Исследование бифуркаций периодических траекторий вблизи негрубых гомоклинических орбит тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гонченко Владимир Сергеевич

Исследование бифуркаций периодических траекторий вблизи негрубых гомоклинических орбит

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 2005

Работа выполнена на кафедре численного и функционального анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор Л.П.Шильников

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Белых, доктор физико-математических наук, профессор Б.В.Жужома,

Ведущая организация:

Ярославский Государственный университет

Защита состоится " 2005г. в ^ часов на заг

седании диссертационного советгОД 212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп.2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ.

Автореферат разослан ПШйЛЯ 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент о В.И.Лукьянов

Общая характеристика работы

Актуальность исследования Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем - теории бифуркаций многомерных динамических систем.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина, оформилась в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, H.H. Баути-на. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на плоскости (Андронов, Понтрягин); для систем с конечным множеством особых траекторий построен полный топологический инвариант (Леонтович, Майер). Также были изучены бифуркации систем первой степени негрубости (Андронов, Леонтович). Уже для двумерных потоков эти бифуркации стали подразделяться на локальные и нелокальные. К основным локальным бифуркациям систем на плоскости относятся бифуркации состояний равновесий типа седло-узел и сложный фокус и бифуркации сложных предельных циклов. Основные нелокальные бифуркации составляют бифуркации го-моклинических петель сепаратрис седла и седло-узла, а также бифуркация сепаратрисы, идущей из седла в седло.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность фазового пространства которых не меньше трех для потоков и двух для отображений). При этом основным объектом исследования по началу стала теория грубых динамических систем, получившая наименование гиперболической теории. Основы этой теории были заложены в работах В.М.Алексеева, Д.В.Аносова, Р. Манэ, К.Пью, К.Робинсона, Я.Г.Синая, С.Смейла, Д.Фрэнкса, С.Хая-ши, Л.П. Шильникова и др. При этом был выделен специальный класс грубых систем, обладающих конечным числом состояний равновесия и периодических траекторий, так называемые системы Морса-Смейла. Однако, как оказалось, грубые многомерные системы, в отличие от двумерных, могут допускать и счетное множество периодических орбит. Хо-

Ä>G НАЦИОНАЛЬНАЯ | БИБЛИОТЕКА 1 «N—^ |

-»7 Л У j

рошо известными примерами систем такого рода являются двумерный диффеоморфизм с подковой Смейла и диффеоморфизм Аносова двумерного тора. К настоящему времени гиперболическая теория представляет собой вполне законченную самостоятельную часть качественной теории.

Что касается теории бифуркаций многомерных динамических систем, то основные локальные бифуркации составляют а) бифуркации состояний равновесия и периодических движений типа седло-узел или седло-седло; б) бифуркация состояния равновесия типа сложный фокус: в) бифуркация удвоения периода периодической траектории (когда у последней есть мультипликатор —1); г) бифуркация рождения инвариантного тора из периодической траектории (с мультипликаторами е±ир. где тг/2, 27г/3). Таким образом, здесь по сравнению с локальными бифуркациями двумерных потоков по сути новыми являются два последних типа бифуркаций.

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П.Шильникова. Так ещё в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических петель к состояниям равновесия типа седло (1963.1968), седло-узел (1963), седло-седло с одной (1966) и несколькими (1969) гомоклиническими траекториями. а также им были исследованы бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус (1965,1970).

В дальнейшем бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В.С.Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А.Белякова. В.В.Быкова, Н.К.Гаврилова, С.В.Гонченко, Ю.С.Ильяшенко, Л.М. Лер-мана, В.И.Лукьянова, Ш.Ньюхауса, Дж.Пэлиса. Ф.Такенса, Д.В.Турае-ва и др.

В настоящей диссертации рассматриваются следующие бифуркации многомерных динамических систем коразмерности два.

1) бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих негрубую го.моклиническую траекторию к седловой неподвижной точке нейтрального типа. Такая точка имеет мультипликаторы Л и 7, где |А| < 1 < ¡7| и а = |А-у| = 1. Ранее аналогичные бифуркации изучались (Гаврилов-Шильников, 1972-1973) в случае систем коразмерности один, для которых о "ф\.

2) Бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с непростым квад-

М' л

ратичным гомоклиническим касанием. Ранее аналогичные бифуркации изучались (С.Гонченко, Тураев, Шильников, 1993,1996) для систем коразмерности 1 в случае простого гомоклинического касания, когда выполнено некоторое условие трансверсальности. В диссертации рассматривается случай коразмерности 2, когда это условие трансверсальности нарушено.

3) бифуркации гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус (с собственными числами у и —\±ги>) с седловым индексом I/ = Л/7, равным 1/2. Структура множества траекторий в окрестности петли изучалась Шильниковым (1965,1970). Бифуркации в случае коразмерности один, т.е. при V ф 1/2, изучались Овсянниковым и Шильниковым (1986). Также следующие случаи систем коразмерности 2, отвечающие: а) ш = 0, б) А = 0, в) V = 1 - были изучены Беляковым (1980,1985). В диссертации рассматривается новый случай коразмерности 2, а именно случай V = 1/2.

Рассматриваемые задачи имеют важное значение для теории динамического хаоса. Так, бифуркации в случаях 1) и 3) могут рассматриваться как одни из основных при переходе от квазиаттракторов (Афрай-мович, Шильников, 1982) к диким аттракторам (Тураев, Шильников, 1998), поскольку изменение седловой величины или седлового индекса соответственно могут приводить к потере устойчивости периодических траекторий. В то же время, исследование бифуркаций в случае задачи 2) показывает, что изменение характера гомоклинических касаний существенно влияет на структуру аттрактора в целом, поскольку появление, например, непростых гомоклинических касаний ведет к возникновению устойчивых периодических траекторий, и даже их счетного множества.

Здесь следует особо отметить важность и актуальность задачи исследования окрестности петли седло-фокуса, поскольку она имеет непосредственное отношение к теории спиральных аттракторов - одной из наиболее Популярных тем в теории динамического хаоса. Как известно, такие аттракторы обнаруживаются в многочисленных динамических моделях точного естествознания. Её решение может дать адекватное объяснение некоторых наблюдаемых в численных исследованиях явлений, связанных с переходами от спиральных квазиаттракторов к диким спиральным аттракторам.

Объект исследования Соответственно рассматриваемым случаям, в диссертации исследуются следующие объекты.

1) Двухпараметрическое семейство двумерных диффеоморфизмов, близких к двумерному диффеоморфизму с квадратичным гомо-клиническим касанием многообразий седловой неподвижной точки нейтрального типа;

2) Двухпараметрическое семейство трехмерных диффеоморфизмов, близких к трехмерному диффеоморфизму с непростым гомокли-ническим касанием гомоклиническим касанием многообразий седловой неподвижной точки;

3) Двухпараметрическое семейство трехмерных потоков, близких к трехмерному потоку, обладающему гомоклинической петлей к седло-фокусу с нулевой дивергенцией.

Цели и задачи исследования Основная задача диссертации состоит в изучении бифуркаций, связанных с переходом от систем, имеющих в некоторой фиксированной малой окрестности негрубой гомоклинической орбиты асимптотически устойчивые периодические траектории (возможно даже бесконечно много), к системам, в которых такие траектории отсутствуют. При этом, принципиальным моментом является то, что в работе рассматриваются бифуркации, происходящие в классе систем, допускающих гомоклинические касания. Насколько нам известно, бифуркационные задачи в такой постановке ранее не рассматривались.

Теоретическая ценность и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены как в теории гладких динамических систем, так и при исследовании конкретных моделей.

Методологическая и теоретическая основа исследования. В диссертации использованы методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций.

Научная новизна исследования Среди новых результатов, полученных в диссертации, можно выделить следующие:

1) Построены нормальные формы двумерных седловых отображений в случае основного резонанса (седловая величина равна единице) и найдены решения соответствующих краевых задач.

2) В теорию динамических систем введено новое "гомоклиническое" отображение - обобщённое отображение Эно, которое возникает во многих задачах теории нелокальных бифуркаций. Исследованы основные бифуркации этого отображения, в частности, бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых.

3) Исследованы бифуркации, приводящие к устойчивым периодическим траекториям и устойчивым замкнутым инвариантным кривым, в случае трехмерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями при нарушении определенных условий трансверсальности.

4) Исследован новый критический случай петли седло-фокуса трехмерной системы (седловой индекс равен 1/2). Изучены основные бифуркации и описаны границы потери устойчивости периодическими траекториями из окрестности петли.

5) Установлено, что вблизи системы с гомоклинической петлей седло-фокуса с седловым индексом, равным 1/2, существуют области Ньюхау-са, в которых плотны системы, имеющие одновременно счетное множество устойчивых, вполне неустойчивых и седловых периодических траекторий. Тем самым, явление смешанной динамики обнаружено в областях Ньюхауса вблизи систем коразмерности два с негрубыми гомоклиническими траекториями.

Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 16 работ. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем", 1999; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2000; VI сессия молодых ученых, Саров, 2001; Международная конференция, посвящена 100-летию А.А. Андронова 'Progress in Nonlinear Science", Нижний Новгород, 2001; Конференция "Актуальные проблемы современности", Самара, 2001; Международная конференция по дифференциальным урав-

нениям и динамическим системам, Суздаль, 2002; Конференция, посвященная памяти В.Ф. Лазуткина, Санкт-Петербург, 2002; Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004; Международная конференция, "Dynamics, Bifurcations and Chaos", Нижний Новгород, 2005.

По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета (руководитель - проф. Л.П.Шильников); на обер-семинаре по дифференциальным уравнениям в институте Вейерштрасса (2002, руководитель - проф. К.Шнайдер), на семинаре факультета математики университета Утрехта (2003. руководитель - проф. Ю.А. Кузнецов), на совместном семинаре по динамическим системам в Барселонском университете (2002,2004 руководители - проф. К.Симо, А.Дельшамс), на семинаре кафедры численного и функционального анализа Нижегородском государственном университете (руководитель - проф. Баландин Д.В.).

Результаты диссертации явились составной частью результатов работы, выполнявшейся при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследовании (гранты РФФИ No.04-01-00487, No.04-01-00483 and No.05-01-00558), Министерства образования и науки (грант "Университеты России" No. 03.01.180) и гранта CRDF (No. RU-M1-2583-М0-04).

Публикации Всего но теме диссертации автором опубликовано 16 работ. Основные результаты являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [1]-[16]. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию вошли только результаты доказанные автором самостоятельно.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации: 147 стр., 19 рис., 65 наименований литературы.

Содержание диссертации.

В Главе 1 изучаются основные бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих квадратичные гомоклинические касания к седло-вой неподвижной точке нейтрального типа. Пусть /о - такой диффеоморфизм класса С , г > 5 , удовлетворяющий следующим условиям:

A) /о имеет седловую неподвижную точку О с собственными числами А и 7 такими, что |А| < 1 < |7|;

B) седловая величина а = | А'у! равна 1 (т.е. О - седловая точка нейтрального типа);

C) устойчивое И^ и неустойчивое И^ многообразия седла О имеют квадратичное гомоклиническое касание в точках некоторой гомокли-нической траектории Го

Пусть /м, ¡1 = (/¿ь/*2), двухпараметрическое семейство, содержащее диффеоморфизм /о при цх = Ц2 = 0- Без ограничения общности, можно считать, что ц\ - это параметр расщепления инвариантных многообразий седла О относительно некоторой точки траектории Го, а Ц2 -это отклонение седловой величины от единицы, т.е. |А(/х)7(^)| = 1 + ^ •

Пусть II = и (О и Го) - достаточно малая фиксированная окрестность замыкания траектории Го . Она представляется в виде объединения малого диска Щ, содержащего точку О , с некоторым числом малых окрестностей тех точек траектории Го , которые не лежат в Со-

Определение 1.1.1 Периодическую траекторию, целиком лежащую в II , будем называть р-обходной, если она пересекает каждую из окрестностей в множестве 1/\1/о ровно в р точках.

Основной задачей Главы 1 является изучение бифуркаций однооб-ходных (р = 1) периодических траекторий из V . Точки таких периодических траектории являются неподвижными точками отображений первого возвращения. Эти отображения строятся в виде суперпозиций двух отображений: локального отображения То(р), определенного в окрестности Щ седловой неподвижной точки Оц диффеоморфизма и глобального отображения Т\(ц), определенного вблизи глобального куска Го, т.е. Т\(р) = для некоторого натурального щ. Тогда однообходной периодической траектории периода к + по для всех достаточно больших к отвечает отображение первого возвращения 7* = Т\Тц.

Сразу отметим, что при а = 1 наблюдается принципиально новый тип бифуркаций, по сравнению со случаем а ф 1, а именно, бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых. В случае однообходных траекторий такие бифуркации будут невырожденными, если некоторая величина R, вычисляемая по коэффициентам локального и глобального отображений, отлична от нуля. И здесь имеет место следующий результат.

Теорема 1.1 Пусть R Ф 0. Тогда на плоскости параметров (МьДг) существует последовательность открытых областей Д*, накапливающихся к ß = 0 при к —> +оо, таких, что диффеоморфизм имеет периодическую замкнутую инвариантную кривую при д £ Д^. Инвариантные кривые являются либо асимптотически устойчивыми при RXk < 0, либо неустойчивыми при RXk > 0.

Эта теорема непосредственно вытекает из следующей теоремы о структуре бифуркаций однообходных периодических траекторий.

Теорема 1.2 1. На плоскости параметров (¿¿ь /¿г) для каждого достаточно большого к существуют бифуркационные кривые ¿¡Г и отвечающие однообходным периодическим траекториям с мультипликаторами +1, —1 и е±%* (0 < ф < п) соответственно.

2. При значениях ß из области расположенной между кривыми

и диффеоморфизм flt имеет две однообходные периодические траектории, одна из которых - седловая, а другая - асимптотически устойчивая при (1 € D'k и вполне неустойчивая при ß € где D'k и -это подобласти Dk, разделенные кривой

3. В случае RXk < 0 (RXk > 0) первая ляпуновская величина "сложного фокуса" при fi 6 отрицательна (положительна).

Предварительные сведения и формулировки этих теорем, приведены в Параграфе 1.1. Доказательства же их занимают Параграфы 1.2, 1.3 и 1.4. При этом в параграфе 1.2 доказан результат о возможности представления отображения To(ß)k в перекрестном виде для случая когда <7=1 при ß = 0. В параграфе 1.3 строится отображение первого возвращения Тк = Т\Тк с использованием стандартной техники. Далее, доказывается (Лемма 1.3.1 о рескейлинге) о том, что отображение Т* при достаточно больших к и малых ß может быть приведено к виду (путем

некоторого перемасштабирования координат и параметров).

х = у, у = Мг- М2х - у2 + е\ху + е\уг,

где х, у - новые координаты, М\, Мг новые параметры, а е^ = ЯХк, е\ =

(Я - "сепаратрисная величина", а 5 - некоторый коэффициент, определяемый по глобальному отображению). При этом, параметры М\ ~ 7~2*(М1 ~ ак) (ак 0 при к +оо), Мг ~ (1 + //г)*- Заметим, что области значений параметров М\, Мг и координат (х, у) покрывают при к -* +ос все конечные значения (Мг - положительные, если /о - ориентируемый). Исследование бифуркаций уже этого отображения, которое мы назвали обобщенное отображение Эно, занимает параграф 1.6. Знание бифуркаций его неподвижных точек и знание связи между старыми и новыми параметрами позволяет построить бифуркационные диаграммы для однообходных периодических траекторий в случае семейства что сделано в параграфе 1.4.

В Параграфе 1.5 изучается структура бифуркационной диаграммы однообходных периодических траекторий "в целом". На основе этого найдены условия (Теорема 1.3), при которых сосуществуют однообход-ные периодические траектории различных периодов и различных типов устойчивости.

В Главе 2 исследуется двухпараметрическое семейство трехмерных Сг-гладких диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму / £ Сг,г > 5, удовлетворяющему следующим условиям:

A) / имеет седловую неподвижную точку О с действительными мультипликаторами А^ Аг, 7 такими что 0 < |Аг| < |А1| < 1 < = ¡АхАгт! < седдовая величина а = |А17| ф 1;

B) Устойчивое И"(О) и неустойчивое Ц?и(0) инвариантное многообразия точки О имеют квадратичное касание в точках некоторой го-моклинической траектории Го;

C) Расширенное неустойчивое многообразие (которое содержит IVй(О) и касается в точке О собственного направления, отвечающего мультипликатору А1) нетрансверсально к слоям сильно устойчивого слоения в 1¥'(0) в точках гомоклинической траектории Го-

Рассмотрим двухпараметрическое семейство диффеомор-

физмов, близких к /, где в качестве параметров рассматриваются: ¡х\

- параметр расщепления многообразий IV(О) и \¥и(0) относительно некоторой точки траектории Го, и ~ параметр, разрешающий условие С) непростоты касания.

Основной объект изучения здесь - однообходные периодические траектории. При этом, выделяется "сильно диссипативный" случай (|А17| < 1), в котором динамика является по существу одномерной, что показывает следующая теорема.

Теорема 2.1 Пусть / удовлетворяет условиям А)-В) и |Ах-у) < 1. Рассмотрим однопараметрическое семейство . Тогда, в любой окрестности точки цх = 0 существует бесконечно много непересекающихся интервалов —► 0 при к оо таких, что отображение первого возвращения Тк при ц1 € &к может быть приведено к отображению, которое асимптотически С~г-близко (при к —¥ оо) к следующему предельному отображению

Хг = 0 , Х2 = 0 , У = Л/х - У2 . (1)

где М\ ~ 72*[/*1 — 0(7-*)].

Когда |А17| > 1, условие С) оказывается уже весьма существенным для динамики, и здесь выделяются два основных случая:

Случай I. И/ие(0) и IV"(О) имеют трансверсальное пересечение, но при этом \¥и(0) касается слоя устойчивого слоения.

Случай II. \¥ие(0) касается IV(О), но при этом IVй(О) и соответствующий слой устойчивого слоения пересекаются общим образом.

Теорема 2.2 Пусть |А17| > 1. Тогда, на плоскости параметров (/¿ъМг) существуют бесконечно много областей Дь, накапливающихся при к —)• оо к началу координат, таких, что отображение первого возвращения Тк в соответствующих перемасштабированных координатах асимптотически близко в -топологии при к оо к одному из следующих предельных отображений:

& = М2У, Х2 = У, У = М1-Х1- У2, (2)

в Случае I, или

Х\ ~ У, Х2 = О, ? = М1- М2Х\ - У2, (3)

в Случае II, где координаты Х^Х^У и параметры Ми Л/г могут принимать произвольные конечные значения при больших к.

Отметим, что предельные отображения из Теоремы 2.2 являются вырожденными: они обладают при Мг ф О инвариантными плоскостями (вида Х\ — М2Х2 = 0 в случае отображения (6) и вида = 0 в случае отображения (7)), на которые за одну итерацию попадает любая точка из Л3. Соответственно, отображение первого возвращения Т* при больших к будет обладать притягивающим Сг_2-гладким двумерным инвариантным многообразием Мк- На Мк отображение первого возвращения может быть представлено в следующем виде.

Теорема 2.3 Пусть условия теоремы 2.2 выполнены. Тогда, для любого е > 0 и \М?\ > е отображение ТщМк при любых достаточно больших к может быть записано в следующей форме

хг = У , У = М1-М2Х1-У2 + 11кХ1У + 6к (4)

где Як 0 при к —► оо является некоторой величиной, определяемой коэффициентами локального и глобального отображений.

Теорема 2.4 описывает структуру бифуркационной диаграммы на плоскости (цьт) Для семейства {¡¡^щ-

Теорема 2.4 Пусть условия Теоремы 2.2 выполнены и предположим также, что |Аг7| ^ 1 и Й ф 0 при |Лг7| < 1. Тогда на плоскости параметров (цицз) в любой окрестности начала координат существует бесконечно много открытых областей Щ и (принадлежащих областям Д* из теоремы 2.2), накапливающихся к началу координат при к +оо такие, что отображение при (цищ) € Щ имеет од-нообходную периодическую траекторию асимптотически устойчивую периодическую траекторию, а при (т,Ц2) € Щс имеет однообходную периодическую асимптотически устойчивую инвариантную кривую.

Геометрия непростого гомоклинического касания описана в Параграфе 2.2. Параграф 2.3 посвящен доказательству Леммы 2.3.1 о представлении локального отображения. Параграф 2.4 посвящен построения глобального отображения для Случаев I и II. В Параграфе 2.5 приведены доказательства основных теорем. Основной метод здесь, как и в Главе 1 - построение и рескейлинг отображения первого возвращения.

В Главе 3 исследуется двухпараметрическое семейство трехмерных потоков, близких к потоку с гомоклинической петлей к седло-фокусу с нулевой дивергенцией (седловой индекс и = 1/2). В Параграфе 2.1 приведены формулировки основных теорем. Исследование здесь проводится по "классической схеме" теории бифуркации. Вначале изучается система с гомоклинической петлей и и = 1/2. Вводится величина I = (Ну/(Го(т))^т, где / - поток, а Г(т) - решение, отвечающее гомоклинической петле. Знак этой величины определяет поведение потока в окрестности гомоклинической петли (I < 0 отвечает сжатию объемов, а / > 0 - растяжению), а именно имеет место следующий результат

Теорема 3.1 В достаточно малой окрестности и гомоклинической петли Го поток /о не имеет в V

а) вполне неустойчивых периодических траекторий при I < 0;

б) устойчивых периодических траекторий при I > 0.

Рассмотрим двухпараметрическое семейство где /л = (дь/хг) потоков, близких к /о- Не ограничивая общности, в качестве параметров рассматриваются следующие: - параметр расщепления гомоклинической петли; а ц^ - отклонение дивергенции в седло-фокусе от нуля.

Теорема 3.2 При достаточно малых (^1,^2) в зависимости от знака I имеет место следующая ситуация:

I) если I < 0, поток Д при всех Ц2 < 0 не имеет в и вполне неустойчивых периодических траекторий;

II) если I > 0, поток Д при всех цъ > 0 не имеет в II асимптотически устойчивых периодических траекторий.

Утверждение И) Теоремы 3.2 дает некоторое представление о виде области неустойчивости (т.е. таких значений параметров, при которых в малой фиксированной окрестности гомоклинической петли не существует устойчивых периодических траекторий). Оно показывает, что при I > область неустойчивости содержит полуплоскость ц? > 0. На самом деле эту область можно уточнить, что показывает следующая теорема

Теорема 3.5 В случае I > 0 1) в области Ц1 < 0, щ < 0 существует кривая ВЦ

= 1р{ц2)--е5« ,

такая, что при /¿2 < 0 и < ¥>(мг) поток не имеет устойчивых периодических траекторий.

2) па полупрямой В+ : {ц? = О, > 0} в любой окрестности, точки {ц\ = О, = 0)

а) существует бесконечное множество точек, в любой окрестности которых есть значения параметров, отвечающих существованию у счетного множества устойчивых периодической траектории;

б) существует счетное множество интервалов Д С В+ таких, что у каждой точки (¿¿1,0) £ Д- существует такая окрестность на плоскости параметров Ц2), что для всех значений ц из этой окрестности поток не имеет устойчивых периодических траекторий в II.

В Главе 3, как и в Главах 1 и 2, показано, что отображение Пуанкаре двумерной секущей Яо при определениях значениях параметров приводится к обобщенному отображению Эно (где опять же величина е1 вычисляется по коэффициентам отображения Пуанкаре исходного потока и не равна нулю при I ф 0), тем самым, имеют место результаты (составляющие Теорему 3.3). аналогичные предыдущим (Теоремы 1.2 и 2.3), о характере устойчивости однообходных периодических траекторий.

Существенным моментом Главы 3 является теорема 3.4 о существовании гетероклинического контура, составленного из многообразий двух седловых периодических траекторий.

Теорема 3.4 При р\ = 0 существуют значения параметр Ц2 при которых отображение на секущей 5ц имеет две седловые периодические точки 0\,02, такие что Ши{0\) и И"(Ог) пересекаются транс-версально, а ^"(Ог) и Иг'{0{) имеют квадратичное касание. Причем седловая величина седла 0\ меньше 1, седловая величина О2 больше 1.

Из нее непосредственно вытекает (на основании результатов работы С. Гонченко, Тураева, Шильникова, 1997) следующий вывод о так называемой смешанной динамике

Вывод. На плоскости параметров в любой достаточно

малой окрестности начала координат существуют счетное множество областей Ньюхауса, лежащих в полуплоскости Дг > 0 при I < 0 или в полуплоскости Ц2 < 0 при I > 0, в которых плотны значения параметров (^1, Ц2), отвечающие потокам имеющим одновременно счетное множество устойчивых, вполне неустойчивых и седловых пе-

риодических траекторий.

Доказательства Теорем 3.1 и 3.2 приведены в параграфе 3.3. Доказательству Теоремы 3.4 и исследованию дополнительных свойств отображения Пуанкаре посвящены параграфы 3.6 и 3.5 соответственно. Доказательство Теоремы 3.5 приведено в параграфе 3.7.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] Гонченко, В. С. О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомо-клиническим касанием многообразий " нейтрального седла" / B.C. Гонченко // Труды Мат. Инст. им. Стеклова. — 2001. — Т. 236. — С. 86-93.

[2] Гонченко, B.C. О бифуркациях рождения замкнутой инвариантной кривой в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями / С.В. Гонченко, B.C. Гонченко // Труды Математического Института им. Стеклова. — 2004. — Т. 244. — С. 86-93.

¡3] Gonchenko, V. On bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with a homoclinic tangency to a "neutral" saddle fixed point / V. Gonchenko, I. Ovsyannikov // Записки научных семинаров Петербургского отделения Математического Института. — 2003. — Т. 300. — С. 167-172.

[4] Gonchenko, V. Generalized Нёпоп map and bifurcations of homoclinic tangencies / V. Gonchenko. Y. Kuznetsov, H. Meijer // SIAM Journal on App. Dyn. Sys. - 2005. - Vol. 4. -- Pp. 407-436.

[5] Gonchenko, V. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with codi-mension two homoclinic tangencies and generalized Henon maps / V. Gonchenko, S. Gonchenko, J. Tatjer // Труды межд. конф. "Progress in Nonlinear Science", поев. 100-летию А.А. Андронова, Нижний Новгород. — 2002. — Vol. 1. - Pp. 63-79.

[6] Гонченко, B.C. Бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых в обобщенных отображениях Эно / B.C. Гонченко, И.И. Овсянников // Сб. статей Математика и кибернетика", ННГУ.— 2003.— С. 98-100.

[7] Gonchenko, V. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies / S. Gonchenko, V. Gonchenko // Preprint No.556. - 2000.

|8] Gonchenko, V. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps /

S. Gonchenko, V. Gonchenko, J. Tatjer // Preprint IMUB-366. - 2004.

[9] Гонченко, В. С. О бифуркациях периодических траекторий двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубой гомоклини-ческой траекторией к "нейтральному седлу / B.C. Гонченко // Тезисы V Межд.Копф. "Нелинейные колебания мех. системНижний Новгород. - 1999, - С. 72 73.

[10] Гонченко, В. С. О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с го-моклиническим касанием многообразий "нейтрального седла" / B.C. Гонченко // Тезисы Межд. Конф. по Дифф. уравнениям и Дин. системам, Суздаль. - 2000. - С. 124 125.

[11] Гонченко, B.C. О появлении инвариантных торов при бифуркациях трехмерных потоков с негрубой гомоклинической траекторией / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. "Progress in Nonlinear Science" посвящ. 100-летию А.А. Андронова, Нижний Новгород. — 2001. — С. 14.

[12] Гонченко, В.С О бифуркации Андронова-Хопфа двумерных диффеоморфизмов имеющих гомоклиническое касание седловой неподвижной точки "нейтрального типа" / B.C. Гонченко // Тезисы VI нижегородской сессии молодых ученых, Саров. — 2001. - С. 10.

[13] Гонченко, В. С. О бифуркациях периодических траекторий в случае гомоклинического касания инвариантных многообразий седловой неподвижной точки "нейтрального типа" / B.C. Гонченко '/ Тезисы конф. "Актуальные проблемы современной науки", Самара. 2001. — С. 28.

[14] Гонченко, B.C. On bifurcations of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. по Дифф. уравнениям и дин. системам, Суздаль. — 2002. — С. 56-57.

[15] Гонченко, B.C. On homoclinic bifurcations in the case of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко ', Abstracts of Workshop on Diff. Eq. dedicated to the memory of V.F. Lazutkin. St.-Peterburg. -2002. - Pp. 22-23.

[ЩГонченко, B.C. Shilnikov's theorem in the case of saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. Dynamics, Bifurcations and Chaos, 31 января - 4 февра^гя, Нижний Новгород. - 2005. -- P. 2.

Подписано в печать 15.11.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Зак. 1564. Тир. 100.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лиц. ПД № 18-0099 от 04.05.2001. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

V

%

•24 030

РНБ Русский фонд

2006-4 26889

Введение

1 Бифуркации двумерных диффеоморфизмов с гомокли-ническим касанием многообразий седловой точки нейтрального типа

1.1 Постановка задачи и основные результаты.

1.2 Свойства локального отображения.

1.3 Построение отображения первого возвращения. Доказательство леммы о рескейлинге.

1.4 Доказательство основных теорем (теорем 1.1 и 1.2)

1.5 Условия сосуществования однообходных периодических траекторий.

1.6 Исследование бифуркаций в обобщенном отображении

1.6.1 Определение типа устойчивости замкйутых инвариантных кривых.

1.6.2 Резонансы

2 Бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с непростым гомоклиническим касанием

2.1 Постановка задачи и основные результаты.

2.2 Геометрия непростого гомоклинического касания

2.3 Нормальная форма локального отображения Т0.

2.4 Свойства глобального отображения Т\.

2.5 Доказательство основных теорем.

2.5.1 Доказательство леммы 2.3.3.

2.5.2 Приведение отображение Т\ для рейскейлинга. . 83 ^ 2.5.3 Доказательство теоремы 2.1.

2.5.4 Доказательство теоремы 2.2.

2.5.5 Доказательство теоремы 2.3.

2.5.6 Доказательство теоремы 2.4.

3 О бифуркациях трехмерных систем с гомоклиниче-ской петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с нулевой дивергенцией

3.1 Постановка задачи и основные результаты.

3.2 Вспомогательные результаты.

3.3 Доказательство теоремы 3.1 и 3.

3.3.1 Доказательство теоремы 3.1.

3.3.2 Доказательство теоремы 3.2.

3.4 Доказательство теоремы 3.3.

3.5 Гиперболические свойства потока

3.6 Доказательство теоремы 3.4.

3.7 Доказательство теоремы 3.5.

Основной темой диссертации является исследование бифуркаций многомерных динамических систем, имеющих негрубые гомоклини-ческие (двоякоасимптотические) траектории к периодическим траекториям или состояниям равновесия седлового типа. Такие гомоклини-ческие траектории называются также либо гомоклиническими петлями в случае состояний равновесия, либо негрубыми гомоклиническими орбитами Пуанкаре в случае седловых периодических траекторий. В последнем случае говорят также о гомоклинических касаниях, по

Н» скольку устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия сед-ловой периодической траектории пересекаются нетрансверсально в точках соответствующей гомоклинической орбиты.

Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем - теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина офор-ftfi милась в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, H.H.

Баутина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на плоскости (Андронов, Понтрягин); для систем с конечным множеством особых траекторий построен полный топологический инвариант (Леонтович, Майер). Также были изучены бифуркации систем первой степени негрубости (Андронов, Леонтович). Уже для двумерных потоков эти бифуркации стали подразделяться на локальные и нелокальные. К основным локальным бифуркациям систем на плоскости относятся бифуркации состояний равновесий типа седло-узел и сложный фокус, а также бифуркации сложных (полуустойчивых) предельных циклов. Основные нелокальные бифуркации составляют бифуркация гомоклинической петли сепаратрисы седла, гомоклини-ческой петли сепаратрисы седло-узла, а также бифуркация сепаратрисы, идущей из седла в седло.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность фазового пространства которых не меньше трех для потоков и двух для отображений). При этом основным объектом исследования по началу стала теория грубых динамических систем, получившая наименование гиперболической теориия. Основы теории грубых многомерных динамических систем были заложены в работах Д.В. Аносова и С. Смейла. Здесь важную роль играли понятия гиперболичности и трансверсальности. Позднее, необходимые и достаточные условия грубости были найдены в работах Робинсона, Мане, Хаяши и др.

Что касается теории бифуркаций многомерных динамических систем, то основные локальные бифуркации составляют а) бифуркации состояний равновесия и периодических движений типа седло-узел или седло-седло; б) бифуркация состояния равновесия типа сложный фокус; в) бифуркация удвоения периода периодической траектории (когда у последней есть мультипликатор —1); г) бифуркация рождения инвариантного тора из периодической траектории (с мультипликаторами е±г<р, где 0<(,р<7ги(/?^7г/2, 27г/3). Таким образом, здесь по сравнению с локальными бифуркациями двумерных потоков по сути новыми являются два последних типа бифуркаций.

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П.Шильникова. Так ещё в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических петель к состояниям равновесия типа седло ([22, 27]), седло-узел ([22]), седло-седло с одной ([24]) и несколькими [28] гомоклиническими траекториями, а также были исследованы бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус [23, 29].

В дальнейшем нелокальные бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В.С.Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А. Белякова, В.В.Быкова, Н.К.Гаврилова, С.В.Гонченко, Ю.С.Ильяшен-ко, Л.М.Лермана, В.И.Лукьянова, С. Ньюхауса, Дж.Пэлиса, Ф.Такен-са, Д.В.Тураева и др.

В настоящей диссертации будут изучаться нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, целиком лежащих в некоторой окрестности исходной гомоклинической орбиты. Такие задачи хорошо изучены в случае бифуркаций коразмерности один. Здесь нужно отметить прежде всего глобальные бифуркации коразмерности один, ведущие от систем с простой структурой (системы Морса-Смейла) к системам со сложной структурой (со счетным множеством периодических траекторий). Примерами таких бифуркаций являются 1) бифуркация гомоклинической связки из двух или более гомоклинических петель состояния равновесия типа седло-седло (Шильников, [28]); 2) бифуркация гомоклинического касания в так называемом случае систем первого класса, получившая наименование "гомоклинического О-взрыва" (Гаврилов, Шильников, [8]; Ньюхаус, Пэлис, [44]; Стень-кин, Шильников, [19]); 3) глобальные бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории (Афраймович,

Шильников, [5]; Ньюхаус, Пэлис, Такенс, [45]; Тураев,Шильников, [20]); 4) некоторые многомерные бифуркации типа "катастрофа голубого неба" (Тураев, Шильников, [46]) и ряд других. Заметим, что последние два типа бифуркаций отвечают переходу от простого аттрактора к странному (соответственно, к "тор-хаосу" или к гиперболическому аттрактору).

Нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, могут происходить и в классе систем со сложной структурой. Примерами таких бифуркаций являются: бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории, имеющей трансверсальную гомоклиниче-скую орбиту (Лукьянов-Шильников, [16]); бифуркации гомоклиниче-ского касания в так называемом случае систем второго класса (Гаври-лов, Шильников, [8]). Приведенные выше примеры бифуркаций имеют коразмерность один.

В случае же коразмерности два наибольший интерес представляет исследование тех нелокальных бифуркаций, которые приводят к резкому изменению структуры или характеристических свойств неблуждающих множеств. В случае трехмерных потоков, допускающих го-моклинические петли состояний равновесия типа седло-фокус, такие бифуркации в критических случаях были изучены Л.А.Беляковым [31, 30]. Пусть трёхмерная система имеет гомоклиническую петлёй седло-фокуса, т.е. состояния равновесия с характеристическими числами 7 и —Л ± гсс>, где 7 > 0,А > 0 и и ^ 0. Как показано Шильнико-вым [23] для трехмерного случая и [29] для многомерного, структура множества N траекторий, целиком лежащих в окрестности петли, существенно зависит от того больше или меньше единицы седловой индекс V — —. Так, если V > 1, то N имеет тривиальную структуру 7 содержит только состояние равновесия и гомоклиническую траекторию), и бифуркации здесь, во-первых, не выводят из класса систем Морса-Смейла, и во-вторых, проходят по хорошо известному сценарию бифуркации петли сепаратрис "при а < 0", Шильников [22, 27]. Если же 0 < и < 1, то N имеет сложную структуру (содержит нетривиальные гиперболические подмножества, которые, вообще говоря всё N не исчерпывают). Беляковым [31, 30] были рассмотрены три критических случая, отвечающие тому, что в момент петли выполняются следующие условия: а) и — 0; б) А = 0; в) ь> = 1. Таким образом, им были изучены бифуркационные явления при переходах а) "от седла к седло-фокусу"; б) "от фокусу к сложному фокусу"; в) "от сложной структуры к простой" в системах, допускающих гомоклини-ческие петли седло-фокусов. Однако, здесь существует ещё один важный критический случай, именно, г^ = 1/2, который рассматривается в данной диссертации. Как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], при 1/2<1/<1в окрестности петли грубые периодические траектории могут быть только седловыми и асимптотически устойчивыми, а при 0<г/<1/2 - только седловыми и вполне неустойчивыми. Таким образом здесь можно ожидать кардинального изменения тип устойчивости периодических траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты.

Возможность таких переходов "от устойчивой динамики к неустойчивой" или "от устойчивой к седловой" можно ожидать на основе анализа особенностей некоторых других хорошо известных гомоклиниче-ских бифуркаций коразмерности один. А именно, в настоящей работе рассматриваются нелокальные бифуркации следующих типов.

Первый класс составляют бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих негрубую гомоклиническую траекторию к седловой неподвижной точке. Пусть исходный диффеоморфизм / имеет сед-ловую неподвижную точку О с мультипликаторами А, 7, такими что |А| < 1 < |7|, и гомоклиническую к О траекторию Го в точках которой многообразия Ws(0) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Хорошо известно, Гаврилов-Шильников, [8], что если седловая величина а = jА'у| меньше единицы, то бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториям, а если <7 > 1 - к вполне неустойчивым. Причем, в достаточно малой фиксированной окрестности гомоклинической орбиты при о < 1 нет вполне неустойчивых периодических траекторий, а при и > 1 -устойчивых. Таким образом, случай а = 1 естественно становится "переходным" между устойчивой и неустойчивой динамикой.

Второй класс задач составляют бифуркации многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклиническим касанием. Характерным для наших целей являются такие трехмерные диффеоморфизмы, имеющие неподвижную точку О с мультипликаторами Ai,A2,7 такими, что |А21 < |Ai| < 1 < I7I и IA1A7I < 1, а также имеющие гомо-клиническзгю траекторию, в точках которой Ws(0) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Как установили С.Гонченко, Тураев, Шиль-ников [13, 38], при |Ai7| < 1, бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториям; однако, когда |Ai7| > 1, при общих условиях ни сам диффеоморфизм, ни близкие не имеют устойчивых периодических траекторий (в малой окрестности гомоклинической орбиты). Если же эти общие условия нарушены (получаемое квадратичное гомоклиническое касание коразмерности два в этом случае называется обобщенным, или обобщенным - см. подробности в Главе 2), устойчивые периодические траектории могут возникать при бифуркациях.1

Третий класс задач составляют бифуркации гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус. Характерным примером

1 Частный случай трехмерных диффеоморфизмов, у которых |Aj7| > 1, IA27I < 1 и

1, рассматривался в работе Татжера [47] при дополнительном (излишнем) предположении, что диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки допускает достаточно гладкую линеаризацию. такой задачи является трёхмерная система с гомоклинической петлёй седло-фокуса. Как уже было сказано ранее, если седловой индекс г/ удовлетворяет соотношению 1/2<г/<1(в этом случае дивергенция векторного поля <72 = 7 — 2А, вычисленная в седло-фокусе, отрицательна), то бифуркации гомоклинической петли могут приводить, как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], к устойчивым периодическим траекториям - при этом, вполне неустойчивых периодических траекторий в малой окрестности петли нет; если же 0 < ^ < 1/2 (дивергенция больше нуля), могут рождаться вполне неустойчивые периодические траектории, тогда как устойчивых нет. Очевидно, что случай V — 1/2 (что соответствует сг2 = 0) является "переходным" между устойчивой и неустойчивой динамикой.

В связи с вышеизложенным, возникают естественные задачи исследования пограничной динамики и соответственно бифуркаций потери устойчивости периодическими траекториями, которые и рассматриваются в настоящей диссертации.

Основная задача диссертации состоит в изучении и описании нелокальных бифуркаций, связанных с переходом от систем, имеющих в некоторой фиксированной малой окрестности негрубой гомоклинической орбиты асимптотически устойчивые периодические траектории (возможно даже бесконечно много), к системам, в которых такие траектории отсутствуют. При этом, принципиальным моментом является то, что в диссертации рассматриваются бифуркации, происходящие в классе систем, допускающих гомоклинические касания. Насколько нам известно, бифуркационные задачи в такой постановке ранее не рассматривались.

В этом случае исходные системы, бифуркации которых могут приводить к указанному явлению должны быть как минимум коразмерности два, поскольку помимо существования негрубой гомоклинической орбиты должно выполняться некоторое дополнительное уеловие. Обычно это условие связано либо со специальным характером особой точки, либо с тем, что гомоклиническая траектория находится не в общем положении. Например, условие может быть такого типа: дивергенция состояния равновесия равна нулю; якобиан неподвижной точки равен единице; гомоклиническое касание не является простым и т.п. Такого типа условия необходимы для того, чтобы переходная динамика (от устойчивых периодических траекторий к вполне неустойчивым или седловым) могла быть осуществима в принципе.

Более конкретно, в диссертации будет проведен бифуркационный анализ систем коразмерности два в следующих трех случаях.

1) Исходная система является двумерным диффеоморфизмом с квадратичным гомоклиническим касанием к седловой неподвижной точке с мультипликаторами Аи7(0<|А|<1<|7|) такими, что седловая величина и = |А'у| равна 1 (рис. 1а). Такая неподвижная точка называется седлом нейтрального типа.

2) Исходная система является трехмерным диффеоморфизмом с непростым квадратичным гомоклиническим касанием к неподвижной точке с мультипликаторами Аь Л2,7 такими, что 0 < |Аз| < ¡А^ < 1 < |7|, |АхА27| < 1 и |Ах7| ^ 1. О непростых гомоклинических касаниях см. подробнее в Главе 2. На рис. 1Ь представлен один из случаев такого касания.

3) Исходная система является трехмерным потоком с гомоклини-ческой петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с характеристическими корнями —А ±го; и 7 (А > 0,7 > 0,о; ^ 0) такими, что 2А = 7 (дивергенция потока в состоянии равновесия равна нулю). См. рис. 1с.

В диссертации представлены основные результаты, полученные автором при исследовании динамики и бифуркаций таких систем. В первых двух случаях решается задача исследования бифуркаций однообходных периодических траекторий из малой окрестности го

Рис. 1: а) Квадратичное гомоклиническое касание К2; Ь) непростое гомоклини-ческое касание(один из двух вариантов) в М3; с) гомоклиническая петля седло-фокуса моклинической орбиты. Особое внимание здесь обращается на исследование бифуркаций потери устойчивости такими траекториями. В третьем случае решается более глобальная задача. Помимо исследования собственно бифуркаций однообходных периодических траекторий, здесь также изучаются свойства динамики в целом и дается ответ на вопрос, когда в малой окрестности гомоклинической петли существуют устойчивые периодические траектории, и когда их нет.

Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 16 работ. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем", 1999; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2000; VI сессия молодых ученых, Саров, 2001; Международная конференция, посвящена 100-летию A.A. Андронова "Progress in Nonlinear Science", Нижний Новгород, 2001; Конференция "Актуальные проблемы современности", Самара, 2001; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2002; Конференция, посвященная памяти В.Ф. Лазуткина, Санкт-Петербург, 2002; Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004; Международная конференция, "Dynamics, Bifurcations and Chaos", Нижний Новгород, 2005.

По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (руководитель - проф. Л.П.Шильников); на семинаре по дифференциальным уравнениям в институте Вейерштрасса (2002, руководитель - проф. К.Шнайдер), на семинаре факультета математики университета Утрехта (2003, руководитель - проф. Ю.А. Кузнецов), на семинаре по динамическим системам в Барселонском университете (2002,2004 руководители - проф. К.Симо, А.Делыпамс), на семинаре кафедры численного и функционального анализа Нижегородском государственном университете (руководитель - проф. Баландин Д.В.).

Результаты диссертации явились составной частью работы, выполненной при поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследовании (гранты No.04-01-00487, No.04-01-00483 и No.05-01-00558), Министерства образования и науки (грант '^Университеты России" No. 03.01.180) и гранта CRDF (No. RU-M1-2583-MO-04).

Публикации Всего по теме диссертации автором опубликовано 16 работ. Основные результаты являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [50]-[65]. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию вошли только результаты доказанные автором самостоятельно.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации: 147 стр., 19 рис., 65 наименований литературы.

1. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. — М.:Наука, 1978.

2. Теория бифуркаций / В.И. Арнольд, B.C. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников. Динамические системы-5. В сб. "Современные проблемы математики (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1985.

3. Афраймович, B.C. Об особых множествах систем Морса-Смей л а /B.C. Афраймович, Л.П. Шильников // Труды ММО.— 1973.- Т. 28. C. 181-214.

4. Афраймович, B.C. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шильников // Тр. ММО. 1982. - Т. 44. - С. 150-212.

5. Афраймович, B.C. Инвариантные торы, их разрушение и стохастичность / B.C. Афраймович, Л.П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.— 1983.— С. 3 26.

6. Бирагов, В. С. О бифуркациях в двухпараметрическом семействе консервативных отображений, близких к отображению Эно /B.C. Бирагов // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1987. С. 10-23.

7. Бирагов, B.C. О бифуркациях петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе / B.C. Бирагов, Л.П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1989. — С. 25-34.

8. Гаврилов, И.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем. сб.— 1) 1972, 88, No.4.- с.475-492; II) Матем. сб., 1973, 90, No.l.

9. Гонченко, C.B. Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической траекторией / C.B. Гонченко, Л.П. Шильников // Укр. мат. журнал. ~~ 1987! — Т. 39, № 1, — С. 21- 28.

10. Гонченко, C.B. Инварианты ^-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией / C.B. Гонченко, Л.П. Шильников // Укр. мат. журн. 1990. - Т. 42, № 2. - С. 153-159.

11. Гонченко, C.B. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1991. — С. 3661.

12. Гонченко, C.B. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Л.П. Шильников // Изв. Focc.Акад.Наук, серия матем. 1992. - Т. 56, № 6. - С. 1165 1197. ■

13. Гонченко, C.B. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. — Т. 330, № 2. - С. 144147.

14. Гонченко, C.B. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) / C.B. Гонченко, . Д.В., Л.П. Шильников // Докл. Росс.Акад.Наук, — 1993.— Т. 329, № 4. — С. 404-407.

15. Гонченко, C.B. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Труды Мат. Инст. им. Стеклова. 1997. - Т. 216. - С. 76-125.

16. Лукьянов, В.И. О некоторых бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла / . Лукьянов В.И., Л.П. Шильников // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 243, № 1. - С. 26-29.

17. Овсянников, И.М. О системах с гомоклинической петлей седло-фокуса / И.М. Овсянников, Л.П. Шильников // Мат. сборник. — 1986. — Т. 130(172), № 4. С. 552-570.

18. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем / Ж. Палис, В. Мелу. М: Мир, 1986.

19. Стенъкин, О.В. Гомоклинический Г2-взрыв и области гиперболичности / О.В. Стенькин, Л.П. Шильников // Матем. сб.- 1998,- Т. 189, № 4.-С. 125-144.

20. Тураев, Д. В. Бифуркации квазиаттракторов типа тор-хаос / Д.В. Тура-ев, Л.П. Шильников // в сб. "Математические механизмы турбулентности". 1986. - С. 113-121.

21. Тураев, Д.В. Пример дикого странного аттрактора / Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Матем. сб. 1998. - Т. 189, № 2. - С. 137-160.

22. Шильников, Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий / Л.П. Шильников // Матем. сб.— 1963.— Т. 61, № 4. С. 433-466.

23. Шильников, Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений / Л.П. Шильников // ДАН СССР. — 1965. — Т. 160, № 3. — С. 558-561.

24. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, состояния равновесия седло-седло в него же / Л.П. Шильников // Докл. АН СССР. 1966. - Т. 170, № 1. - С. 48-52.

25. Шильников, Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа / Л.П. Шильников // Матем. сб. 1967. - Т. 74, № 4. - С. 378-397.

26. Шильников, Л.П. К вопросу о структуре окрестности гомоклинической трубы инвариантного тора / Л.П. Шильников // ДАН СССР. — 1968. — Т. 180, № 2. С. 286-289.

27. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоассимптотической к состоянию равновесия типа седло / Л.П. Шильников // Мат. сб. 1968. - Т. 77, № 3. - С. 461-472.

28. Шильников, Л.П. Об одном новом типе бифуркаций многомерных динамически систем / Л.П. Шильников j j Докл. АН СССР. 1969. - Т. 189, № 1. — С. 49 62.

29. Шилъников, Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус / Л.П. Шильников // Матем. сб. — 1970. Т. 81(123), № 1. - С. 92-103.

30. Belyakov, L. The bifurcation set in a system with a homoclinic saddle curve / L. Belyakov // Mat. Zametki. 1980. - Vol. 28. - P. 911.

31. Belyakov, L. Bifurcation of systems with homoclinic curve of a saddle-focus with saddle quantity zero / L. Belyakov // Mat. Zametki.— 1985.— Vol. 36(5).— Pp. 681-689.

32. Colli, E. Infinitely many coexisting strange attractors / E. Colli // Ann. Inst. Poincare. — 1998. Vol. 15, no. 5. - Pp. 539-579.

33. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus / P. Gaspard, S. Gonchenko, N. G., D. Turaev // Nonlinearity. — 1997. -Vol. 10. Pp. 409-423.

34. Feroe, J. Homoclinic orbits in a parametrized saddle-focus system / J. Feroe // Physica D. — 1993. Vol. 62, no. 1-4. - Pp. 254-262.

35. Gonchenko, S. On two-dimensional analytic area-preserving diffeomorphisms with infinitely many stable elliptic periodic points / S. Gonchenko, L. Shilnikov // Regular and Chaotic Dynamics. — 1997. — Vol. 2, no. 3/4.— Pp. 106-123.

36. Gonchenko, S. On two-dimensional area-preserving diffeomorphisms with infinitely many elliptic islands / S. Gonchenko, L. Shilnikov // J.of Stat.Phys. — 2000. Vol. 101, no. 1/2. - Pp. 321-356.

37. Gonchenko, S. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable poincare homoclinic orbits / S. Gonchenko, L. Shilnikov, D. Turaev // Interdisc. J. CHAOS. 1996. - Vol. 6, no. 1: - Pp. 15-31.

38. Hirsch, M. Invariant manifolds / M. Hirsch, C. Pugh, S. M. — Springer-Verlag, Berlin, 1977. — Vol. 583 of Lecture Notes in Math.

39. Kuznetsov, Y. Elements of applied bifurcation theory / Y. Kuznetsov. — Springer-Ver lag, 1995.

40. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part I / L. Shilnikov, A. Shilnikov, D. Turaev, L. Chua. — World Scientific, 1998.

41. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part II / L. Shilnikov, * A. Shilnikov, D. Turaev, L. Chua. World Scientific, 2001.

42. Newhouse, S. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms / S. Newhouse // Publ.Math.IHES.- 1979.- Vol. 50.-Pp. 101-151.

43. Newhouse, S. Cycles and bifurcation theory / S. Newhouse, J. Palis // Asterisque. — 1976. — Pp. 44-140.

44. Newhouse, S. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms / S. Newhouse, J. Palis, F. Takens // Publ. Math. Inst. Haute Etudes Scientifiques. 1983. - Vol. 57. - Pp. 5-72.

45. Shilnikov, L. A new simple bifurcation of periodic orbit of "blue sky catastrophe" type / L. Shilnikov, D. Turaev // Methods of Qualitative Theory of DufferentialT Equations and Related Topics, AMS Translations2000.— T. 200, № 2.—C. 165-188.

46. Tatjer, J. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies / J. Tatjer // Ergod.Th. & Dynam.Sys. — 2001.— Vol. 21, no. 1.— Pp. 249-302.

47. Tedeshini-Lalli, L. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? / L. Tedeshini-Lalli, J. Yorke // Comm.Math.Phys.— 1995.— Vol. 106. Pp. 635-657.

48. Turaev, D. On dimension of non-local bifurcational problems / D. Turaev // Bifurcation and Chaos. 1996. - Vol. 6, no. 5. - Pp. 919-948.Основные публикации автора по теме диссертации-Т

49. Гонченко, B.C. О бифуркациях двумерных дифеоморфизмов с гомоклиническим касанием многообразий " нейтрального седла" /B.C. Гонченко // ТрудыМат. Инст. им. Стеклова. 2001. - Т. 236.- С. 86-93.

50. Гонченко, B.C. О бифуркациях рождения замкнутой инвариантной кривой в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями / С.В. Гонченко, B.C. Гонченко // Труды Математического Института им. Стек-лова. 2004. - Т. 244. - С. 86-93.

51. Gonchenko, V. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies / V. Gonchenko, Y. Kuznetsov, H. Meijer // SIAM Journal on App. Dyn. Sys. — 2005. Vol. 4. - Pp. 407-436.

52. Гонченко, B.C. Бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых в обобщенных отображениях Эно / B.C. Гонченко, И.И. Овсянников // Сб. статей "Математика и кибернетика". — 2003. — С. 98-100.

53. Gonchenko, V. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies / S. Gonchenko, V. Gonchenko // Preprint No. 556. — 2000.

54. Gonchenko, V. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps / S. Gonchenko, V. Gonchenko, J. Tatjer // Preprint IMUB-366. 2004.

55. Гонченко, В. С. О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклини-ческим касанием многообразий "нейтрального седла" / B.C. Гонченко // Тезисы Межд. Конф. по Дифф. уравнениям и Дин. системам. — 2000. — С. 124-125.

56. Гонченко, В. С. О появлении инвариантных торов при бифуркациях трехмерных потоков с негрубой гомоклинической траекторией / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. "Progress in Nonlinear Science" посвящ. 100-летию А.А. Андронова. 2001. -С. 14.

57. Гонченко, B.C. О бифуркации Андронова-Хопфа двумерных диффеоморфизмов имеющих гомоклиническое касание седловой неподвижной точки "нейтрального типа" / B.C. Гонченко // Тезисы VI нижегородской сессии молодых ученых. — 2001. — С. 10.

58. Гонченко, B.C. О бифуркациях периодических траекторий в случае гомо-клииического касания инвариантных многообразий седловой неподвижной точки "нейтрального типа" / B.C. Гонченко // Тезисы конф. "Актуальные проблемы современной науки". — 2001. — С. 28.

59. Гонченко, В. С. On bifurcations of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. по Дифф. уравнениям и дин. системам.— 2002. С. 56-57.

60. Гонченко, B.C. On homoclinic bifurcations in the case of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence /B.C. Гонченко // Abstarcts of Workshop on Diff. Eq. dedicated to the memory of V.F. Lazutkin. — 2002. — Pp. 22-23.

61. Гонченко, В. С. Shilnikov's theorem in the case of saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. Dynamics, Bifurcations and Chaos, 31 января 4 февраля. — 2005. — P. 2.