Особенности уравнений динамики некоторых неголономных систем и неявные дифференциальные уравнения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

004616958

УДК 531.01

Закалюкин Иван Владимирович

Особенности уравнений динамики некоторых неголономных систем и неявные дифференциальные уравнения

01.02.01.....Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-9 ДЕН 2010

Москва - 2010

004616958

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент,

Бардин Борис Сабирович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Косенко Иван Иванович

доктор физико-математических наук,

профессор,

Борисов Алексей Владимирович Ведущая организация: кафедра информационной безопасности

и теории управления, Ульяновского государственного университета

Защита состоится 24 декабря 2010 в 10 часов на заседании диссертационного совета Д212.125.Ц при Московском авиационном институте (государственном техническом университете), расположенном по адресу: Москва, 125993, Волоколамское ш., д.4, МАИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан «-12_» Но^ЬРЯ_2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета. Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.м.н., доцент

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Динамика неголономных систем представляет собой один из наиболее сложных и красивых разделов механики. В практике в основном применяются линейные по скоростям иеголономпые связи, моделирующие качение твердых тел, движение тела с острым краем (конька). В последнее время с развитием сложных робототехнических и транспортных систем возрос интерес к исследованию систем с нелинейными связями, например, обобщениям классического примера Аппеля, а также с линейными связями более общего вида. Начиная с работ классиков 19 века и отечественных основоположников неголономной механики С.А.Чаплыгина, П.В.Воронца и др. 12, всегда предполагалось, что система неголономных связей имеет полный ранг. В этом случае уравнения динамики систем, идеальных по Лагранжу, могут быть записаны в разрешенном относительно старших производных виде. Только отдельные работы в последние десятилетия рассматривали другие случаи, когда уравнения динамики приводили к неявным уравнениям. Среди них хорошо известны только работы Дирака об особых точках уравнений Эйлера-Лагранжа, для которых матрица вторых производных Лагранжиана по обобщенным скоростям вырождена 3. Систематического исследования динамики неголономных систем вблизи множества вырождения связей в литературе нет. Отметим только ряд интересных работ, посвященных отдельным случаям возникновения неявных уравнений в задачах теоретической механики и близких разделов теории

1 Неголономные динамические системы, Интегрируемость, Хаос, Странные аттракторы, A.B. Борисов, И.С.Мамаев ред.,Сборник статей, Москва-Ижевск, 2002, 324с.

2 Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной механики, Динамические системы -3, Итоги науки и техники, М. ВИНИТИД985, 320 с.

3 Dime P.A.M. Lectures on Quantum Mechanics. Yeshiva University, New York, 1964. Русс, перевод: Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике. М.: Мир, 19С8.

динамических систем 4 5 с 7.

С другой стороны, начатая с работ А. Пуанкаре и развитая в работах В.И.Арнольда 8 9 10, геометрическая теория неявных дифференциальных уравнений превратилась в развитый аппарат исследования сложных систем. Различным аспектам применения теории особенностей в неявных дифференциальных уравнениях посвящены, в частности, следующие современные работы 11 12 13.

Настоящая работа относится к этому недостаточно изученному и интересному разделу механики. Основные методы - это методы геометрической теории неявных дифференциальных уравнений и математической теории особенностей. Актуальность темы и результатов, среди которых исследование простого и красивого примера (движения балки с двумя коньками), еще более подчеркивается наличием в современной

4 De León, М., Marin-Solano J., Marrtro J.С., Muñoz-Lecanda M.C., Román-Roy N. Singular La-grangian systems on jet bundles// Fortschrit. Phys., 2002, vol.50 (2), p. 105—169. См. также: ArXiv: inath--ph/0105012, 2002.

5 Carillena J.F. Theory of singular Lagrangians// Fortschrit. Phys., 1990, vol.38 (9), p.641 —679.

6 Gracia X., Muñoz-Lecanda M.C.. Román-Roy N. On some aspects of the geometry of differential equations in physics// int. J. Geometric Methods in Mod. Phys., 2004, v. 1, p. 265 — 284. См. также: ArXiv: math-ph/0402030, v. 1, 2004.

7 Basto-Gon^alvcs J. Singularities of Euler equations and implicit Hamilton equations// in Real and Complex Singularities, Pitman Research Notes in Math. 333, Longman, 1995, p. 203 — 214.

8 Arnold V.I. Wavefronts evolution and the equivariant Morse lemma// Comm. Pure and Appl. Math., 1976, vol.29, 6, p.557-582.

9 Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.М.: Наука, 1978. 304 с.

10 Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000. - 400 с.

11 M.Lemasurier Singularities of second-order implicit differential equations: a geometrical approach, Journal of Dynamical and Control Systems, vol.7 (2001), n.2, 277-298.

12 Davydov A.A. Qualitative Theory of Control Systems. Mathematical Monographs, vol. 141. AMS, Providence, Rhode Islans, 1994, 147 p.

13 Davydov A.A., Ishikawa G., Izumiya S., Sun W.-Z. Generic singularities of implicit systems of first order differential equations oil the plnlie// ArXiv: luath.DS/0302134, v. 1, 2003.

технике сложных гибридиых механических управляемых систем и, в которых реализуются неголономпые связи весьма общего вида. Аналогичные системы уравнений возникают также в различных разделах современной физики.

Цель диссертационной работы

Исследовать качественное поведение механической системы с неголономными связями в окрестности множества вырождений связей. Установить связь этой теории с теорией систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старших производных. Исследовать модельные примеры вырождения связей.

Научная новизна

В диссертации получены новые теоретические результаты, представляющие интерес для широкого круга специалистов по механике и теории дифференциальных уравнений. Эти результаты не встречались ранее в мировой литературе. Такими результатами являются: Доказательство теоремы о нормальной форме уравнений динамики в окрестности вырождения связей кораига 1. Качественное исследование динамики механической системы, описываемой неявным дифференциальным уравнением па особой поверхности, так называемом, "зонтике Уитни". Качественное исследование динамики балки с двумя коньками вблизи множества вырождения системы уравнений связей. Классифицированы нормальные формы локальных особенностей первых интегралов вырожденных систем с нелинейными связями, сводящихся к 2 степеням свободы.

Практическая значимость

Результаты анализа качественного поведения неголономных

14 J.P.Gauthier, F.Monroy-Perez, C.Romero-Melindez, On complexity and motion planning for corank one SE metrics, COCV, v. 10, 2004, 634-055.

механических систем вблизи области вырождения уравнений связей являются новыми теоретическими положениями, имеющими приложения в фундаментальных и практических исследованиях динамики сложных систем, в частности, в робототехнике, в многозвенных транспортных системах. Методы созданные в диссертации могут быть использованы в исследовании систем дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, в теории управляемого движения. Результаты о качественном поведении неявного уравнения на специальной особой поверхности имеют широкий спектр приложений в ряде областей естествознания, включая, в частности, неголономные механические системы, состоящие из нескольких сочлененных твердых тел, снабженных несколькими колесными парами, а также и задачи релятивистской физики, сводящиеся к системам уравнений с вырожденными Лагранжианами. Полученные обще-теоретические результаты могут быть использованы в учебном процессе при подготовке спецкурсов по теории неголономных систем и неявных дифференциальных уравнений.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Доказано, что нормальная форма уравнений Лагранжа с неопределенными множителями в окрестности множества вырождения неголономных линейных связей задает систему с быстрыми и медленными переменными. Сделаны выводы о неуправляемости такой системы.

2. Построен фазовый портрет и исследована структурная устойчивость неявного дифференциального уравнения на типичной особой поверхности в трехмерном пространстве.

3. Получена классификация локальных особенностей первых интегралов вырожденных механических систем с нелинейными связями, сводящихся к системам с двумя степенями свободы.

4. Исследована динамика исголопомной системы, состоящей из балки с двумя коньками и совершающей плоское движение, вблизи подмножества фазового пространства, где ранг системы неголономных связей падает (коньки одновременно становятся перпендикулярными балке). Показано возникновение области ударных движеиий.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на двух международных конференциях: Международная конференция по Механике и Управлению, Суздаль, Июль 2009; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и особенности", Суздаль, Июль 2010; а также на семинаре "Дифференциальные уравнения и механика" факультета Прикладной математики и физики МАИ (Апрель 2010).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано б работ [1-6], из них три статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Одна статья принята к печати. Опубликованные в данных журналах статьи полностью отражают содержание всех глав диссертации.

Личный вклад автора

Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в статьях без соавторов.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из двух глав. Общий объем диссертации 96 стр. Диссертация содержит 20 рис., список цитированной литературы состоит из 70 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе рассмотрено качественное поведение неголономных механических систем, заданных уравнениями Лагранжа с неопределенными множителями, в том числе, систем с управлением, при условии, что уравнения связей (которые мы считаем линейными однородными по скоростям) задаются в некоторых точках вырожденной матрицей.

й дТ дТ „ ^ , 9/,- , . . . „

= + ШЯЛ) = о, (1)

г = 1,... ,п, з = 1,...,к,

где Т - кинетическая энергия системы, являющаяся функцией обобщенных координат д = (91,..., д„), обобщенных скоростей (/ = (91,..., д„) и времени СМ?! <7> 0 " обобщенные силы, А,- неопределенные множители (имеющие смысл коэффициентов, определяющих обобщенные силы реакции неголономных связей). Система уравнений к неголономных связей имеет вид А(д)д = 0, где компоненты матрицы А(д) размера к хп гладко зависят от обобщенных

координат.

Предполагается, что вырождения удовлетворяют условиям общности положения и имеют наиболее простой вид. В частности, ранг матрицы А равен к — 1 на подмногообразии Е фазового пространства. Показано, что в этом случае вблизи Е система может быть описана, как система с быстро-медленными переменными. В общем положении для почти каждой (за исключением подмножества относительной меры 0) точки Е не существует

непрерывно дифференцируемой фазовой траектории системы, проходящей через эту точку. Этот факт представляет интерес для систем с управлением или систем программного движения: для того, чтобы получить, хотя бы приближенно, непрерывно дифференцируемую фазовую траекторию, траисверсальио пересекающую множество Е указанного вида, необходимо приложить к системе очень большие внешние силы (или соответствующие управления).

Доказана следующая теорема:

Теорема. В некоторой окрестности IV точки до> в которой ранг матрицы связей равен к — 1 существуют такие ограниченные вектор-функции Р(д,д), что уравнения Лаграно/са с неопределенными множителям в точках С, проекция которых на конфигурационное многообразие принадлежит \У \ тг(Е), разрешенные относительно обобщенных ускорений, имеют вид:

(2)

Здесь £4 - специальная квадратичная форма обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат, Д^ - квадрат расстояния до множества £1 и МСа - некоторое гладкое векторное поле.

Итак, в первом приближении, в окрестности точек Е, где 4) ф О, обобщенные скорости быстро меняются и достигают таких значений, что £(<?> я) — 0. При этом обобщенные координаты меняются сравнительно медленно. Заметим, что при каждом фиксированном значении обобщенных координат вектор главной части обобщенных ускорений имеет фиксированное направление, то есть "быстрое движение" является одномерным.

Рассмотрен пример динамики двух коньков на плоскости, соединенных

балкой (рис 1.), в окрестности вырождения системы уравнений связей. Заметим, что ряд других практических задач (не вошедших в настоящую диссертацию), например, движение тележки с поворачивающимися колесиками, моделируемое невырожденной системой, которая становится вырожденной при обращении в нуль малого параметра, и задачи оптимального управления такой тележкой также имеют подобные свойства вблизи подмногообразия вырождения.

Показано, что когда коньки становятся одновременно перпендикулярными балке, то происходит вырождение матрицы неголономных связей.

Доказано, что при отсутствии внешних сил систему можно проинтегрировать. Вблизи множества вырождения динамика описывается неявным дифференциальным уравнением первого порядка на особой поверхности Пуанкаре (рис 2) в трехмерном пространстве с координатами

£ = <р-|. Р = Ф, Ь.

В процессе исследования этого примера был получен новый теоретический результат. А именно, в теории неявных дифференциальных уравнений в качестве поверхности Пуанкаре появляется особая поверхность

1

с

Рис. 1. Балка с двумя коньками

изоморфная зонтику Уитпи. Исследованию этих случаев, один из которых происходит из теории быстро-медленных систем, другой нз неявных систем из двух дифференциальных уравнений первого порядка в пятимерном пространстве после редукции по части переменных, посвящены недавние работы известных ученых из России, Японии, Великобритании 15. Однако, был изучен только случай наиболее общего расположения зонтика по отношению к проекции на конфигурационное пространство, а важный случай, возникающий, как раз в примере балки с двумя коньками, в литературе до сих пор отсутствовал. Этот случай выделяется тем, что поверхность Пуанкаре, представляющая собой зонтик Уитпи, имеет вертикальную (то есть параллельную оси производной) линию самопересечения (которую, часто называют "ручкой" зонтика Уитни). Другими словами, особые точки проекции на конфигурационное пространство нензолировапы, а образуют целые линии. Такой случай характерен для неявных уравнений в лагранжевой механике, в частности,

15 Davydov A.A., Ishikawa G., Izumiya S., Sun W.-Z. Generic, singularities of implicit systems of first order differential equations on the plane//' ArXiv: math.DS/0302134, v. 1, 2003.

при изучении особенностей уравнений Лагранжа вблизи вырождения неголономпых связей. В диссертации получены нормальные формы такой особенности относительно группы контактных преобразований, нормальные формы поднятого векторного поля и описание поведения его фазовых траекторий.

Нами изучено качественное поведение фазовых траекторий системы вблизи множества вырождения связей. Показано наличие участка движения похожего на удар, когда угловая скорость балки меняется почти мгновенно (рис.3), а сам угол меняется медленно. Результаты первой главы опубликованы в работах [1, 2, 5].

Во второй главе рассматриваются типичные особенности первых интегралов систем неявных дифференциальных уравнений общего нелинейного вида. Такие особенности возникают и в уравнениях Лагранжа с неопределенными множителями для лагранжианов общего вида и для нелинейных неголономных связей. Мы в основном рассматриваем системы с несколькими степенями свободы, уравнения движения которых, сводятся к неавтономным системам двух неявных дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций.

Р

Рис. 3. Типичная траектория на особой поверхности

Примером подобной системы может служить система уравнений, описывающая движение балки с двумя коньками (из главы 1) на наклонной плоскости. Если, с учетом постоянства угловых скоростей коньков, понижать размерность системы, то получается система на трехмерной особой поверхности в пятимерном пространстве. Надо рассмотреть совместную поверхность уровня механической энергии (суммы кинетической энергии и потенциальной энергии силы тяжести, пропорциональной некоторой линейной координате Хс центра масс) и пеголопомного уравнения связи, задающего зависимость проекции Хс скорости центра масс через угловую координату ¡р, и угловую скорость балки ф, в пятимерном пространстве с координатами ф, хс, ¿с-

На указанной трехмерной поверхности возникает векторное поле с особенностями там, где поверхность не имеет регулярной проекции на конфигурационное пространство (<р,Ь,ф). Таким образом, мы приходим к задаче изучения особенностей систем неявных дифференциальных уравнений.

В наиболее свободном с точки зрения теории особенностей общем нелинейном случае в этой главе доказана теорема о классификации типичных особенностей и получено геометрическое описание поверхностей уровня всех типичных дополнительных первых интегралов. Рассмотрен случай, когда исходная неявная нелинейная система приводится к системе двух неавтономных уравнений первого порядка относительно двух обобщенных координат.

Теорема. Рассмотрим пеголономиую механическую систему с нелинейными связями , уравнения движения которой, с помощью первых интегралов сводится к системе двух неявных дифференциальных уравнений, заданной па трехмерной фазовой поверхности в В.0. Если

проекция этой поверхности на конфигурационное пространство имеет критические точки коранга не больше 1, то в случае общего положения всякий ее росток для пары 5,1, где I - дополнительный регулярный первый интеграл, эквивалентен одной из следующих нормальных форм:

1. Проекция р имеет А\ (особенность складки), и пара 5*, I является сильно эквивалентной паре ростков в нуле проекции р, заданной формулой = £ ~~ У2 = 0: причем, функция I эквивалентна одной из следующих нормальных форм /1,0 = х\ + у3, или /*0 = х\ + у3х2, или /хд = + у3{р ± Х2+Ж1). (см.,например, рис. 4)

Рис. 4. Полукубические, со сложенными зонтиками поверхности уровня интеграла /1,1+ на складке (А\)

2. Проекция р имеет особенность сборки А1, а пара сильно эквивалентна паре ростков в нуле проекции р заданной формулой ^з = у3 + х\у — 4 = 0 и интеграла /, который равен /2,0 = хг + ty — |?/4 + \х\у2, либо паре, которая Ь- эквивалентна паре с той же проекцией и интегралом

3. Проекция р имеет особенность ласточкина хвоста Аз, а пара 5,/

либо

Рис. 5. Поверхности уровня интеграла /1,1+ на сборке (Л2)

является 6-эквивалентной паре ростков в нуле этой проекции р, заданной формулой — — Ь + у4 + Х2у2 + Х\у = 0 и интегралом / имеющим вид

Здесь Х2 - координаты на конфигурационном пространстве, у - одна из обобщенных скоростей.

Рис. 6. Поверхности уровня интеграла /:; п "бабочка" на ласточкином хвосте (Аз)

Исследованы условия общности положения. В заключительном разделе показано, что простейшие типичные особенности подобных систем в ИА но с линейными пеголопомными связями, имеют совсем другие особенности.

Результаты второй главы опубликованы в работах [3, 4, 6].

В Заключении кратко перечислены основные результаты и их возможные приложения. В том числе указано, что, как известно, наблюдая за единственной фазовой траекторией вполне интегрируемой Гамильтоновой

системы, совершающей всюду плотную обмотку тора Лиувилля, можно увидеть особенности проекции всего этого тора на конфигурационное пространство. Такие особенности видны вблизи границы области, заметаемой траекторией. По аналогии с этим, проекции отдельных траекторий, или пучков траекторий, с заданным уровнем энергии и интеграла, могут заметать в конфигурационном пространстве многозначные поверхности с особенностями, полученными во второй главе. Они могут быть видны на различных, полученных численно, трехмерных изображениях фазовых портретов сложных неголономных систем.

Список публикаций

[1] Zakalyukin I.V., Degenerations of non-holonomic constraints and Ferrer's equations, Journal of Dynamical and Control Systems, Springer, Vol. 16, 3 (July 2010), 439 - 452.

[2] И.В.Закалюкин, Особенности управляемых систем при вырождении неголономных связей, Успехи математических наук, т. 65 (2010), вып 4, 193 - 194.

[3] Закалюкин И.В., Особенности вырождения неголономных связей и управляемость, Электронный журнал "Труды МАИ 39, Август 2010, 18с.

[4] Закалюкин И.В, Управляемость механических систем вблизи подмножества вырождения неголономных связей, Теория и Системы Управления, Известия РАН, 2010, 18стр. (в печати)

[5] Zakalyukin I.V., Degenerations of Ferrer's equations, Тезисы международной конференции , "Дифференциальные уравнения и механика"Суздаль, Июль 2009, Из-во Владимирского гос. Ун-та, 223-224.

[6) Zakalyukin I.V., Non-controllability in degenerate constraint systems, Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения и особенности Суздаль, Июль 2010, Из-во Матсм. Ин-та РАН им. В.А,Стсклова, стр.206-207.

Подписано в печать: 10.11.10 Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 769736 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского,39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение

Глава 1. Примеры вырождения неголономных связей и уравнения Лагранжа с неопределенными множителями.

1.1. Вырождение минимальной коразмерности.

1.2. Управляемость в кинематической системе.

1.3. Исключение множителей.

1.4. Движение вблизи множества вырождения.

1.5. Об управляемости в динамической системе

1.6. Пример.

1.7. Качественное исследование движения балки с коньками с помощью интеграла энергии.

Глава 2. Особенности общего положения первых интегралов систем с вырожденными нелинейными связями.

2.1. Обзор необходимых результатов из теории неявных систем дифференциальных уравнений.

2.2. Классификация локальных особенностей первых интегралов неявных систем двух уравнений.

2.3. Реализация особенностей, невырожденность и общее положение

2.4. Особенности первого интеграла общего положения вырожденной пеголономной системы с двумерным конфигурационным пространством и линейными связями.

Диссертация посвящена изучению динамики неголопомных механических систем в окрестности подмножества фазового пространства, где уравнения связей являются вырожденными.

По-существу. это важный частный случай теории вырожденных уравнений динамики или. еще в большей общности, теории неявных систем дифференциальных уравнений.

Эта область находится на стыке теоретической механики, математической теории особенностей, теории дифференциальных уравнений. Она мало изучена, особенно в приложениях.

Актуальность темы исследования

Динамика неголономпых систем представляет собой один из наиболее сложных и красивых разделов механики. В практике в основном применяются линейные по скоростям неголономные связи, моделирующие качение твердых тел. движение тела с острым краем (конька). В последнее время с развитием сложных робототехнических и транспортных систем возрос интерес к исследованию систем с нелинейными связями, например обобщениям классического примера Аппеля. а также с линейными связями более общего вида. Начиная с работ классиков 19 века и отечественных основоположников неголономной механики С.А.Чаплыгина. П.В.Воронца др. (см. например.[12. 23 25]). всегда предполагалось. что система неголономных связей имеет полный ранг. В этом случае уравнения динамики систем, идеальных по Лагранжу. могут быть записаны в разрешенном относительно старших производных виде. Только отдельные работы в последние десятилетия рассматривали другие случаи, когда уравнения динамики приводили к неявным уравнениям . Среди них хорошо известны только работы Дирака об особых точках уравнений Эйлера-Лагранжа. для которых матрица вторых производных Лагранжиана по обобщенным скоростям вырождена [57]. Систематического исследования динамики неголономных систем вблизи множества вырождения связей в литературе пет. Отметим только ряд интересных работ посвященным отдельным случаям возникновения неявных уравнений в задачах теоретической механики и близких разделов теории динамических систем [36. 49. 58. 59]. С другой стороны, начатая с работ А. Пуанкаре [60] и развитая в работах В.И.Арнольда [3 9. 11]. геометрическая теория неявных дифференциальных уравнений превратилась в развитый аппарат исследования сложных систем. Различным аспектам применения теории особенностей в неявных дифференциальных уравнениях посвящены.в частности. следующие фундаментальные работы [16 18. 51 53; 55, 56, 62]. Настоящая работа посвящена как раз этому недостаточно изученному и интересному разделу механики. Основные методы - это как раз методы геометрической теории неявных дифференциальных уравнений и математической теории особенностей, изложению которых посвящены, в частности, недавние работы известных ученых [37, 38, 40, 41, 43 48, 61, 65, 67 70]. Актуальность темы и результатов, среди которых исследование простого и красивого примера (движения балки с двумя коньками), еще более подчеркивается наличием в современной технике сложных гибридных механических управляемых систем (см., например, работы [26 29]) . в которых реализуются неголономпые связи весьма общего вида. Аналогичные системы уравнений возникают также в различных разделах современной физики (см.например, [63]).

Наиболее существенные результаты работы:

1. Доказано, что нормальная форма уравнений Лаграижа с неопределенными множителями в окрестности множества вырождения неголономных линейных связей задает систему с быстрыми и медленными переменными. Сделаны выводы о неуправляемости такой системы.

2. Построен фазовый портрет и исследована структурная устойчивость неявного дифференциального уравнения на типичной особой поверхности в трехмерном пространстве. ■

3.Получена классификация локальных особенностей первых интегралов вырожденных механических систем с нелинейными связями, сводящихся к системам с двумя степенями свободы.

4. Исследована динамика неголономной системы, состоящей из балки с двумя коньками, и совершающей плоское движение вблизи множества падения на единицу ранга системы неголономпых связей. Показано, возникновение области ударных движений.

Научная новизна

В диссертации получены новые теоретические результаты, представляющие интерес для широкого круга специалистов по механике и теории дифференциальных уравнений. Эти результаты, по-видимому, не встречались ранее в мировой литературе. Такими результатами являются:

Доказательство теоремы о нормальной форме уравнений динамики в окрестности вырождения связей коранга 1.

Качественное исследование динамики механической системы, описываемой неявным дифференциальным уравнением на особой поверхности, так называемом. "зонтике Уитни11.

Качественное исследование динамики балки с двумя коньками вблизи^ множества вырождения системы уравнений связей.

Классифицированы нормальные формы локальных особенностей первых интегралов вырожденных систем с нелинейными связями, сводящихся к 2 степеням свободы.

Достоверность

Достоверность исследования обеспечивается применением строгих математических методов, а также соответствием выводов, полученных в диссертации. известным ранее результатам. Все теоретические положения сформулированы в виде теорем и лемм и полностью доказаны.

Автору диссертации удалось использовать современные методы теории неявных дифференциальных уравнений и математической теории особенностей для исследования качественного поведения сложных неголоиомпых механических систем вблизи множества падения ранга матрицы линейных связей или дифференциалов нелинейных связей. Теоретическое исследование структурной устойчивости неявного уравнения динамики на специальной особой поверхности дополняет недавние работы ряда специалистов из Японии и Великобритании (см. например. [15. 47. 56]), не изучивших эти важные для приложений явления.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования

Результаты анализа качественного поведения пеголономных механических систем вблизи области вырождения уравнений связей являются новыми теоретическими положениями, имеющими приложения в фундаментальных и практических исследованиях динамики сложных систем, в частности, в робототехнике. в многозвенных транспортных системах. Методы созданные в диссертации могут быть использованы в исследовании систем дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными, в теории управляемого движения. Результаты о качественном поведении неявного уравнения на специальной особой поверхности имеют широкий спектр приложений в ряде областей естествознания. включая, в частности, неголопомные механические системы, состоящие из нескольких сочлененных твердых тел. снабженных несколькими колесными парами, а также и задачи релятивистской физики, сводящиеся к системам уравнений с вырожденными Лагранжианами. Полученные обще-теоретические результаты могут быть использованы в учебном процессе при подготовке спецкурсов по теории неголономных систем и неявных дифференциальных уравнений.

Апробация результатов исследования

Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены па двух международных конференциях: Международная конференция по Механике и Управлению. Суздаль. Июль 2009; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и особенности", Суздаль. Июль 2010; а также на семинаре "Дифференциальные уравнения и механика" факультета Прикладной математики и физики МАИ (Апрель 2010).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 6 работ [30 35]. из них три статьи в журналах, рекомендованных ВАК. Одна статья принята к печати. Опубликованные в данных журналах статьи полностью отражают содержание всех глав диссертации.

Более подробное описание диссертации

Работа состоит из двух глав.

В первой, нас интересует качественное поведение неголономных механических систем, в том числе, систем с управлением, при условии, что уравнения связей (которые мы считаем линейными однородными по скоростям) задаются в некоторых точках вырожденной матрицей.

Исторически первой общей формой уравнений неголопомной механики считают уравнения Лаграпжа с неопределенными множителями, которые впервые были получены в работе Феррерса [22] (однако название уравнений Феррерса они не получили) где Т - кинетическая энергия системы, являющаяся функцией обобщенных координат д = • • •; ?))); обобщенных скоростей д = [д\,., дп) и времени ЯАчЛ-Л) ~ обобщенные силы. Xj неопределенные множители (имеющие часто смысл обобщенных сил реакции иеголопомных связей) и /ДОпФ,^) = 0. '] — 1,. уравнения неголопомиых связей. Система уравнений (1) вытекает из принципа Даламбера-Лагранжа [12,24], из которого выводятся также многие другие формы уравнений динамики подобных систем (Гаусса. Гельдера). Различные методы исключения неопределенных множителей приводят к различным типам уравнений иеголоиомной динамики Аппеля, Чаплыгина. Воль-терра. Больцмана-Гамеля и др. [12. 23. 24]. Однако, всегда предполагается, что накладываемые на систему неголопомные связи являются независимыми, то д f есть векторы градиентов -щ- являются линейно независимыми. Большинство встречающихся в практике неголономных связей являются линейными по обобщенным скоростям, другими словами, функции имеют вид п = + ьМ-л)

В этом случае условие невырожденности означает, что к х п матрица А = (а?,,) имеет полный ранг к. Важные в приложениях стандартные классы неголономных связей, как например, качение без проскальзывания одного твердого тела по другому, невырождены везде (см. [25]). Однако, имеются и простые примеры систем с непустым множеством вырождения.

В этой главе мы интересуемся поведением системы описываемой уравнениями (1) вблизи подмножества £ фазового пространства ТМ = (д, д). в точках которого условия невырожденности нарушается.

Предполагается, что вырождения удовлетворяют условиям общности положения и имеют наиболее простой вид. В частности, ранг матрицы А равен к— 1. Показано, что в этом случае вблизи Е система может быть описана как система с быстро-медленными переменными. В общем положении для почти каждой за исключением подмножества относительной меры 0) точки Е не существует непрерывно дифференцируемой фазовой траектории системы, проходящей через эту точку. Этот факт представляет интерес для систем с управлением или систем программного движения: для того, чтобы получить, хотя бы приближенно. непрерывно дифференцируемую фазовую траекторию, трансверсальио пересекающую множество Е указанного вида, необходимо приложить к системе очень большие внешние силы (или соответствующие управления).

Рассмотрен пример динамики двух коньков па плоскости, соединенных балкой, в окрестности вырождения системы уравнений связей. Заметим, что ряд других практических задач (не вошедших в настоящую диссертацию).например, движение тележки с поворачивающимися колесиками, моделируемое невырожденной системой, которая становится вырожденной при обращении в нуль малого параметра, и задачи оптимального управления такой тележкой. также имеют подобные свойства вблизи подмногообразия вырождения.

Безусловно; применение принципа Даламбера - Лагранжа в окрестности вырождения связей это существенная идеализация практической задачи: не учитываются многие регуляризирующие свойства (трение, деформации и т.д.). Мы не претендуем на большую точность согласия наших оценок с возможными физическими экспериментами. Однако, именно поведение идеальной системы в критическом случае, как нам кажется, представляет самостоятельный научный интерес.

Отметим также, что подобные вырождения неголономиых динамических систем рассматривались ранее в задачах программного движения робота. Даже в простейшем случае, описанном, например, в работах [26. 27]. оценки сложности программного движения скачкообразно меняются при пересечении поверхности Мартине, на которой происходит вырождение неголономного распределения.

Имеющие прикладное значение примеры применения полученных в этой работе результатов можно найти в различных задачах управления робото-тех-ническими устройствами (см.например [28. 29]).

Итак, в первой главе показано, что асимптотическое поведение механической системы общего положения, подчиняющейся уравнениям Лаграпжа с неопределенными множителями (уравнения Феррерса). с линейными неголо-номпыми связями в окрестности подмногообразия, па котором ранг системы уравнении связей падает на единицу, задается системой с быстрыми и медленными переменными.

В общем положении для почти каждой (за исключением подмножества относительной меры 0) точки из множества вырождения не существует непрерывно дифференцируемой фазовой траектории системы, проходящей через эту точку и не касающейся этого множества. Итак, в системе с управлением при решении задачи программного движения для того, чтобы получить, хотя бы приближенно, непрерывно дифференцируемую фазовую траекторию, проходящую в малой окрестности множества вырождения связей, скорее всего придется приложить к системе очень большие внешние силы.

Изучено качественное поведение пеголономной системы "балка с двумя коньками" вблизи множества вырождения. Показано, что система уравнений для особых движений сводится к одномерной системе на особой поверхности с двумя "зонтиками Уитпи". Исследована устойчивость особых точек па такой поверхности.

В ряде случаев в теории неявных дифференциальных уравнений в качестве поверхности Пуанкаре появляется особая поверхность изоморфная зонтику Уитни. Исследованию этих случаев, один из которых происходит из теории быстро-медленных систем, другой из неявных систем из двух дифференциальных уравнений первого порядка в пятимерном пространстве после редукции по части переменных, посвящены цитироваиные выше недавние работы известных ученых А.А.Давыдова. Ш.Изумнйи. Ф.Тарн из России. Японии. Великобритании. Рассматривался только случай наиболее общего расположения зонтика по отношению к проекции на конфигурационное пространство.

Однако, важный для нас случай, возникающий, как в примере балки с двумя коньками, в литературе отсутствует. Этот случай выделяется тем. что поверхность Пуанкаре, представляющая собой зонтик Уитни. имеет вертикальную (то есть параллельную оси производной) линию самопересечения (которую, часто называют "ручкой" зонтика Уитни). Другими словами, особые точки проекции на конфигурационное пространство неизолированы. а образуют целые линии. Такой случай характерен для неявных уравнений в лагранжевой механике, в частности, при изучении особенностей уравнений Лагранжа вблизи вырождения иеголономных связей.

Поэтому изучить этот случай в деталях, то есть, в частности, найти нормальные формы такой особенности относительно группы контактных преобразований, найти нормальные формы поднятого векторного поля и изучить его фазовые траектории, означает продвинуть саму математическую теорию неявных дифференциальных уравнений именно в том направлении, которое имеет непосредственные приложения в естествознании. Это и сделано в последнем разделе первой главы.

О второй главе

Исследуемые в первой главе уравнения на самом деле являются частным случаем системы дифференциальных уравнений неразрешенных относительно старших производных. Поэтому во второй главе мы рассматриваем некоторые новые вопросы теории таких систем.

Классификация особенностей неявного дифференциального уравнения первого порядка для одной неизвестной функции скалярного переменного, получеппая в работах А. Пуанкаре. М. Чибрарио, В.И. Арнольда. Д.В. Брюса. A.A. Давыдова и других, является замечательным приложением теории особенностей. В настоящее время она составляет отдельную главу теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см. например, учебник В.И. Арнольда [9]). Похожее на неявное уравнение понятие "сети"представляет интерес в физике и геометрии. Многие исследователи интересуются специальными классами неявных уравнений, связанных с Гамильтоновой механикой и физикой (см. например, работу [16]).

Теория неявных дифференциальных уравнений основана на геометрической конструкции Пуанкаре проектирования поверхности, вложенной в трехмерное контактное пространство.

Существенно меньше известно про системы неявных дифференциальных уравнений. В серии недавних работ [17. 18] А.О. Ремизов описал некоторые основные свойства конструкции Пуанкаре в пространстве R2n+1, которая отвечает системе неявных дифференциальных уравнений.

В начале главы обсуждаются некоторые многомерные аналоги классической теории, а именно, свойства типичных первых интегралов систем неявных уравнений и быстро-медленных динамических систем, получаемых при редукции уравнений неголономпых систем с неразрешимыми относительно производных нелинейными связями. Доказана теорема о том, что особенности таких систем совпадают с типичными особенностями первых интегралов систем общего вида.

Как известно, основной класс особенностей таких интегралов, состоит из Лежандровых проекций особых Лежандровых подмногообразий, названных "открытыми зонтиками Уитни которые возникают также и во многих других приложениях теории особенностей. Они изучались в работах A.B. Гивенталя. A.A. Давыдова. И.А.Вогаевского, Г. Ишикавы и др. [1'4, 15, 20].

Основным результатом второй главы является классификация и геометрическое описание всех типичных локальных особенностей первых интегралов систем, сводящихся к. вообще говоря, неавтономным системам двух неявных уравнений первого порядка относительно двух обобщенных координат.

В заключительном разделе показало, что неявные системы дифференциальных уравнений, которые получаются из уравнений Лагранжа при вырожденной кинетической энергии или, как в 1 главе, при вырождении линейных связей - не являются общими. Приведены примеры типичных особенностей первых интегралов для таких систем.

Автор диссертации приносит благодарность коллективу кафедры "Теоретическая механика" МАИ. где была выполнена эта работа, и особенно, своему научному руководителю, заведующему кафедрой, доктору физико-математических наук Б.С. Бардину.

Заключение

Итак, в нашей работе показано, что асимптотическое поведение механической системы общего положения, подчиняющейся уравнениям Лаграпжа с неопределенными множителями (уравнения Феррерса), с линейными иеголо-номными связями в окрестности подмногообразия, на котором ранг системы уравнений связей падает на единицу, задается системой с быстрыми и медленными переменными.

В общем положении для почти каждой (за исключением подмножества относительной меры 0) точки из множества вырождения не существует непрерывно дифференцируемой фазовой траектории системы, проходящей через эту точку, и не касающейся этого множества. Этот факт представляет интерес для систем с управлением или систем программного движения: для того, чтобы получить, хотя бы приближенно, непрерывно дифференцируемую фазовую траекторию. трапсверсальио пересекающую множество вырождения связей, необходимо приложить к системе очень большие внешние силы (или соответствующие управления).

Изучено качественное поведение иеголопомиой системы "балка с двумя коньками "вблизи множества вырождения. Показано, что система уравнений для особых движений сводится к одномерной системе на особой поверхности с двумя "зонтиками Уитии."Исследована устойчивость особых точек па такой поверхности.

Исследован новый, важный для приложений, возникающий, в примере балки с двумя коньками, случай неявного дифференциального уравнения. Этот случай выделяется тем, что поверхность Пуанкаре, представляющая собой зонтик Уитпи, имеет вертикальную (то есть параллельную оси производной) линию самопересечения. Другими словами, особые точки проекции иа коифигурациопиое пространство пеизолированы. а образуют целые липни. Такой случай характерен для неявных уравнений в лаграижевой механике, в частности, при изучении особенностей уравнений Лагранжа вблизи вырождения пеголопомных связей.

Исследуемые в первой главе уравнения на самом деле являются частным случаем системы дифференциальных уравнений неразрешенных относительно старших производных. Поэтому во второй главе мы рассматриваем некоторые новые вопросы теории таких систем. Основным результатом второй главы является классификация и геометрическое описание всех типичных локальных особенностей первых интегралов систем, сводящихся к. вообще говоря, неавтономным системам двух неявных уравнений первого порядка относительно двух обобщенных координат.

В заключительном разделе показано, что неявные системы дифференциальных уравнений которые получаются из уравнений Лагранжа при вырожденной кинетической энергии или как в 1 главе, при вырождении линейных связей - не являются общими. Приведены примеры типичных особенностей первых интегралов для таких систем.

Надеемся, что теоретические и прикладные вопросы, рассмотренные в нашей работе, будут полезны для дальнейшего развития взаимодействия новых методов теории систем неявных дифференциальных уравнений и качественных вопросов иеголономной механики.

1. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

2. Arnold V.I. Wavefronts evolution and the equivariant Morse lemma// Comm. Pure and Appl. Math., 1976, vol. 29, 6, p. 557 582.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.5J Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000.

4. Арнольд В.И. Контактная структура, релаксационные колебания и особые точки неявных дифференциальных уравнений// Избранное М.: Фазис, 1997.

5. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ / Итоги Науки и Техники. Совр. проблемы матем. Фундамент, направления. Т.1. М.: ВИНИТИ, 1985.

6. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусей,н-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982.

7. V.I.Arnold, D.V.Anosov, Dynamical Systems 1, Springer-Verlag, New-York, 1985.

8. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной механики. Динамические системы -3, Итоги пауки и техники, М. ВИНИТИ, 1985, 320 с.

9. Davydov А.А., Normal form of the slow motion of relaxation type equations and foliation of bynomial surfaces, Matem.Sbornik. v.132 (1987), n.l, 131-139.

10. AB. Givental, Singular lagrangin manifolds and their Lagrangian mappings, J.Soviet Math. 52(1990), n.4, 3246-3278.

11. G. Ishikawa, Symplectic and Lagrange stabilities of open Whitney umbrellas. Invent, math., 126 (1996), 2, 215-234.

12. M.Lemasurier Singularities of second-order implicit differential equations: a geometrical approach. Journal of Dynamical and Control Systems, vol.7 (2001). n.2, 277-298.

13. Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений. Совр. матем. Фуид. па-правления. Том 19 (2006), с. 131-170.

14. А.О. Remizov, Singularities in relaxation ossilations and geometric control theory from the common view point, Journal of Dynamical and Control Systems, 12 (2006),n.4, 1-19.

15. V.M. Zakalyukin.Reconstructions of fronts and caustics depending on parameters, versality of mappings, Journal of Soviet Mathematics 27 (1984). 2785-2811.

16. Ferrers N.M, Extension of Lagrange Equations, Quart. J. of pure and applied math., 1872, n. 12,(45) 1-5.

17. Неголономные динамические системы, Интегрируемость, Хаос, Странные аттракторы, А.В. Борисов. И.С.Мамаев ред.,Сборник статей, Москва-Ижевск, 2002, 324с.

18. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А., Динамика неголономных систем, М. Наука, 1967, 519 с.

19. Маркеев А.П., Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью, М.Наука, 1992, 336 с.

20. F.Jean, Complexity of non-holonomic motion planning, International Journal of Control, v.74, 2001, n.8, 776-782,

21. J.P.Gauthier. F.Monroy-Perez, C.Romero-Melindez, On complexity and motion planning for corank one SR metrics, COCV, v.10, 2004, 634-655.

22. Голубев Ю.Ф., Коряков В.В., Управление инсектморфиым роботом при залезании на вершину вертикального угла и при движении по приставной лестнице, Изв. РАН, Теория и Системы Управления. 2008, 1,

23. Ткаченко А.И. Вариант навигации мобильного робота с помощью камеры. Изв. РАН. Теория и Системы Управления. 2008, 2, 139-146.

24. Zakalyukiii I.V. Degenerations of non-holonoinic constraints and Ferrer's equations. Journal of Dynamical and Control Systems. Springer. Vol. 16; 3 (July 2010), 439 452.

25. И.В. Закалю кии, Особенности управляемых систем при вырождении пего-лопомных связей. Успехи математических наук, т. 65 (2010), вып 4, 193 -194.

26. Закалюкин И.В., Особенности вырождения пеголономпых связей и управляемость, Электронный журнал "Труды MAHN 39, Август 2010, 18 с.

27. Закалюкин И.В. Управляемость механических систем вблизи подмножества вырождения неголономных связей, Теория и Системы Управления, Известия РАН. 2010, 17 стр. (принято к печати)

28. Zakalyukiii I.V., Degenerations of Ferrer's equations. Тезисы международной конференции. "Дифференциальные уравнения и механика "Суз даль. Июль 2009, Из-во Владимирского гос. Ун-та, 223-224.

29. Zakalyukiii I.V. Non-controllability in degenerate constraint systems, Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения и особенности Суздаль, Июль 2010, Из-во Матем. Ип-та РАН им. В.А,Стеклова, стр.206-207.

30. Basto-Gongalves J. Singularities of Euler equations and implicit Hamilton equations// in Real and Complex Singularities, Pitman Research Notes in Math. 333, Longman, 1995, p. 203 212.

31. Berry M.V., Hannay J.H. Umbilic points on Gaussian random surfaces// J. Phys. A 10; 1977, p. 1809 1821.

32. Брекер Т., Ландер JI. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977.

33. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

34. Bruce J. W. A note on first-order differential equations of degree greater than one and wavefront evolution// Bull. London Math. Soc. 1984, 16, p. 139 144.

35. Bruce J. W., Fidal D.L. On binary differential equations and umbilics// Proc. Royal Society of Edinburg, 111A, 1989, p. 147 168.

36. Bruce J.W., Tari F. On binary differential equations//' Nonlinearity, 1995. vol.8, p. 255- 271.

37. Bruce J. W., Tari F. Implicit differential equations from the singularity theory viewpoint// Warszawa, Banach Center Publ., 1996, vol.33, p. 23 38.

38. Brace J. W., Tari F. Generic 1-pararneter families of binary differential equations// Discrete and Continuous Dynamical Systems. 1997, vol.3. N21, p. 79 90.

39. Bruce J.W., Tari F. On the multiplicity of implicit differential equations// Journal of Differential Equations, 1998, vol. 148. p. 122 147.

40. Bruce J.W., Fletcher G.J., Tari F. Bifurcations of binary differential equations// Proc. Royal Society of Edinburg, 130A, 2000. p. 485- -506.

41. Bruce J.W., Fletcher G.J., Tari F. Zero curves of families of curve congruences// Contemporary Mathematics. 2004, vol. 354. p. 1- -18.

42. Вт ce J. W., Tari F. Duality and implicit differential equations// Nonlinearity. Vol. 13, No. 3 (2000), p. 791-812.

43. Carmena, J.F. Theory of singular Lagrangians// Fortschrit. Phys. 1990. vol. 38 (9), p. 641 679.

44. Clebsch A. Lindemann F. Vorlesungen iiber Geometrie, vol. 1, 1876.

45. Darn L. Singularités générique des équations différentielles multiformes// Bol. Soc. Bras. Math., 1975, v. 6, N 2, p. 95 128.

46. Давыдов A.A. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности его особой точки//' Фупкц. анализ и его приложения, 1985, т. 19, вып. 2, с. 1 10.

47. Davydov A.A. Qualitative Theory of Control Systems. Mathematical Monographs, vol. 141. AMS. Providence, Rhode Islans, 1994, 147 p.

48. Davydov A.A., Ortiz-Bobadilla L. Smooth normal forms of folded elementary singular points// J. Dynarn. Control Systems, 1995, vol. 1, N4, p. 463 482.

49. Давыдов А.А., Росалес-Гонсалес Э. Полная классификация типичных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными на плоскости// ДАН, 1996. Том 350, N2, с. 151 - 154.

50. Davydov A.A. Ishikawa G., Izumiya S., Sun W.-Z. Generic singularities of implicit systems of first order differential equations on the plane// ArXiv: math.DS/0302134, v. 1, 2003.

51. Dira с P. A. M. Lectures on Quantum Mechanics. Yeshiva University, New York, 1964. Русс, перевод: Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике. М.: Мир, 1968.

52. De León M., Marín-Solano J., Matrero J. C.; Muñoz-Lecanda M. С., Román-Roy N. Singular Lagrangian systems 011 jet bundles/'/ Fortschrit. Pliys., 2002, vol.50 (2), p. 105 -169. См. также: ArXiv: matli-ph/0105012, 2002.

53. Gracia X., Muñoz-Lecanda M.С., Román-Roy N. On some aspects of the geometry of differential equations in physics// Int. J. Geometric Methods in Mod. Pliys., 2004, v. 1, p. 265 284. См. также: ArXiv: inath-ph/0402030, v. 1, 2004.

54. Porteous I. R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces. Cambridge University Press, Cambridge, 1994

55. Пхакадзе А.В., Шестаков А.А. О классификации особых точек дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной/'/ Матем. сборник, 1959, т. 49, вып. 1, с. 3 12.

56. Пили я А. Д., Федоров В.И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью// ЖЭТФ, 1971, т. 60, вып. 1, с. 389 399.

57. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехиздат, 1956.

58. Rabier P. J., Rheinboldt W.C. A geometric treatment of implicit differential-algebraic equations// Journal of Differential Equations, 1994, vol. 109, p. 110 -146.

59. Самовол B.C. Эквивалентность систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки// Труды Моск. мат. общества. 1982. Том 44. с. 213 234.

60. Tokens F. Constrained equations; a study of implicit differential equations and their discontinuous solutions// Lect. Notes Math. 1976. vol. 525, p. 143 234.

61. Tokens F. Implicit differential equations: some open problems// Lect. Notes Math. 1976, vol.535, p. 237- 253.

62. Tari F. Two-parameter families of implicit differential equations// Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2005, vol. 13, №1, p. 139 — 162.

63. Филиппов А.Ф. Единственность решения системы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных// Дифференц. уравнения, 2005. Том 41, № 1, с. 87 92.