Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гонченко Сергей Владимирович

Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации.

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород, 2001

Работа выполнена в НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Белых, доктор физико-математических наук, профессор А.Ю.Жиров, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Д. В. Трещёв.

Ведущая организация:

Математический Институт им. ВАСтеклова Российской Академии Наук

Защита состоится "Ж." декабря 2004г. в асов на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп.2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ.

Автореферат разослан

ноября 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических доцент

Гомоклинические траектории Пуанкаре, т.е. двояко-асимптотические к седловым периодическим, являются одним из наиболее интересных объектов в теории динамических систем. Это связано, в частности, с тем, что существование хотя бы одной такой траектории уже свидетельствует о сложной динамике системы в целом. Сама по себе, гомоклиническая траектория Пуанкаре является довольно простым объектом - это траектория, которая лежит в пересечении инвариантных многообразий седловой периодической. Если указанное пересечение трансверсальное, то гомоклиническая траектория называется грубой (или трансверсальной), а в случае нетрансверсально-го пересечения мы имеем дело с негрубой (нетрансверсальной) гомо-клинической траекторией Пуанкаре, или с гомоклиническим касанием. Сложность возникает уже при попытке изучить еще и близкие траектории. Такая задача описания окрестности грубой гомоклини-ческой траектории получила название задачи Пуанкаре-Бнркгофа, и была полностью решена Л.П.Шильниковым (1967), который показал, что множество траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой гомоклинической орбиты является нетривиальным гиперболическим (локально максимальным) множеством, которое допускает полное описание с помощью топологической схемы Бернулли из двух символов.

В случае негрубой гомоклинической траектории соответствующая задача становится гораздо более сложной, и в определенном смысле даже неразрешимой, если иметь в виду именно задачу "полного описания", в особенности, когда рассматривается не только сама система, но и все достаточно близкие. Дело в том, что при малых возмущениях системы с гомоклиническим касанием могут возникать новые гомоклинические касания любых порядков и сколь угодно вырожденные периодические траектории (С.В.Гонченко, Л.П.Шнльников. Д.В.Тураев, 1991). Это означает, что никакого конечно-параметрического семейства недостаточно для полного исследования бифуркаций таких систем. Одна из основных причин такого явления - это существование бесконечного числа модулей Й-эквивалентности, так называемых И-модулей, т.е. непрерывных инвариантов топологической эквивалентности на множестве неблуждающих траектории. Непрерывность в данном случае означает, что любое изменение значения

3

модуля ведет к изменению в структуре множества неблуждающих траекторий, в частности, в множестве периодических и гомоклиниче-скнх орбит. С другой стороны, при изучении основных бифуркаций Й-модули можно рассматривать как естественные управляющие параметры.

В диссертации представлены основные результаты, полученные автором при исследовании динамических свойств многомерных систем с гомоклнническими касаниями. При этом, во главу исследований положена концепция й-модулей (которым, собственно, посвящена глава 2). С целью единообразия, в диссертации рассматриваются только диффеоморфизмы. Естественно, все результаты применимы и к потокам, если иметь в виду, что сами потоки, при полулокальном анализе, могут быть исследованы с помощью отображений Пуанкаре - т.е. сводятся к диффеоморфизмам размерности на единицу меньше, чем размерность фазового пространства потока.

Актуальность исследования. Исследование систем с гомо-клиническими структурами является весьма актуальным с точки зрения теории динамического хаоса, математическим образом которого является странный аттрактор - нетривиальное притягивающее множество с неустойчивым поведением траекторий на нём. Гомоклини-ческие орбиты являются не только необходимым атрибутом любого странного аттрактора, но и определяют главные элементы его динамики. Поэтому весьма часто термином "гомоклинический хаос" обозначают хаотическую динамику, демонстрируемую странными аттракторами, отличными от гиперболических и квазигиперболических (аттракторов Лоренца). Аттракторы последних двух типов тоже содержат гомоклинические траектории Пуанкаре, но они являются здесь грубыми. В большинстве же динамических моделей с хаотическим поведением встречаются (неустранимым образом) гомоклинические касания. А это приводит к тому, что в аттракторах могут сосуществовать периодические траектории различных типов. Некоторые аттракторы, т.н. квазиаттракторы (В.С.Афраймович, Л.П.Шильников, 1983), считающиеся "странными" на физическом уровне, содержат помимо седловых траекторий ещё и асимптотически устойчивые пе-

риодические траектории, но весьма больших периодов. Существование таких устойчивых траекторий вытекает из теории (Н.К.Гаврилов, Л.П.Шильников, 1972-1973; Ш.Ньюхаус, 1974; С.В.Гонченко, 1983), и типична ситуация, когда устойчивых периодических траекторий бесконечно много и в замыкании они содержат нетривиальные гиперболические подмножества. При этом, указанное поведение траекторий может быть характерным для открытых областей в пространстве параметров, так называемых областей Ньюхауса, в которых плотны значения параметров, отвечающие существованию гомоклинических касаний. Даже если в аттракторе гарантированно нет устойчивых периодических траекторий, как, например, в диких спиральных аттракторах (Д.В.Тураев, Л.П.Шильников, 1998), неоднородность структуры сохраняется: здесь сосуществуют седловые периодические траектории с разными размерностями устойчивых многообразий.

Исследование систем с гомоклиническими касаниями или с негрубыми гетероклиническими контурами, является также естественным продолжением гиперболической теории. Дело в том, что гиперболическая теория, развитая в трудах В.М.Алексеева, Д.В.Аносова, Я.Г.Синая, С.Смейла, Я.Б.Песина, Л.П.Шильникова и др., имеет дело, в основном, с грубыми гиперболическими множествами. И здесь Й-множество состоит из конечного числа так называемых гиперболических базисных множеств. В системах с гомоклиническими касаниями тоже есть свои "базовые" гиперболические множества, которые формируют во многом скелет множества неблуждающнх траекторий но всё его, вообще говоря, не исчерпывают. Кроме того, указанные "базовые'' множества в совокупности не являются грубыми и меняют свою структуру при изменении параметров. При этом могут возникать гиперболические подмножества весьма различной природы: "тонкие'1, "толстые", с малой и большой хаусдорфовой размерностью (Ньюхаус, 1979; Пэлис, Такенс, 1993). Исследование таких гиперболических множеств является одной из наиболее трудных задач в данной тематике. Но эта задача очень важна, поскольку как раз такие гиперболические множества делают возможным неустранимые касания, и таким образом, ответственны за явление "грубой негрубости", весьма важного для нелинейной динамики.

Цели и задачи исследования. Основная цель диссертации - это исследование динамических явлений в многомерных системах, которые вносят гомоклинические касания. В связи с этим, вторичной целью является разработка новых методов исследования систем со сложным поведением траекторий.

Главы 1,2 и 3 посвящены изучению многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. Главы 4 и 5, где рассматриваются двумерные диффеоморфизмы, дополняют эти исследования — здесь акцент делается на выяснение новых и весьма неожиданных динамических явлений, основные из которых — существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой и существование бесконечных вырождений в областях Ньюхауса.

Основные задачи, которые рассматриваются в диссертации можно разбить на следующие большие группы.

1) Классификация многомерных систем с гомоклиническими касаниями и исследование их гиперболических свойств.

2) Теория модулей топологической и Й-сопряженности (й-модулей) многомерных систем с гомоклиническими касаниями.

3) Исследование основных бифуркаций в рамках общих (трансверсаль-ных) конечно-параметрических семейств, в которых в качестве управляющих параметров, помимо параметров расщепления, рассматриваются также Й-модули.

4) Исследование условий существования и сосуществования в областях Ньюхауса периодических траекторий различных топологических типов, а также инвариантных торов.

5) Установление существования областей Ньюхауса различных типов, и, в частности, доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность.

6) Доказательство плотности в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями, и тем самым, установление невозможности полного исследования таких систем с помощью конечно-параметричеСких семейств.

Объект исследования. Рассматриваются актуальные проблемы нелокальной теории бифуркаций, относящиеся к одному из наиболее интересных её разделов - теории бифуркаций многомерных систем с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре.

Основное внимание уделяется системам с простыми гомокли-ннческими касаниями. Они характеризуются только одним негрубым условием - существование гомоклинического касания, которое к тому же является квадратичным. Остальные условия, накладываемые на систему, являются общими (типа неравенств). Таким образом, системы с простым гомоклиническим касанием могут неустранимым образом встречаться в семействах общего положения. Более того, здесь имеет место явление Ньюхауса, заключающееся в том, что в таких семействах существуют области (интервалы - для оДнопараметрическнх семейств) значений параметров с плотными подмножествами, каждому значению параметров из которых отвечает система с простым гомо-клиническим касанием. В этом случае, в силу наличия различного типа транзитивных свойств (из-за существования, опять же, раномерно или неравномерно гиперболических подмножеств), те свойства динамики, которые выясняются при полулокальном рассмотрении, могут иметь также и глобальный характер. К таким свойствам можно отнести, в частности, а) существование смешанной динамики в областях Ньюхауса и б) плотность в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями. Последние два типа динамических явлений анализируются в диссертации на примере двумерных диффеоморфизмов.

Методологическая и теоретическая основа исследования. Вообще тот факт, что устойчивые и неустойчивые многообразия седловых периодических траекторий могут пересекаться, не совпадая при этом, установил Пуанкаре. Он показал, что соответствующие го-моклинические решения могут существовать на примере классической задачи трех тел в своем знаменитом мемуаре "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики, 1889". Собственно говоря, Пуанкаре, кажется, получил только один результат, относящийся к структуре множе-

ства траекторий, целиком лежащих в малой окрестности грубой гомо-клинической орбиты: он показал, что в этой окрестности существует счетное множество других гомоклинических траекторий (двояко-асимптотических к той же самой седловой точке). Далее, Биркгоф (1935) установил существование (в случае двумерных симплектиче-скнх отображений, но его рассуждения годятся и для общего двумерного случая) счетного множества периодических траекторий. Существенное продвижение в решении задачи Пуанкаре-Биркгофа было достигнуто лишь спустя тридцать лет, благодаря работам Смейла и Шильникова. После их результатов существование в системе грубой гомоклинической траектории стало одним из основных критериев сложной динамики. При этом, Смейл (1965) показал, что в малой окрестности грубой гомоклинической орбиты существует нетривиальное гиперболическое подмножество Й - тем самым, существует счетное множество седловых периодических траекторий, континуум траекторий устойчивых по Пуассону и т.п. Окончательное же решение задачи Пуанкаре-Биркгофа было найдено Шильниковым (1967), который дат полное описание окрестности грубой (трансверсальной) го-моклинической траектории на языке символической динамики.

Но инвариантные многообразия седловых периодических траекторий могут и касаться. Эта ситуация является в некотором смысле общей для однопараметрических семействах многомерных систем со сложной динамикой. Тогда возникает естественная задача о структуре множества N траекторий, целиком лежащих в малой окрестности негрубой гомоклинической орбиты Пуанкаре Го, включающая также исследование бифуркаций при изменении параметров.

Такую задачу впервые поставили и решали Гаврилов и Шиль-ников (1972,1973). Они рассмотрели случай трехмерных потоков (двумерных диффеоморфизмов) и установили ряд фундаментальных результатов. Так, они выделили три класса систем с гомоклинически-ми касаниями. В случае систем первого класса множество N имеет тривиальную структуру (в N существуют только две траектории -седло и гомоклиническая орбита). В случае систем второго класса множество N имеет неравномерно гиперболическую структуру - все траектории из ¡V, за исключением Го, являются седловыми, и N до-

пускает полное описание на языке символической динамики. В случае систем третьего класса множество N имеет сложную структуру: в N содержатся нетривиальные гиперболические подмножества, которые, в отличие от диффеоморфизмов второго класса всё К, вообще говоря, не исчерпывают. Кроме того, было установлено, что системы с гомоклиническими касаниями первого класса могут лежать на границе систем Морса-Смейла. При переходе через такую границу сложная структура возникает сразу - взрывом, поэтому совокупность всех соответствующих бифуркационных явлений получила наименование го-моклинического П-взрыва. В дальнейшем, эти явления были более детально изучены в ряде работ Ньюхауса, Пэлиса, Такенса, Стенькина и Шильникова. Важность систем второго класса проявляется в том, что они могут разделять системы с гиперболической структурой и системы со сложным хаотическим поведением траекторий. Системы с гомоклиническими касаниями третьего класса являются своеобразными индикаторами сложности: они показывают, что не только сама система, но все близкие, имеют чрезвычайно сложную динамику. Так, было показано, что здесь еще до момента первого касания уже имеет место сложная структура. Помимо этого, были также изучены основные бифуркации периодических траекторий в рамках общих (трансверсальных) однопараметрических семейств. Основной результат в этом направлении ("теорема о каскаде периодических стоков") -это существование последовательности непересекающихся интервалов значений параметра, отвечающих наличию у системы асимптотически устойчивой (однообходной) периодической траектории.

Важный вклад в теорию гомоклинических бифуркаций внес Ньюхаус. Он показал (1979), что в любой окрестности двумерного диффеоморфизма, имеющего негрубую гомоклиническую траекторию, существуют области, в которых, в свою очередь, плотны диффеоморфизмы с гомоклиническими касаниями. Такие области, как в пространстве динамических систем, так и в пространстве параметров, получили впоследствие наименование областей Ньюхауса. В многомерном случае существование областей Ньюхауса, в том числе и в параметрических семействах, было доказано в нашей работе (Гонченко, Тураев, Шильников, 1993). Некоторые частные многомерные случаи

были рассмотрены в работах Вианы, Пэлиса (1994) и Ромеро (1995), а существование областей Ньюхауса в двумерном симплектическом случае установил Дуарте (2001).

Другое направление в исследовании динамики систем с гомо-клнннческнмн касаниями связано с открытием у таких систем модулей - непрерывных инвариантов топологической эквивалентности (сопряженности). Более того, у систем с гомоклиническими касаниями третьего класса существуют П-модули (Гонченко, Шильников, 1990,1992). Модули в системах с простой динамикой, т.е., когда есть только гете-роклbннческне касания, открыл Пэлис, 1978, а существенные результаты о модулях для таких систем были получены в работах Пэлиса, Мело, Ван Стрина и др. Весьма интересно отметить, что, фактически, П-модули были открыты раньше, чем само понятие модуля вошло в динамику. Дело в том, что в своей работе Гаврилов и Шильников указали инвариант

где А] н мультипликаторы седловой неподвижной точки (чьи многообразия касаются), и показали, что при изменении значений 9 на бифуркационной поверхности систем с гомоклинbческими касаниями третьего класса происходят "непрерывно" бифуркации периодических траектории. Другой инвариант такого же типа был указан Шильни-ковым в случае трехмерных (1965) и многомерных (1970) систем с гомоклинической петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус.

Все эти результаты послужили основой для дальнейших исследовании динамических свойств систем с гомоклиническими касаниями и негрубыми гетероклиническими контурами. Причем, в нашей статье (Гонченко, Тураев, Шильников, 1991) была разработана программа исследований, которая, как необходимый элемент, включала а) доказательство существования модулей; б) их явное нахождение; в) использование основных модулей в качестве управляющих параметров: г) исследование возможности существования счетного множества -модулей (и соответственно возможности появления бесконечных вырождений); а также д) исследование динамики многомерных систем из областей Ньюхауса.

Эта программа была, в принципе, реализована в последующих статьях Гонченко, Тураева и Шильникова. Конечно, она ещё далеко не завершена (в особенности, что касается пунктов г) и д) для многомерного случая). А в некоторой части она даже перекрыта: так, доказано существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой, исследованы консервативные системы с гомоклиническими касаниями и т.п. Что касается бифуркаций негрубых гетероклинических контуров, то, как кажется, они не представляли специального интереса, вплоть до появления наших работ (Гонченко, Тураев. Шильников, 1996,1997; Ту-раев, 1996), так как неявно предполагалось, что бифуркации эти в некотором смысле аналогичны "гомоклиническим", и новых динамических эффектов здесь не следует ожидать. В указанных работах было обнаружено существование, у двумерных диффеоморфизмов, областей Ньюхауса со смешанной динамикой. Под этим термином понимаются области Ньюхауса, в которых 1) плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых, устойчивых и вполне неустойчивых периодических траекторий (т.е. грубых траекторий всех типов): 2) замыкания этих счетных множеств траекторий пересекаются (и типично, когда это пересечение содержит нетривиальные гиперболические множества).

Научная новизна. Если говорить о новых научных результатах, которые и выносятся на защиту, то их можно условно разбить на две группы. Первую группу составляют результаты, которые обобщают (так или иначе, а в основном переносят на многомерный случай) ранее известные. Вторую группу составляют те результаты, которые носят принципиально новый и характер, и ранее в теории динамических систем не были известны.

К первой группе можно отнести следующие результаты. 1) Распространение классификации динамических отстем с гомокли-ническими касаниями, данной Гавриловым и Шнльннковым для двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков), на общий многомерный случай. При этом, классификация идет по тому же типу: выделяется три класса систем - с простой динамикой (первый класс), с полным описанием (второй), со смешанным описанием (третий).

2) Установление гиперболических свойств многомерных диффеоморфизмов с гомоклнническими касаниями: выделение нетривиальных неравномерно гиперболических подмножеств и описание их структуры посредством символической динамики. Здесь используются и обобщаются методы построения гиперболических подмножеств, основанные на методе краевой задачи и принципе Банаха для последовательности седловых отображений, записанных в так называемом перекрестном виде (Шильников. 1967).

3) Нахождение основной нормальной формы многомерного отображения в окрестности седловой неподвижной точки. Здесь используются и обобщаются на многомерный случай методы гладких замен координат (Е.А.Леонтович, В.С.Афраймович, Л.П.Шильников), которые, в отличие от классического метода Пуанкаре нормальных форм, устраняют в правых частях отображения не просто мономы (или полиномы) а функции определенного вида.

Вторая группа результатов связана с исследованием новых динамических явлений, которые ранее в теории динамических систем не встречались.

1) Существование й-модулей у систем с гомоклиническими касаниями и с негрубыми гетероклиническими контурами. Й-модули были введены в наших работах, где рассматривались как гомоклинические касания (С.В.Гонченко, 1989; С.В.Гонченко, Л.П.Шильников, 1990), так и негрубые гетероклинические контура (С.В.Гонченко, 1996).

2) Структура бифуркаций многомерных диффеоморфизмов с гомо-клиническимн касаниями, в особенности в случаях, когда неподвижная точка, многообразия которой имеют касание, является седло-фокусом. В этих случаях, в параметрических семействах, в которых в качестве параметров, помимо параметра расщепления, рассматриваются основные Й-модули, наблюдаются бифуркации, связанные с появлением как периодических траекторий с одним, двумя и даже с тремя мультипликаторами на единичной окружности, так и инвариантных торов и даже странных аттракторов.

3) Новые квадратичные "гомоклинические" отображения. Здесь имеется в виду, что отображения первого возвращения могут быть приведены с помощью гладких замен переменных и параметров к отобра-

жениям, которые асимптотически близки (когда время возвращения стремится к бесконечности) к стандартным квадратичным отображениям одного из следуюшда видов:

где МиМьМг - параметры, £1,£2 - некоторые малые коэффициенты. Заметим, что первое отображение является "универсальным", так как может быть найдено вблизи любой системы с простым квадратичным гомоклиническим касанием (Гонченко, Тураев, Шильников, 1993), тогда как отображения Ь)-е) возможны только в случаях седло-фокусов.

4) Существование, в общем многомерном случае, областей Ньюхауса, в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество грубых периодических траекторий трех или даже четырех разных типов.

5) Существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, т.е. таких областей, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность. В частности, такие области Ньюхауса существуют вблизи двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклнническими контурами в случае, когда контур содержит две седловые точки такие, что седловая величина одной больше единицы, а другой - меньше единицы (Гонченко, Тураев, Шильников, 1997).

6) Существование бесконечно вырожденных периодических и гомо-клинических траекторий у двумерных диффеоморфизмов, близких (в С"-топологии) к диффеоморфизму с квадратичным гомоклиническим касанием, и плотность таких систем в областях Ньюхауса (Гонченко, Тураев, Шильников, 1991,1993).

Аппробация. По теме диссертации опубликовано 40 работ. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах. Результаты работы докладывались на следующих конференциях. 7 Всесоюзная конференция по КТДУ, Рига, 1986. Международная конференция по динамическим системам, Кацивели, Крым, 1994.

Международная конференция "Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems", Zakopane, Poland, 1995. Международная конференция CPTDS'96, Н.Новгород, 1996. IV Конференция "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 1996.

Международная конференция, посвященная 90-летию Л.С.Понтрягина, Москва. 1998.

IV Крымская международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения", Крым, Алушта, 1998. Международная конференция EquadifF-99, Berlin, 1999 I-III Международные конференции по дифференциальным уравнениям п динамическим системам, Суздаль, 2000, 2002, 2004. Международная конференция "Progress in Nonlinear Science", посвященная 100-летию А. А. Андронова, Нижний Новгород, 2001. Международная конференция "Kolmogorov and contemporary mathematics*', посвященная 100-летию А. Н.Колмогорова, Москва, 2003.

По теме диссертации были сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при ННГУ (руководитель - проф. Л.П.Шильников); на научных семинарах в МГУ (1992,1993, руководитель - проф. В.М.Миллионщиков; 2003,2004, руководители - акад. Д.В.Аносов, проф. А.М.Степин; 1994,1995 - на семинаре им. И.Г.Петровского); на семинаре по динамическим системам в Свободном Университете, Берлин (1996. 1998, руководитель - проф.Б.Фидлер), на обер-семинаре по дифференциальным уравнениям в институте Вейерштрасса (1999, 2002, руководители - проф. Б.Фидлер, К.Шнайдер), на совместном семинаре по динамическим системам и приложениям в Барселонском университете (2001,2002, руководители - проф. К.Симо, АДельшамс).

Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, 59 рисунков. Список литературы включает 128 наименований.

В первой главе изучаются общие свойства многомерных систем с простым гомоклиническим касанием. Определение простого го-моклинического касания дается в параграфе 1.1. Здесь рассматривается Сг-гладкий, г > 3 , диффеоморфизм /, заданный на (т+п)-мерном, т > 1 ,п > 1, гладком многообразии. Пусть / имеет седловую непо-двнжную точку О, у которой dim W!(0) = т , dim Wu{0) = п, и, кроме того, Ws(0) и W" (О) пересекаются нетрансверсально в точках некоторой гомоклинической траектории Го- Пусть Ai,..., Am,7i,... ,7,, - мультипликаторы точки О, упорядоченные так, что | 7„ |> • • • >| 7i |> 1 >| Ai |> ... >| Ат | . Обозначим А =| -М > 7 =1 71 |. Мультипликаторы А; будем называть устойчивыми, а 7j - неустойчивыми. Разобьем мультипликаторы на две группы: ведущие и неведущие. К ведущим отнесем те мультипликаторы, абсолютные величины которых равны А и 7, а к неведущим - остальные. Мы предполагаем, что выполнено следующее условие.

A. Ведущие мультипликаторы точки О являются простыми, и О принадлежит к одному из следующих четырех типов:

(1,1) Aj и 7i действительны и А >| А21,7 <| 72 | ;

(2.1) А12 = Ае*'^ ф 0,7t),7i действителен и А >| A3 |,7 <| 72 | ;

(1.2) Ai действителен, 7i|2 = 7екгф{ф ф 0,тг) и А >| А21,7 <| 731 ; (2,2) Ai,2 = Ае±4», 7и = ^{ъф ф 0,тг) и А >| А3 |,7 <| 7з | •

Точку О будем называть седлом в первом случае и седло-фокусом во всех остальных. Обозначим через п, и пи соответственно число ведущих устойчивых и неустойчивых мультипликаторов, и будем приписывать диффеоморфизму или седловой неподвижной точке тип (ns, пи). Введем константу J = An,7n", которая есть модуль произведения ведущих мультипликаторов точки О. Мы предполагаем также, что / удовлетворяет одному из следующих условий общего положения.

B. J < 1, и А7 ф 1 в случае (2,1), и А72 ф 1 в случае (2.2) ;

или

В'. J > 1, и А7 ф 1 в случае (1,2), и А27 ф 1 в случае (2,2). Остальные условия C,D,E и F касаются уже характера пересече-

ниямногообразий и Ц?и(0) в точках гомоклинической траекто-

рии Гп. Так, условие С предполагает, что Ц?'{0) и Ц'и(0) имеют ровно одно касательное направление; условие D, что касание вдоль этого направления квадратичное; условие Е, что расширенные устойчивое и неустойчивое многообразия в гомоклинических точках пересекаются трансверсально со слоями соответственно неведущих неустойчивого и устойчивого инвариантных слоений; условие F, что гомоклинические точки не принадлежат неведущим устойчивому и неустойчивому инвариантным многообразиям.

Параграфы 1.2 и 1.6 носят преимущественно технический характер. В § 1.2 изучаются локальное То и глобальное Т\ отображения. Отображение То - это отображения по траекториям диффеоморфизма из малой окрестности седловой неподвижной точки. Отображение Т\ - это отображение по траекториям диффеоморфизма из некоторой малой окрестности глобального куска гомоклинической траектории. Мы показываем, что отображение Го может быть приведено к так называемой "основной нормальной форме" - лемма 1.1, а также описываем поведение его итераций - лемма 1.2. Также в параграфе § 1.2 устанавливается "нормальная" форма глобального отображения лемма 1.3. Эти результаты используются всюду в дальнейшем. В § 1.6 доказываются леммы 1.1, 1.2 и 1.3.

В § 1.3 излагается, в основном, геометрическая теория многомерных систем с гомоклиническими касаниями (здесь описывается геометрия областей определения и значения отображений вблизи седла и вблизи гомоклинической орбиты - "подковы и полоски"). Здесь же приводится обшая схема описания множества N траекторий, целиком лежащих в достаточно малой фиксированной окрестности негрубой гомоклинической траектории.

В § 1.4. дается описание нетривиальных гиперболических подмножеств многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклиниче-ским касанием (теоремы 1.1 и 1.2). С этой целью, строится специальная окрестность негрубой гомоклинической траектории и определяется характер пересечений подков и полосок (лемма 1.5). Из этого параграфа нам понадобятся для дальнейшего следующие факты. Точки пересечения траектории принадлежат множеству

а) Ь)

с) Ф

Рис. О 1.

и накапливаются к О. Пусть М+ £ И^. и М~ 6 \У1иас - какие-либо две точки траектории Го, и М+ = /П°(М~) для некоторого натурального по- Пусть П+ и П" - лежащие в Щ достаточно малые окрестности точек М+ и Л/". Вместе с данной достаточно малой окрестностью II = [/(ОиГо) удобно рассматривать, возможно меньшую, так называемую специальную окрестность. Выберем достаточно большое целое к . Окрестность Щ будем называть специальной, если она содержит те н только те траектории множества И, которые, каждый раз попадая на П+, делают не менее чем к итераций прежде чем достичь П~. Обозначим множество таких траекторий через Щ. Фактически, если к достаточно большое, то (лемма 1.4) специальная окрестность Щ не зависит от первоначально выбранной окрестности и .

Параграф 1.5 занимает основное место в первой главе: здесь проводится классификация многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклиническим касанием и дается описание главных элементов множества Д^.. Мы разбиваем рассматриваемые диффеоморфизмы на три класса по типу описания множества Щ, который, в свою очередь, зависит от геометрии касания инвариантных многообразий И" и IVй в точках траектории Го- Касания разных типов (в случае двумерных диффеоморфизмов с Л1 > 0,71 > 0) представлены на рис.1. Здесь, во-первых, мы выделяем касания "снизу" (рис.1 а) и Ь)) и "сверху" (рнс.1 с) и (1)), а также касания, у которых направления ориентаций (от точки О) многообразий IV' и в гомоклинических точках либо совпадают (рис.1 Ь) и с)) либо противоположны (рис.1 а) и с!)). Такая геометрия характеризутся знаками коэффициентов Д и с глобального отображения Т\. Так, мы имеем касание "снизу", если Д < 0. касание "сверху", если Д > 0, ориентации совпадают, если с < 0, и противоположны, если с > 0.

К первому классу относятся диффеоморфизмы в случае (1,1), у которых Д < 0 н 71 > 0, а также диффеоморфизмы в случае (2,1), у которых А", < 1 и Д < 0,11 > 0.

Ко второму классу относятся диффеоморфизмы в случае (1,1), у которых А] > 0,71 > 0, с < 0 и £>о > 0.

К третьему классу относятся все остальные диффеоморфизмы с простым гомоклиническим касанием. В частности, все диффеоморфизмы, имеющие простое гомоклиническое касание к седо-фокусам типа (1,2) или (2,2) будут третьего класса.

Замечание. Для приведенной классификации существенно условие В, т.е. J = А"'7п" < 1, которое мы везде предполагаем для определенности. Хотя случай ,7 > 1 сводится к рассматриваемому путем перехода к обратному диффеоморфизму однако, кажется более удобным дать классификацию непосредственно для него. Тогда, в случае .] > 1, к первому классу относятся диффеоморфизмы типа (1,1), а также типа (1,2) с А7 > 1, у которых сД) > 0 и А1 > 0; ко второму классу - диффеоморфизмы типа (1,1), у которых А1 > 0,71 > 0, с < 0 н Ду > 0; и, наконец, к третьему - все остальные.

В частности, при А171 < 1 диффеоморфизмы на рис.1а) и 16)

относятся к первому классу, на рис.1в) - ко второму, на рис 1г) - к третьему; тогда как при А171 > 1 диффеоморфизмы на рис.16) и 1г) будут первого класса, на рис1в) - второго, а на рис 1а) - третьего.

Следующие теоремы 1.3, 1.4 и 1.5 из главы 1 характеризуют диффеоморфизмы различных классов.

Теорема1.3. Вслучаедиффеоморфизмапервого классамно -жество Лг;. при достаточно большом к имеет тривиальную структуру: N1 = {О, Го}.

Рассмотрим простанство бесконечных в обе стороны последовательностей, составленных из трех символов {0,1,2}. Отождествим две гомоклинические траектории (...,0, ...,0,1,0, ...,0,...) и (...,0,...,0,2,0, , полученную траекторию обозначим как Рассмотрим подпространство В полученной фактор-системы, которое содержит траектории (...,0, ...,0,...) и й)„ а также все символические последовательности, удовлетворяющие условию: длина любого полного отрезка, состоящего из символов "0", не меньше,чем к + щ — 1

Теорема 1.4. В случае диффеоморфизма f второго класса с гомоклиническимкасаниемдлялюбогодостаточноболъшогокси-стема топологически сопряжена с В.

Таким образом, диффеоморфизмы первого и второго класса допускают полное описание множества Щ, более того, они являются ре-лятивно Й-грубыми в том смысле, что структура множества Л"*, у них не меняется, когда сам диффеоморфизм варьируется без расщепления исходного гомоклинического касания. Это не так для диффеоморфизмов третьего класса: здесь в Л^ содержатся нетривиальные гиперболические подмножества (теорема 1.1), которые, вообще говоря, всё N не исчерпывают, и, более того, структура этих подмножеств может непрерывно меняться при варьировании диффеоморфизма, даже если касание не расщепляется. Тем не менее, многие гиперболические свойства диффеоморфизмов третьего класса сохраняются, в частности, справедлив следующий результат.

Теорема 1.5.Пусть / -диффеоморфизм третьего класса. Тогда у / существует счетное множество подков Смейла 7) = /,+п° а1 ~~* имеющихзамкнутоеинвариантноегиперболическоемноже-ство П,-, в ограничении на котором Т{ сопряжено с топологической

схемой Бернулли из двух символов.

Модули топологической и ii-сопряженности диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями изучаются в главе 2.

Определение 2.1. Пусть X - топологическое пространство, на точках которого задано некоторое отношение эквивалентности R. Предположим, что на X определен непрерывный функционал h, который является локально непостоянным (т.е. в любой окрестности любой точки X £ X существует такая точка X £ Х> что h(X) ф h(X)). Будем говорить, что h является модулем R-эквивалентности, если неравенство h(X\) ф h(Xi) влечет, что Х\ и Xi не эквивалентны. Будем говорить, что X имеет (по крайней мере) т модулей, если на \ определено т независимых модулей' Наконец, будем говорить, что X имеет бесконечное число модулей, если X имеет т модулей для любого наперед заданного т.

Будем рассматривать, в качестве X бифуркационную поверхность Я коразмерности один Сг-диффеоморфизмов с простым гомо-клиническим касанием, близких к / В С'-топологии и имеющих негрубую гомоклиническую траекторию, близкую к Гд ; в качестве отношения эквивалентности - либо локальную топологическую сопряженность, либо локальную' П-сопряженность (см. определение 2.3). Мы показываем, в частности, что такие функционалы, как h\(f) = в =

являются модулями (топологической сопряженности и/или Q-сопряженности) диффеоморфизмов из Я .

В § 2.1 даются определение модуля, локальной топологической и Q-сопряженности (соответственно определения 2.1, 2.2 и 2.3) и рассматриваются некоторые их "абстрактные" свойства. В параграфах 2.22.7 рассматриваются вопросы о существовании модулей топологической и Q-сопряженности в случаях многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. При этом, мы находим явный вид только основных модулей, и выделяем модули трех типов. Это, во-первых, так называемые простые модули, при изменении значений которых меняется только структура неособых блуждающий траек-

1 Независимость системы Ai,...,km модулей можно понимать, например, в том смысле, что дла любых X £ х и i £ {l,...,m} в любой окрестности точки X существует такое X € X, что hi{X) = hi(X) длл всех I ф i и

КЩфЦХ).

торий. Во-вторых, предельные модули, которые являются модулями на множестве полутраекторий либо ^-предельных (при Л7 < 1), либо «-предельных (при А7 > 1) к гомоклиническим. По существу, модули этих двух типов представляют интерес только в случае диффеоморфизмов первого и второго классов. Наконец, в случае диффеоморфизмов третьего класса существуют П-модули. В § 2.2 рассматриваются простые модули у диффеоморфизмов первого класса и предельные модули у диффеоморфизмов второго класса. Здесь показано (теорема 2.1), что таким модулем является в - инвариант Гаврилова-. Шильникова. Предельные модули в случае диффеоморфизмов первого класса рассматриваются в § 2.3. Мы находим модули в и ц в случае диффеоморфизмов типа (1,1) - теорема 2.2, и <р и 9 в случае диффеоморфизмов типа (2,1) - теорема 2.3. В остальных параграфах изучаются П-модули. Обозначим через П(/) и П(/') множества неблуждающих траекторий, целиком лежащих в достаточно малых окрестностях V п V гомоклинических траекторий Го и Гц соответственно.

Определение 2.3. Будем говорить, что / и /' локально И-сопряжены, если существует гомеоморфизм к : П(/) —> П(/') такой, что Ь(0) = О', Л(Г) = Гр, и следующая диаграмма

коммутативна.

В § 2.4 рассматриваются диффеоморфизмы третьего класса типа (1,1), основной результат здесь - это теорема 2.4, в которой центральное место занимает следующее утверждение.

Пусть / и /' - два диффеоморфизма третьего класса типа (1,1). Предположим, что f и /' локально Q-сопряжены. Тогда 1) в = в' и 2) если в иррационально, то Tq = Tq.

Следующие теоремы из параграфов 2.5,2.6 и 2.7 характеризуют основные П-модули в случае седло-фокусов.

Теорема 2.5. Пусть диффеоморфизмы f и f третьего класса типа (2,1) локально П-сопряжены. Тогда <p(f) = y{f) и 9[f) = ô(f').

Теорема 2.6. Пусть диффеоморфизмы / и /' типа (1,2) ло-

П (/) ih

f

П(/) lh

кальноQ-сопряженыТогда ф(/) = ф(/') и 6(f) = $(/')•

Теорема 2.7.Еслидиффеоморфизмы f и f типа(2,2) локально Q-сопряжены, то выполняются следующиеусловия:

Заметим, что случай iр = ф анализируется в теореме 2.8, где показывается, что в также является Й-модулем, за исключением резонансных случаев ф = ip = {7г/2,2тг/3}.

Глава 3 посвящена исследованию динамических свойств и бифуркаций многомерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму, имеющему негрубую гомоклиническую траекторию, в точках которой инвариантные многообразия седловой неподвижной точки имеют простое касание. Здесь, по-существу, наибольший интерес вызывают случаи, когда неподвижная точка является седло-фокусом.

Основные результаты главы связаны с исследованием динамических свойств диффеоморфизмов из областей Ньюхауса 5¡, которые существуют в трансверсальных конечно-параметрических семействах /f, содержащих диффеоморфизм с простым гомоклиническим касанием (теоремы 3.1 и 3.2). Для того, чтобы сформулировать основные утверждения, ^нам понадобятся следующие константы:

2) целое число de (которое (Тураев, 1996) называется "эффективной

тазмепностью"1). оппелеляемое слелуютттим обпазом:

í1е = 1 — в случае (1,1), а также в случае (2,1) при А7 < 1;

(lf =2 — в случае (2,1) при А7 > 1, в случае (1,2), а также в случае

(2.2) при А72 < 1;

(1Г = 3 — в случае (2,2) при А72 > 1.

Здесь мы сформулируем ряд основных результатов главы 3 о динамических свойствах диффеоморфизмов из de -параметрических общих семейств при значениях параметров из областей Ньюхауса.

Теорема 3.3. Пусть диффеоморфизм/удовлетворяет условиям A-F и пусть de - его эффективная размерность. Тогда в обла-стяхНьюхауса 5¡ плотны значения параметров е такие, что соответствующий диффеоморфизм имеет периодическую траекторию с любым набором из1с мультипликаторов наединичнойокружности.

Теорема 3.4. ВобластяхНъюхауса Sj плотнызначенияпараметров (они образуют множество второй категории), при которых диффеоморфизмfy имеют бесконечномногососуществующихгипер -болическихпериодическихтраекторий({т+Пу), (т + пи — 1),..., (т + пи — (11)-мернымиустойчивымимногообразиями.

В связи с теоремой 3.4 возникает вопрос о существовании устойчивых периодических траекторий, который представляет особый интерес для нелинейной динамики в целом. Поэтому мы формулируем следующий частный случай теоремы 3.4 как отдельное утверждение.

Теорема 3.5. Пусть диффеоморфизм /о удовлетворяетусло-виямА-F, т.е. он имеет простое гомоклиническое касание многообразий седловой неподвижной точки О, у котЗрой.,Предположим, что О не имеет неустойчивых неведущих мультипликаторов. Тогда в областяхНъюхауаА) плотнызначенияпараметров(образуют множество второй категории), при которых диффеоморфизм f; имеет счетное множество устойчивых периодических траекторий.

Следующая теорема касается существования инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса.

ТеоремаЗ.6. \)Пустьвыполненыусловиятеоремы 3.5, г > 5 и dr> 2. Тогда в областях Нъюхаус& j плотны значения параметров, при которыхдиффеоморфизм/£ имеетсчетноемножествоустойчи-выхзамкнутыхинвариантныхкривых.

2)Если п > пи (т.е.точкаОимеетневедущиенеустойчивыемуль-типликаторы) и, как прежде, г > 5 u dt > 2, то соответствующие инвариантные кривые будут седловыми, с dimW" = п — п„.

Доказательство этих теорем основано на исследовании бифуркаций однообходных периодических траекторий. Точка пересечения такой траектории с окрестностью П+ является неподвижной для отображения первого возвращения Т'*' = Т\Т$ с некоторым достаточно большим к. В § 3.2 мы проводим бифуркационный анализ этих отображений. При этом показывается (леммы 3.1 и 3.2), что с помощью подходящих замен координат и параметров (нормировки), отображения первого возвращения могут бьпь записаны в форме отображений асимптотически близких к некоторым стандартным ква-

дратичным отображениям (см. раздел "новизна результатов" авторе-

ферата). В § 3.3 доказываются основные теоремы главы.

В определенном смысле глава 4 тесно связана (как по методами исследования, так и по характеру полученных результатов) с предыдущими главами. Отличие состоит в самом объекте исследования. Здесь рассматриваются двумерные диффеоморфизмы с негрубыми гетеро-клиническими контурами, т.е. имеются по крайней мере две седловые неподвижные точки (или периодические траектории) и по крайней мере две гетероклинических траектории. Мы рассматриваем случай, когда по крайней мере одна из данных гетероклинических траекторий является негрубой (нетрансверсальной), т.е. в ее точках инвариантные многообразия двух седловых точек пересекаются нетрансверсально.

Более конкретно, рассмотрим двумерный диффеоморфизм /о класса С, г > 3, имеющий простейший негрубый гетероклинический контур. То есть, предполагается, что /о имеет две седловые неподвижные точки 0\ и 02 такие, что Ц'"(0\) пересекается трансверсально с Ив точках некоторой гетероклинической траектории Г12, и 1Г"(02) имеет квадратичное касание с И(Ох) в точках некоторой гетероклинической траектории Г21. Обозначим через О] седловую величину точки Oj,j = 1,2, где о,- = |А;7;|, а А^ и 7,- - мультипликаторы точки О такие, что |А;| < 1,|т,-| > 1. Обозначим через Я бифуркационную поверхность коразмерности один, состоящую из диффеоморфизмов, близких в С'-топологии к /о, и имеющих близкий негрубый гетероклинический контур такого же типа. Наконец, рассмотрим од-нопарамстрическое семейство ¡^ двумерных диффеоморфизмов класса С (г > 3) . которое трансверсально к Н при ц = 0.

Основной результат главы составляет следующая

Теорема 4.1. Пусть - указанное семейство и пусть у /о седловыевеличиныо\ и сг2 точек 01 и 02 таковы, что одна из них больше а другаяменьше единицы. Тогда налюбом интервале— №> м] значений параметра ¡л существует счетное множество интервалов Д), накапливающихся к ц = О при х оо , таких, что 1)на Д- плотны значения ¡г, при которых имеет негрубую го-моклиническую к 01 траекторию, а также плотны значения ц, при которыхимеет негрубуюгомоклиническуюк О2 траекторию;

2) на JI,1 плотны значения параметра ¡л, при которых имеетне-грубыйгетероклиническийконтур,которыйсодержитточки 0\, О? и две гетероклинические траектории Тц(ц) (T^fO) = Г^,). в точках которой Wu(Ox) и W'{Oi) пересекаютсятрансверсалъно.в точках которой \\'и(0?) и W{0\) имеют квадратичное касание;

3) на Д} плотны значения параметра ц, при которых f¡, имеет одновременно счетное множество устойчивых и счетное множество вполне неустойчивыхпериодическихтраекторий.

Эта теорема показывает, что в случае негрубых контуров со знакопеременной дивергенцией"' (сг\ > 1,^2 < 1 или о\ < 1,U2 > 1) мы сталкиваемся с новым динамическим явлением: здесь существуют области Ньюхауса (области Д-) со "смешанной динамикой". в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых, счетное множество устойчивых и счетное множество вполне неустойчивых периодических траекторий (т.е. грубых периодических траекторий всех возможных типов).

Доказательству теоремы 4.1 посвящены параграфы 4.2-4.5. При этом, в параграфах 4.2 и 4.3 описываются некоторые общие геометрические и аналитические свойства диффеоморфизмов с простейшим негрубым гетероклиническим контуром. В частности, здесь изучаются свойства локальных отображений, определенных в окрестностях седловых неподвижных точек Oi и Ог , и глобальных отображений, определенных в окрестностях гетероклинических траекторий ; вводятся специальные окрестности; доказывается существование нетривиальных гиперболических подмножеств у диффеоморфизмов семейства fn и описывется структура этих подмножеств. В § 4.4 приводится классификация диффеоморфизмов с негрубым гетероклинн-ческим контуром: также как и в гомоклиническом случае, такие диффеоморфизмы разбиваются на три класса, в зависимости от характера структуры множества No траекторий, целиком лежащих в окрестности контура. В § 4.5 доказывается как теорема 4.1, так и её обобщение (теорема 4.5) на случай двумерных диффеоморфизмов с произвольным негрубым гетероклиническим контуром.

В последующих параграфах 4.6-4.8 изучаются динамические свойства диффеоморфизмов третьего класса с негрубым гетероклиниче-

скнм контуром (на бифуркационной поверхности Я). В § 4.6 доказывается, что у диффеоморфизмов на Я существуют Й-модули: в частности, таким модулем является инвариант Пэлиса - 1п |Аг|/ 1п |71| (теорема 4.6): также доказывается, что в Я плотны диффеоморфизмы со счетным множеством й-модулей (теорема 4.9) . В параграфах 4.74.8 изучаются основные бифуркации периодических и гомоклиниче-ских траекторий систем на Я. На основе этого в § 4.8 устанавливаются условия существования и отсутствия устойчивых и/или вполне неустойчивых периодических траекторий у диффеморфизмов из Я .

Наконец, в § 4.9 мы показываем (теоремы 4.15 и 4.16), что помимо указанных в теореме 4.1 интервалов Ньюхауса (назовем их интервалами первого типа) в семействах могут существовать интервалы Ньюхауса еще двух типов. Они характеризуются следующим основным свойством, отличающим их от интервалов : в интервалах второго и третьего типов нет значений параметра /х , при которых диффеоморфизм /р имел бы гомоклиническую траекторию одной из седловой неподвижной точки, тогда как значения параметра , при которых имеет негрубую гомоклиническую траекторию другой точки, плотны. Кроме того, диффеоморфизмы из областей Ньюхауса второго типа не могут иметь одновременно устойчивые и вполне неустойчивые периодические траектории, тогда как для областей Ньюхауса третьего типа характерна смешанная динамика. Заметим также, что области Ньюхауса второго и третьего типов могут существовать только вблизи диффеоморфизмов третьего класса определенного вида.

В пятой главе, как и в предыдущей, рассматриваются дву-. мерные диффеоморфизмы. Но основная цель - исследование сложных и неожиданных явлений, наблюдаемых в системах с гомоклиническими касаниями. Так, в частности, мы показываем, что в любой окрестности, в С'-топологии для произвольного конечного г , системы с квадратичным гомоклиническим касанием имеются негрубые системы с гомоклиническими касаниями произвольно высоких порядков, то есть системы произвольно высокой коразмерности.

Глава состоит из пяти параграфов. В параграфе 5.1 напоминаются необходимые формулы для локального и глобального отображе-

ний, а также (более информативно по сравнению с главой 1) проводится разбиение систем с гомоклиническим касанием на три класса. Основной результат параграфа 5.1 - это следующая

Теорема 5.1. Пусть - однопараметрическоесемейст.во, трансверсалъное при ц = 0 бифуркационной поверхности систем, с квадратичным гомоклиническим касанием. Тогда, влюбой окрестности точки ц= 0 имеютсязначения параметра, отвечающие квадратичным гомоклиническим касаниям третьего класса.

Следствие 5.1. ВобластяхНъхауса плотны диффеоморфизмы с гомоклиническими касаниями третьего класса.

Таким образом, изучение собственно диффеоморфизмов третьего класса является важным элементом исследования динамических систем из областей Ньюхауса вообще. При этом, весьма важен тот факт, что диффеоморфизмы третьего класса обладают й-модулями, которые можно эффективно использовать в качестве управляющих параметров при исследовании бифуркаций. Поэтому в остальных параграфах главы мы, собственно, делаем акцент на изучении диффеоморфизмов третьего класса. Так, в параграфе 5.2 изучается структура нетривиальных гиперболических подмножеств и показывается, что она существенно зависит от значений й-модуля в (теорема 5.2). В параграфе 5.3 рассматриваются основные бифуркации в однопараметриче-ских семействах /д систем третьего класса. Доказывается теорема 5.3 о том, что в таких семействах плотны значения параметра, отвечающие вторичным гомоклиническим касаниям. Здесь же, используя малые локализованные гладкие добавки, доказывается следующая

Теорема 5.4. На пленкеН, образованной системами с гомоклиническим касанием третьего класса, плотны системы со счетным множеством седловых периодических траекторий, каждая из которых имеет гомоклиническое касание третьего класса.

В параграфе 5.4 доказывается основной результат главы Теорема 5.5. Системы с гомоклиническими касаниямилюбого порядка плотны вмножестве систем с гомоклиническими касаниями третьего класса.

Отметим, что здесь мы используем индуктивный метод доказательства, переходя путем малых возмущений от касания порядка п

к касанию порядка п + 1. В этом ряду принципиально важным является по-существу последний шаг: переход от касания порядка г — 1 к касанию порядка г . Последнее (аналогичное касанию кривых ^ = О и у = хг+1 в нуле) является в случае С-топологии (с любым конечным г) касанием "неопределенного порядка", так как сколь угодно малыми С-гладкими возмущениями его можно превратить "во что угодно", например, добиться локального совпадения кривых. Таким способом мы доказываем следующий результат, в некотором смысле конкретизирующий утверждения основной теоремы: иа бифуркационной поверхности систем с гомоклиническим касанием третьего класса (а также в областях Нъюхауса) плотны системы с гомоклиническими касаниями, отвечающимилокальному совпадению устойчивыхи неустойчивыхмногообразий.

Основной результат параграфа 5.5 - это следующая

Теорема 5.6. Системы с периодическими траекториями любого порядка вырождения плотны вмножестве систем с гомоклиническими касаниямитретьего класса.

Доказательство основано на перемасштабировании отображения первого возвращения вблизи траектории вырожденного гомокли-ничегкого касания. Так, мы устанавливаем, что в случае касания порядка т| , где п < г , существуют периодические траектории с мультипликаторами + 1 и -1 и равными нулю первыми п и [п/2] — 1 соответственно ляпуновскими величинами (в ограничении на центральное многообразие соответствующее отображение записывается в виде I = ±.г + 1хп+1 + ... , где / ф 0). В случае п>г или гомоклинического касания, отвечающего локальному совпадению устойчивого и неустойчивого многообразия, мы доказываем существование периодических траекторий, для которых отображение Пуанкаре в ограничении на центральное многообразие, является тождественным, т.е. отображением внда

Основные публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту, опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России для публикаций результатов по докторским диссертациям ([1]-[14]). Кроме того, для ознакомления

российской и зарубежной научной общественности, по теме диссертации опубликованы работы [1б]-[26].

[1] Гонченко СВ. "Об устойчивых периодических движениях систем, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой".- Матем. заметки, 1983, т.ЗЗ, N0.5, с. 745-755.

[2] Гонченко СВ. О модулях й-эквивалентности многомерных систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- УМН, 1994, т.49, вып.4 (298), с.91.

[3] Гонченко С В. "Модули й-сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром".- Матем. сб.. 1996, т.187, N0.9, с.3-25.

[4] Гонченко С В. 'Томоклинические касания, й-модули и бифуркации".-Труды МИАН, 2002, т.23б, с.103-119.

[5] Гонченко СВ., Шильников Л.П. "О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми",- УМН, 1983, т.38, вып.5. с. 206.

[6] Гонченко СВ., Шильников Л.П. "О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми".- ДАН СССР, 1986, т.286. №.З, с. 1049 -1053.

[7] Гонченко СВ., Шильников Л.П. "Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической траекторией".- Укр. мат. журнал, 1987, т.39, N0.1, с.21-28.

[8] Гонченко СВ., Шильников Л.П. "Инварианты й-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией".- Укр. мат. журн., 1990, т.42. N0.2, с. 153-159.

[9] Гонченко СВ., Шильников Л.П. 'О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- Изв.Росс.Акад.Наук, серия ма-тем., 1992, т.56, N0.6, с. 1165-1196.

[10] Гонченко СВ., Шильников Л.П. "О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с негрубым гомоклиническим контуром".- УМН, 1995, т.50, вып.4.

[11] Гонченко СВ., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре",- ДАН СССР, 1991, т.320, N0.2, с.269-272.

[12] Гонченко СВ., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Динамические явле-

ния в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- Докл. Росс. Акад. Наук, 1993, т., No.2, с. 144-147.

[13] Гонченко СВ., Тураев Д.В., Шильников Л.П. ''Об областях Нью-хауса двумерных диффеоморфизмлов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром".- Труды МИАН, 1997, т.216, с.7-118.

[14] Гонченко СВ., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса".- Труды Межд. конф., посвященной 90-летию Л.СПонтрягина, [в кн."Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения; тематические обзоры. т.67.1999, с.69-128.]

[15] Гонченко СВ. "Нетривиальные гиперболические подмножества систем с негрубой гомоклинической кривой ".- Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Горький, 1984, с.89-102.

[16] Гонченко СВ. "Модули систем с негрубыми гомоклиническими траекториями (случаи диффеоморфизмов и векторных полей)".- в кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций". Горький, 1989, с. 34-49.

[17] С.В.Гонченко "К вопросу об условиях сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией".- в кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций". Горький, 1990, с. 5-19.

[18] Gorulienko S.V. "Homoclinic tangencies, Q-moduli and bifurcations".-Proceedings of Int.Conf. Equadiff-99, Berlin, 1999; World Scientific.

[19] Gonchenko S.V. "Dynamics and moduli of Q-conjugacy of 4D-difeo-morphisms with a structurally unstable homoclinic orbit to a saddle-focus fixed point",- Amer.Transl.Math., 2000, v.200, No.2, pp.107-134.

[20] Gonchenko S.V., Shil'nikov L.P. "On geometrical properties of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies".- Int.Journal of Bifurcation and Chaos, 1995, V.5, No. 3, pp. 819-829.

[21] Гонченко СВ., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- Методы качественной теории и теории бифуркаций, Горький, 1991, с.36-61.

[22] Gonchenko, S.V., Shil'nikov, L.P., Turaev, D.V. "On models with non-rough Poincare homoclinic curves", Physica D v.62, Nos.1-4, pp.1-14.

[23] S.V.Gonchenko, L.P.Shil'nikov, D.V.Turaev "Bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with non-rough homoclinic contours". -J. Tochn. Phys., 1996, v.37, Nos. 3-4, pp.349-352.

[24] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. "Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits'1.- Inter-disc. J. CHAOS, 1996. v.6 . No.l, pp. 15-31.

[25] Gonchenko, S.V., Shilnikov, L.P., Turaev, D.V. "Quasiattractors and homoclinic tangencies V Comp.Math.Applic, 1997, Nos.2-4, pp.195-227.

Подписано в печать 04.11.2004. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2. Зак. 1409. Тир. 100 экз.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лиц. ПД № 18-0099 от 04.03.2001. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

№25 367

Введение

1. Классификация многомерных диффеоморфизмов с го-моклиническими касаниями и их гиперболические свойства.

1.1. Определение простого гомоклинического касания.

1.2. Свойства локального и глобального отображений То и Т\.

1.3. Геометрическая теория: кодировки, полоски и подковы. 4G

1.4. Нетривиальные гиперболические подмножества диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями.

1.4.1. Специальная окрестность негрубой гомоклиниче-ской траектории.

1.4.2. Полоски и подковы и их пересечения.

1.4.3. Символическая динамика для траекторий из окрестности негрубой гомоклинической орбиты.

1.5. Классы систем с гомоклиническими касаниями.

1.6. Доказательство лемм 1.1, 1.2 и 1.3.

2. Модули топологической и П-сопряженности многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями.

2.1. Определение и свойства модулей.

2.2. Модули Пэлиса-Гаврилова-Шильникова.

2.3. Предельные модули в случае диффеоморфизмов первого класса.

2.4. fi-модули диффеоморфизмов третьего класса в случае (1,1).

2.5. fi-модули диффеоморфизмов третьего класса в случае (2,1).

2.6. Модули ^-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (1,2).

2.7. Модули Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (2,2).

3. Основные бифуркации периодических траекторий многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями.

3.1. Постановка задачи и основные результаты.

3.2. Построение отображений первого возвращения. Доказательство леммы о рескелинге.

3.2.1. Отображения первого возвращения в случае (1,1).

3.2.2. Отображения первого возвращения в случае (2,1).

3.2.3. Отображения первого возвращения в случае (1.2).

3.2.4. Отображения первого возвращения в случае (2,2). 171 Щ 3.3. Доказательство основных теорем.

4. Динамические свойства двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами.

4.1. Постановка задачи и формулировки основных результатов.

4.2. Геометрические и аналитические свойства диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром.

4.3. Локальные и глобальные отображения.

4.3.1. Специальная окрестность гетероклинического контура.

4.3.2. Условия пересечений подков и полосок.

4«f) 4.3.3. Кодировки неблуждающих траекторий и нетривиальные гиперболические подмножества

4.4. Классы двумерных диффеоморфизмов с простейшим негрубым гетероклиническим контуром.

4.5. Существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой.

4.5.1. Доказательство теоремы 4.1.

4.5.2. Области Ньюхауса вблизи диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром общего типа,

4.6. Модули Q-сопряженности диффеоморфизмов третьего класса с негрубым гетероклиническим контуром.

4.7. Негрубые периодические траектории диффеоморфизмов третьего класса.

4.8. Устойчивые и вполне неустойчивые периодические траектории диффеоморфизмов третьего класса.

4.8.1. Случай, когда седловые величины лежат по одну стороны от единицы.

4.8.2. Случай, когда седловые величины лежат по разные стороны от единицы.

4.9. Интервалы Ньюхауса второго и третьего типов.

5. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса.

5.1. Три класса гомоклинических касаний в двумерном случае.

5.2. Гиперболические свойства диффеоморфизмов с гомокли-ническим касанием третьего класса.

5.3. Сосуществование гомоклинических касаний третьего класса.

5.4. Гомоклинические касания произвольно высокого порядка.

5.5. Периодические траектории высоких порядков вырождения

Гомоклинические траектории Пуанкаре, т.е. двояко-асимптотические к седловым периодическим, являются одним из наиболее интересных объектов в теории динамических систем. Это связано, в частности, с тем, что сам факт наличия в системе хотя бы одной такой траектории уже свидетельствует о сложной динамике системы в целом. Сама по себе, гомоклиническая траектория Пуанкаре является довольно простым объектом - это траектория, которая лежит в пересечении инвариантных многообразий седловой периодической. Если указанное пересечение трансверсальное, то гомоклиническая траектория называется грубой (или трансверсальной), а в случае нетрансверсального пересечения мы имеем дело с негрубой (нетрансверсальной) гомокли-нической траекторией Пуанкаре, или с гомоклиническим касанием. Сложность возникает уже тогда, когда мы пытаемся описать еще и близкие траектории, которые целиком лежат в малой окрестности го-моклинической орбиты. Такая задача описания окрестности грубой гомоклинической траектории получила название задачи Пуанкаре-Биркгофа, и была полностью решена Шильниковым [55], который показал, что множество N траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой гомоклинической орбиты является нетривиальным гиперболическим множеством, траектории которого находятся во взаимо однозначном соответствии с траекториями топологической схемы Бернул-ли из трех символов.

В случае негрубой гомоклинической траектории соответствующая задача становится гораздо более сложной, и в определенном смысле даже неразрешимой, если иметь в виду именно задачу "полного описания", в особенности, когда рассматривается не только сама система, но и все достаточно близкие. Дело в том. что при малых гладких возмущениях системы с гомоклиническим касанием могут возникать новые гомоклинические касания любых порядков, а также сколь угодно вырожденные периодические траектории [22, 36, 66]. Это означает, с формальной точки зрения, что никакого конечно-параметрического семейства недостаточно для полного исследования бифуркаций таких систем. Одна из основных причин такого явления - это существование бесконечного числа модулей fi-эквивалентности, так называемых Q-модулей, т.е. непрерывных инвариантов топологической эквивалентности на множестве неблуждающих траекторий. Непрерывность в данном случае означает, что любое изменение значения Q-модуля ведет к изменению в структуре множества неблуждающих траекторий, в частности, в множестве периодических и гомоклинических орбит. С другой стороны, и это очень важно, fi-модули можно рассматривать, при исследовании бифуркаций, как естественные управляющие параметры, конечно, наряду с традиционными параметрами расщепления. Сами по себе, Q-модули являются часто "скрытыми" параметрами, они не присутствуют явно ни "в правых частях", ни являются эмпирически данными. Их нужно находить. В этом смысле, хороший приме}) дают аттракторы лоренцевского типа: они, как известно, обладают инвариантами типа 17-модулей, так называемыми нидинг-инвариантами [82] (их два в несимметричном, и один в симметричном случаях). Использование нидингов является эффективным инструментом исследования таких аттракторов (и не только, например, одномерных отображений, в том числе разрывных [40]). И опять нидинги не присутствуют в правых частях, их существование а также форма выводятся из соответствующего анализа геометрических и динамических свойств отображений, получающихся при факторизации инвариантных слоений. Аналогичная ситуация имеет место и с Q-модулями систем с гомокли-ническими касаниями.

В связи с важностью fi-модулей для теории бифуркации, в работе [36] была разработана программа исследования бифуркаций в системах со сложной структурой, которая, как необходимый элемент, включает а) доказательство существования fi-модулей; б) их явное нахождение; в) использование основных Q-модулей в качестве-управляющих параметров; г) исследование возможности существования счетного множества fit-модулей (и соответственно возможности появления бесконечных вырождений); а также д) исследование динамики систем из областей Ньюхауса пространства динамических систем, в которых плотны системы с гомоклиническими касаниями.

Эта программа была, в принципе, реализована в последующих статьях Гонченко, Тураева и Шильникова. Конечно, она ещё далеко не завершена (в особенности, что касается пунктов г) и д) для многомерного случая). А в некоторой части она даже перекрыта: так, доказано существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой [26, 68, 27]; исследованы консервативные системы с гомоклиническими касаниями [20, 78, 71, 81], и т.п.

В настоящей диссертации излагаются основные результаты, полученные автором при исследовании динамических свойств многомерных систем с гомоклиническими касаниями. При этом, во многих моментах во главу исследований положена концепция ^-модулей (которым, собственно, посвящена глава 2). Ситуация с существованием бесконечного множества Q-модулей рассматривается на примере двумерных диффеоморфизмов.

С целью единообразия, в диссертации рассматриваются только диффеоморфизмы. Естественно, все результаты применимы и к потокам, если иметь в виду, что сами потоки, при полулокальном анализе, могут быть исследованы с помощью отображений Пуанкаре — т.е. сводятся к диффеоморфизмам (с гомоклиническими касаниями) в размерности на единицу меньше, чем размерность фазового пространства потока.

Актуальность исследования.

Исследование систем с гомоклиническими структурами является весьма актуальным также с точки зрения теории динамического хаоса, математическим образом которого является странный аттрактор -нетривиальное притягивающее множество с неустойчивым поведением траекторий на нём. Гомоклинические орбиты являются не только необходимым атрибутом любого странного аттрактора, но и определяют главные элементы его динамики. Поэтому весьма часто термином "гомоклинический хаос" обозначают хаотическую динамику, демонстрируемую странными аттракторами, отличными от гиперболических и квазигнперболических (аттракторов Лоренца). Аттракторы последних двух типов тоже содержат гомоклинические траектории Пуанкаре, но они являются здесь грубыми. В большинстве же динамических моделей с хаотическим поведением встречаются (неустранимым образом) гомоклинические касания. Более того," в основе механизмов возникновения и разрушения странных аттракторов могут лежать бифуркации, связанные с образованием гомоклинических касаний. Благодаря опять же гомоклиническим касаниям, внутренняя структура большинства аттракторов является неоднородной: помимо "больших" гиперболических подмножеств, содержащих седловые периодические траектории одного индекса, могут существать также устойчивые траектории или седловые других индексов. Некоторые типы аттракторов, так называемые квазиаттракторы [59]. считающиеся "странными" на физическом уровне, содержат помимо седловых траекторий ещё и асимптотически устойчивые периодические траектории, но весьма больших периодов. Существование таких устойчивых траекторий вытекает из теории [14, 98], и типична ситуация, когда устойчивых периодических траекторий бесконечно много и в замыкании они содержат нетривиальные гиперболические подмножества [98]. Тогда, естественно, возникает вопрос (Ньюхаус), а что мы наблюдаем: хаотическую (неравномерно) гиперболическую динамику, или сложный переходный (очень долговременный) процесс притяжения к устойчивым периодическим траекториям. По-видимому, здесь происходит одновременно и то и другое, и какие процессы превалируют при этом совсем не очевидно. Во всяком случае, некоторые устойчивые периодические траектории могут проявлять себя как "окна устойчивости". При этом указанное поведение траекторий может быть характерным для открытых областей значений параметров (областей Ньюхауса), и эти области, как показывают вычисления [87], могут быть весьма обширны. Даже если в аттракторе гарантированно нет устойчивых периодических траекторий, как, например, в диких спиральных аттракторах [50], проблемы, связанные с неоднородностью структуры, остаются. Наконец, существование вырождений высоких порядков говорит о том, что в гомоклиническом хаосе нет той масштабной инвариантности, которая характерна для гиперболической и одномерной динамики.

Если посмотреть с другого конца, то исследование систем с гомо-клиническими касаниями или с негрубыми гетероклиническими контурами, является естественным продолжением гиперболической теории. Дело в том, что гиперболическая теория, развитая в трудах Алексеева, Аносова, Синая, Смейла, Песина и др., см. [2, 3], имеетдело, в основном, с грубыми гиперболическими множествами. II здесь Q-множество состоит из конечного числа так называемых гиперболических базисных множеств. В системах с гомоклиническими касаниями тоже есть свои "базовые" гиперболические множества [14, 34], которые формируют во многом скелет множества неблуждающих траекторий но всё его, вообще говоря, не исчерпывают. Кроме того, указанные "базовые" множества в совокупности не являются грубыми и меняют свою структуру при изменении параметров.1 При этом могут возникать гиперболические подмножества весьма различной природы: "тонкие", "толстые", с малой и большой хаусдорфовой размерностью [99, 103]. Причем, существование "аномальных" гиперболических множеств ("толстых" и с большой хаусдорфовой размерностью) является типичным свойством систем в областях Ньюхауса [61]. Исследование таких гиперболических множеств является одной из наиболее трудных задач в данной тематике. Но эта задача очень важна, поскольку как раз такие гиперболические множества делают возможным неустранимые касания, и таким образом, ответственны за явление "грубой негрубости", весьма важного для нелинейной динамики.

Цели и задачи исследования.

Основная цель диссертации — это исследование динамических явлений в многомерных системах, которые вносят гомоклинические касания. В связи с этим, вторичной целью является разработка новых методов исследования систем со сложным поведением траекторий, включающая также обобщение уже известных методов.

Основная часть диссертации (главы 1,2 и 3) посвящены изучению многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. Гла

1 Заметим, что при явлениях гомоклинического fi-взрыва могут возникать настоящие гиперболические базисные множества, и здесь в пространстве параметров будут чередоваться области, отвечающие гиперболическому и хаотическому поведению. вы 4 и 5, где рассматриваются двумерные диффеоморфизмы, дополняют эти исследования — здесь акцент делается на выяснение новых и весьма неожиданных динамических явлений (основные из которых — существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой и существование бесконечных вырождений в областях Ньюхауса).

Основные задачи, которые рассматриваются в диссертации можно разбить на следующие большие группы.

1) Классификация многомерных систем с гомоклиническими касаниями и исследование их гиперболических свойств.

2) Теория модулей топологической и П-сопряженностн (fi-мо дулей) многомерных систем с гомоклиническими касаниями.

3) Исследование основных бифуркаций в рамках общих (трансвер-сальных) конечно-параметрических семейств (в которых в качестве управляющих параметров, помимо параметров расщепления, рассматриваются также ^-модули.

4) Исследование условий существования в областях Ньюхауса грубых периодических траекторий различных топологических типов, а также негрубых периодических траекторий и инвариантных торов.

5) Установление существования областей Ньюхауса различных типов, и, в частности, доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность.

6) Доказательство плотности в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями, и тем самым, установление невозможности полного исследования динамики таких систем с помощью конечно-параметрических семейств.

Объект исследования.

В диссертации рассматриваются актуальные проблемы нелокальной теории бифуркаций, относящиеся к одному из наиболее интересных и трудных для исследования её разделов ~ теории бифуркаций систем с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре.

Основное внимание уделяется системам с простыми гомоклиническими касаниями. Они характеризуются только одним негрубым условием - существование гомоклинического касания, которое к тому же является квадратичным. Остальные условия, накладываемые на систему, являются общими (типа неравенств). Таким образом, системы с простым гомоклиническим касанием могут неустранимым образом встречаться в общих (трансверсальных) параметрических семействах. Более того, здесь имеет место явление Ньюхауса, заключающееся в том, что в таких семействах существуют области (интервалы) значений параметров с плотными подмножествами, каждому значению параметров из которых отвечает система с простым гомоклиническим касанием. В этом случае, в силу наличия различного типа транзитивных свойств (из-за существования, опять же, раномерно или неравномерно гиперболических подмножеств), те свойства динамики", которые выясняются при полулокальном рассмотрении, могут иметь также и глобальный характер. К таким свойствам можно отнести, в частности, а) существование смешанной динамики в областях Ньюхауса и б) плотность в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями. Последние два типа динамических явлений анализируются в диссертации на примере двумерных диффеоморфизмов.

Методологическая и теоретическая основа исследования.

Вообще тот факт, что устойчивые и неустойчивые многообразия седловых периодических траекторий могут пересекаться, не совпадая при этом, установил Пуанкаре. Он показал, что соответствующие го-моклинические решения могут существовать на примере классической задачи трех тел в своем знаменитом мемуаре "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики, 1889" (см. [44]). Эта работа Пуанкаре, которая была связана с научным конкурсом, приуроченным к юбилею шведского короля Оскара II, была высоко оценена Вейерштрасом. Как член жюри конкурса, он писал: "Поэтому я без колебаний признаю эту работу достойной премии. эта работа настолько значительна, что с её опубликованием, по моему мнению, начнется новая эпоха в истории небесной механики". Сам Пуанкаре также придавал большое значение факту существования гомоклинических пересечений, с которым он связывал прежде всего сложность динамики в целом и принципиальную невозможность интегрирования большинства моделей классической динамики. Собственно говоря, Пуанкаре, кажется, получил только один результат, относящийся к структуре множества траекторий, целиком лежащих в малой окрестности грубой гомоклинической орбиты: он показал, что в этой окрестности существует счетное множество других гомоклинических траекторий (двояко-асимптотических к той же самой седловой точке). Это связано, по-видимому, с тем, что, во-первых, он больше уделял внимание не столько этой по-существу полулокальной задаче, сколько тому насколько гомоклинические, а также гетероклинические, траектории существенны для динамики в целом; во-вторых, Пуанкаре придавал больше ценности устойчивым периодическим траекториям, чем седловым, которые, как он, по-видимому, знал, только и могут существовать в окрестности грубой гомоклинической орбиты. Им даже были высказаны несколько гипотез "на эту тему", из которых представляются весьма интересными и актуальными следующие две. Первая - "гомоклинические точки плотны", т.е. устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия одной седло-вой периодической орбиты образуют такую сложную пересекающуюся сеть, что точки пересечения (гомоклинические точки) плотны. Вторая - "(устойчивые) периодические траектории плотны в фазовом пространстве". Обе эти гипотезы относятся к симплектической динамике и до сих пор не доказаны и не опровергнуты.2

Другое дело, полулокальная динамика, т.е. задача о структура мно

2Хотя здесь есть ряд весьма интересных результатов. Причем, наибольший прогресс достигнут в случае С1-гладких симплектических диффеоморфизмов, заданных на компактных многообразиях. Здесь, как установили Пью, Робинсон, Такенс, Ньюхаус, типичны (т.е. выполняются для множества систем второй категории) следующие свойства: 1) в фазовом пространстве плотны гиперболические периодические точки ([109]); 2) каждая гиперболическая периодическая точка в произвольной окрестности любой точки из фазового пространства имеет трансверсальную гомоклиническую точку ([122, 123, 102]); 3) если диффеоморфизм не является аносовским, то, [102], в фазовом пространстве также плотны 1-эллиптические периодические точки (у такой точки все ее собственные значения, кроме пары комплесных , где ip ф 0,7Г, не лежат на единичной окружности - в двумерном случае 1-элл1№тичсские точки являются эллиптическими). Что касается гладкого случая, то здесь можно отметить результат Трешёва [49, 125] о том, что в случае двумерных симплектических диффеоморфизмов замыкания устойчивого и неустойчивого многообразий совпадают при наличии гомоклинической точки и при условии, что эти многообразия не покидают некоторую оганиченную область в фазовом пространстве (в частности, этот результат справедлив в случае симплек-тического диффеоморфизма на замкнутом двумерном многообразии); результаты Дуарте [63, 64] о существовании областей Ньюхауса у двумерных симплектических отображений; а также наши результаты (Гонченко, Щильников, Тураев) о том, что симплектические диффеоморфизмы со счетным множеством эллиптических периодических точек общего типа плотны на некоторых бифуркационных поверхностях коразмерности один: в двумерном случае, [20, 71], такие поверхности образуют диффеоморфизмы с негрубым гетероклиническим контуром, а в четырехмерном, [78, 74], симплектические диффеоморфизмы, имеющие гомоклинические касания к периодическим точкам типа седло-фокус. жества N траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой го-моклинической траектории. Как мы уже отмечали, первоначальный прогресс в этой задаче был достигнут Пуанкаре: доказательство существования счетного множества вторичных гомоклинических траекторий. Далее, Биркгоф [60] установил существование (в случае двумерных симплектических отображений, но его рассуждения годятся и для общего двумерного случая) счетного множества (однообходных) периодических траекторий. Существенное продвижение в решении задачи Пуанкаре-Биркгофа было достигнуто лишь спустя тридцать лет, благодаря работам Смейла и Шильникова. После их результатов существование в системе грубой гомоклинической траектории стало одним из основных критериев сложной динамики. Отметим, что Смейл [120] установил, опираясь на его знаменитый пример подковы [119], что в N существует нетривиальное гиперболическое подмножество Q - тем самым, в N существует счетное множество седловых периодических траекторий, континуум траекторий устойчивых по Пуассону и т.п.

Что касается работы Шильникова [55], то в ней было дано окончательное решение задачи Пуанкаре-Биркгофа, т.е. было найдено полное описание множества N. Пусть О - седловая периодическая траектория, IVs(О) и IVй(О) - ее инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия, Г С Ws(0) П Wu(0) ~ гомоклиническая к О траектория, в точках которой многообразия Ws(0) и Wu(0) пересекаются трансвер-сально. Пусть U — £У(ОиГ) - достаточно малая окрестность контура О U Г. Ее можно представить в виде объединения малой окрестности траектории О и малой окрестности собственно гомоклинической траектории Г. На рис. 0.1 представлена такая окрестность в случаях а) диффеоморфизма плоскости и б) трехмерного потока. Обозначим через N множество траекторий динамической системы, целиком лежащих в окрестности U. Тогда, как установлено в [55], в случае потока, N будет топологически эквивалентно надстройке над схемой Бернул-ли из двух символов, причем, независимо от размерности системы. В случае диффеоморфизма имеет место аналогичный результат, только полное описание здесь дается не схемой Бернулли из двух символов, а топологической марковской цепью, изображенной на рис. 0.2. Кроме того, множество N является гиперболическим: все его траектории, а)

Рис. 0.1. Окрестность гомоклинической траектории Г в случае а) диффеоморфизма плоскости; Г:) трехмерного потока. включая О, седловые и размерности их устойчивых и неустойчивых многообразий равны соответственно dim Ws(0) и dim Wu(0). Аналогичная задача Пуанкаре-Биркгофа была решена также и для случая гомоклинического многообразия седлового инвариантного тора [56]. для отображений в банаховых пространствах [39] (включая также случай, когда неустойчивое многообразие бесконечномерно), а также для неавтономных непериодических по времени систем [90].

Но инвариантные многообразия седловых периодических траекторий могут и касаться. Эта ситуация является в некотором смысле общей для однопараметрических семействах многомерных систем со сложной динамикой. Тогда возникает естественная задача о структуре множества N траекторий, целиком лежащих в малой окрестности нео< у

Рис. 0.2. Топологическая марковская цепь из к -f щ символов. Число к + по является инвариантом, оно зависит только от размеров окрестности U; число по определяется выбором двух гомоклинических точек - он равен числу итераций диффеоморфизма, связывающих гомоклинические точки М^ £ W*oc п f-'o 11 А/— £ ^Tic n а " :,то минимальное число итераций, необходимое точкам из окрестности Л/+, чтобы их образ попал в окрестность точки грубой гомоклинической орбиты Пуанкаре, включающая также исследование бифуркаций при изменении параметров. Такую задачу впервые поставили и решали Гаврилов и Шильников [14]. Они рассмотрели случай трехмерных потоков (двумерных диффеоморфизмов) и установили ряд фундаментальных результатов о структуре множества N.

Во-первых, было показано, что, в зависимости от геометрии (квадратичного) касания, структура множества N может быть совершенно различной. И здесь они выделили три класса систем с гомоклиническими касаниями. Этот результат мы проиллюстрируем на примере двумерных диффеоморфизмов, имеющих седловую неподвижную точку О с мультипликаторами Ai,7i такими, что 0 < |Ai| < 1 < |-yi| и |Ani| Ф 1, и негрубую гомоклиническую траекторию Го, в точках которой многообразия IVs(О) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Мы также будем полагать, что Ai > 0,71 > 0 (хотя в [14] рассмотрены также случаи, когда Ai и/или 71 отрицательны), и седловая величина а = |Ai7i| меньше единицы (случай а > 1 сводится к cr < 1 для обратного диффеоморфизма /-1). Тогда имеется 4 различных типа гомоклинических касаний: два случая гомоклинических касаний "снизу" (рис. 0.3а) и Ь)), и два случая гомоклинических касаний "сверху" (рис. 0.3с) и cl)). Системы с гомоклиническим касанием "снизу" принадлежат первому классу, это тот случай, когда множество N имеет тривиальную структуру: N = {О; Го}. Системы с гомоклиническим касанием "сверху" в случае рис. 0.3с) принадлежат второму классу: здесь множество N имеет неравномерно гиперболическую структуру - все траектории из N, за исключением Го, являются седловыми того же индекса, что и О. Кроме того, в этом случае множество N допускаа) b) с) Ф

Рис. 0.3. ет полное описание на языке символической динамики.3 Диффеоморфизмы в случае рис. 0.3d) (а также все оставшиеся диффеоморфизмы, кроме тех, у которых касание "снизу" и 71 > 0,Ai < 0) относятся к третьему классу. Здесь множество N имеет сложную структуру: в N содержатся нетривиальные гиперболические подмножества, которые, в отличие от диффеоморфизмов второго класса всё iV, вообще говоря, не исчерпывают (правда, при резонансах, т.е. когда А'{ = 7^ при натуральных р и д, множество N может допускать полное описание [18]).

Во-вторых, в [14] было выяснено значение гомоклинических касаний

3Но в отличие от случая грубой гомоклинической траектории - уже с помощью фактор-системы схемы Бернулли из трех символов; факторизация здесь возникает из-за того, что образ гомоклинической траектории Го при символическом описании получается из "склеивания" двух гомоклинических траекторий (.,0,.,О, 1,0,., 0,.) и (.,0,.,0,2,0.О,.). различных типов для динамики систем в целом. Так, было установлено, что системы с гомоклиническими касаниями первого класса могут лежать на границе систем Морса-Смейла. При переходе через такую границу сложная структура возникает сразу - взрывом, поэтому совокупность всех соответствующих бифуркационных явлений получила наименование гомоклинического Q-взрыва. В дальнейшем, эти явления были более детально изучены в ряде работ Ньюхауса. Пэлиса. Такен-са, Стенькина и Шильникова (см., например, [101. 104. 48]). Важность систем второго класса проявляется в том. что они могут разделять системы с гиперболической структурой и системы со сложным хаотическим поведением траекторий.4 Системы с гомоклиническими касаниями третьего класса являются своеобразными индикаторами сложности: они показывают, что не только сама система, но все близкие, имеют чрезвычайно сложную динамику. Так, в [14] было показано, что здесь еще до момента первого касания (у таких диффеоморфизмов как на рис. 0.3d)) уже имеет место сложная структура.

В-третьих, в [14] были изучены основные бифуркации периодических траекторий в рамках общих (трансверсальных) однопараметри-ческих семейств (где fi - параметр расщепления инвариантных многообразий IVs (О) и IVй(О) относительно некоторой точки гомоклинического касания). Основной результат в этом направлении - это

Теорема о каскаде периодических стоков": в любом общем (транс-версалъном) семействе существует последовательность непересекающихся интервалов 5 k значений параметра //, которые накапливаются к ji = 0 при к —> оо, таких, что при р, £ 8k диффеоморфизм /ц имеет периодическую асимптотически устойчивую периодическую траекторию (периода к).

Наконец, отметим еще одну важную особенность диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями, обнаруженную в [14]. Она касается диффеоморфизмов третьего класса и состоит в том, что на би

4 Например, бифуркационные значения параметров, отвечающие гомоклиническим касаниям второго класса являются "последними" при рождении "полной" подковы Смейла, а также при возникновении гиперболической структуры в отображении Эно [59, 70, 83]. Также кажется, что системы с такого типа гомоклиническими касаниями должны лежать на границе областей Ньюхауса. фуркационных поверхностях таких систем плотны системы с негрубыми периодическими траекториями. С этим связано существование У диффеоморфизмов третьего класса Q-модулей - непрерывных инвариантов топологической эквивалентности (сопряженности) на множестве неблуждающих траекторий. Вообще, результаты о Q-модулях были доказаны позже, в [23, 24], но уже в [14] был, фактически, указан основной fi-модуль, это инвариант

Практически в одно время с работами Гаврилова и Шильникова появились также знаменитые статьи Ньюхауса [97, 98, 99] о существовании так называемых "диких гиперболических множеств" вблизи гомо-клинических касаний. Собственно, статья [97] не имеет прямого отношения к гомоклиническим касаниям. В ней приведен пример однопа-раметрического семейства диффеоморфизмов, известного как "крюк Ньюхауса", в котором гомоклинические касания не исчезают при из-^ менении параметра. Точнее, любое данное касание расщепляется монотонно вместе с параметром, но неизбежно появляются новые касания. Но пример статьи [97] был слишком специальным, чтобы его можно было бы использовать вообще для диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. В этом отношении для теории динамических систем гораздо более важной оказалась статья [99], в которой было показано, что в любой окрестности любого двумерного диффеоморфизма с гомоклиническим касанием существуют области, в которых диффеоморфизмы с гомоклиническими касаниями плотны. Такие области, как в пространстве динамических систем, так и в пространстве параметров, получили наименование областей Ньюхауса.

В работе [98] было установлено одно замечательное свойство систем областях Ньюхауса - сосуществование периодических траекторий различных типов. Применительно к случаю двумерных диффеоморфизмов оно звучит так: в областях Ньюхауса вблизи диффеоморфизма с гомоклиническим касанием в случае о < 1 плотны диффеоморфизмы со счетным множеством устойчивых и седловых периодических траекторий (в случае а > 1 - со счетным множеством вполне

Рис. 0.4. неустойчивых). В самой работе [98] приводится многомерный результат (dim Wu(0) = l,dim Ws(0) = n, и мультипликаторы.точки О такие, что 0 < |А„| < . < |Л2| < |Ai| < 1 < |-у| и а = |Ап| < 1), но дополнительно накладываются такие условия, что полученный в [98] результат может использоваться для систем весьма специального вида (например, предполагается существования структуры типа прямого произведения и т.п.). Вообще говоря, этот результат верен и без специальных предположений, но его обоснование уже базируется на 1) доказательстве существования областей Ньюхауса в многомерном случае и 2) доказательстве существования устойчивых периодических траекторий в параметрических семействах. Обе эти задачи решены. Существование областей Ньюхауса доказано в общем случае в [25], и в многомерном случае, когда неустойчивое многообразие (для диффеоморфизмов) одномерно, в [105, 112]. Причем, в [25] существование областей Ньюхауса установлено и для трансверсальных параметрических семейств. Бифуркации рождения устойчивых периодических траекторий в трансверсальных параметрических семействахе изучались для многомерного случая в [31, 28, 70, 75], и в [28, 70] были даны критерии существования устойчивых периодических траекторий. Отметим также, что в [32, 24] были найдены условия существования счетного множества устойчивых периодических траекторий непосредственно у систем с гомоклиническими касаниями: эти условия оказались связанными с арифметическими свойствами основных инвариантов, fi-модулей, негрубой гомоклинической структуры, и одним из таких модулей был инвариант в.

Вообще, существование модулей топологической сопряженности у систем с простой динамикой обнаружил Пэлис [106]. Он показал, что такими модулями обладают уже двумерные диффеоморфизмы с негрубой гетероклинической траекторией, в точках которой которых инвариантные многообразия двух разных седловых неподвижных точек имеют одностороннее касание. Пусть д - такой диффеоморфизм (класса Сг,г > 2), имеющий две грубые седловые неподвижные точки О\ и О2 с собственными значениями AS,7S такими, что |AS| < 1 < |7s|,s = 1,2; кроме того И/м(02) имеет одностороннее касание с PT/s(Oi) в точках некоторой гетероклинической траектории Г21 (рис. 0.4). Пэлис доказал в [106], что инвариант

1п[А2| 1п I711 является модулем локальной топологической сопряженности диффеоморфизмов с гетероклиническим касанием. Другими словами, если д и д' - два диффеоморфизма с гетероклиническими касаниями, то у и д' могут быть локально сопряжены только в том случае, когда

1п1А2|= 1п|А'2| ln|7i| ln|7i|'

Модули топологической сопряженности многомерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими траекториями были установлены в работе [100], где, в частности, были рассмотрены также случаи, когда седловые неподвижные точки являются седло-фокусами (в этих случаях помимо а модулями являются также угловые аргументы комплексных ведущих мультипликаторов). После [106] вообще появилась целая серии работ по модулям, см., например, [91, 92, 93, 94, 95], опять же для систем с простой динамикой, в которых рассматривались уже не только необходимые, но также и достаточные условия для существования топологической сопряженности.

Если говорить о системах с простой динамикой, имеющих только гетероклинические касания, то модули в них проявляются, по большей степени, как некоторые "препятствия" к построению сопрягающих гомеоморфизмов. В случае гомоклинических касаний или негрубых гетероклиннческих контуров, т.е. когда помимо того, что И "(02) имеет касание с IVs(Оi), еще и TFu(Oi) пересекается с И'л'(02), появление модулей представляется более естественным из-за возможности существования сложной динамики. Также естественно существование модулей топологической эквивалентности в случае векторных полей, имеющих петлю состояния равновесия типа седло-фокус (рис. 0.5). Явление всюду плотной ft-негрубости на бифуркационных поверхностях таких систем было открыто в работе [54] для случая трехмерных (в [57] также и многомерных) векторных полей. В этом случае поле X имеет состояние равновесия О с характеристическими корнями у12 = —= 6, где а > 0,w > 0,6 > 0, неустойчивая сепаратриса которого (одна из компонент в И/г<(0)\0) ложится на И7,4(О), образуя гомоклиническую петлю Г. Как показано в [54], структура множества Я траекторий, целиком лежащих в малой окрестности V = V(0 U Г), существенно зависит от значений инварианта Шильникова а р=ь

Так, если 0 < р < 1, то J\f имеет сложную структуру, которая, кроме того, меняется непрерывно при изменении значения инварианта р. Если же р > 1, то j\f = {О, Г}, но сложную структуру, также непрерывно зависящую от /?, имеет множество полутраекторий, ^'-предельных к Г. И опять, только в 80-х, Афраймович и Ильяшенко [б] (а также Тогава [124] в случае 0 < р < 1) показали, что р является модулем топологической экивалентности (но не О-?). Какие еще модули есть в случае седло-фокуса, неизвестно, хотя некоторые намётки имеются в [42, 43, 1].

Как мы уже отмечали, систематическое изучение Q-модулей было начато в работах [18, 23, 24], где их существование было явно доказано для случая многомерных систем с гомоклиническими касаниями. Также в [72] был рассмотрен случай гомоклинического касания к неподвижной точке типа седло-фокус с двумя парами комплексно-сопряженных мультипликаторов (т.н. случай (2,2)). В случае двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами модули изучались в работах [37, 27, 20, 71], причем в последних двух были рассмотрены двумерные симплектические отображения. В работах [28, 70, 74] были изучены бифуркации периодических траекторий в

Рис. 0.5. рамках трансверсальных параметрических семейств, проходящих через многомерную систему с простым гомоклиническим касанием. Наиболее интересные результаты здесь были получены в случае, когда седловая неподвижная точка, у которой есть гомоклпническое касание. является седло-фокусом, т.е. она имеет комплексно-сопряженные ведущие мультипликаторы. В этих случаях, как показано в [28, 71], комплексные (угловые) аргументы ведущих мультипликаторов являются Q-модулями, и такие модули были рассмотрены, наряду с параметром расщепления, в качестве управляющих параметров.'* Основные результаты по исследованию бифуркаций были анонсированы в [28], а доказательства для базовых случаев (без неведущих мультипликаторов) были приведены в [28, 70. 30. 75].

Еще одно интересное направление в исследовании гомоклинических бифуркаций это изучение бифуркаций в рамках параметрических семейств, которые не расщепляют исходное гомоклпническое или ге-тероклиническое касание. В этих случаях О-модули. вообще, стано

1акои подход был реализован также при исследовании бифуркаций четырехмерных симплектических диффеоморфизмов. имеющих гомоклпническое касание к седло-фокусу. Основные бифуркации, в рамках двух параметрических' трансверсальных семейств, были изучены в [78]. где было показано, что на плоскости параметров существует счетное множество областей, отвечающих существованию у диффеоморфизма эллиптической периодической точки общего типа (т.е. точек с мультпликаторами е^""1, (?±""2, где 0 < u>i,W2 < тг.«>j Ф и выполнены некоторые условия общего положения). В свою очередь, это позволило установить, что уже на бифуркационной поверхности таких систем (четырехмерных симплектических диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к седло-фокусу) плотны диффеоморфизмы со счетным множеством эллиптических периодических точек общего типа. вятся естественными управляющими параметрами. Бифуркации в семействах, где Q-модули являются параметрами были рассмотрены в [32, 24, 80, 47] - для случая систем с гомоклиническими касаниями; в [26, 68, 37, 27] - для случая двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами (в [20, 71] был рассмотрены симплек-тические диффеоморфизмы); в [42, 43, 65, 1] - для случая векторных полей с гомоклиническими петлями седло-фокусов. Среди результатов здесь можно отметить следующие: связь динамики с арифметическими свойствами основных Q-модулей (например, как показано в [32, 27], счетное множество (двухобходных) устойчивых периодических траекторий у диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями или негрубыми гетероклиническими контурами существует тогда, когда два основных инварианта 9 и т (см. § 2.3, где определено т) являются иррациональными числами экспоненциально хорошо приближаемыми рациональными дробями); плотность значений двух Г?-модулей (опять же б1 и г в случае гомоклиничес'кого касания), при которых система имеет двукратно вырожденную периодическую траекторию [80, 47, 1] (с мультипликатором +1 или —1 и равной нулю первой и отличной от нуля второй ляпуновскими величиными); плотность значений Q-модулей, при которых существуют вторичные гомоклинические касания [22, 66]. Последний результат следует особо отметить, поскольку он дает путь к построению, путем использования гладких локализованных добавков, систем со счетным множством новых гомоклинических касаний, а тем самым приводит к принципиально важному результату: на бифуркационной поверхности систем (третьего.класса) с гомоклиническим касанием плотны системы со счетным множеством fi-модулей [24, 66, 70]. А это, a priori, означает, что гомоклинические бифуркации могут приводить к бесконечным вырождениям. Соответствующие результаты были установлены в [22, 66, 70, 21]. где было, в частности, показано, что в областях Ньюхауса плотны системы с периодическими траекториями и гомоклиническими касаниями любого порядка вырождения.

Что касается бифуркаций негрубых гетероклинических контуров, то, как кажется, они не представляли специального интереса, вплоть до появления работ [68, 126, 27], так как неявно предполагалось, что бифуркации эти в некотором смысле аналогичны ,1roMoiwHiHiriecKiiMv, и новых динамических эффектов здесь не следует ожидать. В указанных работах было обнаружено существование, у двумерных диффеоморфизмов, областей Ньюхауса со смешанной динамикой. Под этим термином понимаются области Ньюхауса, в которых 1) плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых. устойчивых и вполне неустойчивых периодических траекторий (т.е. грубых траекторий всех типов); 2) замыкания этих счетных множеств траекторий пересекаются (и типично, когда это пересечение содержит нетривиальные гиперболические множества).

Научная новизна.

Если говорить о новых научных результатах, то их можно условно разбить на две группы. Первую группу составляют результаты, которые обобщают (так или иначе, а в основном переносят на многомерный случай) ранее известные. Вторую группу составляют те результаты, которые носят принципиально новый и характер, и ранее в теории динамических систем не были извесны.

К первой группе можно отнести следующие результаты.

1) Распространение классификации динамических систем с гомоклиническими касаниями, данной Гавриловым и Шильниковым в [14] для случая двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков), на общий многомерный случай. При этом, классификация идет по тому же типу: выделяется три класса систем — с простой динамикой (первый класс), с полным описанием (второй класс), со смешанным описанием (третий класс).

2) Установление гиперболических свойств многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями: выделение нетривиальных неравномерно гиперболических подмножеств и описание их структуры посредством символической динамики. Здесь используются и обобщаются разработанные в [55,14, 34, 27] методы построения гиперболических подмножеств, основанные на методе краевой задачи и принципе Банаха для последовательности седловых отображений, записанных в так называемом перекрестном виде [55].

3) Нахождение основной нормальной формы многомерного отображения в окрестности седловой неподвижной точки. Разные варианты были представлены ранее в [23, 24, 117]. В диссертации изложен самый общий (конечномерный) вариант.

Вторая группа новых результатов связана с новыми динамическими явлениями, которые ранее (до работ автора и его соавторов Тураева и Шильникова) в теории динамических систем не отмечались.

1) Теория Q-модулей систем с гомоклиническими касаниями и с негрубыми гетероклиническими контурами. В случае гомоклинических касаний модули топологической сопряженности изучались в наших работах [32, 24], а также в [110, 111]; а 11-модули были введены в [18, 19] и изучались в [24, 36, 28, 37, 72, 78].

2) Структура бифуркаций многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями, в особенности в случаях, когда неподвижная точка, многообразия которой имеют касание, является седло-фокусом. В этих случаях, в параметрических семейств, в которых в качестве параметров, помимо параметра расщепления, рассматриваются основные ^-модули, наблюдаются бифуркации, связанные с появлением как периодических траекторий с одним двумя и даже с тремя мультипликаторами на единичной окружности, так и инвариантных торов и даже странных аттракторов (последние, например, возникают в потоковых нормальных формах отображений вблизи неподвижных точек с мультипликаторами (1,-1,-1) или (—1,-1,-1) [116]).

3) Новые квадратичные "гомоклинические" отображения. В [28, 70, 30, 74] было показано, что отображения первого возвращения могут быть приведены с помощью гладких замен переменных и параметров к отображениям, которые асимптотически близки (когда время возвращения стремится к бесконечности) к стандартным квадратичным отображениям одного из следующих видов: a) отображение параболы у = М\ — у2; b) отображение Эно х = у, у = М\ — Мух — у2; c) отображение Мира х = у, у = Mi — М2У — d) трехмерное отображение Эно х = у, y = z, z = Mi - М2х - Mzz - i/2; е) обобщенное отображение Эно х = у, у = Mi - М2х - у2 + sixy + £21/3; где М\,М2,М% - параметры, £\,£% - некоторые малые коэффициенты. Заметим, что первое отображение является "универсальным", так как может быть найдено вблизи любой системы с простым квадратичным гомоклиническим касанием [25], тогда как отображения Ь)-е) возможны только в случаях седло-фокусов. Обобщенное отображение Эно было выведено в [73, 33, 79] для некоторых случаев гомоклини-ческих касаний коразмерности два, и в [69] для случая негрубого ге-тероклинического контура; отображение Мира было найдено также в [128] для некоторого случая трехмерных диффеоморфизмов имеющих вырожденное гомоклиническое касание. Из перечисленных отображений, отображения а),Ь) и с) достаточно хорошо известны и изучены, тогда как d) и е) еще нуждаются в более детальном изучении.

4) Установление новых динамических явлений в областях Ньюхауса. Наиболее популярное свойство динамики систем из областей Ньюхауса, открытое в [98], это сосуществование счетного множества седловых и счетного множества устойчивых периодических траекторий. Оно характерно для областей Ньюхауса вблизи диффеоморфизмов, имеющих гомоклиническое касание многообразий седловой неподвижной точки в случае, когда неустойчивое многообразие одномерно и сед-ловая величина меньше единицы. Как мы установили, [28. 70, 74], в общем многомерном случае существуют области Ньюхауса, в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество грубых периодических траекторий трех или четырех разных типов, а также периодические траектории с двумя или даже тремя мультипликаторами, равными по модулю единице.

5) Доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, т.е. таких областей, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность. В [68, 27] было показано, что такие области Ньюхауса существуют вблизи двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами в случае "знакопеременной дивергенции" (т.е. когда контур содержит две седловые точки такие, что седловая величина одной больше единицы, а другой - меньше единицы). б) Установлено, что в областях Ньюхауса, существующих вблизи двумерных Сг-гладких диффеоморфизмов с квадратичными гомоклиническими касаниями, плотны, в Сг-топологии для любого г < оо, диффеоморфизмы, имеющие бесконечно вырожденные периодические и гомоклинические траектории.5

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 128 наименований.

1. Алексеева С.В., ПГильников Л.П. " О бифуркациях периодических движений в системах с гомоклинической петлей седло-фокуса".-Дифференциальные уравнения, 1997, 33, No.4, с. 440-447.

2. Динамические системы-9 (ред. Д.В.Аносов). Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. напрдвлениея, 1985, т.66

3. Аносов Д.В. "Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция".- в кн. Маематические события XX века. М.: ФАЗИС, 2003, с.1-18.

4. Арнольд В.И."Математические методы классической механики".- М.: Наука, 1974.

5. Арнольд В.И.,Козлов В.В.,Нейштадт А.И. "Математические аспекты классической и небесной механики".- Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. направлениея, 1985, т.З.

6. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., ПГильников Л.П. "Теория бифуркаций".- Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. направления. 1986. Т.5. С.5-218.

7. Афраймович B.C., Шильников Л.П. "Об особых множествах систем Морса-Смейла'.- Тр. ММО, 1973, 28, с. 181-214.

8. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. "О возникновении и структуре аттракторов Лоренца".- ДАН СССР, 1977, 234, No.2, с.336-339.

9. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. "О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца".- Тр. ММО, 1982, 44, с.150-212.

10. Бирагов B.C. "О бифуркациях в двухпараметрическом семействе консервативных отображений, близких к отображению Эно".-Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1987, с.10-24.

11. Быков В.В., Шильников А.Л. "О границах области существования аттрактора Лоренца"- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1989, с.151-159.

12. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. "О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой".- I) Матем. сб., 1972, 88, No.4, с.475-492; II) Матем. сб., 1973, 90, No.l, с.139-157.

13. Гаврилов Н.К. "О трехмерных динамических системах, имеющих негрубый гомоклинический контур".- Математические заметки, 1973, 14, No.5, с.687-696.

14. В.С.Гонченко "О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием многообразий "нейтрального седла".- тр. МИАН, 2002, т.236, с.95-102.

15. В.С.Гонченко "О сосуществовании аттракторов и репеллеров в обратимых системах с дополнительной симметрией".- сб. научных статей "Математика и кибернетика 2003", Нижний Новгород, 2003, с.98-100.

16. С.В.Гонченко "Модули систем с негрубыми гомоклиническими траекториями (случаи диффеоморфизмов и векторных полей)".-в кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций". Горький, 1989, с. 34-49.

17. С.В.Гонченко "К вопросу об условиях сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией".- в кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций". Горький, 1990, с. 5-19.

18. С.В.Гонченко, Л.П.Шильников "О двумерных аналитических сохраняющих площадь диффеоморфизмах со счетным множеством эллиптических устойчивых периодических точек"Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т.2, No. 3, с. 106-123.

19. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса".- Труды Межд. конф., посвященной 90-летию Л.С.Понтрягина, ВИНИТИ, 1999, с. 67-129

20. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1991, с.36-61.

21. Гонченко С.В., Шильников Л.И. "Инварианты Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией".-Укр. мат. журн., 1990, 42, No.2, с. 153-159.

22. Гонченко С.В., Шильников Л.П. "О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- Изв.Росс.Акад.Наук, серия матем., 1992, 56, No.6, с. 1165-1196.

23. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай)".- Докл. Росс.Акад.Наук, 1993, 329, No.4, с.404-407.

24. С.В.Гонченко, Л.П.Шильников "О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с негрубым гомоклиническим контуром".- Успехи Мат. Наук,, 1995, т.50, вып.4.

25. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмлов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром".- Труды МИАН, 1997, т.216, с.7-118.

26. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре",- Докл. Росс. Акад. Наук, 1993, 330, No.2, с. 144-147. '

27. С.В.Гонченко, Л.П.Шильников "О двумерных сохраняющих площадь отображениях с гомоклиническими касаниями".- Доклады Академии Наук, 2001, т.378, No.6, с.727-732.

28. Гонченко С.В. "Гомоклинические касания, О-модули и бифуркации",- Труды МИАН, 2002, 236 .

29. Гонченко С.В. "Об устойчивых периодических движениях систем, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой".-Матем. заметки, 1983, 33, No.5, с. 745-755.

30. Гонченко С.В., Шильников Л.П. "Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической траекторией",- Укр. мат. журнал, 1987, 39, No.l, с.21-28.

31. Гонченко С.В.,Гонченко B.C. "О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями".- труды МИАН, 2004, т.244.

32. Гонченко С.В. "Нетривиальные гиперболические подмножества • систем с негрубой гомоклинической кривох! ".- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тема-тич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1984, с.89-102.

33. Гонченко С.В., Шильников Л.П. "О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми".- ДАН СССР, 1986, 286, No.5, с. 1049 -1053.

34. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. "О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре".- ДАН СССР, 1991, 320, No.2, с.269-272.

35. Гонченко С.В. "Модули Q-сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром".- Матем. сб., 1996, 187, No.9, с.3-25.

36. Касселс Д.В.С. "Введение в теорию диофантовых приближений".- М.: ИЛ, 1961.

37. Лерман Л.М., Шильников Л.П. "Гомоклинические структуры в бесконечномерных системах".- Сиб. матем. журн., 1988, 28, No.3, с.408-417.

38. Малкин М.И. "Кусочно-линейные модели для отображений ло-ренцевского типа".- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. унт, Горький, 1987, с.148-161.

39. Мозер Ю."Лекции о гамильтоновых системах".- М.: Мир, 1973.

40. Овсянников И.М., Шильников Л.П. "О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса".- Матем. сб., 1986, 172, No. 4., с.552-570.

41. Овсянников И.М., Шильников Л.П. "Системы с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос".- Матем. сб., 1991, 182, No. 7., с.1043-1073.

42. А.Пуанкаре "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики", в кн.: А.Пуанкаре. Избранные труды, т.2, М.: Наука, 1972.

43. Пуанкаре А. "Новые методы небесной механики".- в кн. "Избранные труды", М.: Наука, Т.1, 1971; Т.2, 1972; Т.З, 1974.

44. Шильников Л.П. "Теория бифуркаций и турбулентность Г'.- Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Меж-вуз. тематич. сб.науч.тр.; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1986, с.150-164.

45. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. "Strange attractors and quasi-attractors".- In "Nonlinear Dynamics and Turbulence", ed. G.I.Barenblatt, G.Ioss and D.D.Joseph; Pitman, New York, 1983, pp.1-28.

46. G.D.Birkhoff "Nouvelles recherche sur les systemes dynamiques".-Memoire Pont. Acad. Sci. Novi. Lancaei, 1935, v.53, pp.85-216.

47. T.Downarrowicz, S.Newhouse, Symbolic extensions and smooth dynamical systems, preprint (2002): http:\\www.mth.msu.edu\ ~sen\ Papers\Symbolic\SymbolicExtensions.pdf.

48. Devaney R.L. "Homoclinic orbits in Hamiltonian systems".-J.Diff.Eqns., 1978, 21, pp.431-439.

49. Duarte P. "Plenty of elliptic islans for the standard family of area preserving maps".- Ann.Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire 11, 1994, No.4, pp.359-409.

50. Duarte P. "Persistent homoclinic tangencies for conservative maps near the indentity".- Ergod. Th. and Dyn. Sys., 2000, 20, No.2, pp.393-438.

51. P.Gaspard, S.V.Gonchenko, G.Nicolis, D.V.Turaev "Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus".- Non-linearity, 1997, 10, No.2, pp.409-423.

52. Gonchenko, S.V., Shil'nikov, L.P., Turaev, D.V. "On models with non-rough Poincare homoclinic curves", Physica D 62, Nos.1-4, pp.l-14.

53. S.V.Gonchenko, L.P.Shil'nikov "On geometrical properties of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies".-Int.Journal of Bifurcation and Chaos, 1995, V. 5, No. 3, pp. 819-829.

54. S.V.Gonchenko, L.P.Shil'nikov, D.V.Turaev "Bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with non-rough homoclinic contours".-J.Techn.Phys., 1996, v.37, Nos. 3-4, pp.349-352.

55. Gonchenko S.V. "Dynamics and moduli of П-conjugacy of 4D-diffeomorphisms with a structurally unstable homoclinic orbit to a saddle-focus fixed point".- Amer.Transl.Math., 2000, 200, No.2, pp.107-134.

56. Gonchenko S.V., Gonchenko V.S. "On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies".-Preprint No.556, WIAS,Berlin, 2000.

57. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. "Infinitely many elliptic periodic orbits in four-dimensional symplectic maps with a homoclinic tangency".- Preprint No.791, WIAS,Berlin, 2002.

58. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. "On dynamical properties of diffeomoephisms with homoclinic tangencies".- Preprint No.795, WIAS,Berlin, 2002.

59. Gonchenko, S.V., Shilnikov, L.P., Turaev, D.V. "Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits", CHAOS, 1996, 6, No.l, pp.15-31.

60. Gonchenko, S.V., Shilnikov, L.P., Turaev, D.V. "Quasiattractors and homoclinic tangencies".- Computers Math. Applic., 1997, Nos.2-4, pp.195-227.

61. S.V.Gonchenko, L.P.Shilnikov, D.V.Turaev "Elliptic periodic orbits near a homoclinic tangency in four-dimensional symplectic maps and Hamiltonian systems with three degrees of freedom".- Regular and Chaotic Dynamics, 1998, v. 3, No. 4, pp. 3-26.

62. Gonchenko S.V., Sten'kin O.V., Turaev D.V. "Complexity of homoclinic bifurcations and Q-moduli".- Int. J. "Bifurcation and Chaos", 1996, 6 , No.6, pp.969-989.

63. S.V.Gonchenko, L.P.Shilnikov "On two-dimensional area-preserving maps with homoclinic tangencies that have infinitely many generic elliptic periodic points".- Записки научных семинаров ПОМИ, 2003, т.300, с. 155-166.

64. Guckenheimer J., Williams R.F. "Structural stability of Lorenz attractors".- Publ.Math.IHES, 1979, 50, pp. 59-72.

65. Guckenheimer J., Holmes P. "Non-linear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields", 1983, Springer-Verlag,New York.

66. Hirsch M.W., Pugh C.C., Shub M. "Invariant manifolds".- Lecture Notes in Math., vol.583, Springer-Verlag, Berlin, 1977.

67. Kaloshin V. "Generic diffeomorphisms with superexponential growth of number of periodic orbits".- Commun. Math. Phys., 2000, v.211, pp.253-271.

68. Kuznetsov Yu.A. "Elements of applied bifurcation theory"Springer-Verlag New York, Inc., 1995.

69. Lai Y-C, Grebogi C., Yorke J.A., Kan I. "How often are chaotic saddles nonhyperbolic?".- Nonlinearit.y, 1993, v.6, pp.779-797.

70. Lancaster P. "Theory of matrices".- Academic Press, New York and London, 1969.

71. Lerman L.M. "Complex dynamics and bifurcations in a Hamiltoni-an system having a transversal homoclinic orbit to a saddle-focus" .CHAOS, 1991, 1, No.2, pp. 174-180.

72. Lerman L.M., Shilnikov L.P. "Homoclinic structures in nonau-tonomous systems: Nonautonomous chaos".- Chaos, 1992, 2, pp.447454.

73. Van Strien S.J. "Bifurcations near saddle-connections".- 1982, PhD-thesis, Groningen.

74. Moser J. "The analitic invariants of an area-preserving mapping near a hyperbolic fixed point" .- Comm. of Pure and Appl.Math., 1956, IX, pp.673-692.

75. Newhouse, S.E. "Non-density of Axiom A(a) on S2".- Proc. A.M.S. Symp. Pure Math., 1969, 14, pp.191-202.

76. Newhouse, S.E. "Diffeomorphisms with infinitely many sinks".-Topology, 1974, 13, pp.9-18.

77. Newhouse, S.E. "The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms".- Publ.Math.IHES, 1979, 50, pp.101-151.

78. Newhouse S.E., Palis J., Takens F. "Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms".- Publ.Math.Inst. Haute Etudes Scien-tifiques, 1983, 57, p.5-72.

79. Romero N. "Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions".- Ergod. Th. and Dyn.Sys., 1995, 15, pp.735-757.

80. Riissman H. "Kleine Nenner I, Uber invariante Kurven differen-zierbarer Abbildungen eines Kreisrings".- Nachr. Akad. Wiss. Gott., Math. Phys. Kl. II, 1970, pp. 67-105.

81. Shilnikov L.P. "Multidimensional Hamiltonian chaos".- CHAOS, 1991, 1, No.2, pp. 134-136.

82. Shil'nikov L.P. "Chua's circuit: rigorous results and future problems".- Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1994, 4, No.3, pp.489519.

83. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P. and Turaev D.V. "Normal forms and Lorenz attractors".- Int. J. Bifurcations and Chaos, 1994, 1, No.4, pp.1123-1139.

84. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. "Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part I".- World Scientific, 1998.

85. Shilnikov L.P, Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. "Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part II".- World Scientific, 2002.

86. Smale S. "A structurally stable differentiable homeoomorphism with an infinite number of periodic points".- В кн.: Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям, т.2, Киев, 1963, с.365-366.

87. Smale S. "Diffeomorphisms with many periodic points".- Diff. and Comb. Topology, Princeton Univ. Press (1965), pp.63-80.

88. Smale S. "Structurally stable systems are not dense" .- Am. J. Math., 1966, 88, pp.491-496.

89. Takens F. "Hamiltonian systems: generic properties of closed orbits and local perturbations".- Math. Ann., 1970, 188, pp.304-312.

90. Takens F. "Homoclinic points in conservative systems".- Invent. Math., 1972, 18, pp.267-292. Русский перевод: "Гомоклииические точки в консервативных системах".- в кн. "Гладкие динамические системы".- М.: Мир, 1977.]

91. Togawa Y. A modulus of 3-dimensional vector fields // Dynamical System and Ergodic Theory. 1987. V.7. P. 295-303.

92. Treschev D.V. "Closures of asymptotic curves in a two-dimensional symplectic map".- J. Dynam. Contr. Syst., 1998, v.4, No.2, pp.217226.

93. Turaev D.V. "On dimension of non-local bifurcational problems".-Int.Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, 6, No.5, pp.919-948.

94. Tedeshini-Lalli L., Yorke J.A. "How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks?"- Comm.Math.Phys., 1995, 106, pp.635-657.

95. Tatjer J.C. "Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies".- Ergod. Th. and Dyn. Sys., 2001, 21, 249-302.