Точные решения уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

УДК 532 511, 517 9

На правах рукописи

Мещерякова Елена Юрьевна

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВРАЩАТЕЛЬНО-СИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность 01 02 05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2007

003065715

Работа выполнена в Институте гидродинамики

им М А Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, чл -корр РАН В В Пухначев

доктор физико-математических наук, профессор О В Капцов доктор физико-математических наук А П Чупахин

Ведущая организация

Институт теплофизики им С С Кута-теладзе СО РАН

Защита состоится 30 октября 2007 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 003 054 01 при Институте гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН по адресу

630090, г Новосибирск-90, проспект ак М А Лаврентьева, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан О? сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

С А Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Вращательно-симметричные движения жидкости представляют большой интерес в связи с возможностью описать на их основе катастрофические явления в природе, такие как водовороты, смерчи, торнадо, циклонические вихри, а также использовать их в вихревых технологиях (сепараторы, циклоны-пылеуловители и др ) и при проектировании гидроэнергетических установок Плодотворные исследования этих природных явлений и моделирование технологических процессов выполняются на основе модели идеальной несжимаемой жидкости [1-4]

Для плоского и осесимметричного движения идеальной несжимаемой жидкости доказаны глобальные теоремы существования и единственности решений основных задач, таких как задача Коши и задача протекания, в то время как в случае вращательной симметрии до сих пор имеются только локальные результаты Поэтому важно иметь широкий набор точных решений этих уравнений Точные решения можно использовать для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, тестирования численных методов Они часто отражают асимптотику и позволяют исследовать качественные свойства системы

Один из наиболее мощных и универсальных методов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными — это групповой анализ дифференциальных уравнений, разработанный С Ли и Э Нетер, и развитый в 60-80 гг XX века в работах Г Биркгофа [5], Л В Овсянникова [б, 7], Н X Ибрагимова [8], П Олвера [9], и других ученых Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений, является поиск непрерывных групп симметрии системы дифференциальных уравнений, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнения инвариантными Далее вычисляются комбинации независимых и зависимых переменных, не меняющиеся при групповых преобразованиях — инварианты группы симметрии системы, которые выбираются в качестве новых переменных Такая процедура приводит к понижению размерности системы уравнений, а в некоторых случаях — к понижению ее порядка или к разделению переменных

Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладывают-

ся уже при выводе этих уравнений Различные примеры точных решений моделей механики сплошных сред можно найти в работах Л В Овсянникова, В К Андреева, О И Богоявленского, С В Головина, О В Кап-цова, С В Мелешко, П Олвера, В В Пухначева, К Роджерса, В И Фущича, С В Хабирова, А А Чеснокова, А П Чупахина и других авторов

Цель работы заключается в изучении групповых свойств модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости, интегрировании редуцированных систем уравнений, построении новых точных решений и их физической интерпретации

Методы исследования. В работе используется техника группового анализа, методы общей теории дифференциальных уравнений, а также численное моделирование

Научная новизна. В диссертации построены новые, ранее не всхре-чавшиеся в литературе, точные решения уравнений вращательно-симмег-ричного движения идеальной несжимаемой жидкости инвариантные решения, полученные с использованием оператора Л В Капитанского [10], частично инвариантные решения и решения, построенные с помощью частично инвариантных Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами Результаты иллюстрируются численными примерами и наглядным графическим материалом

Теоретическая и практическая ценность. Результаты выполненных в диссертационной работе исследований вносят вклад в теоретическую гидродинамику, пополняя набор известных точных решений и существенно обобщая некоторые существующие точные решения вра-щательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости Точные решения могут быть использованы при физическом моделировании вихревых течений, а также использоваться в качестве тестовых при конструировании численных методов Результаты работы представляют интерес для специалистов в следующих областях теоретическая гидродинамика, моделирование вихревых течений, групповой анализ дифференциальных уравнений

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

— на семинаре под руководством академика РАН Л В Овсянникова и д ф -м н А П Чупахина в Институте гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН,

— на семинаре под руководством чл -корр РАН В В Пухначева в Институте гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН,

на семинаре под руководством д ф -м н Р М Гарипова и профессора Б А Луговцова в Институте гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН,

на семинаре под руководством чл -корр РАН И А Тайманова в Институте математики им С Л. Соболева СО РАН,

на семинаре под руководством чл -корр РАН С В Алексеенко в Институте теплофизики им С С Кутателадзе СО РАН,

на семинаре под руководством профессора О В Капцова в Институте вычислительного моделирования СО РАН,

а также на следующих научных конференциях

Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 2001),

Международная молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения — 2001" (Казань, 2001),

II и III Международные конференции "Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов" (Сочи, 2001, 2002),

ХЬ Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002),

Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред построение и изучение" (Новосибирск, 2004),

Всероссийские конференции "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)" (Абрау-Дюрсо, 2004) и "Аналитические методы в газовой динамике (САМ-ГАД)" (Санкт-Петербург, 2006),

Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами теория, эксперимент и приложения" (Бнйск, 2005),

Международная конференция "Проблемы современной математики и механики" (Казахстан, Алматы, 2005),

VI и VII Международные конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (Украина, Киев, 2005, 2007)

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [14-17] Работа [16] выполнена в соавторстве с В В Пухначевым Вклад авторов в совместной работе является равным

Структура и объем работы. Диссертация объемом 92 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 1 приложения, 25 иллюстраций и списка литературы из 32 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, изложены основные идеи и методы, используемые в диссертации, дано краткое описание работы

В первой главе рассматривается вращательно-симметричное движение идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил В системе уравнений Эйлера, описывающей такие движения, был сделан переход к новым искомым функциям и, w, П = (rv) , q = г--1 (uz — wr) Здесь и, v, w — проекции вектора скорости на оси г, в, z цилиндрической системы координат Функции и, w, q и fi удовлетворяют следующей системе уравнений

ur + wz + r~lu = 0, uz - wr = rq, . ,

qt + uqr + wqz = r-4ii., fit + uilr + wflz = 0

Базис алгебры Ли L, соответствующей наиболее широкой группе, допускаемой системой (1), имеет вид

Xi=dt, Х2 = до, Х3 = tdt - иди - wdw - 2Г1до - qdg,

Х4 = гдг 4- zdz + иди + wdw -I- 4Пдп - qdq, (2)

((р) = ip(t)dz +<p(t)dw,

где ip (t) £ C°° — произвольная функция, () — обозначение для оператора, содержащего произвольную функцию Кроме того, система (1) допускает три дискретных преобразования

Ii t -> — t, г -» -г, z -z I-i t — t, z —z, и -и, Iz z —¥ —z, w —> —w, q —q

Следует отметить, что оператор характерен именно для враща-тельно-симметричного движения Этому оператору соответствует нели-

I /О

нейное преобразование окружной скорости v' = (v2 + 2аг~2) и преобразование давления р' — р — аг~2 (а = const), сохраняющее исходную

систему уравнений Эйлера Допустимость такого преобразования была обнаружена JI В Капитанским [10] Для алгебры Ли L были выписаны одно- и двумерные оптимальные системы подалгебр, среди которых были выделены подалгебры, содержащие оператор Х^

Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью оператора Хъ Рассмотрен пример инвариантного решения с особенностью в плоском движении с вращательной симметрией, построенное относительно подгруппы {Xi + Х2} из оптимальной системы подалгебр (2) Данное решение можно интерпретировать как закрученное движение жидкости в кольце 0 < rj < г < r2 с проницаемыми стенками Этому движению соответствует обобщенное решение уравнений Эйлера, в котором все искомые функции непрерывны, однако окружная скорость имеет бесконечную производную на границе области закрутки Полученное решение определено на конечном интервале времени, поэтому рассматривается задача о возможности продолжения решения с сохранением непрерывности всех искомых функций Построенный пример описывает вытеснение закрученного потока в кольце неза-крученным, так что в некоторый указанный момент времени вся область течения заполняется чисто радиальным движением Рассмотрены и другие примеры сопряжения закрученных потоков с осесимметричными, а также потенциальных течений с вихревыми

Подробно исследован класс стационарных решений, близких к автомодельным, в которых функции и, w обратно пропорциональны г, а функция О имеет логарифмическую особенность по г

u = r~1№, w — r~1g(£), q = r~3h(0, ü = lnr + M(0

где £ = z/r Заметим, что компоненты скорости и, w автомодельны, в то время как поле завихренности этим свойством не обладает Эти решения определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка, которая интегрируется в квадратурах Типичные фазовые портреты течений представлены на рис 1

Во второй главе рассмотрены вращательно-симметричные движения идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил Уравнения Эйлера, описывающие такие движения, допускают точные решения, которые выделяются свойством частичной инвариантности относительно некоторой 6-цараметрической группы Ли [11] Эти решения имеют ранг два и максимально возможный в данной модели дефект, равный трем Осевая компонента скорости в них не зависит от радиуса, в то время как остальные искомые функции зависят от всех трех независимых перемен-

Рис 1 Линии тока для разных значений произвольных констант интегирования в проекции на плоскость (г, г)

ных в цилиндрической системе координат

■ю = т{г,£),и = и(г,г,Ь),ь = у(г,г,Ь),р — р(г, г, £)

Примечательно, что редуцированная система уравнений сводится к системе гиперболического типа, хотя исследуются движения несжимаемой жидкости Изучаемые решения разбиты на классы по числу входящих в них априори произвольных функций Наиболее богатый из них содержит четыре произвольных функции осевой координаты и одну произвольную функцию времени Решения этого класса с помощью нелинейных подстановок и квадратур выражаются в терминах решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

В качестве примера приложения полученных решений рассматривается задача о неустановившемся движении жидкости в полубесконечном цилиндре, поверхность которого непроницаема, а на оси расположен вихреисточник переменной интенсивности Жидкость, заключенная между поверхностями г = Л(£) и г = Н(Ь) 4- N, движется как вращающийся поршень Нетривиальное движение, периодическое по времени, находится в области 0 < г < Я, О < г < /г(1) Это движение порождается взаимодействием вихреисточ-ников, распределенных на сегменте [0,/г(£)] оси симметрии (см рис 2) Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси, те промоделировать распределенный источник со сколь угодно малым носителем

Рис 2

На основе проведенной классификации уравнений, полученных путем анализа переопределенной системы с тремя "лишними" искомыми функциями, также была рассмотрена система гиперболического типа с одной пространственной переменной, которая описывает деформацию цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом Для определяющего дифференциального уравнения была поставлена следующая начально-краевая задача

8Т

Г (г,0) = <$(г) при 0 < г < г*, Г (0,4) =7(4) при ¿>0

кг

2 (1 + Ы)

+

я®

дг

дг

О,

С.Ч1

где Г = 2лги, д(£) — произвольная функция времени, которая физически означает интенсивность источников (стоков), отличную от нуля константу к можно считать равной 1 или -1 Отметим, что при к > 0 верхняя стенка движется вверх, при к < 0 — вниз (рис 3)

Ы/,//////////////У///////////////////л

|*>о

/СГ

Ш/////>/////////)у////////?//////М

Рис 3 Цилиндрический слой под штампом СГ — свободная граница

Поле характеристик, иллюстрирующее область влияния начальных данных (£>/) и краевых условий (£>в) задачи (3) с 6(г) = 1—г2, 7(£) = 1+£2 представлено на рис 4

а) * 20-

20 25 / 0

Рис 4 а) — "источник-сток" q{t) — \ — t2, б) — "сток-источник" д (4) = 42 — 1

Замечательным является тот факт, что когда действует источник, мы можем задавать значение циркуляции на оси симметрии, а когда он сменяется стоком, циркуляция уже не задается - ее значение получается по ходу решений нашего дифференциального уравнения. После решения задачи (3) с ¿(г) = 1 - Г , ^{1) = I И2', были построены графики функция» Г для случаев "нсточпик-сток" и "сток-источник" (рис. 5, 0).

Рис. 5: Случай "источник-сток", а) — функция Г в области 31 = {(г,0 : 0 < г < 2,0 < I < 2), б) - функция Г (0,4).

б) г

Рис. 6'. Случай "сток-источник", а) — функция Г в области = {(г, *) : 0 < Г < 3,0 < I < 3}, 6} ~ функция Г (0.4).

Следует отметить наличие слабых и сильных разрывов функции Г. Легко заметить, что для случая "исгочник-сток" выполнено локальное условие согласования начальных данных и краевых условий 5(0) - 7(0), а наличие слабого разрыва на рис. 5 вполне естественно. Для случая "сток-источник" имеет место сильный разрыв (см. рис. 0), что объясняется неаыгйХгшегшем условия согласования, в данном случае имеющего нелокальный характер.

Ранее Л. В. Овсянниковым [12] рассматривалась задача о потенциальном движении цилиндрического слоя под штампом; особенности гкшя

скоростей отсутствовали, поле скоростей по пространственным координатам было линейным. Более общая задача о движении жидкости под штампом, рассмотренная в данной работе, предполагает наличие вихре-нсточника на оси симметрии, Отличительными особенностями рассматриваемой задачи является то, что интенсивность источника или стока может быть задана произвольной функцией времени и может быть рассмотрена начально-краевая задача для определяющего дифференциального уравнения. Кроме того, поле скоростей по пространственным координатам нелинейно.

Таким образом, получен класс новых точных решена й, описывающих Вихревые движения идеальной несжимаемой жидкости, включая движения г особенностями — вихреиеточниками переменной интенсивности, расположенными вдоль оси симметрии.

Также рассмотрены точные стационарные и автомодельные решения уравнений Эйлера, частично инвариантные относительно упомянутой 6-11 араметр и ческой группы Ли. Приведены ¡юные примеры вихревого движения жидкости с: закруткой в криволинейных каналах (рис.7). Найден новый случай интегрируемости уравнения Трэда-Шафранова основного уравнения стационарных бращателБНО-симметричных течений идеальной несжимаемой жидкости. Проведена классификация автомодельных решений редуцированной системы с двумя независимыми переменными, которая допускает трехиараметрическую группу растяжении, в то время как исходная Система уравнений Эйлера обладает двухпараметр и ческой группой.

Рис. 7: Линии тона, найденного стационарного течения в проекции на плоскость (г, Щ цилиндрической системы координат для разных

значений констант интегрирования. Б третьей глаие исследуются точные решения уравнений вращатель но-си м м етри чногО движения идеальной несжимаемой жидкости, за-

писанные в следующей форме [13]

г3 (щ + ииг + «Жг + р~1рг) —0 = 0,

+ июг + 1ии)2 + р~1рх - 0, (4)

иг + г~*и 4- и>г = 0, Иг + и$1г + = О,

где П = (гг))'2 — квадрат циркуляции окружной компоненты скорости, и, V, V) обозначают проекции вектора скорости на оси г, в, г цилиндрической системы координат соответственно, р — давление жидкости, р — ее плотность

Исследуется новый класс решений, построенных на основе частично инвариантных с помощью метода, предложенного в [13] Полагая в (4) П = 0, приходим к "укороченной" системе, которая допускает трехпа-раметрическую группу (7, образованную операторами + дю,др}

Согласно алгоритму, предложенному в [13], решение, частично инвариантное относительно данной группы, было подставлено в исходную систему (4) Полученная переопределенная система уравнений была исследована на совместность и сведена к одному гиперболическому уравнению четвертого порядка для функции у (£, £) = г2/8 [13]

где а — произвольная функция лагранжевой координаты £

Такое уравнение допускает разные постановки краевых задач Естественной начально-краевой задачей для (5) является следующая

у(£,о) = ЫО, У*(£,о) = у1(0, 6 <£<6 (6)

у(6,*) = С1, 3/(6,*) = С2, *>0 (7)

где 6, 6 и с2 > С1 > 0 — заданные постоянные, у о (0 > 0, у\ (£) — заданные функции Предполагается, что у0 € С2 [£ь6]> Ух € С1 [6,6] и, кроме того, выполнены условия согласования уо (£г) = сг, у\ (£г) = О (г = 1, 2) и условие монотонности у'0 (£) > 0 для £ £ [6 »6]

Начально-краевая задача (5)—(7) описывает движение в полубесконечном цилиндрическом слое (6 >0, а = ±1) или в полубесконечном цилиндре, включающем ось (6 =0, а = ±£2)

При выполнении сформулированных выше условий гладкости, согласования и монотонности входных данных задачи (5)—(7), для нее доказана теорема существования и единственности классического решения на достаточно малом интервале времени

Для уравнения (5) рассмотрена также обобщенная задача Гурса, характеризующаяся тем, что часть данных задается на линии вырождения £; = 0 Для ее анализа в (5) перейдем к новой переменной х = £2 и искомой функции q — (1п ух)с, затем проинтегрируем полученное равенство по х Уравнение примет вид

% =<?2+Х+<?4=0-<12\х=0 (8)

г з

где х — — / а — сохраняющая знак функция х, Ь

о у

Помимо начального условия <?(з;,0) = <?о(а0 для уравнения (8) ставится краевое условие

<7 (О ,Ь) = аГ1а (9)

где а (4) — гладкая положительная функция а (0) = 1

Получены достаточные условия разрушения решения задачи (8)—(9) за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши

В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертации

1 Вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера враща-тельно-симметричного движения (в переменных радиальной и осевой компонент скорости, квадрата циркуляции окружной скорости и азимутальной компоненты вихря) Построены одно- и двумерные оптимальные системы подалгебр бесконечномерной алгебры Ли, отвечающей найденной группе Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью аналога оператора Капитанского

2 Получены точные решения, являющиеся частично инвариантными относительно некоторой 6- параметрической группы В качестве примера приложения этих решений решена задача о неустановившемся движении жидкости в полубесконечном цилиндре, поверхность которого непроницаема, а на оси распределен вихреисточник переменной интенсивности Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси

3 Решена задача о деформации цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом в случае непотенциального поля скоростей и наличии вихреисточника на оси симметрии

4 Подробно исследован класс стационарных неавтомодельных течений, которые определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка, интегрируемой в квадратурах Приведены типичные фазовые портреты течений

5 Рассмотрены решения, построенные на основе частично инвариантных, с помощью метода, предложенного В В Пухначевым {13] Установлена локальная по времени разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 4-го порядка, описывающего такие решения Кроме того, для этого уравнения рассмотрена обобщенная задача Гурса Получены достаточные условия разрушения ее решения за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши

Список литературы

[1] Васильев О Ф Основы механики винтовых и циркуляционных потоков — М -Л Госэнергоиздат, 1958 — 144 с

[2] Голъдштик М А Вихревые потоки — Новосибирск Наука, 1981 — 367 с

[3] May da A J, Bertozzi A L Voiticity and Incompressible Flow — Cambridge University Piess, 2001 — 558 pp

[4] Алексеенко С В , Куйбип П А , Окулов В JI Введение в теорию концентрированных вихрей — Новосибирск Институт теплофизики СО РАН, 2003 - 504 с

[5] Биркгоф Г Гидродинамика Постановка задачи, результаты и подобие - М ИЛ, 1963 - 183 с

{6] Овсянников JI В Групповые свойства дифференциальных уравнений — Новосибирск- Изд-во СО АН СССР, 1962 — 239 с

[7] Овсянников Л В Групповой анализ дифференциальных уравнений

- М Наука, 1978 - 400 с

[8] Ибрагимов Н X Группы преобразований в математической физике

- М Наука, 1983 - 280 с

[9] О леер П Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям

- М Мир, 1989 - 639 с

[10] Капитанский Л В Групповой анализ уравнений Навье-Стокса и Эйлера при наличии вращательной симметрии и новые точные решения этих уравнений // Докл АН СССР, 1978 Т 243, №4 С 901-904

[11] Pukhnachov V V An integrable model of nonstationary rotationally symmetncal motion of ideal incompressible hquid // Nonlinear Dynamics, 2000 N 22 P 101-109

[12] Овсянников Л В Общие уравнения и примеры — В сб "Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей" — Новосибирск Наука Сиб отд-ние, 1967 С 5-75

[13] Пухпачев В В Точные решения уравнений гидродинамики, построенные на основе частично инвариантных // ПМТФ, 2003 Т 44, №4 С 18-25

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

|14] Мещерякова Е Ю Точные решения уравнений вращательно-сим-метричного движения идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ, 2002 Т 43, №3 С 66-75

[15] Мещерякова ЕЮ О новых стационарных и автомодельных решениях уравнений Эйлера // ПМТФ, 2003 Т 44, №44 С 3-9

[16] Мещерякова Е Ю , Путначев В В Интегрируемые модели враща-юпыю-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости // Докл РАН, 2007 Т 412, №2 С 188-192

|17] Мещерякова Е Ю Разрешимость начально-краевых задач в гиперболической модели движения идеальной несжимаемой жидкости / / Сибирские Электронные Математические Известия, 2007 Т 4 С 282-291

Подписано в печать 04 09 2007 Формат 60 х 84 1/16 Бумага офсетная № 1 Печать офсетная Уел печ л 0,9 Тираж 100 экз Бесплатно Заказ №217

Лицензия ПЛД № 57-19 от 16 декабря 1996 г

Отпечатано на полиграфическом участке Ин-та гидродинамики им М А Лаврентьева 630090 Новосибирск, просп акад Лаврентьева, 15

Введение

1. Инвариантные решения

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Уравнения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости и алгебра Ли.

1.3. Оптимальные системы подалгебр.:.

1.4. Точные решения, построенные с помощью оператора Капитанского

2. Частично инвариантные решения

2.1. Новый класс точных решений.

2.2. Линеаризация.

2.3. Движение в полубесконечном цилиндре с особенностями на оси симметрии.

2.4. Задача о движении жидкости под штампом.

2.5. Стационарные решения.

2.6. Автомодельные решения.

3. Решения, построенные на основе частично инвариантных

3.1. Построение решения на основе частично инвариантного.

3.2. Начально-краевая задача для гиперболического уравнения.

3.3. Обобщенная задача Гурса.

Вращательно-симметричные движения жидкости представляют большой интерес в связи с возможностью описать на их основе катастрофические явления в природе, такие как водовороты, смерчи, торнадо, циклонические вихри, а также использовать их в вихревых технологиях (сепараторы, циклоны-пылеуловители и др.) и при проектировании гидроэнергетических установок. Плодотворные исследования этих природных явлений и моделирование технологических процессов выполняются на основе модели идеальной несжимаемой жидкости [14].

Для плоского и осесимметричного движения идеальной несжимаемой жидкости доказаны глобальные теоремы существования и единственности решений основных задач, таких как задача Коши и задача протекания, в то время как в случае вращательной симметрии до сих пор имеются только локальные результаты. Поэтому важно иметь широкий набор точных решений этих уравнений. Точные решения можно использовать для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, тестирования численных методов. Они часто отражают асимптотику и позволяют исследовать качественные свойства системы.

Один из наиболее мощных и универсальных методов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными - это групповой анализ дифференциальных уравнений, разработанный С. Ли и Э. Нётер, и развитый в 6080 гг. XX века в работах Г. Биркгофа [5], JI.B. Овсянникова [6,7], Н.Х. Ибрагимова [8], П. Олвера [9], и других ученых. Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений, является поиск непрерывных групп симметрии системы дифференциальных уравнений, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнения инвариантными. Далее вычисляются комбинации независимых и зависимых переменных, не меняющиеся при групповых преобразованиях - инварианты группы симметрии системы, которые выбираются в качестве новых переменных. Такая процедура приводит к понижению размерности системы уравнений, а в некоторых случаях - к понижению ее порядка или к разделению переменных.

Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Различные примеры точных решений моделей механики сплошных сред можно найти в работах JI.B. Овсянникова, В.К. Андреева, О.И. Богоявленского, С.В. Головина, О.В. Капцова, С.В. Мелешко, П. Олвера, В.В. Пухначева, К. Роджерса, В.И. Фущича, С.В. Хабирова, А.А. Чеснокова, А.П. Чупахина и других авторов.

Цель работы заключается в изучении групповых свойств модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости, интегрировании редуцированных систем уравнений, построении новых точных решений и их физической интерпретации. В работе используется техника группового анализа, методы общей теории дифференциальных уравнений, а также численное моделирование.

В диссертации представлены три класса точных решений: инвариантные решения, полученные с использованием оператора Л.В. Капитанского [10], частично инвариантные решения и решения, построенные с помощью частично инвариантных.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты.

• Вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера вращательно-симметричного движения (в переменных радиальной и осевой компонент скорости, квадрата циркуляции окружной скорости и азимутальной компоненты вихря). Построены одно- и двумерные оптимальные системы подалгебр бесконечномерной алгебры Ли, отвечающей найденной группе. Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью аналога оператора Капитанского.

• Получены точные решения, являющиеся частично инвариантными относительно некоторой 6-ти параметрической группы. В качестве примера приложения этих решений решена задача о неустановившемся движении жидкости в полубесконечном цилиндре, поверхность которого непроницаема, а на оси распределен вихреисточник переменной интенсивности. Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси.

• Решена задача о деформации цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом в случае непотенциального поля скоростей и наличии вихреисточника на оси симметрии.

• Подробно исследован класс стационарных неавтомодельных течений, которые определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка, интегрируемой в квадратурах. Приведены типичные фазовые портреты течений.

• Рассмотрены решения, построенные на основе частично инвариантных, с помощью метода, предложенного В.В. Пухначевым [11]. Установлена локальная по времени разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 4-го порядка, описывающего такие решения. Кроме того, для этого уравнения рассмотрена обобщенная задача Гурса. Получены достаточные условия разрушения ее решения за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты. Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши.

Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами. Результаты иллюстрируются численными примерами и наглядным графическим материалом. Все результаты являются новыми.

Результаты выполненных в диссертационной работе исследований вносят вклад в теоретическую гидродинамику, пополняя набор известных точных решений и существенно обобщая некоторые существующие точные решения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости. Точные решения могут быть использованы при физическом моделировании вихревых течений, а также использоваться в качестве тестовых при конструировании численных методов. Результаты работы представляют интерес для специалистов в следующих областях: теоретическая гидродинамика, моделирование вихревых течений, групповой анализ дифференциальных уравнений.

Основные результаты докладывались на семинаре под руководством академика РАН JI.B. Овсянникова и д.ф.-м.н. А.П. Чупахина в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством д.ф.-м.н. P.M. Гарипова и профессора Б.А. Луговцова в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН И.А. Тайманова в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН С.В. Алексеенко в Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, на семинаре под руководством профессора О.В. Капцова в Институте вычислительного моделирования СО РАН, а также на следующих научных конференциях:

Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 2001),

Международная молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения -2001" (Казань, 2001),

II и III Международные конференции "Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов" (Сочи, 2001; 2002),

XL Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002),

Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004),

Всероссийские конференции "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)" (Абрау-Дюрсо, 2004) и "Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД)" (Санкт-Петербург, 2006),

Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2005),

Международная конференция "Проблемы современной математики и механики" (Казахстан, Алматы, 2005),

VI и VII Международные конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (Украина, Киев, 2005; 2007).

Основные положения диссертации опубликованы в работах [29-32]. Работа [31] выполнена в соавторстве с В.В. Пухначевым. Вклад авторов в совместной работе является равным.

Диссертация объемом 92 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 1 приложения, 25 иллюстраций и списка литературы из 32 наименований.

Заключение

В заключении еще раз сформулируем все основные результаты, полученные в диссертации.

1. Вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера вращательно-симметричного движения (в переменных радиальной и осевой компонент скорости, квадрата циркуляции окружной скорости и азимутальной компоненты вихря) (п. 1.2). Построены одно- и двумерные оптимальные системы подалгебр бесконечномерной алгебры Ли, отвечающей найденной группе (п. 1.3). Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью аналога оператора Капитанского (п. 1.4). В частности, построены примеры сопряжения закрученных потоков с осесимметричными, а также потенциальных течений с вихревыми. Подробно исследован класс стационарных решений, близких к автомодельным, привидены типичные фазовые портреты течений.

2. Рассмотрено частично инвариантное решение уравнений Эйлера (несжимаемая жидкость), в котором вертикальная компонента скорости является функцией вертикальной координаты и времени, в то время как оставшиеся компоненты скорости и давление не зависят от полярного угла в цилиндрической системе координат. На основе проведенной классификации уравнений, полученных путем анализа переопределенной системы, были рассмотрены две системы гиперболического типа. Первая из них дает решения в полуцилиндре с особенностями на оси симметрии (п. 2.3), а также стационарные и автомодельные решения (п. 2.5, 2.6). Вторая система описывает движение цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом (п. 2.4). Получены следующие результаты: а) Показано, что возможным решением первой системы является периодическое по времени движение жидкости (сильно нелинейные колебания), с поверхностью сильного разрыва, по одну сторону от которой жидкость движется как вращающийся поршень. Это движение порождается взаимодействием источников и вихрей, распределенных на оси симметрии. Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси, т.е. промоделировать источник со сколь угодно малым носителем. б) Получен новый класс стационарных и автомодельных частично инвариантных решений уравнений Эйлера. Получены точные решения, описывающие вихревое движение жидкости с закруткой в криволинейных каналах (п. 2.5). Проведена классификация автомодельных решений редуцированной системы с двумя независимыми переменными, которая допускает 3-параметрическую группу растяжений, в то время как исходная система уравнений Эйлера обладает 2-параметрической группой (п. 2.6). в) Решена система гиперболического типа с одной пространственной переменной, которая описывает деформацию цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом. Отличительными особенностями рассмотренной задачи является то, что интенсивность источника или стока может быть задана произвольной функцией времени и может быть рассмотрена начально-краевая задача для определяющего дифференциального уравнения. Кроме того, поле скоростей по пространственным координатам нелинейно. Замечательным является тот факт, что когда действует источник, мы можем задавать значение циркуляции на оси симметрии, а когда он сменяется стоком, циркуляция уже не задается - ее значение получается по ходу решения нашего дифференциального уравнения. Особое внимание уделено изучению контактных разрывов и разрывов завихренности, характерных для рассмотренного типа движений. В частности, показано, что условие отсутствия контактных разрывов в решении задачи со свободной границей носит нелокальный характер.

Рассмотрены вращательно-симметричные решения уравнений Эйлера с линейной зависимостью осевой компоненты скорости от осевой координаты. Методами группового анализа дифференциальных уравнений осуществлена редукция указанных уравнений к гиперболическому уравнению четвертого порядка. Для этого уравнения'доказана локальная по времени однозначная разрешимость начально-краевой задачи (п. 3.2). Кроме того, для него рассмотрена обобщенная задача Гурса (п. 3.3). Получены достаточные условия разрушения ее решения за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты. Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши.

В заключение еще раз отметим, что исходная система уравнений (1.1) имеет составной тип: у нее имеются как вещественные, так и комплексные характеристики (наличие последних связано с несжимаемостью жидкости). Одним из результатов диссертации является построение подмоделей исходной модели вращательно симметричного движения, в которых гиперболическая часть отделяется от эллиптической. В частности, разрешающие системы для частично инвариантных решений главы 2 являются ^-гиперболическими. Ключевое уравнение 4-го порядка, изучаемое в главе 3, является гиперболическим, но не ^-гиперболическим.

1. Васильев О.Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных потоков. МЛ.: Госэнергоиздат, 1958. 144 с.

2. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, 1981. - 367 с.

3. Majda A.J., Bertozzi A.L. Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge University Press, 2001.-558 pp.

4. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов B.JJ. Введение в теорию концентрированных вихрей. Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003.-504 с.

5. Биркгоф Г. Гидродинамика. Постановка задачи, результаты и подобие. М.: ИЛ, 1963.- 183 с.

6. Овсянников JI.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 239 с.

7. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.-400 с.

8. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.-280 с.

9. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.-639 с.

10. Капитанский JI.B. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса и Эйлера при наличии вращательной симметрии и новые точные решения этих уравнений // Докл. АН СССР, 1978. Т. 243, № 4. С. 901-904.

11. Пухначев В.В. Точные решения уравнений гидродинамики, построенные на основе частично инвариантных. //ПМТФ, 2003. Т. 44, № 3. С. 18-25.

12. Pukhnachov V.V. An integrable model of nonstationary rotationally symmetrical motion of ideal incompressible liquid I I Nonlinear Dynamics, 2000. No. 22. P. 101— 109.

13. Овсянников JI.B. Общие уравнения и примеры. В сб. «Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей» -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. С. 5-75.

14. Овсянников JT.B. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ, 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30-55.

15. Кузьмина А. А. Оптимальная система конечномерных подалгебр аглебры Ли, допускаемой уравнением теплопроводности // Сиб. журнал индустриальной математики. Апрель-июнь, 2004. Т. VII. № 2(18). С. 88-98.

16. Ryzhkov, I.I. On the normalizers of subalgebras in an infinite Lie algebra // Comm. in Nonl. Sci and Num. Simul., 2006. No. 11. P. 172-185.

17. Андреев B.K., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. -319с.

18. ЩБучнев А.А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1971. Вып. 7. С. 212-214.

19. Уховский М.Р., Юдович В.И. Осесимметричные течения идеальной и вязкой жидкости, заполняющей все пространство. // ПММ, 1968. Т. 32, вып. 1. С. 5969.

20. Капцов О. В. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости // ЖЭТФ, 1990. Т. 98, № 2. С. 532-541.

21. Пухначев В.В. Новый класс точных решений уравнений Эйлера // Докл. РАН, 2002. Т. 382, № 6. С. 777-780.

22. Кажихов А.В. Замечание к постановке задачи протекания для уравнений идеальной несжимаемой жидкости. //ПММ, 1980. Т. 44. вып. 5. С. 947-950.

23. Овсянников Л.В. Особый вихрь // ПМТФ, 1995. Т. 36, № 3. С. 45-52.

24. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифференц. Уравнения, 1988. Т. 24. С. 1577-1586.

25. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. -М.: Мир, 1973. 542 с.

26. ГромекаИ.С. Собрание сочинений. -М.: Изд. АН СССР, 1952. 295 с.

27. Аристов С.Н. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Докл. РАН, 2001. Т. 377, № 4. С. 477-480.

28. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса. // Успехи механики,2006. Т. 4. № 1. С. 6-76.1. РАБОТЫ АВТОРА

29. Мещерякова Е.Ю. Точные решения уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ, 2002. Т. 43, № 3. С. 66-75.

30. Мещерякова Е.Ю. О новых стационарных и автомодельных решениях уравнений Эйлера//ПМТФ, 2003. Т. 44. № 4. С. 3-9.

31. Мещерякова Е.Ю., Пухначев В.В. Интегрируемые модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости. // Докл. РАН,2007. Т. 412, №2. С. 188-192.

32. Мещерякова Е.Ю. Разрешимость начально-краевых задач в гиперболической модели движения идеальной несжимаемой жидкости // Сибирские Электронные Математические Известия, 2007. Т. 4. С. 282-291.