Границы устойчивости в некоторых классах монодромных ростков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

005019295

На правах рукописи.

Воронин Алексей Сергеевич

ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МОНОДРОМНЫХ РОСТКОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ДПР 2012

Владимир 2012 ^п ^

5019299921

Работа выполнена в Челябинском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Медведева Наталия Борисовна

Официальные оппоненты: Давыдов Алексей Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор, ВладГУ им.А.Г. и Н.Г.Столетовых, кафедра функционального анализа и его приложений, зав.кафедрой.

Щербаков Арсений Алексеевич, кандидат физико-математических наук. Институт физической химии и электрохимии им. А.Н.Фрумкина РАН, лаборатория биоэлектрохимии, с.н.с.

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 15 мая 2012 года в 16-00 час. на заседании диссертационного совета ДМ.212.024.02 при Владимирском Государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600024, г. Владимир, пр, Строителей, 11, корп.7, ауд.237.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского Государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых.

Автореферат разослан „ апреля 2012 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, ^^^ .

доцент С.Б.Наумова

Общая характеристика работы. Актуальность темы. Одним из важных вопросов качественной теории дифференциальных уравнений является вопрос о расположении траекторий вещественно-аналитического векторного поля (системы дифференциальных уравнений) в окрестности изолированной особой точки на плоскости. Он был поставлен А.Пуанкаре. Им же были получены первые результаты в этом вопросе. В этом же направлении работали И.Бендиксон, А.Дюлак, М.Фроммер и А.М.Ляпунов. Особые усилия направлялись на изучение сложных особых точек аналитических систем методом их расщепления (раздутия) (И.Бендиксон, А.Д.Брюно, А.Дюлак, М.Фроммер), поскольку для более простых особых точек задача была решена ранее.

В подавляющем большинстве случаев предложенные алгоритмы раздутия позволяли строить фазовый портрет только с точностью до различения центра и фокуса.

В представленной работе исследуются монодромные особые точки аналитических векторных полей на плоскости, то есть такие, для которых определено преобразование монодромии, то есть отображение некоторой кривой с вершиной в особой точке в себя вдоль траекторий векторного поля. Преобразование монодромии часто называют отображением первого возвращения или функцией последования Пуанкаре. У монодромной особой точки не существует траекторий, входящих в нее с определённой касательной (характеристических траекторий). Такие особые точки часто называют особыми точками типа центр-фокус.

Основными классами монодромных особых точек, алгоритмы исследования которых были предложены в классических работах А.Пуанкаре, А.Ляпунова, В.В.Немыцкого и В.В.Степанова являются: невырожденные особые точки с невещественными собственными значениями, особые точки, линейная часть векторного поля в которых имеет вид нильпотентной жордановой клетки и особые точки без исключительных направлений.

Сложные монодромные особые точки, которые не принадлежат к перечисленным классам, исследуются с помощью того или иного метода раздутия особенностей. В совместной статье Березовской Ф.С. и Медведевой Н.Б. 1991 года был предложен один шаг процесса расщепления (раздутия) особенности векторного поля, который позволяет исследовать особые точки при условии выполнения некоторых условий Г-невырожденности, где Г - диаграмма Ньютона.

В отличие от особой точки с характеристической траекторией, для построения фазового портрета в окрестности сложной монодромной особой

точки не достаточно произвести процесс раздутия. Алгоритм различения центра и фокуса (точнее устойчивого и неустойчивого фокуса) в данном случае довольно сложен и включает в себя построение нормальных форм в окрестностях элементарных особых точек, полученных после раздутия, и решение уравнений в вариациях вдоль дуг вклеенных при раздутии кривых, не содержащих особых точек, с целью построения асимптотического ряда преобразования монодромии монодромной особой точки. Описанная идеология восходит к работе А.Дюлака „О предельных циклах". Если асимптотический ряд преобразования монодромии не совпадает с асимптотическим рядом тождественного отображения, то особая точка является фокусом.

В работе Ф.С.Березовской и Н.Б.Медведевой получена формула для коэффициента при главном (линейном) члене преобразования монодромии Г-невырожденного векторного поля. Если логарифм этого коэффициента не равен нулю, то особая точка - фокус. Однако оказалось, что если все рёбра диаграммы Ньютона чётные, то главный член преобразования монодромии тождественен, то есть с его помощью невозможно получить достаточное условие фокуса и построить границу устойчивости в рассматриваемом классе. Поэтому становится актуальным вычисление второго члена асимптотики преобразования монодромии.

Принимая во внимание сложность описанного алгоритма, Ю. С. Илья-шенко предложил исследовать проблему различения центра и фокуса с точки зрения алгебраической и аналитической разрешимости. Понятие алгебраически разрешимой локальной задачи (задачи о ростках) было введено В.И.Арнольдом и означает, что ответ в задаче может быть получен путём конечного числа арифметических действий над коэффициентами струи, если росток не принадлежит некоторому исключительному множеству бесконечной коразмерности. Аналогично может быть дано определение аналитически разрешимой задачи: арифметические действия заменяются вычислением значений аналитических функций от коэффициентов струи. Известно, что проблема различения центра и фокуса является алгебраически разрешимой в первых двух из перечисленных выше классов и не является алгебраически разрешимой в третьем из них. Н.Б.Медведевой был получен положительный ответ на вопрос об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса.

Однако вопрос об аналитической разрешимости проблемы устойчивости на плоскости остаётся открытым, поскольку границы устойчивости на множествах монодромных ростков могут не продолжаться аналитиче-

ски на границы монодромных классов, тем самым возможны патологии границы устойчивости при приближении к границам монодромных классов.

Цель работы. Целью настоящей работы является построение асимптотики преобразования монодромии в некоторых классах векторных полей, имеющих монодромиую особую точку, а также исследование поведения границы устойчивости.

Методы исследования. В работе применяются метод раздутия особенностей по диаграмме Ньютона, метод нормальных форм и метод Дю-лака исследования асимптотики преобразования монодромии сложного цикла.

Научная новизна. В работе построены два члена асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости для случаев диаграммы Ньютона с одним и двумя ребрами. Рассмотрены все возможные случаи Г-невырожденного векторного поля с одним и двумя чётными рёбрами, а также один случай с двумя рёбрами, одно из которых чётно, а условия Г-невырожденности нарушаются. В каждом из этих случаев главный член преобразования монодромии тождественен. С помощью одной из полученных формул исследуется граница устойчивости в некотором классе векторных полей, имеющих монодромную особую точку. Доказано, что замыкание границы устойчивости может иметь пересечение с границей монодромного класса. Тем самым обнаружены точки на границе монодромного класса, в которых возможно возникновение патологий границы устойчивости. Этот результат является некоторым продвижением в задаче об аналитической разрешимости проблемы устойчивости особых точек векторных полей на плоскости.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты и методы могут найти приложение в качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных мероприятиях:

- Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского. Москва, 21 - 26 мая 2007 г.

- Конференция „Студент и научно-технический прогресс"', Челябинский государственный университет, 2007 г.

- X всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной матема-

тике. Дагомыс, 2009 г.

- Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского. Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г.

- Семинар кафедры вычислительной математики ЧелГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приводится в конце автореферата. Работы [2], [3] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, добавления и списка литературы, состоящего из 67 наименований. Общий объём диссертации - 122 страницы. Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, даются основные определения, формулируются результаты и даётся обзор литературы по исследуемой проблематике.

В первой главе рассматриваются векторные поля с монодромной особой точкой, диаграмма Ньютона которых состоит из одного ребра.

Рассмотрим аналитическое векторное поле V (росток) в окрестности начала координат на плоскости. Оно определяет динамическую систему

х = Х{х,у), у = У{х,у). (1)

Рассмотрим разложения Тейлора

уХ(х, у) = Е аухУ ■ хУ(х, у) = £ Ьуя'У- (2)

Определения. 1. Векторным коэффициентом точки (г,)) называется вектор (ау, Носителем системы (1), а также векторного поля V называется множество таких пар (г, что (оу,Ьу) Ф (0,0). Показателем точки носителя (г, называется величина

Ьу/ау, если ф О оо, если йц = 0.

2. Рассмотрим множество

и((и) + в*},

(ьЛ

где - положительный квадрант, объединение берется по всем точкам (г, принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого

множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона векторного поля V. Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона, а их концы - ее вершинами.

3. Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное рациональное число, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

4. Пусть £ - ребро диаграммы Ньютона, имеющее показатель m/n, где т/п - несократимая дробь. Ребро і называется нечетным, если m и п -нечетные числа, и четным, если одно из тип- четно.

Заметим, что все представители одного ростка аналитического векторного поля в особой точке имеют один и тот же носитель, диаграмму Ньютона, а также векторные коэффициенты всех точек носителя.

Пусть I - ребро диаграммы Ньютона системы (1) с показателем а = т/п, где т/п - несократимая дробь. Члены ряда Тейлора (2) сгруппируем таким образом, что

оо ос

уХ{х,у) = £ Xk{x,y), xY{x,y) = £ Yk{x,y), (3)

к=О к=О

где

Хк(х,у)= £ ацхУ, Yk(x,y) == £ Ьцх*у>

ni+mj=k+k0 ni+mj=k+k0

- квазиоднородные полиномы степени к + ка с весами п и т переменных х и у соответственно, kg > 0.

Обозначим

Fk(x, у) = nYk(x, у) - тХк{х, у). Кроме того, положим

Х0(х,у) Yo{x,y)

F0(x, у)Х1(х, у) - Х0(х, y)Fi{x, у) Ф, =--,

в Рі{х,уЖх,ії;Рйіх,уШх,у) = _вф1(

Пусть т/п - несократимая дробь. Известно 1 , что для любого квазиоднородного полинома R(x, у) с весами пит, переменных х и у справед-

1Березовская Ф.С., Медведева Н.Б. Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона, Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 15(1991), 156—177.

лаво разложение

R{x,y) = Ах^Шуп -ЬгХт)кі, і

где bi - различные ненулевые комплексные числа, fc» > 0.

Определение. Множитель вида уп - Ьгхт, Ьі ф 0, называется простым делителем полинома R(x,y), число к,, называется кратностью этого делителя.

Определение. Векторное поле (росток) с диаграммой Ньютона Г называется V-невырожденным, если: 1) для любого ребра диаграммы Ньютона Г соответствующий ему полином Fa(x, у) не имеет простых делителей кратности больше единицы; 2) показатель любой не лежащей на координатной оси вершины отличен от показателей примыкающих к ней ребер.

Известно 2 , что при подходящем выборе трансверсали преобразование монодромии монодромной особой точки имеет линейный главный член асимптотики: Д(р) = Ср + о{р), р —♦ 0.

В работе Березовской Ф.С. и Медведевой Н.Б. доказано, что если все рёбра диаграммы Ньютона Г чётные, то In С — 0 на всём классе Г-невырожденных векторных полей с монодромной особой точкой, то есть преобразование монодромии в этом случае имеет тождественный главный член.

В первой главе вычислен второй член асимптотики отображения Д для случая диаграммы Ньютона, состоящей из одного четного ребра.

Теорема 1 Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из одного четного ребра с показателем а = т/п (несократимая дробь), V — Т-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой (0,0). Тогда если т четно, то преобразование монодромии особой точки (0,0) векторного поля V, определенное вблизи нуля на положительной полуоси у с параметром р = имеет при р —> 0 асимптотику вида

Д(р) = р(1+С2р + о(р)), где уравнение Сг = 0 эквивалентно уравнению

ГІіЙ^ехр/М^^.о.

j W і Т

—оо 0

"Медведева Н.Б. Главный член преобразования монодромии монодромной особой точки линеен, Сиб. мат. ж., 33:2(1992), 116-124.

Замечание 1. Случай нечетного т получается из случая четного тп заменой х на у и обратно.

Замечание 2. Доказано, что функция, стоящая в левой части последнего уравнения, не является тождественно нулевой в классе Мр.

Замечание 3. В формулировке теоремы мы не выписываем сам коэффициент при втором члене асимптотики, а только уравнение Сч = О, так как при смене трансверсали. параметра на трансверсали и обращении времени этот коэффициент умножается на ненулевую величину. Уравнение Со = 0 задает границу устойчивости в рассматриваемом классе. В работе также даны формулы и для самой величины С'з.

Заметим, что если в каждом из каких-либо двух классов задача аналитически разрешима, то отсюда вовсе не следует ее аналитическая разрешимость в объединении этих классов. Это происходит из-за того, что простейшие монодромные классы вообще говоря не замкнуты, а полуаналитическое подмножество области вообще говоря не является полуана-литнческим подмножеством ее замыкания. Например, график функции у = 5ш(1/.т) является полуаналитическим подмножеством области х > О, и не является полуаналитическим подмножеством полуплоскости х > 0. Поэтому границы устойчивости вероятно могут претерпевать патологии при приближении к границам простейших монодромных классов.

Таким образом аналитическая разрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову на всем пространстве Жо ростков аналитических векторных полей на плоскости не доказана. Для того, чтобы выяснить вопрос об аналитической разрешимости проблемы устойчивости, требуется ответить на два вопроса. Первый вопрос: могут ли пересекаться замыкания границ устойчивости с границами монодромных классов? Если ответ на этот вопрос отрицателен, то есть не могут, то сразу получаем аналитическую разрешимость проблемы устойчивости в 1У0 ■ А если ответ на первый вопрос положителен, то нужно ответить положительно на второй вопрос: являются ли замыкания границ устойчивости полуаналитическими множествами ? Если ответ на второй вопрос положителен, то проблема устойчивости аналитически разрешима, а если нет, то неразрешима.

В главе 1 получен положительный ответ на первый вопрос, а именно, приводится пример семейства Г-невырожденных векторных полей, в котором величина С\ терпит разрыв на границе монодромности и замыкание границы устойчивости имеет непустое пересечение с границей монодромности. Другими словами, обнаружены точки на границе моно-дромного класса, в которых возможны патологии границы устойчивости,

например, потеря аналитичности.

Рассмотрим множество Aii(T) Г-невырожденных монодромных ростков с диаграммой Ньютона Г, которая представляет собой отрезок с концами (0,6) и (12,0). Преобразование монодромии в классе Mi (Г) согласно теореме 1 имеет асимптотику Д(р) = р + СгР1 + о(р2). В качестве транс-версали берется ось ординат. Множество 7 = {С2 = 0} является границей устойчивости в классе Mj(Г).

Теорема 2 Функция Сг имеет точку разрыва на границе Mi (Г), в которой эта граница пересекается с замыканием 7.

Во второй главе рассмотрен случай Г - невырожденного векторного поля с монодромной особой точкой, диаграмма Ньютона которого состоит из двух четных ребер, причем предполагается, что седловая особая точка, получаемая в результате раздутия особенностей по диаграмме Ньютона, является невырожденной и не претерпевает резонанса 1:1. Величина А, участвующая в формулировке теоремы 3, равна минус отношению её собственных значений.

Пусть диаграмма Ньютона Г состоит из двух ребер L и I. Пусть ä = m/n - показатель ребра £, т/п - несократимая дробь, а = тп/п - показатель ребра £, т/п - несократимая дробь, а > а. Для каждого из ребер можем рассмотреть разложение вида (3). Функции, аналогичные Xk, Yk, Fk для ребра I обозначим Хь У*, Fk.

Через

/ f(£)d£ обозначается интеграл Адамара от функции f(x) (ко-

нечная часть несобственного интеграла), —оо < а < b < +00. Основным результатом второй главы является следующая

Теорема 3 Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из двух четных ребер iule показателями а — т/п ua = т/п (а > а), где т/п и т/п — несократимые дроби, V — Г-невырожденное векторное поле с монодромной особой точкой (0,0), (а, Ь) — векторный коэффициент вершины диаграммы Ньютона, соединяющей ребра ¿ и £, причём

nb — та

0 < А = —-г- < 1.

nb — та

Тогда преобразование монодромии особой точки (0,0) векторного поля V, определенное вблизи нуля на положительной полуоси у с параметром р = у1/™, имеет асимптотику вида

Д(р) = р(1 + С2рА + о(рА)), р—0,

при этом в случае четного гп уравнение С? = О эквивалентно уравнению

В случае нечётного т и чётного т уравнение Сг = О эквивалентно уравнению

В случае нечётных rh um уравнение С% — О эквивалентно уравнению

Кроме того: если d = тп—тп > 1, то интегралы Адамара сходящиеся.

Случай Л > 1 сводится к случаю А < 1 заменой переменных а: у.

Доказано также, что левые части уравнений из формулировки теоремы 3 являются не тождественно нулевыми функциями на множестве Г-невырожденных векторных полей с диаграммой Ньютона Г и моно-дромной особой точкой.

В третьей главе рассмотрен случай Г - невырожденного векторного поля с монодромной особой точкой и с двумя четными ребрами диаграммы Ньютона, причем предполагается, что седловая особая точка, получаемая в результате раздутия особенностей по диаграмме Ньютона, является невырожденной и резонансной 1:1.

Пусть диаграмма Ньютона векторного поля V состоит из двух ребер £ и £ с показателями а = а = ^ соответственно, причем ос > а. Целочисленные точки (i,j), лежащие на ребре £ (С соответственно), удовлетворяют уравнению пх + ту = fco (nx + friy = fco соответственно), где fco > О, fco > 0 - натуральные числа. Рассмотрим на плоскости показателей прямые и Ii, задаваемые соответственно уравнениями пх + ту = ко + 1 и пх + ту = ко + 1. Пусть А - точка пересечения этих прямых. Нетрудно

тщ&^ььп*«-,,

J t { Т

-оо ^ 1

j W J t

-оо 1 ^

доказать, что если d, = тпп — mñ = 1, то точка А имеет целочисленные

координаты.

Через С обозначим вершину диаграммы Ньютона, соединяіцую ребра І и £. В случае <1 — 1 кроме точек Л и С рассмотрим целочисленную точку Ю, ближайшую к С на ребре I и целочисленную точку В, ближайшую к С на ребре І. Обозначим векторные коэффициенты точки А через (аі, 02), точки В через (&і, Ь2), точки С через (сі, с2), точки £> через

Основным результатом третьей главы является следующая

Теорема 4 Пусть диаграмма Ньютона Г векторного поля V состоит из двух чётных рёбер с показателями а = а = (а > а), ^ и 'jr -несократимые дроби, V - Г-невырожденное векторное поле с монодром-ной особой точкой (0,0), и пусть

__ neo — mci _

Л — —-z — 1.

neo — mci

Тогда

1) если d = тп — mñ = 1, то преобразование монодромии особой ■точки (0,0) векторного поля V, определенное вблизи нуля на положительной полуоси у с параметром р = у1^т, имеет асимптотику вида

А{р)=р(1 + С2р\пр + 0{р))

при р —► 0, где уравнение Сг = 0 эквивалентно уравнению (m2 - m2)bidi + {тп — mñ){bid2 + Mi) + (ñ2 — n2)b2d2 + + (rhn + ñm)(aiC2 + a2ci) — 2rnmaiCi — 2nña2c2 = 0,

2) если d = mn — mñ > 1, то преобразование монодромии имеет асимптотику вида

А(р) = р{\ + С2р + о{р)),

где в случае т нечётно, т четно, уравнение С2 = 0 эквивалентно уравнению

\ +00 V

7°°Фо(1,и;) , \ ТФіКі) oíí.l)^

1 + exp v.p. J ^ dw J u ' ' exp J "y ' d£dvo =

W i J w

-foo / —O"

+ 00

n , r Фо(™,1) , \ ТФі(1,ш) f vo^vy ...

1 + exp v.p. / —---dw\ / —---exp / ---d£dw ,

J w I ■> w У £

Фо(1,0.

в случае, когда т и т нечётны, уравнение Сч = 0 эквивалентно уравнению

+оо

ч

ФгК1)

V]

ехр

И!

/

К-оо

Фо(6 1)

£

Ч-оо

ехр

= /

ги

—оо

Га Фо(и/, 1) у.р. ]

ехр

/

*о(М)

¿^¿Ш —

+оо

с1и> I -ехр

—оо

/

<1£с1и>

■Ноо

И] I ■> и)

/ —оо

а в случае, когда т четно, т нечётно уравнение С2 — 0 эквивалентно уравнению

+оо.

+оо

I

Фг(гМ)

и)

схр

€

■и>

ехр

/

¿ги =

ти 1

и>

ехр

£

го

ехр

/

Н-ос

Фо(-1,0

(1и).

Замечание 1. Случай, когда когда т и т четны, сводится к случаю, когда гп и 771 нечётны с помощью замены х на у.

Замечание 2. Доказано, что уравнения Сг = 0 из формулировки теоремы 4 не выполняются тождественно на множестве Г-невырожденных векторных полей с монодроююй особой точкой.

В четвёртой главе получена формула для второго коэффициента асимптотики преобразования монодромип в случае двух ребер при нарушении условий Г - невырожденности.

Пусть векторное поле V имеет монодромную особую точку (0,0) и пусть его диаграмма Ньютона Г состоит из двух рёбер I и I с показателями а = — и а = а < а, и имеет по одной вершине на каждой

71 Т1

координатной оси.

Условия Г - невырожденности включают неравенства пЬ—та ф 0, пЬ— та ф 0, где (а, 6) - векторный коэффициент вершины, соединяющей ребра I и I диаграммы Ньютона Г. В данной главе, сохраняя одно из условий Г - невырожденности, мы предполагаем, что одна из величин пЬ — та, пЬ — та обращается в нуль. Это означает, что в результате раздутия по диаграмме Ньютона на вклеенной кривой появляется особая точка типа „вырожденное седло".

Предположим, что для векторного поля V выполняются условия:

1) Квазиоднородные многочлены ^(а:,у) и Рц(х,у), соответствующие рёбрам £ и £ диаграммы Ньютона Г, не имеют вещественных простых делителей;

2) пЬ — та = 0, где (а, Ъ) — векторный коэффициент вершины, соединяющий рёбра £ и £.

3) Ребро £ четно.

Тогда, при выполнении этих условий справедлива следующая

Теорема 5 Преобразование монодромии векторного поля V, определенное вблизи нуля на положительной полуоси у с параметром р = у1/"', имеет асимптотику вида

А(р)=р(1 + С2р+о(р))} р-> О,

где, быть может, после обращения времени

1) в случае, когда т - нечётно, п - четно

-со £ О Г

2) в случае, когда т - четно, п - нечётно

-оо ^ О т

- ехр 7°(ФоК, 1) - ФоК, -1))^ ехр /

О ? -сю £ О Т

Случай пЬ — та = 0 получается из рассматриваемого в теореме заменой переменных х <-> у.

Следствие. В случае т - четно, п - нечётно условие Сг = 0 может быть записано в виде

+оо

Ф1&1)

---ехр

ехр

4-00 Т —оо '

)

+•00 Т

Доказано, что при любых коэффициентах многочленов Хо и Уо, удовлетворяющих условиям 1) и 2) существуют такие наборы коэффициентов многочленов Х\ и Уь что С*2 ф 0.

Построенные в диссертации асимптотические разложения отображений соответствия для седловых особых точек позволяют вычислить два члена асимптотики преобразования монодромии в случае, когда диаграмма Ньютона содержит произвольное количество ребер, а не только два.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Воронин A.C. Вычисление второго члена асимптотики преобразования монодромии. // Сборник тезисов XXXI студенческой научной конференции „Студент и научно-технический прогресс". Челябинск, 2007, с. 88 - 89.

[2] Воронин A.C., Медведева Н.В. Устойчивость монодромных особых точек с фиксированной диаграммой Ньютона //Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Вып.З (2009), с.34-49.

[3] Воронин A.C. , Медведева Н.Б. Устойчивость монодромных особых точек плоских динамических систем с фиксированной диаграммой Ньютона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 16, Вып. 6 (2009), с. 1043-1044

[4] Воронин A.C., Медведева Н.Б. Граница устойчивости по Ляпунову в некоторых классах монодромных ростков. // International conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated to Ivan G/ Petrovskii, сборник тезисов, Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г., с. 172.

[5] Воронин A.C., Медведева Н.Б. Асимптотика преобразования монодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона // Вестник ЧелГУ, сер.З. Математика, Механика, Информатика. Вып.14 (2011), №27(242), с. 12-26.

Отпечатано в типографии ООО «Фотохудожник» 454091, г. Челябинск, ул. Свободы, 155/1, тел. (351) 237-17-43 Тираж 100 экз. Заказ № 0387.

61 12-1/1048

ФГБОУ ВПО

Челябинский государственный университет

На правах рукописи.

Воронин Алексей Сергеевич

ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МОНОДРОМНЫХ РОСТКОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Медведева Н.Б.

Челябинск 2012

Содержание

Введение 4

1 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ОДНОГО РЕБРА 30

1.1 Асимптотика преобразования монодромии ................30

1.2 Граница устойчивости..........................................36

2 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ДВУХ РЕБЕР ПРИ ОТСУТСТВИИ РЕЗОНАНСА 38

2.1 Раздутие особенности..........................................39

2.2 Отображение соответствия в окрестности седла ..........41

2.3 Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих рёбрам.............................55

2.4 Отображение соответствия в первом квадранте............56

2.5 Асимптотика преобразования монодромии ...........59

2.6 Случай га нечётно....... ...............................61

2.7 Асимптотика преобразования монодромии в случае га нечетно ................ ...................68

2.8 Доказательство предложения 2.1.................69

2.9 О различении устойчивого и неустойчивого фокуса ... 71

3 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ДВУХ РЕБЕР ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСА 72

3.1 Раздутие особенности..........................................74

3.2 Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих рёбрам..........................75

3.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем вершине..........................76

3.4 Отображение соответствия в первом квадранте............84

3.5 Случай (1 > 1. . ......................................85

3.6 Преобразование монодромии в случае с! > 1...........87

3.7 Преобразование монодромии в случае с! = 1. ....... 93

3.8 Доказательство предложения 3.2...................95

3.9 О различении устойчивого и неустойчивого фокуса ... 97

4 ГЛАВА. ВЫРОЖДЕННЫЙ СЛУЧАЙ 99

4.1 Раздутие особенности в случае двух ребер. .............100

4.2 Отображение соответствия в окрестности вырожденного седла............................. . 101

4.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем ребру.................................102

4.4 Отображение соответствия для правой полуплоскости. . 105

5 Добавление: интеграл Адамара. 109 Библиография 115

ВВЕДЕНИЕ

1. Результаты. В работе построены два члена асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости в случаях, когда диаграмма Ньютона векторного поля состоит из одного или двух рёбер. Исследуется граница устойчивости в некотором классе векторных полей, имеющих монодромную особую точку. Доказано, что замыкание границы устойчивости может иметь пересечение с границей монодромного класса. Этот результат является некоторым продвижением в задаче аналитической разрешимости проблемы устойчивости особых точек векторных полей на плоскости. В работе используется метод многократного раздутия особенностей, метод нормальных форм, а также метод Дюлака изучения асимптотики преобразования монодромии сложного цикла.

2. Топология фазового портрета. Рассмотрим задачу построения фазового портрета вещественно-аналитического векторного поля в окрестности особой точки на плоскости с точностью до орбитальной топологической эквивалентности. Другими словами нас будет интересовать поведение фазовых кривых в окрестности особой точки, а также направление движения по ним, но не скорость движения.

Если матрица линейной части поля в особой точке невырождена, то особая точка называется невырожденной и может быть, как известно, одного из следующих типов: седло, узел, фокус, центр.

Если матрица линейной части векторного поля в особой точке имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение, то особая точка называется элементарной. Векторное поле в окрестности элементарной особой точки может быть приведено к полиномиальной нормальной форме с помощью гладкой замены переменных. Список нормальных форм приведен в ([8], с.88). С точки зрения топологии локального фазового портрета элементарная особая точка кроме вышеперечисленных четырех типов может быть еще только седло-узлом. Топологический тип невырожденной особой точки, кроме случая центра по линейным

членам, определяется набором собственных значений матрицы линейной части поля в этой точке. О различении центра и фокуса в последнем случае подробнее будет сказано ниже. Для построения фазового портрета в окрестности вырожденной элементарной особой точки достаточно произвести конечное число арифметических действий над коэффициентами разложения Тейлора векторного поля в особой точке.

Если особая точка неэлементарна, то исследование ее окрестности производится с помощью того или иного варианта метода разрешения особенностей (раздутия). Суть этого метода состоит в следующем. Проколотая окрестность особой точки с помощью замен переменных специального вида превращается в окрестность или полуокрестность вклеенной инвариантной кривой, содержащей особые точки. Векторные поля, полученные после этих замен переменных, имеют только элементарные особые точки. Поскольку фазовые портреты в окрестностях элементарных особых точек всегда могут быть построены, то проектируя картинки, полученные после раздутия, в окрестность исходной особой точки, получаем фазовый портрет в этой окрестности. В статье Ф.Дюмортье [58] этот метод подробно описан для случая полярного раздутия, а также дается орбитальная топологическая классификация особых точек нескольких младших коразмерностей, имеющих характеристическую траекторию, то есть траекторию, входящую в особую точку с определенной касательной. Согласно [58] топология фазового портрета в окрестности особой точки с характеристической траекторией исследуется по конечному отрезку ряда Тейлора этого поля в особой точке с помощью конечного числа арифметических действий над тейлоровскими коэффициентами и решений алгебраических уравнений. Различные варианты метода разрешения особенностей рассматриваются например в [55], [52], [31], [30], [17], [53], [54], [И], [5], [14], [15], [13],[58], [50], [48], [61], [32], [16].

В случае, когда у особой точки нет ни одной характеристической траектории, описанная выше схема построения фазового портрета с помощью разрешения особенностей не работает, поскольку по результатам

раздутия можно только констатировать факт отсутствия характеристических траекторий и совсем невозможно понять, замыкаются траектории или нет, а также отличить устойчивый фокус от неустойчивого.

3. Основная альтернатива.

Определение. Фазовая кривая векторного поля на плоскости называется характеристической траекторией особой точки, если она входит в эту точку при t —> +00 или t —> — оо, касаясь некоторой прямой.

Особая точка векторного поля на вещественной плоскости монодром-на, если для нее определена функция последования Пуанкаре, называемая также преобразованием монодромии.

Приведем строгое определение монодромной особой точки.

Определение. Особая точка векторного поля называется монодромной, если существуют окрестность этой точки и дуга с началом в этой точке, гладкая и трансверсальная полю всюду вне начала, такие, что векторное поле в окрестности с выброшенной дугой топологически ор-битально эквивалентно стандартному (рис.1). Точнее, существует непрерывное отображение замкнутого прямоугольника на замыкание окрестности особой точки, гомеоморфно переводящее внутренность прямоугольника на дополнение окрестности до упомянутой трансверсальной дуги и преобразующее горизонтальные прямые - в фазовые кривые исходного векторного поля; вертикальные стороны оно отображает на трансверсаль, а нижнюю горизонтальную сторону переводит в особую точку. Каждая фазовая кривая исходного поля с началом на трансвер-сали, достаточно близким к особой точке, сделав один виток вблизи этой точки, возвращается на ту же трансверсаль. Отображение, переводящее начальную точку каждой такой фазовой кривой в ее конец (точку первого возвращения на трансверсаль), называется преобразованием, монодромии особой точки (рис.1).

Каждая траектория в окрестности монодромной особой точки является топологически или спиралью, или окружностью.

Во внутренних точках трансверсали преобразование монодромии имеет тот же класс гладкости, что и векторное поле, и аналитично вместе

Рис. 1:

с ним. Однако оно может не продолжаться гладко в начальную точку трансверсали даже в случае аналитического векторного поля.

Теорема. [8] Вещественно-изолированная особая точка аналитического векторного поля на плоскости либо имеет характеристическую траекторию либо монодромна.

Легко привести пример гладкого векторного поля, особая точка которого не имеет характеристической траектории и не является моно-дромной [8].

Из теоремы конечности числа предельных циклов [60] следует, что монодромная особая точка аналитического векторного поля на плоскости является либо центром, либо фокусом.

Ростком векторного поля в особой точке называется класс эквивалентности векторных полей, совпадающих в некоторой окрестности особой точки.

Росток векторного поля в монодромной особой точке будем называть монодромным ростком.

4. Проблема различения центра и фокуса. Проблема различения центра и фокуса является классической задачей качественной тео-

рии дифференциальных уравнений. Перечислим основные классы мо-нодромных ростков, в которых эту проблему можно считать решенной.

Наиболее популярный и широко исследованный класс - это ростки, имеющие в особой точке центр по линейным членам. Необходимым и достаточным условием центра ([47],[31], [8]) в этом случае является существование формального первого интеграла. Условием же существования последнего является обращение в ноль бесконечного числа Ля-пуновских фокусных величин, которые являются полиномами от Тейлоровских коэффициентов ростка. Существует большое количество работ, посвященных нахождению условий центра для различных классов векторных полей в случае центра по линейным членам. Обзор литературы по проблеме различения центра и фокуса в невырожденном случае имеется в монографиях [3], [49].

Следующий класс - монодромные ростки, имеющие в особой точке линейную часть в виде ненулевой нильпотентной жордановой клетки. Этот класс впервые был исследован A.M. Ляпуновым [31] с помощью раздутия, использующего специальные функции. Условием центра здесь как и в случае центра по линейным членам является обращение в ноль бесконечного числа полиномов от Тейлоровских коэффициентов ростка.

Еще один класс монодромных ростков исследован в [46]. Пусть разложение Тейлора векторного поля в особой точке ноль начинается с г-ых степеней : (Хг + ...)^ + (Уг + .. г - нечетно, Xr, Yr - однородные многочлены степени г. Говорят, что росток векторного поля не имеет в особой точке ноль исключительных направлений, если однородный многочлен —yXr + хУг не имеет вещественных линейных множителей. Ростки без исключительных направлений всегда монодромны. Переход к полярным координатам и последовательное решение уравнений в вариациях позволяют выразить условия центра в виде равенства нулю бесконечного числа интегралов, которые являются аналитическими функциями от коэффициентов ростка.

Общим для всех трех перечисленных случаев является следующее. С

помощью специальной замены переменных векторное поле, имеющее в нуле монодромную особую точку одного из перечисленных типов, может быть превращено в векторное поле, определенное в полуокрестности инвариантной окружности, на которой нет особых точек. Другими словами, исследование векторного поля в окрестности особой точки может быть сведено к исследованию векторного поля в окрестности замкнутой траектории. Преобразование монодромии в этих случаях является

00 ,

аналитическим ростком А[х) = сх -НЕ , тейлоровские коэффици-

к 2

енты которого могут быть вычислены путем последовательного решения уравнений в вариациях. Поскольку в случае центра А (ж) = ж, то различение центра и фокуса состоит в сравнении преобразования монодромии с тождественным отображением. Если хотя бы одна из величин 1п с, сь отлична от нуля, то особая точка является фокусом.

Основной целью настоящей работы является исследование монодром-ных особых точек, которые не относятся к перечисленным классам. Как уже отмечалось, для исследования таких сложных особых точек применяется метод раздутия особенностей. Поскольку большинство результатов диссертации сформулированы в терминах диаграмм Ньютона и раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона, начнем с соответствующих определений.

5. Диаграмма Ньютона. Рассмотрим аналитическое векторное поле V в окрестности точки ноль на плоскости. Оно определяет динамическую систему, которую нам будет удобно записывать в виде

х = Х(х,у), у = У(х,у). (0.1)

Рассмотрим разложения Тейлора

уХ(х, ?/) = £ о»яУ, жУ(ж, у) = £ Ьцх у. (0.2)

Определения. 1. Векторным коэффициентом точки (г,называется вектор Носителем системы (0.1), а также векторного поля V

называется множество таких пар [г,]), что (а-у,Ь^) -ф (0,0). Показате-

лем точки носителя называется величина

Ъг]/аг], если аг] ф О оо, если <2у = 0. 2. Рассмотрим множество

и{(м) + ьф, (о-з)

(г,Л

где - положительный квадрант, объединение берется по всем точкам (г,^), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона векторного поля V (см.рис.2). Звенья ломаной называются ребрами диаграммы Ньютона, а их концы - ее вершинами.

Рис. 2:

3. Если вершина диаграммы Ньютона не лежит ни на одной координатной оси, то она называется внутренней, в противном случае граничной.

4. Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное рациональное число, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

Заметим, что все представители одного ростка аналитического векторного поля в особой точке имеют один и тот же носитель, диаграмму Ньютона, а также векторные коэффициенты всех точек носителя.

6. Метод раздутия, связанный с диаграммой Ньютона. Подход к исследованию особых точек векторных полей на плоскости с точки зрения диаграммы Ньютона традиционен. Например, в случае, когда у особой точки имеется характеристическая траектория, по диаграмме Ньютона можно построить фазовый портрет в окрестности этой особой точки ([14],[11]), для „большинства" ростков векторных полей с данной диаграммой Ньютона можно построить асимптотики траекторий, входящих в особую точку, а также вычислить ее индекс [14], [11], [9],[10]. Кроме того имеются результаты, касающиеся различения центра и фокуса и сформулированные на языке раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона ([13], [56], [40], [12], [34], [45]).

В статьях [13],[40], [56], [41] ,[45] описан один шаг процесса разрешения особенности векторного поля, связанного с диаграммой Ньютона. Близкие схемы даны в [14], [11], [9], [52], [5], [30]. Этот шаг состоит в следующем. Окрестность нуля в первом квадранте разбивается на криволинейные секторы, соответствующие ребрам и вершинам диаграммы Ньютона, каждый сектор с помощью степенной замены переменных превращается в прямоугольник. Границы прямоугольников склеиваются с помощью функций перехода.

Векторное поле, полученное после степенной замены переменных и определенное в прямоугольнике, соответствующем ребру диаграммы Ньютона, имеет, вообще говоря, более простые особые точки, а векторное поле, определенное в прямоугольнике, соответствующем внутренней вершине, всегда имеет единственную особую точку, притом элементарную.

Описанный метод разрешения особенностей является наиболее быстрым среди всех известных в настоящее время. Для сравнения объема вычислений при использовании различных методов раздутия особенностей можно привести следующее высказывание: для любого натурального п существует векторное поле с особой точкой, процесс раздутия которого по диаграмме Ньютона осуществляется с помощью двух замен переменных, а кратный а-процесс (а также полярное раздутие) состоит более, чем из п шагов [37].

7. Обобщенная первая фокусная величина. Монодромную особую точку будем называть сложной, если ее окрестность никаким методом раздутия особенностей не возможно превратить в окрестность замкнутой фазовой кривой, а лишь в окрестность сложного цикла -инвариантной кривой, содержащей особые точки. Преобразование моно-дромии сложной монодромной особой точки не является аналитическим ростком, а представляет из себя полурегулярное отображение ([24],[25]).

Преобразование монодромии монодромного сложного цикла, частным случаем которого является монодромная особая точка, впервые было исследовано А.Дюлаком [24]. Суть метода Дюлака состоит в следующем. Преобразование монодромии сложного цикла разбивается в композицию аналитических отображений и отображений соответствия для гиперболических секторов эл