Математические вопросы динамики двухкомпонентной теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Математическая модель динамики двухкомпонентной тепло-проводящей вязкой несжимаемой сплошной среды.

1.2 Обобщенная постановка задачи и проверка корректности обобщенного решения.

2 Существование глобального обобщенного решения

2.1 Галеркинские приближения со свободной поверхностью.

2.2 Оценки галеркинских приближений.

2.3 Сходимость Галеркинских приближений.

Диссертационная работа посвящена решению задачи динамики двух-компонентной теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды в случае двух пространственных переменных, когда вязкость и температуропроводность сплошной среды зависят от ее температуры. Динамика сплошной среды описывается нелинейной системой уравнений Навье-Стокса с учетом теплопроводности и теплопереноса. р[у1 + {у,Ч)у] =/(х,г)+ ШуТ,

Qt + (и, V)© = сНу(хУв) + д{х, *), (1) сНуу = о, (ж, г) е Ят = п х (о,т), пек2, т> о.

Система (1) описывает движение теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды. Здесь и в дальнейшем Ь означает время, х = (^ьЯг) — пространственные переменные, у = у(х,£) = (Уг,У2) — поле скоростей сплошной среды в точке х £ П в момент времени £ 6 (0,Т), р — постоянная плотность среды, Т — тензор напряжений для жидкости Навье-Стокса, т.е. Тц = — где — символ Кронекера, Р — гидродинамическое давление сплошной среды, = \ + — компоненты тензора скоростей деформации, р = /¿(г?) — зависящей от температуры коэффициент вязкости, вектор-функция / = = (/ь/2) — заданная объемная плотность внешних сил, $ — — измеримая термометром классическая молекулярная температура сплошной среды, к = — зависящий от температуры коэффициент температуропроводности сплошной среды, заданная плотность источников тепла. Как отметил С1югт А.Л. в своей монографии [46], в случае несжимаемой жидкости изменение классической молекулярной температуры жидкости влияет на движение жидкости главным образом засчет коэффициента вязкости (см. [46], стр.8). В рассматриваемом нами случае линейной связи тензоров напряжения и скоростей деформации можно пренебречь квадратичным вкладом тензора скоростей деформации в уравнение теплопроводности. Разделив, как обычно, уравнение (1) на коэффициент р и сохранив прежнее обозначение, будем считать /л коэффициентом кинематической вязкости, а /(£,£) — массовой плотностью внешних сил.

Двухкомпонентная сплошная среда занимает область А С К2, которая для простоты предполагается ограниченной. Область П разделена на две части = П^) и 0,2 — с неизвестной поверхностью раздела, которую обозначим через Г = Г(£).

Области Г2х, Пг и неизвестная поверхность раздела Г зависят от времени. Внешняя граница <9П от времени не зависит. Неизвестная поверхность раздела сред Г(£) ищется методом Эйлерова типа [47] путем искусственного введения так называемой функции псевдоплотности Ф(х, ¿). При этом поверхность Г(£) задается неявно уравнением Ф(а;,£) = 0, а функция псевдоплотности Ф удовлетворяет уравнению переноса

Ф( + (г;,УФ) = 0. (2)

С точки зрения физического смысла, система (1) описывает плоскопарал

Рис. 0.1. лелъное течение сплошной среды в цилиндре ПхМ1 С М3 по пространственным переменным х\,х2,хз- Именно по этой причине плоская кривая Г(£) рассматривается как зависящая от времени поверхность Г(£) X М1 в трехмерном бесконечном цилиндре П х!1. Тот факт, что поверхность Г = Г(£) является свободной, означает, что нормальная составляющая скорости сплошной среды в каждой точке х Е Г(£) совпадает со скоростью перемещения поверхности Г(£) в направлении нормали к ней самой.

Для системы (1) на неподвижной внешней границе 80, ставятся следующие краевые условия ь\аа = 0, (3)

Щаа = 0. (4)

Зависящие от температуры кинематический коэффициент вязкости и коэффициент температуропроводности сплошной среды на подмножествах

Ят — ^ Ят '■ х £ 0,j(t)1t (Е (О,Г)}, з — 1,2, совпадают с заданными функциями {¿¿(А) и х^), у = 1,2. Точнее,

1^(0) в в в д|, х2(т?) в д|. ч

Обозначим через = Tj(t) часть поверхности Г(£) со стороны $ = 1,2. Для поля скоростей на неизвестной поверхности раздела сред задал ются два векторных условия сопряжения, а именно,

У\гг{г) = У\г2(1)

5) условие непрерывности поля скоростей, и

ТИад = ТИг2(0

6) условие непрерывности напряжений, где и — единичная нормаль к поверхности Г(£). При этом входящий в тензор напряжений коэффициент вязкости ¡л является функцией температуры /¿1(1?) или Дг(^) на Г^) или Г2 ), соответственно. Для температуры на неизвестной поверхности раздела сред задаются два скалярных условия сопряжения, а именно, 0|гаю

7) условие непрерывности температуры сплошной среды, и

Г1(«)

8) условие непрерывности плотности потока тепла в сплошной среде, где круглые скобки (. , .) означает скалярное произведение в К2.

Для поля скоростей и температуры задаются начальные условия у\г=о = у°(Х), (10)

Начальная форма Г(0) неизвестной поверхности раздела сред задается неявно уравнением Фо(ж) = 0, что соответствует начальному условию

Ф|«=о = Фо(®). (11)

Предполагается, что Г(0) 6 С1, точнее, Фо(ж) € С^П) и |\7Ф0(ж)| ^ 0 в замыкании О. Кроме того, метод введения функции псевдоплотности [47] требует, чтобы в начальный момент выполнялись условия

Ф0(х) > 0, а; 6^(0),

Ф0(ж) = 0, х Е Г(0), (12) ф0(ж) <о, хе п2(о), в силу которых при достаточно гладком поле скоростей у(х, £) функция псевдоплотности Ф(ж,£) для всех £ Е [0,Т] будет удовлетворять условиям

Ф(ж,*)>0, хеП^),

Ф(М)=0, агбГВД, (13)

Ф(ж,£)<0, а;еП2й) как это следует из теоремы 2 первой главы.

Функцию псевдоплотности Ф(:с,£) удобно использовать в определении коэффициентов вязкости и температуропроводности двухкомпонентной сплошной среды. Будем считать, что ¡л = Ф)их = Ф), где г

А > О, < к^д), Л > О, j/z2(0), А < О, V

Л < 0.

Начально-краевые задачи для системы Навье-Стокса со свободными (неизвестными) поверхностями представляют большой интерес для гидродинамики. Такие задачи возникают, например, при описании волновых, струйных и кавитационных движений вязкой жидкости. Математическое исследование подобных задач существенно осложняется необходимостью искать область, занятую жидкостью. Этим, вероятно, и объясняется тот факт, что полученные для таких задач результаты носят в основном приближенный характер.

Развитие теории движения вязкой жидкости со свободной поверхностью шло главным образом по линии создания приближенных моделей. Первой из них была линейная модель поверхностных волн, предложенная Ламбом [19]. Эта модель получается в результате линеаризации уравнения (1) с / = const на нулевом решении и преобразования поверхности Г в условиях (5), (6) в невозмущенную (обычно плоскую) свободную поверхность. Типичными примерами приложения линейной теории являются задача о колебаниях вязкой жидкости в открытом сосуде и задача Коши-Пуассона о волновом движении вязкой жидкости бесконечной глубины. Об исследовании этих задач см., например, Крейн и Лаптев [16] и имеющуюся там библиографию.

Другие приближения основаны на предположении о существовании различных масштабов движения в нормальном и касательных направлениях к свободной поверхности. Крайне редко можно встретить точные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие движения со свободными границами, такие например как, симметричное схлопывание пузырька в жидкости, заполняющей все пространство (Рэлей [63]).

В настоящей работе исходная нелинейная задача (1)—(11) не упрощается и не заменяется никакими ее приближениями, при этом доказывается теорема о глобальной разрешимости задачи (1)—(11) в обобщенной постановке без каких бы то ни было предположений малости. Подобные теоремы о глобальной разрешимости были известны и раньше [1,10,24,28,29,40,43,49,53,57,61,62, 65-68], но без учета теплопроводности и теплопереноса и тем более без учета зависимости коэффициентов вязкости и температуропроводности от температуры сплошной среды. Теоремы о глобальной по времени разрешимости с учетом теплопроводности, но с постоянными коэффициентами вязкости и температуропроводности доказывается в работах [58-60,70,72-76].

В работах ТакаЬаэЫ Б. [66,67] доказывается существование слабого глобального решения для нестационарных течений двухкомпонентной вязкой несжимаемой сплошной среды в гладкой ограниченной области, которые описываются системой Навье-Стокса. Вся область в [66,67] разделена на две части, которые заполнены жидкостями с одинаковыми плотностями и разными вязкостями с неизвестной поверхностью раздела. Жидкости предполагаются несжимаемыми и несмешивающимися. Доказывается существование глобального слабого решения нестационарной системы Навье-Стокса для двухфазных течений. В работе Тапака N. [68] рассматривается задача динамики двух жидкостей. Обе жидкости считаются вязкими, несжимаемыми, разделенными свободной поверхностью, а на поверхности раздела учитывается поверхностное натяжение.

В работе Ривкинд В.Я., Фридман Н.Б. [29] тоже рассматривается задача двухфазных течений вязкой несжимаемой жидкости. Жидкости разделены известной гладкой поверхностью. Коэффициент вязкости терпит разрыв на этой поверхности и доказывается существование глобального обобщенного решения для линейной стационарной и нестационарной задачи с помощью теоремы Лере-Шаудера.

Задача со свободной поверхностью для вязкой несжимаемой сплошной среды рассматривается также в работе Веа1е Л.Т. [43]. В [43] область, заполненная сплошной средой, является полу бесконечной. Для любых заданных в начальный момент времени поля скоростей и поверхности доказывается существование сильного решения при малых В работе [43] также доказано существование при любых £ сильного решения в малом , а именно, в предположении малости поля скоростей и почти горизонтальности поверхности в начальный момент времени.

В работе №зЫс1а Т. [61], в частности, рассматривается задача со свободной поверхностью для системы Навье-Стокса. Доказывается существование глобального по времени решения, которое затухает со скоростью с ростом времени.

Существование слабого глобального по времени решения для нестационарного двухфазного течения вязкой несжимаемой двухкомпонентной сплошной среды доказывается в работе Giga У., ТакаИавЫ Б. [49]. Там рассматривается задача для ограниченной области, заполненной двумя жидкостями с одинаковыми постоянными плотностями с неизвестной поверхностью раздела. Каждая из этих жидкостей удовлетворяет системе Стокса. Вязкости считаются близкими. В начальный момент времени задаются области, занимаемые жидкостями. Поверхностное натяжение не учитывается. Полученное решение определяет эволюцию свободной поверхности раздела жидкостей после того, как на ней появляется сингулярность.

В работе Пухначева В.В. [28] уравнения Навье-Стокса, описывающие движение жидкости со свободной поверхностью, исследуются с точки зрения инвариантности решений относительно некоторой группы преобразований.

Задача со свободной поверхностью рассматривается также в работе ^исЫ Т., Тапака Таш А. [53], которая посвящена двумерной задаче для несжимаемой идеальной сплошной среды со свободной поверхностью. Вся область разделена на две части с неизвестной поверхностью раздела. Жидкости имеют постоянные разные плотности. На свободной поверхности учитывается поверхностное натяжение и доказано существование единственного решения начально-краевой задачи. Задача с учетом поверхностного натяжения на свободной поверхности рассматриваются также в работах Денисовой И.В. и Солонникова В.А. [10] и АПат О. [40]. В работе АПат в. с помощью теоремы о неподвижной точке доказывается существование решения при малых £ для системы Навье-Стокса, описывающей движение сплошной среды со свободной поверхностью с учетом поверхностного натяжения. В работе Денисовой И.В. и Солонникова В.А. доказано существование единственного решения для начально-краевой задачи для системы Навье-Стокса описывающей движений двух вязких несжимаемых жидкостей, разделенных неизвестной поверхностью, на достаточно малом интервале времени. Отметим, что работах Allain G. [40], Денисовой И.В. и Солонникова В.А. [10] области, занятые жидкостью, являются неограниченными.

Имеются также работы, посвященные динамике вязкой несжимаемой жидкости с учетом теплопроводности и теплопереноса, например, см. работу Amman Н. [41] и цитированную там литературу. В работе Масленниковой В.Н. [25] рассматривается термогидродинамическая модель сплошной среды, в которой влияние температурных градиентов на динамику сплошной среды учитывается в виде дополнительных массовых сил, пропорциональных градиенту температуры сплошной среды. Но в этих работах вязкость не зависит от температуры и не терпит разрыва, т.е. область заполнена одной жидкостью, что существенно облегчает задачу.

В работе Wolf М. [71] рассматривается стационарная задача для тепло-проводящей сплошной среды со свободной поверхностью. Очень важно, что в [71] коэффициенты вязкости и температуропроводности считаются функциями зависящими от температуры среды. При такой постановке задачи в [71] доказано лишь существование решения малом. В работах Matsimura А. и Nishida Т. [58-60] рассматривается начально-краевая задача для сжимаемой вязкой теплопроводящей жидкости. Доказывается существование глобального по времени обобщенного решения. В работах Zadrzyriska Е. и Zaja5zkowski \¥.М. [72-76] рассматривается задача динамики вязкой сжимаемой теплопроводящей жидкости со свободной поверхностью. В [72-76] доказано существование гладкого глобального по времени решения, в том числе и в случае, когда на свободной поверхности учитывается поверхностное натяжение.

Обратим внимание также и на работу Аг^оМэеу Б., Мептапоу А., Уигтэку В.У. [42], где доказывается существование и единственность классического решения для задачи описывающей движения двух вязких, несме-шивающихся жидкостей, разделенных неизвестной поверхностью. Жидкости имеют разные постоянные плотности, а область, заполненная жидкостью считается ограниченной. В работе [42] изучается также эволюция свободной поверхности раздела.

Методы доказательства глобальной разрешимости в работах [1,10,24, 28,29,40,43,49,53,57,61,62,65-68] существенно используют тот факт, что коэффициент вязкости ¡1 является кусочно постоянным. В настоящей работе коэффициент вязкости /х является функцией температуры — то же относится и к коэффициенту температуропроводности. Хотя в работе [71], как и в настоящей работе, коэффициенты вязкости и температуропроводности являются функциями температуры сред, тем не менее решение стационарной задачи поставленной в работе [71], существенно отличается от данной работы как по методам, так и по результатам, которые в [71] носят исключительно локальный характер. Таким образом, методы доказательства глобальной разрешимости, предложенные в работах [1,10,24,28,29,40,43,49,53,57,61,62,65-68] в нашем случае неприменимы.

Задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью достаточно трудны и для численного решения. Один из методов численного решения, так называемый метод "marker and cell", предложен в работе Harlow F.H. и Welch J.E. [51]. Другой метод численного решения для движения несжимаемых жидкостей с разными вязкостями предложен в работе Samarskii А. и Vabishchevich P.N. [64]. Имеется работа Патанкара С. [27], в которой предлагается численные методы решения задач динамики жидкости с учетом теплообмена. Обратим внимание на то, что метод решения предложенный в настоящей диссертационной работе может служить основой алгоритма численного решения поставленной плоской задачи динамики двухкомпонентной тепло-проводящей вязкой несжимаемой сплошной среды.

В настоящей работе впервые учитывается зависимость от температуры коэффициентов вязкости и температуропроводности для двухкомпонентной сплошной среды в нестационарном случае. Похожие задачи, но без учета теплопроводности рассматривалась ранее в работах разных авторов. Подводя итог обзору имеющихся результатов, можно сказать, что более или менее полное представление о методике и полученных результатах можно составить по четырем работам [1,57,62,72], первые три из которых [1,57,62] имеют самое непосредственное отношение к постановке рассматриваемой задачи, и на них мы остановимся подробнее.

В монографии Антонцева С.Н., Кажихова A.B., Монахова В.Н. [1] рассматривалась модель неоднородной (в частности, многокомпонентной) вязкой несжимаемой жидкости с одинаковыми постоянными коэффициентами вязкости компонент, но с различными (в частности, постоянными) плотностями. В монографии [1] эта модель описывается начально-краевой задачей для уравнений р[уг + (у, v)*] = v - ур + /(ж, *), сИУ V = О в обобщенной постановке. Для такой задачи в монографии [1] устанавливается существование глобального обобщенного решения.

Аналогичный подход используется и в работе N01111 А. и Роираис! Г. [62], где неоднородность жидкости учитывается добавлением к системе Навье-Стокса уравнения переноса для вязкости + (",7> = 0 (14) с начальным условием л и=0 = /Лж)

Для неоднородной несжимаемой жидкости с кусочно-постоянными вязкостью и плотностью в работе [62] устанавливается существование глобального обобщенного решения соответствующей начально-краевой задачи.

Необходимо подчеркнуть, что метод доказательства глобальной разрешимости, предложенный в работе ]Чоип А. и Роираис! Р. [62], в случае зависимости коэффициентов вязкости от температуры можно было бы использовать и при учете теплопереноса, но только без теплопроводности. Действительно, если вязкость ¡1 = то уравнение переноса (14) для вязкости принимает вид фактически совпадает с уравнением переноса тепла без учета теплопроводности. Очевидно однако, что учет теплопроводности вынуждает вообще отказаться от уравнения переноса (14) для вязкости.

В работе Масленниковой В.Н. и Боговского М.Е. [57] уравнение переноса для плотности или вязкости не используется. Вместо этого используется метод введения функции псевдоплотности [47], т.е. вводится функция с помощью которой поверхность раздела задается неявно уравнением ¿) = 0. При этом функция Ф(ж,t) определяется как решение задачи Коши для уравнения переноса дФ + (и, У)Ф = 0, Фи = ФоМ, |УФ0(ж)|^0.

Метод введения функции псевдоплотности представляет собой естественное обобщение методов, основанных на использовании уравнения переноса для кусочно-постоянных вязкости и плотности.

В отличие от подхода Антонцева С.Н., Кажихова A.B., Монахова В.Н. или Nouri А. и Poupaud F. к задачам динамики многокомпонентных несжимаемых сплошных сред с неизвестными поверхностями раздела компонент, подход, предложенный Масленниковой В.Н. и Воговским М.Е., остается эффективным и в случае, когда коэффициенты вязкости и температуропроводности являются не кусочно-постоянными, а функциями, зависящими, например, от температуры. В диссертации, также как и в работе Масленниковой В.Н. и Боговского М.Е. [57], используется метод введения функции псевдоплотности.

В настоящей работе доказано существование глобального обобщенного решения поставленной задачи без каких-либо предположений о малости норм начальных данных, плотности внешних сил и плотности источников тепла. Отметим, что в данной работе впервые решается задача динамики двухком-понентной теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды с учетом зависимости от температуры коэффициентов вязкости и температуропроводности.

Во втором параграфе первой главы вводится понятие обобщенного решения, которое требует предварительного введения соответствующих функциональных пространств.

Функциональные пространства

1 П

Символом Иобозначим, как обычно, неизотропное пространство Соболева с нормой

Через ¿2 обозначим неизотропное пространство Лебега с нормой и\\ь^Ш=е888ПР\\и\\ь2(П)

2,00 tф,т)

Для пространств соленоидальных векторных полей используются следующие стандартные обозначения {и 6 С°°(а;М.2) : сИ™ = 0}.

Через обозначается замыкание в И7^^;^2) его подпространства о о

7°°(Г2). Замыкание в 1/2(0;К2) его подпространства обозначается чео рез (О). Поле скоростей ищется в классе Хопфа

Нт = Мх,1) 6 И^2^(дт;М2) П ^¿(дт;М2) : Шум = о,г*|ап = 0} с соответствующей индуцированной нормой. При этом в определении обобщенных решений пробные вектор-функции будут браться из класса

Н^ = {и(х,г) <Е С°°(^;М2) : и\1=т = 0, Е е [0,Т]}.

Температура ищется в классе типа Хопфа

0Т - 6 УГ^Ят) П Ь&(<2т) : ^ - 0} с соответствующей индуцированной нормой. При этом в определении обобщенных решений пробные функции будут браться из класса {ф(х,г) е с°°<дт) = о, е е [о,г]}.

Определение 1 Тройка Ф}, где V € Нт, $ Е ©г, Ф Е Ьоо(Фт) называется обобщенным решением задачи (1)-(11); если удовлетворяют следующим трем интегральным тождествам: 2

- / (у,щ) йх (И — / (V, V)«) с1х (Н + ^ / ц^к^щ) йх(И = ( а,и)йх(И+ [ (у°{х),и(0,х))(1х УиЕЯ£?,

•/ Ят ->Ят дф <1х<И + [ #°{х)ф(0,х)(1х У^е^, Уог ¿п.

I Ф(7* + {у, У7)) ¿Х(И = - [ Фо{х)ф, 0) ¿ж У7 е С00 (От) : 7(ж, Т) = о, где вектор-функция = (¿и, — это к-ая строка тензора скоростей деформации 5, к = 1,2. Поле скоростей ищется в классе Хопфа Нт={у 6 И^(<2г;К2) П сНуу = 0 и|ап = 0} При этом в определении обобщенных решений берутся пробные вектор функции из класса Н^={и е С°°(дт;М2) : (Нуи = 0,и\ыт = 0, зирр|гь| е П ^ е [0,Т]}. Температура ищется в классе От={$ € ^^¿(Фт) П ¿^(фт),$|ап — 0} и пробные функции берутся из класса 6 С^фт)1 = 0,

8ирр|$|еГ2 Ш 6 [0,Г]}.

Во втором параграфе первой главы доказаны следующие две теоремы о корректности определения 1 обобщенного решения задачи (1)—(11).

Теорема 1 Пусть обобщенное решение в смысле определения 1 таково, что и(х,Ь) удовлетворяет в С^т условию Липшица. Тогда тоже удовлетворяет условию Липшица в С}т и существует липшицева поверхность Г(£); удовлетворяющая уравнению = 0 для всех £ 6 [0, Г].

Теорема 2 Пусть в условиях теоремы 1 обобщенное решение имеет еще и одностороннюю гладкость V 6 W2^t{QiГ]'$1), д £ 3 = 1»2.

Тогда обобщенное решение является обычным решением, т.е. существует VР Е , ] = 1,2, и п.в. в выполняются уравнения (1),(2), при этом п.в. еП выполняются начальные условия (9)-(11), а для каждого t Е [0, Г] п. в. на свободной поверхности Г(£) выполняются условия сопряжения

5)48).

Вторая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе второй главы сформулирована следующая основная теорема диссертации.

Теорема 3 Пусть внешняя граница дО, липшицева, Т > 0, функции ¡л^), хДч?) удовлетворяют условию Липшица по 0 < М\ ^ Ц^) ^ М2 < оо, 0 < Кх < < К2 < оо, з = 1,2; и пусть f Е Ь2(ЯгЛ2), 9 € Ь2(Ят), о г;0 Е 32 , Е Гогда существует глобальное обобщенное решение V £ НТ Г) Ц'^/^тЛ2)^ Е вт П

Напомним, что норма в неизотропном пространстве Соболева-Слободецкого Иопределяется как Г Г р"(*.«)-"(*■-л

Уо Л 7о — Т1

Если функция определена на все пространство то эта норма эквивалентна следующей

Ц1(1 + ^ ^ + [ \чху{х,г)\2<1х(И

3 —00 </ О

Теорема 3 доказывается методом Галеркина. Галеркинские приближения для поля скоростей ищутся в виде к=1 с неизвестными коэффициентами С^(£), к — 1,., ./V, где {'и)к(х)}^=1 — изо вестные базисные вектор-функции тк(х) 6 При этом {и>к(х)}(1?=1 — о полная линейно независимая система в пространстве ^(0,). Галеркинские приближения для температуры ищутся в виде к=1 с неизвестными коэффициентами В£(¿), к — 1,., Л7", где {^(я)}^ ~~ из~ о вестные базисные функции £к(х) Е С00(О). При этом — полная о линейно независимая система в пространстве Соболева ^¿(П).

Коэффициенты галеркинских приближений с неизвестной поверхностью раздела сред — 0 определяются как решение задачи Коши (у?{х,1),1ит{х))<1х+ [ ((ум{х,1)У)ум(х^),1ат(х))(1х-\

Уо Jn к=1 [ [ д(х, Ь)^т(х) ¿х,

15)

16)

Ф?(х,1)+(у"(х,Ь),Т7Ф»(хЛ) = 0, (я,*) 6 Ят, (17) где т пробегает все значения от 1 до N, с начальными условиями ум(х,$),и)т(х))(1х = [(у\х),тт(х))(1х, 1 ^ т < N. (18)

Jíl Л} 0)£то(:с) (1х= [ <&°{х)$т{х) йх, 1 ^ т < ЛГ, (19)

Ф^(ж,0) = Ф0(ж), хеп. (20)

Для заданной функции Ф(ж,£) 6 С{Ор) существование галеркинских приближений V (х,£) и ж, ¿) выводится, как обычно, из априорной ограниченности этих приближений. Доказательство существования галеркинских приближений с неизвестной поверхностью раздела сред Фм(х^) = 0 проводится следующим образом. Сначала для произвольной заданной функции Ф(я,£) € С (От) с начальным условием Ф(х,0) — Фо(я) ищутся галеркинские приближения ум(х,1) и

Затем решается задача Коши

Ф(ж,0) = Фо(ж), х е с помощью которой определяется отображение Ф = Тм(Ф) относительно заданных Ф. Доказательство существования решения задачи (15)—(20) с неизвестной поверхностью раздела Фм(х^) = 0 следует из существования неподвижной точки Ф = Фм(х^) отображения С(@т) —>• С (От).

Для заданной функции Фо(х) через М0 обозначим множество

М0 = {Ф(®,*) € СШ : Ф(®,0) - Ф0(а?), пипФо(х) ^ Ф(ж,£) ^ тахФо(ж) 6 <2т}х£Г2 хбП

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1 Отображение ^дг(Ф) переводит множество Мд в себя и имеет в М0 неподвижную точку Ф = Ф^ £ С1(

Лемма доказывается с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке. При проверке условий теоремы Шаудера применяется лемма об оценках типа принципа максимума из работы [57].

Во втором параграфе второй главы получены обычные априорные оценки галеркинских приближений: V (х, £ Нт, £ 0т в соответствующих индуцированных нормах. В конце того же второго параграфа получены оценки дробной гладкости по t для ум(х,1) и ^(х^), а именно доказана следующая лемма.

Лемма 2 Для галеркинских приближений имеют место оценки

8Щ>|П| (21) (22) штФоМ ^ ^ тахФо(х) Е фг , (23) хЕ £1 где МиМ2 — некоторые многочлены третьего порядка относительно соответствующих норм г>°, /, д.

Для получения оценки (21) используется метод, предложенный в работе [57], который состоит в следующем. Входящие в (15) коэффициенты галеркинских приближений доопределяются по £ на всю ось и умножаются на подходящую гладкую срезающую функцию 77 (¿). Модифицированное таким путем уравнение (15) умножается на Н(£)] и проводится суммирование по всем к от 1 до ЛГ, где через Н обозначено преобразование Гильберта, т.е. интегральное преобразование вида

7г ]00 г - в которое является изометрией 1,2(К1) на себя. Полученное таким образом тождество интегрируется по t от —с» до +оо. И наконец, применяя теорему Планшереля для преобразования Фурье, используя свойства преобразования Гильберта, мультипликативное неравенство и уже имеющиеся обычные оценки галеркинских приближений, получаем оценку (21). Для галеркинских приближений температуры оценка (22) выводится аналогичным образом. Оценка (23) следует из принципа максимума [22].

В силу полученных оценок найдется подпоследовательность галеркинских приближений {у^, , ФМк} такая, что сходится слабо в к некоторому у(х^) е Нт П И^1;^(дт;М2), -вМк сходится слабо в к некоторой д(х, ¿) Е Вт П Вложение в Ьр(С2т) компактно при р < 4. Поэтому при р < 4 подпоследовательности уМк и т?^ сходятся сильно в и Ьр(С}т) соответственно. А тогда из теоремы II.4 работы [48] следует, что для любого р ^ 1 подпоследовательность ФМк(х^) сходится сильно в Ьр(С^т) к некоторой функции Ф(х,£) Е Ьоо^т), при этом в силу (23) п.в. в фт имеется оценка ттФо(ж) ^ ФОМ) ^ тахФо(о;). хе^ хеО,

Не ограничивая общности, будем считать, что подпоследовательность сходится к функции п.в. в С^т

Доказательство основной теоремы 3 завершается ссылкой на следующую вспомогательную теорему, которая доказана в третьем параграфе второй главы.

Теорема 4 Тройка {г;,?9,Ф} является обобщенным решением начально-краевой задачи (1)-(11) в смысле определения 1.

Доказательство теоремы 4 существенно опирается на тот факт, что для найденной Ф(ж, множество <т = {{х^) £ Ят = 0} имеет нулевую меру. Точнее, справедлива следующая лемма, которая характеризует структуру глобального обобщенного решения задачи (1)—(11).

Лемма 3 Мера Лебега mesa = 0. Кроме того, mes ftj(t) = mesfi^O) для п.в. t <Е (0,T),j = 1,2.

Равенство теэ <7 = 0 доказывается от противного, а именно, предполагается, что мера Лебега множества о равна некоторому 5 > 0. При этом для каждого

Выберем срезающую функцию 77€ С00(К1) так, чтобы = 1 при |£| < 1 и г/(£) = 0 при |£| ^ 2. Умножая уравнение (17) на ^т/ (^г) и интегрируя по х 6 П, получим фиксированного номера N ^ 1 функция Фм(х, t) является решением задачи Коши (17), (20). о

Отсюда после интегрирования по £ от 0 до Т по теореме Лебега находим рг) ¿"(г) **-г/0'(т) - (24) для всех г > 0. Но, с другой стороны имеем

J г] dx dt ^ J г] dxdt — ô Ve > 0. (25)

2T

Тогда из (24) и (25) получаем оценку снизу fa^ ( j dx>5- Ve > 0, которая означает, что для всех е > 0 выполняется неравенство ^ / 77 ^ ^ meS^ е ^ : фоМ < 2е}- (26)

Очевидно, правая часть (26) стремится к нулю при е —У 0, тогда как левая часть (26) строго положительна и от е не зависит. Из полученного противоречия следует, что mes а = 0. Равенства mes Qj(t) = mesQj(O) для п.в. t Е (0,T),j = 1,2, устанавливаются аналогичным образом.

В теореме 4 основную трудность представляет обоснование предельного перехода при Nk —> оо для нелинейных членов

Nk)S"\Vwf)ip(t)dxdt^ ( (/j('â,<S>)Sj:Vw1]l)<p(t)dxdt1 (27)

Jqt JQT j = 1,2. Тот факт, что функция ограничена по совокупности переменных и липшицева по позволяет установить сильную сходимость у('дМк, ФМк) к fj,(-âN^N) в L2(Qt), откуда и из слабой сходимости vNk в w^t {qt]1^2) по теореме Лебега вытекает (27) для каждого m ^ 1 и для любой </?(£) 6 С°°[0,Т]. Аналогичным образом обосновывается предельный переход для нелинейных членов из уравнения теплопроводности.

Итак, в работе решается задача динамики двухкомпонентной теплопро-водящей вязкой несжимаемой сплошной среды. Доказывается существования глобального обобщенного решения и исследуется его структура в плоской начально-краевой задаче для системы Навье-Стокса с учетом теплопроводности и теплопереноса для двухкомпонентной теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды с неизвестной поверхностью раздела компонент среды. Для нестационарной задачи динамики двухкомпонентной вязкой несжимаемой сплошной среды в настоящей работе впервые учтена зависимость коэффициентов вязкости и температуропроводности от температуры.

Диссертация состоит из введения и двух глав. В конце диссертации приводится список литературы из 76 наименований, а также список обозначений и предметный указатель. Диссертация изложена на страницах (не считая предметного указателя, списков литературы и обозначений).

1. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей, Новосибирск, Наука, (1983).

2. Данфорд Н., Шварц Дж.т. Линейные операторы. Общая теория. М.:ИЛ, 1962, 895с.10. денисова И.В., Солонников В.А. Классическая разрешимость задачи о движении двух вязких несжимаемых жидкостей. Алгебра и анализ Т.7, 1995, вып.5, с. 101-142.

3. ИОСИДА К. Функциональный анализ. М.:Мир, 1967, 624с.12. колмогоров А.Н. и Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1989, 623с.

4. Кочин Н.Е., КИВЕЛЬ И.А., РОЗЕ Н.В. Теоретическая гидродинамика. г. 1973.

5. Крейн С.Г. и лаптев Г.И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде. Функциональный анализ, т.2, вып.1, (1968), с.40-50.

6. ЛИОНС Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. изд. Мир, Москва, 1972.

7. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей. Сиб. мат. журнал, 1983, т.24, 5, с.149-171.

8. НИКОЛЬСКИЙ С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1977, 455с.

9. ПАТАНКАР С. Численные методы рещения задач теплообмена и динамики жидкости. М. Энергоатомиздат, 1984, 150с.

10. ПУХНАЧЕВ В.В. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие движения со свободной границей. ДАН СССР, т.202, N.2,1972), с.302-305.

11. СУХИНИН М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М., Издательство Российского университета дружбы народов, 1992, 300с.

12. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса, M 106 (1981) 408с.35. фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 159с.

13. ШУЛЬМАН З.П., БЕРКОВСКИЙ Б.М. Пограничный слой неньютоновских жидкостей. "Наука и техника"Минск, 1966.

14. ЭДВАРДС Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

15. ЭСКИН Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М., Наука, 1973. 232с.

16. Adams R.A. Sobolev spaces, Academic Press, 1975, 268p.

17. BEALE J.T. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with a free-surface. Communications on Pure & Appl. Math. 34(1981), p.359-392.

18. CHORIN A.J. Vorticity and turbulence Applied Math. Sciences series, Vol. 103, Springer Vlg., 1991, 174p.

19. HEYWOOD J.G. On uniquness questions in the theory of viscous flow. Acta Math., 1976, V.136, n.1-2, p.61-102.

20. Matsumura A. and Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of a compressible viscous and heat-conductive fluids. Proc.Japan Academy, ser.A, Mathematical sciences. Vol.LV, No.9, 1979, p.337-342.

21. MATSUMURA A. AND NlSHIDA T. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids. Commun. Math. Phys.,89 No.4, 1983, p.445-462.

22. Matsumura A. and Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases. Journal Math. Kyoto Univ., 20, No.l, 1980, p.67-104.

23. NlSHIDA T. Equations of fluid dynamics free surface problems. Frontiers of the mathematical sciences: 1985 (N.Y.,1985) Comm. Pure Appl. Math. 39 (1986), no.S, suupl., S221-S238.

24. Nouri a. and poupaud f. An existence theorem for the multifluid Navier-Stokes problem, Journal of differential equations, 122 1995, p.71-88.

25. RAYLEIGH LORD On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity. Phil. Mag. 6, v. 34, (1917), p.94-99.

26. TAKAHASHI S. On global weak solution of the nonstationary two-phase Navier-Stokes flow. Adv. Math. Sci. Appl. 5, (1995), N.l p.321-342.

27. Tanaka N. Global existence of two phase nonhomogeneous viscous incompressible fluid flow. Comm. Partial Differential Equations, 18 (1993), no. 1-2, p.41-81.

28. Tani A., Itoh S., Tanaka N. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with general slip boundary condition. Advances in Mathematical Sciences and Applications. Gakkotosho, Tokyo, Vol.4, N.l1994), p.51-69.

29. Valli A. and Zajaczkowski W.M. Navier-Stokes equations for compressible fluids: Global existence and qualitative properties of the solutions in the general case. Commun. Math. Phys., 103, No.2, 1986, p.259-296.

30. Zadrzynska E., Zajaczkowski W.M. On global motion of a compressible viscous heat-conducting fluid bounded by a free surface. Acta ApplicandaeMathematicae N.37. 1994., p.221-231. (eds. Galdi G.P., Novotny A., Padula M., and Pileckas K.)

31. ZADRZYNSKA E., ZAJAgZKOWSKI W.M. On the global existence theorem for a free boundary problem for equations of a viscous compressible heat-conducting fluid. Annales Polonici Mathematici, Warszawa,LXIII.3. 1996., p.199-221.

32. Zadrzynska E., ZAJAgZKOWSKI W.M. On the global existence theorem for a free boundary problem for equations of a viscous compressible heat conducting capillary fluid. J. Appl. Annal.ici Mathematici, Warsaw,2, No.2, 1996., p.125-169.

33. Zadrzynska E., ZAJAgZKOWSKI W.M. Local existence of solutions of a free boundary problem for equations of compressible viscous heat-conducting fluids. Applicationes Mathematicae, Warszawa,25,2, 1998., p.179-220.