Структурная устойчивость управляемости на поверхностях с краем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хи Дык Мань

Структурная устойчивость управляемости на поверхностях с краем

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О ДЕК 2012

Владимир 2012

005047562

005047562

Работа выполнена во Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Давыдов Алексей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Московского авиационного института Бортаковский Александр Сергеевич

кандидат физико-математических наук, профессор Ковровской государственной технологической академии имени В.А. Дегтярева Барабанов Олег Олегович

Ведущая организация: Институт программных систем

имени А.К. Айламазяна РАН

Защита диссертации состоится 27 декабря 2012 г. в 13-00 на заседании диссертационного совета Д 212.025.08 при Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600000, г. Владимир, проспект Строителей, 3/7, корп. 3, ауд 318.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Автореферат разослан ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.025.08 ири ВлГУ кандидат физико-математических наук,

доцент -"¿^^гГ' Наумова С. Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Активное развитие математической теории управления началось в 50-х годах прошлого века, когда задачи управления реальными объектами привели к необходимости развития методов их решения. При этом сначала анализируется сама возможность управлять объектом, то есть его управляемость, а затем проводится поиск оптимальной траектории по выбранному критерию качества.

Анализ управляемости объекта может быть локальным - вблизи его изучаемого состояния - и нелокальным, когда исследуется возможность перевода из заданного состояния в другое. Часто говорят не об одном начальном состоянии, а о некоторой их совокупности (стартовом множестве).

Локальная управляемость объектов изучалась с самого начала возникновения теории управления. Одним из классических результатов здесь является критерий Капмана управляемости афинных систем в нуле и его обобщение на случай нелинейных систем1. Задача описания в целом множества всех точек, где система локально управляема, была сформулирована в работе А.Д. Мышкиса в 1964 году2.

Управляемая система называется локально транзитивной в точке фазового пространства, если для любой окрестности этой точки существуют другая окрестность V этой точки и некоторое время Т > 0 такие, что любые два состояния системы из окрестности V переводятся одно в другое допустимым движением системы за время, не превосходящее Т, и без выхода из первой окрестности. Если такая окрестность существует для любого Т > 0, то говорят о локальной транзитивности за малое время. Зоной локальной транзитивности (за малое время) системы называется объединение всех точек, где система локально транзитивна (за малое время, соответственно). Например, дифференцируемая полидинамическая система локально транзитивна в точке за малое время, если в этой точке из допустимых скоростей системы можно сформировать положительный базис, что было показано в работе Н. Н. Петрова3.

Локальная транзитивность типичных гладких управляемых систем

1Р. Калман, Л. Фарб, М. Арбиб - Очерки по математической теории систем - М. УРСС, 2004, 398 с.

2Мышкис А. Д. - О дифференциальных неравенствах с локально ограниченными производными // Зал. л/ех.-мат. фак. и Л'л;л,х. мат. о-ва. 1964. Т. 30. С. 152-163.

3Петров Н. Н. - Об управляемости автономных систем // Дпффсренц. уравнения. - 1968. - Т. 4, т. - с. 606-617.

на поверхностях без края была полностью изучена A.A. Давыдовым4'5, а недавно существенное продвижение здесь было получено В.М. Закалюкиным и А.Н. Курбацким6 для некоторых классов трёхмерных систем.

Анализ нелокальной управляемости систем - более трудная задача по сравнению с изучением локальной управляемости. Для типичных гладких систем на компактных ориентируемых поверхностях без края этот анализ проведён A.A. Давыдовым с использованием достижений качественной теории динамических систем и методов теории особенностей7. Естественным является вопрос: насколько результаты по анализу управляемости типичных систем на гладких ориентируемых поверхностях остаются справедливыми и для поверхностей с гладким краем?

Целью настоящей работы является классификация типичных особенностей зон локальной транзитивности и множеств достижимости гладких управляемых систем на поверхностях с краем и анализ устойчивости этих особенностей к малому шевелению типичной системы.

Методы исследований. Основные результаты работы получены на основе методов теории особенностей дифференцируемых отображений, методов качественной теории динамических систем с использованием результатов, полученных ранее A.A. Давыдовым для случая поверхностей без края.

Научная новизна. Основные результаты диссертации включают:

1) классификацию типичных особенностей зон локальной транзитивности гладких управляемых систем на поверхностях с краем;

2) классификацию типичных особенностей множества достижимости гладких управляемых систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем в точках края;

3) теоремы об устойчивости зон локальной транзитивности, множеств достижимости и их особенностей для типичных гладких управляемых систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет

4 Давыдов А. А. - Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Матем. сборник. - 1988. - Т. 136 (178),вып. 4. - С. 478-499.

'Давыдов А. А. - Структурная устойчивость управляемых систем на ориентируемых поверхностях // Матем. Сб. 1991. Т.182 , Вып. 1. С. 3-35.

®3акалюкин В. М и Курбацкий А Н. - Выпуклые оболочки кривых и поверхностей и особенности зоны транзитивности в R3 /'/ Труды МИАН. Т. 268 (2010), С. 284-303.

7A. A. Davydov. - Qualitative theory of control systems // American Mathematical Society. 1994. Vol. 141, - 147.

теоретический характер. Результаты работы могут найти применение при анализе конкретных систем управления в прикладных исследованиях.

Апробация работы. Результаты докладывались на Международной конференции по математической теории управления и механике в г. Суздале (2011), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале (2012), на семинаре по дифференциальным уравнениям (рук. проф. В.В. Жиков) и на семинаре по нелинейному анализу и его приложениям во Владимирском государственном университете (рук. проф. A.A. Давыдов, проф. В.И. Данченко и проф. М.С. Беспалов).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 работах. Статьи [1], [2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы. Теоремы, предложения нумеруются по параграфам; таблицы нумеруются по главам; нумерация определений, примеров, замечаний сквозная.

Во введении приведены основные определения, кратко освещены результаты предшественников и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе проведена классификация типичных особенностей зон локальной транзитивности (ЗЛТ) гладких управляемых систем на гладкой поверхности М с краем и доказана их устойчивость. Сначала анализируется простейший случай бидинамических систем. Показано, что в типичном случае зона локальной транзитивности не имеет точек на краю поверхности и устойчива к малому шевелению этой системы. Последнее означает, что эта зона и соответствующая зона для достаточно близкой системы переводятся одна в другую близким к тождественному диффеоморфизмом.

Под типичной системой (или системой общего положения) мы понимаем систему из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве гладких систем, снабжённом тонкой гладкой (или достаточно гладкой) топологией Уитни.

В случае полидинамических систем и систем общего положения на краю могут появляться точки зоны локальной транзитивности.

Теорема 1. Для типичной полидииамической системы при > 3

ростки в точке д-обгона на краю семейства предельных линий и поверхности М будут С00-диффеоморфны росткам в нуле соответственно семейства предельных линий системы с тремя полями скоростей либо а) (±1,х) и (Х(х, у), 1), либо Ь) (±1,ж) и (Х(х, у), — 1), и области х > к(у), с некоторыми гладкими функциями X и к, к(0) = 0 ф ^'(0)- При этом локальная транзитивность в этой точке есть только в случае Ь).

Замечание 1. В точке 0-обгона типичной системы нулевая скорость не лежит в индикатрисе допустимых скоростей, но лежит в её выпуклой оболочке, а ветви поля предельных направлений гладки вблизи этой точки, не касаются границы крутой области и имеют между собой касание первого порядка.

Теорема 2. Для типичной системы при diml/ / 0 е регулярной нуль-точке на краю ростки селгейства предельных линий и поверхности М будут С°°-диффеоморфны росткам в нуле соответственно семейств фазовых кривых уравнения (у1)2 = х и области у > к(х) с некоторой гладкой функцией к, к(0) = 0 ф /с'(0). При этом локальная транзитивность в этой точке есть только при fc'(0) > 0.

Замечание 2. В регулярной нуль-точке типичной системы нулевая скорость лежит на границе индикатрисы допустимых скоростей, сама граница гладка в этой точке, а предельное направление имеет с этой границей касание первого порядка, но не касается границы крутой области.

Имеет место и структурная устойчивость зоны транзитивности.

Теорема 3. Зона локальной транзитивности типичной системы на поверхности М с краем устойчива к малому шевелению этой системы.

Эти теоремы доказаны в параграфе 1.3 первой главы.

Вторая глава посвящена изучению типичных особенностей положительной орбиты (множества достижимости) замкнутого стартового множества, оказывающегося внутри этой орбиты. При этом дополнительно предполагается ориентируемость и компактность М.

Для типичных систем на краю не могут наблюдаться особенности поля предельных направлений коразмерности 2 и выше, а лишь особенности коразмерностей 0 и 1. Классификация особых точек на краю

поверхности получена из результатов первой главы и результатов А. А. Давыдова8. Как и в работах A.A. Давыдова, мы вводим понятие особых предельных линий, которое помимо сепаратрис и циклов из работ A.A. Давыдова включает и линии, касающиеся края либо проходящие через такие точки с касанием, а также точки границы зоны локальной транзитивности на краю. Следующее утверждение важно для доказательства теорем в главах 2 и 3.

Теорема 4. Для типичной системы на ориентируемой компактной поверхности М с краем множество её особых предельных линий структурно устойчиво.

Классификация типичных особенностей границы множества достижимости получена в следующих теоремах:

Теорема 5. Пусть для типичной бидинамической системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит его замыкание в своей внутренности. Тогда росток границы дО+ в каждой из её точек z G дМ равен

1) одному из трёх ростков, если z - точка крутой области: либо

a)(dM,z); либо

b) (r]~(z) U (дМ П 0+), z), где rf^{z) не касается края в этой точке, либо ещё

c) (r/+(z)U(9MnO+),z), где rjf(z) касается края с первым порядком касания;

2) одному из двух ростков, если z - точка границы крутой области:

a) (dM,z), если вблизи точки z входящая предельная линия в эту точку лежит в 0+, либо

b) (t)*(z) U (дМ П 0+), z), если вблизи точки z входящая предельная линия в эту точку не лежит в 0+, где flt(z)" выходящая предельная линия из этой точки.

Теорема 6. Пусть для типичной системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит его замыкание в своей внутренности. Тогда росток границы дО+ в каждой из её точек z G дМ равен либо

1) одному из трёх ростков из теоремы 5, если z - точка крутой области, либо

2) одному из двух ростков

8А. A. Davydov. - Qualitative theory of control systems // American Mathematical Society. 1994. Vol. 141, - 147.

a) (дМ,г), если в этой точке система является локально транзитивной или входящая пределышя линия в эту точку лежит в 0+; либо

b) (77,^(2) и (дМ П 0+), г), если в этой точке система не является локально транзитивной, а входящая предельная линия в эту точку не лежит в 0+,

если г - точка границы крутой области, либо еще

3) (дМ,г), если г - точка зоны локальной транзитивности, но не точка границы крутой области.

Далее, мы получаем нормальные формы типичных ростков и описываем возможные при этом особенности самого множества достижимости.

Определение 1. Точку г границы положительной орбиты стартового множества, лежащую на краю М, будем называть особой точкой типа г, г = 0 -г 3, если росток замыкания этой орбиты в этой точке совпадает с ростком в нуле множества у > д(х) с функцией д из соответствующего столбца второй строки Таблицы 1 после выбора подходящей гладкой системы локальных координат с началом в этой точке.

Таблица 1. Особенности границы достижимости на краю

1 0 1 2 3

9(х) 0 \х\ х|х| ( —х,х < 0 \ хУ\х > 0

Теорема 7. Пусть для типичной системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит замыкание этого множества в своей внутренности. Тогда в каждой точке г € дО+ П дМ граница этой орбиты имеет одну из особенностей типа г, г = ОтЗ. При этом росток самой орбиты в этой точке имеет одну из соответствующих особенностей второго столбца Таблицы 2, и такие особенности возможны при числе значений управляющего параметра, указанном в третьем столбце этой таблицы.

Эти теоремы сформулированы в параграфе 2.2, а их доказательства приведены в параграфе 2.3.

Третья глава посвящена изучению новых типичных особенностей множества достижимости систем на ориентируемой компактной

Тип Особенность #и

0 У>0 > 2

1 а) У > М Ь) {у >-х, х < 0} и {у > х, х> 0} > 2

2 У > х\х\ > 2

3 {у >~х, х<0}и{у> х3/2, х > 0} Шт и ф 0

поверхности с краем в случае, когда стартовое множество - гладко вложенная кривая. Основные результаты сформулированы в параграфе 3.1, а в параграфе 3.2 приведены их доказательства.

Теорема 8. Пусть стартовое множество Б есть гладко вложенная кривая па ориентируемой компактной поверхности М. Тогда для типичной системы росток границы дО+ в каждой из точек г стартового множества Б, лежащей на краю М, равен одному из пяти ростков либо

в4) (дМ,г), либо

в5)((ЗпдО+)и(дМпО+),г), либо вб) и (дМ П 0+), г), либо

э!) (г]?{г) и (5 П дО+), г), либо ещё

в8) (л* (г) где в каждой особой точке из типов вб, $7, в8

предельная линия Т)*(г) не касается края поверхности, г = 1, 2.

Определение 2. Точку границы множества достижимости, лежащую на стартовом множестве, будем называть особой точкой типа г, г — О -т- 1, если вблизи этой точки замыкание этой орбиты совпадает в подходящей гладкой системе локальных координата;, у с началом в этой точке с соответствующим множеством у > д(х) с функцией д из второй строки Таблицы 3.

Таблица 3. Особенности границы достижимости

1 0 1

а(х) 0 и

Теорема 9. Пусть стартовое множество Б есть гладко вложенная кривая на ориентируемой компактной поверхности М, не касающаяся края. Тогда множество достижимости 0+ типичной системы в каждой из точек г Е дО+ П дМ П 5 имеет одну из особенностей типа г, = От 1. При этом росток 0+ в этой точке имеет одну из

соответствующих особенностей второго столбца Таблицы 4, а росток дО+ имеет одну из особенностей третьего столбца этой таблицы, и такие особенности возможны при числе значений управляющего параметра, указанном в четвёртом столбце.

Таблица 4. Особенности множества достижимости

Типа Особенность 0+ Особенность дО+ #u

0 У> 0 s4) > 2

1 У > N1 s5), s6), s7), s8) > 2

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору A.A. Давыдову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Хи Дык Мань. Устойчивость локальной транзитивности типичной управляемой системы на поверхности с краем // Труды МИАН. 2012. Т. 278. С. 269-275.

2. Давыдов А. А, Хи Дык Мань. Особенности множества достижимости на ориентируемой поверхности с краем // Проблемы мат. анализа, вып. 67 (2012). С.13-22. (A. A. Davydov and Ну Duc Manh. Singularities of the attainable set on an orientable surface with boundary // J. Math. Sei. (N.Y.), vol. 188 (2013), no. 3, pp. 185-196.)

3. Хи Дык Мань. Локальная транзитивность управлямой системы на многообразии с краем// Межд. конф. по математ. теории управления и механике, Суздаль, 1-5 июля 2011 : тез. док. - М.: МИАН, 2011. - с. 213-215.

4. Давыдов А. А, Хи Дык Мань. О типичных особенностях множества достижимости управлямых систем на ориентируемых поверхностях с краем // Межд. конф. по диф. уравнениям и динамич. системам, Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 : тез. док. - М.: МИАН, 2012. - с. 57-58.

Подписано в печать 22.11.2012. Формат 60x84/16. Усл. иеч. л. 0,70. Тираж 100 экз. Заказ Издательство Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых. 600000, Владимир, ул. Горького, 87.

Глава

Введение.

1. Локальная транзитивность

1.1. Основные понятия.

1.1.1. Локальная управляемость.

1.1.2. Крутая область и зона локальной транзитивности.

1.2. Особенности зоны локальной транзитивности.

1.2.1. Бидинамические системы.

1.2.2. Полидинамические системы с фи > 3.

1.2.3. Общий случай.

1.2.4. Устойчивость зон локальной транзитивности.

1.3. Локальная транзитивность.

1.3.1. Доказательство теоремы 1.2.1.

1.3.2. Доказательство теоремы 1.2.2.

1.3.3. Доказательство теоремы 1.2.3.

1.3.4. Доказательство устойчивости.

2. Особенности множества достижимости на ориентируемой поверхности с краем

2.1. Класс систем.

2.2. Основные понятия и теоремы.

2.2.1. Особенности поля предельных направлений на краю.

2.2.2. Структура границы достижимости.

2.2.3. Особенности границы положительной орбиты и множества достижимости.

2.3. Особенности множества достижимости

2.3.1. Доказательство теоремы 2.2.1.

2.3.2. Доказательство теоремы 2.2.2.

2.3.3. Доказательство теоремы 2.2.3.

3. Особенности достижимости на стартовом множестве

3.1. Основные понятия и теоремы.

3.1.1. Особенности поля предельных направлений на стартовом множестве.

3.1.2. Структура границы достижимости.

3.1.3. Особенности границы положительной орбиты и множества достижимости.

3.2. Особенности границы множества достижимости.

3.2.1. Доказательство теоремы 3.1.1.

3.2.2. Доказательство теоремы 3.1.2.

3.2.3. Доказательство теоремы 3.1.3.

Активное развитие математической теории управления началось в 50-х годах прошлого века, когда задачи управления реальными объектами привели к необходимости развития методов их решения. При этом сначала анализируется сама возможность управлять объектом, то есть его управляемость, а затем проводится поиск оптимальной траектории по выбранному критерию качества.

Анализ управляемости объекта может быть локальным - вблизи его изучаемого состояния - и нелокальным, когда исследуется возможность перевода из заданного состояния в другое. Часто говорят не об одном начальном состоянии, а о некоторой их совокупности (стартовом множестве).

Локальная управляемость объектов в его заданном состоянии изучалась с самого начала возникновения теории управления. Одним из классических результатов здесь является критерий Калмана управляемости афинных систем в нуле и его обобщение на случай нелинейных систем (см. [18]). Задача описания в целом множества всех точек, где система локально управляема, была сформулирована в работе А.Д. Мышкиса в 1964 году (см. [21]).

Управляемая система называется локально транзитивной в точке фазового пространства, если для любой окрестности этой точки существуют другая окрестность V этой точки и некоторое время Т > 0 такие, что любые два состояния системы из окрестности V переводятся одно в другое допустимым движением системы за время не превосходящее Т и без выхода из первой окрестности. Если такая окрестность существует для любого Т > 0, то будем говорить о локальной транзитивности за малое время. Зоной локальной транзитивности (за малое время) системы называется объединение всех точек, где система локально транзитивна ( за малое время, соответственно). Например, дифференцируемая полидинамическая система локально транзитивна в точке за малое время, если в этой точке из допустимых скоростей системы можно сформировать положительный базис, что было показано в работах H.H. Петрова (см. [23], [241).

Локальная транзитивность типичных гладких управляемых систем на поверхностях без края была полностью изучена A.A. Давыдовым (см. [6], [8|, [9], [10], [11]), а недавно существенное продвижение здесь было получено В.М. Закалюкиным и А.Н. Курбацким для некоторых классов трёхмерных систем (см. [15], [16], [17], [19|, [20]).

Анализ нелокальной управляемости систем - более трудная задача по сравнению с изучением локальной управляемости. Для типичных гладких систем на компактных ориентируемых поверхностях без края этот анализ проведён A.A. Давыдовым с использованием достижений качественной теории динамических систем и методов теории особенностей (см. [27]). Естественным является вопрос: насколько результаты по анализу управляемости типичных систем на гладких ориентируемых поверхностях остаются справедливыми и для поверхностей с гладким краем?

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1) классификация типичных особенностей зон локальной транзитивности гладких управляемых систем на поверхностях с краем в точках края;

2) классификация типичных особенностей множества достижимости гладких управляемых систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем в точках края;

3) теоремы об устойчивости зон локальной транзитивности, множеств достижимости и их особенностей для типичных гладких управляемых систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем.

В первой главе проведена классификация типичных особенностей зон локальной транзитивности гладких управляемых систем на гладкой поверхности М с краем и доказана их устойчивость. Сначала анализируется простейший случай бидинамических систем.

Теорема 1.2.1. Зона локальной транзитивности типичной бидинамической системы на М не имеет точек на краю и устойчива к малому шевелению этой системы, то есть зона локальной транзитивности любой достаточно близкой системы переводится в зону локальной транзитивности исходной системы диффеоморфизмом поверхности близким к тождественному.

Под типичной системой (или системой общего положения) мы понимаем систему из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве гладких систем, снабжённом тонкой гладкой (или достаточно гладкой) топологией Уитни.

Затем рассматривается случай полидинамических систем и общий случай. Для полидинамических систем и нелинейных систем общего вида на краю могут появляться точки зоны локальной транзитивности.

Теорема 1.2.2. Для типичной полидинамической системы при фи > 3 ростки в точке д-обгона на краю семейства предельных линий и поверхности М будут С°°-диффеоморфны росткам в нуле соответственно семейства предельных линий системы с тремя полями скоростей либо а) (±1, х) и (Х(х, у), 1), либо Ь) (±1, ж) и (Х(х, у). —1), и области х > к(у), с некоторыми гладкими функциями X и к, к(0) = 0 Ф к\0). При этом локальная транзитивность в этой точке есть только в случае Ь).

Теорема 1.2.3. Для типичной системы при dim U ф 0 в регулярной нуль-точке на краю ростки семейства предельных линий и поверхности М будут, С°°-диффеоморфны росткам в нуле соответственно семейств фазовых кривых уравнения (у1)2 = х и области у > к(х) с некоторой гладкой функцией к, к(0) = 0 ^ к'{0). При этом локальная транзитивность в этой точке есть только при к'(0) > 0.

Оказалось, что как и в случае без края особенности зоны локальной транзитивности и сама эта зона устойчивы к малому шевелению типичной системы. Справедлива

Теорема 1.2.4. Для, типичной управляемой системы на поверхности с краем зона локальной транзитивности любой достаточно близкой к ней системы переводятся в зону локальной транзитивности исходной системы близким к тождественному диффеоморфизмом фазового пространства.

В этих теоремах о зонах локальной транзитивности и их типичных особенностях речь идёт о типичности в достаточно гладкой тонкой топологии, ибо компактность поверхности в них не предполагается. Доказаны эти теоремы в §1.3.

Вторая глава посвящена изучению типичных особенностей на краю положительной орбиты (множества достижимости) замкнутого стартового множества, оказывающегося внутри этой орбиты. При этом дополнительно предполагается ориентируемость и компактность М. Понятно, что для типичных систем на краю не могут наблюдаться особенности поля предельных направлений коразмерности 2 и выше, а лишь особенности коразмерностей 0 и 1. Классификация этих особенностей получается на основе изученных в первой главе типичных особенностей поля предельных направлений и результатов A.A. Давыдова об устойчивости семейств особых предельных линий типичных систем на ориентируемых компактных поверхностях. Структурная устойчивость особых предельных линий управляемых систем имеет место и для систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем, только здесь перечень особых линий шире. В него дополнительно попадают линии, выходящие из особых точек поля предельных направлений на краю (по аналогии с классической теорией [1], [3], [22], [27], [28], [29]).

Предложение 2.2.1. Для типичной управляемой системы на ориентируемой компактной поверхности с краем множество её особых предельных линий структурно устойчиво.

Это позволяет получить классификацию типичных ростков границы множества достижимости в точках края (вне края список типичных роствков тот же, что и в классификации A.A. Давыдова [27]):

Теорема 2.2.1. Пусть для типичной бидинамической системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит его замыкание в своей внутренности. Тогда росток границы дО+ в каждой из её точек z Е дМ равен

1) одному из трёх ростков, если z - точка крутой области: либо a)(dM,z); либо b) {rj'(z) U (дМ П 0+),z); где rj^(z) не касается края в этой точке, либо ещё c) {t]^(z) U (<9МПО+), z), где r]^(z) касается края с первым порядком касания;

2) одному из двух ростков, если z - точка границы крутой области: а) (dM.z). если вблизи точки z входящая предельная линия в эту точку лежит в 0+, либо

Ь) (г]^(г) и (дМ П 0+),г), если вблизи точки г входящая предельная линия в эту точку не лежит в 0+, где выходящая предельная линия из этой точки.

Теорема 2.3.2. Пусть для типичной системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит его замыкание в своей внутренности. Тогда росток границы дО+ в каждой из её точек г 6 дМ равен либо

1) одному из трёх ростков из теоремы 2.2.1, если г - точка крутой области, либо

2) одному из двух ростков a) (дМ,г), если в этой точке система является локально транзитивной или входящая предельная линия в эту точку лежит в 0+; либо b) (г)*(г) и (дМ ПО+),г), если в этой тючке система не является локально транзитивной, а входящая предельная линия в эту точку не лежит в 0+, если г - точка границы крутой области, либо ещё

3) (дМ, г), если г - точка зоны локальной транзитивности, но не тючка границы крут,ой области.

После этого мы получаем нормальные формы этих ростков и получаем классификацию типичных особенностей множества достижимости.

Точку г границы положительной орбиты стартового множества, лежащую на краю М, будем называть особой точкой типа г, г = 0 -г 3, если росток замыкание этой орбиты в этой точке совпадает с ростком в нуле множества у > д(х) с функцией д из соответствующего столбца второй строки Таблицы 1 после выбора подходящей гладкой системы локальных координат с началом в этой точке. Справедлива следующая теорема

1 0 1 2 3

9 (я) / —х, х < 0

0 Ы х|х| < х3/2,х > 0 к.

Таблица 1. Особенности границы достижимости на краю

Теорема 2.2.3. Пусть для типичной системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит замыкание этого множества в своей внутренности. Тогда в каждой точке г 6 дО+ П дМ граница этой орбиты имеет одну из особенностей типа г, г = 0-^3. При этом росток самой орбиты в этой точке имеет одну из соответствующих особенностей второго столбца Таблицы 2, и такие особенности возможны при числе значений управляющего параметра, указанном в третьем столбце этой таблицы.

Тип Особенность фи

0 У >0 > 2

1 а) у > |.т| Ь) {;у > -х, х < 0} и {у > х, х > 0} > 2

2 У > х\х\ > 2

3 {у > -X, X < 0} и {у > х3/2, х > 0} а™ и ф о

Таблица 2. Особенности множества достижимости на краю

Эти теоремы сформулированы в §2.2, а их доказательства приведены в §2.3.

Третья глава посвящена изучению новых типичных особенностей множества достижимости на краю для систем на ориентируемой компактной поверхности с краем в случае, когда стартовое множество -гладко вложенная кривая. Основные результаты сформулированы в §3.1, а в §3.2 приведены их доказательства.

Теорема 3.1.1. (см. 121¡) Пусть стартовое множество 5 есть гладко вложенная кривая на ориентируемой компактной поверхности М. Тогда для типичной системы росток границы дО+ в каждой из точек z стартового множества S, не лежащей на краю, равен либо sl)(S,z); либо s2) (г)~(z)U(Sr\dO+), z), где в точке z нет касания предельных линий со стартовым множеством, либо ещё s3) (77+(2) U [S П дО+), z), где rj^(z) касается множества S с первым порядком касания.

Теорема 3.1.2. Пусть стартовое множество S есть гладко вложенная кривая на ориентируемой поверхности компактной М, не касающаяся края. Тогда для типичной системы росток границы дО+ в каждой из точек z стартового множества S, лежащей на краю М, равен одному из пяти ростков либо s4) (dM,z), либо s5) ((S П дО+) U {дМ П 0+), z), либо s6) (rjf(z) и {дм П 0+),z), либо s7) {r)+{z) U(SH дО+), z), л,ибо ещё s8) {t)i(z) U r]2(z)>z), где в каждой особой точке из типов s6, s7, s8 предельная линия не касается края поверхности, г = 1, 2.

Точку границы множества достижимости, лежащую на стартовом множестве, будем называть особой точкой типа г, г = 0 -г 2, если вблизи этой точки замыкание этой орбиты совпадает в подходящей гладкой системе локальных координат х, у с началом в этой точке с соответствующим множеством у > д{х) (или у < д(х) в случае г = 1) с функцией д из второй строки Таблицы 3. i 0 1 2

0 N х|х|

Таблица 3. Особенности границы достижимости

Справедлива следующая теорема

Теорема 3.1.3. Пусть стартовое множество 5 есть гладко вложенная кривая на ориентируемой компактной поверхности М, не касающаяся края. Тогда множество достижимости 0+ типичной системы в каждой из точек своей границы на стартовом множестве имеет одну из особенностей типа г, г = 0-4-2. При этом росток 0+ в эт,ой точке имеет одну из соответствующих особенностей второго столбца Таблицы 4, а росток дО+ имеет одну из особенностей третьего столбца этой таблицы, и такие особенности возможны при числе значений управляющего параметра, указанном в четвёртом столбце.

Типа Особенность 0+ Особенность дО+ #£/

0 у >о 81), 84) > 2

1 a) У > N b) у < |ж| с) {у < -х, х < 0} и {у < х, х > 0} эб), эб), 87), 58) ь2) э2) > 2

2 У > х\х\ вЗ) > 2

Таблица 4. Особенности множества достижимости

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.А.Давыдову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также участникам семинара "Нелинейный анализ и его приложения" за продуктивные обсуждения результатов работы.

1. Андронов А. А, Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т.14, №5. С.247-250.

2. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. - 240 с.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1978, 304С.

4. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. 5: Динамические системы 1. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 7-149.

5. Брур Х.В., Дюмортье Ф., ван Стрин С., Такенс Ф. Структуры в динамике. Конечномерные динамические системы // пер. с англ.; под ред. Л.М. Лермана. М.; Ижевск, 2003.

6. Давыдов А. А. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах // УМН. 1982. Т.232-233. С. 78-96.

7. Давыдов А. А. Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности его особой точки // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19, №2. С. 1-10.

8. Давыдов A.A. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Матем. сборник. 1988. -Т. 136 (178), вып. 4. - С. 478-499.

9. Давыдов A.A. Структурная устойчивость управляемых систем на ориентируемых поверхностях // Матем. Сб. 1991. Т.182 , Вып. 1. С. 3-35.

10. Давыдов A.A. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях // Тр. МИАН. 1995. Т. 209. С. 84-123.

11. Давыдов А. А и Гришина Ю.А. Структурная устойчивость простейших динамических неравенств // Труды МИАН, Т.256 (2007), С. 89-101.

12. Давыдов А. А и Закалюкин В. М. Управляемость нелинейных систем: типичные особенности и их устойчивость // Успехи математических наук, 67:2(404) (2012), 65-92.

13. Закалюкин В. М и Курбацкий А. Н. Особенности огибающих семейств плоскостей в теории управления // Труды МИАН им В. А. Стеклова т. 262 (2008), 73-86.

14. Закалюкин В. М и Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности в R3 // Современные проблемы ма- тематики и механики, издательство МГУ, т. 4, вып. 2 (2009), 3-23.

15. Закалюкин В.М и Курбацкий А.Н. Выпуклые оболочки кривых и поверхностей и особенности зоны транзитивности в R3 // Труды МИАН. Т. 268 (2010), С. 284-303.

16. Р.Калман, П.Фарб, М.Арбиб. Очерки по математической теории систем // М. УРСС, 2004, 398 С.

17. Курбацкий А. Н. Особенности зоны транзитивности поверхностей с краем в R3 // Успехи математических наук, т. 65, вып. 3 (2010), 199200.

18. Куржанский A.B., Варайя П. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях // Докл. РАН., 2000., т.372, N4., С.446-450.

19. Мышкис А. Д. О дифференциальных неравенствах с локально ограниченными производными // Зап. мех.-мат. фак. и Харьк. мат. о-ва. 1964. Т. 30. С. 152-163.

20. Ж. Палис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем: Введение // Пер. с англ.—М. Мир, 1986.—301 с.

21. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, №7. - С. 1218-1232.

22. Петров Н. Н. Об управляемости автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, №4. - С. 606-617.

23. Хи Дык Мань. Устойчивость локальной транзитивности типичной управляемой системы на поверхности с краем // Труды МИАН. 2012. Т. 278. С. 269-275.

24. Хи Дык Мань. Локальная транзитивность управлямой системы на многообразии с краем // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 1-5 июля 2011 : тезисы докладов. М.: МИАН, 2011. - с. 213-215.

25. A. A. Davydov. Qualitative theory of control systems // American Mathematical Society. 1994. Vol. 141, 147.

26. M. M. Peixoto. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1 (1960), 101-120.

27. M. C. Peixoto and M. M. Peixoto. Structural stability in the plane with enlarged boundary conditions // An. Acad. Brasil. Ci. 31 (1959), 135-160.