Неявные дифференциальные уравнения и качественная теория управляемых систем на поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ1) ид

российская академия наук

МАТЕМА'ШШСКШ! Ш1СТЙТУТ имени В. А. Стоклова

На правах рукописи

Давыдов Алексей Александрович НЕЯВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАЕНЕИИЯ И КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

di.01.02 - дифферешшалышо уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1^93

Раоота шполнена в Математическом институте им. В А. Отйкыш-.. ИИ Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А. Д. Мшкпс доктор физико-математических' наук Н. X. Розов доктор физико-математических наук Н. А. Бобылев .Ведущая организация - факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного универоигог* им. М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится в часов на заседании специализированного совета Д.002.зе.01 а • защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физкт математических наук при Математическом институте им, ' Б. А. Стеклом* Российской Академии Наук

по адресу: 117956, г.Москва, ГСП-д., ул.Вавилова, >12

С диссертациой можно ознакомиться в библиотеке, института.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

А. К. Гушин

Актуальность темы. Постановка задачи об исследовании особенностей неявных дифференциальных уравнений первого порядка восходит к объявленному в 1885 году королем Швеции Оскаром и конкурсу на прению но четырем избранным жюри (в которое входил!! Вейеритрасс, Эрмит и Миттаг-Леффлер) темам (см. Acta natematica, 1985). Третья тема -исследование особенностей решений неявных■дифференциальных уравнений первого порядка ставит задачу получения нормальных форм этого уравнения вблизи его особых точек. Эти нормальные формы имеют многочисленные приложения. Они встречаются в теории уравнений с частными производными смешанного типа (М. ЧиСрарио, А. Г. Кузьмин), при исследовании уравнений релаксационного типа с двумя медленными переменными (В.И.Арнольд, Ф. Такэнс), в связи с приложениями в физике плазмы с двумерной неоднородностью' (А. Д. Пилия, В. И. Федоров) , при анализе поведения сети асимптотических линий на гладкой поверхности (Р. Том) и при изучении ряда других явлений.

Полученные в диссертации нормальные формы неявных дифференциальных уравнений применяются для изучения устойчивости различных видов управляемости типичных систем на поверхностях к малому возмущению таких систем. Вопросы управляемости систем и ее устойчивости к малому изменению параметров систем являются одними из ключевых в теории управления. Интенсивно изучались и изучается как локальная управляемость систем вблизи отдельных точек (А. А. Аграчев, Р. В. Гэмкрелидзе, К. Б. Гонсалвес, Н. Н. Петров, Г. Сус-сманн, Ж.Стефани. Р. Бьянкини и др.), так и вопросы глобального поведения системы (А. Г. Бутковский, М. М. Байтман, А. Д. Мкшкис, А. Ф. Филиппов, К. ЛоСри, .Г. Суссманн, Ф. Колониус и В. Климанн и др.).

История и современное состояние вопроса. Нервов продвижение в

задаче о нормальных формах типичных неявных дифференциальных уравнений первого порядка было сделано М. Чибрарио почти полвека спустя поело конкурса короля Оскара п. Линия смены типа типичного гладкого линойного уравнения с частными производными второго порядка является гладко вложенной кривой, поскольку нуль не является критически,! уровнем дискриминанта соответствующего характеристического уравнения. Поле характеристических направлений этого уравнения определяет на этой линии гладкое поле направлений. При движении вдоль линии смены типа последнее поле, вообще говоря, вращается ц может коснуться этой линии с первым порядком касания. В 1932 году М. Чибрарио нашла гладкую (аналитическую в аналитическом случае) нормальную форму (уи +и =в(х, у,и,и , и ), где в - некоторая функ-

х х у у х у

ция) типичного уравнения вблизи точки линии смены типа, не являющейся точкой такого касания (предшествовавшая работа Ф.Трикоми на эту тему была неточна). В 1975 году эта нормальная форма была гш-раоткрыта Л.Дара и Ю.Бродским (что, по-видимому, было следствием того, что результат М.Чибрарио не был широко известен; в своих исследованиях Ю.Бродский использовал результаты работы Р.Тома 1971 года).

После работы М. Чибрарио для завершения классификации типичных линейных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости оставалось найти нормальную форму такого уравнения вблизи точек касания поля характеристических направлений с линией смены типа. В 1959 году А. А. Шестаков и А. В. Пхакадзе анонсировали результат о трех топологически различных типах поведения сети характеристик вблизи таких точек (эти три типа поведения называются сейчас сложенное седло, сложенный узел и сложенный фокус и могут

б/т о писана поведением вблизи нуля сети интегральных кривых уравнения ¥**(у'4кх)2 при К—1, к-1/9 И к™1 соответственно}. В'1971 году этот факт бил отмочен и в работе физиков А. Д. Пилня и В. И. Федорова np'i изучении процесса прзвращен'ля электромагнитных воли в плазменные в пларме с двумерной неоднородностью (в этой работе или из физических соображений, или как наиболее простые уравнения с нушимл свойствами впервые используются нормальные фора уравнения Еблизи сложенных особах точек). Доказательство факта об этих трех типах поведении сети характеристик Сало дано Л. Дара в 1Э75 году, а также А. Г. Кузьминым в 1001 году.

Ввшнм моментом в исследованиях Р. Тона, Л.Дара бил переход от изучения характеристических уравнений к рассмотрении неявных дифференциальных уравнения первого порядка общего вида. В своей работа 1275 года Л.Дара показал, что квадая особая точка типичного уравнении Г(х,у,у' )*о, где г. - гладкая функция, является особо.!, точкой одного из шести типов-, регулярная особая точка (нормальнуп* форму вблизи которой нашла М. Чибрарио). сложенные седло, узел, фокус и два собранные особенности (качественное поведение свойства интегральных кривых, вблизи собранию: особенностей ношю наблюдать вблизи нуля у уравнений x*tyy' +(у';э, где- и "+" доставляет эллиптическую и гиперболическую сборки соответственно). Л.Дара сформулировал гипотезу о гопологической нормальной форме уравнения вблизи собранных и сложенных особцх точек, которая оказалась ошибочной в отношении собранных особенностей и.доказана в усиленном (гладком и аналитическом) варианте в первой глава диссертации для ■:ло:тешшх особенностей (при обычных ограничениях на собственные вдела'линпарп'зуемых седел и узлов).

з

Математическая теория управляемых систем является сравнительно молодой наукой, имеющей примерно сорокалетнюю историю. Постановка задачи об исследовании множеств точек в фазовом пространство системы с одинаковыми свойствами локальной управляемости восходит к работе Л.Д. Мышкпса 1964 года. Во второй главе диссертации мы даем для типичных систем полное рос:оние этой задачи а первом интересном случае, когда размерность фазового пространства системы равна двум. Начиная уже с размерности три фазового пространства эта задача еще решена.

В этой жо работе А.Д.Мышкис сформулировал задачу об изучении зон нелокальной транзитивности (зона нелокальной транзитивности определяется как открытия область в фазовом пространстве системы, совпадающая с пересечением положительной и отрицательной орбиты любой из своих точек) управляемых систем. В 1974 году К. Лобри показал, что полностью управляемые системы на сфере плотны в непрорывной топологии. Г. Суссманн в 1976 года доказал устойчивость свойства полной управляемости (совпадения зоны нелокальной транзитивности со всем фазовым пространством) типичной смстеш на замкнутом гладком многообразии к малому возмущению такой системы. В 1970 году М. М. Байтман списал структуру границ зон нелокальной транзитивности типичной Оидинаыической■ системы на плоскости. В третьей главе диссертации для типичной системы на гладкой замкнутой ориентируемой поверхности описаны особенности границ ее зон нелокальной транзитивности и множества достижимости, доказана устойчивость этих зон, множества достижимости и их особенностей к малому. шевелению этой системы и установлена структурная устойчи-■ вость семейства орбит типичной системы (то есть ее грубость в

классическом смысле А.А.Андронова и Л.С.Понтрягнна).

Задача об изучении границы множества достижимости явлйется одной из основных в теории управления. В четвертой главе показано, что замыкание множества достижимости типичной системы совпадает с замыканием внутренности этого множества и является подмногообразием с краем (возможно, пустым). Более того, доказано что этот край является локально гельдеровой гиперповерхностью в фазовом пространства и локально липшцевой, если число различных значений управляющего параметра не меньше удвоенной размерности фазового пространства. В последующих работах В. Я. Гершковича, А. А. Аграчева и А. В. Сарычева показано, что для некоторых классов систем соответствующий гельдеров показатель может быть улучшен.

Цель работы. Получеши нормальных форм типичных неявных дифференциальных уравнений первого порядка вблизи его сложенных особых точек. Использование этих нормальных форм для исследования различу, ных типов управляемости типичных систем на поверхностях.

Методы исследований. В диссертации применяются методы теории

с*

дифференциалышх уравнений, теории особенностей, математической теории управляешь систем.

Научная новизна. Показано, что теория сложенных седел, узлов и фокусов столь ;ка проста как и теория обычных седел, узлов и фокусов, построенная А. Пуанкаре. Завершена классификация типичных линейных уравнений второго порядка с частныш производными на плоскости. Для типичной системы на поверхности доказана устойчивость множеств точек с одинаковым! свойствами локальней управляемости и особенностей этих множеств к малому возмущению такой системы. Для типичной системы на замкнутой ориентируемой поверхности

доказана устойчивость зон нелокальной транзитивности, множества достишмости, особенностей их границ и всего семейства орбит к малому возмущению этой системы. В случае многомерного фазового пространства получана гельдеровость границы достижимости типичной системы.

Практическая ценность. Полученные в диссертации нормальнее формы неявных уравнений и уравнений смешанного типа найдут применение при изучении различных явлений, описываемых такими уравнениями. Результаты и развитые методы по качественной теории управляемых систем могут быть использованы при изучении конкретных управляемых систем.

Результаты работы могут быть использована в теоретических исследованиях, проводимых в Математическом институте и Институте проблем управления РАН, МГУ, а также как материал для специальных курсов и семинаров математических факультетов высших учебных заведений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и г. Русе в 1SG9 году и в г. Триесте в 1992 году. по. математической, "теории управляемых систем в г.Броннслввова и г. Шопроне в 1991 году, на школе по теории особенностей в г. Триесте в .1991 году, на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И. Г. Петровского, на научных семинарах мэханико-математичэскогп факультета и факультета вычислительной математики и кибернетика МГУ, на научных семинарах Института проблем управления. Института проблем механики к Математического.института РАН.

За три работы, включенные в диссертацию, автор был удостоен

1то;лв1и Московского математического общества за хэвб год.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы я работах [1-И].

Обьэч и структура диссгг.тацрп. Диссертация состоит из вяс?л>зн'ш, четырех глав и списка литературу. Объем диссертации - 260 нописных страшщ. список литература содержит 87 паамаиованпЛ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

В первую глаьу диссертации вюючены результаты по шркйшжч формам типичного неявного дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной, пблкзи его особой точки, а такае указаны применения этих иоргальных форм для описания различных явлений. Примеры таких явлений данц з первой параграфе этой главы. Во втором параграфа впадет основные понятия теории неявных уравнений и сформулированы основное результат*;. С-фзрлулируем клвчвЕОв утверждение это Л гласи.

Полз направлений на по^орхносгл называется г.тОтич, зсли вЗлй"! каждой точки поверхности оно явлрзтся полом направлений некоторого гладкого дифференциального уравнения а(и,и)аа+ъ(и.и)&>/"0, гдо а и V -локальные координаты. Точгсл, в которых коэффициенты а и ъ обращается з нуль одноврзменхю. назнвзются оссбшы шчклсы поля направлений. Особая тачка шля направлений называется невырожденной. ослл фушсция к .ь кэш» пыбрать так, чтобы кагкдое из собствокншс чисел лшээризааия Еэкториэго поля (~ь,л) в этой тсчко Сило Си отлично от нуля, а оиюыош.'о чисел - о'^ г. Направлйш-д состзст-ствувдих собогазпных ьектяров будем называть так^е собскбечтин направлениями пола направлений 5 зхзй почка.

Пусть V - пола напрозлешШ. яме»5о.з в нуле иевнроотшуэ осоСут

точку. Инволюций, имеющая проходящую через куль линию ноподбиенш: точек, называется соаласоОадаой с полеж у, если па этой лшшн и только на пег! направления ноля а его образа при инволюции одинаковы. Согласованная с полем к инволюция назывнатся г-хороазй, если собственные направления поля V и производной инволюции в нуле попарно различны.

Два объекта одной природа (ростки инволюций шт кривых, налроз-лония б точках и т. п.) называются экбибадогишыга ОЭо^ъ поля г тш: г-зивибале.аглими, если. они могут быть переведена одия и другой ¿"-диффеоморфизмом плоскости, переводящим каздую интегральную кривую этого поля б себя.

'Пусть у - полз направлений с невырожденной особо Г; точкой в нуле.

Теорема 2.1. Роагаси б нуле Обух V—хорае ¡их инволюций г-эквивалектны, если., и только с ели, -тсаязлъныв в пиле н пепоОвижнил ¿юашл зттх инволзций «аоето соеОиншяъ 0 прэспрансивв направлений в нуле непрерывной кривой, не проходящей чераэ собственные направления поля и 6 нуле.

Из нав непосредственно вытекает следующее утверждение«.

Теорема 2.2. Число классов г-эпвивалешюсш ростов 6 нуле г~хорошх инволюций равно Овух. (сооибсяспЗелшз единице). еа»'М куль я&шзйся седлом.либо узлом, {соохвежявоюю фокусом) поля.г.

Заиечашю. г-хороыиа швэлкции образуют . в пространстве согласованию: с полем г шшолащШ открытое в с1-топологии всюду плотное в (/"-топологии множества. .

Пространство уравнений г(х,у,р)*о, гдо р^йу/ах, ш отождостсдя-ем с пространством гладких функции г и спабжаем тонкой

а

^-топологией Уитни (близость двух функций в этой топологии означает сколь угодно хорошо контролируемую на бесконечности близость их производных до порядка три включительно во всех точках пространства переменных. у,р, называемого просжранспвол 1-сируй ■рушсидй у(х); переменную р следовало бы рассматривать как элемент йр1 во избежание ее бесконечных значений, но мы этого делать не Зудем. поскольку локальность рассуждений позволяет работать вдали эт этих: значений). Типичное неявное уравнение - это уравнение из эткрытого всюду плотного множества в этом пространства в такой топологии. Типичное неявное уравнение задает в этом пространстве говерхносглъ этого уравнения. Отображением складывания неявного сравнения называется проекция вдоль оси р поверхности этого фВЕнения на плоскость переменных х, у. Критические точки :кладывания уравнения называются его особит почками и образует эго кршмшту. Образ криминапты при складывании уравнешш-юзывается дискрияинантой кривой. Для типичного неявного сравнения каадая критическая точка складывания уравнения (т.е. сочка к'риминанты) является либо складкой, либо сборкой Уитни. В тстности, сама криминанта - гладкая кривая..

Поле направлений неявного уравнешш удобнее изучать не на 1лоскости переменных х, у, а на поверхности этого уравнения. Поле «отравлений на поверхности уравнешш высекается полем контстних иоокостей, которое определяется в пространстве 1-струй функций .-формой а=ау-рс1х. Это поле направлений является гладким вблизи :а:здой точки, в которой контактная плоскость не является касатель- ' юй плоскостью к этой, поверхности. В частности, последнее условие юегда выполнено в каждой из регулярных точек складывания уравне-

пня. Очевидно, что па плоскости перомешшх х,у вне дискрнмшантной кривой образ высекаемого поля при складывании уравнения совпадает с многозначным полем направлений уравнения. При движении вдоль крш.ешанты поло контактных плоскостей, вообще говоря, поворачивается вокруг принадлежащего этим плоскостям вертикального направления, и, следовательно, для типичного уравнения это поле мокет коснуться поверхности уравнения с порвал порядком касания и в точке, но являющейся сборкой Уитни складывания усавиения. Для типичного уравнения точки такого касания являются, невырожденными особыми точками ого шля направлений и приводят к сложенным особь..) течкам (седлам, узлам и фокусам) семейства интегральных кривых этого уравнения. Невырожденная особая точка поля направлений называется ск->юрлалъной, если росток в этой точке семейства интегральных кривых этого поля ск-диффеоморфэн ростку в нуле семейства фазовых кривых линейного векторного поля. Сложенная особая точка неявного уравнения называется с*-портальной, если она ск-нормальная особая точка поля направлений этого уравнения. Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 2.7. Роскок типичного неявного уравнения 6 его (f-норлальной сложенной особой кочка cf-диффвоморфен росту в нуле уравнения (р+kx)*-у при h-a(a+i)~г/2 (сооивэйсябенмо к-(1+а2)/в), еде а — поназатвль злой особой почки Оля сеОла либо узла (соответственно фокуса).

Замечания. 1. Показатель невырожденной особой точки поля направлений определяется для .седла и - узла как отношение наибольшего по модулю собственного числа линеаризации соответствующего векторного поля к наименьшему, а для фокуса - как

ю

модуль отношения мнимой части собственного числа к вещественной.

г. Условия <f-нормальности. требуемые в теорема 2.7, почти всегда выполнены. Например, для типичного неявного уравнения все его сложенные узлы и фокусы с°°~нормальш. Иначе дело обстоит с седлами. Согласно теореме Зигэля, седло с°°-нормалыю, если точка (2,ее) является точкой типа (U.v) (то есть гя1пЦ1-т -я а\, |e-at-raa«| }¿M/mv для всех целочисленных векторов в-»(я ,n2J с неотрицательными компонентами, л +га гЗ). Известно, что мара множества точек, но являющихся ни при каком и>о точками типа (H,v), равна нулю, если v>i.

В §2 первой главы приведены также нормальные формы семейства интегральных кривых типичного неявного уравнения вблизи его словенкой <f-нормальной особой точки, и показано, что нормальная форма семейства интегральных кривых такого уравнения вблизи его собранной особой точки содержит функциональные модули.

Последующие параграфы порЕой главы включают з себя доказательства основных результатов (§б и §7, где такие показано, что гомеоморфизмами можно "убить" и параметр к в нормальных формах -сделать его равным -i, i/э и i для седла, узла и фокуса соответственно) и приложения этих результатов к описанию срыва в уравнениях релаксационного типа о одной быстрой и двумя медленными пврвмен-шми (§4), к изучению особенностей простейших дифференциальных ^равенств на поверхностях ($5) и к исследованию типичных линейных 'равнений второго порядка с частными производными на плоскости ¡близи его сложенных особых точек (§з). Последнее исследование за-юршает гладкую (аналитическую) классификацию таких уравнений, омимо волнового уравнения, уравнений Лапласа и Чибрарио список

нормальных форм содерзлт еще уравнение

" s• У> V "у L

s-y ХЯ У У U Y

к которому типичное уравнение приводится вблизи слоаешшх особых точек ого характеристического уравнения при обычных ограничениях на показатели этих точек (здесь и - искомая функция, g - некоторая функция своих аргументов и н - параметр, вычисляемый по показателю соотвотствущий сложенной особой точки по формулам, указанным в теореме 2.7). Классификация сложышых особенностей активно используется во второй и третьей главах диссертации.

Вторая глава диссертации содержит результаты по локальной управляемости тшичной системы на гладкой поверхности. Предполагается, что управляемая система вблизи каждой точки этой поверхности задается уравнением z = f(z,u), где z - точка этой поверхности, ¿»dz/dt, и - управляющий параметр, пробегаадий объединение и конечного числа попарно непересекающихся замкнутых гладких многообразий, и с - гладкое отображение по совокупности переыешшх, f(z,u) - допустимая скорость движения в точке г, задаваемая управлением и. Пространство систем мы снабжаем тонкой с*-топологией. Типичная система - это система из открытого всюду плотного множества в пространстве систем в такой топологии.

Для управляемой системы нонусол точки называется положительная линейная оболочка индикатрисы скоростей этой точки. Крупой областью управляемой системы называется множество всех точек фазового пространства, в каздой из которых конус точки не содержит нулевую скорость. Если конус точки не совпадает со всей касательной плоскостью, то направления скоростей из него образуют угол, не превосходящий iso0. Стороны этого угла называются преЗедьмьии

чапрзвлениягч 3 той почке. Тякри образом, в крутой области спро-дглйго дзузначвое полэ продольных направлений. Резудьтпгш по локзльиэЯ управляемости типичной систем» получены ко:: слэдствшз классификации особенностей поля предельшас направлений тзксП CaCTGt.ni. Эти результаты ы классификация приведены в 5: .

Зсг:сД лсжлъпой прагжвзибноаш управляемой систем! называбтея тожество всех точек фазового пространства, для каждой из которых п ягзой достаточно близко/1 к ней точки ллбал из этих двух точгк доотагивла одна из другой за близкое к нулг> время.

Порвые три параграфа второй главы носят подготовитолып-Т» характер. В них изучены особенности поля продельных направлений типичной упрзвлг-":"* систеш с конечным числом различных зпзчз:п:п управляющего параметра, влияние этих особенностей и?, лскэльиуо управляемость систеиг. а такао особенности границ ?они локально/! транзитивности и круто!! области такой системы.

Основной розультвт этой главы isonso сформировать а виде следующего утЕергщешнт.

Теорэга, Для тпичной управляемой cucr.3£ji' на поверхности справедливы слодуглацв при ¡р.3ср~0ения:

г) Кругла об/.аст> з™с;1 сиегг-зл* являемся дополнение.«. х satmaxwo vo' oovu ло:сплы'с2 прант/япвпоегм. и лол'сл u£<}ra¡ на сОопй еряшце .тгд> огп.-онпьо cccóewiocr.u из конечного описка.

г) ОсоСечаогг-/ ое поля лртЗ.-? v-rtvx попраСл-утР. пр;~с щжадлолхг*. у ■■'.wincsiy ar'ivíij ccetfetfítocxcü.

з) Зли сб'попь и DO)'а, а vtmzo acc'Sowtcoz.u их sp'jmaj, и асобппоегч голл прзВо,г.>)Р.*.г направлений успойчивы к лыоеу Qosaywtom з7.ой etioviorj.

Последние параграф иторой главы иосьящош доказательствам основных результатов этой главы.

В третьей глава диссертации результаты второй главы используится для изучения свойств нелокальной управляемости типичной системы на замкнутой ориентируемой поверхности. Управляемая система называется структурно устойчивой,, если семейство положительных и отрицательных орОит точек для лубой достаточно Слизкой к нзй система переводится в семейство орбит точек для первоначальной системы гомеоморфизмом фазового пространства, близким к тождественному. Это понятие аналогично введенному в 1937 году А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным понятии структурно устойчивого (грубого) векторного поля. Основным результатом третьей гласи дчссортации является следующая теорема.

Теорока 2.1. Типичная управляемая система на эсшту&ой орионтрузлой поверхности является струкаурю устойчивой.

Таким образом, по отношению к орбитальной эквивалентности типичная управляемая система на замкнутой ориентируемой поверхности ведет себя так ке, как н типичное дифференциальное уравнение.

Подоножостсо фазового пространства называется успайчивил (по отношению к некоторой систомз), осли для любого числа оо суцаст-вуот такоо число &>о (вообще говоря, зависящее от с), что каздая траектория систем:! с начальной точкой у из 8-окрестности этого подмножества при I существует и леаит 2 его с--окрестности. Если к тому яе расстояаио от точки а(с) до зтого подмножества стремится к нулю при с--^, то оно называется асиллхошчосгси успоЛчивиа. Циохеалбол досгчишиосяи называется положительная орбита стартового множества. Ш предполагаем, что стартовое множество

(jcTb объодкншше коночного числа точок и гладко влокешюго одномерного замкнутого подмногообразия. В третьей главе получен такза слэдуяшй взззшй результат.

Теорема 1.10. Лля тпичной уиравлтлой нп аахкнуяой

оритжирузАОй поверхности ео лко-гсгяво боаздзиеосяи асиликкачее?«! устойчиво.

Точку границы зоны нелокальной транзитивности (множества дости-утмости) будом наз'пзать особой точной кипа р, ispss, если вблизи •этой точки эта зона (соответственно ого внутренность) совпадает в подходящей гладко!? системе локальных координат х, у с началом в этой точке с цкозгаством либо i ) у>|х|, либо i_)y<|r| при р*.т; у>|л-|гр"! при р, рапном з либо л ех"<у<х. гда с-ti, при г^; у<(с+с(вдпх-1 JЛ*|а, ГДО с«±Д, схЗсрЯ при р=5; y<h(x) при р-»6, ГДа

график функции yh(x) вблизи нуля ооппадазт с зюожшшен обьедива-ния двух неособых фазовых кривых слопанного узла

у+а(а+1)~а*/2)г.

зходяеих в нуль с противоположите направлений; всюду здесь o»j -юцелое число. Особая фазовая кривая (сложенного) узла - это разовоя кривая, входящая к особую точку либо вгагодяаэя из поп и фодоЯжаемая через эту точку. как. гладко вложенная кривая; гри юцелом показателе узла таких фазовых кривых ровно чотнро.

Творена 1.6. Для управляемой сисяе.гы обкоео полдапи траввдливы слядущие т/м ¡piвериОенпяг

1) Граница любой ее зоны нелокальной транзит вноепт либо пусга, чбо яп.мотся главно в лоханной кривой с особыми почками тто р

SPS6,

з) 3<uM(awii «отбыт двух различных ее :юн нелокальной

транзитивности не пересекшаяся.

з) Для любой сисиелы; достаточно близкой к первоначальной системе, зоны нелокальной яронзияивноош этих систем переводятся оОни в другие близким к тождественному гомеоморфизмом фазового просярансява. Переводящий гомеоморфизм можно выбралъ пак, что он Судея (f-диффеоморфизмом всюду за исключением, бшь мохея, особых яочен еракии этих зон яшшб чешрв, пять и шесть.

Следующая теорема является простим следствием более сильной теоремы 1.12.

Теороыа 1.12'. Мля типичной управляемой системы на замкнутой Ориентируемой поверхносш верни следующие яри утверждения:

1) Зашкалив дножесива ôocsumutocrau собпаваея с замыканием его внутренности.

2) Граница любой ее зоны нелокальной транзитивности либо пуста, либо является гладко вложенной кривой с особым шочнами mava р, Is. рйб.

3) Все особенноcm границы достижимости устойчивы к малому возмущению этой системы: множества достижимости типичной системы, и .тбой системы Оостаяошо близкой к ней переводятся одно в другое близким к тождественному гомеоморфизмом фазового пространства, переводящш особые гюч>ш границ этих множеств одни в другио. Этот гомеоморфизм лото выбрать тан, что он будет cf -диффеоморфизмом всюду за исключением, бшь может, особых точек шипов 4, sus.

Приведем пример структурно устойчивой (грубой) управляемой сис •¿•емы на сфере. Объект допускает движения с двумя структурно устойчивыми векторными полями. Одно поле скоростей нмоет невырожденный устойчивый узел на шиои полюсе и негнроадшшып неустойчивый узел

im сонорном. Остальные фазовые кр,¡rrj-ч -лтшп поля стекают о северного полюса на южный и сошталопт о м<ф» отгонами вне достаточно малых окрестностей этих полюсов

Другое поле скоростей jtmgot лвя простых цикла, являтихсл пэрчл-талжи и расположениях вблизи экрптора. Северный никл ноустоЯчив? фазовая кривая, сч^тирчпяаясл с него, либо наматывается на теяшй цикл, либо вхогпт в иоЕлроалешшй устойчивый фокус вблизи ерворного полюса. ?нцуп ппкл устойчив; фазовая кривая, наматывающаяся на него либо сматипяптся с северного никла, либо выходит из невырожденного неустойчивого фокуса вблизи rminro полюса (рисунок).

Эта управляемая система имчот пки зоны нелокальной транзитивности: со-верную и шнуя. Они расположены со-этвотственно выше северного и ния:о отар* о циклов. Северная и шняя зоны юлокэльной транзитивности раздолен« жваториальным кольцом, в котором фазовые кривые одного ноля скоростей 1Ш1ЯЮТСЯ меридианами, а фазовые кривые другого сматываются с ¡еверного цикла этого поля и наматываются на его южный цикл.

Как выглядят орбиты точек сферы? Для - точек северной соответственно южной) зоны нелокальной транзитивности отрицатель-;ая (соответственно положительная) орбита совпадает с этой зоной, положительная (соответственно отрицательная). - со всей сферой, ля точки границы этой зоны одна орбита совпадает с замыканием той зоны, а другая - с замыканием дополнения к этой зоне.

pLiGcr.iorp'L'.! точку экваториального кольца. Проведеы через нее (р-чошо криЕНв полой допусткшх скоростей и возьмем по два учасиси нодоактелыш: и отрицательных полутраокторий атих кривых: участки, ааклачаадао мазду насей точкой а .цвуш швкаПваш (вдоль атих по-лутравкториЯ) к ксЕ точками порэсечаиш у па кривых. Паяозитолыша (соответственно отрицательная) opouva ¿:аыей точки расположена под (соответственно над) объединении!,) двух из этих чатырох участт-ов, принадлэзздах шшжатмьнш (соотввтствааш отрвдатольнш) палу-

TpüSKTOpilHM.

Понятно, что иабяадаемая в атой примера структура орбит тонок будет еыглядоть Tai; еэ и для любо!! управляемой системы, достаточно близкой в с'-топоясгии и. тем Салоо, в с*-топологии У!'.гни к рас-сиатриааейой. Натрудао шдзть, что гомеоморфизмам сфэры. с0-близким тождественному, семейство орбит точек одной из этих систем М02НО перевести в семейство орЗнт точек, другой системы. Таким образом, рассмогрошшя управляемая система является структурно устойчивой.

В чотвэртой глава диссертации изучается граница достигимостн более пирокого класса управляемых систем, чем я предыдущей главе. Предполагается, что множество и состоит не менее чш из двух различных точек и является топологическим подпростреистгзом с обычной топологией, а отображение г.-(s,u)>—-*f(z,и) ымэет класс с*, то есть суиествуют производные отображения f по переменкой г до порядка 1: включительно и кавдая из шзх непрерывна по совокупности поромешшх z, и. Пространство таких систем снабдим тонкой с*-тополопшй Уитни. Близость двух систем в этой топологии означает следующее: их производные по фазовой переменной до порядка к

включительно близки во всех точках пространства переменных г, и, и близость эта сколь угодно хорошо контролируется на бесконечности. Типичная система - это система из некоторого открытого всюду плотного множества в этом пространстве в такой топологии.

Основные результаты этой главы приведены в ее первом параграфе. В ослабленной форме их можно сформулировать в виде следующих утверждений.

Теорема ь. При произвольном стартовом множестве замыкание [соответственно внутренность) множества достижимости типичной управляемой системы совпадает, вблизи каждой из своих точен с надграфином (соответственно внутренностью над графина) функции, удовлетворяющей условию Липшица, в подходящей системе гладких локальных координат с началом в этой точке, если число различных значений управляющего параметра не меньше удвоенной размерности фазового пространства.

Теорема н. При произвольном стартовом множестве замшанив [соответственно внутренность) множества достижимости типичной управляемой системы совпадает вблизи каядой из своих точик с надграфином [соответственно внутренностью надграфика) функции, удовлетворяющей условию Гелъдера с показожелем, не меньшим к"1/2, 3 подходящей системе локальных координат класса ск с началом в этой точке, если число различных значений управляющего параметра <е меньше 1+1 и кг(2т-1)/1-1, к>о.

Последние параграфы этой главы посвящены доказательствам ее >сновных результатов.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Давыдов A.A. Граница дэстихим.ости многомерной управляемой CUClilOJIbl// Тр. Тбилисского гос. ун-та. 1982. Т.232-233. С. 78-96.

2. Давыдов A.A. Нормальная форха дифференциального уравнения, не разрешенного отосижелыю производной в окрестностш его особой точки// Функц. анализ и ого приложения. 1985. т.19. Вып.2. с. 1-10.

3. Давыдов А. А. Об уравнениях, не разрешенных относительно производной, и о релаксационных колебаниях// УМН. т.4о. Вып.5. с.

299 - 300..

4. Давыдов A.A. Квазигелъдеровостъ границы досжихилост// Труды семинара по тензорному и векторному анализу. 1986. Вып. 22. с. 26

5. • Давыдов А. А. Нормальная форма медленных двихений уравнения релаксационного тпа и расслоения биномиальных поверхностей// Математический сборник. 1987. т. 132(174). Вшы. с. 131 - 139. •б. Давыдов А.А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем// Математический сборник. 1988. т. 136(178). Вып.4. С. 478 - 499.

7. Давыдов А. А. Особенности 8 задачах оптимизации// Теория операторов в функциональных пространствах. Обзор, лекции 13-й Всесоюз. ШКОЛЫ 6-13 ОКТ.1988. 1989. С. 144 - 155.

8. Давыдов А. А. Структурная устойчивость управляемых систем на-ориентируемых поверхностях// Математический сборник. 1991. т. 182Г Вып. 1. с. з - 35.

9. Davydov A. A. The boundary controllability's singularities for a" generic control system// Geometric methods in nonlinear optimal control. Abstracts. Sopron, Hungary, July 22-26, 1991. P. 8.

10. Davydov A.A. Structural ¡stability of generic control system«/ Proceedings of International Conference on Opuiraization and Control theory. Lodz, Poland, 1991. C. 16 - 18.

11. Davydov A.A. Singularities oif implicit ODE's and of PDE's of mixed type: Preprint of College on Singularity theory. International Center of Theoretical Phisics. Trieste, Italy, 1991. Lecture 40, 11 c.

33