Вращательно-симметричные течения вязкой жидкости с пространственным ускорением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Князев Денис Вячеславович

ВРАЩАТЕЛЬНО-СИММЕ ] РИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ УСКОРЕНИЕМ

-О

и

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

ООЗ158765

Пермь - 2007

003158781506

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской Академии наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, Аристов Сергей Николаевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, старший научный сотрудник Скульский Олег Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Шварц Константин Григорьевич

Ведущая организация Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный педагогический университет»

Защита состоится « »tUt^'i^ 200 7 г в И _ часов на заседании Диссертационного совета Д 0(74 012 01 при Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу 614013, г Пермь, ул Академика Королева 1, тел (342) 2378388, факс (342) 2378487, сайт www icmm ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан «Д »йж^Щ200^

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор технических наук

Березин И К

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации Нет сомнения, что всякое реальное течение жидкости является вихревым В связи с этим вопросы исследования структуры вихрей, их генерации, эволюции и взаимодействия между собой представляются актуальными для гидродинамики в целом В настоящее время известно лишь небольшое количество точных решений гидродинамических уравнений, адекватно описывающих структуру вихрей К их числу можно отнести, например, вихри Бюргерса и Салливана Между тем внутреннее устройство вихря, его интенсивность и масштаб в значительной степени определяют устойчивость вихревого образования и характер его взаимодействия с другими вихрями и потоком в целом Так известно, что крупные атмосферные вихри обладают значительно большим временем жизни по сравнению с мелкими, что указывает на высокую степень их устойчивости и позволяет рассматривать такие вихри как автономные образования В то же время, наличие в потоке четко выраженных вихревых структур является одним из основных факторов, определяющих всю картину течения, складывающуюся в результате взаимодействия вихрей различной топологии и масштаба Характер вихревых взаимодействий играет определяющую роль в протекании каскадных процессов в турбулентности, которые могут приводить либо к диссипации энергии (прямой каскад), либо к возникновению различных когерентных структур (обратный каскад) Теоретическое изучение этих и многих других процессов, связанных с исследованием дестабилизирующей или, напротив, организующей роли вихревых взаимодействий, в настоящее время, по-видимому, далеко от завершения В связи с этим отыскание новых точных решений уравнений гидродинамики, описывающих вихревые течения жидкости, является актуальной задачей Представляется, что ее решение открывает наиболее простой и корректный путь к получению ряда теоретически и практически важных результатов

Цель работы. Целью данной работы является описание структуры вращательно-симметричных вихрей и их воздействия на поток несжимаемой жидкости в ограниченных и бесконечных цилиндрических областях на основе класса точных решений уравнений гидродинамики с пространственным ускорением (линейностью) по продольной координате

Научная новизна результатов исследования и положения, выносимые на защиту. Найдено счетное семейство точных стационарных решений уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости, описывающих радиально локализованные вихри различной пространственной структуры, определяемой отношением радиального и осевого масштабов течения

Обнаружен класс периодических и локализованных в пространстве точных решений уравнений Эйлера В рамках данного класса в конечном виде

описано счетное семейство цепочек локализованных вихрей, обладающих конечной энергией Показано, что при дискретном наборе энергий вихрей пространственно периодического движения на их фоне могут возникать радиально локализованные вращательно-симметричные течения большего масштаба (по сравнению с фоновым течением) с энергией, целиком определяемой периодом цепочки.

В рамках исследуемого класса точных решений уравнений Навье-Стокса исследована модельная задача о стационарном истечении вязкой жидкости из цилиндрического сосуда Обнаружено ответвление решений с ненулевой азимутальной составляющей поля скорости от незакрученного режима истечения (бифуркация вращения)

Найдено новое точное решение задачи о стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами в присутствие заданного неоднородного продольного градиента давления Полученное решение обладает рядом существенных отличий от классического решения, описывающего течение Куэтта-Пуазейля

В точной постановке показана неустойчивость двухячеистого режима стационарного течения вязкой жидкости в цилиндрическом стакане относительно возмущений специального вида

Практическая значимость работы. Проведенные теоретические исследования могут быть использованы при анализе результатов натурных и лабораторных наблюдений закрученных потоков жидкости, а также при проектировании и изучении работы узлов некоторых технологических конструкций

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 23-29 августа 2001г, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г), III международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 25-29 августа 2002 г), Всероссийских конференциях «Новые математические модели в механике сплошных сред построение и изучение» (Новосибирск, 10-14 мая 2004 г) и «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП-2004)» (Абрау-Дюрсо, 4-7 сентября 2004 г )

Структура и объем работы. Публикации. Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения и списка цитируемой литературы (200 наименований) В работе приводится 25 рисунков, одна схема и таблица Общий объем диссертации составляет 140 страниц Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах

Содержание работы

Введение

Во введении формулируется предмет исследования, его цели, обосновывается актуальность работы, показывается ее научное значение

Глава 1. Точные решения уравнений Навье-Стокса

В разделе 1.1 с целью выяснения места и значимости предлагаемых исследований выполнен обзор литературы по точным решениям уравнений Навье-Стокса Основное внимание уделено результатам анализа нелинейных задач, имеющих отношение к теме данной диссертации Проведена классификация известных точных решений уравнений гидродинамики, позволившая выделить два основных типа таковых решения линейные по части пространственных переменных, и конические течения с полем скорости, обратно пропорциональным расстоянию от начала координат

В разделе 1.2 приведен класс точных решений уравнений гидродинамики с линейной зависимостью части компонент скорости от осевой координаты и проанализированы некоторые его общие свойства

В настоящей работе исследуется класс точных вращательно-симметричных решений системы уравнений Навье-Стокса

— + (д = + у До, V 5 = 0, (1)

предполагающий линейную зависимость осевой и азимутальной составляющих поля скорости от продольной координаты г (течения с пространственным ускорением по г )

V и У

\

Я~.]х Я\х дх

(2)

Здесь (г, (р, г) - цилиндрическая система координат; V - коэффициент кинематической вязкости жидкости, К - характерный линейный масштаб течения Безразмерные неизвестные и В, являющиеся

функциями безразмерного времени г = (2у/К2)/ и квадрата радиуса х = (г/ Я)2 {2 = г/Я ), удовлетворяют системе уравнений

итк+шхх-и,их+20 = 2(хих1)х, vt+uvx-vux=2xoxx, 4Л? +5?2=0,

wt + uWx -uxW + 2F = 2(xWx) Fr+ uVx -uW = 2xVa,

4x2Fx+vV = 0

Система (3), (4) обладает следующими основными свойствами

I. Уравнения (3) образуют изолированную подсистему для определения функций и, v, G Неизвестные W, V, F удовлетворяют линейной системе (4), решения которой находятся после того, как решены уравнения (3) Таким образом, течения с полем скорости вида (2) представляют собой суперпозицию основного (фонового) потока {и, v, G) и генерируемого им вторичного течения ( W , V , F) Существенным является то обстоятельство, что вторичное течение не оказывает влияния на индуцирующий его фоновый поток

II. W =Сих, V ~Cv, F = CG - решение системы (4) при условии, что и , v, G удовлетворяют уравнениям (3). Здесь С - произвольная константа

III. Система (3), (4) допускает преобразование, не изменяющее ее вида

x-^-lJx,, r->Z,2r4) u—>ut, G -»<?,, Ü,

W^IW,, V —»ILV,, F^FJÜ, ^

где L и l - любые числа Такое преобразование оказывается полезным при численном решении конкретных краевых задач, поскольку позволяет избавиться от части граничных условий за счет того, что область интегрирования перестает быть фиксированной

IV. В случае неустановившегося течения система (3), (4) допускает введение автомодельной переменной £ = х/т

V. Заменой переменных

# = -1п(х), и = !/(#), ® = еЦ?), G = e2ig(f) (6)

стационарная система (3) приводится к автономному виду, не содержащему явно независимую переменную %

Глава 2. Вращательно-симметричные стационарные течения -идеальной жидкости.

В разделе 2.1 исследованы стационарные радиально локализованные закрученные течения идеальной жидкости в полубесконечном слое z > О Такие решения уравнений Эйлера могут служить моделями атмосферных вихревых образований

При помощи представления гидродинамических полей (2) {W-V = F = О, х = г2, Z-z, v/Ä-И) уравнения Эйлера, дополненные условиями регулярности потока на оси симметрии и покоя на бесконечности

• = 0 vr=vv=0, диг/дг = 0, г -»оо 0 = 0,

(7)

редуцируются к линеинои краевой задаче

J___1_

кЛ 2 Ь\ху

и, д: = 0 и = 0 , \и,.\ <оо , х—>оо и = их= О,

5

4Г2

обладающей счетным набором решений

С,

/ЛГ

(8)

4!Ш=-

Постоянные Ьг и Ьг имеют размерность длины и, в силу безразмерных соотношений £ = 2(г/Х,)2, 2 г ¿г, могут быть интерпретированы

как характерные масштабы вихря в радиальном и осевом направлениях соответственно Отношение квадратов этих масштабов

\2

= 4ЛГ

определяет конкретную структуру вихря В силу свойств полиномов Лагерра А, решение Ы^ из набора (8) имеет N нулей (рис 1),

05-

12 16 ^ 20

Рис 1 Графики функций ин , N = 1, 2,3 , С\, = 1

Рис. 2 Траектория жидкой частицы в одноячеистом вихре

включая £ = 0 Следовательно, вихрь, задаваемый этим решением, обладает N — ячеистой структурой В соседних ячейках окружная и радиальная компоненты скорости жидкости имеют обратные направления С увеличением номера N при фиксированном осевом масштабе Хг вместе с количеством ячеек растет радиальный масштаб вихря На рис 2 изображена траектория жидкой частицы в одноячеистом вихре, соответствующем решению щ

В разделе 2.2 описан класс точных решений уравнений движения идеальной жидкости, периодических в осевом направлении г

р и (2 ж

'г

Я (2 п

T^-sm —z

12л V Я

_ du Я (2п Л п„ „ _ v;=-~—sm — z\, Р" = Р0+ 2 ах я V Я

B-2G

Я (2л Y —sm —z

2л \ Я J

2^

(9)

В пределе бесконечно большого периода Я (9) переходит в (2) (K = fF = F = 0) Подчинив поле скорости (9) краевым условиям (7) найдем, что

uN(f)=ANf4^föi*, {а2-2к2)ь]=Ш, v = au (10)

Решение (9), (10) описывает Я-периодические цепочки радиально локализованных тороидальных вихрей (рис 3) прбизвольной амплитуды Ам Радиальная структура цепочки определяется номером решения N (натуральное число), связанным вторым соотношением (10) с радиальным масштабом Lr, периодом Я = 27t/к и интенсивностью закрутки а Эти же величины определяют кинетическую энергию, рассчитанную на период, пространственно периодического движения (9), (10)

Е =А2 — Яр ~an ^

1+

3 N_ Я/

2 п2 L:

(И)

v У

В том случае, когда отношение радиального и осевого масштабов, а вместе с ним и энергия Е , принимают дискретный набор значений

= 1I(M-N)> 0, ЕР=4^{ 1 + 1

N

4 M-N

на фоне периодической структуры (9), (10) с номером N может возникать бесконечное (счетное) множество локализованных закрученных течений с однородным по координате г полем скорости

ЯГ*,

а1!), — 4М, У^аК,

удовлетворяющим граничным условиям (7). Здесь М - натуральное число, а Вм - произвольная амплитуда.

г/Т

Рис. 3 Траектории двух жидких частиц в вихревой цепочке с номером N — 1 (Ак - 1) и изолинии функции тока и, = дцг/гдг, уг =-д<р/гдг .

г/Т

Рис. 4 Траектории прёх жидких частиц для суперпозиции цепочки, изображённой на рис. 3, с индуцированным ей потоком, М - 2 ( Ви - \ ), и изолинии функции тока полоидальной циркуляции.

Поскольку М > N, то, в силу результатов раздела 2 1, однородное по г течение обладает большим радиальным масштабом по сравнению с масштабом цепочки, на фоне которой оно возникает (рис 4) Замечательно, что энергия (рассчитанная на период Л) индуцированного течения (12) не зависит от радиальной структуры самого этого течения, а также от структуры цепочки вихрей (9), (10), задаваемых числами М и N, а целиком определяется периодам Л Ен =(ъ12)в1,л Л

Глава 3 Вращательно-симметричные течения вязкой жидкости в цилиндрических областях

В разделе 3.1 рассматривается стационарное течение вязкой жидкости между бесконечными коаксиальными цилиндрами радиусов < Д,, внутренний из которых растягивается или сжимается вдоль своей оси со скоростью Сечение г-0 закрыто непроницаемой перегородкой.

Интерес к данной задаче, в частности, связан с тем, что она может служить грубой моделью движения, возникающего в большом сосуде при квазистационарном истечении жидкости через центральное отверстие малого радиуса При этом растягивающийся внутренний цилиндр моделирует поверхность формирующейся над отверстием струи, а непроницаемая перегородка играет роль свободной поверхности жидкости В случае сжатия цилиндра (5 < 0) задача может быть интерпретирована как течение, возникающее в результате проникновения струи в заполненный жидкостью сосуд с непроницаемым дном

Исследование задачи вновь проведено с использованием класса точных решений (2)(К = ^ = ^ = 0, й = Я,, <Э(*) 'дт = 0 ) Требование прилипания жидкости к поверхностям цилиндров приводит к граничным условиям

х = хо={Ко1&1? u = v = 0, и' = ~Ле/х0, х = \ и = и' = г> = 0, (13)

для системы уравнений (3) Положительным значениям числа Рейнольдса Ле = 5 КЦ /(2и) соответствует растяжение внутреннего цилиндра, отрицательным - сжатие

Анализ задачи (3), (13) показывает, что имеют место два существенно различных режима течения осесимметричное течение с нулевой азимутальной составляющей поля скорости (V = 0) и вращательно-симметричный режим с ненулевой закруткой потока (V Ф 0) Краевая задача (3), (13) на собственные значения Б1е исследовалась численно С этой целью в переменных (6) сформулирована задача Коши с дополнительными начальными параметрами £/", g0, заданными при £ = 0 и определяемыми первыми двумя условиями (13)

Анализ зависимостей этих параметров от числа Рейнольдса (рис 5) показал наличие в спектре участков кратных значений И.е На каждом из этих участков решение неоднозначно в том смысле, что каждому фиксированному значению числа Рейнольдса отвечает более одного решения осесимметричной либо вращательно-симметричной задачи

Рис 5 Зависимости параметров U", g0, V,' для осесимметричного (пунктирные кривые) и вращатепьно-симметричного (сплошные кривые) решений jc0 = 0 01, Rel = 2 722, Re2 =6429, Re3 =88 072, Re4 =3.020, Re5 = -1 114, Re6 =-1 029 , Re7 =14 931

На интервале Re4 <Re<Re7 решений вращательно-симметричной задачи найти не удалось, что позволяет говорить об изолированности ветвей В10, Вп и исчезновении решений данного типа в конечном диапазоне значений числа Рейнольдса (рис 5) При этом осесимметричное течение продолжает существовать

При Re = Re,, соответствующему растяжению внутреннего цилиндра или вытекающей струе, вращательно-симметричное решение ответвляется от течения без закрутки В результате бифуркации рождаются два вращательно-симметричных решения, отличающихся друг от друга только знаком азимутальной составляющей скорости vv В рассматриваемом случае

наличие осесимметричной бифуркации вращения не противоречит закону сохранения момента импульса, поскольку речь идет лишь о сколь угодной близости двух стационарных состояний потока жидкости (с закруткой и без таковой) с частью компонент поля скорости (2), неограниченных по осевой координате z

В отличие от осесимметричной вращательно-симметричная задача имеет нетривиальное решение при нулевом числе Рейнольдса, описывающее закрученное течение вязкой жидкости с нулевым расходом между двумя

бесконечными цилиндрами Этот результат важен для исследований, изложенных в следующем разделе

С целью продемонстрировать возможность рассмотрения осесимметричных течений в бесконечной области (=со) выполнено обобщение известного частного решения [Бурдэ г и // ПММ, 1989, т 53, в 4, с 343345 ], принадлежащего классу (2)(o = F = Ж = 0, К ^ 0)

о у 1~х V 48

v =8--¡=т-г, v,-—2-,-^г, и = 0,

+ г (1 + 2х)2

/ ....., _ , _ , ^ 04)

у Г ¡2

} 243 80х +80* +40х +10л: + 1

ч

211 (1 + 2х)5

где х = (г/Я0), г = г/Я0

Решение (14) описывает течение вязкой жидкости в полубесконечном слое при Ые = 8/3, вызываемое растяжением цилиндра радиуса Л0 Окружная и радиальная компоненты скорости (14) убывают как 1/г, а вертикальная компонента как 1 г4 Следовательно, на большом удалении от деформирующегося цилиндра течение близко к потенциальному вихрестоку с мощностью, определяемой числом Рейнольдса и произвольной безразмерной циркуляцией Г Следует отметить, что хотя на бесконечности жидкость покоится, тем не менее, ее осевой момент импульса (циркуляция) при г = оо отличен от нуля, что и служит источником закрутки потока

В разделе 3.2 рассмотрено вращательно-симметричное стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между бесконечными коаксиальными цилиндрами Внутренний цилиндр радиуса Я0 вращается с постоянной угловой скоростью со относительно собственной оси, а внешний цилиндр радиуса покоится Также считается известной разность средних давлений в двух поперечных сечениях зазора и 82, отстоящих друг от друга на расстояние к Сформулированная задача обладает широко известным точным решением, представляющим собой суперпозицию течений Куэтта и Пуазейля В настоящей работе в рамках класса точных решений уравнений гидродинамики (2) (Л = Л,, 3(*)/5г = 0, Р переобозначно как F') получено новое решение этой задачи

Условия прилипания на поверхностях цилиндров приводят к граничным условиям

х = х0 -(^о/^У ■ и-У = и' = О, Х = 1 и=и' = 17 = 0, ^^

Х = ^=^=0,^=1, х = 1 (16)

где новые неизвестные функции , связаны с К из (2)

преобразованием

1Г = а1Г1-^и', У = Р = (17)

£ я 8 :

не изменяющим вида системы (4) Здесь и, V, б — нетривиальное решение системы (3), (15), существование которого показано в разделе 3 1, £5 = со !-!2у - величина безразмерного осевого момента импульса вращающегося цилиндра М1=0.г (2 — единичный вектор в положительном направлении оси г) Постоянная = Г(х0) связана с заданной разностью средних давлений АР соотношениями

АР = 4г-Тг(Н8-21Го)> Н^ЦЩ, \о(х)с1х

Наличие в (2) радиальной компоненты поля скорости ъг обеспечивает взаимодействие полоидальной и азимутальной циркуляций Вследствие этого, окружная г>,р и осевая V, составляющие скорости линейно зависят от угловой скорости внутреннего цилиндра ф и разности средних давлений АР между сечениями 5,, 52 (см (17))

Немонотонный (квадратичный) характер изменения давления вдоль канала в течении (2) обуславливает независимости расхода жидкости от заданного среднего перепада давления между сечениями 5,, 52 При этом, в силу пропорциональности продольной скорости ьг величине безразмерного

осевого момента вращающегося цилиндра О, расход оказывается линейной функцией этого параметра

Я, 2* 1

()= I ^ггс1<рс1г = 2яК1С1д, q = -¡Wi(x)dx

Я0 О х„

Таким образом, можно утверждать, что движение жидкости в течении (2) происходит в самосогласованном поле сил инерции, создаваемом вращением внутренней стенки зазора и фоновым течением (к, V, б) В силу допускаемого системой (3), (4), (15), (16) преобразования (5) с / = £, = -1 (и—1У1 —» ), средний перенос массы жидкости, характеризуемый

вектором 7=6?, происходит в направлении той части канала, где безразмерный вектор осевого момента импульса фонового течения Мг=уХ2 сонаправлен с вектором М, = 0;г Иными словами средний перенос массы осуществляется в ту часть бесконечно протяженного зазора,

где направление закрутки фонового течения совпадает с направлением вращения внутреннего цилиндра

Качественное представление о течении дают рис 6 и 7, на которых изображены изолинии безразмерной функции тока 4х и осевого момента М, определяемые соотношениями

<р =

«о/Л,

Рис б Изолинии безразмерной функции тока г/Их

Рис 7 Изолинии безразмерного осевого момента импульса

Область движения жидкости разделяется на три зоны проточную, О < < (2/{у Яу), где осуществляется средний перенос массы по каналу, и два рециркуляционных течения Т<0 и х¥>£?/(уЛ1) с нулевым расходом Изолинии *Р = 0 и Ч* = ¿['(у^) являются линиями (точнее, поверхностями) отрыва потока от твердых стенок При Щ »1 вблизи неподвижной внешней

стенки зазора давление слабо изменяется в радиальном направлении, что является характерной чертой течений в пограничном слое

В разделе 3.3 изучена задача о генерации нестационарных вторичных режимов установившимся течением вязкой жидкости в полубесконечном цилиндрическом стакане Такая задача формально аналогична исследованию устойчивости стационарного фонового течения (и, V, в) относительно конечных возмущений специального вида, с той лишь особенностью, что возмущения не способны разрушить основное течение

В качестве основных течений выступают два точных стационарных решения уравнений Навье-Стокса, принадлежащих классу (2) ( ¡V = V = Р - 0 ) и описывающих движение вязкой жидкости в полубесконечном цилиндре радиуса К с непроницаемым дном 2 = 0 [СН Аристов // ДАН, 2001, т 377, № 4, с 477-480] Эти решения являются особыми в том смысле, что они подчиняются однородной системе уравнений (3) (о(»)/ог = 0) с граничными условиями прилипания к стенке цилиндра и аналитичности на оси симметрии

и'и'

х = 0 и = у = 0 , и" = б----, х = 1 и = и' = и = 0,

2

допускающими существование тривиального решения задачи Вследствие этого, каждое из названных решений существует при строго определенном наборе значений параметров задачи или, что то же самое, при строго определенном числе Рейнольдса

На основное течение накладываются возмущения, допускаемые классом точных решений (2), и удовлетворяющие линейной системе (4), дополненной условиями аналитичности потока на оси симметрии, прилипания на боковой поверхности цилиндра, нулевого расхода и нормировки Это позволяет выбирать возмущения в виде нормальных мод

не привлекая при этом требование малости их амплитуд

Ограничившись рассмотрением эволюции только монотонных возмущений, удалось показать, что линейная спектральная задача для амплитуд (форм) возмущений Ж,, V,, Р, в силу условий прилипания и нулевого расхода, обладает дискретным спектром действительных собственных значений X и допускает вариационную постановку Нижней границей неотрицательной области спектра является Х- 0, что соответствует решению амплитудной задачи 1¥,=и, V, = V , Р, = С

2 2 Р, =2—(В, {т, х) - 42/?(г,х)) = 2 У~2 {в. {г, х) - 4Я? (х>ГЯг),

Исследование устойчивости одноячеистого режима течения (рис. 8) в цилиндрическом стакане не выявило наличия в спектре отрицательных собственных значений Л, что позволяет говорить об устойчивости данного течения по отношению к выбранным возмущениям

Для основного течения с двухячеистой структурой полоидальной циркуляции (рис 9) удалось обнаружить единственное нарастающее во времени возмущение, соответствующее инкременту Л = -60,5504 Таким образом, двухячеистый режим оказывается неустойчивым

основного течения

Рис 9 Изобары и изолинии функции тока (со стрелками) для двухячеистого основного

Основные результаты исследования

1. Найдено счетное семейство точных стационарных решений уравнений Эйлера, описывающих радиально локализованные вихри в полубесконечном слое идеальной несжимаемой жидкости Показано, что структура вихря с номером N определяется отношением его характерных поперечных и радиальных масштабов

2. Получен новый класс точных стационарных пространственно периодических решений уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости В рамках данного класса найден счетный набор решений, описывающих цепочки радиально локализованных вихрей различной конфигурации Показано, что на фоне цепочки с номером N может генерироваться счетный набор различных локализованных движений среды большего пространственного масштаба Установлено, что все эти движения обладают одинаковой энергией, целиком определяемой периодом цепочки

3. В задаче о течении вязкой жидкости между деформирующимся и твердым цилиндром обнаружена бифуркация закрученных режимов течения

от движений без закрутки Найдены области неоднозначной зависимости вращательно-симметричных и осесимметричных решений от числа Рейнольдса

4. Найдено новое точное решение задачи о стационарном течении вязкой жидкости в зазоре между коаксиальными цилиндрами, внутренний из которых вращается с постоянной угловой скоростью, в присутствие неоднородного продольного градиента давления Полученное решение характеризуется ненулевым радиальным потоком массы жидкости, обеспечивающим взаимодействие полоидальной и азимутальной циркуляций Показана пропорциональность расхода жидкости угловой скорости вращения внутреннего цилиндра

5. В точной конечноамплитудной постановке исследована устойчивость одно - и двухячеистого режимов вращательно-симметричного течения вязкой жидкости в цилиндрическом стакане Установлено, что духячеистый режим течения является неустойчивым относительно монотонных возмущений выбранного вида Найдена нижняя граница устойчивой части дискретного спектра возмущений

Список основных публикаций по теме диссертации

1 Князев Д В Исследование устойчивости цилиндрического вихря в вязкой жидкости // Аннот Докладов «VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике» Пермь 23-25 августа 2001, с 329

2. Аристов С Н Князев Д В Вязкий вихрь между коаксиальными цилиндрами // Труды XXXIII Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» Екатеринбург 28 января - 1 февраля 2002, с 84-88

3. Аристов С Н Князев Д В Вращательно-симметричное течение вязкой жидкости между коаксиальными растягивающимися цилиндрами // Труды И1 Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» Красноярск 25-29 августа 2002, с 21-25

4. Князев ДВ Трехмерное решение задачи о течении Куэтта-Пуазейля // Пермь «Гидродинамика» вып 14,2004, с 109-119

5. Аристов С Н, Князев Д В Обобщенное точное решение задачи о течении Куэтта-Пуазейля // Аннот Докладов «IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике» Нижний Новгород 22-28 августа 2006, т 2, с 14-15

6. Аристов С Н, Князев Д В Новое точное решение задачи о вращательно-симметричном течении Куэтта-Пуазейля // Прикладная механика и техническая физика 2007, т 48, № 5, с 71-77 3

Подписано в печать 17 09 07 Формат 60x84/16 Уел печ л 1 0 Тираж 100 экз Заказ №471 614990, г Пермь, ул Букирева, 15 Типография Пермского госуниверситета

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

1.1 Библиографический обзор точных решений уравнений движения вязкой жидкости

1.1.1 Конические течения

1.1.2 Решения линейные по двум пространственным переменным

1.1.3 Решения линейные по одной пространственной переменной

1.2 Класс точных решений уравнений гидродинамики с 40 пространственным ускорением и его общие свойства

ГЛАВА 2. ВРАЩАТЕЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

2.1 Вращательно-симметричные локализованные вихри в идеальной жидкости с дифференциальной закруткой 44 2.1.1. Постановка задачи

2.1.2 Точное решение задачи и его анализ

2.2 Стационарные периодические цепочки локализованных вихрей в идеальной жидкости 54 2.2.1 Постановка и решение задачи 2.2.2 Периодическая мода

2.2.3 Однородная мода

2.2.4 Анализ результатов 63 Основные результаты главы

ГЛАВА 3. ВРАЩАТЕЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ 70 3.1 Стационарное течение вязкой жидкости, вызываемое осевым деформированием цилиндрической поверхности

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Осесимметричные течения

3.1.3 Вращательно-симметричные течения

3.2 Новое точное решение задачи о течении Куэтта - Пуазейля

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Классическое решение задачи Куэтта - Пуазейля

3.2.3 Новое решение задачи Куэтта - Пуазейля

3.3 Устойчивость вращательно-симметричных режимов стационарного течения вязкой жидкости в цилиндрическом стакане

3.3.1 Основное течение

3.3.2 Возмущения конечной амплитуды

3.3.3 Интегральные соотношения для монотонных возмущений

3.3.4 Метод решения спектральной задачи

3.3.5 Устойчивость одноячеистого режима течения жидкости в цилиндрическом стакане

3.3.6 Неустойчивость двухячеистого режима течения жидкости в цилиндрическом стакане

Основные результаты главы

Нет сомнения в том, что всякое реальное течение жидкости является вихревым. В связи с этим вопросы исследования структуры вихрей, их генерации, эволюции и взаимодействия между собой представляются актуальными для гидродинамики в целом. В настоящее время известно лишь небольшое количество точных решений гидродинамических уравнений, адекватно описывающих структуру вихрей. К их числу можно отнести, например, вихри Бюргерса и Салливана. Между тем внутреннее устройство вихря, его интенсивность и масштаб в значительной степени определяют устойчивость вихревого образования и характер его взаимодействия с другими вихрями и потоком в целом. Так известно, что крупные атмосферные вихри обладают значительно большим временем жизни по сравнению с мелкими, что указывает на высокую степень их устойчивости и позволяет рассматривать такие вихри как автономные образования. В то же время, наличие в потоке чётко выраженных вихревых структур является одним из основных факторов, определяющих всю картину течения, складывающуюся в результате взаимодействия вихрей различной топологии и масштаба. Характер вихревых взаимодействий играет определяющую роль в протекании каскадных процессов в турбулентности, которые могут приводить либо к диссипации энергии (прямой каскад), либо к возникновению различных когерентных структур (обратный каскад). Теоретическое изучение этих и многих других процессов, связанных с исследованием дестабилизирующей или, напротив, организующей роли вихревых взаимодействий, в настоящее время, по-видимому, далеко от завершения. В связи с этим отыскание новых точных решений уравнений гидродинамики, описывающих вихревые течения жидкости, является актуальной задачей. Представляется, что её решение открывает наиболее простой и корректный путь к получению ряда теоретически и практически важных результатов.

Целью данной работы является описание структуры вращательно-симметричных вихрей и их воздействия на поток несжимаемой жидкости в ограниченных и бесконечных цилиндрических областях на основе класса точных решений уравнений гидродинамики с пространственным ускорением (линейностью) по продольной координате.

Содержание работы. Диссертация состоит из трёх глав, введения и заключения.

В первой главе диссертации приведён обзор литературы, посвящённой точным решениям уравнений движения вязкой жидкости Навье-Стокса, и выполнена классификация точных решений. Все известные классы точных решений гидродинамических уравнений отнесены к двум типам: конические течения и решения линейные по части пространственных переменных.

Во втором разделе первой главы приведён класс точных решений вращательно-симметричных решений уравнений гидродинамики, характеризуемый линейной зависимостью азимутальной и продольной компоненты скорости от осевой координаты (решения с пространственным ускорением по осевой координате). С его помощью выполнена редукция уравнений Навье-Стокса к одномерной системе уравнений в частных производных для неизвестных функций, зависящих только от радиальной координаты и времени. Проведён анализ некоторых общих свойств, присущих решениям редуцированной системы.

Во второй главе рассмотрены радиально локализованные течения идеальной несжимаемой жидкости, занимающей неограниченный объём.

В первом разделе при помощи класса точных решений с пространственным ускорением найдено семейство точных решений уравнений Эйлера, описывающее колоннообразные вихри со всюду регулярным полем скорости, обращающимся в нуль на бесконечном удалении от оси симметрии. Показано, что внутренняя структура таких вихревых образований определяется отношением их радиального масштаба к осевому. Квадрат этого отношения принимает счётное множество положительных целочисленных значений, то есть имеет место квантование вихрей, описываемых вышеупомянутым классом точных решений.

Во втором разделе описана структура периодических вдоль оси симметрии цепочек радиально локализованных вихрей. Показано, что при дискретных значениях энергии вихрей цепочки вблизи неё может возникать бесконечное (счётное) множество течений с характерным радиальным масштабом, превосходящим масштаб самой цепочки.

В третьей главе рассмотрены течения вязкой жидкости, происходящие под действием различных внешних факторов, в областях, ограниченных цилиндрическими поверхностями.

В первом разделе исследована задача о стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости между полубесконечными коаксиальными цилиндрами, вызываемом осевым деформированием внутреннего цилиндра. В случае растяжения внутреннего цилиндра задача интерпретирована как приближенная модель движения, возникающего в большом цилиндрическом сосуде при истечении жидкости через центральное отверстие на дне. При этом, растягивающаяся внутренний цилиндр моделирует боковую поверхность струи, формирующуюся в жидкости непосредственно над отверстием. В случае сжатия цилиндра задача может быть интерпретирована как течение, возникающее в результате проникновения струи в заполненный жидкостью сосуд с непроницаемым дном.

При помощи класса точных решений с пространственным ускорением проблема описания вышеупомянутых течений сведена к исследованию спектральной краевой задачи для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Роль собственного значения играет число Рейнольдса, построенное по скорости деформирования внутреннего цилиндра. Анализ спектра значений числа Рейнольдса выявил неединственность решения задачи. В частности, установлена возможность существования вращательно-симметричных и не закрученных осесимметричных режимов течения при одинаковых числах Рейнольдса. Найдена точка ветвления решений, описывающих эти два режима.

В качестве примера разрешимости задачи об увлечении неограниченного объёма жидкости растягивающимся цилиндром приведено точное решение уравнений Навье-Стокса, описывающее радиально локализованное закрученное течение с азимутальной скоростью, не оказывающей влияние на полоидальную циркуляцию.

Во втором разделе рассмотрена задача об установившемся течении вязкой жидкости между неподвижным и вращающимся цилиндрами в присутствие заданной разности средних давлений между двумя сечениями кольцевого канала. Решение данной задачи вновь построено в рамках класса точных решений уравнений Навье-Стокса с пространственным ускорением вдоль осевой координаты, что, в частности, предполагает отказ от допущения об однородности потока в продольном направлении, характерного для классического решения задачи Куэтта-Пуазейля.

Отличительными особенностями найденного решения являются наличие у жидкости собственной торсионной закрутки, не связанной с вращением внутреннего цилиндра, и ненулевой радиальной компоненты скорости. Вследствие этих особенностей определяющая роль в формировании картины движения принадлежит силам инерции, что в свою очередь обуславливает некоторые необычные свойства решения. Одним из этих свойств является пропорциональность расхода угловой скорости вращения внутреннего цилиндра.

Третий раздел посвящён исследованию монотонной устойчивости одно и двухячеистого режимов стационарного течения вязкой жидкости в полубесконечном цилиндре с непроницаемым дном (стакане) относительно специальных возмущений конечной амплитуды.

В качестве основных течений выбраны два режима движения вязкой жидкости в цилиндрическом стакане, описываемые в рамках класса точных решений с пространственным ускорением. Выбор вида возмущений обусловлен требованием точной редукции амплитудных уравнений к линейной системе. Следствием специфики выбора типа возмущений и накладываемых на них дополнительных условий (граничных, нормировки и замкнутости) является дискретность спектра декрементов, положительным значениям которых соответствует затухание возмущений. Спектральная задача решена численно. Для одноячеистого основного течения не удалось обнаружить возмущения, растущие со временем. В случае духячеистого основного режима в исследованной области параметров обнаружено одно нарастающее возмущение.

Научная новизна результатов исследования. Найдено счётное семейство точных стационарных решений уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости, описывающих радиально локализованные вихри различной пространственной структуры, определяемой отношением радиального и осевого масштабов течения.

Обнаружен класс периодических и локализованных в пространстве точных решений уравнений Эйлера. В рамках данного класса в конечном виде описано счётное семейство цепочек локализованных вихрей, обладающих конечной энергией. Показано, что при дискретном наборе энергий вихрей пространственно периодического движения на их фоне могут возникать радиально локализованные вращательно-симметричные течения большего масштаба (по сравнению с фоновым течением) с энергией, целиком определяемой периодом цепочки.

В рамках исследуемого класса точных решений уравнений Навье-Стокса исследована модельная задача о стационарном истечении вязкой жидкости из цилиндрического сосуда. Обнаружено ответвление решений с ненулевой азимутальной составляющей поля скорости от незакрученного режима истечения (бифуркация вращения).

Найдено новое точное решение задачи о стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами в присутствие заданного неоднородного продольного градиента давления. Полученное решение обладает рядом существенных отличий от классического решения, описывающего течение Куэтта-Пуазейля.

В точной постановке показана неустойчивость двухячеистого режима стационарного течения вязкой жидкости в цилиндрическом стакане относительно возмущений специального вида.

Практическая значимость работы. Проведённые теоретические исследования могут быть использованы при анализе результатов натурных и лабораторных наблюдений закрученных потоков жидкости, а также при проектировании и изучении работы узлов некоторых технологических конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 23-29 августа 2001г.; Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.), III международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения» (Красноярск, 25-29 августа 2002 г.), Всероссийских конференциях «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 10-14 мая 2004 г.) и «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП-2004)» (Абрау-Дюрсо, 4-7 сентября 2004 г.).

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред УрО РАН.

Диссертация состоит из трёх глав, введения, заключения и списка цитируемой литературы (200 наименований). В работе приводится 25 рисунков, одна схема и таблица. Общий объём диссертации составляет 140 страниц. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах [31, 8, 7, 32, 4, 13].

Работа является составной частью плановой научно-исследовательской темы Лаборатории Гидродинамической устойчивости ИМСС УрО РАН «Гидродинамика и тепломассообмен в вязких жидкостях в условиях взаимодействия поверхностных сил» (01.20.06 04353).

Основные результаты проведённого исследования заключаются в следующем:

1) установлено существование двух режимов течения: осесимметричного - без закрутки и вращательно-симметричного, обладающего ненулевой азимутальной составляющей скорости;

2) растяжение внутреннего цилиндра приводит к потере единственности осесимметричного решения при Re = 6.429 ч- 88.072;

3) вращательно-симметричное решение неединственно при Re = -1.114-f-1.029, Re = 2.722^3.020, Re >14.931;

4) вращательно-симметричное решение задачи в ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса (Re = 3.020 ч-14.931) численно найти не удалось;

5) вращательно-симметричное решение ответвляется от осесимметричного при Re = 2.722;

6) при нулевом числе Рейнольдса вращательно-симметричная задача обладает нетривиальным решением, описывающим закрученное течение вязкой жидкости, заключённой между твёрдыми коаксиальными цилиндрами, с нулевым расходом;

7) приведён пример точного решения, описывающего осесимметричное закрученное течение вязкой жидкости в полубесконечном слое, вызванное растяжением цилиндра.

Во втором разделе получено точное решение задачи о стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости под действием перепада давления в зазоре между коаксиальными цилиндрами, внутренний из которых вращается с постоянной угловой скоростью. От классического результата Куэтта-Пуазейля найденное решение отличает наличие радиального переноса массы, обеспечивающего взаимодействие полоидальной и азимутальной циркуляций. Установлена линейная зависимость расхода от угловой скорости вращения внутреннего цилиндра.

В третьем разделе рассмотрена задача об эволюции монотонных возмущений, возникающих на фоне двух специальных типов вращательно-симметричного стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в полу бесконечном цилиндре [9]. Задача решена в точной постановке в рамках рассматриваемого в данной работе класса точных решений уравнений Навье-Стокса. Установлена дискретность спектра собственных чисел задачи. Показано, что все возмущения, рассматриваемого здесь вида, возникшие на фоне одноячеистого основного течения, затухают во времени. Среди возмущений, эволюционирующих на фоне двухячеистого вязкого цилиндрического вихря, обнаружено (по меньшей мере) одно нарастающее во времени. В обоих случаях описано стационарное критическое движение, разделяющее области устойчивости и неустойчивости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Найдено счётное семейство точных стационарных решений уравнений Эйлера, описывающих радиально локализованные вихри в полубесконечном слое идеальной несжимаемой жидкости. Показано, что структура вихря с номером N определяется отношением его характерных поперечных и радиальных масштабов.

2. Изучен класс точных стационарных пространственно периодических решений уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости. В рамках данного класса найден счётный набор решений, описывающих цепочки радиально локализованных вихрей различной конфигурации. Показано, что на фоне цепочки с номером N может генерироваться счётный набор различных локализованных движений среды большего пространственного масштаба. Установлено, что все эти движения обладают одинаковой энергией, целиком определяемой периодом цепочки.

3. В задаче о течении вязкой жидкости между деформирующимся и твёрдым цилиндром обнаружена бифуркация закрученных режимов течения от движений без закрутки. Найдены области неоднозначной зависимости вращательно-симметричных и осесимметричных решений от числа Рейнольдса.

4. Найдено новое точное решение задачи о стационарном течении вязкой жидкости в зазоре между коаксиальными цилиндрами, внутренний из которых вращается с постоянной угловой скоростью, в присутствие неоднородного продольного градиента давления. Полученное решение характеризуется ненулевым радиальным потоком массы жидкости, обеспечивающим взаимодействие полоидальной и азимутальной циркуляций. Показана пропорциональность расхода жидкости угловой скорости вращения внутреннего цилиндра.

5. В точной конечноамплитудной постановке исследована устойчивость одно - и двухячеистого режимов вращательно-симметричного течения вязкой жидкости в цилиндрическом стакане. Установлено, что духячеистый режим течения является неустойчивым относительно монотонных возмущений выбранного вида. Найдена нижняя граница устойчивой части дискретного спектра возмущений.

1. Акуленко Л.Д., Гордиевский Д.В., Куманшев С.А. Регулярно продолжаемые по числу Рейнольдса решения задачи Джеффри-Гамеля // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2004, 1, с. 1532

2. Акуленко Л.Д., Куманшев С.А. Многомодовая бифуркация течения вязкой жидкости в плоском диффузоре // Доклады Академии наук. 2004,399, 5, с. 620-624

3. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначёв В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Н.: Наука. 1994,318 с.

4. Аристов С.Н, Князев Д.В. Обобщённое точное решение задачи о течении Куэтта-Пуазейля // Нижний Новгород: Аннот. докладов «IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике». 22-28 августа 2006,2, с. 14-15.

5. Аристов С.Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. Пермь: ИМСС УрО РАН. Диссертация д.ф.-м.н. 1990, 303 с.

6. Аристов С.Н. Класс точных решений уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа // Доклады Академии наук. 1990, 313, 6, с. 1403-1406

7. Аристов С.Н. Князев Д.В. Вращательно-симметричное течение вязкой жидкости между коаксиальными растягивающимися цилиндрами // Красноярск: Труды III Международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения». 2529 августа 2002, с. 21-25.

8. Аристов С.Н. Князев Д.В. Вязкий вихрь между коаксиальными цилиндрами // Екатеринбург: Труды XXXIII Региональной молодёжной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». 28 января 1 февраля 2002, с. 84-88.

9. Аристов С.Н. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкойжидкости // Доклады Академии наук. 2001, 377, с. 477-480

10. Аристов С.Н. Точное решение задачи о точечном источнике // Доклады Академии наук. 1995, 343,1, с. 50-52

11. Аристов С.Н. Трёхмерные конические течения вязкой несжимаемой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1998, 6, с. 144-148

12. Аристов С.Н., Грабовский В.И. Автомодельное решение уравнений Навье-Стокса для течений газа во вращающихся логарифмически-спиральных плоских каналах // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1995, 6, с. 44-50

13. Аристов С.Н., Князев Д.В. Новое точное решение задачи о вращательно-симметричном течении Куэтта Пуазейля // Прикладная механика и техническая физика. 2007,48,5, с. 71-77.

14. Аристов С.Н., Пухначёв В.В. Об уравнениях вращательно-симметричного движения вязкой несжимаемой жидкости // Доклады Академии наук. 2004, 394, 5, с. 611-614

15. Бурдэ Г.И. О движении жидкости вблизи растягивающегося кругового цилиндра // Прикладная математика и механика. 1989, 53,4, с. 343-345.

16. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973, 758 с.

17. Ватажин А.Б. О течении в диффузоре в присутствии магнитного поля // Прикладная математика и механика. 1960,24, с. 524-629

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972, 392 с.

19. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука. 1989,320 с.

20. Голубинский А.А., Сычёв В.В. Об одном автомодельном решении уравнений Навье-Стокса // Учёные записки ЦАГИ. 1976, 7, 8, с. 11-17

21. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Н.: Наука. 1981, 366 с.

22. Гольдштик М.А. О закрученных струях // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1979, 1, с. 26-36

23. Гольдштик М.А. Один класс точных решений уравнений Навье -Стокса // Прикладная механика и техническая физика. 1966, 2, с. 106-109

24. Гольдштик М.А. одно парадоксальное решение уравнений Навье-Стокса // Прикладная математика и механика. 1960, 24, с. 610-621

25. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Генерация полоидального магнитного поля в струйных течениях // Письма в ЖЭТФ. 1989, 49 с. 266-268

26. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Потеря симметрии в течении от линейного источника вязкой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1989,2, с. 35-45

27. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Н.: Наука. 1989, 336 с.

28. Дорфман JI.A. Течение вязкой жидкости между неподвижным и обдуваемым вращающимися дисками // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1966,2, с. 86-91

29. Забабахин Е.И. Заполнение пузырьков вязкой жидкостью // Прикладная математика и механика. 1960, 6, с. 1129

30. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. 1961, 703 с.

31. Князев Д.В. Исследование устойчивости цилиндрического вихря в вязкой жидкости // Пермь: Аннот. докладов «VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике». 23-25 августа 2001, с. 329

32. Князев Д.В. Трёхмерное решение задачи о течении Куэтта-Пуазейля // Пермь: «Гидродинамика». 2004,14, с. 109-119.

33. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Физматгиз. 1963, ч. I, 583 с.34