Бифуркации предельных циклов квадратичных автономных систем на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 Белорусский

- Государственный Университет

На правах рукописи УДК 517.925

ГАИКО Валерий Александрович

БИФУРКАЦИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ КВАДРАТИЧНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК 1993

Работа выполнена в Минском радиотехническом институте

Научные руководители:

академик Еругин. И. П. доктор физико-математических наук, профессор Черкас Л. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лукашевич Н. А. кандидат физико-математических наук, доцент Руденок А. Е.

Ведуцая организация:

Киевский университет им. Тараса Шевченко

Защита состоится 1993 года в Ю часов

на заседании специализированного совета К 056.ШЛО по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Белорусском государственном университете (220080, Минск, пр. Ф. Скарины, 4, комната 206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ. Автореферат разослан

„Ж', я*?/. 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

В. И. Корзюк

Светлой паляш моего Учителя Николая Павловича Еругина поевяцая

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сравнительно недавно, в 1986 году, вышла на английском языке книга китайских математиков „Теория предельных циклов" под общей редакцией Не Янкиана. В книге собраны все важнейшие результаты по предельным циклам за последние десятилетия. Появление згой книги обусловлено несколькими причинами. Во-первых, у предельных циклов - юбилей: они были открыты Анри Пуанкаре ровно сто 'лет назад и описана в его статьях, составивших книгу „Интегральные кривые, определяемые дифференциальными уравнениями" (1881 - 1886). Не успев появится на свет, предельные циклы вызвали много проблем, главная из которых уке в 1900 году была оформлена Давидом Гильбертом, в его иесгпадцщр проблему, а именно:

Каково максимальное числа и взаимное расположение предельных циклов уравнения

йу/бх = у)/Рп(х, у), (1)

где Рп и С^ - полиномы действительных переменных х, у с действительными коэффициентами и степени не выше п ?

Много сил решению этой проблемы отдали Ивар ЕенЗиксон, Генри ¿ршк, Паке Фроммер и другие выдающиеся математики, но она так и осталась нерешенной (дане в случае простейших квадратичных систем).

Во-вторых, в семидесятыа - восьмидесятые) года, как и полвека назад, во времена Ван-дер Поля, А. А» Андронова, 4. Лъенара, обострился интерес практики к теории предельных циклов: появилась потребность в более глубоком изучении различных бифуркаций, аттракторов, вопросов устойчивости движения в математических моделях природных явлений и технологических процессов. И наконец, именно в эти года (1979 - 1980) китайским математикам удалссь построить конкретные примеры квадратичных систем, имевдих не менее четырех предельных циклов. Эти примеры имели большой резонанс в научном мире. И так как они давали циклы в расположении (3, 1) (по крайней мере три вокруг одного и один вокруг другого фокуса, с точностью до четного их числа), то возникали другие вопросы: нет ли систем с располокением (2, 2), нельзя ли построить примеры с пятьв и более циклами, каково их все-таки максимальное число? А после того, как в 1962 году Ю. С. Илъяшенко обнаружил пробел в доказательстве Теорежи Салака о конечности числа предельных циклов полиномиальных систем, встал вопрос: конечно ли число циклрв хотя бы для квадратичных систем? Параллельно к этому вопросу подошли и американские математики. Только этот вопрос и получил окончательное решение: 1?. С. Илъжешсо и Р. Болт доказали, что число предельных циклов квадратичных систем конечно.

Но несмотря на некоторые достигнутые в последнее время успехи, шетшдцатая проблема Гильберта, похоже, далека от своего окончательного решения. Нужен тонкий аналитический аппарат, чтобы оценить количество кратных циклов, которые могут появиться в системе при изменении некоторых ее параметров из так называемого „уплотнения траекторий". Нужны тща-

2

тельные аналитические исследования для решения вопроса о совместном существовании предельных циклов вокруг различных фокусов, так как нет, вообще говоря, точных алгебраических условий образования сепаратрисных циклов (петли, двухуголь-ника ит. д.), из которых появляются или в которых исчезают предельные циклы. О необходимости применения аналитического подхода - подхода , разработанного ещэ А. 1. Ляпуновым, и Г. Докжод, - говорят и упомянутые уже работы по проблеме конечности, и признание в „Теории предельных циклов" заслуг математиков пятидесятых годов (Н. Н. Баутина, Н. П. Еругияа, И. Г. Петровского и др.), которые активно использовали аналитический аппарат для глубоких качественных исследований. И неслучайно, наверное, Н. П. Еругин дополнил 3-е издание своей монографии „Книга для шения по общему курсу дифференциальных уравнений" новыми главами по конструктивной теории предельных циклов к возможностям ее применения для качественных исследований, а в /982 году издал другую монографии -„Проблела Рижта", в которой показал, как еще в тридцатые годы решил сначала Проблему Пуанкаре, а потом, перед самой войной, и Проблему Рижта. Работы Н. П. Еругияа могут оказаться тем мостиком, который связывает нас с истоками качественной теория дифферинциальных уравнений. Они проникнуты духом классической математики XIX века, духом творчества Л. Пуанкаре и А. П. Ляпунова, И. Бендиксона и Г. /¡/злака. Так что, сознавая актуальность тематики предельных циклов, наиболее актуальной задачей для нас мокно считать осмысление работ наших великих предавственников, развитие и совершенствование созданных ими методов и на этой основе - поиск новых идей и подходов. Может, нам улыбнется удача?

3

Целью данной работы, является изучение различных бифуркаций предельных циклов, квадратичных систем вида (1) (п = 2) и, прежде всего,. бифуркаций-, связанных с образованием сепа-ратрисшх циклов. Они носяя нелокальный характер и этим принципиально отличаются од известной локальной бифуркации Андроно&а, - Хапфа.

Методика исследований. В- диссертации используются классические метода качественно!, теории дифференциальных уравнений и методы теории, бифуркаций динамических систем на плоскости.

Научная новизна. Новыми, в< диссертации являются- следующие результаты:

- на основании метода, двух изоклин разработан, новый подход к классификации квадратичных систем;,

- используя данный метод, получен канонический вид систем с параметрами, поворачивающими векторное поле;

- с помощью этих параметров, опираясь на системы с „центром", дана полная классификация сепаратрисных циклов квадратичных систем;

- изучены различные бифуркации предельных циклов, разработан новый численно-аналитический подход к построению систем с определенным количеством предельных циклов;

- с помощью этого подхода, в частности, построена система, имеющая по крайней мере четыре предельных цикла в расположении (3, *)•

Практическая ценность. Приведенные в диссертации подхода и получпилэ результаты могут быть использованы для более общих полиномиальных систем и для исследования конкретных математических моделей в физике, химии, биологии.

4

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались и обсувдались на:

7-й Областной конференции по ди©зренциальншл уравнениям и их приложениям (Гродно, 1983), Всесоюзной школе по вычислительным методам и математическому моделированию (Линек, 1984), 6-й к 7-й Всесоюзных конференциях па качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1986 и Рига, 1989), Республиканской конференции по применению информатики и вычислительной техники (Нинск, 1989), 6-й конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского (Минск, 1992), семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МРТИ (Хинск, 1992), 2-м ежегодном семинаре по нелинейным явлениям в сложных системах (Полоцк, 1993) , семинаре кафздры дифференциальных уравнений БГУ (Минск, 1993).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в двенадирти печатных работах, список которых приведен в конца автореферата.

Структура и объец работы.. Диссертация состоит «з введения, трех глав и списка цитированной литературы (I!2 наименований). Общий объем работы - 100 страниц маввшопйсаого текста, в ней 14 рисунков и 1 таблица.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение посвящено историческому обзору результатов, связанных с предельными циклами, и краткому изложению содержания диссертации.

Первые две главы диссертации писались под непосредственным руководством Я. П. Еругина, под влиянием его собственных работ и работ его учеников, оформлены они были позже [б - 12]. Третья глава содержит более ранние результаты, полученные под руководством Л. А. Черкаса [1 -4]. Некоторыми полученными совместно с Л. А, Черкасол результатами [5 -- 7] дополнена и первая глава. В этой главе проводится классификация квадратичных систем. Классификация основана на так называемом методе двух изоклин, разработанном Н. П. Еру-гиныл в начале пятидесятых годов. Развитию этого метода посвящен § 1.1, в котором рассматриваются различные случаи взаимного расположения изоклин соответствующего квадратичного уравнения. Используя летод двух изоклин, можно с точностью до некоторого числа предельных циклов и различения центра и фокуса классифицировать все качественные картины поведения интегральных кривых этого уравнения. Поскольку в диссертации рассматриваются только вопросы, связанные с предельными циклами* в § 1.2 показано, как, в частности, можно классифицировать случаи центра. Ничуть не умаляя достоинств известных работ, посвященных данной классификации, заметим, что приведенный подход, во-первых, отличается простотой и наглядностью, что позволяет избежать многих неточностей и ошибок. И во-вторых, несмотря на свою грубость, а мокет быть, и благодаря ей, он дает возможность решать многие принципиальные вопросы качественного исследования в целом. Как показано во второй главе, для классификации сепаратрисных циклов, например, достаточно в качестве исходных иметь системы с центром в случае симметрии векторного поля, которые полностью определяются изоклинами и дают подавляющее большинство случаев

6

центра. Интенсивное развитие качественной теории в целом тоже началось в пятидесятые годы с работ И. Я. Еругика. Задача этой терии - исследовать качественное поведение интегральных кривых системы дифференциальных уравнений во всей области определения ео переменных для всего пространства параметров. В § 1.3 показано, как, используя летод двух изоклин, получить наиболее простой и удобный .для исследования вид квадратичных систем, имеющих предельные и сепаратриснне циклы. Эти канонические системы содержат параметры, изменение которых вызывает направленный поворот векторного поля, что значительно упрощает качественное исследование в целом. Системы с параметрами, поворачивающими поле, позволяют классифицировать сэпаратрисные циклы, упрощают изучение бифуркаций предельных циклов и дают возможность получать соответствующие разбиения пространства параметров. В § 1.3 указываются также конкретные линейные преобразования фазовых переменных, приводящие произвольную квадратичную систему к каноническому виду:

<±гуШ = - (х + 1)у + сЩ{х, у), бу/М = <3(х, у), (2) где Я{х, у) = х + \у + ах2 ч- Ъ(х + 1)у + суг.

Во второй главе рассматриваются сепаратрисные циклы квадратичных систем, т. е. замкнутые траектории, образованные сепаратрсами седел или других (сложных) особых точек с седловыми областями. Сепаратрисные циклы можно считать одним из источников роадения предельных циклов. В отличие от известной бифуркации Андропова - Хопфа, которая имеет локальный характер и связана с рождением цикла из особой точки типа центр или фокус, данная бифуркация изучена не достаточно полно и представляет большой интерес как для вопроса о максимальном количестве и взаимном расположении предельных цик-

7

лов, так и для качаственного исследования в целом. Используя три параметра, поворачивающих поле, и опираясь на системы с центром, в этой главе дается полная классификация сепаратрис-ных циклов квадратичных систем. Здесь применяются наглядные бкфуркацонные метода и тот факт, что предельные, а значит, и сепаратриснке циклы не могут окружать особой точки типа узел. Классификация проводится по числу и характеру особых точек в конечной части плоскости. В первых двух параграфах главы подробно рассматриваются самые сложные для классификации случаи: в § 2.1 - случай трех седел и одного антиседла, в § 2.2 - трех антиседел и одного седла. Особенно интересен второй случай. В этих параграфах дается еще и разбиение пространства параметров системы на области, кавдой из которых соответствует определенный вид сепаратрисного цикла. В § 2.3 рассматриваются остальные случаи особых точек и приводятся всо возможные виды сепаратрисных циклов квадратичных систем.

В третьей главе на примере систем с ,двумя особыми точками (седлом - антиседлом и двумя антиседлами), применяя численно-аналитические метода, показано, как можно изучать различные бифуркации предельных циклов. При этом используется так называемая функция предельных циклов, представляющая собой разрез многообразия Андронова - Хопфа, содержащего есэ предельные циклы системы, соответствующие определенному параметру, поворачивающему поле. В § 3.1 строится система с двумя такими параметрами:

• 2 2 т. = (ах - у)(1 + ту) - ах + Ъ^ху + (Ь02+ <хаог)у ,

у = (х +- ау)(1 +7у) - хг - аЬ^ху + (а02 - аЬ02)<Д

в

Она особенно удобна для случая двух особых точек. В параграфе дается явное выражение ое коэффициентов через коэффициенты произвольной квадратичной системы. § 3.2 содеркит конкретные результаты по бифуркациям предельных циклов. В частности, там доказано, что квадратичная система может иметь по крайней мере четыре предельных цикла. А в § 3.3, где приводится алгоритм приближенного построения функции предельных циклов и даются различные численные результаты, выписаны конкретные значения коэффициентов системы, имеющей на менее 4-х предельных циклов (с точностью до четного их числа) в располокении (3, 1).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1'. Черкас Л. А.,. Гайка В. А. Предельные щиии кваОра-тичной системы с двумя параметрами, поворачивающими поле. - В'кн.: Дифференц. уравнения и их приложения, Гродно, 1983, с. 175 - 177.

2. Черкас Л. А., Гайко В. А. Предельные цшии двумерной автономной системы с квадратичными нелияейностяеи-. -В кн.: Выч. методы и матем. моделирование, М: Знание, 1984, с. 125 - 126.

3. Черкас Л. А., Гайко В. А. Бифуркации предёлымх циклов квадратичной системы с двумя параметрами, поворачивахн цими поле. - Докл. АН БССР, 1985, т. 29, * 8, с. 694 - 696.

4. Черкас Л. А., Гайко В. А. Бифуркации предельных циклов квадратичной системы с двумя особыми точками и двумя параметрами, поворачивающими поле. - Дифференц. уравнения, 1987, т. 23, « 9, с. 1544 - 1553.

9

5. Гайко В. А., Черкас JI. А. Вмруркащж предельных циклов векторных полей га с1 u R8. - Тез. докл. 6-й Всесоюзной конф. по качественной теории диДвренц. уравнений, Иркутск, 1986, с. 52 - 53..

6. Гайко В. А., Черкас Л. А. Бифуркации предельных ци-

9 9

клоп векторных полей на с uR . - В кн.: Вопросы качественной теории дифЕеренц. уравнений, Новосибирск: Наука, 1988, с. 17 - 22.

7. Гайко В. А., Черкас Л. А. О совместном существовании предельных циклов квадратичной системы на плоскости, окружа/xfjx ртзличные особые почку. - Тез. докл. 7-й Всесоюзной конф. по качественной теории диф$еренц. уравнений, Рига, 1989, с. 61.

S. Гайко В. А. Предельные циклы квадратичных систем с четырьмя особыми точками. - Тез. докл. Республ, конф. по применению информатики и выч. техники, Минск, 1989, с. 25.

9. Гайко В. А. Геометрический подход к исследованию предельных циклов квадратичных систем.- Тез. докл. 6-й конф. математиков Беларуси, Гродно, 1992, ч.З, с. 19.

10. Гайко В. А. Изокльнная ¡¿лассифшсация квадратичных систем. - Тез. докл. матом, конф., посвященной 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского, Минск, 1992, с.

11. Гайко В. А. Сепаратрисные циклы квадратичных систем. - Докл. АН Беларуси, 1993, т. 37, * 3, с.

12. Gaiko V. A. Ttve limit cycles bifurcations of quadratic autonomous systems. - Nonlin. Phenomena In Complex Systems, Polatsk, 1993, 6 p..