, 1978. 15с. j

14. Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. О различении центра и фокуса для векторных полей с фиксированной диаграммой Ньютона // Успехи мат.наук. 1986. - Т.41. Вып.4. - С.198-199.

15. Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1991. - Вып.15. - С. 156-177.

16. Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. Сложная особая точка "центр-фокус"и диаграмма Ньютона //В кн.: Математика и моделирование. Сб.научных трудов. Пущино. НЦБИ АН СССР. 1990.С.45-57. !

17. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений М.: Наука, 1979. - 254с.

18. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях М.: Наука, 1998. - 288с.

19. Варин В.П. Проблема центра-фокуса и уравнения в вариациях. Препринт № 9. М.: ИПММ им. М.В.Келдыша, 2001 - 24с.

20. Варин В.П. Условия центра для систем, близких к гамильтоновым. Препринт № 48. М.: ИПММ им. М.В.Келдыша, 2001. - 22с.

21. Варин В.П. Асимптотика отображения последования для некоторых полиномиальных систем ОДУ. Препринт № 34. М.: ИПММ им. М.В.Келдыша, 2003. - 24с.

22. Воробьев А.П. Поведение интегральных кривых в окрестности бесконечно удаленной точки j j Известия АН БССР. Сер. физ-техн. наук. 1961. - № 2. - С. 221-229.

23. Габриэлов A.M. О проекциях полуаналитических множеств // Функц. анализ. 1968. - Т.2. JYf 4. - С. 18-30.

24. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: Наука, 1988. - 552с.

25. Горин Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных // Успехи мат. наук. 1961. - Т.16. Вып. 1(97). - С. 91-117.

26. Грудо Э.И. О сложных центрах и фокусах дифференциального уравнения первого порядка // Дифф. уравнения. 1978. - Т. 14. № 3. - С. 425-434. ;

27. Грудо Э.И. Обоснование одного метода исследования сложной особой точки автономной системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Известия АН БССР. Сер. физ-техн. наук. 1972. № 1. - С. 346-349.

28. Дюлак А. О предельных циклах М.: Наука, 1980. - 157с.

29. Ильяшенко Ю.С., Мемуар Дюлака "О предельных циклах"и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1985. - Т.40. Вып.6(246). - С. 41-78.

30. Ильяшенко Ю.С. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений // Мат. сборник. 1976. Т.99. Вып.2. - С. 162-175.

31. Ильяшенко Ю.С. Алгебраически и аналитически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. сем. им. И.П.Петровского. 1987. - Вып.12. - С. 118-136.

32. Ильяшенко Ю.С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр-фокус // Функц. анализ и его прилож. 1972. Т. 6. № 3. - С. 30-37.

33. Клебан О.А. Порядок топологически достаточной струи гладкого векторного поля на вещественной плоскости в конечнократной особой точке // Рукопись деп. в ВИНИТИ 14.06.91, № 2754-В91. 50с.3435 36 [37 [38 [39 [4041