Локализованные решения уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА 1. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА.

§1. Постановка задачи и формулы геометрической асимптотики.

§2. Параметрикс задачи Коши для линеаризованных уравнений Эйлера.

§3. Двойная асимптотика разрешающего оператора задачи Коши для линеаризованной системы Навье - Стокса.

§4. Асимптотика функции Грина системы Навье - Стокса при V 0.

§5. Локализованные решения, сосредоточенные в окрестности точки.

§6. Решения, локализованные в малой окрестности кривой.

§7. Решения, сосредоточенные вблизи двумерной поверхности.

ГЛАВА 2. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА.

§8. Асимптотические свойства параллельного переноса.

§9. Временная эволюция асимптотических решений, локализованных вблизи кривой или поверхности.

§10. Поведение при £ —» оо асимптотических решений, сосредоточенных в окрестности точки.

ГЛАВА 3. "МАЛЫЕ" ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА.

§11. Малые решения нелинейной системы Навье - Стокса, сосредоточенные в окрестности поверхности.

§12. Локализованные асимптотики в задаче о ламинарном следе (стационарные решения, сосредоточенные вблизи кривой).

§13. Асимптотические свойства линеаризованных уравнений ламинарного следа.

§14. Нестационарные малые решения, локализованные вблизи кривой или точки.

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИКИ В ЗАДАЧАХ О ВИХРЯХ И ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ.

§15. Асимптотическое описание сглаженных тангенциальных разрывов (решения, быстро меняющиеся вблизи поверхности).

§16. Асимптотика стационарных решений уравнений Навье - Стокса, описывающих вытянутые вихри.

§17. Уравнения вытянутого вихря, заданные на графе Риба. Условия Кирхгофа, интегральные тождества и законы сохранения.

§18. Дополнительные условия на параметры и интеграл уравнений вихря и определение угла подкрутки.

§19. Радиально-симметричный вытянутый вихрь.

§20. Решения, сосредоточенные в окрестности точки, и топологические инварианты лиувиллевых слоений.

В настоящей работе исследуются асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, сосредоточенные в малой окрестности некоторой точки, кривой или двумерной поверхности в трехмерном пространстве (ширина этой окрестности и есть тот малый параметр, относительно которого строится асимптотическое разложение). Такие решения описывают локализованные структуры в несжимаемой жидкости, которые возникают в различных физических ситуациях. Литература, посвященная указанным структурам, чрезвычайно обширна; не претендуя на полноту, приведем наиболее широко известные примеры локализованных образований.

0.1. Физические примеры локализованных структур.

Пограничный слой.

При обтекании твердой поверхности (в частности, плоскости) потоком вязкой несжимаемой жидкости, вблизи этой поверхности возникает слой, в котором поле скоростей меняется резко, если вязкость достаточно мала. Причина возникновения такого слоя состоит в том, что в точках обтекаемой поверхности жидкие частицы прилипают к ней (т.е. поле скоростей в этих точках обращается в нуль), в то время как вдали от поверхности поток почти не чувствует ее. Пограничный слой, таким образом, осуществляет "склейку" нулевого поля скоростей на границе с полем скоростей внешнего потока; его толщина определяется вязкостью. Основы физической теории пограничного слоя были заложены в классических работах Прандтля (см., например, [112,169]); в частности, им были получены уравнения, описывающие изменение поля скоростей в этом слое. Математическая теория уравнений Прандтля была построена в 60-х годах (см. [103-108]); в частности, были доказаны теоремы существования и единственности решений двумерных уравнений пограничного слоя, исследована скорость выхода решения на свою асимптотику, изучено явление отрыва. Теория пограничного

Typeset by AmS-ТеХ 5 слоя продолжает активно развиваться в настоящее время; см., например, [47,48,108,117,119] и цитированную там литературу.

След за погруженным в поток телом.

Если в поток жидкости помещено тело, размеры которого малы по сравнению с характерным масштабом потока, то в результате обтекания в потоке образуется след - длинное вытянутое вдоль потока возмущение. Поле скоростей этого возмущения локализовано вблизи кривой (оси следа); при удалении от этой кривой возмущение исчезает. Теория дальнего ламинарного следа, так же как и теория пограничного слоя, давно известна в физической литературе (см, например, [77,116,119,120] и цитированные там работы); один из центральных инструментов в этой теории - т.н. приближение Озеена [77,168], позволяющее получать для следа простые и эффективные уравнения. Отметим, однако, что это приближение, вообще говоря, не справедливо, если внешний поток имеет достаточно сложную геометрию.

Сглаженные разрывы.

Разрывным решениям уравнений идеальной жидкости и идеального газа посвящена огромная литература (см., например, работы цитированные в [20,63,64,66,77,94,95,120]). Хорошо известно, что сильные разрывы бывают двух типов - ударные волны и тангенциальные разрывы. При учете малой вязкости разрывные решения заменяются на решения, резко меняющиеся вблизи некоторой движущейся поверхности в трехмерном пространстве (фронта сглаженного разрыва). Асимптотическая теория быстроменяющихся решения, описывающих сглаженные ударные волны, развита в работах [94,95]; однако для сглаженных тангенциальных разрывов подобные асимптотики, по-видимому, мало изучались. В то же время, в несжимаемой жидкости могут существовать только тангенциальные разрывы, хотя они часто бывают неустойчивыми (см., например, [67,69,77]).

Локализованные вихри.

Во многих физических экспериментах наблюдались возникающие во внешнем потоке вихри, сосредоточенные вблизи некоторой кривой, поверхности или точки (примеры таких вихревых структур приведены, в частности, в книге [15]; см. также [145-147,160,163,164,167] и цитированную там литературу). Аналогичные образования наблюдались и при численном моделировании турбулентных процессов (см., например, 6

164]). Вихревые пленки, нити и точечные вихри являются предметом интенсивного изучения в различных областях гидродинамики и магнитной гидродинамики (в качестве примеров можно привести работы [142,145-147,160,163,164,167,174,177,178]; см. также цитированную там литературу). В частности, наличие вихревых нитей или вытянутых вихрей являются одной из характерных особенностей турбулизующихся потоков; в работе [164] роль таких образований сравнивается с ролью сухожилий в животном организме (подобно сухожилиям, вихревые нити могут переносить силы и энергию вязкой диссипации из одних областей потока в другие).

0.2 Общая постановка задачи.

С математической точки зрения, локализованные структуры в несжимаемой жидкости описываются асимптотическими решениями уравнений Навье-Стокса, содержащими малый параметр е —»■ 0 - характерную ширину области, в которой сосредоточена такая структура. При этом свойства асимптотики, отражающие факт локализации, следующие. В трехмерном объеме занятом жидкостью имеется некоторое подмногообразие М положительной коразмерности (точка, кривая или двумерная поверхность), при отходе от которой локализованное возмущение пропадает, и поле скоростей жидкости становится близким к некоторому "внешнему" потоку. Это означает, что трехмерное векторное поле и(х, t, г) (поле скоростей), удовлетворяющее системе Навье - Стокса, имеет следующую структуру ц(д,*,е) = (0.1) где скалярная или векторная функция Б (ж, £) обращается в нуль на многообразии М (размерность вектора Б равна коразмерности М). При этом должно быть выполнено следующее основное свойство локализации и(г,х,1,е) —> У(сс,£,б) при \г\ —> оо, где г — Б/е - вектор "быстрых" переменных, а - гладкая вектор-функция (внешний поток). Если М - двумерная, поверхность (и "быстрая" переменная г одна), функции У(х^,е), вообще говоря, могут быть разными по разные стороны от М (что отвечает стремлению 2 к +оо или к — оо); тогда асимптотика рассматриваемого вида 7 описывает сглаженный разрыв - слабый предел при е —> 0 функции II терпит разрыв первого рода на поверхности М.

Систематическое изучение асимптотических решений вида (0.1) системы Навье - Стокса составляет цель настоящей работы. При этом как с точки зрения применяемых методов, так и с точки зрения физических приложений естественно выделяются три разных ситуации -"линейная, слабо нелинейная и сильно нелинейная". В первой ситуации решения указанного выше вида строятся для линеаризованных на гладком векторном поле V уравнений Навье-Стокса; с физической точки зрения это означает описание локализованных возмущений, гораздо меньших внешнего потока по амплитуде. Такая задача интересна, прежде всего, с точки зрения теории гидродинамической устойчивости -если очень малые локализованные возмущения некоторого внешнего потока V нарастают со временем, то этот поток может оказаться неустойчивым (ср. с [68-70,140,170]). Поэтому в линейной ситуации естественно рассматривать две задачи: построения асимптотических решений линеаризованной системы Навье-Стокса и описания поведения построенных решений при больших временах. Этим вопросам посвящены первые две главы работы.

Слабо нелинейная" ситуация возникает при описании решений вида (0.1) нелинейной системы Навье - Стокса, удовлетворяющих дополнительному условию малости - при £ —0 функция II стремится к гладкой вектор-функции У{х, ¿) (внешнему потоку), причем разность I/ — V имеет порядок О (б). В этом случае нелинейные по локализованному возмущению слагаемые в уравнениях Навье-Стокса меньше по порядку, чем линейные; это обстоятельство сближает указанную ситуацию с задачами теории возмущений и теории многоволновых процессов (см. ниже). С физической точки зрения, малость локализованных составляющих решения естественна при описании ламинарных следов или струй в жидкости - такие образования, как правило, не сильно выделяются во внешнем потоке. Малым решениям нелинейных уравнений Навье-Стокса, сосредоточенным вблизи точки, кривой или двумерной поверхности, посвящена третья глава работы.

Наконец, четвертая (последняя) глава посвящена "сильно нелинейной" ситуации - в ней рассматриваются локализованные решения нелинейных уравнений, амплитуда которых не убывает при е —> 0. Такие решения описывают вихревые нити или точечные вихри большой ин8 тенсивности, а также сглаженные тангенциальные разрывы.

Остановимся вкратце на математических методах, применяемых для исследования решений вида (0.1) линейных и нелинейных уравнений в частных производных.

0.3. Асимптотические локализованные решения линейных уравнений в частных производных.

Решения линейных уравнений с частными производными, локализованные вблизи некоторого множества М положительной коразмерности в пространстве независимых переменных (конфигурационном пространстве), изучались со времен Стокса [175]. При этом, как правило, изучались эволюционные уравнения с постоянными коэффициентами, причем результаты касались, в основном, распространения волн в диспергирующих средах (см., например, [76]). В этом случае решение задачи Коши с локализованными начальными условиями "мгновенно асимптотически расплывается", т.е. в любой не зависящий от малого параметра момент времени t > 0 решение представляет собой функцию, имеющую один и тот же порядок малости в точках области размера 0(1) и осциллирующую внутри этой области. Такое явление (рас-плывание сосредоточенного возмущения за счет дисперсии) хорошо изучено и часто называется "образованием прогрессивной волны" (см., например, [76,80] и цитированную там литературу). С точки зрения теории квазиклассических (коротковолновых) асимптотик, образование прогрессивной волны означает поворот в фазовом пространстве лагранжева многообразия, описывающего асимптотическое решение. Действительно, нетрудно установить, что локализованное вблизи подмногообразия М коразмерности к начальное условие вида (0.1) может быть записано в виде (ср. с [80]) = \ e<{p>S)U(p,x)dp = ek/2KN.M[U(p,y)) + 0(e),

27Г)*72 JRk где N*M - конормальное расслоение к М, у £ М, р - координата в слое N*M, U(p, у) - преобразование Фурье функции U(z,y) по "быстрым" переменным z, а через К обозначен канонический оператор Маслова ([80,81,83]). Таким образом, локализованному начальному условию соответствует лагранжево многообразие N*M, целиком отображающееся в М при естественной проекции фазового пространства на конфи9 гурационное (см., например, [80]). Если при сдвиге вдоль характеристик это многообразие приводится в общее положение относительно указанного проектирования, то соответствующая ему функция перестает быть локализованной; это и означает образование прогрессивной волны.

Другая картина наблюдается при изучении сосредоточенных решений гиперболических уравнений в частных производных (такие уравнения описывают волновые процессы в средах без дисперсии). В этом случае эволюция локализованных начальных условий оказывается похожей на эволюцию разрывов в задачах с 5 - функцией в начальном условии [32,33,84] - решение "расплывается до коразмерности 1", т.е. в момент времени £ > 0 становится локализованным в окрестности поверхности коразмерности 1 в конфигурационном пространстве. Это обстоятельство связано с однородностью старшего символа гиперболического уравнения - за счет этой однородности лагранжево многообразие, описывающее решение, никогда не поворачивается до "общего положения". Отметим, что при построении асимптотических решений в указанных задачах центральную роль играет негладкость собственных чисел старшего символа гиперболической системы на нулевом сечении кокасательного расслоения (а также совпадение этих собственных чисел); такая негладкость не позволяет, в частности, прямо использовать схему коротковолнового приближения [7,80]. В.П. Маслов [85] предложил применять в аналогичных ситуациях конструкцию па-раметрикса (асимптотики по гладкости разрешающего оператора); в работах [32,33] при помощи этой конструкции были исследованы локализованные асимптотические решения строго гиперболических систем.

С точки зрения развитых для указанных выше ситуаций методов, линеаризованные уравнения Навье - Стокса с малой вязкостью (которым посвящены первые две главы настоящей работы), имеют следующие особенности. Во-первых, естественные уравнения характеристик ("нестандартных" в смысле [85]) для этих уравнений в частных производных линейные (т.е. соответствующие гамильтонианы - линейные "по импульсам" функции на кокасательном расслоении к Л3). Это обстоятельство приводит к тому, что "асимптотического расплывания" локализованного начального условия не происходит вовсе - если при £ = 0 возмущение сосредоточено вблизи множества коразмерности к в конфигурационном- пространстве, то при ^ > 0 оно

10 остается сосредоточенным вблизи множества той же коразмерности. Во-вторых, сам символ системы Навье-Стокса (записанной в "эволюционном" виде) - негладкая ("по импульсам") матричная функция (см., например, [40,137,149]), имеющая кратный спектр; в частности, негладкими оказываются и собственные проекторы. Наконец, в-третьих, наличие малой вязкости приводит к специальному устройству разрешающего оператора задачи Коши - он оказывается состоящим из двух частей, одна из которых "коротковолновая" (она устроена похоже на параметрикс гиперболических уравнений), а вторая - "сглаживающая".

Указанные обстоятельства приводят к тому, что при описании асимптотики локализованных решений уравнений Навье-Стокса приходится существенно модифицировать развитые ранее методы; в частности, центральным инструментом при изучении таких решений является двойная (одновременно по гладкости и малой вязкости) асимптотика разрешающего оператора, построенная в §§1-3 настоящей работы. Отметим, что близкие результаты были независимо получены в [149]; именно, там была построена асимптотика по малой вязкости функции Грина задачи Коши для линеаризованных уравнений Навье - Стокса, конструкция которой во многом аналогична упомянутой конструкции разрешающего оператора; далее при помощи этой функции Грина изучалась устойчивость внешних потоков. Отметим также, что локализованные квазимоды (т.е. приближенные решения спектральной задачи) для линейных уравнений Эйлера изучались, в частности, в работах [140,148,152,154]; в простейшем радиально-симметричном случае условие существования неустойчивой квазимоды фактически было получено в [170].

0.4. "Многоволновая" теория возмущений для малых решений нелинейных уравнений.

При изучении малых решений нелинейных задач (в частности, уравнений в частных производных) широко применяется схема теории возмущений, основанная на изучении резонансных свойств линеаризованного оператора [6,8,83,86]. Основные идеи такой схемы активно развивались в кинетической теории - для описания поведения системы в целом изучаются доминирующие типы "элементарных столкновений " между частицами, которые оказывают главное влияние на асимптотику. Применение аналогичных соображений в теории нелинейных волн приводит к необходимости изучать резонансы между "элементарными" волнами (см., например, [6,8]); при этом в основном исследо

11 вались ситуации, в которых доминирующими оказывались резонансы между тремя или четырьмя волнами или волновыми пакетами (теория трех- и четырехволновых процессов). С математической точки зрения, наличие многоволновых резонансов связано со специальными свойствами уравнений характеристик (т.е. гамильтонианов) линейной части уравнения; именно, если Н(р, х) - функция на кокасательном расслоении, гамильтонов поток которой задает характеристики линеаризованной задачи, то наличие трехволнового резонанса означает выполнение соотношения

Н(р1,х)+Н(р2,х)=Н(р1 +Р2,х) (0.2) для некоторых кокасательных векторов pi,p2

С точки зрения такой теории возмущений, характерной особенностью уравнений Навье-Стокса, является уже упоминавшаяся линейность по импульсам гамильтониана H (это обстоятельство было, в частности, отмечено в работе [86]). Она приводит к наличию бесконечного числа резонансов (приведенные выше соотношения выполнены для любых векторов pi)] другими словами, при описании старшей части асимптотики решения необходимо учитывать бесконечное число взаимодействий между "элементарными волнами". В результате соответствующая схема теории возмущений сильно модифицируется и оказывается ближе к "многофазовым" вариантам метода Уизема (см. ниже).

0.5. Метод Уизема и его модификации.

В асимптотической теории нелинейных уравнений в частных производных одним из центральных инструментов является метод Уизема (или нелинейный метод ВКБ, см., например, [16,34,35,52,53,61,62,79,8283,86-95,101,127,143,144,157] и цитированную там литературу). Этот метод (являющийся обобщением на случай уравнений в частных производных известного метода Крылова - Боголюбова и, с другой стороны, нелинейным аналогом коротковолновых и квазиклассических асимптотик) применяется для описания асимптотических решений (скалярных или векторных) уравнений вида : ди „92м . .

12 асимптотика ищется в виде и = и(Б(х)/е, х) + еИх + ., где 8(ж) - скалярная или векторная функция ("фаза" быстроменяющегося асимптотического решения). Старший член V асимптотического разложения как функция "быстрых" переменных г = Б(х)/е удовлетворяет "эталонному" уравнению (аналог невозмущенной системы в классической схеме усреднения) ди д2и

Ь0(и, дг ' дг2 = О,

0.4) где Х0 - нелинейный оператор (старшая часть оператора С относительно данной асимптотической процедуры). Поправка Т1\ удовлетворяет линейному неоднородному уравнению (уравнению в вариациях) вида

Ыирг =Е[Щ, (0.5) где Ь\\и] - линеаризованный на V оператор Хо, правая часть зависит от и и ее производных. Уравнения (0.4) и (0.5) играют ключевую роль в определении старшего члена асимптотики II; именно, сначала находится семейство решений нелинейного уравнения (0.4), а затем зависимость параметров этого семейства от "медленных" переменных х определяется из условий разрешимости уравнений для поправки (0.5) (эти условия в классической схеме теории возмущений приводят к усредненной системе). Указанный метод наиболее полно развит для исследования "однофазовых" решений (т.е. решений со скалярной функцией 8(ж)) скалярных уравнений; тогда (0.4) и (0.5) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения и в качестве решений (0.4) можно выбирать, например, периодические траектории. Для широкого класса задач нетрудно установить существование конечномерных семейств таких траекторий и вычислить коядро (также конечномерное) линеаризованного оператора условия ортогональности .Р этому коядру приводят к уравнениям, определяющим зависимость £7 от переменных х (см., например, [34,62]). Отметим, что семейства замкнутых траекторий уравнения (0.4) определяют асимптотические решения исходного уравнения (0.3), периодически зависящие от "быстрой" переменной Для описания локализованных решений (или решений типа "ударной волны") в "однофазовом" случае вместо замкнутых траекторий следует выбирать семейства сепаратрис, соединяющих два положения равновесия для (0.4). Соответствующая схема развита в работах

13

91-95,101], в которых, в частности, построены асимптотические решения, описывающие уединенные и (сглаженные) ударные волны для широкого класса исходных уравнений (0.3) (включая системы уравнений). При этом в схему Уизема были внесены существенные модификации, связанные с "сепаратрисным" характером решений, и использующие идеи и методы теории квазиклассических асимптотик с комплексными фазами [82] (теория комплексного ростка Маслова) и теории погран-слойных асимптотик [19,21,22].

Значительно сложнее обстоит дело с "многофазовыми" асимптотиками (т.е. решениями, зависящими от нескольких "быстрых" переменных г - случай векторнозначных функций 8(ж)). Для построения таких решений требуется изучать уравнения в частных производных (0.4) и (0.5), первое из которых - нелинейное. Вследствие этого соответствующая процедура развита в основном лишь для "интегрируемых" уравнений (т.е. в предположении, что "эталонное" уравнение (0.4) - бесконечномерная вполне интегрируемая гамильтонова система). В ее основе лежат конечномерные семейства конечнозонных или много солит онных решений уравнений (0.4), параметры которых (скорости и фазы соли-тонов или точка многообразия модулей римановых поверхностей, задающая конечнозонное решение) зависят от "медленных" переменных х (см. [34,35,38,52,53,61,79,91-93,143,144]). Отметим, что именно задачи описания эволюции "искаженных солитонов" или квазипериодических "волновых цугов" стимулировали бурное развитие схемы Уизема в последние десятилетия.

Существенное отличие "многофазовых" асимптотик от "однофазо-вых" проявляется, в частности, при исследовании младших членов асимптотического разложения. Именно, в "однофазовой" ситуации описание всех поправок, как правило, может быть осуществлено теми же методами, что и описание старшего члена асимптотики (см., например, [34,91-93]). В "многофазовом" же случае задача построения младших членов становится неизмеримо сложнее (во многих случаях она, по-видимому, безнадежно трудна). В литературе практически отсутствуют работы, посвященные этой задаче; одна из немногих - работа [38], в которой исследована первая поправка к уиземовской асимптотике для уравнения Кортевега - де Фриза, основанной на двухфазовом решении "эталонного" уравнения.

В работах [83,86] изучались "однофазовые" периодические по "бы

14 строй" переменной г асимптотические решения уравнений Навье-Стокса (в этом случае функция и и оператор С векторнозначны). При этом было обнаружено следующее важное обстоятельство, характерное для асимптотической теории уравнений гидродинамики - "эталонное" уравнение (0-4) (которое в "однофазовом" случае оказывается почти тривиальным) обладает бесконечномерным семейством точных решений и, вследствие этого, коядро оператора Ь\ - бесконечномерно. В результате из условия разрешимости задачи (0.5) возникает бесконечное число уравнений или, что то же самое, уравнения, содержащие "лишнюю" независимую переменную (в ситуации работ [83,86] эта переменная есть просто единственная "быстрая" переменная г = 3(х)/е). Соответствующая асимптотическая процедура развита в указанных выше работах и обобщена на уравнения магнитной гидродинамики в работах [87-90,155,156]. Отметим, что в гидродинамической задаче обтекания уравнения, возникающие из условий разрешимости (0.5), известны давно - это уравнения Прандтля теории пограничного слоя (см., например, [77,112]); уравнения работ [83,86-90,155,156] можно рассматривать как их (весьма нетривиальное) обобщение.

Про "многофазовые" асимптотические решения уравнений гидродинамики было известно очень мало, хотя, по-видимому, их свойства могут оказаться важными при описании ряда явлений в жидкости (в частности, в процессе развития турбулентности, см., например, [157,164]). Центральная трудность при исследовании таких решений состоит в изучении свойств эталонного уравнения (0.4) (которое в данной ситуации сводится к уравнениям Эйлера идеальной жидкости) и коядра линеаризованного оператора (0.5). Первый шаг в преодолении этой трудности был сделан в работе [157] - там изучались решения, периодически зависящие от "быстрых" переменных и было найдено конечномерное (точнее, пятимерное) пространство, принадлежащее коядру В этой же работе выписаны условия ортогональности правой части Р указанному конечномерному пространству.

В четвертой главе настоящей работы изучаются (не малые) локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса. При этом "однофазовые" решения (которые описывают сглаженные тангенциальные разрывы) строятся при помощи соединения схемы работ [83,86] и методов, развитых для описания "солитонных" асимптотик [91-95]. Для описания "многофазовых" решений развивается другая

15 точка зрения, основанная на связи асимптотики с топологическими свойствами решений и эталонного уравнения (0-4) - в данном случае, бездивергентного векторного поля на плоскости. По-видимому (см. [2,158-163]), топологические инварианты такого векторного поля (тесно связанные с его гидродинамическими инвариантами) в некотором смысле параметризуют решения (0.4) и, с другой стороны, определяют коядро оператора Ь\. Один из результатов четвертой главы состоит в предъявлении бесконечномерного пространства, принадлежащего указанному коядру. Условия ортогональности Р этому бесконечномерному пространству приводят к уравнениям, похожим на уравнения Прандтля теории пограничного слоя и уравнения работ [83,86]. Главное отличие полученных в настоящей работе уравнений от указанных состоит в их глубокой связи с топологическими инвариантами векторного поля и (г) - в частности, одна из независимых переменных в них меняется на графе - факторе плоскости по траекториям этого поля. Несмотря на такую достаточно сложную структуру, полученные уравнения, оказывается, обладают рядом интересных свойств -в частности, в гл.4 указаны два интеграла этих уравнений и, кроме того, бесконечная серия интегральных соотношений типа уравнений диссипации энергии; в пределе малой вязкости жидкости все эти соотношения также переходят в интегралы, образуя, таким образом, бесконечный набор законов сохранения.

В соответствии с отмеченной выше ситуацией, поправки к локализованным решениям уравнений Навье - Стокса в гл. 3,4 настоящей работы строятся лишь в "однофазовом" случае, т.е. для решений, локализованных вблизи двумерной поверхности (для линеаризованных уравнений в гл.1 приведено обоснование асимптотики, т.е. доказана оценка разности между точным и асимптотическим решением). Отметим в связи с этим, что, с точки зрения теорем существования, единственности и априорных оценок, уравнения Эйлера и Навье - Стокса чрезвычайно сложны; этим вопросам посвящено много знаменитых работ (см., например, [23-25,27,28,56,71-75,122,124]), однако соответствующая теория к настоящему времени все еще содержит много открытых важных проблем и, тем самым, не может считаться окончательно завершенной.

0.6. Основные результаты работы.

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико - групповых методов в гидродинамике. Новосибирск, Наука, 1994.

2. Арнольд В.И. Замечания о поведении течений трехмерной идеальной жидкости при малом возмущении начального поля скоростей. Прикл. мат., мех. т. 36, N 2, 1972, с. 255 262.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1974.

4. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления." М., ВИНИТИ, 1985, с. 5 304.

5. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. М., ВИНИТИ, 1964.

6. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., Наука, 1972.

7. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М., Мир, 1966.

8. Бабенко И.К. Об асимптотическом поведении вихря вдали от тела при обтекании его плоским потоком вязкой жидкости. Прикл. мат. и мех., т. 34, N 5, 1970, с. 911-925.

9. Бабенко И.К. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью. Докл. РАН, т. 210, N 2, 1973, с. 294-297.

10. Бабенко И.К., Васильев М.М. Об асимптотическом поведении стационарного течения вязкой жидкости вдали от тела. Прикл. мат. и мех., т. 37, N 4, 1973, с. 690-705.Typeset by AMS-rl\?L299

11. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. М.; Наука, 1997.

12. Буслаев B.C. Адиабатическое возмущение периодического потенциала. Теор. и мат. физика, т. 58, N 2, 1984, с. 233 243.

13. Буслаев B.C. Квазиклассическое приближение для уравнений с периодическими коэффициентами. Успехи мат. наук, т. 42, N 6, 1987, с. 77 98.

14. Бэтчелор Д. Введение в механику жидкости. М., Мир, 1973.

15. Вакуленко С.А., Молотков И.А. Стационарные волновые пучки в сильно нелинейной трехмерной неоднородной среде. Зап. научных семинаров ЛОМИ, т. 148, 1985, с. 52 60.

16. Вакуленко С.А., Молотков И.А. Волны в нелинейной неоднородной среде, сосредоточенные в окрестности заданной кривой. Докл. АН СССР, т. 262, N 3, 1982, с. 587 591.

17. Вакуленко С.А., Маслов В.П., Молотков И.А., Шафаревич А.И. Асимптотические решения уравнения Хартри, сосредоточенные при h —у 0 в малой окрестности кривой. Докл. АН СССР, т. 262, N 3, 1982, с. 587 591.

18. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973.

19. Великович A.JL, Либерман М.А. Физика ударных волн в газах и плазме. М., Наука, 1987.

20. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат. наук, т. 12, N 5, 1957, с. 3 -122.

21. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. Успехи мат. наук, т. 15, N 3, 1960, с. 3 78.

22. Вишик М.И., Комеч А.И. Индивидуальные и статистические решения двумерной системы Эйлера. ДАН СССР, т. 261, N 4, 1981, с. 780 785.

23. Вишик М.И., Комеч А.И., Фурсиков А.В. Некоторые математические задачи статистической гидромеханики. УМН, т. 34, N 5, 1979, с. 135 210.

24. Вишик М.И., Комеч А.И. О стохастической системе Навье -Стокса и соответствующих уравнениях Колмогорова. ДАН СССР, т.300257, N б, 1981, с. 780 785.

25. Вишик М.М. Генерация магнитного поля трехмерным стационарным потоком проводящей жидкости при больших магнитных числах Рейнольдса. Изв. АН СССР, Физ. Земли, N3, 1988, с. 3 12.

26. Головкин К.К. О плоском движении вязкой несжимаемой жидкости. Труды МИАН им. В.А. Стеклова, т. LIX, 1960, с. 37 86.

27. Головкин К.К., Ладыженская O.A. О решениях нестационарной краевой задачи для уравнений Навье Стокса. Труды МИАН им. В.А. Стеклова, т. LIX, 1960, с. 100 114.

28. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. М., Наука, 1989.

29. Данилов В.Г., Омельянов Г.А., Радкевич В.Е. Асимптотическое решение системы фазового поля и модифицированная задача Стефана. Диф. уравнения, т. 31, N 1, 1995, с. 483 491.

30. Диесперов В.Н., Рыжов О.С. Асимптотические методы в механике жидкости. Изв. АН СССР, мех. жидкости и газа, 1982, N 2, с. 75 87.

31. Доброхотов С.Ю., Жевандров П.Н., Шафаревич А.И. Эволюция локализованных возмущений в неоднородных без дисперсионных средах. В кн. "Колебания и волны в жидкости и газе", Горький , 1990, с. 45 53.

32. Доброхотов С.Ю., Жевандров П.Н., Маслов В.П., Шафаревич А.И. Асимптотические быстроубывающие решения линейных строго гиперболических систем с переменными коэффициентами. Мат. заметки, т. 49, N 4, 1991, с. 31-46.

33. Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ приближениях. Современные проблемы математики, М., ВИНИТИ, 1980, т. 15, с. 3-94,

34. Доброхотов С.Ю., Кричевер И.М. Многофазные решения уравнения Бенджамина Оно и их усреднение. Мат. заметки, т. 49, N 6, 1991, с. 42 - 58.

35. Доброхотов С.Ю. Приложение теории Маслова к двум задачам для уравнений с операторнозначным символом. Успехи мат. наук, т. 39, N 4, 1984, с. 125.

36. Доброхотов С.Ю. Резонансы в асимптотике решения задачи Коши для уравнения Шредингера с быстроосциллирующим конечно-зонным потенциалом. Мат. заметки, т. 44, N 3, 1988, с. 319 340.301

37. Доброхотов С.Ю. Резонансная поправка к адиабатически возмущенному конечнозонному почти периодическому решению уравнения Кортевега де Фриза. Мат. заметки, т. 44, N 4, 1988, с. 551 555.

38. Доброхотов С.Ю., Оливе В.М. Локализованные асимптотические решения уравнения магнитного динамо в ABC полях. Мат.заметки 1993. т. 54. N 4. с.45-68.

39. Доброхотов С.Ю., Шафаревич А.И. Параметрикси асимптотика локализованных решений уравнений Навье-Стокса в R3, линеаризованных на гладком течении. Мат. заметки, т. 51, N 1, 1992, с. 72-82.

40. Доброхотов С.Ю., Шафаревич А.И. Некоторые асимптотические решения линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Мат. заметки, т. 53, N 1, 1993, с. 25-35.

41. Доброхотов С.Ю., Шафаревич. А.И. О поведении на бесконечности поля скоростей несжимаемой жидкости. Изв. РАН, Мех. Жидкости и Газа, 1996, N 4, с. 38-42.

42. Доброхотов С.Ю., Оливе В.М., Шафаревич А.И. Квазиклассические асимптотики и комплексный росток Маслова в линеаризованных уравнениях Навье-Стокса. Успехи Мат. Наук, т. 48, N 4, 1993, с. 220-221.

43. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М., Наука, 1984.

44. Егоров Ю.В. Микролокальный анализ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 33. М., ВИНИТИ, 1988.

45. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Элементы современной теории. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 31 М., ВИНИТИ, 1988.

46. Жук В.И., Рыжов О.С. О пограничном слое с самоиндуцированным давлением на движущейся поверхности. Докл. АН СССР, т. 248, N 2, 1979, с. 314 -318.

47. Жук В.И., Рыжов О.С. Об образовании рециркуляционных зон в пограничном слое на движущейся поверхности. Известия АН СССР, мех. жидкости и газа, 1980, N 5, с. 3 10.

48. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., Наука, 1989.

49. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М., Наука, 1976.302

50. Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Нелинейные вихревые возмущения плазмы в Токамаке. ЖЭТФ, т. 65, N 2(8), 1973, с. 575-589.

51. Калякин JI.A. Длинноволновые асимптотики. Интегрируемые уравнения как асимптотический предел нелинейных систем. Успехи мат. наук, т. 44, N 1, 1989, с. 5 34.

52. Калякин JI.A. Асимптотика двойного интеграла типа Фурье из теории возмущений солитона. Диф. уравнения, т. 29, N 6, 1993, с. 1010 1024.

53. Карелина И.Г., Покорный Ю.В. О функции Грина задачи Дирихле на графе. Докл. АН СССР, 1991, т. 318, N 3, с. 542-544.

54. Карелина И.Г., Покорный Ю.В. О функции Грина краевой задачи на графе. Диф. уравнения, 1994, т. 30, N 1, с. 41-47.

55. Киселев A.A., Ладыженская O.A. О существовании и единственности решения для нестационарной задачи вязкой несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, сер. математ., т. 21, N 5, 1957, с. 655 680.

56. Козлов В.В. Замечания о стационарных вихревых движениях сплошной среды. Прикл. математика и механика, т. 47, N 2, 1983, с. 341-342.

57. Козлов В.В. О стохастизации плоскопараллельных течений идеальной жидкости. Вестник МГУ, Сер. матем., мех., 1991, N 7, с. 72 -76.

58. Козлов В.В. Гидродинамика гамильтоновых систем. Вестник МГУ, Сер. матем., мех., 1983, N 6, с. 10 22.

59. Козлов В. В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоно-вой механике. Изд-во Удмуртского гос. университета, Ижевск, 1995.

60. Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений. Функц. анализ и его прилож., 1988, т. 22, вып. 3, с. 37 52.

61. Кузмак Г.Е. Асимптотические решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Прикл. матем. и мех. т. 23 N 3, 1959, с. 730 744.

62. Куликовский А.Г. О структуре ударных волн. Прикл. матем. и мех., т. 23, N 3, 1959, с. 730 744.

63. Куликовский А.Г. О структуре ударных волн. Прикл. матем. и мех., т. 26, N 4, 1962, с. 631 641.

64. Куликовский А.Г. О структуре ударных волн в магнитной гидродинамике при произвольном законе диссипации. Прикл. матем. и303мех., т. 26, N 2, 1962, с. 273 279.

65. Куликовский А.Г. Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структура. Труды МИАН им. В.А. Стеклова, т. 182, 1988, с. 261 291.

66. Куликовский А.Г., Шикина И,С. О влиянии вязкости на устойчивость тангенциального разрыва в несжимаемой жидкости. Вестник МГУ, сер. матем., мех., 1997, N 6, с. 29 32.

67. Куликовский А.Г., Шикина И.С. О развитии возмущений на границе раздела двух жидкостей. Изв. АН СССР, мех. жидкости и газа, 1977, N 5, с. 46 49.

68. Куликовский А.Г., Шикина И.С. О развитии двумерных возмущений на поверхности тангенциального разрыва. Изв. АН СССР, мех. жидкости и газа, 1979, N 3, с. 12 16.

69. Куликовский А.Г., Шикина И.С. Об асимптотическом поведении возмущений при неустойчивости Кельвина Гельмгольца. Изв. АН СССР, мех. жидкости и газа, 1985, N 2, с. 23 - 30.

70. Ладыженская O.A. Решение в целом краевой задачи для уравнений Навье Стокса в случае двух пространственных переменных. Докл. АН СССР, т. 123, N 3, 1958, с. 427 - 429.

71. Ладыженская O.A. Стационарная краевая задача для вязкой несжимаемой жидкости. Успехи мат. наук, т. 13, N 4, 1958, с. 219 -220.

72. Ладыженская O.A. Математические задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., Наука, 1970.

73. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1970.

74. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967.

75. Лайтхилл Д. Волны в жидкостях. М., Мир, 1981.

76. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М., Наука, 1984.

77. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., Наука, 1981.

78. Мак-Лафлин Д., Скотт Э. Многосолитонная теория возмущений. В кн. "Солитоны в действии" М., Мир, 1981.

79. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М., Наука, 1988.

80. Маслов В.П. Операторные методы. М., Наука, 1973.304

81. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М., Наука, 1977.

82. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М., Наука, 1987, 408 стр. 1987.

83. Маслов В.П., Федорюк М.В. Логарифмическая асимптотика убывающих решений гиперболических по Петровскому уравнений. Мат заметки, т. 45, N 5, 1989, с. 50-62.

84. Маслов В.П. Нестандартные характеристики в асимптотических задачах. Успехи мат. наук, т. 38, N 6, 1983, с. 3-36.

85. Маслов В.П. Когерентные структуры, резонансы и асимптотическая неединственность для уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса. УМН, 1986, т. 41, N 6, с. 19-35.

86. Маслов В.П., Омельянов Г.А.Взаимодействие трех волн с учетом эффектов удвоения частот. М., Изв. вузов, Физика, 1986, N 3, с. 3-23.

87. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Об уравнениях типа Кадомцева Погуце для Токамака и областей с произвольной симметрией. ДАН СССР, т. 326, N 1, 1992, с. 83-90.

88. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Быстроосциллирующие асимптотические решения уравнений МГД в приближении Токамака. ТМФ, т. 92, N 2, 1992, с. 879-895.

89. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Трехмасштабное разложение уравнений МГД и уравнения Рейнольдса для Токамака. ТМФ, т. 98, N 2, 1994 с. 297-311.

90. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообраз-ные решения уравнений с малой дисперсией. Успехи мат. наук, 1981, т. 36, вып. 3, с. 63-126.

91. Маслов В.П., Омельянов Г.А., Цупин В.А. Поведение уединенной волны при учете малой дисперсии. В сб. "Процессы возбуждения и распространения цунами", с. 58-97. М., Институт океанологии, 1982.

92. Маслов В.П., Омельянов Г.А., Цупин В.А. Асимптотика некоторых дифференциальных, псевдодифференциальных уравнений и динамических систем при малой дисперсии. Мат. сборник, 1983, т. 122, вып. 2, с. 197-217.

93. Маслов В.П. Распространение ударных волн в изоэнтропиче-ском невязком газе. Современные проблемы математики., т. 8, М., ВИНИТИ, 1976, с. 199 271.

94. Маслов В.П., Цупин В.А. Распространение ударной волны в изо305энтропическом газе с малой вязкостью. Современные проблемы математики., т. 8, М., ВИНИТИ, 1976, с. 273 308.

95. Маслов В.П., Шафаревич А.И. Локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, описывающие ламинарные следы струи и языки в несжимаемой жидкости. Препринт Института проблем механики РАН N 586, 1997, 35с.

96. Маслов В.П., Шафаревич А.И. Асимптотические ламинарные решения уравнений Навье-Стокса, локализованные в малой окрестности кривой, и их микромасштабные возмущения. Докл. РАН, 1996, т. 351, N 1, с. 52-55.

97. Маслов В.П., Шафаревич А.И. Асимптотическая теория локализованных решений уравнений Навье Стокса с малой вязкостью. Вестник МГУ, сер. матем., мех. 1996, N 6, с. 16 - 18.

98. Маслов В.П., Шафаревич А.И. Ламинарный след в произвольном внешнем потоке. Доклады РАН, т. 356, N 4, 1997, с. 476-480.

99. Маслов В.П., Шафаревич А.И. Локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса и ламинарные следы в несжимаемой жидкости. Прикл. мат., мех., т. 62, N 3, 1998, 424-432.

100. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. Л, Изд-во ЛГУ, 1988.

101. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободными границами. Новосибирск, Изд-во НГУ, 1975.

102. Олейник O.A. Математические задачи теории пограничного слоя. Успехи мат. наук, т. 23, N 3, 1968, с. 3 65.

103. Олейник O.A. О системе уравнений Прандтля в теории пограничного слоя. Докл. АН СССР, т. 150, N 1, 1963, с. 28 32.

104. Олейник O.A. К математической теории пограничного слоя для нестационарного течения несжимаемой жидкости. Прикл. мат. и мех., т. 30, N 5, 1966, с. 801 821.

105. Олейник O.A. К математической теории пограничного слоя. Мат. заметки, т. 3, N 4, 1968, с. 473 480.

106. Олейник O.A. Об устойчивости решений системы уравнений пограничного слоя для нестационарного течения несжимаемой жидкости. Прикл. мат. и мех., т. 30, N 3, 1966, с. 417 423.

107. Олейник O.A., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М., Наука, 1997.306

108. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О краевой задаче на графе. Диф. уравнения, 1988, т. 24, N 4, с. 701-703.

109. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О теоремах сравнения для уравнений на графах. Диф. уравнения, 1989, т. 25, N 7, с. 1141-1150.

110. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе. Мат. Заметки, 1996, т. 59, N 5, с. 777-780.

111. Прандтль JI. Гидроаэромеханика. М., ПЛ., 1951.

112. Пустовитов В.Д., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы и устойчивость в стеллараторах. Вопросы теории плазмы. М., Энергоиздат, N15, с.146-291.

113. Пухначев В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. Новосибирск, Изд-во НГУ, 1989.

114. Радкевич В.Е. Об асимптотическом решении системы фазового поля. Диф. уравнения, т. 29, N 3, 1993, с. 487 500.

115. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. Ламинарный гиперзвуковой след за несущим телом. Прикл. мат., мех., т. 42, N 2, 1978, с. 277 288.

116. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением. Прикл. мат., мех., т. 41, N 6, 1977, с. 1007 1023.

117. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О следе за несущим телом в вязкой жидкости. Журн. прикл. мех. и тех. физ., 1980, N 5, с. 83 91.

118. Рыжов О.С. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока. Докл. АН СССР, т. 236, N 5, 1977, с. 1091 1094.

119. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1-2. М., Наука, 1994.

120. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М., Изд-во иностр. лит-ры 1963.

121. Солонников В.А. Оценки решений нестационарных линеаризованных уравнений Навье Стокса. Труды МИАН им. В.А.Стеклова 1964, т.70, с. 213-316.

122. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М., Мир, 1985.

123. Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М., Мир, 1981.

124. Теория турбулентных струй. Под ред. Г.Н.Абрамовича. М., Наука, 1984.307

125. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, т. 1, 2. М., Мир, 1984.

126. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., Мир, 1977.

127. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. I, II. М., Мир, 1986.

128. Хермандер Л. Интегральные операторы Фурье. Математика, т. 16, N 1,2, 1972.

129. Шафаревич А.И. Поведение при t —> оо быстроубывающих асимптотических решений линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Мат. заметки, т. 55, N 6, 1994, с. 124-145.

130. Шафаревич А.И. Поведение на бесконечности локализованных решений уравнений Навье-Стокса. Успехи мат. наук, т. 49, N 4, 1994, с. 107.

131. Шафаревич А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой. Дифференц. уравнения, т. 34, N 8, 1998, с. 1119 ИЗО.

132. Шафаревич А.И. Обобщенные уравнения Прандтля-Маслова на графах, описывающие растянутые вихри в несжимаемой жидкости. Доклады РАН, т. 358 N 6, 1998, с. 752-756.

133. Шафаревич А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, и вытянутые вихри в несжимаемой жидкости. Препринт Института проблем механики РАН N 604, 1997, 40с.

134. Шафаревич А.И. Поведение магнитного поля в проводящей жидкости с быстроменяющимся полем скоростей. Доклады РАН, т. 360, N 1, 1988, с. 752-756.

135. Шафаревич А.И. Уравнения на графах и асимптотические решения типа "узких струй" системы Навье Стокса. Успехи мат. наук, т. 53, N 4, 1998, с. 187.

136. Юдович В.И. Метод линеаризации в теории гидродинамической устойчивости. Ростов, Изд-во Ростовского Государственного Университета, 1984.

137. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., Наука, 1972.

138. Arnold V.I. Sur la géometrie différentielle des groupes de Lie de308dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits. Annales de l'institut Fourier, XVI, N 1, 1966, pp. 319 361.

139. Bayly B.J. Three dimensional centrifugal-type instabilities in in-viscid two-dimensional flow. The Physics of Fluids, v. 31, N 1, 1988, pp. 56-64.

140. S.Yu.Dobrokhotov, A.I.Shafarevich. Some integral identities and remarks on the decay at infinity of the solution to the Navier-Stokes equation in the entire space. Russian Journal of Math. Phys. v.2, N1, pp. 133-136, 1994.

141. Dobrokhotov S.Yu., Victor M.Olive., Ruzmaikin A.A., Shafarevich A.I. Maghetic field asymptotics in a well conducting fluid. Geophys. and Astrophys. Fluid Dyn., v. 82, 1996, pp. 255 280.

142. Dobrokhotov S.Yu., Maslov V.P. Multiphase asymptotics of nonlinear partial differential equations with small parameter. Soviet Scientific Reviews. Math. Phys. Reviews. OPA, Amsterdam, 1982. v. 3, pp.221 -280.

143. Flashka H., Forest M., McLaughlin D. The multiphase averaging and the inverse spectral solution of Korteweg-de Vries equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1980, v.33, N 6, p. 739-784.

144. Fraenkel L.E. On steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid. Proc. Roy. Soc. London, A. v. 316, 1970, pp. 29 62.

145. Fraenkel L.E. Examples of steady vortex rings of small cross-section in an ideal fluid. J. Fluid Mech., v. 51, 1972, pp. 119 135.

146. Friedman A., TurkingtonB. Vortex rings: existence and asymptotic estimates. Trans. Am. Math. Soc., v. 268, 1981, pp. 1 37.

147. Friedlander S., Vishik M.M. Instability criteria for the flow of an inviscid incompressible fluid. Phys. Rev. Letters, v. 17, N 66, 1991, pp. 2204 2206.

148. Friedlander S., Vishik M.M. Dynamo theory methods for hydrody-namic stability. J. Math. Pures Appl. (9), v. 72, 1993, N 2, pp. 145 -180.

149. Haefliger A., Reeb G. Variétés (non separees) a une dimension et structures feuilletees du plan. Enseign. Math. 1957, v. 3, pp. 107 126.

150. Kozlov V.V. Dynamical systems determined by the Navier Stokes equations. Russ. J. of Math. Phys., v. 1, N 1, 1993, pp. 57 - 69.

151. Lifschitz A. Essential spectrum and local stability condition in hydrodynamics. Phys. Letters A., v. 152, N 2, 1991, pp. 199 204.

152. Lifschitz A. Short wavelength instabilities of incompressible three-dimensional flows and generation of vorticity. Phys. Letters A., v. 157, N 8,9, 1991, pp. 481 487.

153. Lifschitz A. On instability of certain motions of an ideal incompressible fluid. Advances in applied mathematics, v. 15, 1994, pp. 404 -436.

154. Maslov V.P., Omelyanov G.A. The Dynamo Problem for large hy-drodynamic and magnetic Reynolods numbers. Rus. J. Math. Phys. 1996, v. 4, N 1, pp. 1 12

155. Maslov V.P., Omel'yanov G.A. Fluctuation Generated Tokamak Pinch Instabilities. Russian Journal of Mathematical Physics, v. 2, N 4, 1994, pp. 463-485.

156. McLaughlin D.W., Papanicolaou G.C., Pironneau O.R. Convection of microstructures and related problems. SIAM J. Appl. Math., 1985, v.45, N 5, pp. 780-797.

157. Moffatt H.K. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrary complex topology. Part 1. Fundamentals. J.Fluid Mech., 1985, v. 159, pp. 359-378.

158. Moffatt H.K. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrary complex topology. Part 2. Stability considerations. J.Fluid Mech., 1985, v. 159, pp. 359-378.

159. Moffatt H.K. On the existence of localized rotational disturbances wchich propagate without change of structure in an inviscid fluid. J.Fluid Mech., 1986, v. 173, pp. 289-302.

160. Moffatt H.K. Geophysical and astrophysical turbulence. Proc. European Turbulence Colloq., 1987, Springer-Verlag, Berlin.

161. Moffatt H.K. On the existence of Euler flows that are topologically accessible from a given flow. Revista Brasiliera de Ciencias Mecanicas IX, 1987, pp. 93-101.

162. Moffatt H.K. Generalized vortex rings with and without swirl. Fluid Dynamics Research, Holland, 1988, v.3, pp. 22-30.

163. Moffatt H.K., Kida S., Ohkitani K. Stretched vortices the sinews of turbulence; large-Reynolds-number asymptotics. J. Fluid Mech., 1994, v. 259, pp. 241-264.

164. Moffatt H.K. The degree of knottedness of tangled vortex lines. J.Fluid Mech., 1969, v. 35, pp. 117-129.310

165. Moffat H.K. Magnetic field generation in electrically conducting fluids. Cambridge Univ. Press, 1978.

166. Norbury J. A family of steady vortex rings. J. Fluid mech., v. 57, 1973, p. 417 431.

167. Ozeen C.W. Hydrodynamik. Leipzig, 1927.

168. Prandtl L. Uber Fliissigkeitsbewegungen bei sehr kleiner Reibung. Verh. Int. Math. Kongr. Heidelberg, 1904 Teubner, 1905. pp. 484 - 494.

169. Rayleigh J.W.S. On the dynamics of revolving fluids. Proceedings of the Royal Society of London. Ser. A, 1917, v. 93, pp.148 -154.

170. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densite d'un fluide visqueux compressible. Physica D, v. 48, 1991, pp. 113 128.

171. Shafarevich A.I. Asymptotic solutions to Navier Stokes equations and topologocal invariants of divergence-free vector fields. Proceedings of the International Conference dedicated to L.S. Pontryagin's 90th anniversary. Moscow, 1998, pp 95-97.

172. Shnirelman A.I. Lattice theory and flows of ideal incompressible fluid. Russian Journal of Mathematical Physics, 1993, v.l, N 1., pp. 105113.

173. Soward A.M., Childress S. On the rapid generation of magnetic field, in "Chaos in Astrophysics " (ed. by J.R. Buchler et al.), 1985, pp. 223-244.

174. Stokes G.G. Mathematical and physical papers, v. 5. Cambridge University Press, 1905.

175. Vishik M.M. Magnetic field generation by the motion of a highly conducting fluid. Geophys and Astrophys. Fluid Dyn. 1989, v. 48, pp. 151-167.

176. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic Fields in Astrophysics. London, Gordon and Breach, 1983.

177. Zeldovich Ya.B., Molchanov S.A., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Kinematic dynamo problem in a linear velocity field. J. Fluid Mech., v. 144, 1984, pp. 1-11.311