Качественное исследование некоторых классов полиноминальных и квазиполиноминальных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АНДРЕЕВА Ирина Алексеевна

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ И КВАЗИПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук г

5Ь

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Российском государственном педагогическом университете им. А. И. Герцена.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор МАТВЕЕВ Николай Михайлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ПИЛЮГИН Сергей Юрьевич;

кандидат физико-математических наук, доцент БОДУНОВ Николай Александрович.

Ведущая организация - Нижегородский государственный университет.

Защита состоится_ У 1МОКЛ_1997 года

в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д. 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, д. 2. Математико-механический факультет.

Ауд. 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан 6 _1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.57.30

Ю. А. Сушков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Квазиквадратичные системы имеют прикладное значение. Они встречаются, например, в теории синхронизации нелинейных колебательных систем. Между тем качественная теория квазиквадратичных систем до сих пор не разрабатывалась. Настоящая работа в известной мере компенсирует этот пробел.

Целью работы является глобальное качественное исследование одного 3-параметрического семейства квазиквадратичных систем дифференциальных уравнений и, в частности, нахождение условий существования у систем семейства асимптотически устойчивого состояния равновесия или предельного цикла и выяснение структуры границ областей их притяжения.

Методы исследования. В процессе исследования применялись различные методы разрешения сложных особенностей плоских систем дифференциальных уравнений, метод топографической системы и контактной кривой, методы теории вращения векторных полей при изменении параметров системы, методы теории бифуркаций, а также компьютерные вычисления.

Научная новизна. В диссертации для рассматриваемого семейства систем получены следующие результаты.

1. Построена бифуркационная диаграмма особых точек. Решена проблема различения центра и фокуса для особой точки 0= (0,0). Исследованы сложные бесконечно удаленные особые точки

Ро,Р1,Р2&-

2. Найдены условия на параметры, обеспечивающие а) отсутствие у системы предельных циклов, б) наличие у нее устойчивого предельного цикла, в) отсутствие у системы сепаратрисных циклов, г) наличие у нее единственного сепаратрисного цикла.

3. Построены глобальные фазовые портреты системы для всех возможных значений параметров (86 топологически различных портретов (иногда с точностью до единственности предельного цикла, окружающего точку О)).

4. В случаях, когда система имеет асимптотически устойчивое состояние равновесия О или единственный орбитально асимптотически устойчивый предельный цикл а, указаны границы области его притяжения.

Теоретическое и практическое значение. В работе впервые проводится полное глобальное качественное исследование семейства квазиквадратичных систем. Отмечаются принципиальные отличия их теории от теории чисто квадратичных систем. Полученные результаты могут быть полезны для приложений.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры математического анализа Санкт-Петербургского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена и на 1 Международной научно-практической конференции 'Дифференциальные уравнения и их применения" (Санкт-Петербург, 1996г.)

Публикации. Основное содержание работы опубликовано (см. ниже список публикаций).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, атласа бифуркационных диаграмм, атласа таблиц фазовых портретов и списка публикаций. Нумерация параграфов — сквозная во всей диссертации. Нумерация формул, а также теорем, лемм, следствий — своя в каждом параграфе: номер параграфа, точка, номер формулы или соответствующего утверждения в этом параграфе. Общий объем диссертации 135 страниц.

Краткое содержание работы.

В работе рассматривается автономная система дифференциальных уравнений на плоскости

х = у, у = -x + by + ax2 +у2-cry, (1)

где г = л]х + у2 , a,b,c eR-параметры (без ограничения общности считается, что с> 0). Для нее ставится задача глобального качественного исследования в круге Пуанкаре.

Во введении сообщаются некоторые исторические сведения, обосновывается актуальность темы и дается краткий обзор содержания диссертации.

Глава 1 (§§ 1,2) посвящена исследованию особых точек системы (1) и глобальному исследованию порождающей системы

х = у, у = -х + ах2+у2, (2)

получающейся из (1) при Ъ = с = 0.

В §1 сначала отмечается, что система (1) имеет лишь две конечных особых точки: О = (0,0) и, если а Ф 0, А = (1 / о,0).

Затем находятся все ее бесконечно удаленные особые точки. К их числу всегда относится точка Q, соответствующая концам Q±

диаметра х = 0 круга Пуанкаре Q (Q+ - верхний конец, Q~ - нижний). Возможны и особые точки, отличные от Q.

Замечание 1.1. Бесконечно удаленные особые точки системы (1), отличные от концов диаметра х = 0 круга Пуанкаре Q, симметричны не относительно центра круга О (как это имеет место для полиномиальных систем), а относительно его диаметра х = 0.

Кроме Q, бесконечно удаленными особыми точками системы (1)

при 0 < с < 1, а < а0(с) г ^(1 - л/l-c2) являются точки Pt (пары

Р* = (±ы,(а,с),0), i = 1,2), при 0 < с < 1 ,а = а0(с) -точка Р0 (пара Pq = (±щ(с),0), щ(0) — 0, щ(с)>0 при с > 0), при с > 1 - точка Рх (пара Р* = (±«j(a,c),0)), ащ(а,с)>0 при аФ 0, щ(0,с) = 0, tii(a,c) > 0, (здесь употребляются координаты (и,г) = (у/х, Их)).

Теорема 1.1. В полупространстве параметров a,b,c R+: с 5:0 бифуркационную диаграмму числа и кратностей особых точек системы (1) образуют: полуплоскость П0(д = 0), плоскость С,(с = 1)

и цилиндр Е (с = с0(а) = 2 л/о-а2, о е(0,1 / 2)). При переходе точки д = (а,Ь,с) через П0 при с> О особая точка А сливается (на с при переходе д через С, при а <\!2 от с < \ к с>\ точка Р2 сливается (на Сх) с О*, а затем исчезает; при переходе д через Сг при а >1/2 от с>1 к с<1 точка Рх сливается (на С{) с ()*-, а затем исчезает; при переходе д через Е от с > с0(а) к с < с0(я) точки РиР2 сливаются (на Е) в точку Р0, а затем исчезают.

Далее в §1 выясняются топологические типы особых точек системы (1). Для нее всегда точка Л-простое седло. Характеристические корни точки О Х12 = ± л/а2 -4) так, что при Ь<О (Ь > 0)

точка О-устойчивый (неустойчивый) фокус или узел, а при Ь = 0 для нее возникает проблема различения центра или фокуса. Ее решает

Теорема 1.2. При Ь = 0 первые фокусные величины особой точки О системы (1) имеют вид: а! = 0, а2 = -не и, следовательно, при с > 0 О -устойчивый фокус; при Ъ .= с - 0 О-центр (траектории симметричны относительно оси у=0).

Следствие 1.1. При переходе точки д = (а,Ъ,с) через плоскость В0(Ь = 0) при с>0 от Ь<0 кЬ>0 у системы (1) из негрубого устойчивого фокуса О рождается единственный простой устойчивый предельный цикл.

Замечание 1.2. Согласно теореме 1.2, при Ь = 0,с>0, для особой точки О системы (1) с характеристическими корнями ±/ первой фокусной величиной является величина а2 с четным (!) номером, чего не бывает для систем, аналитических в О.

В §1 изучены также типы всех бесконечно удаленных особых точек системы (1). Полученные результаты описывает в терминах секторов Бендиксона с вершинами в рассматриваемых точках (Н- гиперболический сектор, Р\Ри)-устойчивый (неустойчивый) параболический сектор) следующая

Теорема 1.3. Бесконечно удаленные особые точки системы (1) имеют следующие топодинамическиетипы: -тип Р* при с< 1 и при с = 1, а>\/2,тип Р" при с> \ и при с = 1, а <112, <2~ -тип Р\ Р^ -тип НН(тип Р!) при а<0 (а > 0), Р{~ -тип

Ps(mun HH) при а < 0 (а > О), Р2+ - тип НН, Р2 -тип Р". Если а- с = О, то Р0+ имеет тип ННН, Pq -тип Н; если а = а0(с), О < с < 1, то при b < -b0(c) Pq имеет тип PSH, Pq -тип РиН, при -b0(c) <b< b0(c) Pq имеет тип Р'Н, Pq -тип Н, при b > b0(c) Pq имеют тип Н(здесь Ь0(с) = щ(с) + ^'(с); сектора в точках Pq выписаны в порядке их следования при обходе точки О в положительном направлении).

Следствие 1.2. Бифуркационную диаграмму существования и топодинамических типов особых точек системы (1) образуют поверхности, указанные в теореме 1.1, и плоскость В0(Ь = О).

Кроме того, в §1 доказываются леммы 1.1 - 1.3. Лемма 1.1 изучает поведение координат ц(а,с) точек Pn i -1,2, при изменении параметров а или с. Лемма 1.2 отмечает независимость координат и типов особых точек (кроме типов О и Р0) от параметра Ъ.

Лемма 1.3. В каждой точке р = (х,у),у Ф 0, векторное поле системы (1) с возрастанием b поворачивается в (+)- направлении, с возрастанием с-в (-)-направлении, с возрастанием а — в (+)-направлении при у> 0,хФ0,в (-) -направлении при у< 0, .г Ф 0.

В §2 проведено аналитико-качественное исследование в круге Пуанкаре квадратичной системы (2). Для нее точка О-центр.

Теорема 2.1. Область центра системы (2) ограничена при

-у

a = 0 параболой у = х + 1/2, при a е(-1,0) - правой ветвью гиперболы h(x,y)зax2 +у2 +(a-l)(x + l/2) = 0,при a = -1- полупрямыми у = ±(х +1), х > -1, при a < -1 (а > 0) - петлей правых (левых) сепаратрис седла А.

Следствие 2.1. Система (2) не имеет предельных циклов.

Следствие 2.2. описывает все топологически различные фазовые портреты системы (2) в круге Пуанкаре i2. Их 5: каждому из множеств оси a (-да,-1), {-1}, (-1,0), {0}, (0,+со) соответствует свой

портрет; они обозначаются соответственно символами а° ,Р° ,у0°,

о ♦

5° ,е0°. На каждом из этих портретов присутствует один сепаратрис-ный цикл системы (2). Он ограничивает в круге П область центра

системы (2) и обозначается символом Sa.

Пусть для а < -I и а > 0 , когда Sa - петля сепаратрис седла А, га = шах|р|, р = еSa.

Теорема 2.2.

Ца\, если а <щ « -1,68 или а > О,

га=\

ОВ>Ца\, если al<a< -1,

где 5 = (д:в,лГахв) eSa, хв > 0.

га —> Ч-со при а-> -1. Результаты §2 используются далее при исследовании системы (1).

В главе 2 (§§ 3, 5) исследуются вопросы существования у системы (1), рассматриваемой при (6,с) * (0,0), предельных и сепа-ратрисных циклов и их динамики при изменении параметров системы.

В §3 формулируются признаки отсутствия у системы (1) предельных циклов и условия существования у нее устойчивого предельного цикла.

Лемма 3.1. Любой предельный цикл системы (1), если таковой существует, имеет точки в области Qa=Q°\ {О}.

Лемма 3.2. Контактной кривой систем (1) и (2) является окружность Г: г -Ы с. Vp - (х,у), у ф 0, векторное попе системы (1) повернуто относительно поля системы (2) на угол ар е(0,тс), если \р\<Ыс, на угол ар е(-я,0), если \р\>Ы с.

Теорема 3.1. Если для системы (1) выполняется одно из условий 1) Ъ < 0,с> 0, 2) Ь>0,с = 0, 3) b > 0,с> 0, TnQa = 0, то она не имеет предельных циклов.

Теорема 3.2. Если в системе (1) 1) a < -1 или a > 0, 2) b^rac> 0, то для нее выполняется условие 3) теоремы 3.1 и, следовательно, она не имеет предельных циклов.

Пусть Уд е R pa = min|/?| для р - (х,у) е Sa.

Теорема 3.3. Если в системе (1) 0<Ь< рас, то 1) она имеет устойчивый предельный цикл, 2) любой ее предельный цикл лежит в кольце К, ограниченном замкнутыми траекториями системы (2) Ц и ¿2, из которых Lj вписана в окружность Г, а описана вокруг Г (при b = рас роль Zj играет Sa).

Замечание 3.1. Если в системе (1) a - 0,с> 1, то она при любом Ь> 0 имеет устойчивый предельный цикл (точка О и беско-

нечность вполне неустойчивы, точка А отсутствует); он окружает особую точку О, которая при Ъ> 2 является узлом.

Теорема 3.4. Если для системы (1) Г г\ОаФ0, то любой ее предельный цикл (если таковой существует) имеет точки как внутри, так и вне Г.

В §4 трактуются вопросы существования у системы (1) в круге Пуанкаре Г2 сепаратрисных циклов.

Лемма 4.1 Вращение непрерывного векторного поля V на

контуре Бендиксона у 1„(у) = 1.

Лемма 4.2. Если система (1) имеет сепаратрисный цикл то 1) цикл .у окружает лишь одну особую точку системы (1)- точку О, 2) функция последования вдоль я существует лишь на полунормали к 5 (в любой его обыкновенной точке), лежащей в области С5, ограниченной снаружи циклом

Лемма 4.3. А. Если система (1) имеет в £2 сепаратрисный цикл 5, то он единственен и представляет собой

1) моноугольник -петлю правых (левых) сепаратрис седла А, если а < 0,с > 1 (а > 0,с > 0),

2) двуугольник 52 с вершинами Р\ , если а = 0, 0 < с < 1, петлю левых сепаратрис седла Р0+, если а = с = 0,

3) петлю 5] правых сепаратрис седла А, двуугольник

л2 = ККК или треугольник ^ = Р^АР?-, если а <0, 0 < с < 1.

Б. Уа е Я и Ус > 0 система (1) может иметь сепаратрисный цикл лишь при одном значении Ь.

В. При а- 0, с > 1 система (1) не имеет сепаратрисных циклов. Теорема 4.1. При условиях теоремы 3.1 сепаратрисный цикл для системы (1) невозможен (кроме случая, когда (Ъ,с) = (0.0)).

Следствие 4.1. Если в системе (1) а < -1 или а >0, то при Ь < 0 и при Ь>гас> 0 сепаратрисный цикл для нее невозможен.

Теорема 4.2. Уа е(-да -1) и (0,+оо) и Ус > О 3\Ъ = Ь3{а,с): при Ъ = Ъ5(а,с) система (1) имеет сепаратрисный цикл .у; Ь,(а,с)е(0,гас).

Следствие 4.2. Если в системе (1) а < ах » -1,68, с 2:1 (а > 0, с > 0), то ее сепаратрисный цикл 5, возникающий при Ъ — Ь5(а,с), представляет собою устойчивую петлю правых (левых) сепаратрис седла А.

Следствие 4.3. У а <а{ и 0 при убывании Ъ от Ь^а,с) у системы (1) из петли £ сепаратрис седла А рождается простой устойчивый предельный цикл.

В §5 прослеживается поведение предельных циклов системы (1) при изменении параметра Ь, который при своем возрастании поворачивает векторное поле системы (1) в (+) -направлении. Теорема 5.1 У а е Л и Ус > 0 ЗЬ0 = Ь0(а,с) е (0,+оо]:

1)УЬ'е10 = (0 ,Ь0) система(1) имеет хотя бы один предельный цикл, а УЬ>Ь0 (если Ь0 < +а>) не имеет предельных циклов,

2) при непрерывном возрастании Ъ в /0 предельные циклы системы (1) непрерывно зачерчивают кольцевую область С0 с внутренней границей {О} так, что Ур = (х,у) е С0 3\Ър е /0: при Ь = Ьр система (1) имеет предельный цикл с р, р еарсС0,

3) если <30 * Я2 \ {О} так, что внешняя граница области С0 Г0 Ф 0 (что всегда имеет место при а фО), и существует

{РьР2>Рг>с О0: при к-> +со сРк -> Г0 (топологически), ЪРк -> ¿5 = Ь5(а,с) е(0,60], Ь5 <+<я, то = з (с £2) - сепарат-рисный цикл системы (1); он соответствует Ъ — Ъ$,

4) если 60 < +оо, то а) условия пункта 3) выполняются, б) при Ь Ф система (1) не имеет сепаратрисных циклов.

Гипотеза 5.1. Система (1) не имеет предельных циклов, возникающих из уплотнения траекторий.

Если это так, то для системы (1) справедлива Теорема 5.2. 1)УаеЯ иУс>0 3Ь, =Ь,(а,с) е(0,+°о]: УЬ е(0,Ь3) система (1) имеет единственный (грубый, устойчивый) предельный цикл о, который с возрастанием Ь расширяется и, если Ь5 < +оо, при Ь-Ь; превращается в устойчивый изнутри сепаратрисный цикл я, а при Ь>Ь5 система (1) не имеет ни предельных, ни сепаратрисных циклов.

2) Если а<-1 или а>0,тоЬ3 е (0,гас).

3) При а = 0 и с > 1 Ь5 = +оо.

В главе 3 (§§ 6-9) строятся фазовые портреты системы (1) для всех значений параметров а,Ь,с и прослеживаются их бифуркации.

В §6, исходя из фазовых портретов системы (2) и опираясь на лемму 1.3 и теоремы 3.1 и 4.1, строятся фазовые портреты системы

I

11

(1), соответствующие точкам плоскости С0:с = О, и их бифуркационная диаграмма в этой плоскости.

В §7, исходя из фазовых портретов системы (1), соответствующих точкам плоскости С0> используя леммы 1.1 и 1.3 и учитывая теоремы 3.1 и 4.1, строятся фазовые портреты системы (1), соответствующие точкам полуплоскости В0:Ь = 0,с > 0, и их бифуркационная диаграмма.

В §8 на базе результатов §§ 1-7 для всех а е R строятся фазовые портреты системы (1), соответствующие точкам полуплоскостей П а:а = const, с> 0. Как правило, это делается здесь с точностью до единственности предельного цикла, окружающего точку О. Строятся бифуркационные диаграммы системы (1) для полуплоскостей Па. При этом отдельно рассматриваются случаи принадлежности а к множествам (-оо,-1),{-1},(-1,0),{0},(0,1/2),[1/2,+оо).

В §9 показывается, что из бифуркационных диаграмм фазовых портретов системы (1), построенных для полуплоскостей Па, a eR, естественным образом получается и бифуркационная диаграмма для полупространства R+: с > 0. Здесь же для значений параметров, при которых система (1) имеет асимптотически устойчивую особую точку О или единственный асимптотически устойчивый предельный цикл с, описывается структура границы соответствующей области

притяжения Q.s0 или П*.

Публикации по теме диссертации

1. Андреев А.Ф., Андреева И. А. Бифуркации в одном семействе квазиквадратичных векторных полей. I. // Вестник С.-Петербург, унта. Сер. 1. матем. мех. астр. 1994. Вып. 3. С. 8-14.

2. Андреев А.Ф., Андреева И. А. То же. It. // Там же. Вып. 4. С.3-8.

3. Андреев А.Ф., Андреева И. А. О предельных циклах одной квазиквадратичной системы. // Тезисы докладов Первой Международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". 3-5 декабря 1996 г. Санкт-Петербург. С. 12-13.

4. Андреев А.Ф., Андреева И. А. О предельных циклах одной квазиквадратичной системы. И Ред. ж. "Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. матем. мех. астр.', 20с. - Деп. в ВИНИТИ 14.04.1997г., №1215-В97.

5. Андреев А.Ф., Андреева И. А. О предельных и сепаратрисных циклах одной квазиквадратичной системы. Н Дифференциальные уравнения. 1997г. Т. 33. №5.