Бифуркации сепаратрисных контуров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

рге од На правах рукописи

з .;; ■ •

ШАШКОВ Михаил Всеволодович

БИФУРКАЦИИ СЕПАРАТРИСНЫХ КОНТУРОВ

Специальность 01.01.02—дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук'

НИЖНИЙ НОВГОРОД, 1994

Работа выполнена в НИИ Прикладной Математики и Кибернетики при Нижегородском государственном университете.

Научный руководитель—кандидат физико-математических наук, доцент Шильников Л. П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Розов Н. X.; кандидат физико-математических наук, додент Гринес В. 3.

Ведущая организация—Ярославский государственный университет.

нии специализированного совета К 063.7701 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского по адресу: Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского госуииверситета.

Автореферат разослан < ^^ » ¿Амр&^Ч 1994 г.

Защита состоится

> июня

Ученый секретарь специализированного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

В. И. Лукьянов,

1. ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

актуальность теш исследования. Как известно, основы теории бифуркаций были заложены в трудах А.Пуанкаре и A.M. Ляпунова. Здесь прежде всего имеется в виду задача о фигурах равновесия вращавшейся падкости, метод малого параметра, исследование критических' случаев, теория-"линейных рядов" и др.. Дальнейший существенный вклад в теорию бифуркаций динамических систем был сделан А.А.Андроновым и Л, С. Понтрягиным введением в 1937 г. понятия грубсот динамической системы. Именно с этого времени теория бифуркаций получила свой адекватный математический фундамент, в основе которого лежит понятие топологической эквивалентности. В те re годы А. А.Андроновым и Е.А. Леонтович были изучены все основные бифуркации предельных циклов двумерных динамических систем и выделены системы первой степени нэгрубосги. Дальнейшее развитие теории бифуркаций пошло как по пути исследования бифуркаций более высокой коразмерности для двумерных систем Свклпчая потоки на поверхностях), гак и по пути исследования бифуркаций многомерных динамических систем.

В настоящее время все бифуркации принято делить на три группы.

1.Бифуркации, в классе систем с простой динамикой, т.е. Н9 зыводясше из класса систем Морса-Смейла.

2. Бифуркации, лереводяаде из класса систем Морса-Смейла в класс систем со счетным множеством периодических движений, т.е. х системам со сложной динамикой.

3. Бифуркации в классе систем со сложной динамикой.

При исследовании бифуркаций первой группы обычно ставится классическая задача, которая состоит: 1) в разбиении пространства параметров на области грубости и выделении бифуркационного

Ж&шпа; 2) в разбиений бифуркационного множества на связанные компоненты, отвечающие одинаковым фазовым портретам (в .смысле топологической эквивалентности). В этом направлении принципиально, нова» явилось открытие Паласом [Palis . 1978] непрерывных топологических инвариантов динамических систем - модулей.

Бифуркации второй группы интересны прежде всего тем, что они • позволили объяснить основные сценарии перехода к хаосу, Среди бифуркаций третей группы наибольший интерес вызывает бифуркации странных аттракторов - аттракторов Лоренца и квазиаттракторов. При исследовании бифуркаций второй и третей групп в многомерных ■ задачах мы сталкиваемся с новым явлением - - существованием ,в пространстве динамических систем открытых областей, беем точкам которых отвечает негрубые системы. Например, в любой окрестности системы с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре существуют области HbDxayca [Newhouse 1979], в которых системы с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре войду плотны. Кроме того, в областях Ньвхауса плотны системы, обладавшие сколь ■ угодно вырожденными периодическими движениями (Гонченко, Тураев, ¡Пильняков 19913. Это означает, что полное исследование бифуркаций системы с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре в рамках конечно-параметрических семейств невозможно, Такая же ситуация возникает при изучении систем с гомоклинической петлей седло-фокуса в случае, когда выполнено условие Шильникова I1965], .поскольку в любой окрестности такой динамической системы существуют системы с негрубой гомоклинической.-петлей-Пуанкаре— (Овсянников, Шильников 19861..

Представляется актуальным исследование динамических систем, которые содержат гетерошнический контур, составленный из двух седловых состояний, равновесия и двух соединяющих их гетероклинических траекторий. Здесь возможны два прюшшалъно различных случая. К первому случав относятся системы с

гетероклиническиыи контурами, содержащими состояния равновесия разного топологического типа. Ко второму случаи относятся системы, содержащие гетероклинический контур, составленный из седловых состояния равновесия одинакового топологического типа. В обоих случаях возможны два типа бифуркаций: бифуркации в классе систем Морса-Сиейла и бифуркации в классе систем со сложной динамикой.

Цель работы. Исследование поведения траекторий и структуры бифуркационных множеств систем с простой динагакой, содержащих гетероклинический контур составленный из двух седловых состояний равновесия • одинакового топологического типа и двух структурно-неустойчивых гетероклинических траекторий.

Методы исследований. Исследования проводились методами качественной теории динамических систем., теории бифуркаций и символической динамики.

Научная новизна. Выделено тр!Г класса динамических систем, бифуркации которых удается описать в рамках двухпараметрических семейств дифференциальных уравнений. В первый класс входят системы, содержащие гетероклинический контур с двумя состояниями равновесия типа седло (рис.2.1). Системы второго класса содержат гетероклинический контур с двумя состояниями равновесия типа седло-фокус (рис.2.23. В третий класс входят системы, гетероклинический контур которых • содержит одно состояние равновесия типа седло и одно - типа седло-фокус (рис.2.3). Для всех трех классов систем построены бифуркационные диаграммы. Кроме того, в работе получен ряд вспомогательных результатов, среди которых самостоятельное значение имеют георемы 2.1 я 2.2 о существовании гладких инвариантных многообразий. Эти теоремы позволяет сводить многие вопросы качественной теории динамических систем к соответствуем вопросам для систеы меньшей размерности. Полученные результаты является новыми.

Практическое и теоретическое значение. Полученные результата могут быть использованы как при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в теории распределенных систем. В частности, изученные гетероклшшческие контура возникает при исследовании уравнений реакции-дийугчи, уравнений тгНидЬ-^адшо, цепей СЬиа.

Апробация работы, Результаты работа докладывались. на ряда

научных конференций и семинаров.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы., Изложение начинается с краткого обзора, точной постановки задачи - л формул"ровки основных, результатов. Глава'1 носит вспомогательный характер. Она содержит промежуточные результаты. В частности, в ней доказывается теоремы 2.1 и 2.2 о существовании гладких - инвариантных многообразий.. Глава II посвящена доказательству основных теорем 2.3, 2.4 и 2.5 о бифуркационных множествах. Завершает работу список цитированной литературы. Объем работы 134 страниц, библиография - 68 названий.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим С -гладкуь динамическую систему 10, заданную на гладком (п+й>мерном многообразии. Пусть система Х0 имеет два седловык состояния равновесия 0, и 0? с п-мерными устойчивыми

Ск^ и Ур и мерными неустойчивыми П/^ и Ур многообразиями. Траектории, принадлежащие многообразиям и ^ С1=1,2), будем называть . сепаратрисами. Предположим, что Х0 имеет гетероклинический контур Г, составленный из состояний равновесия 01 , 0г и структурно неустойчивых гетероклинических сепаратрис Г, с л ¡^ и Г? с ^ л (рис.2.1-2.3). Представляет интерес вопрос о возможном поведении траекторий возмущенной системы, которые целиком содержатся в малой . окрестности контура Г. При этом могут происходить различные бифуркации приводяаие к системам со сложной (хаотической) динамикой. Так, например, при сколь .угодно малом.'- возмущении системы Х0, , могут возникать гомоклинические петли седел О( и Ог Если хотя бы в одном из состояний . равновесия ближайший к мнимой ' оси ■ корень характеристического уравнения имеет ненулевуо мнимую часть (выполнено условие Шильникова [1965)), у системы в окрестности контура Г образуется сложные множества траекторий: счетное число периодических движений; континуум устойчивых по Пуассону траекторий*, . бесконечно-вырожденные периодические и гомоклинические траектории и другие. Здесь мы рассмотрим широкие классы систем с простой динамикой. При бифуркациях этих систем в окрестности контура Г будет возникать не более двух периодических движений, тем не менее характер бифуркаций, связанных с образованием многообходных ' гетероклинических траекторий, оказывается весьма нетривиальным.

В пространстве (Г-глаяких динамических систем системы, содержащие гетероклинический контур Г, образуют многообразие Р коразмерности два. Для описания возможных бифуркаций систем Х0 естественно рассмотреть в пространстве (Г-гладких динамических систем бифуркации двухпараметрического семейства Будем

считать, что:

А) Векторное поле X гладко зависит от параметра

¿1 = е I? и при ^ = 0 совладает с векторным полем Х0,

(Под гладкой зависимости С'-гладкого векторного поля Х^ от параметра у мы будем понимать следуюцее. Пусть динамическая система X задана уравнением X = тогда вектор-функция

Г(Х,у) является ¿Г-гладкой функцией по совокупности переменных.) В) Семейство Х^ трансверсально многообразно Р. Далее мы наложим ограничения на Х0 такие, что семейство Х^ будет описывать все возможные бифуркации систем близких к системе Ха 1 Мы ограничимся рассмотрением таких систем Хр, у которых корни х" ,..., к* , х{ , . Г* характеристического уравнения

системы Х0 в точке О, а~1,2) удовлетворяют одному из следусашх условий:

1 .Не X" <•••< Не X* < х[ < 0 < у\ < & У? & у* . а. х| = + ц, х^ = с(, - ¿ш4, и,) о,

Ке X" <• ••< й? х; < < О < г\ < йе г*, Й А ■ В первом случае состояние равновесия 0, будем называть седлом, во втором - седло-фокусом.8

В зависимости от типов состояний равновесия 0, и 0г динамические систеш Х0 разбивается на три класса:

1. О, в 0г - состояния равновесия типа седло (рис.2.1);

2. О, и 0г - состояния равновесия типа седло-фокус (рис. 2.2);

3. О, - состояние равновесия типа седло-фокус, а 0г - состояние равновесия типа седло (рис. 2.3).

'Заметим, что в общей случае семейство Хц не будет являться версальной деформацией [Арнольд 19721 поля Х0.

гСлучай, когда = + « ~ ^ " - и, > О, & X* <■ ■•<&? х| < х| < 0 <<*,<& у* < • < Яе г* сводится к случав 2. заменой времени I -» -I.

j

Рис. 2.3

(Заметим что некоторые бифуркации» динамических систем первого класса рассматривал Deng [19913, а некоторые бифуркации систем второго класса рассматривали Chow, Deng,и Terraan 119903. Системы третьего класса впервые рассматривается автором.) Для всех трех классов динамических, систем будем считать, что С) Сепаратрисы Г, и Г, не лежат в неведущих подмногообразиях wf к vf, Vf многообразий Vf, и V] соответственно. Обозначим через Е^'1 (i=t,2) собственное подпространство линейной части системы Х„ в окрестности точки О,, которое

Л '11

отвечает собственным значениям X.t ,..., X, , . Нетрудно видеть, что существует инвариантное относительно траекторий системы Х0 С'-гладкое многообразие Н( касательное в 'окрестности точки 0, к Е(. Кроме того известно, что сильно неустойчивое многообразие к^", размерность которого равна (ш-ij, однозначно вкладывается в инвариантное относительно траекторий системы Х0 (f"'-гладкое слоение F( на многообразии li^. Будем считать, что Ю В точках, принадлежащих траектории Г, 6 n (i,j=i,2t

многообразие К( трансверсально слоям слоеная Fy Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1, С"О существовании инвариантного отталкивающего многообразия") Пусть для системы X^eif Сг^, которая является системой первого, второго или третьего класса, выполнено условие А), а при fi=0 условия С) и D). Тогда в достаточно малой окрестности U контура Г при малых у у системы Х^ существует глобальное - ш-Ьцерное_инвариаятное С'-гладкое многообразие t „ гладко зависящее от параметра р. Многообразие является-отталкивающим в том смысле, что любые траектории системы Х^, проходящие через точки 1М , покидают окрестность U при (-»+». 1

"При m=t многообразие I совпадает со всем,фазовым пространством.

АШрфрм - 9 -

Ы всех классов динамических систем Х0 потребуем, чтобы Е) Сепаратрисные величины А, и Дг, характеризующие поведение траекторий системы в окрестности траекторий Г, и Г? соответственно, отличны от нуля. При наличии этого условия, для систем Х0 первого класса справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2. СО существовании инвариантного двумерного многообразия") Пусть для системы Х^ С г 12), которая является системой первого класса, выполнено условие А), а при условия О, 0) й Е). Тогда в достаточно малой окрестности (/ контура Г при малых ц у системы Х^ существует глобальное двумерное инвариантное С'-гладкое многообразие гладко зависящее от параметра Многообразие V является седловым в том смысле, что любые траектории системы Х^, проходящие через точки .покидают окрестность V либо при I -» либо при I -ю. *

Наложим теперь на системы первого класса Х0 условие Г> Седловые показатели у, = х| \/у] и иг = \Рв Х^/^ отличны от единицы.

Для динамических систем Хд, относящихся ко второму и к третьему классам, будем предполагать, что

б) Седловые показатели у, = и уг - строго

больае единицы.

Более того, для систем Х^ третьего класса будем считать, что 0) - г < где уг = ипрМХ^/^ йл,] >

'Многообразие является неустойчивым, если п-1, п=2,3,..., я является устойчивым, если п=?,3,.. ., п-1. Если п=л=1, то многообразие V совпадает со всем фазовым пространством.

Автре&рст - 10 -

Для динамических систем второго класса справедливо утверждение. Теорема 2.3. Пусть для системы второго класса Х^ $ (f (г>2) выполнены условия А) и В), а при ц=0 условия С), D), Е) и G). Тогда существует {/-окрестность контура Г и окрестность t е ¡? параметра р = 0 такие, что при \l € I у системы У^ в окрестности U мoxer существовать не более одного периодического движения. Бифуркационная диаграмма для семейства Х^ ииеет вид, показанный на рис.2.4. Эта диаграмма содержит следующие бифуркационные множества: L)t L?, и (к - 0,1,2,:..), которые являются графиками (^"'-гладких кривых вида , у, = h/v?), =

= h*2(fj,) и fj, = h*(C/jp соответственно. В случаг, если р е Lt (i = 1,2), то сепаратриса Г,- образует петлю седла 0t. Если ц е tfjCk = 0,1,2,..., i = 1,2, j = 1,2, i * j), то сепаратриса . Г( седла 0, делает к обходов вдоль контура и идет в седяо О,. Расположены эти ■кривые следующим образом: = 0 - линия ^ (?п, fi} = 0 - линия С^. Из точки ц = (С, 0) выходят линии Ц и Lj, которые пересекают линии и (?12 соответственно в бесконечном числе точек. Расположение бифуркационных кривых и СМ = 1,2,3,...) определяется по следующему правилу. Из точек Lf л (¡.¿ntfp, СМ = 0,1,2,...) в область, где h.C^ > h^p fh/jijJ > выходит бифуркационная кривая

СС^'Ъ, которая пересекает линию L, Cip так же в бесконечном числе точек. В области между кривыми £., и 1г система Х^ обладает единственным периодическим движением0. Если параметр "(гне-принадлежит-этой-области,не имеет периодических двигений. Отметим, что замыкания . точек пересечения

L ,ri ^ U и LjfiJ U имеют мощность континуум.

'В области, где y/hjpt,).

Рис.2.6

Для динамических систем третьего класса справедливо утверждение. Теорема 2.4. Пусть для системы третьего класса Х^ е € <т£3) выполнены условия А) и В), а при у-0 условия С), 0), Е),С) и 0). Тогда существует ¿/-окрестность контура Г и окрестность £ е 1? параметра р = 0 такие, что при ц е Е у системы Х^ в окрестности У может существовать не более одного периодического движения. В зависимости от знака сепаратрисной величины ¿^ бифуркационная диаграмма для семейства Х^ имеет вид, показанный на рис. 2.5 или рис. 2.6. Эти диаграммы содержат следующие бифуркационные множества; I,, 1?, С^, и С^ Ск = 0^,2,...), которые являются ^"'-гладкими кривыми вида = мг = Л/р^, = К/^Р

и р, & Ь^Сцр соответственно. В случае, если р € I, (I * то сепаратриса Г, образует петли седла 0,. Если р е С^ СМ = 0,1,2,..., ч = ^] - ¡,2, I * ]') , то сепаратриса Г, седла 01 делает к обходов вдоль контура: и идет в седло Расположены эти кривые следующим образом: = 0 - линия С^,, = 0- линия 4 Из точки ^ = (О, 0) выходят линии I, и .Ц Если Аг > 0, то кривая I, лежит в области, где с 2 0, а если

< 0, то кривая лежит в области, где > ^рР =0. В

случае* если с 0, хривую I, пересекают кривые С^, (к ~ 1,2,3,..,), причем расположение этих кривых подчиняется следующему правилу. Из точки л С>г = 0,1,?,..,) в область, где Ь/ур > Л^С^р выходит бифуркационная кривая С^', которая пересекает линию I. в бесконечном числе точек. Линия I.

-пересекает—линию также в бесконечном числе точек.

Расположение бифуркационных линий С\} —

определяется следующим правилом. Пусть Р = и б = Сц),0> • соседние точки пересечения бифуркационных множеств 1г я С^ такие, что у* < ^ я ва интервале еС^.ур выполнено неравенство > г 0. Тогда точки f-i.fi соединены

бифуркационной линией с!,,, которая пересекает линию в

единственной точке. "Причем; если А? < 0, то в окрестности точки Р выполнено неравенство Ь/^р > И'^цр, а в окрестности точки б неравенство Щу^ < ^/ц,.). Если Аг > 0, то в окрестности точки Р выполнено неравенство Ь/<т) с а в окрестности точки б

неравенство Л/рр > Л^/рр. Расположение бифуркационных кривых (Л = 2,3,4,.,,) определяется по индукции. Из точки пересечения. 1г п (к = 1,2,3,...) в область, да Л/нР > Ь^цр выходит бифуркационная кривая Эта кривая пересекает линии £г в единственной точке и заканчивается в точке Р, если ¿г < 0 и в точке если А? > 0. Множество точек

1г л расположенных на кривой 1г между точками Р и й,

отделено от точек Р и А на конечное расстояние. В обоих случаях (рис.2.5,2.6), в области между кривыми 11 и 1г, система Х^ •обладает единственным периодическим движением®. Если параметр ц не принадлежит этой области, то X не имеет периодических

г ■ ■

дьижений. Отметим, что замыкание точек пересечения и а

также замыкание точек и в случае когда Л/0 имеют мощность континуум.

'В области, где а р^Л/р,).

АЬторефзюп - 14 -

Для динамических.систем первого класса справедливо утверждение. Теорема 2, 5. Пусть система X. является системой первого класса для которой выполнены условия А) и В), а при ц=0 условия С), D), Е) и Ю. Более того, пусть: X elf (г>4) для случая,. когда А(А?<0 к (vfDCvfiXO; X elf Сг>Ъ для случая, когда ¿Д>0 и

г*

(vfiXvfiXO-, ХеС' (т>2), если (v,-iXvg-t)>0. Тогда существурт U-окрестность контура Г и окрестность E&R? параметра Я=0 такие, что при реЕ ,у. системы Х^ в окрестности U может существовать не более двух периодических движений в случае, если CvfiXvflXO и не более одного пера одического движения в случае, если Cvt-iXvg-i!»0. В зависимости от значений Д,, ¡L, и v,, имеет место одна из бифуркационных.диаграмм показанных на рис. 2.5-2.11. Эти . диаграммы содеркат следующие бифуркационные множества.

1. ЬЖ bJ>0, vfi, v>i, Vtvji Срис.2.5),

(PH*})

2. ¿¡>0, ^0, iyf, v?<t, vy^t (рис.2.6).

iji i-jn D.

3. A?<0, Д/0, iit>i, vfi, vpft С рис. 2.73.

c^ = L,, L,

4. Д,<0, ¿г<0, Vj>}, v/1, v^l (рис.2.8).

C^ CA = 0,1,2,...), Lv L,, D. -5^AlJ0, J/0_,j>l>l, lyi, t^tyi (рис.2.9).

Г° r° r1 /—-------

6. Ä,>0, L/.O, ufM, v/i, v^i (рис.2.10).

Ciг» сг»' L?' V 0 •

7. ¿¿О, Лг<0, toi, vv^l (рис.2.11).

r° r' I i l b~

«'г,. I-Tt' *-f> Lt» " • , .

Все бифуркационные множества является графиками Г" -гладких функций, не пересекастся и выходят из одной точки у=(0,0). Бифуркационные значения ¡¿еС^, (i,j=i,2, i*), k-0,i,€,...)

отвечает существованию у системы Х^ гетероклинической траектории (^-обходной сепаратрисной связки), которая выходит из седла 0Г делает к обходов вдоль контура к идет в седло 0 у Параметры а=1,2) отвечает существованию однообходной гококлиничесхой траектории (однообходной петли сепаратрисы) седла 01. При С 1=1,2) у системы Х^ существует двухобходная гомоклиническая траектория (двухобходная петля сепаратрисы) седла 0,. Значения меО отвечают существовании однообходного периодического движения с одним мультипликатором равным единице. При у системы Х^ существует однообходное периодическое движение с одним мультипликатором равным минус единице.

Рис.2.9

Рис.2. ГС

Рис.2.11

Рис.2.12

Рис.?. 13

АШреферм - 18 -

3. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Пашков К. В. 11989а1 "Бифуркации сепаратрйсных контуров на двумерных поверхностях" // Материалы XXVII Всесоюзной научной студенческой конференции: Математика,. Новосибирский ун-т, Новосибирск, с. 79-84.

Иаыков К.В. 11989Ы "О бифуркациях сепаратрйсных контуров на двумерных поверхностях 1" // методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз, тематич. сб. науч. тр..под ред. Шильникова, Горьковский гос. ун-т. » Горький, с.116-129. (English translated in "Selecta Mathemalica Soviética", Vol. И, N4. 1992., р.342-353. (Birichauser, Verlage, Basel))

Машков H.B. 11990а! "О бифуркациях сепаратрйсных контуров на' двумерных поверхностях 2" // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. под ред. Шильникова, Нижегор. гос. ун-т., Нижний Новгород, с.41-49. СТо be translate m "Selecta Malhematica Soviética . (Birkhauser, Verlage, Basel))

Иаиков M.B. (1990Ы "0 существовании счетного множества бифуркационных кривых в двухпараиетрическом семействе динамических систем, близких к системе с сепаратрисныи контуром" // Математическое моделирование, управление и оптимизация, Горьковский ун-т, Горький, ДЕП в ВШИТИ 28.09.90. » 5198-Б90, с. 125-132.

Иаыков И.В. [1990с J "Бифуркации сепаратрйсных контуров на двумерных поверхностях" // Нелинейные колебания механических систем: 2 Всесоюзная науч. конф.: В 2 ч. Горький, ч.1. с. 139-140.

Иамков M.B. И991 al "О существовании гладкого двумерного притягивающего многообразия у систем с сепаратрисными контурами" // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. под ред. Шильникова, Нижессшолский гос. ун-т., Нижний Новгород, с.61-73.

Пашков М. В. 11991Ы "О бифуркациях сепаратрйсных контуров с двумя "седлами " // -Методы - качественной —теории—и —теории _бифуркаций: _ Межвуз. тематич. сб. науч. тр. под ред. Шильникова, Нижегородский гос. ун-т., Нижний Новгород, с.74-83.

Ыаьпсов К. В. 11992а! "0 бифуркациях сепаратрйсных контуров с двумя седлами" // Дифференциальные уравнения, N 6, с. 1092.

Shashkov M.V. 11992Ы "On bifurcation of separatrix contour with two saddles" // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol.2, N4, p.911-914.