Асимптотическое разложения решений некоторых задач Дирихле для уравнения Навье-Стокса с малым параметром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ5 0/1

московский государствен™ университет

; г [ имени м.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.954

аверьянов андрей николаевич

асимптотическое разложение решений некоторых задач дирихле ДЛЯ уравнения навье-стокса с малым параметром

специальность 01.01.02 дифференциальные уравнения

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1996

¡¿Л

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наун, доцент Т.Д. Вентцель

Официальные оппоненты:

Академик РАН ,

доктор физико-математических

наук Н.С.Бахвалов,

Ведущая организация:

Кандидат физико-математических наук А.Ю.Беляев

Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится " ^ " О К МяЕЬя 1996 г. в 16 часов 05 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова но адресу:119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1624.

С диссертацией модно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж ).

Автореферат разослан 4 " семт я 5Ъя 1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Теория усреднения дифференциальных операторов, возникшая в основном за последние 20 лег,представляет в настоящее время бурно развивающуюся область научных исследований,имеющую широкие приложения в физике и технике. Основы теории были заложены в работах Е. Де Джорджи и С.Спаньоло 113 , Н.С.Бахвалова 12-31. В.Л.Вердичевского [43,А.Бенсусана, Ж.Лионса и Г.Папаниколау [53.

В 80-90 г.г. опубликован ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения.Это книги Э.Санчес-Паленсии [63, Ж.Лионса Г73, Н.С.Бахвалова и Г.П.Панасенко С83, О.А.Олейник , Г.А.Иосифьяна и А.С.Шамаева [93 , В.В.Жикова , С.М.Козлова и О.А.Олейник L93.

В значительной мере физические задачи определяют основные направления математических исследований в этой области.

1) De Giorei Е.. Spaenolo S. Sulla convereenza delli inteerali

dell enerfia per operatori elliptici dsl secondo ordine. //Boll. Unions'Mat. Ital.- 8. 1973.- p.391-411;

2) Бахвалов H.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. //ДАН СССР. -1975.- т.221. -3. с. 516-519;

3) Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой.//ДАН СССР. -1974.- т.218. -5. с.1046-1048;

4) Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодических структур.//ДАН СССР.- 1975.- Г.222.- 3. с.565-567;

5) Bensoussan A., Lions J.L.. Papanicolau G. Asymptotic Analysis

for periodic structures.//Amsterdam.-North Holland. 1978;

6) Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний.

// М. : Мир. 1984;

7) Lions J.L. Some Methods in Mathematical Analysis of

System and Their Control. // Beijine. - China: Science Press. - New Vork. - Cordon and Breach. - 1981;

8) Бахвалов Н.С..Ланасенко Г.П. Осреднение процессов в. периодических средах.// М.: Наука. 1984;

9) Олейник 0.А.. Иосифьян Г.А.,Шамаев А. С. Математические задачи

теории сильно неоднородных упругих сред.// М.:Изд-во МГУ. 1990;

10) Жиков В.В.. Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов.// М, : Физико-математическая лит-ра. 1993;

- с -

диссертация посвящена применению теории усреднения дифференциальных операторов и метода двухмасштабных асимптотических разложений к описанию стационарных гидродинамических процессов, протекающих в высокоэффективных теплопередающих устройствах , называемых тепловыми трубами. Цель работы.

Построить асимптотическое разложение решений ряда задач Дирихле для уравнения Стокса и Навье-Стокса с малым параметром и обосновать оценки для невязок вскорости и давления в нормах соответствующих соболевских пространств.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

Построены асимптотические разложения для решений:

1) задачи Дирихле для уравнения Стокса и Навье-Стокса с быстро осциллирующей правой частью;

2) задачи об осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидкости в длинном цилиндрическом канале со вдувом (отсосом) потока на боковой поверхности;

3) системы Стокса с быстро осциллирующим условием Дирихле

в плоских областях типа полуплоскости,прямоугольника, круга.

4) задачи Дирихле для уравнения Пуассона с быстро осциллирующей правой частью.

Доказаны теоремы об асимптотической сходимости построенных асимптотических приближений к решениям исходных задач в нормах соответствующих соболевских пространств. Методы исследования.

Используются теория усреднения дифференциальных операторов и метод двухмасштабных асимптотических разложений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, занимавдимся асимптотическим анализом задач для уравнений в частных производных (в основном усреднением дифференциальных операторов) и его применением к задачам гидродинамики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывалисъ на семинаре Г.А.Чечкина и А.Ю.Беляева (декабрь 1994г.),на семинаре Н.С.Вахвалова по усреднению процессов в неоднородных средах (март 1995г.),на семинаре О.А.Олейник ( октябрь 1995г.). на международной конференции по дифференциальным уравнениям и

их приложениям, посвященной 95-летим со дня рождения И.Г.Петровского (апрель 1996г.).

Публикации. Список опубликованных работ, в которых содержатся основные результаты диссертации , приводится на последней странице автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, трех приложений и списка литературы, включающего 44 наименования. Обшй объем диссертации 130 листов.

Содержание диссертации

Во введении кратко изложена физико-техническая сторона исследуемой проблемы, дан обзор работ, относящихся к теме диссертации и показано строение ее структурных элементов.Утверждения вспомогательного характера,используемые при основных доказательствах, входят в состав приложения 1.

Вся первая глава посвящена построению асимптотических разложений решений задачи Дирихле для системы Стокса с быстро осциллирующей правой частью.В параграфе 2 рассматривается бездивергентная система Стокса в быстро осциллирующем поле массовых сил. В параграфе 3 изучается следующая система Стокса в общем случае быстро осциллирующей правой части:

r-AV + Vpt

$(х>$) 1-периодичны noj , Jfo 5) £ ^

g^sjeC^r], ¿=*/£.

Далее рассмотрим: 1) усредненную задачу

C-iUo +vp0=<s>

< di&Uo = <g>

L (0,1)»

) периодическую задачу на ячейке (к = 1;2)

-¿3 вк А А* (х,$) = +

+ г)

к иК~1 {">•

Вк(Х)5)> ) '^периодичны по ^ >

= Н*>$)-<£>> <9>;

3) задачу , корректирующую граничное условие

[ Ш'^егЩ = ЫХ'Ь^-щ

Введем обозначения:

-и! (х, I) Ф, $)- £ /-<г24 (к),

Ргкз) 5 Р°(х) + М*,1)-21(х,1) +Ы2(Х,1) .

Справедлива следующая Теорема 1. Имеет место оценка:

II ч Ч«)-Ч») кт+IIи X") -«!(*> #) IIн> Ш+

Ир (*) Рк(х> >1ПК-1{Ц/[Г\

Кроме того, слабо в / '' ^

р^рс сиосс ¿ ¿,(ф} 1 если

- о -

В параграфе 4 приведен финитный ( по переменной х ) случай осцилляции правой части.

Вторая глава посвящена усреднению решения задачи Дирихле для системы Навье-Стокса в быстро осциллирующем поле массовых сил.'

dqeC00,' (Л Uelxedq ° п = (2-;з),

НХА)^^^^), $ -периодична по J , ХД . ' Как известно til], если f удовлетворяет условию

HWhm < с ■

где С - некоторая постоянная, зависящая от )) , Q и п , то задача (1) имеет единственное обобщенное решение

uee(Hj(Q))n, PeeL2[Q)№.

Далее рассмотрим:

1) усредненную задачу

¿¿0-Uo =0

Uo¡d§

2) периодическую задачу на ячейке

ctyÁfrs) =о

J(X^) 1-периодичны по J ;

ll) Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.// М.: Наука. 1У70;

3) задачу , корректирующую граничное условие , , б с Су

сЦ =0 . &м/jcr'dJ =

Основным результатом главы 2 является следующая теорема: Теорема 2.

Пусть для j и ^ выполнены условия единст-

венности (2). Тогда имеют место следующие оценки

H^)-U0[x)ilm + ¡lp4xhPo(x)Lm = flfc ) ,

+

- 0(E).

В третьей главе исследуется осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости в тонком цилиндрическом канале со вдувом (отсосом) потока на боковой поверхности:

И!: +ъ11Ьо±1 -о

32 5L

I ¡¿'0 (¿=1 \г=о ¡¿=1 ' 11= г }

| ч^есчад (4)

{ По) ^ ^(1}=0, Е£(0,ЕоЗ. О

Здесь (г,2) - радиус и осевая координата соответственно.

- круговой цилиндр единичной длины и радиуса £ , ^ - радиальный оператор Лапласа,

и^(ъ1и)) (У^(^) ' осевая и радиальная компоненты скорости.

Асимптотическое приближение к решению задачи (3-4) получено в следующем виде: з

,.Д>(Ч2] = - Соме.

Справедлива следующая Теорема 3.

В приложении 2 методами главы 1 изучается задача Дирихле для уравнения Пуассона с быстро осциллирующей правой частью.

В приложении 3 рассмотрена однородная система Стокса в простых плоских областях типа полуплоскости., прямоугольника, круга с быстро осциллирующим условием Дирихле.Показано,что решения соответствующих задач носят характер пограничного слоя.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Г.Д.Вентцель за помощь в постановке задач и постоянное внимание к работе.

Слисок публикаций

1. Аверьянов А.Н. К вопросу о высокотемпературном течении насыщенного пара в цилиндрическом канале длинной тепловой трубы. // Ракетно-космическая техника, -труды. - Термоэмиссионные ядерные энергетические установки и электроракетные двигатели большой мощности.-1996, серия 12, выпуск 1-2, с.№0~1€9\

2. Аверьянов А.Н. Усреднение решения задачи Дирихле для системы Навье-Стокса с быстро осциллирующей правой частью. // Вестник МГУ.- серия мат. и мех..-1996.- N5, с.$Э~99 >

3. Аверьянов А.Н. Осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости в длинном цилиндрическом канале со вдувом (отсосом) потока на боковой поверхности.// МГУ.- механико-математический факультет. - Москва. - 1995,- 15 е.- библиография 3 названия. (Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН , МЕ /¿3 ? ~К9& )