Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА.

_ВТ

Факультет вычислительной математики и кибернетики

2 * 0030Б7042

На правах рукописи

Чахкиев Магомет Абдулгамидович

ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ С ВЫПУКЛОЙ ФАЗОЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

01.01.02 .-дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 2006

Работа выполнена в Российском государственном социальном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Сафонов Валерий Федорович

доктор физико-математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич.

Ведущая организация: Математический институт РАН

им. В.А.Стеклова.

Защита состоится 1й! " О Л 2007г. в часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-й учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ

Автореферат разослан "-4 " @ / 200^г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Захаров Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Л.Карлесоном [8] исследовалась задача Коши для простейшего уравнения Шредингера

= (а = const,¡та = 0); i//(x,0) = f(x),xe R (1)

at ox

Для функций f{x) имеющих компактный носитель в [8] установлены следующие факты относительно решений задачи (1): (а) Если f{x) финитна и |fix)- fiy^oi^x-yf2^ равномерно, то

выполнено свойство Фату, т.е. Hx,t) стремится к fix) равномерно по х при 0.

(б) Если fix) финитна и удовлетворяет условию Гельдера

(Липшица)с показателем 'А , т.е. |fix)-fiy)\ = C^\x-yf2^, то yit,x)

ограничена, но свойство Фату может не выполняться.

(с) Если функция fix) удовлетворяет условию Гельдера с показателем 1/4+£•,г>о или, более общо, fix)принадлежит классу Соболева н'2'\ т.е.

то для почти всех хе R решение wit,x) задачи (1) стремится к fix) при

Пусть Рг(г) = Рг(а,г) = — + аг_-[гг~х +... + ахг- многочлен степени

г

г с вещественными коэффициентами и пусть Вх и О, следующие дифференциальные операторы:

1 ох г о(

Поставим задачу Коши: найти функцию ¥ = удовлетворяющую соотношениям:

ДЧ' = />,.(0,)4', H'(x,0) = f(x),xeR. (2)

В работе [7] утверждения (а) и (б) Л.Карлесона доказаны для многочлена третьей степени p3(z)=z\ т.е. для вырожденного уравнения Кортевега-де Фриза:

^ = (Imа = 0); «ф,0 = /(*)•

Формально, в смысле дифференцирования под знаком интеграла и подстановки значения / = о обобщенное решение задачи (2) можно представить в виде:

4'(*,t) = <J/(i)exp{i*i + UP&W

где

f(Z) = ^t]f(x)exp{-,ix}dx

преобразование Фурье функции Дх) или где

—оо

Для исследования решений задачи (2) необходимо изучение функций G(t,rj). При малых значениях степени г многочлена р, (г) функция G(t,rj) может быть выражена в терминах известных специальных функций: при г=2 это интеграл Френеля, при г=3 интеграл Эйри, асимптотика которого хорошо изучена, при г=4 интеграл Пирси, где еще оставались вопросы. При г>4 функции G(t,rj) изучены мало, в связи, с чем в диссертации изучаются методы оценки осциллирующих интегралов.

Осциллирующие интегралы встречаются в различных областях математики: математическом анализе, математической статистике и теории вероятностей, математической физике и теории чисел. Постоянно появляющиеся новые приложения осциллирующих интегралов приводят к новым постановкам задач об их оценке и к необходимости обобщения уже известных результатов. Осциллирующим интегралом в соответствии с принятой терминологией, называется интеграл вида

= |м(лг)ехр(/Л /(х))ск,

м

где * = (*„...,л,)е л', Мая', функция и = и(х) называется амплитудой, вещественная функция /(х) называется фазой, Л > 1 - большим параметром. Амплитуда и фаза могут зависеть от ш-мерного параметра 7.

Различают две общие задачи об оценке осциллирующего интеграла:

1) Задача об асимптотической оценке осциллирующего интеграла при Л —> °° и фиксированном значении параметра г (индивидуальные оценки).

2) Задача о равномерной оценке при (еГсЛ".

В диссертации исследуется задача 2). Первые равномерные оценки осциллирующих интегралов были получены в работах И.М. Виноградова и Ван дер Корпута в связи с задачей о числе целых точек в плоских областях [14,15]. Эти методы были развиты в работах Г.И. Архипова, А.А. Карацубы и В.Н. Чубарикова [1-3], что в частности позволило им получить полное решение проблемы Хуа Ло-гена о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри в одномерном случае [1]. Используя методы разработанные этими авторами в теории чисел для оценки одномерных осциллирующих интегралов и некоторые модификации метода стационарной фазы Д.А. Поповым [5,6] исследована задача о поточечной сходимости алгоритмов восстановления в двумерной Радоновской томографии и задача о поточечной сходимости сферических методов суммирования интегралов и рядов Фурье характеристических функций областей в Я" .

Перечисленные выше методы оценки осциллирующих интегралов (см. также [16-19]) предполагают наличие у фазы /(х) достаточного числа производных, и неприменимы для не дифференцируемых функций /(х). Однако для учета эффекта интерференции положительных и отрицательных значений

осциллирующего интеграла достаточно только выпуклости функции /(х). В диссертации получены оценки одномерных осциллирующих интегралов с фазами имеющими конечное число интервалов выпуклости и вогнутости. Получены также оценки кратных осциллирующих интегралов, с фазой имеющей вырожденные и неизолированные особые точки.

Полученные оценки осциллирующих интегралов применяются для исследования свойств решения задачи Коши для уравнения Шредингера.

В главе 4 получены оценки показателя сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри.

Цель работы.

1. Получить методы оценок осциллирующих интегралов при минимально возможных ограничениях на амплитуду и фазу.

2. Применить полученные результаты к решению двух задач: задачи о равномерной сходимости решения задачи Коши для уравнения Шредингера к начальному значению, и задачи об оценке показателя сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри.

Общая методика исследований

Оценки осциллирующих интегралов получены в диссертации путем введения характеристики фазы, названной модулем осцилляции и сведения задачи об оценке осциллирующего интеграла к решению некоторой экстремальной задачи теории приближения. В приложениях используется редукция рассматриваемой задачи к задаче об оценке соответствующего осциллирующего интеграла.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в дифференциальных уравнениях, математической физике, аналитической теории чисел, теории вероятностей, численных методах.

Апробация.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научных семинаров кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ, на заседаниях научных семинаров под руководством профессора А.А.Карацубы(МГУ, 2002), профессора СЛ.Теляковского (МИАН, 2004), на семинарах кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ ( руководители академик Е.И.Моисеев и профессор И.С.Ломов), на семинаре под руководством профессора Г.И.Архипова и профессора В.Н.Чубарикова (МГУ,2004), на семинаре факультета ВМиК МГУ (руководитель член-корр. РАН И.А.Шишмарев), Всесоюзной конференции по теории функций (Ереван 1987), Международной конференции посвященной девяностолетию со дня рождения JI.C. Понтрягина(Москва 1998), на девятых (2001г.), десятых (2002), одиннадцатых (2003), тринадцатых (2004), четырнадцатых (2005) математических чтениях РГСУ.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах, список которых приведен в конце автореферата. Все работы выполнены без соавторов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав разбитых на параграфы. Объем работы -169 страниц машинописного текста. Список литературы 47 названий.

Содержание работы.

Пусть Pr (z) = arzr + ar_lzr~l +... + axz - многочлен степени г с вещественными коэффициентами и пусть £>, и ц следующие дифференциальные операторы:

i дх idt

Поставим задачу Коши: найти функцию y/ = y/(x,t) удовлетворяющую условиям

D,W = P,{DX)W, y(x,0) = f(x), xeR (3)

Пусть функция f(x) имеет компактный носитель и принадлежит классу Гёльдера На. При or>1/2 преобразование

Фурье /(£) - суммируемая функция (теорема Бернштейна) и следовательно для обобщенного решения

Vr(x,t) = *¡f(Z)expi(x{+itPr(Z))d{

задачи (3) выполнено свойство Фату, т.е. f(x) при t—>0

равномерно по х . Интерес представляет случай «=1/2.

В § 2.4доказана следующая ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть Pr{z)- произвольный многочлен степени

г >2 с вещественными коэффициентами. Тогда обобщенное решение задачи (1.10) равномерно стремится к f(x) при t

стремящемся к нулю, если \f(x) — f(yj = j равномерно.

Если/(х) из класса Гельдера нУ2, то vF(x,/) ограничена.

Как отмечалось выше при г = 2 это результат Л. Карлесона [8]. При г = з теорема 2.1.2 доказана в [7].

Отметим ещё, что задача (2) для функций f(x) имеющих ограниченную вариацию на всей вещественной оси подробно исследована К.И. Осколковым [9,10].

Согласно принципу стационарной фазы основной вклад в осциллирующий интеграл дает окрестность стационарной точки. Однако для фаз зависящих от параметров для некоторых значений параметров, "близких" к каустическим основной вклад в интеграл могут давать и нестационарные точки. Для того чтобы выделить такие точки, введем определение:

Определение 1.1. Точка х„ е [а,ь] называется правильной особой точкой непрерывной на отрезке [а,ь] функции /(*), если в некоторой окрестности этой точки функция \f(x)-f(x0)\ выпуклая. (При х„ = а или ха = ь рассматривается соответственно правосторонняя или левосторонняя окрестность точки х0).

Правильная особая точка может не являться стационарной. Например, функция /(*) = *'+г*, />о не имеет стационарных точек, т.е. точек, в которых производная /'(х) равна нулю, однако точка х0 = о является правильной особой точкой и при малых значениях параметра t вклад в осциллирующий интеграл определяется окрестностью именно этой точки.

Аналогично определим понятие правильной особой точки для функции нескольких переменных. Пусть Dsr" - выпуклая область, Эd- граница области D, функция f(x) непрерывна в области d и пусть х0 е Э/з и d .

Определение 1.2. Точка х0 называется правшъной особой точкой функции f(x) в области D, если функция |/О)-/(*0)| выпукла на любом отрезке[х„,х], где хедD

Нетрудно видеть, что невырожденная стационарная точка является правильной особой точкой. В то же время правильной особой точкой может быть и вырожденная и неизолированная особая точка. В частности для функции двух переменных /(*,><) = *У вырожденная и неизолированная особая точка (0,0) является правильной особой точкой.

Для оценки осциллирующих интегралов введем величину, характеризующую колебания функции/(х). Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке [а,ь]. Для любого отрезка [a,ß], [а, ß] с [а,ь] обозначим w(f\a,ß]) колебание функции /(х) на отрезке [a,ß] т.е.

«(/, k ß\)= max f{x) - min f(x)

a<K<ß a<v<ß

Для любого положительного числа е положим:

ä(e) = /) = тах{/?- ф, ß] с [a,b\ w(f, [а, /?]) < 5}

Определение 1.3. Величина д(е) = 3[аЬ]{е,/), е>0 называется модулем осцилляции функции f(x) на отрезке [а, б]

В §3.1 приводятся простые свойства модуля осцилляции. В §3.2 доказывается следующая теорема, дающая оценку сверху осциллирующего интеграла с амплитудой ограниченной вариации:

Теорема 3.2.1. Пусть отрезок [а, б] можно разбить на п отрезков, на каждом из которых функция Дх) выпукла (вверх или вниз) и монотонна, а функция и(х) имеет ограниченное изменение на отрезке [а,ь]. Тогда

|и(х)ехр{/Л/(х)}с&: <4и|тах|и(х)| + \ах{и,[а,Ъ\^5

п

Теорема 3.2.1 сводит оценку сверху осциллирующего интеграла к оценке модуля осцилляции, т.е. к решению некоторой экстремальной задачи теории приближения на заданном классе фаз. Таким образом, можно получить многие известные результаты и их обобщения. В §3.3 вычислены модули осцилляции для некоторых классов фаз. Так для фаз

определяемых ограничением |/^(х^А, а<х<ь, вычисление

модуля осцилляции сводится к решению известной задачи о

наилучшем приближении в среднем на отрезке фазы /(*) многочленами. Из теоремы 3.2.1 в этом случае имеем:

Следствие 3.3.1. Пусть функция f{x) удовлетворяет условию

/(и)Ц>Л, а<х<Ь,

а функцш и{х) имеет ограниченное изменение на отрезке[а,ь]. Тогда

и

<С-п

1шах|м(х

+ vari

{u,[a,bÍ¡\A~«

Это утверждение обобщает результат, доказанный в [1] (стр. 16) для функций и(х) непрерывных на отрезке [а,ь] и имеющих

конечное число интервалов монотонности. В п.З §3.3 вычисляется модуль осцилляции фазы /(*) определяемой ограничением на действие линейного дифференциального оператора с вещественными коэффициентами. Из теоремыЗ.2.1 в этом случае следует:

Теорема 3.3.1. Пусть Рп{г) = ахг +.....+ апг" многочлен

степени п с вещественными коэффициентами, функция /(х)

удовлетворяет

условию

dx

/М

>А> 0, а<х<Ъ

число интервалов монотонности производной /'(*) не превосходит К, а функцш и(х) имеет ограниченную вариацию на отрезке [а,Ь\. Тогда

|íí(x)exp{//(x)}dx

it

Уп

где а-максимальная мнимая часть корней многочлена /;(-).

При ш = о т.е. когда все корни многочлена р„(г) вещественные теорема 3.3.1 доказана в [1] (стр.24 теорема 2). Отметим здесь,

что классы функций, определяемых ограничением на действие линейного дифференциального оператора с вещественным спектром, обобщающие модельные в теории приближения классы функций рассматривались, в связи с задачей об

оптимальной квадратурной формуле в работах автора [21-22]. Введенные в [22] дальнейшие обобщения этих классов, включающие в себя в частности известные в теории приближений классы Ар периодических функций *(/),

допускающих аналитическое продолжение на полосу {? + /г|: - И <г\< к}, такое, что при всех фиксированных Л, Ц<И:

1

о

стали предметом самостоятельного изучения (см.[13]).

В п.5 §3.3 приведена оценка осциллирующего интеграла с фазой, производная которой имеет разрывы в любой окрестности стационарной точки. Для фазы /(х) = естационарная точка х0 = о имеет вырождение бесконечного порядка. В п.б для этой фазы приводится точная оценка: Я

\и(х)е'Щх)с1х

~Уг

В п.2 §3.3 вычисляется модуль осцилляции полиномиальной фазы.

Из теоремы 3.2.1 тогда получим:

Следствие 3.3.3. Пусть функция и(х) имеет ограниченное изменение на отрезке [а,Ь], /(х) -многочлен с вещественными коэффициентами. Тогда

|/|=| ]г{х)ех&#{х)Щ<

<С(п,м)( ЬАуХ.

где сумма берется по всем правильным особым точкам хр, а С „(и) постоянная, зависящая только от п и и{х).

В частности для произвольного многочлена степени п> г с простыми особенностями имеем:

I / | =| УхЫ^хУх |<С„(ы)Т--у (4)

*,\Г(хрЦГ'(хру2

Сравним эту оценку с оценкой из работы Колин де Вердье [18], полученной для произвольной фазы с простыми особенностями:

М=| )и{х)ех№{х)}с1х | <С{и,/)^"(хсХУ1 (5)

а "с

где сумма берется по всем стационарным точкам.

Как отмечалось В.П. Паламодовым и Д.А. Поповым [5,20] оценка (5) не верна в предположении ограниченности константы с («,/). Оценка (4) показывает, что это связано с отсутствием учета вклада нестационарных особых точек. В . §3.6 следствиеЗ.З.З применяется к задаче об оценке интеграла Пирси, то есть одномерного интеграла с фазой /(х) = х4/4 + ах2/2 + 0х. Интеграл Пирси рассматривался в работах Колин де Вердье [18], И.А. Икромова [12], Д.А. Попова [4]. Однако оставался открытым вопрос об истинных границах областей близких к каустике А = а1 /27 + рг /4 = о, в которых вклад в интеграл не определяется стационарной точкой. В [4] показано, ( что следует также из следствия 3.3.3)) , что для значений параметров

М)6 Г„ Г, ={(а,/?):|«|>Я-"2, \А\<МШ-^\рГ } выполнена оценка

\т\<с{и)л-ш\с^и\ (6)

Д.А. Поповым [4,20] высказывалось предположение, что ширина области, в которой интеграл имеет порядок 0(Л'^3), экспоненциально мала. Однако это предположение неверно. В п.2 § 3.3 показано, что оценку (6) в области г, нельзя улучшить. В связи с этим вернемся еще раз к неравенству Колин де Вердье :

I /|=1

В работе Д.А. Попова [4] доказано, что неравенство будет справедливо, если в области значений параметров удалить некоторую окрестность каустики. В комментариях к одной задаче В.И. Арнольда связанной с неравенством Колин де Вердье, Д.А. Попов [20] высказал гипотезу, что ширина этой области экспоненциально мала. Как показывает пример области т{ эта гипотеза не верна уже для многочленов. Для области т2: т2 = \0\У> <А<ХУг\ф\р\>л~у*\ в [4] получена оценка:

= 01

ЛА

В п.2 §3.3 показано, что для осциллирующих интегралов с амплитудой ограниченной вариации, границы области тг

точные. Однако, если амплитуда из класса Ыра[а,ь] и то, как

показано в §3.6 верхнюю границу области т2 можно уменьшить до А < СА~%*с, где с-абсолютная постоянная, а е- произвольное,

сколь угодно малое положительное число. При место оценка:

А>СЛ

■Уз*

имеет

= о

1

с постоянной зависящей от е, что является улучшением оценки интеграла Пирси приведенной в [4].

В §3.4 рассматриваются одномерные осциллирующие интегралы с выпуклой фазой и амплитудой из классов Липшица. Основным результатом здесь является следующая теорема: ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть функция и(х) принадлежит классу Ыра[0,Ь), у(х)- имеет ограниченную вариацию на [0,й), функция /(х) монотонно возрастает, выпукла вниз на промежутке [0,6), /(0) = 0 и пусть существует интеграл

X

тп = [—¿-г сЬс = Нт [

£—>0

е

/М

с!х

Тогда для осциллирующего интеграла

ь

I = (х)у(х) ехр{/Л/" (х)}с/х

о

выполнена оценка

/ = «(О) ехр {/Л/"(х)}<&: + Я.,

о

8(2 я)аСт0М

Л"

(8)

где С - постоянная из определения класса Липшица, а М = тах[у(х)| + уаг(у, [0,А))

(

х

0<*<6'

Если функция заменить на

А*)

не интегрируема в нуле, то Щ в (8) нужно Ла5иа

тд = ]

/М

с!х + :

я

где 8 = д\

■ модуль осцилляции функции /(х).

Применим эту теорему к функции /(х) удовлетворяющей, кроме требований теоремы 3.4.1, еще условию:

/(х)>С-х^, хе [ОД] при некоторых положительных постоянных С и Д /3 > 1. Тогда для интеграла

1

/ = |м (х) ехр {/Л/ (х )}с!х

о

имеем:

I = С(Л)и{0)+Я,

где

и=

Л1«^ » , 1

О

1

л*)

р> 1+

I а

С(Л) = |ехр{//1/(х)}б/х = _

о

В частности при а = /2, Р = 2, /(х) = д:2 имеем:

иг , 4

1 ч |м(х)ехр{/Лх2 }й?г = Лву м(0) + О

' 1 Л

(9).

О 2Af

Оценка (9) по существу является следующим результатом Л.Карлесона:

Теорема (Л. Карлесон [12]) Пусть y/(t,x) обобщенное решение задачи Коши:

ЪЦГ 1 3V ч ,, Ч

dt i дх

Если Дх) финитна и \f(x)-f(y^ = равномерно, то

выполнено свойство Фату т.е. i//(t,x) стремится к Дх) равномерно по х при t^>0. Еслиже Дх) финитна и |/(х)-/00| = o(j;t->'|^J, то y/{t,x)

ограничена, но свойство Фату может не выполняться.

Пример из работы [8] показывает, что в (9) знак "О"-большое нельзя заменить на "о"-маленькое, т.е. оценка (9) точная.

В параграфе 3.5 для осциллирующего интеграла

1

I = 1(щ,...,ап) = |ехр{2яг/(х)}<Л о

где /(х) = а„х" ^-..-Н-о^х - многочлен степени п с

вещественными коэффициентами получено при |ос„|>2 представление: 16

Сп = |ехр{271/Л/£«ап\к Ф 0,

о

которое используется в гл. 4 для получения оценок снизу показателя сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Для других коэффициентов 5 = !,....«-!, > 2 выполнено соотношение:

\а.\

Н 1

...+ 7—7 + !-;

\<х,\

\а,\ аг. \аЛ

а\

-+ ..

которое также может представлять и самостоятельный интерес.

В §3.4 рассматриваются кратные осциллирующие интегралы. Пусть осЛ! выпуклая, замкнутая, ограниченная область, функции и(х,у) и /(х,у) непрерывны в области д и пусть

/ = /(и)= ||г!(.х, у) ехр{/.ЛД у) \ixdy

о

Пусть точка рв -правильная особая точка в области й. Без ограничения общности будем считать, что область о содержит начало координат , точка Ро = (0,0) и ДР„) = о. Пусть х = рсоь<р, у = рв1п<р, 0</р<2я, 0 <р<р{(р\ где р=р{ф) уравнение границы области о в полярных координатах. Следующая теорема является основным результатом §3.4:

Теорема 3.7.1 Пусть при каждом фиксированном <р, (ре [0;2я] функция и(р) = и{р<х&(р,рыку) принадлежит классу Пра[о,р{<р)], т.е. удовлетворяет неравенству

| и(рг)-и(р,) \<С\рг-р\\ 0<а< 1, функция с(р) = / (рсо$<р,рът(р) удовлетворяет неравенству

I в{р) | > Р>\, ¡{<р)> о,

и при некотором 3, о < £ < 1 существует интеграл

2 п ^

5 « (?)

Тогда

-П1111(—,0) р

0(Л р ) ,Р>\ + Иа 0(ГФЛ1п2) = \ + \! а 0{Л-тт{а-д)) ,\<р<\ + \ /а

где постоянная в знаке "О" зависит от а,р,8, ¿¡атО-диаметра области И и так

ТеоремаЗ.7.1 позволяет оценивать осциллирующие интегралы, с фазой имеющей вырожденные или вырожденные и неизолированные особые точки, а также с не дифференцируемой фазой.

В главе 4 оценки, полученные в главе 3, применяются для исследования кратных осциллирующих интегралов, появляющихся в аналитической теории чисел и тесно связанных с числом решений систем диофантовых уравнений.

Рассмотрим систему уравнений (см. [11], [1])

х, +... + хк =у, +... + ук х!+... + х2к =у!+... + у2к

(П)

х:+...+х;=у:+...+у"к

где неизвестные хх,...,хк\ у\,...ук, принимают значения целых

чисел от 1 до Р ,Р > 1. Систему (11) называют полной. Если в системе (11) некоторые уравнения опущены, то такую систему

называют неполной. Для числа решений (Р) этой системы

при Р—>+°° Хуа Ло-ген [11] на основе метода тригонометрических сумм И.М. Виноградова в 1938 г. вывел асимптотическую формулу:

(Р) = а • в0Р1к'°-5("2+") + о{р2к-^п2+^6)

где <!> = (иД)> 0, к имеет порядок п21пп, о - особый ряд, 90 - особый интеграл:

-{-©о +00

90= /..../

—оо —оо

|ехр{2га'(алх" +... + щх^рх

2 к

Хуа Ло-ген доказал [11], что особый интеграл 0О сходится

при 2к > 0,5п2 + п и отметил, что вопрос о точном значении показателя сходимости остается открытым. Как отмечалось выше, точное значение показателя сходимости особого интеграла 0О было получено в работах Г.И. Архипова, А.А. Карацубы и В.Н. Чубарикова, а именно ими доказана теорема 1.2 (см. [1] стр. 26-37):

ТЕОРЕМА 1.2. Интеграл % = %{к) сходится при 2&>0,5(и2 + и)+1 и расходится при 2к < 0,5(я2 + п)+1

В многомерном случае, т.е. для системы диофантовых уравнений:

£(-1)Ч"4=0' 0</, <«„...,0</г<Пг (12)

где неизвестные меняются в пределах

1<^<Рр...,1<*ч<Рг (j=l,2,...2k)

особый интеграл в соответствующей асимптотической формуле для числа решений системы (12) имеет вид (см. [1]):

+©о -j-oo

e= J...J

—оо —»оо

1 1

J... Jexp{2 тliF (х,,.. .xr )}i£c].. .dx, о о

2 к

da,

(13)

где

и, пг

F{xh...xr)= 2 ...

/,=0 tr=0

а(0.....0) = 0 (14)

Если в системе (12) некоторые уравнения опущены, то

соответствующие коэффициенты тождественно

равны нулю.

Показателем сходимости интеграла 0 называется число У, такое, что интеграл (13) сходится, если 2к>у + е и расходится, если 2к<у-е , где 8>0 произвольное, сколь угодно малое число.

В работах Г.И. Архипова, A.A. Карабуцы и В.Н. Чубарикова доказаны следующие теоремы (см. [1] стр.50-53).

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть m=(n1+l)...(nr+l)-lf СС-т-мерный вектор, координатами которого являются коэффициенты

многочлена 0 - особый интеграл (13) отвечающий

Р(х1?..., Хг). Тогда

у<п-т, п = шах(«1,...,иг)

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть особый интеграл 0 отвечает многочлену

следующего вида:

F(x1,...x,)= ¿...¿а {1ь...,1г)х[К..х';, 1х+... + 1г<п ¿1=0 1Г=0

(15)

Тогда

у < г

ЧГ+1У

+г

Там же отмечено, что вопрос о показателе сходимости У особых интегралов 0 многомерной проблемы Терри остается открытым. И.А.Икромовым [12] для показателя сходимости У получены оценки снизу:

у>—п-ш+ 1 2

(16)

для многочлена Р(х15..., хг) вида (14) и

у>

п + г г +1

+1

(17)

для многочлена вида (15)

Также в [12] для многочлена Р(ХР-, хг) имеющего вид:

г, =[7Г/2]+1 у2=0 (,= О

получено точное значение показателя сходимости:

2>(* + 1Г' (18)

к=Щ(н

В главе 4 диссертации рассмотрены особые интегралы 0, отвечающие многомерному аналогу проблемы Терри для

произвольного многочлена хг). Пусть

А = {(1р-^г)|11 >0,...Д, >0} , (0,...,0)еА- некоторый конечный набор целочисленных векторов и пусть

РА(хр-,хг)= £ а(11,...,1г)х11...х;г

О,, ЛМ

Пусть N |А| . число элементов множества А. В параграфах 4.1 и 4.2 для показателя сходимости У особого интеграла

+оо +С,

е- м

1 1

.. |ехр{2га7^ (х\,...,хг )}А] ...с1хг о о

2 к

(/а,

где а - N - мерный вектор, координатами которого являются

коэффициенты многочлена Ра(х1'-' хг) получена оценка снизу:

у- I ^

(19)

при единственном условии, что вектор (0,...,и5,0,...,0)е А, где п5 = тах^К^^.^Ле Л], 5 = 1,...,г. Если многочлен

^(х,,...хг) полный по переменной х3 , т.е. множество А таково, что если вектор

(/,,...,«,...,/г)е А, то все векторы 0<^<п

принадлежат А, то оценку (19) можно уточнить:

IX+ 1 (20)

Легко видеть, что оценки (16) и (17) полученные И.А. Икромовым [12] содержатся в оценке (20). Кроме того, для неполного многочлена нижняя оценка (19) совпадает с точным значением показателя сходимости (18).

В параграфе 4.3. получены оценки сверху показателя сходимости У особого интеграла 8 для многочленов

Рд (х,,..., хг) при дополнительных ограничениях на множество

А. Пусть векторы из множества А по некоторой координате, без ограничения общности будем считать, что по первой удовлетворяют условиям:

а) если

б) если ¡г)^ тг) ,то1,*т,

При этих предположениях для показателя сходимости У особого интеграла 0 выполнено неравенство

у<тах{т, +\,т2,...,тг}, (21)

где =

Кроме того, при условии, что

2

где п1-шах{11|(^,...,1г)е А| неравенство (1.21) можно улучшить:

у < шах {ш,,..., шг}

Условие (22) означает, что многочлен Рд (хр--5 хг) неполный по переменной х,.

В параграфе 4.4 для неполного многочлена Ра(хр-, хг) удовлетворяющего требованиям (п,,0,...,0)е А, т, >тах(т2,...,тг) и условиям а) и б), получено точное значение показателя сходимости:

у = Ш}.

Литература

1. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н.. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987

2. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н.. Кратные тригонометрические суммы.М.:Наука, 1980

3. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Тригонометрические интегралы. Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1979. Т. 43. №5. с.971-1003.

4. Попов Д.А. Оценки с константами для некоторых классов осциллирующих интегралов. УМН, 1997, Т. 52, вып. 1, с.77-148.

5. Попов Д.А. Восстановление характеристических функций в двумерной Радоновской томографии. УМН, 1998, Т. 53, вып. 1.С.115-198

6. Попов Д.А. Сферическая сходимость ряда и интеграла Фурье индикатора двумерной области. Труды МИАН, 1997, Т. 218, с.354-373.

7. Куркиев A.B. Anal. Math. 1993. V. 19. с.32-47.

8. Carleson L. Some analytic problems related to statistical mechanics//Eucledean harmonic analysis: Proc. Univ. Md, 1979. B. etc.: Springer, 1979. P.5-45 ( Lect. Notes Math.; V. 779).

9. Осколков К.И. Ряды И.М. Виноградова в задаче Коши для уравнений типа Шредингера. Тр. МИАН. 1991. Т. 200, с.265-288.

10. Осколков К.И. Ряды и интегралы И.М. Виноградова и их приложения. Тр. МИАН. 1989. Т. 190,с.186-221.

11. Hua loo-Keng/ On the numbers of solutions of Tarry's problem. Acta Sei. Sinica. 1952. V. 1.№1. p. 1-76.

12. Икромов И.A. On the convergence exponent of trigonometric integrals. Тр. МИАН. 1997, T. 218, c. 179-189.

13. Fang. Gensun. PF density, Chahkiev's condition and some related extremal problems. (English) Kexue Tongbao. Sei. Bull. Ed. 33 №19, 1584-1587.(1988).

14. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.:Наука, 1980.

15. Van der Corput. Zahlentheoretische Abschatzungen. Math. Ann. 1921. V. 84. №1. p.33-79.

16. Федорюк M. В. Метод перевала. М:Наука, 1977.

17. Хермандер JT. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1. Теория распределений и анализ Фурье. М.:Мир,1986.

18. Colin de Verdier. Nombre de pointe entere dans une famille homotheique de Domaines in R"// Ann. Ecoll. Norm. Sup. Ser.4 1977. V.40.№4.p.559-575.

19. Арнольд В.И., Варченко A.H., Гусейн-Заде C.M. Особенности дифференцируемых отображений. Т.2 М. Наука, 1984.

20. Arnold's Problems. Springer phases 2004. Ed. V.l. p. 392-393.

Публикации автора по теме диссертации

21. Чахкиев М. А. Экспоненциальные полиномы наименее уклоняющиеся от нуля и оптимальные квадратурные формулы. Матем. сборник, 120/162, №2, 1983, с.273-285.

22. Чахкиев М. А. Линейные дифференциальные операторы с вещественным спектром и оптимальные квадратурные формулы. Известия АН СССР, т. 48, №5, 1984, с. 1078-1108.

23. Чахкиев М. А. Квазимногочлены минимальной нормы и оптимальные квадратурные формулы. Чечено-Ингушский государственный университет. Труды семинаров по дифференциальным и функциональным уравнениям. Грозный, 1990, с.43-57.

24. Чахкиев М. А. О свойстве Фату решения задачи Коши для уравнения Шредингера. Доклады РАН, 1994, т.337, №5, с.589-591.

25. Чахкиев М. А. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Доклады РАН, 2003, т. 390, №1, с.24-26.

26. Чахкиев М. А. Оценки снизу показателя сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. Москва, 2003, с.85-86.

27. Чахкиев М. А. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Известия РАН, серия матем., т. 67, №2, 2003г. с.211-224.

28. Чахкиев М. А. Оценки осциллирующих интегралов и многочлены Чебышева. Труды одиннадцатых математических чтений МГСУ. Москва, 2004, с.84-89.

29. Чахкиев М.А. Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой. Известия РАН, серия матем., т. 70 № 1 ,2006г. с.283-320.

Заказ №260/11/06 Подписано в печать 1511.2006 Тираж 80экз Уел пл 1,5

ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 www.cfr.ru; е-таИ: info@cfr.ru

0.ВВЕДЕНИ Е.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ.

2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2.2. СВОЙСТВА ЯДРА G (t, Г}).

2.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 2.2.1.

2.4 СВОЙСТВО ФАТУ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИГЕРА.

2.4.1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1.2. (СЛУЧАЙ ЧЕТНОГО Г).

2.4.2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1.2. (СЛУЧАЙ НЕЧЕТНОГО Г).

3.ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ.

3.1. МОДУЛЬ ОСЦИЛЛЯЦИИ ФУНКЦИИ

3.2. ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ С АМПЛИТУДОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОДУЛЯ ОСЦИЛЛЯЦИИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ.

3.4. ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ С АМПЛИТУДОЙ ИЗ КЛАССОВ ЛИПШИЦА.

3.5. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО ИНТЕГРАЛА С ПОЛИНОМИНАЛЬНОЙ ФАЗОЙ.

3.6 ИНТЕГРАЛ ПИРСИ.

3.7. ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Л.Карлесоном [12] исследовалась задача Коши для простейшего уравнения Шредингера

--га^-^г {a-const, 1тд = 0); i//(x,t) = f(x),xeR (0*1) dt дх

Для функций Дх) имеющих компактный носитель в [12] установлены следующие факты относительно решений задачи (0.1): а) Если /(*) финитна и \f(x)- /0)| = о{\хравномерно, то выполнено свойство Фату, т.е. y/(x,t) стремится к Дх) равномерно по х при t->0. б) Если Дх) финитна и удовлетворяет условию Гелъдера (Липшица)с показателем У2 , т.е. \f(x)-f(y)\ = 0^\x-yf2y то f(t,x) ограничена, но свойство Фату может не выполняться. с) Если функция Дх) удовлетворяет условию Гелъдера с показателем \l<\+s,s>0 или, более общо, Дх) принадлежит классу Соболева я]'4, т.е.

-со то для почти всех xeR решение ц/Ц,х) задачи (0.1) стремится к f{x) при t-+0. г z

Пусть Pr(z)- Pr(a,z) =— + ar-lzr ]+. + ct\Z- многочлен r степени г с вещественными коэффициентами и пусть Dx и Dt следующие дифференциальные операторы:

D^D.-M. i дх i dt

Поставим задачу Коши: найти функцию ¥ = удовлетворяющую соотношениям:

D,4 = Pr{Dx)4, ) = f(x),xeR. (0.2)

В работе [11] утверждения (а) и (б) Л.Карлесона доказаны для многочлена третьей степени p^(z) = z\ т.е. для вырожденного уравнения Кортевега-де Фриза: дш SV ,т , ч г, ч

-f = fl7T (1тд = 0); y/(x,t) = f{x). dt дх

Формально, в смысле дифференцирования под знаком интеграла и подстановки значения / = о обобщенное решение задачи (0.2) можно представить в виде:

00 -оо где -f-CO = — J/(x)exp {-/£*}<&

-CO преобразование Фурье функции /(*) или

1 +СО

-оО где

00 -00

Для исследования решений задачи (0.2) необходимо изучение функций G(t,jj). При малых значениях степени г многочлена pr(z) функция G{t,rj) может быть выражена в терминах известных специальных функций: при г=2 это интеграл Френеля, при г=3 интеграл Эйри, асимптотика которого хорошо изучена, при г=4 интеграл Пирси, где еще оставались вопросы. При г>4 функции G{t,i7) изучены мало, в связи, с чем в диссертации изучаются методы оценки осциллирующих интегралов.

Осциллирующие интегралы встречаются в различных областях математики: математическом анализе, математической статистике и теории вероятностей, математической физике и теории чисел. Постоянно появляющиеся новые приложения осциллирующих интегралов приводят к новым постановкам задач об их оценке и к необходимости обобщения уже известных результатов. Осциллирующим интегралом в соответствии с принятой терминологией, называется интеграл вида

Is - jz/(x)ex р (iAf(x))dx, (0.3) м где x = (xl,.,xs)eR\ м с R", функция и = и(х) называется амплитудой, вещественная функция f(x) называется фазой, Я > 1 -большим параметром. Амплитуда и фаза могут зависеть от ш-мерного параметра t.

Различают две общие задачи об оценке осциллирующего интеграла:

1) Задача об асимптотической оценке осциллирующего интеграла при Л->со и фиксированном значении параметра t (индивидуальные оценки).

2) Задача о равномерной оценке при t с Т с Rmт.е. оценке вида: ls\<C(u)X~a, а> 0, в которой константы С(и) явно указаны.

В диссертации исследуется задача 2). Первые равномерные оценки осциллирующих интегралов были получены в работах И.М. Виноградова и Ван дер Корпута в связи с задачей о числе целых точек в плоских областях [21,22]. Эти методы были развиты в работах Г.И. Архипова, А.А. Карацубы и В.Н. Чубарикова [14,15,16], что в частности позволило им получить полное решение проблемы Хуа JIo-гена о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри в одномерном случае [1]. Используя методы разработанные этими авторами в теории чисел для оценки одномерных осциллирующих интегралов и некоторые модификации метода стационарной фазы Д.А. Поповым [6,7] исследована задача о поточечной сходимости алгоритмов восстановления в двумерной Радоновской томографии и задача о поточечной сходимости сферических методов суммирования интегралов и рядов Фурье характеристических функций областей в R" .

Перечисленные выше методы оценки осциллирующих интегралов (см. также [23,30,31]) предполагают наличие у фазы f(x) достаточного числа производных, и неприменимы для не дифференцируемых функций /(*). Однако для учета эффекта интерференции положительных и отрицательных значений осциллирующего интеграла достаточно только выпуклости функции f(x). В диссертации получены оценки одномерных осциллирующих интегралов с фазами, имеющими конечное число интервалов выпуклости и вогнутости. Получены также оценки кратных осциллирующих интегралов, с фазой имеющей вырожденные и неизолированные особые точки.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Главы, в свою очередь, делятся на параграфы.

1. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987

2. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри. ДАН СССР. 1979. Т. 248. №2. с.268-272

3. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы.М.:Наука, 1980

4. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Тригонометрические интегралы. Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1979. Т. 43. №5. с.971-1003.

5. Попов Д.А. Оценки с константами для некоторых классов осциллирующих интегралов. УМН, 1997, Т. 52, вып. 1, с.77-148.

6. Попов Д.А. Восстановление характеристических функций в двумерной Радоновской томографии. УМН, 1998, Т. 53, вып. 1, с.115-198

7. Попов Д.А. Сферическая сходимость ряда и интеграла Фурье индикатора двумерной области. Труды МИАН, 1997, Т. 218, с.354-373.

8. Крейн М.Г. К теории наилучшего приближения периодических функций. Докл. АН СССР, 1938, т. 18, № 4-5, С.245-251.

9. Ахиезер Н.И. О наилучших приближениях аналитических функций. Докл. АН СССР, 1938, Т. 18, №2, с.241-244.

10. Тихомиров В.Н. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд. МГУ, 1976.

11. Куркиев А.В. Anal. Math. 1993. V. 19

12. CarlesonL. Some analytic problems related to statistical mechanics//Eucledean harmonic analysis: Proc. Univ. Md, 1979. B. etc.: Springer, 1979. P.5-45 (Lect. Notes Math.; V. 779).

13. Осколков К.И. Ряды И.М. Виноградова в задаче Коши для уравнений типа Шредингера. Тр. МИАН. 1991. Т. 200, с.265-288.

14. Осколков К.И. Ряды и интегралы И.М. Виноградова и их приложения. Тр. МИАН. 1989. Т. 190,с. 186-221.

15. Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле. ДАН СССР. 1976. Т. 227. №6, с. 1308-1310.

16. Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах. Матем. Заметки. 1976.Т. 20, №1, с.61-68

17. Hua loo-Keng/ On the numbers of solutions of Tarry's problem. Acta Sci. Sinica. 1952. V. 1.№1. p. 1-76.

18. Икромов И.А. On the convergence exponent of trigonometric integrals. Тр. МИАН. 1997, Т. 218, с. 179-189.

19. Эрдейн А. Асимптотические разложения. М.:Наука, 1962.

20. Fang. Gensun. PF density, Chahkiev's condition and some related extremal problems. (English) Kexue Tongbao. Sci. Bull. Ed. 33 №19,1584-1587.(1988).

21. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.:Наука, 1980.

22. Van der Corput. Zahlentheoretische Abschatzungen. Math. Ann. 1921. V. 84. №1. p.33-79.

23. Федорюк M. В. Метод перевала. М:Наука, 1977.

24. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.:Мир,1986.

25. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем.-Известия АН СССР. Сер. матем., 1946, т. 10, с.207-256.

26. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 2-е изд. М.:Наука, 1969.

27. Бари Н. К. Тригонометрические ряды ФМ., Москва, 1961.

28. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. Издательство "Мир", Москва, 1965.

29. Zolotarev G., Korkine A. Sur un certain minimum. -Nuovelles annals de mathematiques., 2-е serie,1873,p.337-355.

30. Арнольд В.И. Интегралы быстро осциллирующих функций и особенности проекций лагранжевых многообразий, Функ. анализ 6:3(1972), 62-62.

31. Арнольд В.И. Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. Успехи мат. наук. 1973 .т.ХХVIII вып.5(173). стр. 17-44.

32. Colin de Verdier. Nombre de pointe entere dans une famille homotheique de Domaines in R"// Ann. Ecoll. Norm. Sup. Ser.4 1977. V.40.№4.p.559-575.

33. Arnold's Problems. Springer phases 2004. Ed. V. 1. p. 392393.Публикации автора по теме диссертации

34. Чахкиев М. А. Экспоненциальные полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля и оптимальные квадратурные формулы. Доклады АН СССР, т. 260, №6, 1981, с. 1309-1312.

35. Чахкиев М. А. Об оптимальности равноотстоящих узлов. Доклады АН СССР, т. 264, №4, 1982. С.836-839.

36. Чахкиев М. А. Линейные дифференциальные операторы и оптимальные квадратурные формулы. Доклады АН СССР, т. 273, №1, 1983, с.60-65.

37. Чахкиев М. А. Об оптимальности равноотстоящих узлов. Некоторые вопросы прикладной математики. Издательство Московского университета.1982.

38. Чахкиев М. А. Экспоненциальные полиномы наименее уклоняющиеся от нуля и оптимальные квадратурные формулы. Матем. сборник, 120/162, №2, 1983, с.273-285.

39. Чахкиев М. А. Линейные дифференциальные операторы с вещественным спектром и оптимальные квадратурные формулы. Известия АН СССР, т. 48, №5, 1984, с.1078-1108.

40. Чахкиев М. А. О свойстве Фату решения задачи Коши для простейшего уравнения Шредингера. Всесоюзная конференция по теории функций. Тезисы докладов. Ереван, 1987, с.53-54.

41. Чахкиев М. А. Квазимногочлены минимальной нормы и оптимальные квадратурные формулы. Чечено-Ингушский государственный университет. Труды семинаров по дифференциальным и функциональным уравнениям. Грозный, 1990, с.43-57.

42. Чахкиев М. А. О свойстве Фату решения задачи Коши для уравнения Шредингера. Доклады РАН, 1994, т.337, №5, с.589-591.

43. Чахкиев М. А. О свойстве Фату решения задачи Коши для уравнения Шредингера. Международная конференция, посвященная девяностолетию со дня рождения JI. С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва, 1998г.

44. Чахкиев М. А. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Доклады РАН, 2003, т. 390, №1, с.24-26.

45. Чахкиев М. А. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри. Известия РАН, серия матем., т. 67, №2, 2003г. с.211-224.

46. Чахкиев М. А. Оценки осциллирующих интегралов и многочлены Чебышева. Труды одиннадцатых математических чтений МГСУ. Москва, 2004, с.84-89.

47. Чахкиев М.А. Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой. Известия РАН, серия матем.,т.70 № 1,2006г. С. 183-220 .