Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ.и

БЛАГОДАРНОСТИ .ш

Введение

Часть А

Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов

1. Сингулярные интегральные операторы.

2. Асимптотические оценки

3. Почти ортогональные разбиения.

4. Оценки вне критического множества.

5. Оценки на критическом множестве

6. Соотношения почти-ортогональности

Часть Б

Преобразование Мелроуза-Тейлора

7. Преобразование Мелроуза-Тейлора в теории рассеяния

8. Свойства регулярности.

9. Регулярность обощенных преобразований Радона.

10. Ассоциированное каноническое соотношение

11. Препятствие допускающее касательные плоскости точного порядка

12. Препятствие с асимптотически малой секционной кривизной

13. Односторонние почти-ортогональные разбиения

14. Индивидуальные оценки около критического множества.

15. Свойства регулярности оператора Р.

Основной предмет данной монографии составляют осциллирующие интегральные операторы:

Тхи{х) = J eils^y(x,ú)u(ú)dú, x,úe R".

Свойства непрерывности таких операторов хорошо известны для случая, когда фазовая функция S(x,&) невырождена: dct.S'n<) ф 0. Такие операторы являются естественным обобщением преобразования Фурье. Если у/(х,$) - символ порядка ноль (по отношению к переменной $), то, как и преобразование Фурье, 7\ оказывается непрерывным в L2, причем его норма допускает оценку ||7\|| < const Х~п/2. Упомянем основополагающую статью JT. Хёрмандера [Нбг71], а также статью К. Асады и Д. Фудживары [AF75], где рассмотрен случай операторов с некомпактными носителями.

Нас будут интересовать операторы, фазовая функция которых вырождена на некотором критическом множестве, которое является гладким подмногообразием коразмерности 1, и когда проекции с ассоциированного канонического соотношения удовлетворяют некоторым геометрическим условиям. Главный вопрос - каков оптимальный показатель убывания нормы оператора когда X велико. Эта задача возникает при изучении операторов Фурье с сингулярными каноническими соотношениями. Упомянем статьи И. Пана и К. Corra [PS90], Д. Фонга и Э. Стейна [PS86, PS91, PS92, PS94a, PS94b, PS94c], А. Гринлифа и А. Зигера [GS94] и С. Кукканьи [Сис97].

Во многих случаях требуется нарезать носитель осциллирующего оператора на маленькие кусочки и использовать подобающие оценки для операторов с носителями на этих кусочках (прибегая к принципу почти-ортогональности М. Котлара [Cot55]; смотрите Приложение). Для осуществления такой программы требуется иметь полный набор асимптотик норм осциллирующих интегральных операторов. Первое, что приходит в голову - асимптотики, соответствующие величине невырожденности (значение детерминанта смешанного Гессиана фазовой функции) и размеру носителя интегрального ядра.1

В первой части монографии мы формулируем асимптотики оценок для случая, когда обе проекции с канонического соотношения являются складками Уитни, причем одна из них становится асимптотически вырожденной. Мы выводим асимптотики, соответствующие кривизне вырождающейся складки и величине носителя осциллирующего интегрального оператора. Полученные асимптотики позволяют интерполяцию между случаями, рассмотренными Мелроузом и Тейлором в [МТ85] (обе проекции - складки Уитни), и случаем рассмотренным Гринлифом и Зигером [GS94] (одна проекция - складка Уитни; свойства другой проекции не оговорены).

Развитая техника асимптотических оценок позволяет нам исследовать определенные случаи, когда одна из проекций не является складкой Уитни в некоторых точках, но тем не менее удовлетворяет некоторым условиям кривизны.

Во второй части монографии мы рассматриваем конкретный оператор Фурье с сингулярным каноническим соотношением, который возникает в теории рассеяния: обобщённое преобразование Радона, которое изучалось Р. Мелроузом и М. Тейлором в [МТ85]. В этой работе они рассматривали рассеяние на выпуклом препятствии с выпуклой границей со хМы всегда предполагаем, что все участвующие функции и их производные ограничены. 2 строго положительной Гауссовой кривизной. Рассмотрение было основано на факте, что двусторонняя складка Уитни может быть приведена к нормальному виду.

Если отбросить предположение, что кривизна границы строго положительна, то проекции с границы рассеивателя (точнее, с канонического соотношения) могут не быть складками Уитни. Вследствие этого, приведение к нормальному виду невозможно. Для преодоления этой трудности требуется альтернативный аналитический подход.

Техника, разрабатываемая в первой части диссертации, позволяет выводить свойства непрерывности обобщённого преобразования Радона, рассмотренного Мелроузом и Тейлором, в случае, когда граница рассеивателя допускает касательные плоскости с точным касанием конечного порядка к (глава 11).

Можно также вывести оценку соответствующую асимптотически малому значению секционной кривизны границы (глава 12).

В главах 13 и 14 манускрипта мы выводим точные свойства регулярности обобщённого преобразования Радона, рассмотренного Мелроузом и Тейлором, для рассеяния на произвольном выпуклом препятствии с гладкой границей. Результат формулируется в терминах максимального порядка касания касательных прямых с границей препятствия.

Данное научное исследование представляет собой ещё один шаг к пониманию связи сингулярных интегральных операторов, кривизны и ортогональности.

Часть А

Асимптотические оценки для сингулярных интегральных операторов