Нелокальные двухпараметрические бифуркации векторных полей на поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. БИФУРКАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ, ИМЕК31Щ ПЕТЛЮ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА С НУЛЕВОЙ СЕДЛОВОЙ ВЕЛИЧИНОЙ.

§ 1.1. Бифуркационное многообразие ••••.

§ 1.2. Бифуркации векторных полей с двухсторонней петлей сепаратрисы.

§ 1.3. Бифуркации векторных полей с односторонней петлей сепаратрисы.

ГЛАВА 2 БИФУРКАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С КОНТУРОМ ИЗ

СЕПАРАТРИС СЕДЕЛ.

§ 2.1. Бифуркационные многообразия

§ 2.2. Бифуркации векторных полей из £г22 (лг=1,4).

§ 2.3. Бифуркации векторных полей из Y/гг m б)

ГЛАВА 3 БИФУРКАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ, ИМЕЩИХ КОНТУРЫ ИЗ СЕПАРАТРИС СЕДЛА И СЕДЛО-УЗЛА

§ 3.1. Бифуркационное многообразие ^23 . ^

§ 3.2. Бифуркации векторных полей с одним двухсторонним контуром из сепаратрис седла и седло-узла

§ 3.3. Бифуркации векторных полей с одним односторонним контуром из сепаратрис седла и седло-узла .< 1.

§3.4. Бифуркации векторных полей с двумя односторонними контурами из сепаратрис седла и седло-узла

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ.

§ 4.1. Бифуркационные многообразия M ,и Формулировка теорем.

§ 4.2. Доказательство теоремы 4.1.

§ 4.3. Доказательство теоремы 4.1.

Большое число прикладных задач приводит к динамическим системам (векторным полям) на плоскости и двухмерных поверхностях, зависящим от параметров и исследуемых методами теории бифуркаций. В связи с этим является важным и актуальным описание "стандартных" бифуркаций, которые могут быть в типичных семействах векторных полей, зависящих от нескольких параметров. Простейшие такие бифуркации - бифуркации векторных полей первой степени негрубости на двумерном диске (сфере), реализуемые уже в типичных однопараметрических семействах, исследованы еще в тридцатые годы в основополагающих работах А.А.Андронова и Е.А.Леонтович [2, 3]. Векторные поля первой степени негрубости на поверхностях, ориентируемых и неориентируемых, и их бифуркации изучены С.Х.Арансоном [7, 8], а также Сотомайо-ром [34]. Сотомайором был введен более обший класс негрубых векторных полей на поверхностях - квазиобщих векторных полей, и доказано, что они всюду плотны в множестве негрубых полей и образуют погруженное подмногообразие коразмерности один в пространстве векторных полей.

К середине семидесятых годов было закончено описание локальных бифуркаций в окрестности особых точек и замкнутых траекторий в типичных двухпараметрических семействах векторных полей на поверхностях [33, 36, 10 и др.]

Долгое время, по-видимому, единственной работой, в которой исследовались нелокальные бифуркации в многопараметрических семействах на плоскости, оставалась статья Е.А.Леонтович [15], где была дана оценка числа циклов, рождающихся из петли сепаратрисы седла с нулевой седловой величиной.

В первой половине восьмидесятых годов появились работы Рейна [24], В.П.Ноздрачевой [19-21], Д.В.Тураева [37], в которых исследовались бифуркации рождения циклов из сепаратрисных контуров в двухпараметрических семействах векторных полей на поверхностях.

Заметим, что начиная с семидесятых годов было опубликовано много работ, в которых изучались нелокальные двухпарамет-рические бифуркации в многомерных динамических системах. В первую очередь, это работы Л.П.Шильникова и его учеников (см., например, обзор [6]). Ввиду специфики многомерных задач из этих работ применима к двухмерному случаю только работа В.И.Лукьянова [16] по бифуркациям петли сепаратрисы седло-узла .

В связи с вышесказанным, представлялось .актуальным продолжение исследования нелокальных бифуркаций в типичных двухпараметрических семействах векторных полей на поверхностях, что и было сделано автором в работах [25-32], положенных в основу настоящей диссертации.

Получены следующие новые результаты:

В множестве векторных полей класса С ^ на поверхности

М , не являющихся ни грубыми, ни квазиобщими, выделены подмножества, являющиеся подмногобразиями коразмерности два в пространстве векторных полей. Описаны типичные двухпараметри-ческие бифуркации векторных полей, принадлежащих этим подмногообразиям. Получены полные бифуркационные диаграммы в следующих случаях:

1. Поле имеет двухстороннюю петлю сепаратрисы седла с нулевой седловой и сепаратрисной величиной Е- Ф1, к которой предельны сепаратрисы других седел.

2. Поле имеет одностороннюю петлю сепаратрисы седла с нулевой седловой величиной и сепаратрисной величиной ¿ф-1.

3. Поле имеет двухсторонний контур из сепаратрис двух различных седел, не являющийся предельным множеством.

4. Поле имеет контур из сепаратрис двух различных седел с седловыми величинами одного знака, к которому предельны сепаратрисы других седел.

5. Поле имеет один двухсторонний контур из сепаратрис седло-узла и седла с седловой величиной''' (У 0.

6. Поле имеет один односторонний контур из сепаратрис седло-узла и седла ( ^ Ф О) .

7. Поле имеет два односторонних перекрещивающихся контура из сепаратрис седло-узла и седла

8. Поле имеет траекторию сА -предельную к петле Рл , сепаратрисы седла с седловой величиной сТ>[ > 0 или к двойному циклу на который наматывается единственная сепаратриса седла, и и> -предельную к петле Г^ сепаратрисы седла с седловой величиной < 0 или к двойному циклу Г2, г с которого сматывается единственная сепаратриса седла, и удовлетворявшее некоторым дополнительным условиям.

Во всех случаях 1-8 также предполагается, что поле не имеет.незамкнутых траекторий, устойчивых по Пуассону.

Бифуркации рассматриваемых типов можно реализовать на сфере и проективной плоскости.

Замечание. Рождение циклов из сепаратрисных контуров на плоскости рассматривалось также в ряде работ [9, 11, 13], опубликованных через несколько лет после работ автора.

2. Основные определения и обозначения

Пусть М. - двумерное замкнутое С°~многообразие. Обозначим ЗС4'—¿Х^1 (М)~ банахово пространство векторных полей класса СЬ на М с С-нормой [23] .

Пусть Е -окрестность нуля в П -мерном нормированном пространстве . С -семейством векторных полей из Л с базой Е (или просто Г\ -параметрическим семейством векторных полей) назовем С -отображение /Е Э £ 1—^ X Будем его обозначать У^ ^ £ £ ^ . Обозначим через С М В ) множество

С ^ -семейств ^ )(с \ , преходящих при £ = с через с с <г заданную точку Х° ^ Эб'1' ' т-е- таких, что ~Х~ ° . Введем в С этом множестве топологию, индуцированную из пространства С отображений [14].

V -у ^

Пусть 2— -множество векторных полей, грубых в Л множество квазиобщих векторных полей Хо £ ~ векторных полей, не имеющих устойчивых по Пуассону траекторий и удовлетворяющих одному из следующих условий:

1) Все особые точки и замкнутые траектории гиперболические; имеется единственная сепаратриса, идущая из седла в седло (если это одно и то же седло , то седловая величина

2) Все особые точки и замкнутые траектории гиперболические за исключением одной, являющейся либо двукратной особой точкой типа седло-узел, либо сложным фокусом кратности один, либо двухсторонним двойным циклом, либо односторонним двойным цик** „ лом ; кроме того, нет выходящей сепаратрисы седла или седло-узла, являющейся и входящей сепаратрисой седла или седло-узла.

1 'г.

Обозначим через Л ^ , подмножество в 22 ^ , состоящее из векторных полей первой степени негрубости [1]. Сотомайор показал, что ) при является погруженным (вложенным) С -подмногообразием коразмерности один в «л , а всюду плотно в \ • если Л/ ориентируемо или неориентируемо и его род ^ ^ 3 • Бифуркации векторных полей из 21 ^ хорошо известны [1, 34] . Кое-что известно и о бифуркациях векторных полей из 21* ^ [34 , 17] .

В диссертации рассматривается р'Ад подмножеств множества ^ — ^ ^ ^1 < являющихся подмногообразиями коразмерности два в и описаны бифуркации векторных полей

Х0 , принадлежащих этим подмногообразиям, в типичных двухпа-раметрических семействах { Х^ ^ £ ^ £-

Напомним, что множество 2Г 6 ЗСе называется (вложенным) С -подмногообразием коразмерности Ш в Л если для любой точки найдутся ее окрестность V в зс окрестность нуля \Л в банаховом пространстве Е, , окрестность нуля в пространстве & и С -диффеоморфизм ' \/ —^ х \/2 такие, что (р ( \/ П )-V, X } . (р (Хе) ^ (с,0 ) [14].

Из теоремы о неявной функции следует, что если 22 п С. ЗС

Замкнутая кривая в М называется двухсторонней (односторонней), если она имеет в М трубчатую окрестность, гомеоморфную плоскому кольцу (листу Мебиуса) .

Мы называем односторонним устойчивым, (неустойчивым) двойным циклом замкнутую траекторию для функции последования X/ в окрестности которой имеем: х(0)=0, х'(0)=0, (х2) " (0) <0 (>0) . и для любой точки X £ сУЩествУе'г ее окрестность % в X: и С "Функция такие г что производная с/ ^ (Х0) сюръективна, а ^ о, то является С-подмногообразием коразмерности /7) в а окрестность V и диффеоморфизм , фигурирующие в определении подмногообразия, можно выбрать так, что

У € V , где 7Г„: \/ х \/ \Л - проектирование на второй сомножитель.

Будем говорить, что Л -параметрическое семейство векторных полей \ Х^ ^£сВ тр^056?0311^0 пересекает при О подмногообразие коразмерности П) , если X0 £ ¿Е^ и производная (Ж ^ (¡г '* невырождена (сюръективна) [14]. Очевидно, что л -параметрические семейства векторных полей -[ Хс ^¿г г трансверсально пересекающие при £ = о подмногообразие в заданной точке X 0 / образуют в (М, В) открытое всюду плотное множество, иными словами, V о являются типичными.

Бифуркационным множеством семейства ^ У^ 'г будем называть множество ( Х^ ^.ЗС^ V ■ ГЬнятие бифуркационной диаграммы семейства часто имеет разный смысл и не всегда формализуется. В диссертации мы будем понимать под бифуркационной диаграммой семейства -/Х^ разбиение базы , являющееся объединением разбиений множеств

Е |Хг£1>У и {£€Е\ Х£ & Х.Ц на связные компоненты классов эквивалентности по следующему с ( с11 отношению эквивалентности: точки о и £ эквивалентны, если векторные поля Х^/ и Х^-// топологически эквивалентны. Таким образом, мы рассматриваем бифуркации векторных полей на многообразии в целом, а- не в окрестности априорно заданного множества траекторий - предполагаемого «носителя бифуркаций».

Пусть - гиперболическая особая точка векторного поля /ОС* . По теореме о неявной функции существуют такие окрестность V точки в М и окрестность поля Хр в ЗС- , что для любого поля существует единственная особая точка 2 (X)£ V; при этом 2 (X) гиперболическая, 2 (Х6]=:2°

Будем говорить, что особая точка Ц(Х) является продолжением по параметру особой точки £ .

Пусть 2: - седло, тогда и 2 , также седло. По теореме об инвариантных многообразиях [23] окрестность можно выбрать столь малой, что существует такое С ^отображение Ф: М г чт° для любого Х^ % Ф1 К* {Х)1 является

С ^-иммерсией, $<Го,Х] = , а У })=■]/[/ устойчивое инвариантное многообразие седла 7. (%) . Множество состоит из двух компонент-и (X) -"ф ((О, 4-{X' являющихся входящими сепаратрисами седла ИСХ)• Будем говорить, что сепаратриса Ь^(^) С^'^/^) является продолжением по параметру

Хин сепаратрисы ЦсОС.) седла 20. Аналогично определяется продолжение по параметру X ^ выходящей сепаратрисы седла "2: ° .

Пусть Р ° - гиперболическая замкнутая траектория (цикл) векторного поля Х0 ^ ЗС^СМ) . По теореме о неявной функции существуют такие окрестность V цикла Г° в М и окрестность^/ поля У в ) г чт0 Д™ любого поля Х^ ^ существует единственный цикл при этом цикл га)

- гиперболичен,

--Г> существует такое ^-отображение ф I М , что

- диффеоморфно отображает О на / (X) •

Будем говорить, "^что цикл Г (У) является продолжением по параметру X ^ ^ цикла Г°.

Пусть теперь -{У^^ £ <с £ ~ ^ -параметрическое семейство векторных полей, ¡° и соответственно гиперболическая особая точка, ее сепаратриса и гиперболический цикл поля Лп . Пусть Ш) и Г(Х) - продолжения по параметру где Ц достаточно малая окрестность поля А п , соответственно для 2.° , и Р°. Пусть - столь малая окре- • стность точки с.-О , что Тогда будем говорить, что 2. (Х^), ¡-(У^и Г(Уе) являются продолжениями по параметру £Е° (в семействе ■{ Х^ ^ £ ) соответственно для 2Л с и Г\

Пусть { Х^ \ £едг - семейство векторных полей, 1—0 - выходящая (входящая) сепаратриса гиперболического седла поля <-0 (о(.) -предельная к Р„ - гиперболической особой точке типа узел или Фокус или к гиперболическому циклу. Пусть ш и ¡)(£) продолжения по параметру , соответственно для ¿0 и Тогда, если окрестность £г° достаточно мала, то при £ <£ Е ^ щ

0&)-предельна к р(£-) • Будем в этом случае говорить, что асимптотическое поведение сепаратрисы продолжается по параметру £ € £?

3. Краткое содержание работы и основные результаты

В § 1.1 главы 1 рассматривается множество . векторных полей X п ^ <£ о ( ^ ^ Ц ) со следующими свойствами:

О -с»' '

1) все особые точки и замкнутые траектории гиперболические; 2) существуют седло с нулевой седловой величиной с1Х0('£о) и траектория , являющаяся о/~ и £0сепаратрисой седла ; 3) за исключением / нет сепаратрис, идущих из седла"-в седло; 4) сепаратрисы седла °0 не являются предельными к петле Г^/0 С/^ 5) нет нетривиальных устойчивых по Пуассону траекторий.

Доказана вспомогательная 1

Теорема 1.1.1. Множество является С -подмногообразием -Л, коразмерности два.

Далее определяется непрерывный функционал б •' ставящий в соответствие полю 1 так называемую сепаратрисную величину петли 10 (С <% ] > 0 ( ^ о) , если Гь - двухсторонняя (односторонняя) петля), и 'задаются следующие открытые подмножества (подмногообразия) % 1 '

В § 1.2 рассматривается двухпараметрическое семейство векторных полей У^ ^трансверсально пересекающее при £ — о подмногообразие И*^ . ■ Сс-^,2.) . В работе В.П.Ноздрачевой [19] для такого семейства* описаны бифуркации рождения замкнутых траекторий из петли Г0 . В случае, когда X0 имеет сепаратрисы седел, предельные к петле Г0 , возможны и другие бифуркации - возникновение и исчезновение седловых связок (сепаратрис, идущих из седла в седло). В теореме 1.2.1 описывается полная бифуркационная диаграмма семейства {У^ ^ ^ , где £ некоторая достаточно малая окрестность точки

-0 , для случая Х0£ • Эта бифуркационная диаграмма

В [19] не доказывалось, что множество векторных полей, обозначаемые здесь £2.1./ ('=1,2) является подмногообразием %г а рассматриваемое семейство трансверсально Х^л»; не обсуждался там и вопрос о типичности таких семейств. изображена" на рис. 1, а соответствующие перестройки фазовых портретов на рис. 2. Случай Х0 ^ / сводится к рассмотренному обращением времени на траекториях.

В § 1.3 рассматриваются бифуркации векторных полей Х^Х^ ■ ( I ~ Ъ ,1/ ) в двухпараметрическом семействе { £ ^ ¿=7 трансверсальном при £ —о подмногообразию 2— ; .В теореме 1.3.1 описана бифуркационная диаграмма семейства ^ ^' где некоторая достаточно малая о1фестность точки , для случая -3 • 0на изображена на рис. 3. Здесь ~~ бифуркационная кривая двойных односторонних циклов, В^ и бифуркационные кривые, отвечающие петле сепаратрисы, гомотопной Г0 , - бифуркационная кривая, отвечающая петле сепаратрисы, гомотопной Г/ . Поле Х^ при имеет один неустойчивый односторонний цикл, при - один устойчивый односторонний цикл и один неустойчивый двухсторонний цикл, при -ЕСВ^ - один устойчивый односторонний цикл.

Случай X € И^. сводится к рассмотренному обращением о * I Ч времени на траекториях. ы

В § 2.1 главы 2 рассматривается множество векторных полей 0 £ ( ^ ^ ) , удовлетворяюцих следующим условиям: 1) все особые точки и замкнутые траектории гиперболические; 2) существуют седла 2, Ф 2 ^ , и траектории I. С£4,1) такие, что с? 2, у ~~ выходящая сепаратриса седла -2.^ ¡2) нет сепаратрис, идущих из седла в седло, отличных от /. и ; 4) сепаратрисы седел (к: =1,2.) не являются предельными к контуру ~ ^

5) нет нетривиальных устойчивых по Пуассону траекторий.

Имеет место

Теорема 2.1.1. Множество 21 ^ является С^ -подмногооб

2.

-у 'сразием коразмерности два. о ^ Л

Пусть - собственные значения оператора с! У ~ седловые величины седел С с = ^/ 2-) ->

011

Зададим открытые подмножества (подмногообразия) ( И1 - У,в следувзцими условиями: т ( ,. ^ / если контур Г двухсторонний, т.е. имеет окрестность, гомеоморфную плоскому кольцу, и для любой такой окрестности ТУ обе связные компоненты Г пересекаются с сепаратрисами седел и Е ^ ; кроме того, а) <5^ < с^СО при тН , б) О, > О при в) О /

Луо при г) С при т - 4 •

2) ХХТ^ Гп - , 8) ' если контур Г двухсторонний 0 1,2,т ^ и существует такая окрестность У контура Г', гомеоморфная кольцу, что только одна связная компонента V ^ Г пересекается с сепаратрисами седел и ; кроме того, а) {< О } Зг при т=Г, б) >0 при ГГ) = 6; ъ) с<-0} Л>0 при /11=7 , г) <¿0)4^0 при /п -<Р.

Траектории векторных полей X 0 £ 1 2 ' П1 ~ ^ и ГУ)-С изображены, соответственно, на рис. б и рис. 8.

Траектории векторных полей У, С 21 У' , П) ~ ^>L^ и т = ь о 2,1,п1 > получаются из них обращением времени.

В § 2.2 рассматривается двухпараметрическое семейство векторных полей ^ ^ <£<£- Е£ ' трансверсально пересекающие при £ о подмногообразие 21^2 щ (т -и^^и). В теореме 2.2.1 опи-сьшается бифуркационная диаграмма семейства \ У^ » где

Ь°СЕ - некоторая достаточно малая окрестность точки £ =о . в случае 2 ъ ' БиФУРкаЦр1°нная диаграмма и перестройки фазовых портретов изображены на рис. 4 и 6. Случай Х0 ^ Ц сводится к рассмотренному обращением времени.

В теореме 2.2.2 описывается бифуркационная диаграмма семейства { Х^ в случае )( € 2~ , .Бифуркационная диаграмма и соответствующие перестройки фазовых портретов изображены на рис. 5 и 7. Случай У. £ ¿С У" 0 сводится к рассмотренному обращением времени.

Эти результаты были опубликованы автором в [26] . Близкие результаты были одновременно анонсированы М.В.Шишковым в [39] (доказательства приведены позже в [40]) .

Бифуркации рождения циклов из контура Г в двухпараметри-ческих семействах | Х^ У "Р11 условиях, равносильных трансверсальному пересечению при с подмногообразием

• изучены В.П.Ноздрачевой в работе [20]" для и в работе [21] для В случае, когда поле У0 имеет сепаратрисы седел, предельные к контуру Г , возможны и другие бифуркации.

В § 2.3 рассматривается двухпараметрическое семейство { Х^ , трансверсально пересекающее при <£ ^-о подмногообразие 2— . . В теореме 2.3.1 описывается бифуркационная диа-¿,¿,6 грамма семейства { А £ г где Е°С£

- некоторая достаточно малая окрестность точки £ • На- рис. 9 изображена бифуркационная диаграмма в случае, когда к контуру Г сопредельны две сепаратрисы п • £ . Здесь /3,> (к-!^) В случаях №=1,8 аналогичные результаты были независимо получены в 1985г. и автором. Они приведены в обзоре [6]. Доказательство не было опубликовано. бифуркационная кривая, соответствующая петле сепаратрисы седла являющегося продолжением по параметру £ седла , йт / ' - бифуркационные кривые, соответствующие

К'1 / ч сепаратрисе <~ ( сё) -продолжению по параметру сепаратрисы ¿- 0(-идущей в седло • Случай € 212 1 сводится к рассмотренному обращением времени.

Отметим, что для семейств £ тРансвеРсально пересекающих при £ =<9 подмногообразие = в случае, когда поле имеет сепаратрисы, предельные к контуру

С , бифуркационная диаграмма до сих пор полностью не описана.

Двухпараметрические бифуркации векторных полей с односторонним контуром Г изучены М.В.¡Пашковым [40] .

В § 3.1 главы 3 рассматривается множество 21 ^ векторных

2-)3> полей X. ^ (^^б) ; удовлетворяющих следующим условиям:

1) все особые точки и замкнутые траектории гиперболические, за исключением двукратной особой точки типа седло-узел;

2) сепаратриса ¡-¿01 седло-узла , принадлежащая его центральному многообразию, является одновременно и сепаратрисой седла , 3) нет двойных сепаратрис, отличных от , 4) нет нетривиальных устойчивых по Пуассону траекторий.

Доказана

Теорема 3.1.1. Множество является С -подмногообразием ¿лС коразмерности два.

Мы будем рассматривать бифуркации векторных полей в случае, когда ненулевое собственное значение /\ 0 линеаризации поля в седло-узле ¡2 „ отрицательно. Случай *> 0 сводит

V о ся к рассматриваемому переходом к противоположному полю.

Ц + (г)! + а), - (г].

Пусть и01 и /-02. ~ вход®1®*6/ а ¿-0( и ио2 ~ выходящие сепаратрисы седла ) (~ * Обозначим

МГ01 и1„ 0 { г;, г° } . пусть ¿:*-{гс1)10Ю.

Будем рассматривать два случая (А) и (В): О

В) 60ССК'1ГШ)=<,

В случае (А) Р , а в случае (В) Р1 и Р2 представляют собой простые замкнутые кривые (контуры) . 4

Рассмотрим случай (В). Пусть V окрестность в Р^ гомеоморфная интервалу. Очевидно, существует такое -вложение ^ . Назовем контуры Рл и Гг перекрешршакщшися (неперекрещжакищмися) . если Р) пересекается только с обеими (только с одной) связными компонентами множества 9 * V) \ \/ при всех достаточно малых 'V О (рис. 10 и 11) . Нетрудно убедиться, что свойство контуров быть перекрещивающимися (неперекрещивающи-мися) определяется только контурами Р^ и Р? и не зависит от порядка их нумерации и от выбора V и 0 .

Определим открытые подмножества ( /с^-1,,,,, 6) ( У6 £ ) ' если выполняется условие (А) г контур Р - двухсторонний, <^>0 С <2 ^ о) (рис. 12); У ъ (-^ь^2 ) ' если выполняется условие (А), контур Р - односторонний, с^ > о с«* ¿-о) (рис. 13); У0 £ "51 г ^ ^ ( ^ ^ь),если выполняется условие (В), Р^ и Г^- односторонние перекрещивающиеся контуры, о ¿-о) (рис. 11) .

Бифуркации векторных полей к - 4,., в

О 3 / Кдвухпараметрических семействах / )(£ У £ £ £ > чрансверсальнык в точке £ - о подмногообразию изучаются в §§ 3.2

3.3. Получены бифуркационные диаграммы семейств { У^ У^^ , где - некоторая достаточно• малая окрестность точки <£ =о .

В § 3.2 в теоремах 3.2.1 и 3.2.2 описаны бифуркационные диаграммы соответственно для случаев 5 / и х

Они изображены вместе с соответствующими перестройками фазовых портретов на рис. 14, 15 и рис. 16, 17.

В § 3.3 в теореме 3.3.1 описана бифуркационная диаграмма для случая X £ Она изображена на рис. 18. Отметим здесь ее основные элементы. При Е^О поле Х^ имеет седло-узел, при £ (^ О - седло и узел, рождающиеся из седло-узла 2 £, при £(>о поле У^ не имеет в окрестности особых точек. Бифуркационные кривые В я) и /В^у (3=4,.,™) отвечают сепаратрисам (продолжениям по параметру сепаратрис изображенных на рис. 13) идущим в седло (&) (продолжение по параметру <£ седла -2.^ ) . Кривая - бифуркационная кривая двойных (односторонних неустойчивых) циклов. При £ € Ьд поле Х^ имеет единственный (односторонний неустойчивый) цикл, рождающийся из контура/^ , при £ таких циклов два: один - устойчивый односторонний, а другой - неустойчивый двухсторонний; при £ , расположенных выше кривой Ь^, поле X £ имеет единственный (устойчивый односторонний) цикл, рождающийся из Г{ , при остальных ££гЕ° поле Л, не имеет циклов, рождающихся из Пп .

В теореме 3.3.2 описана бифуркационная диаграмма для случая Хр£ ц • 0на изображена на рис. 19. Из контура/"^ рождается единственный (устойчивый односторонний) цикл при £ , расположенных выше бифуркационной кривой В ^ , отве

7 О чающей петле сепаратрисы седла .

В §§ 3, 4 рассматриваются бифуркации векторных полей

Х0 £ г в двухпараметрических семействах <- | > / к.

I Х^ V £ трансверсальных в точке £ с подмногообразию г, 1 ) »с . Получены бифуркационные диаграммы семейств

ХеМ

Е° ' где ~ Достаточно малая окрестность контура Г, иГ^ с гладкой границей, в точках которой поле направлено внутрь 1У , а Е^С-Е некоторая достаточно малая окрестность точки £ =0 . Такие же бифуркационные диаграммы имеют и семейства {^¿^ в случае, когда у.поля Х0 нет сепаратрис, предельных к седло-узлу 2? ^ , отличных от и.0( ( £' /1 2 ; . В случае, когда такие сепаратрисы имеются, в бифуркационной диаграмме появляется счетное число бифуркационных кривых, отвечающих седловым связкам. Они описаны в работе автора [30] . Ввиду громоздкости описания и отсутствия принципиально новых элементов в доказательстве, мы не будем приводить здесь эти результаты.

Бифуркационная диаграмма семейства { У^ / V У ^ ° в случае X, ^ г- описана в теореме 3.4.1 и изображена на

6 2-13 /' рис. 20. Отметим ее основные элементы. Особые точки векторных полей такие же, как в случае У 0 € И^ ^ ^

-■/,,.,//1. Бифуркационное множество семейства */ Х£ / I// состоит из точки 8 = О и кривых В^ (с =/,,,,,/3¿Обозначим'с продолжение по параметру сепаратрисы Пэтле сепаратрисы гомотопной ( Гг ) отвечает кривая (вг) , гомотопной Г, ( ) - кривая В^ гомотопной Г^Г^ - кривая /32 (• Кривые и отвечают двухстороннему двойному циклу, гомотопному П - Г7 г кривая 7

Ьц) ~~ одностороннему неустойчивому двойному циклу, гомотопному ( Г^) . При £ £ поле Х^' имеет единственный цикл, он устойчивый, односторонний и гомотопный ^' Гг . Количество и тип циклов поля Х£ 11/ для остальных £ £ определяется последовательностью бифуркаций на кривых /6> ^ . Максимальное число циклов у поля У^ I {У ) В- °} равно трем.

Бифуркационная диаграмма семейства ^ Х^ / в слУчае описана в теореме 3.4.2 и изображена на рис. 21. Особые точки векторных полей X ^ ( X/ такие же; как в случаях Х0 £ Бифуркационное множество-семейства состоит из точки и кривых (К.-/,.,,7) • Петле сепаратрисы ( £) ), гомотопной Г ( Г2 ) , отвечает кривая {В2), гомотопной Г|7 2 - кривая {5^) . Для 8 , принадлежащих области между кривыми /В и , поле X имеет в XX единственный (устойчивый двухсторонний) цикл, гомотопный ГуГ^ ' Для £ , лежащих ниже (выше) кривой { ), - единственный (устойчивый односторонний) цикл, гомотопный Г/ гг).

Замечание. В работах автора [27, 30] исследованы также бифуркации векторных полей с неперекрещиваетцимися контурами Г, и Гг ( <^-=?0) и с перекрещивающимися односторонним контуром Г| и двухсторонним контуром ( ^ ^ 0 ) • Кроме того, в [30] изучен ряд двухпараметрических бифуркаций векторных полей Х0 , имеющих особую точку типа седло-узел, не

-с— щ принадлежащих . А 3 . Из-за недостатка места эти результаты здесь не приводятся.

В § 4.1 главы 4 рассматриваются множества ¿А , уВ и ^ векторных полей из „ ( ^ ) , определяемые, соответствен

2. но. следующими условиями (А) ., (В) и (С):

Условия (А): 1) все особые точки и замкнутые тра

I ± ектории гиперболические; 2) существуют сепаратрисы !, о /с

К.-1,г) седел , образующие петли Г^,: —Ы ^

3) седловые величины с?*^ седел ненулевые и разных знаков для определенности ° > О , ^ ^ ^ О ); 4) нет сепаратрис, идущих из седла в седло, отличных от 1^-1,1; 5) существу

0 к ет траектория, о1 -предельная к Г^ и О-предельная к •

6) у седел, имеющих сепаратрису, -предельную к Г} и сепаратрису 60-предельную к / ^ , седловые величины отличны от нуля;

7) сепаратрисы седел [1-1,1) не могут быть предельными к петлям I /г С1<.'1,г)' 8) нет нетривиальных устойчивых по Пуассону траекторий.

Условия (В): 1) все особые точки и замкнутые траектории гиперболические, за исключением двойного цикла Г■/ ; 2) существует сепаратриса седла с седловой величиной образующая петлю Г^ 1 - ¿¿Ь' 3) нет сепаратрис. идущих из седла в седло, отличных от ; 4) существует единственная сепаратриса ( седла ) 2. ^ 2 )

-предельная к Г] ; 5) сепаратрисы седла не могут быть предельными ни к ни к ; 6) нет траекторий, гомоклини-ческих к П, ; 7) нет нетривиальных устойчивых по Пуассону, траекторий; 8) существует траектория / , «^-предельная к : О-предельная к Г^ ; 9) для седел, имеющих сепаратрису, о^ -предельную к Г( и сепаратрису, СО -предельную Г 1 седловые величины отличны от нуля.

Условия (С): 1) все особые точки и замкнутые траектории гиперболические, за исключением двух двойных циклов и ; нет сепаРатРис' идущих из седла в седло; 3) существует единственная сепаратриса ( ) седла ( ? ° ] со (</) -предельная к Гч ( /X) ; 4) нет траекторий, гомокли-ни-ческих к циклам Г^ (и траекторий, о/ -предельных Г^и -предельных к ; 5) нет нетривиальных устойчивых по Пуассону траекторий: 6) существует траектория Л , с1 -предельная к Г-1 и 0? -предельная к ; 7) для седел, имеющих сепаратрису, о1 -предельную к Г| и сепаратрису, ^ -предельную к П , седловые величины отличны от нуля. Доказана следующая

Теорема 4.1.1. Множества у и ^ являются С -подмногообразиями скоразмерности два.

Обозначим ; и ^ подмножества, соответственно, и & , состоящие из векторных полей, для которых любая траектория, -предельная к Г/ , является и со -предельной к (1. Пусть , }

Очевидно, что сУ^ ; ^ и - (с=/1?) - открытые множества (подмногообразия) соответственно и е.

В случае с^^ УЪ^ О ^ кривые Г1 к ( ¿. ограничивают плоскую область - кольцо К и можно говорить о том, что поле Хь задает на них одинаковую или противоположную ориентацию. Обозначим через с^у/ , и С1~1,1) открытые подмножества соответственно в ) и ^ , отвечающие одинаковой ориентации Г[ и при и противоположной при с ~ 2 .

В случае Х0 £ о5^. ^уЗ^ О^^ траектории с/ -предельные к и ¿¿> -предельные к

1 входят в ячейки ^ границей , состоящей из седел и ; отличных от и , их входящих сепаратрис и ^ ,

U -предельных к Г1 , их выходящих сепаратрис L0 ^ / и /-¿^ г- Г1 }- ^^

О)-предельных к I <, , При этом возможно либо L — /

Л 0 2S ^—Q 2S-hl либо о 2.s~ 2.S+I ' Упрощения формулировок мы не будем рассматривать эти случаи. Соответствующие изменения, учитывающие их достаточно очевидны.

В § 4.1 для поля вводится перестановка

0V л связывающая циклический порядок сепаратрис (к=1У1^2п) г о ок ' в окрестности Г^ с циклическим порядком сепаратрис о £ (к=!).„,г/1)в окрестности .

Траектории векторного поля Х0 ^ изображены на рис.

22, на рис. 259X0£i^c ( 1 f 5 %) на рис. 24, Х0 ^ с тождественной перестановкой на рис. 25.

В теореме 4.1.2 рассматривается двухпараметрическое семейство трансверсально пересекающее при S-x.? под-мноогообразие (J.^ {J * () . Описывается би

7 I ' ' / i фуркационное множество семейства { Х^ У^^где некоторая достаточно малая окрестность точки £ - о . Оно изображено на рис. 26 для i~t и на рис. 27 для = 2. . Здесь В^ бифуркационная кривая, отвечающая петле сепаратрисы седла ( ( ) при и двойному циклу при jQ U ( Y0£ ), В - бифуркационные кривые, отвечающие сепаратрисам, идущим из седла zL, в седло 2 (седла ~ продолжения по параметру £ седел tc-i,z)

В теореме 4.1.3 рассматривается двухпараметрическое семейство -I Х^ ^ £ £ трансверсально пересекающее при fro подмногообразие Описывается бифуркационное множество семейства { е € Ег° ' где ~ некоторая достаточно малая окрестность точки £ =О . Для случая перестановки те

- (2. / ъ ц) оно изоФажено на Рис- 28. Здесь В>л и в же бифуркационные кривые, что и в теореме 4.1.2, /3 ^ ( б^к! ~ бифуркационные кривые, отвечающие сепаратрисе идущей в седло ^ ( ( £ ) ( 2 г ^) ^ , ( ; т г ) - бифуркационные кривые, отвечающие сепаратрисе, идущей из 2-| в ^^ ( ) и ~ ПР0должения по параметру^ соответственног и ¿.¿^ ) .

В § 4.2 приводится доказательство теоремы 4.1.2, в § 4.3 -доказательство теоремы 4.1.3 .

Описанные бифуркации векторных полей Х0 £ сУ О $ и ^ являются глобальными. Это означает [б, с.88] . что не существует конечного множества траекторий, в окрестности которого осуществляются все бифуркации в семействе Х^ \где £Е малая окрестность точки £ ~0 • В случае X 0 ^ ^ О О через любую точку кольца К, . а в случае сУО^^ через любую точку ячейки (^Г-/,,.2л)проходит траектория поля У^,идущая из седла (й4) в седло для £ из из сколь

I—о угодно малой окрестности Ьг . Это доказано в § 4.2.

По-видимому, бифуркации векторных полей из сМ О Ъ являются первыми типичными глобальными бифуркациями на поверхностях, для которых полностью описаны бифуркационные диаграммы. Поскольку на сфере ^ очевидно, существуют векторные поля и ХрС^. г то мы имеем контрпримеры к гипотезе В.И.Арнольда [б, с. 107] о возможных бифуркациях в типичных конечнопараметрических семействах векторных полей на сфере ^ ^ . согласно которой глобальных бифуркаций в таких семействах не должно быть.

В приложении приводятся доказательства ряда технических лемм.

1. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Тео-рия бифуркаций динамических систем на плоскости. M. : Наука, 1967. - 487 с.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А. К теории изменения качественной структуры разбиения плоскости на траектории//Докл. АН СССР. -1938. Т. 21, № 9. - С. 427-430.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимостипредельных циклов от параметра // Ученые записки Горьк. ун-та. 1939. - № 6. - С. 3-24.

4. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Достаточные условия для негрубости первой степени динамической системы на плоскости// Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6, № 12. -С. 2121-2134.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные 'уравнения. -М.:Наука, 1984. 272 с.

6. Арнольд В.И. , Афраймович B.C. , Ильяшенко Ю.С., ШильниковЛ.П. Теория бифуркаций//Современные проблемы математики. Фундаментальные направления./ВИНИТИ АН СССР. М. 1986. -Т. 5. - С. 1-218.

7. Аронсон С.Х. Динамические системы на двумерных многообразиях//Труды У Междунар. конф. по нелин. колебаниям Киев.-Наукова думка. 1970. - Т. 2. - С. 46-52.

8. Battelli F. On the bifurcation from heteroclinic cicles with a semi-hiperbolic equiibrium // Boll. Unione mat. ital. B. 1994. -8, №1 - C. 87-110.

9. Богданов P.И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел// Труды семинаров им. И.Г.Петровского. М. 1976. - Вып. 2.- С. 37-65.

10. Грозовский Т.М. Бифуркации полициклов «Яблоко» и «Половина яблока» // Дифференц. уравнения. 1996. - 32, № 4- С. 458-469.

11. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М. : Наука, 1981.- 544 с.

12. Kotova A., Stanzo V. On few-parameter generic families of vector fields on two-dimensional sphere// Concern. Hilbert 16th Probl. .: Transi, from Russ. Providans (R.I), 1995.- P. 155-201.

13. Лент С. Введение в теорию дифференцируемых многообразии: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 204 с.

14. Леонтович Е.А. О рождении предельных циклов из сепаратрис// Докл. АН СССР. 1951. - Т. 78, №4. - С. 641-644.

15. Лукьянов В.И. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы "седло-узла"//Дифференц. уравнения. 1982.Т. 18, № 9. - €. 1493- 1506.

16. Malta I.R.,Palis J. Families of vector fields with finite modulus of stability// Lect. Notes Math. 1981. - V. 898. - P. 212-226.

17. Марсден Дж., Мак-Кракен M. Бифуркация рождения цикла и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1980,- 368 с.

18. Ноздрачева В.П. Бифуркации негрубой петли сепаратрисы// Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 9. - С. 15511558.

19. Ноздрачева В.П. Двухпараметрические бифуркации особого цикла/Пенз. политехи, ин-т. Пенза, 1981. - 24 е.- Деп. в ВИНИТИ, № 1389-81.

20. Ноздрачева В.П. Бифуркации особого цикла с двумя сепаратрисами//Интегральные и дифференциальные ; уравнения и приближенные решения: Сб. научн. тр. Калмык, ун-т. - Элиста, - 1985. - С. 107-124.

21. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклиниче-ской кривой седло-фокуса //Матем. сб. 1986. - Т. 130, № 4.- С. 552-570.

22. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 301 с.

23. Reyn J.W. Generation of limit cicles from separatrix poli-gons in the phase plane // Lect. Notes Math. 1980. -V.810. - P. 264-289.

24. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях контура из сепаратрис седла и седло-узла/Яросл. политехи. ин-т. Ярославль. 1988. -39 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 2555-В88.

25. Ройтенберг В.Ш. О двухпараметрических бифуркациях сепа-ратрисных контуров/Яросл. политехи, ин-т. Ярославль, 1989. - 27 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 5213-В89.

26. Ройтенберг В.Ш. О некоторых двухпараметрических бифуркациях на неориентируемых поверхностях /Яросл. политехи, инт. Ярославль, 1989.- 24 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 7221-В89.

27. Ройтенберг В.Ш. О некоторых нелокальных двухпараметрических бифуркациях векторных полей на поверхностях, имеющих особую. точку типа седло-узел/Яросл. политехи, ин-т. Ярославль, 1991. - 41 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 3070-В91.

28. Ройтенберг В.Ш. О двухпараметрических бифуркациях на поверхностях //Тез. докладов VIII конференции' СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений" Самарканд,-1992.- С. 96.

29. Ройтенберг В.Ш. О некоторых глобальных бифуркациях в двухпараметрических семействах векторных полей на поверхностях // Яросл. политехи, ин-т. Ярославль, .- 1995. -28 с. -Деп. в ВИНИТИ, № 887-В95.

30. Серебрякова Н.Н. О поведении динамических систем с одной степенью свободы вблизи тех точек границы области устойчивости, где безопасная граница переходит в опасную Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. -№ 2.

31. Sotomayor J. Genneric one-parameter families of vector fields on two-dimensional manifolds // IHES. 1974. - V. 43. - P. 5-46.

32. Takens F. Partial hiperbolic fixed point // Topology. -1972-. V. 10, № 2. - P. 133-147.

33. Takens F. Unfolding of certain singularities of vector fields: generalized Hopf bifurcations // Jornal of Differential Equetions. 1973. - V. 14. - P. - 476-493.

34. Тураев Д.В. Бифуркации двумерных динамических систем, близких к системам с двумя петлями сепаратрис//Успехи мат. наук. 1985. - Т. 40, № 2. - С. 203-204.

35. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

36. Шашков М.В. О бифуркациях сепаратрисных контуров на двумерных поверхностях. 1//Межвуз. тематич. сб. научн. тр./ Под ред. Л.П.Шильникова. Горьк. гос. ун-т.- Горький, 1989.- С. 116-129.

37. Шашков М.В. О бифуркациях сепаратрисных контуров на двумерных поверхностях. II // Межвуз тематич. сб. научн. тр./ Под ред. Л.П. Шильникова. Нижегор. гос. ун-т. Нижний Новгород, 1990. - С. 41-49.