Об исчезающей вязкости в трехмерных краевых задачах динамики несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КИРГИЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ _ пп Специализированной совет Д 01.93.ОЙ

р Г Б о»

, , ■ На правах рукопном

АЛЕКСЁЁНКО СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

OB ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТИ В ТРЕХМЕРНЫХ KPAEBUX ЗАДАЧАХ ДИНА ПИКИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЯИДКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

БИШКЕК - 1994

Работа выполнена в лаборатории вычислительной математики Института математики HAH Кыргызской Республики

Официальные оппоненты:член-корр.НЛН Реопуйлики Кааахотан, доктор физико-математичеоких наук, профессор К.А.Касимов, доктор физико-математических наук К.Какишов,

доктор физико-математических наук, профессор Ш.Смагулов.

Ведущая организация: Ульяновский политехничеокий институт

Защита диссертации состоится " " М)ЗиЬр$__1994 г.

в чаоов на заседании Специализированного совета Д 01.93.08 по приоуидению ученых степеней доктора и кандидата наук в Институте математики Национальной Академии наук Ныргыаской республики.

С диссертацией иожио ознакомиться в Центральной научной библиотеке HAH Кыргызской республики.

Автореферат разослан * п дКЖ1994 г.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу; 720071, Кыргызотаи, г. Бишкек - 71, Проспект Чуй, 265 "А", Институт математики HAH KP, Опециолиеировашшй совет Д 01.68.08

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат фияико-математичэских наук, >0^

старший научный сотрудник vogJv>V' С.Иоканцаро

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛВО'Ш

Актуальность теми. Математические проблемы, возникающие при описании движения вязкой несжимаемой жидкости, имеют актуальное значение как в теоретическом плане, так и при исследовании реальных физических процессов. Можно с полной уверенность«) сказать, что хотя разнообразные математические модели движения жидкости уже более 200 лет являются одним из основных объектов приложения математических результатов и одновременно источникои новых задач и идей, но запросы механики намного опережают сегодняшние возможности математики.

Тем не менее, с позиция современной теории дифференциальных уравнений в частных производных ужо изучены многие попроси динамики вязкой несжимаемой жидкости. Определяющие аспекты, сформировавшейся в репультяте математической теории, изложены а монографии 0.А.Ладыженской "Математические вопроси динамики вязкой несжимаемой жидкости" - М.: Наука, 1970,

Теория пограничного слоя нанимает во многих отношениях ведущее положение п механике жидкости и газа. Изучению разнообразных течений, при которых возникает явление пограничного слоя, посвящено огромное количество работ. Специалистами в области гидродинамики описано большое количество пограничных слоев, при этом широко используется понятие уравнения пограничнс ">о слоя.

13 математика тоже существует обширная теория, использующий термины "пограничный слой", "уравнения пограничного слоя" и т.п. ГСе признание в качестве самостоятельного направления произоило около 1950 года после выхода в свет работ А.Н.Тихонова,М.С.Грац-итойна и других авторов, начавших рассматривать в качестве самостоятельного объекта исследования ди^арандиальныв уравнения с малыми параметрами при старших производных. В последующие годы ото направление получило широкое развитие. В его рамках, среди многочисленных подходов к исследованию сингулярно-возмущенных уравнений, одним иа наиболее зДОактивннх и универсальных явился метод пограничных функций, развитый М.И.Имяналиевым в его монографии "Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущенных интегро-диДОэренциальныч систем" - Фрунзе: Илим, 1974.

Но если рассмотреть пограничные слои и уравнения погрянич-

них слоев, используемые в гидродинамике для описания реальных явлений в вл.чхоП несжимаемой жидкости, то с математической точки зрения в подавляющем больиинстве случаев они не будут пограничными слоями или уравнениями пограничник слоев для системы уравнений Навье-Стокса. Чаще всего уравнения пограничных слоев, используемые в механике иидкости и газа, представляют собой просто кодификации систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера в тонком слое.

Конечно, такой подход оправдан во многих конкретных ситуациях, если теоретические результата удовлетворительно согласуются с вксперименталышми данными. Но задачей математики является дедуктивное исследование системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю. В первую очередь вто нуяно для того, чтобы специалисты в области гидродинамики точно знали, какие свойства решений следуют ия исходной модели, если в качестве такой модели принята начально-краевая задача для системы уравнений Навье-Стокса.

Первый результат общего характера по этому вопросу, абстрагированный от физических яадач, принадлежит О,А,.Ладыженской /Труди 4-го Певсоозного матем. съезда, 1961 г./, указавшей на возможность предельного перехода по вязкости в двумерной задаче Ноии. В последующем разными авторами с помощью разнообразии* подходов доказано, что когда для системы уравнений Навье-Стокса задается только начальное условие, а под областью определения решения понимается вса пространство (двух и большего числа измерений), то решения системы уравнений Навье-Стокса сходятся п том или ином смысле к решению соответствующей начальной задачи для системы уравнений Эйлора.

Гораздо слоянее проблема становится, когда решение системы уравнений На* ьо-Стокса ищется в ограниченной области и помимо начального условия требуется, чтобы решение на границе области удовлетворяло определенным краевым условиям.

Сравнительно много результатов по этой проблема получено для систем уравнений с двумя независимыми пространственными переменными. Наиболее полный обзор известных, дедуктивно обоснованных фактов о поведении решений двумерных задач теории пограничного слоя содержится в работа П.В.Пухначвоа "Иоипассическив

задачи теории пограничного слоя" - Новооибирск: изц. Новосибирского ун-та. 1979.

0.А.Ладыженской исследован вопрос о поведении решений линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса с любим числом пространственных переменных вида о^ гГ - Vд \Г => ^гайр *^, сИлУУ^О при стремлении т) — О.

Для похожих уравнений Э.Н.Потетюнко и Л.С.Срубщик /ПММ, 1970/ построили асимптотическое разложение волновых движений вязкой жидкости со свободной границей.

В.П.Масловым в его монографии "Асимптотические методы решения псевцодиффзренциалышх уравнений" - М.: Наука, 1007, ив-ложан оригинальный подход к построению асимптотического представления ратании полной системы уравнений Навье-Стокса, основанный на модификации начально-краевой задачи за счет задания в специальном вице начального условия.

К.Асано в серии работ с помощью оригинальной методики, оо-нсванний на обращении оператора, сопоставляемого системе уравнений Эйлера, исследовал вопроси разрешимости и асимптотики по вязкости полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваемой в полупространстве, о условиями прилипания на твердой границе и при условии аналитичности всех входящих а задачу известных функций .

Т.Като принадлежит условный результат о сходиио ти слабого решения! Хопфа для системы уравнений Навьа-Стокоа к падкому решению системы уравнений Эйлера. В качестве условия для решения • V системы уравнений Навье-Стокса требуется выполнимость соотношения -* О при V ■* г>, где Л -область определения реиания, т - размерность исходного пространства, т) - малый параметр, характеризующий вязкость.

Цель работы. Дедуктивное исследование поведения реиений начально-краевых задач для трехмерной сивтемы уравнений Навьа-Стокса при стремлении параметра, характеризуюпего вязкость, к нулю.

Методы исследования. Основными являются метод априорных оценок решений дифференциальных уравнений в частных производных

л метод пограничных функций. Систематически используется теория соболевских функциональных пространств, строятся и исполь-вуются специальные кваяинормированнне пространства. Важную роль играют понятия обобщенного и слабого решения и соответствующая втим понятиям методика исследования.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В ней при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю

в)доказана слабая сходимость решений начально-краевых задач для трехмерной линеаризованной системы уравнений Навьа-Стокса;

б)построено и обосновано для пространственных областей определенного вица асимптотическое представление) решения,включающее в себя функции погранслоя, для полно!) нелинейной системы уравнений Навьа-Стотсса с условием регулярного проскальзывания вдоль твердых стенок.

В процессе вывода и обоснования основных утверядений получены также слепукщиз результат, ичегапив самостоятельное значение.

1. Доказана тоорема существования обобранного решения для линеаризованной системы уравнений Навьо-Стояса в случае,когда граница области определения решения изменяется с течением времени по известному закону.

2. Введено понятие полной производной по вектору, с использованием которого определены и изучены квапинормированниэ пространства функций, теряющих свойства гладкости вблизи некоторого участка границы.

3. С помощы) своеобразного приема получена новая априорная оценка, характеризующая гладкость решений уравнений Навье-Стон-са на границе области.

4. Разработан универсальный способ построения для пространств соленоидальных функций аппроксимирующих последовательностей гладких функций.

6. Предложен новый способ определения слабого решения системы уравнений Навье-Стокса, п некоторых отношениях более удобный по сравнению с ранее известными, и доказана теорема существования такого слабого решения для рассматриваемой задачи о условием регулярного проскальзывания вдоль твердых стенок.

6. Разработан способ построения финитного соленоидалыюго продолжения с границы, имеющей двугранные угли, при котором гладкость построенной функции на ни«е гладкости функции, заданной на граница области.

Теоретическая и практическая ценность. Исследования, проведенные в работа, имеют, преица всего, теоретическое значение в плане выяснения взаимосвязи между решениями двух многомерных краевых задач.

Вместе с тем, полученные в работе результаты иогут бить использованы как для качественного анализа, так и для численно-опнсаиия решений гидродинамических задач. Во-первых, на основе этих результатов можно сделать конкретные выводы, в каких случаях решения уравнений Навье-Стокса стремятся к решениям уравнений Эйлера при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю, а значит иметь более надежную информацию о соответствии выбранной математической модели и рассматриваемой физической задачи. Во-вторых, при достаточно малых значениях параметра,характеризующего вязкость, установленные в работе асимптотические представления позволяют в определенных ситуациях более просто, чем при расчетах на ЭВМ, получить численные значения для рваений уравнений Навье-Стокса с удовлетворитвльной точностью.

Апробация работы. Результаты, наложенные в диссертации,неоднократно докладывались на международных, всесоюзных и республикански х конференциях, на семинарах в ЛОМИ АН, Институтах гидродинамики и математики СО АН, Институте изтематики АН КР.

Публикации. Результаты, изложенные в диссертации,опубликованы 'а работэх /1 - 17/.

Структура и объем работа. Диссертация состоит "з введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 146 наименований. Объем работы составляет 284 страницы машинописного текста.

- о -

СОДЕРЖАНИЕ РАБ0Т11

В первых трех главах данной работы объектом изучения является линеаризованная система уравнений Навье-Стокса випа

Э41/ - г>Л1/ + 2.1,вкдХк1/ -срайр (1)

сШГ1/=0 (2)

гцв т) - малый параметр, характеризующий вязкость,

^ , - известные трехмерные соленоидалыше вектор-

-функции. Областью задания системы (1М2), а значит и ее решения 1/* считается ограниченная область ОсД3 о границей Б при { £ [0,Т] } где Т= сомЛ,

В §§1-5 главы 1 рассматривается случай, когда система (1)--(2) с началыю-краввыни условиями

ъг/5 = О 7 (3)

= (4)

представляет собой линеаризации задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости внутри области, граница которой непроницаема для жидкости.

Конкретно это выражается в том, что на накладыва-

лся условие л, , г

где п. - вектор внешней нормали к границе 8.

Прежде чем продолжить изложение материала диссертации, отметим, что в ее тексте, кроме уже введенных и общепринятых, используются следующие обозначения, которых будем придерживаться и эцв^ь:

Л = Й и в ^ = & х [О, П , * € [0,Т] -,

Б, - Б х Го,*] , ТЗ >

^ - линейное многообразие бесконечно дифференцируемых, солено-И|альннх, финитных в 12 функций;

ЛД)

- замыкание в норме ^ ,(£));, Н(0.) - замыкание J в норме, соответствующей скалярному произведению

сл. ob&tn - слабый предел в гильбертовом пространстве ljsb)', UT|r - сужение функции иГ(Х) определенной при х б 3), на„мнояество Г С 9)•

J- подпространство функций из Lz(($1.)? принадлаяащих при почти всех i из [0,Т] пространству J(Q)i

Ten новим приемом, благоцаря которому удалось сформулировать результаты исследования линеаризованной системы (1)-(2) в удобной Форме, явилось введение понятия обобщенной полной производной по вектору S = (t 8г ji ).

Именно, пусть V £ С . Полной производной вектор-

-фушщии 1Г по вектору S в точке (ее ) = (ocltXz X3)i) на.звэио выражение dv/ds +

Пусть теперь вектор-фушсиии U. ,ll принадлежат пространству ^Ioc^t)- [:;оли лчя Л||>йой бесконечно дифференцируемой, финитной в вектор-функции t? справедливо тоидество

4 ^ V dxd t = - J a [dif/df) dxdt,

то вектор-функция Iii называется обобщенной полной производной вектор-функции и по вектору S в области IQr. Для нее сохранено обозначение dll/ds.

Доказано, что для решений задачи Ш-(2) с условием (5) справедлива априорная опенка

J 7( dv/ds*)гdxdi <N = conä,

где N не увеличивается при т) -* О.

Вводится банахово пространство функций Wz (IQ-^) с нормой

ими* -Л vJz~dxdi + VX (dus/ds^dxdi.

s UT ^r

в терминах которого формулируется обобщенная постановка начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Эйлера в следующем вида. ^

Определить Функцию ^ ^ и вектор-функцию bJiWz((?r)

так, чтобы выполнялось равенство .

dW/ dt - ¡¡"Ad $ + f (б)

ИЗГОЛОВИЙ

Основные результаты исследования эацачи (1)-(2) о условие« (6) отраяены в теореме:

ТЕОРЕИА 1.5.1.Пусть .Q. - ограниченная односвязная область в /Rs о границей Sб С*) веитор-функция <ßeLJ(2T)', вептор--функция $еСа,1(б?т) и удовлетворяет условию (5),

Тогда для любого конечного т) > о существует единственное решение задачи (1Ы4): V° € C(tJ(Q.))0 W^'H&r), которое при V -»■ 0 спвбо сходится в Lt(Q_) равномерно на

ГОД] к функции 1/°€ 1^(07-), являющейся единственным решением оырояденной задачи (6)-(7). Вместе с тем M'^CX.l^Üm Vv)

dvfdS = cu.^^fi/yyrfg").

ПРИМЕЧАНИЕ. Существование и единственность ратания задачи (1)-(4) в диссертации но доказывается, а используется как факт, следующий из работы O.A.Ладыженской "О единственности и гладкости обобщенных реавиий уравнений Навье-Стокса" //Записки научи. семинаров J10MH.-1SG8.-T.7.

В §5 0,7,0 главы I и в главах TI и Ш для системы (1Ы2) изучается задача протекания. Но так как система (1)-(2) линейная, то без ограничения общности краевые условия взяты нулевыми, а все отличив эацачи протекания от задачи двикенип яидкости внутри области состоит в отличии условий на функции $(X,i).

Конечно, как при линеаризации полной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса, так и при преобразовании сиотоин с неоднородными краевыми условиями к системе с однородными условиями, в уравнении (1) появляются другие члены, кроме тех,что записаны в правой чаоти (1). Но так как все они не вносят дополнительных трудностей в исследование,то в уравнонии (1) оставлены лишь члены, определяющие принципиальна свойства решений.

В дальнейшем, при изучении линеаризованной задачи протокания предполагается, что граница S области П разбита на три поверхности SltSZ}S з, причем поверхности Sx и S3 меяду собой не соприкасаются, гак что

ß njs<0, 6-/tls -0, 0 при всех ie [0,т]. (0)

Иными словами, граница области (Qr не совпадает целиной о характеристической поверхностью для уравнения

П §§ 6,7,0 первой главы доказано, что рашенин системы уравнений (1)-(2) слабо сходятся при * 0 « обобщенному ранению систем» (0) с соответствующим условием (Илги^О а том случае, если краевая задача цлл системы (1)-(2) сформулирована не во всей цилиндрической области Й^, а п некоторой ев подобласти, построенной так,чтобы поверхность выхода характеристик из трехмерного обьема образовывала характеристическую гиперповерхность для системи (9) в четырехиернои пространстве.

При атом возникла необходимость в доказательстве существования и единственности решения краевой задачи для системы (1)-(2) в нецнлиндрической области. В теории решения краевых задач для нестационарных уравнений в нецилиндрических областях иыеются свои трудности и нерешенные вопросы, хотя н настоящему времени появилось уже немало работ, посвященных подобным вопросам. В § б предлагается свой способ доказательства существования ревэ-ния для системы уравнений (1)-(2) в том случае, когда граница области определения решения изменяется с течением времени по известному закону.

Затеи для решения системи (1)-(2) в четырехмерной области Я о* . граница которой состоит из характеристичзсгих гипер-

которая дает возможность обосновать предельный переход по j) * О от решения исходной краевой задачи к специальным о^оазом сформулированной вырожденной задаче для системы вида (б).

Главы п и III посвящены исследованию задачи протекания, сформулированной традиционным образом в цилиндрической области, то есть в нашем случае, исследованию задачи (1М4) о условней (0). В качества аппарата исследования применяются квазинормиро-ванные пространства, введенные о использованием полной проиавоц-ной по вектору S.

Вся глава TI посвяшона определению и описанию свойств таких пространств. Кроме того в § 1 главы II излагается универсальный

(9)

способ построения аппроксимирующих последовательностей глапких Функций для пространств соленоил-альннх функций.

Вопрос об аппроксимации неизбежно встает при введении новых функциональных пространств. Ему уделено достаточно внимания в исследованиях разных авторов, начиная с С.Л. Соболева. Формулировка и доказательство приводимой п § 1 главы II леммы 2.1.1. явились результатом привлечения для пространств солэноидальннх функций основных идей, с помощью которых подобный вопрос решен в работе Л.Р.Волевича и Б.П.Паполх "Некоторые пространства обобщенных функция и теоремы шюианил"//У1Ш.-1965.-Т.20.-Внп.1(121).

Глава III. посвящена непосредственному исследования решений задачи (1)-(4) с условием (0) при i V0. Кроме взздашшх квазч-нормироваиных пространств,в исследовании существованиям образом использованы новые априорные опенки:

Тг1 (dif/dnfdxdti Nu <™>

т

%$tvfdxdb « W,, 4r p'dxdi Ni?

J^f(dv/ds)ldxdi ¿, N4 7 где /Vt- = con&t, T ** Q.**[0,Tj4 -Q* - ато произвольная подобласть в £1 отделенная от S3 , т.е. .Q.* - гато пополнение в 12 к ненулевому слога, прилегающему в к S?

Их выводу посвящен § 2 главы III. Ключевым звеном для всей цепочки оценок ил § 2 является вывод неравенства (10). Оно получено о помощью умножения уравнения (1) на выражение, благодаря которому после интегрирования по частям в получившемся соотношении появляется член вида i;a,Jg (Ву/дЯ)2' dxdir,

В терминах введенных квазинормироваиннх пространств формулируется обобщенная постановка начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Эйлера, Также как в главе I, основной результат исследования заключается в доказательстве того, что решения задачи (1)-(4) с условием (В) при т) + 0 слабо сходятся к решению вырожденной задачи в Lz(£2) при каждом fe[0,T]

причем dlfv/d& слабо сходится в пространстве для

любой подобласти .Q.* отделенной от SA , к полной производной по вектору !> от репония вырожденной задачи.

Устанавливается, что в том случае,когда S3 с образуют

при пересечении ненулевой двугранный угол, нигде на разворачивающийся до 1!Ю°, любая гладкая функция, удовлетворяющая задача протекания для линеаризованной системы уравнений Эйлера в классическом смысле, будет и репеииэм обобщенной начально-краевой задачи, то есть будет слабим пределом реиения задачи (1)-(4) о условием (0).

В главах IV и V рассматривается полная нелинейная система уравнений Навьэ-Сгокса

в ограниченной области Q С i е [ОТ] ПРИ известном

тча.чьном значении скорости течения

lio на границе S области -Q вместо традиционного задания полного вектора скорости ставится нестандартная нраевая задача, когда на одних участках границы задается полный вектор скорости, а на других - условие непротэканил с требоаанием того, чтобы мгновенная ось вращения совпадала с вектором нормали п границе.

Интерес к нестандартным краевым задачам для системы (11)--(12) вырос в последнее время. Как обычно,появление новых постановок BU3BDH0 тем,что для ряда гидродинамических задач использование стандартных краевых условий сопряжено или с непреодоленными математическими трудностями,или с отклонением свойств математической модели от экспериментальных характеристик негодной физической задачи.

В частности, одна из существенных трудностей,сспутствучяих использованию в качестве математической модели первой краевой задачи пп системы уравнений Навьс-Стонса, состоит я том, что для слабого решения, существующего на любом заданном промежутка времени [0,Т] не доказана единственность.

Для рассматриваемой в данной работе начально-кочевой из мчи при выполнении определенных условий модно можно построить асимптотическое представление слабого рэавнич через печение системы уравнений Эйлера, а отсядч, кроме всего прочего, счядует, что два возможных решения исходной задачи в определенном смысле мало отличаются меяду собоЧ.

dtir - U ¡I* Ек-ЛЗс/= * j >

(И) (12)

cloir Íf = о

U § 1 главы IV предлагается новый способ определения слабого ранения, в некоторых отношениях более удобный по сравнению в ранее известными. Этот способ пригоден для краевых задач любого типа, поэтому определение б § 1 главы IV сформулировано так,что подходит как к первой краевой задаче, так и ко второй, и конечно, к той нестандартной краевой задаче.для которой впоследствии отроится асимптотическое представление.

Граница S области О. предполагается состоящей из D гладких частей {S¿} cl= i¡ £), которые могут соединяться друг о другом как гладким обраэои.так и образовывать при пересечении двугранные угли, обращенные своими ребрами во вне области Q, Пусть uiiosecTBO { S ¡¡} d = ¡-^ разбито на два поцмнонаства

í SД i-i,« , i 5jЬ' = tñ'iTD > >m * D > Различа10,,*ихся характером поведения 1f на них, так'что

l/fSi=0, (14)

Й-^1,-0, [ñ*WtV]ls- О, у= i, ... , D. (15)

J J

Условия (15) названы условиями регулярного проскальзывания.

Обозначим через S,*) подпространство соленонцаль-

tiux функций из обращающихся в нуль на S¿ t'i),..)M>

в через Н к,г аространотво -

Слабый равениеы задачи (11М15) называется функция if^H*'0, которая для в сок Ф б Н1,1 удовлетворяет неравенству

(*<Pj)dxfP (гr+4>)dxdi +

+p(v+<P)dxdi. (16)

С поиоць» метода Галеркина установлена,,

ТЕОРЕМА 4.1.1. ¿ела 0.6 J(Q./б J((%7), то найдется tai«« функция гГ 6 Я1,0, что для любой функции Ф € Hi,< будет справедливо неравенство (16). Функция HYx.i!) непрерывна со i в оаабой топологи« JCQ.) и входитоя при i -* 0 к '* tía норме

Е 5 2 рассмотрен случай, когда на всей граница й задано условие (15). Доказано, что тогда все слабые ранения систем« уравнении Навье-Стокса,определяемые посредством неравенства (10), отличаются от радения начально-краевой задачи для аистами уравнений Эйлера

д{ц + + Я-и/^0, и.¡^¿аа (17)

на величину 0(\Г\Р) в норме ¡-*г(0.) пя протяжении всего интервала изменения переменной { в котором существует гладкое решение задачи (17).

В §§ 3,4,5 рассматриваете»» задача протекания вязкой иесяимав-мой жидкости сквозь цилиндрическую область,/ которой образугчая перпендикулярна основаниям,представлявшим из себя плоские области. Одно основание, через которое по предположению жидкость вта-нает в Д обозначено боковая поверхность обозначена я другое основание, через которое жидкость зытеяает из .0., обозначено 53.

Лля систем« уравнений Навье-Птожл (11Ы12) задаются значения вектора скорости на н услозие регулярного проскальзывания на $г_ я начальное зяачвнио скорости з каждой точке

VI. = «А, <1В)

53 ~>

г Я* {19,

Т1{я0*>а, (20)

где оЦ уз , <Х - известные трехмерные вектор-функции.

В 5 3 для задачи (11),(12),(10)-(20) устанавливается существование слабого реивиия,определяемого посредством интегрального неравенства в следующем виде.

Обозначим через £"1,г'('(?г) подпространство солепоидпльны* вектор-функций из \Ук,г(йт)7 _ у которых па 5г нормальная компонента равна нулю, а через Н*'"1 (&т) обозначим подпространство функций из Е'к,1) обрачяюдихся в нуль на и 53,

Слабым речением задачи ШМ12М18М20) называется непрерывная по I в слабой топологии пэ ЬцСО.) вектор-функция V € Еи'0)(Чт), принимает заданные значения па я

а именно

и удовлетворяет неравенству

(22)

(2r%(V(x,i) + <t>(x,i))zdx + fЫ íií+ Qtfdxdi*

* ViXtOifdxrvJ vrt. <P wt(V+ty)dxdi'

+ 4t ty + Ф/)дх.ФСгг+ $)dxdi +

- В^Ф * J)(H+ Ф)dxdi

для всех Ф € E(iJ)(t$T) таких, что i/ч- e Н*>°.

Доказательство существования решении задачи (2П-(22) проводится при помощи сведения этой задачи к задаче с однородными краовкмл условиями. Для этого строится соленоидальная функция "liT, удовлетворяющая условиям

Необходимость особого построения такой функции вызвана тем, что обг(ий способ из цитированной выше монографии O.A.Лагшяено-itoíl не обеспечивает достаточной гладкости такой функции в связи о наличием двугранных углов меяцу выделанными частями границы.

В §§ 4,Ь доказывается, что каждое слабое раиениа задачи (Ш , (12),(10)-(20) мохно прадстааить в виде

V « U +-0Т+- YV Ц, (24)

где iL - гладкое решение вырожденной задачи

Э4ц +'Z>ll.iuKdXHu,~ +■[> durado,

(26)

01 -функция погранслоя вблизи области вытекания - остаточный член, ограниченный п °РИ почти всех

Т0] где [О,Т,,"} - интервал существования

гладкого решении задачи (25М26).

К сожалению, проблема разрешимости задачи (2б)-(2б) в произвольных областях еще далека цо своего окончательного ратания. Для существования гладкого ранения-от входящих в задачу (25)- (26) известных Функций трзбуегся выполнимость ряда условий согласовании» зависящих от форма области. Причем ати условия не ммввт универсальной (формулировки, подходящей к областям различной формы.

¡ЦфгНШШ. Oo'xau 1,39 уол.пвч.л. Заказ 141. tupas 120. Законной.

В связи с атим в данной работе существование гладкого репе-инп задачи (25M2R) принимается в качестве »сходного условия.

В ряда случаев понкречпнв условия па известные функции, при которых задача (25)-(2Г>) имеет гладкое ранение, моино определить а соответствии с методикой иэ монографии С.Н.Лнтонцавз, А.В.Каяихова, В.Н.Ионахова "Краевые задачи механики неоднородных диц1гост0П"-Новосибиоск:Наука,19ОЗ, где, кроме того, соцер-иится библиография по данному вопросу и раскрыты ключевые аспекты проблемы.

функция <0Т строится в явном виде. В непосредственной близости от S3 ее компоненты имеют вид

¿xi'k k

где ось изменения перпендикулярна S3 Я- значение xt "а S*' fj и UJ[

Kart это обычно имеет место при пнвоцв асимптотических представлений, вся слояиость доказательства его справедливости заключается в оценке остаточного члена Отому посвщеи 5 5 главы IV. Одним из принципиальных условнП,выполнение которого необходимо для справедливости асмптотического представления, является ограничение спиау на нормальную компоненту яактор-фугск-ции р1 То есть

Ь А а conát. (27)

Величина А конструктивно оценивается исходя из цаяяых задачи.

Итог исследований сформулирован в теореме:

ТЕОРЕМА 4.4.1. Пусть заданы цилиндрическая область Xlc/R,3 о образующей, перпендикулярной в обоим основаниям, я конэчноэ число Т>0.-

Предполояим, что а) известные функции a^^cí.,^ уповлвтворя-ят условиям: (27);

oCeC'-Vs," СО,TD, ßeC^CSi« [0,Т])', (28) j eCz'l(ñ*[Ojl)y ЛССЧХХ), сШта»о-7 (2Э)

Jss¿-H<.Vd5> (SO)

¿'""'km?0' ш)

- 1В -

а /в4-уз(*,о>, а-Я<ц/8^о, a/Sj= «¿<®,с», ш

r«a ntp - анеиняя нормаль к Sy 3); д) на_[0,То] при

Тв 4 Т существует, единственно и ¡тринадлвиит ранение задачи (25Ы25).

Тогда всякое реаанио задачи <21>-(2й) представимо в вица (24) и при почти всех te [о,т0] сходится в норме lx(q) к рвыанив задачи (2БЫ26).

D главе V изучается двияениа вязкой нескимаемой «идкости сквозь области более произвольной формы, чем ато допускалось условиями главы IV.

Предполагается, что поверхности и S3 - плоские и непе раовкаюцнвся (на обязательно параллельные иенду собой), а поверхность St соединяет Sj и S3 так, что все вместе они обра зуют замкнугув односвяануо поверхность S Siu szu s3 .

S, о 5г и s} о при соединении друг с другом образуют нанулевма криволиней нив двугранные угли, нигде из разворачивю-нивоя до 100°.

С йтиии иредполоваииями о форма области рассматривает' an аацача (11),(12).(10Ï-(20>, для которой устанавливается руцэатвованне слабого решения, определяемого посредством интегрального неравенства (22). ,

Доказательство существования решения задачи (21М22) для рассматриваемой области так не проводится путем сведения ее к задаче о однородными краевыми условиями. В связи с втим в § 2 выделено построение гладкого финитного соланоицалыюго процолве-нил о граница, имеющей двугранные углы. Самому доказательству оуиеотвования решения задачи (31 )—(23Î и формулировке соотватст-еуюамх результатов лооаяцап 5 Б.

В 4,5 показано, что если криволинейный двугранный угол мьхду S3 и S4 является тупым, то каждое ранение задачи (21)--(22) маяно представить а вид«

V » и + Р +9С+ YVy, ш

гьв U. - главка« ресвпив вирощанной задачи (25Ы20), Р-

- функция погрямолоя вблизи линии пересечения 5гЛ 53,

- Функция погрзислоя вблизи остаточная

член, ограниченный в

Виктор-функция Р строится о использованием разработанного в § 2 главы V способа построении финитного солепояцального про-доляенпп, как солоноицальная вептор-Фуннцня, компенсирующая невязку Ц на расстоянии от 5гПб3) гдо & = согАк. Кроме урапнения (Им Р 3 О не требуется, чтоб« вектор-функция Р удовлетворяла другим дифференциальным соотноппнияи.

Основная вэктор-Функдия <Н задается в вице где

Кг О,

В атик Формулах ось X* считается перпендикулярной 53 и направленной во внутрь , а у - это некоторая вектор-фупк-ция, совпадающая о ¡С- И~Р па и равная нулю на рао-стоянии больяам определенного числа 5 от 6Л.

Функции (71/( там, где они нэ равны пулп, удовлет-

воряют уравнению пограничного слоя вида

во всех точках области О.; находящихся на расстоянии больней Ят) от Л 5д.

Так «о как в главе IV, вся сложность доказательства оппавед-ливоети асимптотического представления (33) состоит в выводе оценок длп Этому посвящен весь пятый параграф.

Формулировка результатов содержится в теореме:

ТВОРЕНА Г).4.1. Пусть ведана ограниченная область .О.С граница которой состоит из трех гладких поверхностей 51(5г15л> образующих при соединении друг с другом криволинейные двугранные углы, нигде не развертывающиеся до 100°, причем поверхности 54 н плоские, а поверхность соединяет с 5а. Предполагается, что известные функция О., ^, ,уЗ удовлетворяют условиям (27Ы32), па [О,Т.] при Т„ $ Т существует, единственно и принадлежит С7,4 (& * [0,Т„]) раввина задачи (25Ы?,6), для которого (¿-Ц)/5 п3 0.

Тогда, если криволинейный двугранный угол нвяпу и является тупым, то всякое репепиэ задали (21МЯ2) представило в вице Ш) и при почти всех i*[0,Tt] сходится в норне к реязиию задачи (25Ы26).

В $8 6,7 доказана справедливость асимптотического представления еяд» (38) в той случав, когда двугранный угол ие«ду ц является острый. Построение функций пограислоя для облас Тй такой формы сопряжено о дополнительными трудностями вблизи дхйнм Б^ЛЙ^. В связи о этим сам способ построения функций пограислоя отличается от изложенного в § 4.

В частности, здесь вектор-функция Р также ипется в вица Р ' «. КЙ. Л } где вектор-функция к, строится с использованием разработанного в } 2 главы V способа построения финитного соленои-цального продолжения. И функции Р4,Р3, так ке как Жг_, ОТ3 удовлетворяют дифференциальному уравнению вида = Pj + 0[т)) 2,3) всюду, где они не равны нулю.

А при доказательства ограниченности остаточного члена появляется необходимость в оценке поверхностного интеграла

где § - некоторая область на вблизи & - ось, перпендикулярная 53 (т.е. в (34)

О помощью 972 замен независимых переменных

«цанка ки?агрвла (34) сводится к оценке интегралов

ъ% Л- % ~ \ %"4х-* ^ (1ь -

где - облеогь иэывнвнйя переменных

Огсйд® вытекает, что для сценки интеграла (34) достаточно випедкаикк равенств

Ъ * (35)

Н&г показано на примерах, условие (35) сводится к тому, что-Оа 52 с Ь3 именно вврвсвкались, 8 на соприкасались. Уагаиовлвнныо результаты изложены в теореме: ТЕОРЕМА 6.6.1. Пусть задана ограниченная область £) С /Д у граница которой состоит из трех гладких поверхностей 51>5г) «вревуючих пря соединении друг с другой криволинейные двугранен» углы, причем поверхности н 5} плоские, в поверхность 5% ооаданявт 5Х с 53,

Правпомгввгоа, чак» паввмныв функции а^^уЗ удовлегво-

ряют условиям (27М32), на_[0,Т„] при Т. £ Т суиеотвуат, единственно и принадлежит См(Л*Г0,Т„]) решение задачи (25Ы26).

Тогда, если криволинейный двуграгший угол мевду S^ я 83 является острим, т.о. вблизи Sj область XI имеет форму ряст-оубя, выполнено условие (35), то всякое реяелие задачи (25)-(26) представило в виде (33) и при почти всех i * [0,Т„] сходится в норме L„( Q) к рвяеиип задачи (25Ы2В).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.06 исчезаюпеП вязкости для линеаризованных уравнения Напьа--Стокса// International Congrena of Mathematlcian«/Short CommunicetJone (Atetroote), Section 13» Wath, Physio» and Mechnn. - IVnraaw, 1983. - T. 21.

2.Решение внрояцшоцеПся линеаризованной системм Нввье-Стопса в однородным краевым условием//Исслед. по иптегро-дпффчреиц. уравнениям.- 1983.- Вып.1С.- С.243-257.

3.Краевая задача для выроядаючейсл линеаризованной системы Навья-Стокса с конвективными членами, на равными нуля на гра-пице//Исслвд. по иптегро-дифферонц. уравнениям.-1984.-Вн".17. -0.205-302.

4.Краевая задача ддя выроядагощейся линеаризованной систем« Навье-Стоксз со стационарными характерястиками/^Исслед. по интегро-джМюренц. уравнениям.-1905.-Вид. 18.-С.320-337.

5.Слабая сходимость по вязкости регаений линеаризованной задача протекания нослшмаемой яидкости//'Четвертая мендуиэродная конференция по пограничным и внутренним слоям. Вычислительние я асимптотические методы: Тез.докл.-Новосибирск, 1000,- С.11.

С,Пространство Функций, кваяинормировзнноо относительно протекающего солоноидального поля: определения и своПства//Исслвй. по иитвгро-пиМ>ер9нц. уравнениям.-1936.-В«пД9.-С.215-237.

7.06 исчезающей вязкости в линеаризованной задаче протекания несжимаемой яидности//Исслед. по интегро-ди^ереки. уравнениям. -19RG .-Оып.10.-С.288-304.

Я.Системы урампний с "вязкостью", рвгапиия которых сгодятся (т решении уравнений ЭПлера//Ко1!ферен1|ия математиков я михаяипоэ

Киргизии, поев. 70-летию Октября:Тез.яокл.-Фрунзе,1987.~С.Ь.

19.Влияние свойств границы на поведение решений линеаризованной системы Навье-Стокса при вирояцении по вязкости//Исслад. по иитегро-цифференц. уравнениям. -19В7.-Вил.20.-С.232-237.

10.Асииптотическая оценка по вязкости двияения кпшсости сквозь цилиндрическую область с прямым срезом//Диффаренц. уравнения и их прилояэния: Tea. докл. Республиканской научной конференции 14-15 сентября 1989.-Фрунзе, !989.-C.25-2fi.

tl.iCoBM. с М.И.Иианалиевым) Асимптотические методы оценки решений в теории тачания вязкой иидкоети/'/Нвлинайныв проблемы дифференц. уравнений и матам, физики: Тез.докл.Всесоюан.конФ 12-15 сентября 1989 г.-Тернополь, 1909.-С.173-174 .

12.(Сови. с Ц.И.Иианалиевым) Асимптотическая оценка по вязкости в задаче протекания сквозь правильный цилиндр//Исслед. по интегро-дифферанц. уравнениям. -1989.-Bun.22.-С.3-10.

18.Устойчивость радений линеаризованной системы уравнений Иааьа Стокса о малым параметром при старших производных относительно разных типов краевых уеловий/УМоцелировэние и исслед. устойчивости физических процессов: Тез.докл. научн. иколы-стм-нара, 22-24 мая 1990 г.-Киев, 1990. -С.2-3.

14.Асимптотика по вязкости слабых .решений задачи протекания для систаии Навье-Стокса в цилиндрической области//Цсслад. по ичтегро-диффаренц. уравнениям.-1991.-Bun.23.-С.йЗ-90.

16.Слабое реавниа системы Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль части грэницы//Исслед. по интегро-ди.р-Фврвнц. уравнениям.-1991.-Вып.23.-С.90-103.

1в.Асимптотическое разлояение по вязкости слабых решений задачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль твердых станок в областях с раструбом//Исслед. по интегро-диФ?а-ренциалышм уравнениям.-1992. -Йып. 24. -С .226-255.

Г/.Сучаствоаанив и асимптотическое представление слабых решений иадачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль тверды* стенок//Сибирский математический журнал.-1994 -Т..45.-» 2.-C.235-2i>7,

АЛЕНСГО1К0 СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

КЫСИЛБООЧУ СУШ ДИНАМШСШШН Y4 - 0ЛЧ9НУУЛУК ЧИГГУУ МАШИЕРДЕ 6ЧУУЧУ ЖАЕШ1КАК1Ш

Аннотация

Мабмшкактык параметр» нал re уитулуучу Навье-Стокс те^це-мелери учун мейкиндик чектелгвн областтарда бвшганкы-чвктуу маселвлерди далилдвечу изилдвего бул жумуш арналган.

Снзилган Нявье-Стокс те^емелерй учун бшпгалкы-чектуу населении чигарильгашнын жабшкактыгы вчул квткен првделимин окемдиги далилделген. Предвлдик функция сызнлган Эйлер тецдв-меси учун баштанкы-чекгуу маселени жалпылаган населении кал-гыэ чигарылыш бар. Сызыктуу " эмес толук Навье-Стокс те^дсмв-леринин кучсуз чмгарылшпынын тушунугу киргиэилген, болушу далилделген, жабышкякгнкка мамиледен асимптотиквсы керсетулген,

АЬККЗГСЮТО SBRGRr ЮТОТЛВПСН

VANISHING VISCO.HTr IN ТКИ THRBB-DrimWIOTM. BOITTTOARY УАЮТ РП0ЯШ1Я О? ТНК HYNAMIC3 ОР Л ШСОМРПВЗЗт.* FUIII)

Annotation

The rrork 1« devoted to the deductive investigation of the Initinl-boundnry value problems In bounded »patlnl domitin» for the Havier-ntoken equations when the parameter denorlbing the vleoonity tends to «его.

It la proved that the solution of the Initial-boundary value problem for the linearised Kavier-ntokee equation« hne a гего-vl »ooeity limit. The limiting function In the unique eolation of the certain problem which generalize* the Initial -- boundary value problem for the linearised Ruler equations, For the complete nonlinear Havier-StoltcB equations the ooncept of weak folutlon with the condition on a regular wllrpl^E alone Impervious side boundnriee i« introduced, its exlrtenoe la proved nnd Ite asymptotic repre*entatlon by vl»co*lty in the вот» domains in obtained.

BBpHMBIE

Г.оЛВА I. Предельный переход по вязкости в однородной краевом задаче для линеаризованной системы уравнении Павье-Стокса

§1 Линеаризованная система уравнений Кавье-Стокса с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной трёхмерной области

§2.Вывод основной априорной оценки

§3 .Лродольпьщ переход в задаче с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной области ":

§4.Пространство функций, имеющих квадратично суммируемую полную производную

5 Л'Соррсктиая постановка вырожденной задачи и формулировка результатов в случае, когда характеристики оператора первого порядка не выходят из заданной трехмерном области

§6.Краевая задача для системы Навье-Стокса в нещ1ли!1дрической области

§7.Вывод априорной оценки для полной производной функции скорости

§8. Предельный переход и формулировка основных результатов для краевой задачи в области тока по заданному вектору

ГЛАВА II. Пространство (оупшгий, квазипормировапное относительно протекающего солепоядального поля

§1.Допустимость области '

§2.Определения и основные свойства пространств функций, квазннормнрованных относительно протекающего соленой-далъного поля

§3 .Доказательство полноты введённых квазикормированных пространств

§4.Доказательство существования аппроксимирующих последовательностей для элементов введённых квазинормированных пространств

ГЛАВА III. Об исчезающей вязкости в линеаризованной задаче протекания несжимаемой жидкости

§1.Линеаризованная задача протекания несжимаемой жидкости

§2.Априорные оценки

§3.Предельный переход по вязкости в пространстве, определяемом как замыкание линеала гладких функций по квазинорме

§4.Предельный переход по вязкости в допустимой области, когда выделенные части границы при пересечении образуют криволинейные двугранные углы *: j^g

ГЛАВА 1У. Существование и асимптотика по вязкости слабых решений системы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдой части границы

§1.Слабое решение системы Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль части границы

§2.Асимптотическое представление слабого решения системы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания, заданного на всей границе

§3.Слабое решение задачи протекания для системы Навье--Стокса в цилиндрической области с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок

§4.Асимптотическое представление слабого решения задачи протекания для системы Навье-Стокса в цилиндрической области

§5.Оценка остаточного члена

ГЛАБА У. Существование слабых решений задачи протекания и их асимптотическое представление в областях, имеющих у выхода форму сопла и раструба

§1.Определение слабого решения задачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок

§2.Построение финитного соленоидального продолжения с границы, имеющей двугранные углы

§3.Теорема существования слабого решения

§4.Асимптотическое представление слабого решения в области с соплом '

Оценка остаточного члена '

§6.Асимптотическое представление слабого решения в области с раструбом -.

§7.Оценка остаточного члена

Математические проблемы, возникающие при изучении движения вязкой несжимаемой жидкости, имеют актуальное значение как в теоретическом плане, так и при исследовании конкретных моделей, используемых в механике, физике и других естественных науках для описания реальных процессов. В настоящее время гидродинамика представляет собой обширную и стремительно развивающуюся отрасль знаний, в которой находят своё применение многие разделы математики. Вместе с тем, гидродинамика постоянно служит источником оригинальных задач, несущих в себе новые математические идеи и открывающих перспективы дальнейших путей развития математики. В качестве подтверждающих примеров можно указать обзоры [54] , [72] и монографию [32] , близкие по тематике к данной работе.

Однако, имея в качестве исходного материала одни и те же модели, математика и гидродинамика сильно разнятся в методах и целях исследования. Так, подавляющее число математических моделей в гидродинамике представляют собой системы дифференци альных уравнений в частных производных с разного рода дополни тельными условиями. И если специалистов в области механики жидкости и газа интересуют, в основном, конкретный вид и конкретные свойства функций, удовлетворяющих исходной системе то математики обращаются к ним с позиций развития общих методов исследования таких систем.

Особенно ярко это различие проявляется в подходах к решению систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, наиболее часто используемых для описания гидродинамических процессов. В основной массе работ по гидродинамике, берущих за основу, системы уравнений Навье-Стокса и Эйлера, стремятся исходя из конкретных данных максимально упростить исходную систему, чтобы затем можно было в какой-либо форме описать искомое решение. При этом специалисты в области гидродинамики с той или иной мере опираются, или должны опираться, на известные общие свойства решений систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера как и на способы нахождения таких решений.

Естественно, разработка общих методов исследования относится к области математики. Можно с полной уверенностью сказать, что хотя для систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера уже изучены многие аспекты теории, но запросы механики намного опережают сегодняшние возможности математики. Причём, как отмечено в [129] , хотя физическая модель, приводящая к урав нениям Навье-Стокса является наиболее простой из всех, описывающих движение жидкости с учётом диссипации, математическое изучение этих уравнений очень непросто и требует всей мощи современного функционального анализа.

Поэтому, наверное, в таком большом количестве работ по гидродинамике единственный способ исследования заключается в эмпирическом упрощении исходной задачи с последующим поиском приближённых решений. Безусловно, как можно убедиться по известной монографии [33] , таким способом были решены многие важные задачи и получены очень интересные результаты, но эти результаты нельзя поставить в заслугу математике.

Тем не менее, с позиций современной теории дифференциальных уравнений в частных производных уже изучены многие вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Определяющие аспекты математической теории движения вязкой несжимаемой жидкости изложены в монографии О.А.Ладыженской [40] . Ей, её коллегам и ученикам В.А.Солонникову, К.К.Головкину и другим принадлежат основополагающие результаты в исследовании уравнений

Навье-Стокса.

Разумеется, свой вклад в развитие теории уравнений Навье--Стокса и Эйлера внесли многие специалисты как в нашей стране, так и за рубежом. Но поскольку в цитированной монографии [ЦО] содержится достаточно обширный список литературы по данному вопросу, а также раскрыта роль классиков этого направления, то укажем лишь на работы, не вошедшие в список литературы к [Ц01 К числу монографий, не вошедших в [40] из-за более позднего выхода в свет, относятся [Z} 41, 88, 4 2,9].

В то же время, обращение к системам уравнений Навье-Стокса и Эйлера, опробывание на этих системах разрабатываемых методов, содержится у многих других авторов, например, [49 ~ Z3,

43. 45-49, 5Z-53, 52, 63-64, 81-83,. 95, Ю 3, 105, 1111,

Ещё большее различие в подходах между специалистами в области гидродинамики и математики обнаруживается в исследовании явления пограничного слоя, малой или исчезающей вязкости.

Теория пограничного слоя занимает во многих отношениях ведущее положение в механике жидкости и газа. Изучению разнообразных течений, при которых возникает явление пограничного слоя, посвящено огромное количество работ, как можно судить по обзорам 72,] или монографиям [51, 9 71.

Специалистами в области гидродинамики описано большое количество пограничных слоёв, при этом широко используется понятие уравнения пограничного слоя.

В математике тоже существует обширная теория, использующая термины "пограничный слой","уравнение пограничного слоя" и т.п. Её признание в качестве самостоятельной математической теории произошло около 1950 года после выхода в свет работ А.Н.Тихонова [89-91] И.С.Градштейна [16 - 48] и других авторов, начавших рассматривать в качестве самостоятельного объекта исследования дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных. В последующие годы эта теория получила широкое развитие в трудах советских и зарубежных специалистов. Свидетельством тому являются обзорные статьи и монографии LS-Wy Z5-27, 53, 9Zy 1,

Наибольший интерес и развитие в последние годы получило исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений в частных производных с малыми параметрами при старших производных, что тоже сводится, в конечном счёте, к пограничным слоям и уравнениям пограничных слоёв. Яркие результаты в этой области принадлежат многим известным математикам [7t iO,

34-35, 5Z, 5ву 65- 67, £8-69, ?7,&0>№iM5) 424].

Но если рассмотреть пограничные слои и уравнения погранич ных слоёв, используемые в гидродинамике для описания реальных явлений в вязкой несжимаемой жидкости, то с математической точ ки зрения в подавляющем большинстве случаев они не будут погра ничными слоями или уравнениями пограничных слоёв дяя системы уравнений Навье-Стокса. Как отмечено в [5 4] единственным видом пограничной функции в математическом смысле этого слова, извлекаемой из системы уравнений Навье-Стокса, является линейная. Для логарифмического погранслоя уже, по-существу, используется нелинейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации.

Тем более, существуют частные примеры, когда при стремлении вязкости к нулю в пределе не получается движение идеальной жидкости. Ссылки на соответствующую литературу и обзор других "расхождений" между гидродинамикой и математикой содержится в

151.

Во многих случаях уравнения пограничных слоёв, используемых в механике жидкости и газа, представляют собой просто модификации систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера в тонком слое. Широкий спектр таких задач представлен в f

Конечно, такой подход оправдан во многих конкретных ситуациях, если теоретические результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Но все-таки задачей математики является дедуктивное исследование системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.

В первую очередь это нужно для того, чтобы специалисты в области гидродинамики точно знали, какие свойства решений следуют из исходной модели, если в качестве такой модели принята начально-краевая задача для системы уравнений Навье--Стокса. И если эти свойства не согласуются с реальными процессами, то надо вносить изменения в исходную модель, а не "подправлять" процесс дедуктивного вывода эмпирическими соображениями, как это зачастую делается (например £ 1£3J).

В данной работе с теоретических позиций рассматривается вопрос о поведении решений системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.

Первый результат общего характера, абстрагированный от физических задач, принадлежит по этому вопросу О.А.Ладыженской, указавшей на возможность предельного перехода по вязкости в двумерной задаче Коши ( [36] ). В последующем разными авторами с помощью разных подходов £13, 93Л О - lit Jl?~ -118 12.5"^ 12.6 ] доказано, что когда для системы уравнений Навье-Стокса задаётся только начальное условие, а под областью определения решения понимается всё пространство (двух и большего числа измерений), то решения системы уравнений Навье-Стокса сходятся к решению соответствующей начальной задачи для системы уравнений Эйлера. В большинстве случаев, при этом, речь идёт о сходимости сильного (или даже классического) решения на некотором отрезке времени, не зависящим от вязкости.

Гораздо сложнее проблема становится, когда решение системы уравнений Навье-Стокса ищется в ограниченной области и помимо начального условия требуется, чтобы решение на границе области удовлетворяло определённым краевым условиям.

Сравнительно много результатов по этой проблеме получено для систем уравнений с двумя независимыми пространственными переменными, моделирующих движение вязкой несжимаемой жидкости. Наиболее полный обзор известных, дедуктивно обоснованных фактов о поведении решений двумерных задач теории пограничного слоя содержится в [74]. Этой же теме посвящены работы [4,3,6,

6Z, 84-85, 86-8?, 937 9&>JM, М67 Ш - SM у 'lZ^f-Ъ

Кроме того, как приложение развиваемых общих методов, результаты для. двумерных задач содержатся в [ZZ - 23, 52 -53].

О.А.Ладыженской [40, 42.] исследован вопрос о поведении решений линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса с любым числом пространственных переменных вида

- i)&ir^(jnaclp + j , сШ гГ = О при стремлении "д О.

Для похожих уравнений в [73] построено асимптотическое разложение волновых движений вязкой жидкости со свободной границей.

Что касается трёхмерных задач для систем уравнений, содержащих конвективные члены, то до последнего времени о их решениях при стремлении коэффициента вязкости к нулю ничего конкретно не было известно, кроме того что всё множество решений при V 0 остаётся ограниченным в L^.

В первую очередь такое положение вещей связано с тем, что для полной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса не доказано существование единственного сильного решения соответствующей краевой задачи на заранее обусловленном отрезке времени [0,Т]. Решение существует либо локально, причём интервал разрешимости пропорционален коэффициенту вязкости ~i)7 либо при выполнении определённых условий, ставящих значения начального поля скоростей и массовых сил в зависимость от величины "Л .

Обойти эту трудность пытались многими способами, в том числе изменением исходного предположения о характере зависимое ти тензора напряжений от тензора скоростей деформации [It

37,39-40, 50, 6&-71, -79]

И др., но особых сдвигов в изучении проблемы исчезающей вязкости это не принесло.

В этом отношении более эффективным оказался подход, описанный В.П.Масловым в его монографии [58.] (см. также

57] ) где при помощи модификации начально-краевой задачи за счёт задания в специальном виде начального условия, строится асимптотическое представление изучаемой задачи по параметру 1}.

В недавно опубликованных работах К.Асано [ 99 ~ iOO] с помощью оригинальной методики, основанной на обращении оператора, сопоставляемого системе уравнений Эйлера, исследуются вопросы разрешимости и асимптотики по вязкости полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваемой в полупрост

-1Zранстве с условиями прилипания на твёрдой границе и при условии аналитичности всех входящих в задачу известных функций. Утверждается о сходимости решений системы уравнений Навье-Стокса к системе уравнений Эйлера и приводится сответ-ствующая асимптотическая формула. Справедливость своих рассуждений автор выводит из применимости к рассматриваемой задаче абстрактной теоремы Коши-Ковалевской.

Т.Като принадлежит условный результат о сходимости слабого решения Хопфа для системы уравнений Навье-Стокса к гладкому решению системы уравнений Эйлера. В качестве условия для решения У системы уравнений Навье-Стокса требуется выполнимость соотношения где JQ. - область определения решения, юг - размерность исходного пространства (fjJ2,J).

В первых трёх главах данной работы объектом изучения является линеаризованная система уравнений Навье-Стокса вида сШт тТ=0, (2) где i) - малый параметр, характеризующий вязкость, & —

- известные трёхмерные соленоидальные вектор-функции. Областью задания системы (I)--(2), а значит и её решения V- (ifj считается ограниченная область Q СIR, с границей S при е [о9т}у где Т = oomi.

В §§ 1-5 главы I рассматривается случай, когда система Ц)~(2) с начально-краевыми условиями и/ '

V\bs0 = CL, x £ Q. (4) представляет собой линеаризацию задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости внутри области, граница которой непроницаема для жидкости.

Конкретно это выражается в том, что на SCx^h) накладывается условие n-Sj$=0, *е[0,Г], • (5) где п - вектор внешней нормали к границе

Наличие для задачи (1)-(4) решения из х [0?Т]) гарантировано в силу теоремы I из [ 3 8] при любых \) > 0? поэтому в §§ 1-5 исследуются свойства множества j Ifj^^Q заданного соотношениями (Х)-(4) с условием (5).

Тем новым приёмом, благодаря которому удалось исследовать линеаризованную систему (1)-(2) с максимальной степенью общности, явилось введение понятия обобщённой полной производной по вектору 1'=(BxJ2J3tl\ Именно, пусть 7/ е

Полной производной вектор-функции у по вектору $ в точке ( названо выражение lslU=±A civ „у п М + ди где I.SI

Пусть теперь вектор-функции Ц = ^

U - (i0~d у llTz ) llf3) принадлежат пространству

Lig .(£1 х [О Т1) так чт0 они» в частности, суммируемы

-J4в любой внутренней подобласти из Q* [0,'Г]. Если для любой бесконечно дифференцируемой, финитной в Q - [0,Т] вектор-функции if = 7 ^ ^з ) справедливо тождество dv

У If 4>cloc dt =- J*, LL-j-dxdl, т dl то вектор-функция Щ" называется обобщённой полной производной вектор-функции U по вектору $ в области Q * [С?37~']Ф Для неё сохранено обозначение d U / d S. Обобщённая полная производная по вектору 5 будет обла.дать всеми общими свойствами обобщённых производных, перечисленными в ["64 3. Для вектор-функции lf1 являющейся решением задачи (I)

-(4), dv/di*LA(&x[o,T]).

С использованием понятия обобщённой полной производной по вектору 5 уравнение (I) перепишется в виде df ~iAlf +/

Оказалось, что при i) О для решений системы (I)--(2) с начально-краевыми условиями (3)-(4) справедлива априорная оценка А/,

ЦТ (6) где Q *[0,т]} N = W не увеличивается при v — а

На основании априорной оценки (6) и известных Априорных оценок 3 делается вывод о наличии у множества {?/} предельных точек Ub } Ъ - J/Z) таких, что при т) О If0* - Uh слайо в L ^Ъ СЛабо в LZ(Q) при Ы[0)Т]) ^f слабо в LZ((£T). els' ds

Вводится банаховое пространство функций с нормой wm^Jj^dccdi *1/{{Wclxdi> в терминах которого определяется обобщённая постановка начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Эйлера в следующем виде.

Определить функцию Cj, 6 и функцию цГ £ \Х/6 О^) так» чтобы выполнялось равенство и условия где j(Q)

• LJQ) области,

Основываясь на свойствах пространства делается вывод, что решение задачи (7)~(9) единственно, и, в то же время, все функции Vb } Ъ - i,^,., будут удовлетворять задаче (7)-(9).

Щ.о = (8)

- подпространство соленоидальньгх функций из с нулевой нормальной компонентой на границе

Отсвда и выводится основной результат о поведении решений задачи (I) —(4), который заключается в том, что при — О 1Г1) слабо сходится в L,(Q) равномерно по f к (функции Vе £ ((JT) 7 являющейся единственным решением вырожденной задачи (7) -(9). "Имеете с том cllf^/df) слабо сходится

Б LгШт) к dv°/d£.

В параграфах 6,7,8 первой главы и в главах II и III для системы (Iизучается задача протекания. Но так как система (1)-(2) линейная, то без ограничения общности краевые условия взяты нулевыми, а всё отличие задачи протекания от задачи движения падкости внутри области состоит в отличии условий на функцию 8(ХУ{).

Конечно, кагс при липсаризаиди полной нелинейной системы уравнений Павье-Стокса, так и при приведении системы с неоднородными краевыми условиями к системе с однородными условиями, в уравнении (I) появляются другие члены, кроме тех, что записаны в правой части (I). По так как все они не вносят

Щ дополнительных трудностей в исследование, а нам важно выяснить принципиальные свойства решений, то в уравнении (I) оставлены лишь члены определяющие основные характеристики решения.

Б дальнейшем, при изучении линеаризованной задачи протекания предполагается, что грани.ид S области Q разбита па три поверхности S3> причем поверхности Sj и S3 медду собой не соприкасаются, так что на Sj Ц-п < О при ' всех £ £ [0 ;Т] на Sz в- ft О при всех { € [0,Т]^ S, в-П'* о при всех i € [ОТ]. Ф

МыглИ словами, грангпза области не совпадает целиком с характеристической поверхностью для уравнения li '^'5,7,0 первой власы .доказано, что решения системы уравнений (1)-(2) слабо сходятся к обобщённому решению системы (10) с соответствующим условием

СШГ LL - О (II) в том случае, если краевая задача для системы (1)-(2) сформулирована не во всей цилиндрической области (ffq, а в некоторой её подобласти, построенной так, чтобы поверхность выхода характеристик из трёхмерного объёма образовывала характеристическую it! 11 о р п о в с рх 11 ос т ь для уравнения (10) в четырехмерном пространстве.

При отом возникла необходимость в доказательстве существования и единственности решения краевой задачи для системы (I)-(2) в нс цилшщричс ckoji области. Теорию решения краевых задач для нестационарных уравнений в нецщшццрических областях нельзя признать достаточно разработанной, хотя к настоя- • щему времени появилось уже немало работ, посвященных подобным вопросам. Так, в частности, и для систем уравнений Навье--Стокса и Эйлера имеются доказательства существования решения в специальных функциональных пространствах при различных понятиях слабого и обобщённого решения [3i 0 iOZ? J 06 -10?^

Я3> J19 - JZO, iZZ ].

В § 6 предлагается свой способ доказательства существования решения для системы уравнений (1)-(2) в том случае, когда граиивд области определения решения изменяется с течением времени по известному закону.

Затем для решения системы (1)-(2) в четырёхмерной области ft ^? граница которой состоит из характеристических гиперповерхностей в IR^ для уравнения (10), доказывается априорная оценка /^{р j(jffc(xdt 4 /V, А/ = wW,

-i8 которая даёт возможность обосновать предельный переход по 1? О от решения исходной краевой задачи к специальным образом сформулированной вырожденной задаче для системы вица (?).

Главы II и III посвящены исследованию задачи протекания сформулированной традиционным образом в цилиндрической области, то есть в нашем случае, исследованию задачи (1)~(4) с тем условием па функцию ё о котором шла речь выше.

В качество аппарата исследования применяются квазинорми-рованные пространства, введённые с использованием полной производной по вектору S

1. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой яидкости// Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО All СССР.-1972.-Выи.10.-С.5-27.

2. Антоыцев С.Н. ,Кажихов А.В.,Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных гл.цкостей.-Новосибирск:Наука,1983. -320с.

3. Батищев В.Л.,Срубщик JLC. Об асимптотике свободной поверхности лщдкости при исчезающей вязкости//ДАН СССР.-1975.Т. 222. -J -4. С. 782-786.

4. Белопосов С Л., Черноус К.А. Краевые задачи для'уравнений Навье-Стокса. -М.: Паука, 1985. -312с.

5. Быховский З.Б. ,Олириов Н.В. Об ортогональных разложениях пространства вектор рушений, квадратично суммируемых по заданной области//Гр. МИАН СССР.-I960.-Т.59.-С.5-36.

6. Быховский Э.Б. О методе малого параметра ("исчезающая вязкость") для системы уравнений газовой динамики//Ж0М и МФ,-1962. -iJ2. -С. II28-II3I.

7. Васильева А.Б. О дтТференпиалъпых уравнениях., содержащих малые параметры// Матем.сб.-1952.-Т.31(73).-^.3.-С.587-644.

8. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно врзмущенных уравнений. -М.: Hayica, 1973.

9. Волевич Л.Р.,Панеях Б Л. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы шю;шния//УМК.-1965.-Т.£0.-Вып.1(121)С. 3-74.

10. Головкин К.К. Об исчезающей вязкости в задаче Коши для уравнений пщродипамитш//Тр .МИЛН СССР. -1966. -Т. 92. -С. 31-49.

11. Градштекн К.С. 0 поведении решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными кооффи щентами, вырождающихся в иределе//Изв.АН СССР/Серия матем.-1949.Т. 13. -^3.-С.253-280.

12. Данфорд П.,Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория.-М.:Иностранная литература, 1962.

13. Дезин Д.Л.,Масленникова В.Н. Неклассические граничные за-дачи//Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр.симпоз.,посвященного 60-летию С.Л.Соболева.-М.:Наука, 1970. -С.81-95.

14. Дезин А. А. О некоторых системах уравнений, со держащих малый параметр//Матем. сб. -1980. -Т Л11 (153). -№3. -С. 323-333.

15. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. -М.: Наука, 1980.-208с.

16. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. -М.: Наука, 1989.-336с.

17. Иманалиев М.И.Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущённых интегро-дифференпиальных систем.-Фрунзе:Илим, 1972.-356с.

18. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингуляр-но-возмущзнных интегро-дифференпиальных систем. -Фрунзе: Илим, 1974.-352с.

19. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение.-Фрунзе:Илим,1977.~348с.

20. Иосида К. Функциональный анализ.-М.:Мир, 1967.-624с.

21. Капитанский Л.В. ,Пилецкас К.И. 0 пространствах соленои-дальных векторных полей икраевых "задачах для уравнений Навье-Стокса в областях с некомпактными гранииами//Тр. МИАН СССР.-1932.-Т.159.-С.5-36.

22. Капитанский Л.В. ,Пилецкас К.И. 0 некоторых задачах вектор' ного анализа//3аписки научных семинаровЛОМИ. -1984. -Т. 138.-С.65-85.

23. Копилевич Ю.,Ладыженская О.А. 0 начально-краевой задаче для уравнений Навье-Стокса в областях, сжимающихся в точку при t ->0 //Записки научных семинаров Л0МИ.-1971. -Т.21. С.52-64.-Z7Z

24. Коул Д«.,Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. -М.:Мир, 1939.-360с.

25. Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.-М.:Наука,1977.-408с.

26. Ладыженская О.А. О разрешимости"в целом" краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений и уравнений Навье-Стокса //Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда, 1961 г. -ТД. -Ленинград, 1963. -С Л34-157.

27. Ладыженская О.А. О новых уравнениях для описания движений вязких несжимаемых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых зацач/Др.ШАН СССР.-1967.-Т. 102.С.35-104.

28. Ладыженская О.А. О единственности и гладкости обобщенных решений уравнений Навье-Стокса//Записки научных семинаров ЛОМИ.-1967.-Т.5.-С.169-185.

29. Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей//Записки научных семинаров ЛОМИ,- 1968.-Т.7.-С.126-154.

30. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.:Наука,1970.-288с.-27341 Ладжзпская 0.а. ,Солоппкков jJ.A. ^раяьцева К.И. Линейныеи квазилииейные уравнения параболического тина.-М. :Наука, 1967.-733с.

31. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределёнными системами. -М.:Наука,1937.-363с.

32. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. -М.: Наука,1982.-376с.

33. Лойпянский Л.Г. Механика жидкости и газа.-М.:Наука, 1987.-840с.

34. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М. .-Наука, 1931.-400с. .

35. Лущш В.Г. ,Павельев А. А. ,Якубенко А.Е. Уравнения переноса для характеристик турбулентности: модели и результаты расчётов//Итоги науки и техники/Механика жидкости и газа. -1988. -Т.22.-С.3-61.

36. Масленникова В.Н. ,Боговский М.Е. 0 плотности финитных со-леноидальных полей//Сибирский матем.журнал.-1978.-Т. 19.-№5.-С.I092-II09.

37. Маслов В.П.,Асимптотические методы решения псевдодиф-ференниальных уравнений. -М.: Наука, 1987. -408с.

38. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. -М.:Наука,1988.-312с.

39. Михайлов В.И. Дифференциальные уравнения в частных производных . -М.:Наука,1976.-392с.

40. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.-М.: Высшая школа, 1977.-431с.

41. Моисеев Н.Н. 0 краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала/ДВМ и• т. -1961. -Т. I. -№3.-С.548-550.

42. Назаров С.А.,Пилецкас К.И.О поведении решений систем Сток-са и Навье-Стокса в областях с периодически изменяющимся сечением//Тр.МИАН СССР.-1982.-Т. 159.-С.95-102.

43. Осколков А.П. Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром аппроксимирующей систему уравнений Навье-Стокса//Записки научн.семинаров Л0МИ.-1971.-Т.21. С.79-103.

44. Осколков А.11. Об асш"•тотичоском поведении решении некоторых систем с мат? параметром, аппроксимирующих систему уравнений !1авье-Стокса//Тр ЛИАН СССР.-1973.-Т.125.-C.I47-IG3.

45. Осколков АЛ. О нестационарных точениях вязко-упругих ;;аад-костей//Тр .МИЛН СССР. -1983.-Т. 159.-С. 103-131.

46. Потетюпко Э.К. .Срубщик Л.С. Асимптотический анализ волновых движений вязкой шаткости со свободной границей//1Ш.-1970.-Т.34.-£5.-С.891-910.

47. Пухцачев Б.В. Кеклассические задачи теории иограиичного. слоя. Учебное пособие.-Новосибирск:изд.Новосибирского ун-та,1979.-75с.

48. Рудии У. Лупкщюиаяып^ анализ. -Л. :Мир, 1975. -443с.

49. Соболев С.Л. Некоторые применения функциоиа/гьного анализа в математической физике.-Ленинград. :Из-во ЛГУ, 1950.-255с.

50. Соболевский П.Е.,Васильев В.В. £ -аппроксимация уравнения Навт.е-Стокса/Л-пслешшо методы мех.сплошной среды. -I 1978. -Т. 9. 5. -С. II5-I39.

51. Соболевский П.В. Исследование асимптотически иыотоиолской модели шщкости//ДАК СССР.-1983.-Т.271.-112.-С.ЗиО-304.

52. Соболсвсжй П.В. Устойчивость движения пелипейио-гязкой .лощкости//ДЛК СССР. -1983. -Т. 2SI .-D5. -С. I0G7-I0 71.

53. Солопников В.А. О лилейных дифференциальных уравнениях с- ^ г * i.мапым параметром при старших производных//ДАН СССР.-1958,Т. 119,Го .-0.454-107. i

54. Солошшков Б.Л. ДЬзлецкас К.К. 0 некоторых пространствах ес|£енондальшьх. векторов п о разрешимости краевой задачи для системы зфавнений Навье-Стокса в областях с некомпактными граппщмп//Сапис1Ш научных семинаров ЛОМИ.-1977.Т. 73.-0.130-151.

55. Солошшков В.А. Разрешимость трехмерной задачи со свободной границей для стационарной системы уравнений Еавьё-Сток-са/оашюгл научных семинаров JiO'ffi. -1979. -Т.84.-С.252-285.

56. Солонников В.Л. К вопросу о разркшимости краевых и 'начально-краевых задач для уравнении Навье-Стокса в областях с -некомпактными гранипамр1//3ага4ски научных семинаров ЛОМИ,-1980. -Т. 96. -С 288-293.

57. Срубщик Л.С.,Юдович В.Н. Асимптотика слабых разрывов'те-• чений жидкости при исчезающей вязкости//ДАК CCCP.-I97I.-Т .199. -j/З. -С. 563-567.

58. Таганов Г.И. О предельных течениях вязкой жидкости со ста-ционарнмтл зонами при fte -> оо. //Ученые записки ЦАГЙ,1970.-Т.1.^3.-0.1-14./

59. Темам Р Уравнения Иаг.ьс-Стокса. Теория и численнш анализ.-"М. Ар,1281.-408оь- .S9.Тихонов А.11. О-завысь-мости решений дифференциальных уравнеt . . . • '• ^ . . . .; ний от чалого параметра/Д?атем. сб. -1948. -Т. 22 (64;);. .

60. Тихонов А.Н. О системах дифференииальных уравнений,содержащих параметры/Датем. сб. -1950. -Т. 27(69) .-С. 147-156.

61. Тихонов А.Н. Системы дифференниальных уравнений, содержащих малые параметры при производных//Матем. сб. -1952. Т. 31(73).-Ш.-С.575-536.

62. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика//УМН. -1970. -Т. 25. -№4( 154). -С. 123-156.

63. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М.: Мир,1985.-376с.

64. Четвёртая международная конференция по пограничным и внутренним слоям. Вычислительные и асимптотические методы.-Новосибирск,1936,-136с.

65. Щяихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.:Наука, 1974.-712с.

66. Bock David N. On the Navier-Stokes Equations in Noncylindrical Domains//J.of Differen.Equations.-1977. -V. 2 5 • -P • 151-162.

67. Foias C. On the Behavior of the'Solutions of the XJavier -Stokes Equations Lying on Invariant Manifolds//J.of Differential Equations.-1986.-V.6l.-P.128-148^:

68. Fujita H.,Sauer II. Construction of Weak Solutions of theNavier-Stokes Equations in a Hon-cylindrical Domain//Bull. Amer.Math.Soc.-1969.-V.75.-P.465-468.

69. Pujita H.,Sauer N. On Existence of Weak Solutions of the Navier-Stokes Equations in Regions with Moving Doundary//J. Рас.Sci.Univ.Tokyo Sect.I A.-1970.-V.17.-P.403-420.

70. Girault V. Curl-conforming Finite Element Method for Navier -Stokes Equations with Hon-standard Boundary Conditions in R"V/Publications du Laboratoire d*Analyse Numerique. Universite Pierre et Marie Curie.-1938*-R 88010.-19P*

71. Hopf E. The Partial Differential Equations ut+uux=juu^Coram.Pure Appl .Math.-19 50.-V.3.-N.3.-P.201-230.

72. Kato T. Non-stationary Flows of Viscous and Ideal Fluids in R3//J. Functional Anal.-1972.-V.9.~P.296-305.

73. Kato T. Quasi-Linear Equations of Evolutions with Applications to Partial Differential Equations//Lecture Notes Inst Math./Springer .-1975. -V.443. -P .25-70.-£30

74. Kato Т. Remarks on Zero-viscosity Limit for Nonstationary Navier-Stokes Plows with Boundary//Seminar on Nonlinear Partial Differential Equations/ Math, Sciences Research Institute Public at ions ,2.- New-York, 1983.- P. 85-98.

75. Kozomo H. On Existence and Uniqueness of a Global Classical Solution of the Two-Dimensional Euler Equation in a Tirae--Dependent Domain// J. of Differential Equations.-1985.- V.57.- P.275-302.

76. Matkowsky B. J. ,Siegmann W.L. The Ploww Between Counter-rotating disks at high Reynolds Number//SIAM J. Appl. Math.-1976.- V.30.- P.720-727.

77. Mc.Grath T.J.Nonstationary Plane Plow of Viscous and Ideal Fluids//Arch. Ration, Mech. and Analysis. 1968. -V.27.- P.329-348.

78. Mizumachi Ryuichi. On Convergence and Rates of the Conver2gence of Motions of Incompressible Fluids in R as viscosity goes to 0//J. Рас. Sci. Univ. Tokyo/ Sect. IA, Math. -1988. N.35. - P.225-249.

79. Miyakawa Т., Teramoto Y. Existence and Periodicity of a Weak Solution of the Navier-Stokes Equations in a Time Bependent Domain//Hiroshima Math. J.- 1982. V.*12.- P. 513-528.

80. Schnute J,, Shinbrot M. The Cauchy Problem for the Navier--Stokes Equations//Quart. J. Math. Qxford (2). 1973.- P.45^-474.

81. Swann H.S.G. The Convergence with Vanishing Viscosity of Nonstationary Navier-Stokes Plow to Ideal Plow in R^// Trans. Amer. Math. Soc.- 1971.-V.157.- P.373-393.

82. Tam K.K. A Jlote on the Asymptotic Solution of the Plow Between Two Oppositely Rotating Infinite Plane Disks //SIAM J. Appl, Math.-1969.- V.17.- Р-1Э05-13Ю.

83. Temam R. On the Euler Equations of Incompressible Perfect Fluids//J. Functional Analysis.- 1975.- V.20.- P.32-43.

84. Temam R. Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis.- Philadelphia: SIAM, 1983- 122 p.-Я82,

85. Ллексевико С .11. Об исчезающей вязкости для линеаризованных уравнений Навье-Стокса //International Congress of Mathematicians/Short Communications (Abstracts),Section 13: Math,Physics and Mechan.-V/arsaw,1983.-P*21.

86. Алсксеепко С.II. Решение вырождающейся линеаризованной системы Навье-Стокса с однородным краевым условием // Исслсд. но Ш1Тсгро-Д1ь}хТюро11Щ1а71ЫШМ уравнениям. 1983.- Еып. 10. С. 243-257.

87. Алекссенко С.К. Пространство функций, квазипормировапноо относительно протекающего соленоидалыюго поля: определения и свойства // Исслед. по интегро-дисТхуеренциальнш уравнениям. 1986. - Вып. 19. - С.215-237.

88. Аиексссшко С.К. Об исчезающей вязкости в линеаризованной задаче протекания несжимаемой жидкости // Исслед. по шг?о 1'т^о-дгдit;/;eiiiijiа.7гь. 1ыгi уравнениям. 1986. - Вып. 19.- С. 288-304.

89. Алексеешсо СЛ. Системы уравнений с "вязкостью", решения которых' сходятся к решению уравнений Эйлера // Конференция математиков и механиков Киргизиипоевгпцённач 70-ле-2,33тию Октября: Тез: докладов. Фрунзе, 1987. - С. 5.

90. Алексеенко С.Н. Влияние свойств границы на поведение решений линеаризованной системы Навье-Стокса при вырождении по вязкости// Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям.- 1987. Вып. 20. - С. 232-237.

91. Иманалиев М.И. ,Алексеенко С.Н. Асимптотическая оценка по вязкости в задаче протекания сквозь правильный цилиндр // Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. 1989.- Вып. 22. С. 3-16.

92. Алексеенко С.Н.Асимптотика по вязкости слабых решений задачи протекания для системы Навье-Стокса в цилиндрической области //Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. 1991. - Вып. 23. - С.83-90.

93. Алексеенко С.Н. Слабое решение системы Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль части границыИсслед.по интегро-дифференциальным уравнениям.-1991. -Вып.23.-С. 90-103.

94. Алексеенко С.Н. Асимптотическое разложение по вязкости слабых решений задачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок в областях с раструбом. //Исслед. по интегро-дифференпиальным уравнениям.-1992. -Вып.24. -С.226-255.

95. Алексеенко С.Н. Существование и асимптотическое представление слабых решений задачи протекания с условием регуляр ного проскальзывания вдоль твёрдых стенок//Сибирский математический журнал. -1994.-Т.35.-№2.-С.235-257.