Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики

Родионов, Александр Алексеевич

Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Родионов, Александр Алексеевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики»

Автореферат диссертации на тему "Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики"

На правах рукописи

2 7 АВ1 М

Родионов Александр Алексеевич

ПРИМЕНЕНИЕ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К МОДЕЛЯМ ГИДРОДИНАМИКИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск 2009

003475851

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск).

Научный консультант — доктор физико-математических наук,

профессор В.К. Андреев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Зайцев;

доктор физико-математических наук, профессор С.И. Сенатов;

доктор физико-математических наук, профессор А.П. Чупахин.

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт механики Уфимского научного центра Российской академии наук.

Защита диссертации состоится " etrßfpA 2009 г. в Ж! . на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26, ИКИТ СФУ, ауд. 115 (УЛК).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан " 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^

к.ф.-м.н., доцент К.А. Кириллов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Как заметил ещё Софус Ли, знание группы преобразований, относительно которых инвариантна система уравнений, помогает в определенных случаях находить некоторые (инвариантные) решения этой системы в явном виде. Ли указал способ вычисления для заданных систем дифференциальных уравнений групп преобразований и привел примеры построения инвариантных решений. Новые проблемы современных прикладных наук порождают большое число новых математических моделей, для исследования которых нужно знать как можно больше конкретных решений. Метод группового анализа является одним из очень немногих методов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных безотносительно к их типу и происхождению.

Уравнения гидродинамики и газовой динамики были первым объектом приложения новых идей и методов группового анализа, развиваемых Л.В. Овсянниковым. Так основная алгебра Ли нестационарной системы уравнений Эйлера в R3 была вычислена A.A. Бучневым. Структура этой алгебры изучалась в работе C.B. Хабирова. Используя свойства инвариантности уравнений Эйлера, Н.Х. Ибрагимов нашел новые законы сохранения. Некоторые инвариантные решения уравнений Эйлера рассматривались в работах Л.В. Овсянникова, В.И. Налимова, В.В. Пухначева. Групповые свойства и решения уравнения Навье-Стокса исследовались В.О. Вы-тевым, Л.В. Капитанским, В.В. Пухначевым.

Известно со времен Коши, что некоторые уравнения гидродинамики интегрируются в лагранжевой системе координат. Новая система состоит из меньшего числа уравнений, содержит произвольные функции — начальные данные исходной системы — и может обладать более широкой группой преобразований в смысле Ли. Впервые группа Ли точечных преобразований в лагранжевых координатах была вычислена для уравнений газовой динамики с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами в работах В.К. Андреева. Полный групповой анализ уравнений плоского и вращательно-симметричного движения однородной и неоднородной жид-

кости в лагранжевых координатах проведен в работах /1-7, 14-18/. Там же построены новые точные решения.

Переход от эйлеровых к лагранжевым координатам — нелокальное преобразование и между группами Ли изучаемых уравнений, вообще говоря, не должно быть изоморфизма. Поэтому группу Ли уравнений Эйлера в лагранжевых координатах необходимо вычислять независимо. Кроме того, в случае плоского и вращательно-симметричного движения уравнения Эйлера частично интегрируются. Новые системы состоят из меньшего числа уравнений, содержат произвольные функции, что делает актуальной задачу групповой классификации.

Задача классификации всего класса инвариантных и частично инвариантных решений уравнений гидродинамики ещё не решена. Она является комплексной и включает алгебраические и теоретико-групповые аспекты (построения, с точностью до подобия, всех подгрупп групп симметрий моделей и подмоделей), задачу групповой классификации и исследование фактор-систем. Для изучаемых здесь систем уравнений типична бесконечномерность допускаемых алгебр Ли, что сильно затрудняет изучение их структурных свойств.

Диссертация посвящена исследованию качественных свойств некоторых моделей гидродинамики на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Используется техника группового анализа дифференциальных уравнений, получивших систематическое изложение в работах Л.В. Овсянникова и Н.Х. Ибрагимова.

Цель работы. Групповой анализ и групповая классификация уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии, уравнений вязкой жидкости в терминах скорость-завихренность, когда вязкость есть функция времени, уравнений микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна, построение оптимальных систем подалгебр, а также нахождение новых точных решений и их физическая интерпретации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах. Найдено преобразование эквивалентности, которое исключает из рассмотре-

ния в уравнениях движения зависящие от времени внешние силы, однако оставляющее инвариантными условия на свободной границе. Впервые предпринято систематическое изучение групповых свойств уравнений идеальной однородной и неоднородной жидкости при наличии плоской и вращательной симметрии в лагранжевых координатах. Проведен групповой анализ уравнений новой модели конвекции и гидродинамической модели глаза тайфуна. Найдены классы новых точных решений указанных моделей гидродинамики.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:

— проведен групповой анализ уравнений гидродинамики в координатах Эйлера при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, уравнений новой модели микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна;

— построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков;

— решена задача групповой классификации уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность, когда коэффициент вязкости зависит от времени. Для каждого случая специализации вязкости найдена основная алгебра Ли базисных операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого порядка;

— решена задача групповой классификации уравнений в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, а также для уравнений с осевой симметрией. Установлено, что уравнения в лагранжевых координатах обладают более широкой группой преобразований, чем уравнения в координатах Эйлера;

— доказано, что в лагранжевых координатах система уравнений модели глаза тайфуна интегрируется полностью (при вращательной симметрии) и частично (для общей модели);

— для всех рассматриваемых систем уравнений построен ряд новых (или обобщающих известные) точных решений, имеющих физическую интерпретацию, описывающих нестационарные вихревые движения жидкости со свободными или твердыми границами;

— найденные новые симметрии существенно расширяют знания о качественных свойствах уравнений гидродинамики, а построенные точные

решения могут быть использованы как модельные, например - при сравнительном анализе численных методов.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были доложены

на:

- VI Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986);

- Всесоюзной конференции "Герценовские чтения" (Ленинград, 1987);

- международной конференции "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 1990);

- международной конференции "Современный групповой анализ" (Баку, 1988; Уфа, 1991; Нижний Новгород, 1992);

- III Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993);

- Всесоюзной конференции "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Саратов, 1993);

- международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces" (Москва, 1994);

- международной конференции "2nd European Fluid Mechanics Conference" (Варшава, 1994);

- международной конференции "Математические модели и численные методы МСС" (Новосибирск, 1996);

- Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-96", "ИНПРИМ-2000" (Новосибирск, 1996, 2000);

- международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 2001);

- международной конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998);

- международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000, 2002);

- международной конференции "RDAMM-2001" (Новосибирск, 2001);

- Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004);

- международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005);

- IV Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2006);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007);

- Всероссийская конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 90-летию академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2009);

- семинарах ИВМ СО РАН (Красноярск) под руководством профессора В.К. Андреева.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 41 работах, включая две монографии в соавторстве с В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, В.В. Пухначевым.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, семи разделов, разделенных на 36 параграфов, заключения и двух приложений. Текст изложен на 290 страницах, включая таблицы и рисунки. В списке литературы содержится 96 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первый раздел диссертации посвящен групповому анализу уравнений плоских движений идеальной жидкости в переменных Эйлера и Лагранжа, а также построению их точных решений.

Изучаются групповые свойства системы уравнений плоского движения в эйлеровых координатах

щ + Ш1Х + шу — 0, — ш, их + ьу — 0, (1)

где и — завихренность. Эта система получается из уравнений Эйлера путем исключения давления и является промежуточной при преобразовании к лагранжевым координатам. Для нее построен базис алгебры Ли операторов (теорема 1.2), содержащий оператор

Х5 = -Ьудх + - + у)ди + (Ы + х)д„ + 2дш,

который не "индуцируется" из исходной системы уравнений Эйлера. Для уравнений Эйлера (в терминах функции тока) он является оператором

квазилокальной симметрии с нелокальной переменной - функцией тока. Оператор допускается также и системой Навье-Стокса, это отражено в разделе 3. Оказалось, что конечные преобразования, соответствующие позволяют сводить двумерные уравнения вязкой несжимаемой жидкости во вращающейся с постоянной угловой скоростью системе координат к обычным уравнениям Навье-Стокса. Это позволяет дать групповую трактовку известных экспериментов Д. Тейлора по влиянию сил Кориолиса на движение твердых тел и вихревых колец при двумерных и трехмерных движениях.

В параграфе 1.2 при переходе к лагранжевым координатам (£, 77, £) система (1) преобразуется к виду

ХпХг,1 - + Уг,У& - У&пг = Т]),

(2)

ЧУп ~ Урц = 1,

где шо = ш при Ь = 0. Здесь в отличие от (1) необходимо решать уже задачу групповой классификации. Показано, что у (2) всегда есть бесконечномерный идеал, порожденный оператором У* = F(wo)I)c?£ - Р(шо)^,, с произвольной функцией ^ £ С00. Установлено соответствие между группами Ли систем (1), (2). Показано, что У» переходит в эйлеровых координатах в идеал алгебр Ли всех операторов Ли-Беклунда системы (1). Групповая классификация уравнений (2) по функции начальной завихренности допускает два случая (теорема 1.3): а>о = 0 и и>о ^ 0 (в последнем случае, например, можно считать щ = г)).

В параграфе 1.3, в случае, когда завихренность из равна нулю в (1), изучена система Коши-Римана с дополнительными связями (теорема 1.4).

В параграфе 1.4 решается задача групповой классификации уравнений (2) при условии инвариантности начальных условий. Все данные сведены в табл. 1.4.1. Всего имеется двенадцать случаев расширения основной алгебры Ли (теорема 1.5).

В следующем параграфе изучены групповые свойства системы, полученной из (2) дифференцированием по Ь (теоремы 1.6,1.7). В этом случае вместо оператора У» допускается оператор ф^д^ — ф^дп с произвольной 77), что позволяет строить более общие точные решения задачи со свободной границей. Рассмотрена система (2) в произвольных криволинейных лагран-жевых координатах, группа Ли преобразований которой подобна группе для уравнений (2). Здесь же доказано,что знаменитые трохоидальные вол-

ны Ф. Гёрстнера на поверхности бесконечно глубокой жидкости являются инвариантными решениями.

В параграфе 1.6 даны примеры нестационарных точных инвариантных решений для (1), (2): вихревые движения плоского слоя, птоломеевские течения. Приведем одно из них. Возьмем подгруппу (д$,дх). Тогда

а(а, t)

По

att = n(t)a, 6(77,0) = 1, at(rj, 0) = а0(т?), (3)

btt = n{t)b, Ь(т?, 0) = 0, bt(t], 0) = 60(77)

с произвольными функциями n(t), 00(77), Ь0(т]), при этом в (2) из о = -а'0£ - Ь'0. Таким образом, решение задачи Коши х = у — 77 для системы (2) неединственно. Оно обобщает известные решения с линейным полем скоростей: движение полосы и эллипса. Частные случаи могут описывать движения с твердыми стенками. Заметим, что решение (2) невозможно, вообще говоря, представить в эйлеровых координатах, т. е. (2) есть решение в параметрической форме.

Во втором разделе рассматриваются уравнения плоского движения неоднородной несжимаемой жидкости. Для уравнений движения неоднородной жидкости (р ф const) в поле силы тяжести, g = (0,0, -g), g = const, в трехмерном случае

щ + й ■ Vu + - Vp — g, pt + й- Vp — 0, div и = 0 P

базис операторов Ли представлен в работе. Соответствующие базисы допустимых операторов для уравнений Эйлера в плоском случае просто "индуцируются" из базиса допустимых операторов для трехмерного движения. Выяснено групповое происхождение преобразования И Цзя-шуня, применяемого для описания стационарных движений стратифицированной жидкости. Стационарные решения системы неоднородной жидкости получаются из решений для однородной жидкости преобразованием

й = ti(x,y,z), p = P(x,y,z).

V Р

В параграфе 2.2 для базисных операторов уравнений Эйлера в плоском случае построена оптимальная система подалгебр первого порядка ©i

(теорема 2.2). Построение оптимальных систем подалгебр 0i и ©2 для трехмерной системы Эйлера идеальной жидкости (р = const) приведено в работе. Изучение оптимальных систем подалгебр для неоднородной жидкости (р ф const) ранее не проводилось. На каждом операторе из 6i в параграфе 2.3 построены фактор-системы.

При переходе к лагранжевым координатам (£, ц, t) в параграфе 2.4 следует сохранение плотности частицы вдоль траектории: />(®(£>»7! *)>!/(£» »?>*)) = Poitv) = R^ibv)- Оставшиеся три уравнения плоского движения жидкости образуют замкнутую систему относительно функций х(£, ?7, t), 7?, t), р(£, Т], t):

xtt + R{£, л) (ум - уцРч) = о. ytt + Щ, v) ixnPi ~ ЧРч) = °> ^

- y^ri — 1.

В уравнениях (4) предполагается, что ускорение силы тяжести равно нулю, д = 0.

Для системы уравнений (4) проведена групповая классификация уравнений по функции начального распределения плотности в общем случае и при требовании инвариантности начальных условий (теоремы 2.3, 2.4). Сводный результат групповой классификации дан в табл. 2.4.1 и табл. 2.4.2. В случае учета инвариантности начальных условий имеется семь вариантов расширения основной алгебры Ли системы (4).

В параграфе 2.5 приведен ряд точных инвариантных решений в эйлеровых координатах на операторах из оптимальной системы подалгебр 0i. Это решение, описывающее внутренние волны в жидкости с прямыми линиями равной плотности; решения, описывающие течения с различными видами твердой границы. В примере 4 на операторе а~1ду + рдр + рдр, а — const, решается фактор-система

+ = о, Vt + UVx + ^ = -g, PoR PoR (5)

Rt + URX + aVR = 0, U = U{t,)

где и = U(t), v = V(x,t), p = poe°*P(x,t), p = pQeayR{x,t). Пример

интересен тем, что при введении новых переменных (£, т) по формулам t

х = / U(t) dt+£, t — т и новой функции В({, т): R = ехр[В(£, т)+адт2/2] о

система (5) сводится к одному уравнению третьего порядка

BTTi + В(ВТТ = —a2UT, (6)

где U(г) — известная функция. Уравнение (6) можно считать неклассическим уравнением математической физики, ранее в литературе оно не встречалось. Уравнения аналогичной структуры появляются и при интегрировании систем уравнений при вращательной симметрии.

По физическому смыслу к (6) ставится задача Коши и приводятся некоторые точные решения уравнения: решение с постоянным ускорением вдоль оси ж; решение, описывающее нелинейные внутренние волны.

В параграфе 2.6 даны примеры точных решений уравнений (4) в лагран-жевых координатах для различных представлений (из табл. 2.4.2) функции начального распределения плотности R(£,r)). Это решения, описывающие движения неоднородной жидкости со свободными границами: вихревое течение в полосе; движение вращающегося кольца жидкости; в произвольных лагранжевых координатах построено решение, обобщающее волны Гёрст-нера на неоднородную жидкость.

Третий раздел диссертации посвящен изучению уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность.

В параграфе 3.1 для системы уравнений

LJt + UU!X + VWy — v{u)xx + Wyy),

(?)

Ux + Vy — 0, Vx-Uy = W

с v — const найдена бесконечномерная алгебра Ли базисных операторов, допускаемых уравнениями (теорема 3.1)

Xi = dt, Х2 = ydx-xdy+vdu-udv,X3 = 2tdt+xdx+ydy-udu-vdv-2шдш

Xi = -tydx + txdy - (tv + y)du + (tu + x)dv + 2du, (8)

ЗД) = f(t)dx + f(t)du, Xt(g) = g(t)dy + g(t)dv.

Оператор X4 является новым оператором, он не "индуцируется" из исходной системы уравнений Навье-Стокса и связан с инвариантностью уравнений двумерных течений жидкости относительно перехода во вращающуюся с постоянной угловой скоростью систему координат.

В параграфе 3.2 для этих операторов получена оптимальная система подалгебр первого порядка Эх (теорема 3.2). Далее, для каждого из операторов оптимальной системы подалгебр получены фактор-системы уравнений (7).

В параграфе 3.4, рассматривая уравнения (7), считаем, что коэффициент вязкости является функцией времени V = ^(¿). Чаще всего исследуется зависимость вязкости среды от температуры. Но, в свою очередь, можно считать, что температура среды есть функция времени. Данная модель может описывать, например, движение в тонких пленках, когда вязкость жидкости меняется одновременно во всех точках плоскости за счет подогрева подложки (Т = Тх(Ь), Тх(4) — заданная функция). Возможно описание движения жидкости в плоском слое за счет внутренних источников тепла. Здесь проведена групповая классификация уравнений по функции вязкости При произвольном выборе функции базис ядра алгебры Ли операторов для системы (7) состоит из Хъ, Ха, Х^), Х6(д) из (8). Получены четыре случая специализации функции: = в ф 0, и{{) — еш, кф 0, = 1,1>{£) = 0, при которых ядро алгебры Ли расширяется (теорема 3.3). В теореме 3.4 получены оптимальные системы подалгебр первого порядка ©1 для всех случаев представления функции вязкости и{£).

В параграфе 3.5 приводятся некоторые точные решения уравнений (7).

В четвертом разделе проводится групповой анализ уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости.

В параграфе 4.1 для уравнений в цилиндрических координатах

V2 ¿V . ум . йги ди и дги

И~7 + Рг= ' ¿г+ Т ' + г + = (9)

а д д д Ж = т+иТг + и1Тг

найден базис алгебры Ли операторов (теорема 4.1). Этот базис содержит оператор Хз = -д„/г2у + 1 /г2, который не "индуцируется" из алгебры Ли трехмерной системы Эйлера. Он связан с дополнительной инвариантностью системы (9) относительно преобразований

е = г' = г, т> = г, и' = и, у' = ±{у2 - 2аг~2)1/2,

V)' = ю, р' = р + аг~2 с произвольным параметром а.

В параграфе 4.2 система (9) представлена в лагранжевых координатах гч (г" ~ П;з'0) + znz» + Рч =

(10)

r(r„ZC - r(Zn) = Г),

где V(r], () = t]2Vq(t], С) — квадрат момента импульса жидкой частицы в начальный момент времени. Система (10) обладает более широкой группой преобразований по сравнению с (9). Для уравнений проведена групповая классификация относительно функции У(»7,С)> определены базисные операторы. В теореме 4.2 представлены три случая классификации: V(ri,() -произвольная функция, V = 0 (или V = const), Vn ф 0 (или V^ ф 0).

Если наряду с инвариантностью уравнений (10) относительно допустимых групповых преобразований потребовать инвариантности и начальных условий, то имеется восемь случаев расширения основной алгебры в зависимости от выбора V(rjX) (теорема 4.3).

Аналогичная задача решена в параграфе 4.3 для уравнений осесиммет-ричного движения, когда имеет место закон сохранения

wi{t,r, г) = ш10(т), С)

г Г] '

где uii — завихренность. В теореме 4.4 определяется базис основной алгебры Ли операторов для уравнений. В теореме 4.5 представлены четыре случая классификации системы уравнений в лагранжевых координатах относительно функции £¿0(77, С) — um/r]. А в теореме 4.6 с учетом инвариантности начальных условий имеется пять случаев расширения основной алгебры в зависимости от выбора

В заключительном параграфе этого раздела приведены восемь примеров инвариантных решений, описывающих движение жидкости со свободной границей. В решения входят произвольные функции, а отображение лагранжевых координат в эйлеровы не является линейным. Приведем одно из решений системы (10) с V ~ V(rj). Частично инвариантное решение ранга 2 и дефекта 2 на трехпараметрической подгруппе {<%, dz, др) имеет вид (снова параметрическое представление решения)

1/2

, С(0) = 0, z = a(r],t)C,

г =

Tjdr] a(t7, t)

+ C(t)

P = I г, (rtt - А?<? + ¥>(*).

att = n{t)a, a(r), 0) = 1, at{r\, 0) = a^rj)

с произвольными функциями V(t]), p(t), ai(rj), ip(t), C(t). Это решение может быть интерпретировано, например, как движение с конической свободной границей, или свободной границей в форме однополостного гиперболоида, цилиндрической границы или эллипсоида вращения. Оно является вихревым.

В разделе 5 рассматриваются уравнения вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости. Так же, как и в предыдущем разделе, в пункте 5.1 для уравнений в цилиндрических координатах

ut + uuT + wuz---!—рг = 0, vt + uvr + wvz-1--= 0, (И)

г р г

1 и

wt + uwr + wwz + -рг = 0, • Pt + ирт + Iирг = 0, иг Н---b Wz = 0

p г

найден базис допустимых операторов Ли (теорема 5.1)

Хг = дг, X2 = tdz + dw, Х$ — dt, (12)

Х4 = 2гдт + 2 zdz + tdt + иди + vdv + wdw + 2рдр, Х5 = тдг + zdz + tdt, Х6 = рдр+рдр, X7 = -~dv + ^dp, Xs(ip) = <p(t)dp.

I . f Tlvp T

Базис (12) содержит новый оператор Хт, аналогичный оператору Х% для уравнений (9) и связанный с инвариантностью системы (11) относительно преобразований v' = ± (и2 - 2a/pr2)~^2, р' = р + а/г2, а — параметр.

В параграфе 5.2 с целью выделения классов существенно различных инвариантных решений уравнений (И) для базисных операторов (12) построены оптимальные системы подалгебр первого (теорема 5.2) и второго порядка (теорема 5.3).

В лагранжевых координатах уравнения (11) принимают вид

V rR rR

га--з + — ~ zvP<) = °> z« - — (ЧРп ~ TvH) = °> ^

r(r„2rc - rcz„) = 7?,

где V(r), Q=r]2vl(ri, () — квадрат момента импульса, a R(tj, £) = 1/ро(т], С) — функция распределения плотности в жидкой частице в начальный момент

времени. Параграф 5.3 посвящен групповой классификации этих уравнений относительно уже двух функций V, Я. В теореме 5.4 представлены семь вариантов классификации в общем случае, при которых происходит расширение ядра алгебры Ли операторов. Рассмотрен также случай инвариантных начальных условий, десять вариантов классификации даны в теореме 5.5.

В параграфе 5.4 представлены девять примеров построения точных инвариантных решений. В одном из примеров инвариантное решение системы (И) ищем на операторе еХ\ + Х&{<р) = едг + <р^)др из оптимальной системы подалгебр первого порядка. В результате найдено решение исходной системы (11):

и = г"1С(«), ь = №€)г-1> и = -щ^1ч>(т)<1т + 1У0(£),

р=до®. *)=- / N - еЧ2(Ог-8](14) £ =

1/2

-з/од,

с произвольными гладкими функциями <p(i), C(t), Ro(£), Wo(Oi ^(0-

При C(t) = 0 решение (14) описывает нестационарное вихревое движение струи со свободной границей r(t) = = const (либо движение в трубе), вдоль которой приложено давление q(z, t) = zip(t)+P(£i,t). Если C(t) ф- О, то получим описание движения цилиндрической оболочки со свободными границами ri{t) = r(fi,t), r2(f) = r(£2,i), > £2, a r(f, t) определяется из

г = [f2 + 2 f C(r)dr]^2. В обоих случаях плотность жидкости распреде-о

лена по произвольному закону по радиусу: р = Rq(£)-

Девятый пример показывает, что поиск инвариантного решения может привести к противоречию в фактор-системе, хотя необходимые условия существования инвариантного решения выполняются. Пример реализуется для уравнений (13) на операторе У*(ф) = ?7_1[^(Д)9Ч -

При поиске инвариантного решения на операторе растяжения по плотности и давлению и сдвига по пространственной переменной возникает уравнение третьего порядка (пример 5.6 данного раздела)

uttx + uxutt = f(t,x). (15)

Аналогичное уравнение возникало в примере 2.4. Это уравнение является нелинейным неклассическим уравнением математической физики и раньше в литературе не рассматривалось. В параграфе 5.5 проведена групповая классификация полученного уравнения по произвольной функции правой части, зависящей от двух переменных (теорема 5.6). Получены шесть случаев классификации уравнения (15): — произвольная функция,

/ = 0, / = /(¿) ф 0 — произвольная функция, / = Сехр(-Ы), С ф О, / = С(1 + а)~2~Р, С ф 0, (3 ф -2, / = /(х) ф 0 — произвольная функция. Для каждого случая определена алгебра Ли допустимых операторов.

В разделе 6 проведен групповой анализ уравнений конвективного движения жидкости при пониженной гравитации. Движение жидкости, вызванное тепловой гравитационной конвекцией, обычно моделируется системой уравнений Обербека-Буссинеска. Эта модель, хорошо описывающая конвективные течения в естественных земных условиях, перестает работать в очень слабых силовых полях. В.В. Пухначевым предложена новая модель тепловой конвекции при пониженной гравитации, когда плотность жидкости зависит от температуры по закону р = р0(1 + @В)~1.

В первом параграфе этого раздела для системы уравнений микроконвекции (произведена замена в <—> 1 + /30)

получен базис бесконечномерной алгебры Ли операторов (теорема 6.1) Хх = дх, Х2 = ду, Х3 = д2, Х4 = 1дх + ди, Х5 = 1ду + ду, Хе — + дю, Х7 = ди Х& = хдх + уду + гдц + иди + ьду + ■шд^ + 2вд$, Хд = хдх + уду + гдг + + Одд -Хю = *ду - удг + гид» - уди, Хц = хд2 - гдх + идш - тди, Хц = удх - хду + уди - ид„, Хп(<р) =

Показано, что если вектор массовых сил зависит от времени д = д(£), тогда преобразования

щ + + • Уги - • У0) + х2(А0У0 - У|У0|2/2) =

= + иАт) + д,

0, + гу • Щ + х|У0|2 = <М = 0

(16)

г т

о о

являются преобразованиями эквивалентности для (16), а также для уравнений Эйлера и Навье-Стокса. В уравнениях можно считать д = 0. Относительно преобразования (17) остаются инвариантными условия на свободной поверхности. Более того, преобразования (17) справедливы для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей при наличии поверхности раздела /10/.

В параграфе 6.2 построена оптимальная система подалгебр первого порядка ©1 (теорема 6.2)

иХй + Хи + Хи(¥>), Х8 + Хи(ч>),

еХг + Х8 + сХ12 + Хи(ч>), иХ4 + Х8 + сХ12 + Х13(р),

^Хб + -XV + £2X12, еХх + 1^X7 + Х8 + сХ\2,

игХ4 + и2Х7 + Х8 + сХ12, иХ7 + Х$, еХе + Хд,

£1X1 + £2Хб + Хд + сХ12, иХз + Хд — Хд,

Хь + ЬХд, иХз + Хь-Хд + сХи,

еХз + иХ± + Хд — Хд + сХ 12, £1X1 + £2X4 + Хд + ЬХд + сХ\2.

А в параграфе 6.3 построена оптимальная система подалгебр второго порядка ©2 (теорема 6.3), представленная в таблице 6.3.1 в виде 76 двумерных подалгебр.

В последнем параграфе раздела 6 в пяти примерах найдены точные инвариантные решения. Например, на операторах {Х2\ Х5; Х7; Хз + Х^^о)) получено частично инвариантное решение, в котором и — 11о,д = фо^+Яо-Система (16) расщепляется относительно функций 9, ги, V и имеет два ре-

где Си С2, во = const, С\ ф 0. Частный случай v = const = 0 является решением. Если взять функцию в2{х), то найдем

шения:

fin во-

ЦрХ X

}

Полученное решение существенно отличается от известного решения стационарной задачи в приближении Обербека-Буссинеска

т^х) = -~-х(а2 - х2),

именно, нарушается антисимметричность профиля скорости по оси х.

В разделе 7 рассматривается нестационарная модель глаза тайфуна, предложенная в работах Е.М. Добрышмана. Поскольку глаз тайфуна занимает большую часть тропосферы, то стратификация атмосферы — изменение плотности с высотой — должна играть существенную роль. В уравнении сохранения массы вводится параметр а, определяющий среднее значение логарифмической производной плотности по высоте.

В первом параграфе для системы уравнений вращательно-симметрической модели глаза тайфуна

и2 иу

щ + ииг + итг--= 0, VI + иуТ + юуг -I--= 0,

г г (18)

ит-\---\-Wz~ сти) = О

получена наиболее широкая группа Ли преобразований переменных г, г, допускаемая системой уравнений (18) и представленная базисными операторами (теорема 7.1)

V 9 к 9 V +д л. 9 9

д д д Х4 = и— + V-— + г— ,

ои оу ог

„ 2д д а д д ( П1 2\ д . ±

-д- - + - — + {-Ы + г) —,

т от а ог оу \ а) ою ои

X --—+ (--и + -) — + - (-и2 - -и + Л — (19) г дг \ г2 г) ди у \г2 г ) ду'

td.it . 1\ д . 1 ít 2 1 \ д

г дг \ г2** ^ г) ди у ^г2^ г у ду '

1 д 1 д 1 2 д

= —X---+ ~2и Я '

Г ОГ Г* Ои УГ1 ОУ

ХШ г)) = /(г, + е|7г(/(^ г)аи> + и/г(4, г) + /,(*, г))^

Группа Ли оказалась бесконечномерной и по пространственным эйлеровым координатам. На каждом из вычисленных операторов (19) построены фактор-системы.

В параграфе 7.2 представлены пятнадцать примеров точных инвариантных решений. Это ранее известные стационарные решения, квазидисковые и затухающе-взрывной тип решения, но большинство решений являются новыми или обобщают известные. Во многих примерах выделяется влияние стратификации в глазе тайфуна. Например, на операторе Хв из (19) построено следующее точное решение:

«=7+; (/ +т) > «=у пг - ^ [/ п-о*+т

ги = —

+ е"Ч2д{Ь), где ] = + о ^ 12д{1)<И.

Заметим, что скорость го существенно зависит от произвольной функции д({). Если взять д(Ь) = — 2/(<т£3), то при 2 = 0 выполняется граничное условие V) — 0, причем вертикальная компонента скорости затухает со временем.

В третьем параграфе в системе (18) сделан переход к лагранжевым координатам г|(=0 = ,г|(=0 = г]. Предварительно замечаем, что система (18) эквивалентна системе с а = 0, для этого достаточно ввести новые переменные по формулам

г' = -- е_<7г, ги' = е"ст%. (20)

ст

Уравнения могут быть проинтегрированы, так г = [£2 ± 2СЬ + 2, где С = - М§; Мо(£, г]), г?) — функции начального распре-

деления момента импульса и кинетической энергии. Ясно, что для существования решения начальный момент импульса не должен быть слишком большим: Мо(£,т]) < Функция определяется из линейно-

го относительно г уравнения неразрывности

- грч) = (21)

Решение уравнения (21) находим в квадратурах: г = \йг}-\-+/(*!г(£)77>*)) с произвольной функцией /, /(0,г) = 0, г(£,7у,£) — известна, г^ ф 0.

В параграфе построены два точных решения, например, для Mq = О, 2Ео(£,г]) = (,2Uq(t)) получаем решение вида

г = f[1+и0т, z=J [1+щШ2+/(*. к*, е, V))-

При Щ = const имеем решение системы (18) в эйлеровых координатах

В параграфе 7.4 рассматривается общая гидродинамическая модель глаза тайфуна в координатах (г, <р, z). Предполагается, что давление р в глазе не зависит от радиуса г и угла ip. Тогда в системе три уравнения представляют замкнутую систему относительно функций и, v, w. Кроме того, используются преобразования эквивалентности (20), что приводит к системе с а = 0

V V2

щ + ииг + - uv + wuz--= 0,

г г 'V ни vt + uvr + - vv + wvz H--= 0, (22)

г г

и 1

Щ-\---н - vv + юг = 0.

г г

Для уравнений (22) вычислен базис алгебры Ли операторов:

9 V 9 V J 9 9 Xl = di> = X3 = tdí + rd-r-Wd¿'

ХА = г— + и~ + у— X =z— + w— дг ди dv' dz dw'

9 did, чд д , д

x* = trTr~ 2tzTz+tM + (+'p) Si"-* *-(4t"+'

тг д cos ip д v д и д

X? = sin (р— +-Ó- + - cosp«---cos ip—,

or r oip r ou r ov

„г д sin<p д v . д и . д .„„.

A8 = cosv3-r---ъ---sin^>— + - sm<¿>—, 23)

or г д(р г ди г ov

д t д (vt . \ д

Хд = t sm ip— + - cos + — cos <p + sin <p -r—h or r dtp \r J ou

, ut \ д

+ I COS ip -(- cos ip \ — ,

V. д t . a / vt . \ д

Alo = ÍCOS<p-r---simp—4---sin w +coso? -—h

ar r dip \ r J du

(ut . . \ d + sm^-sm^J — ,

д д д д

Хц = г sin 2ip— + cos 2ip-—Ь (u sin 2ip + 2v cos 2ip) ---и sin 2ip—,

dr dip du dv

X12 = r cos 2ip^~ — sin 2ip-^- + (u cos 2<p — 2v sin 2ip) — v cos 2<p^~ , dr dip du dv

где g(t, r, <p) — произвольная функция.

На операторах (23) в параграфе 7.5 построены четыре примера точных решений: спиральное движение, перенос возмущений по вертикали, две модели вторичных течений. Все решения являются новыми или существенно обобщают известные. Например, если решение уравнений искать на операторах (Х9)Хю>, то получим точное решение в физических переменных вида

г 1 1

и = - + - [/(Л) sin ip + g(A) cos ip), v = - [/(A) cos ip - g(X) sin y],

2 n'(t\ i2

w = ± + ^le", A = — e~az + a(i). (24)

at t¿ a

Если для решения (24) потребуем выполнения граничного условия w = О при z = 0, то a(t) = —t2/cr + ao) »о — const. Если функции /(A), 5(A) считать ограниченными, то скорости и, v, w стремятся к нулю при t ->■ 00. Движение вдоль оси z всегда направлено вниз, w = 2(1 — e"z)/crt < 0. Функции /(А), д(Х) — произвольные по аргументу А = t2a~l{e~az — 1)+ +ao- Выбрав /(А), з(А) периодическими функциями, получим периодическое по вертикали решение.

В параграфе 7.6, как и в п. 7.3, в системе (22) делается переход к лагран-жевым координатам r|t=0 = f, (р\ы0 = в, z\t=Q = Вводя Мо(£,0,(),

О, С) — функции начального распределения момента импульса и кинетической энергии, проинтегрируем уравнения для азимутального угла и радиуса

<Р = в + arctg , г = [£2 ± 2СИ + 2E0f]1/2,

где С — ±\/2Eq£2 - . Функция z(t,£,9,() находится из уравнения сохранения массы

(гв'-Рс ~ Wf)zf + irm ~ rm)ze + {<РеГ( - reip()z( = р.

Здесь же даны три примера точных решений: когда М0 и Ео постоянны, когда Е0 = const, М0 = у/Щ{, когда М0 = 0, 2С) =

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Для уравнений различных моделей гидродинамики найдено преобразование эквивалентности, которое позволяет исключить внешние массовые силы, зависящие от времени. Более того, относительно этого преобразования остаются инвариантными условия на свободной границе и на поверхности раздела для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей.

2. Впервые проведено систематическое исследование групповых свойств уравнений однородной и неоднородной жидкости для плоских и вращательно-симметричных движений в переменных Лагранжа. Установлено, что основная группа является бесконечномерной и по пространственным координатам. Решена задача групповой классификации и получены исключительные значения произвольных функций в лагранжевых координатах (завихренности, момента импульса и плотности), при которых происходит дальнейшее расширение группы.

бы удалось найти, рассматривая уравнения гидродинамики в переменных Эйлера. Доказано, что знаменитые трохоидальные волны Ф. Гёрстнера на поверхности бесконечно глубокой жидкости являются инвариантным решением.

4. Найдены новые симметрии в эйлеровых координатах (для плоского движения в терминах скорость-завихренность и для вращательно - симметричного движения жидкости), им дана физическая интерпретация. Дано групповое обоснование известных экспериментов Дж. И. Тейлора по влиянию сил Кориолиса на движение твердых тел и вихревых колец при двумерных и трехмерных движениях. Для неоднородной жидкости выяснено групповое происхождение преобразования И Цзя-шуня, применяемого для описания стационарных движений стратифицированной жидкости. Построены новые точные решения, имеющие физическую интерпретацию.

5. Показано, что анализ некоторых моделей неоднородной жидкости приводит к исследованию нелинейного неклассического уравнения математической физики третьего порядка. Проведена его групповая классификация по произвольной функции правой части. Получены некоторые точные решения уравнения, в определенной ситуации уравнение линеаризуется.

6. Для уравнений новой модели тепловой конвекции при пониженной гравитации, получен базис бесконечномерной алгебры Ли операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков. Найден ряд точных решений уравнений, иллюстрирующих новые качественные свойства, отличные от свойств классических решений уравнений Обербека-Буссинеска.

7. Проведен групповой анализ уравнений вращательно-симметрической и общей гидродинамической моделей глаза тайфуна в цилиндрических координатах. Вычислены базисы основной алгебры Ли операторов, бесконечномерные и по пространственным переменным. Построены новые точные решения, описывающие вихревые движения и имеющие физическую интерпретацию. Показано, что в лагранжевых координатах исходные уравнения полностью интегрируются в квадратурах для вращательно-симметрического движения и сводятся к одному линейному уравнению первого порядка от трех переменных в общем случае.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Андреев В.К., Родионов A.A.. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифф. уравнения. - 1988. - Т. 24, № 9. - С. 1577-1586.

2. Андреев В.К., Родионов A.A. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 298, № 6. - С. 1358-1361.

3. Андреев В.К., Родионов A.A. Неустойчивость при растяжении цилиндрического слоя жидкости // ПМТФ. - 1992. - № 4. - С. 100-107.

4. Андреев В.К., Родионов A.A. Групповая классификация вращательно-симметричных движений неоднородной жидкости // Вычислительные технологии. - 1993. - Т. 2, № 7. - С. 5-16.

5. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. - Новосибирск: ВО "Наука", 1994. - 320 с.

6. Андреев В.К., Родионов A.A. Группы Ли и точные решения уравнений плоских течений неоднородной жидкости в лагранжевых координатах // Вычислительные технологии. - 1995. - Т. 4, № 6. - С. 11-18.

7. Андреев В.К., Родионов A.A. О некоторых нелинейных волнах в неоднородной жидкости // Вычислительные технологии. - 1997. - Т. 2, № 6. - С. 3-11.

8. Андреев В.К., Родионов A.A. Инвариантные подмодели ранга два для уравнений неоднородной тяжелой жидкости // Диф. уравнения. - 1998. - Т. 34, №8. - С. 1082-1091.

9. Андреев В.К., Родионов A.A. Инвариантные решения ранга два для уравнений вращательно-симметричных движений неоднородной жидкости // ПММ. - 1999. - Т. 63. - Вып. 3. - С. 1082-1092.

10. Андреев В.К., Родионов A.A. Инвариантные решения уравнений микроконвекции, описывающие движения с поверхностью раздела // Труды междунар. конф. RDAMM-2001. - Новосибирск. - 2001. - Т. 6. -Ч. 2. - Спец. выпуск. - С. 54-58.

11. Родионов А.А. Групповой анализ и точные решения уравнений микроконвекции // Вычислительные технологии. - 2001. - Т. 6, № 3. -С. 51-63.

12. Родионов А.А. Групповой анализ и точные решения уравнений плоского движения вязкой жидкости в терминах скорость-завихренность // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8, № 3. - С. 107-118.

13. Андреев В.К., Родионов О точных решениях уравнений гидродинамической модели "глаза" тайфуна // Вычислительные технологии. -2005. - Т. 10, - № 5. - С. 3-11.

14. Андреев В.К., Родионов А.А., Шанько Ю.В. Об интегрированиии уравнений осесимметрической модели "глаза" тайфуна // Диф. уравнения. - 2005. - № 5. - С.1-4 .

15. Родионов А.А. Применение метода группового анализа к уравнениям гидродинамики // Вестник Красноярского гос. университета. Физ.-мат.науки. - 2006. - № 4. - С. 142-146.

16. Andreev V.K., Rodionov А.А. Instability in the Tension of a Cylindrical Layer of Fluid // Plenum Publisihing Corporation, 1992.

17. Andreev V.K., Rodionov A.A. On the axisymmetric motion of nonhomo-geneous fluid // Modelling, Measurement and Control, B, AMSE Press, v. 55, № 4, 1994.

18. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Puckhnachov V.V., Rodionov A.A. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. - Netherlads. Kluver Academic Publishers. - 1998. - 408 p.

19. Andreev V.K., Rodionov A.A. Invariant Solutions of Rank Two of the Equations of the Rotationally-symmetric Motions of an Inhomogeneous Liquid // Pergamon. Elsevier Science Ltd. Great Britain. 0021-898/99. -1999. - P. 359-368.

Подписано в печать , 2009 г. Формат 60 х 84Vi6-Усл. печ. л. 2,0. Тираж 120 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН

660036 Красноярск, Академгородок

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Родионов, Александр Алексеевич

Введение.

Раздел 1. Групповой анализ уравнений двумерных движений идеальной жидкости

1.1. Основная группа в эйлеровых координатах

1.2. Группа Ли для уравнений в лагранжевых координатах.

1.3. Система уравнений при нулевой завихренности

1.4. Инвариантность начальных условий. Групповая классификация

1.5. Система уравнений 3-го порядка. Произвольные лагранжевы координаты

1.6. Примеры нестационарных точных решений

1.6.1. Вихревые движения плоского слоя

1.6.2. Птоломеевские течения

Раздел 2. Уравнения плоских движений неоднородной несжимаемой жидкости.

2.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли

2.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка

2.3. Фактор-системы

2.4. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах

2.5. Точные решения уравнений в эйлеровых координатах

2.6. Точные решения уравнений в лагранжевых координатах . 100 Раздел 3. Плоские движения вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность

3.1. Групповые свойства уравнений в случае постоянной вязкости.

3.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка

3.3. Построение фактор-систем (z/ == const).

3.4. Групповая классификация уравнений по функции вязкости, зависящей от времени.

3.5. Некоторые точные решения .:.

Раздел 4. Групповой анализ уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости

4.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли операторов в эйлеровых координатах

4.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции начального распределения момента импульса

4.2.1. Групповая классификация в общем случае.

4.2.2. Инвариантность начальных условий

4.3. Групповые свойства осесимметричных движений идеальной жидкости

4.3.1. Уравнения в эйлеровых и лагранжевых координатах

4.3.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции завихренности с учетом начальных условий.

4.4. Некоторые точные решения

4.4.1. Инвариантные решения в эйлеровых координатах

4.4.2. Решения в лагранжевых координатах , описывающие движение со свободной границей

Раздел 5. Уравнения вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости.\.

5.1. Алгебра Ли операторов уравнений в эйлеровых координатах

5.2. Оптимальные системы подалгебр

5.2.1. Система первого порядка в\

5.2.2. Система второго порядка #

5.3. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функциям начального распределения плотности и момента импульса.

5.3.1. Групповая классификация в общем случае.

5.3.2. Инвариантность начальных условий

5.4. Примеры точных инвариантных решений.

5.5. Групповой анализ одного неклассического уравнения.

Раздел 6. Групповой анализ уравнений конвективного движения жидкости при пониженной гравитации

6.1. Построение основной алгебры операторов.

6.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка

6.3. Оптимальные системы подалгебр второго порядка

6.4. Построение фактор-систем и решений

Раздел Т. Интегрирование уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна

7.1. Уравнения вращательно-симметрической модели и их групповой анализ

7.2. Точные решения вращательно-симметрической модели

7.3. Лагранжевы координаты

7.4. Уравнения общей модели и основная алгебра операторов

7.5. Некоторые точные решения

7.6. Уравнения общей модели в координатах Лагранжа.

Введение диссертация по математике, на тему "Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики"

Актуальность темы

Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Как заметил ещё Софус Ли, знание группы преобразований, относительно которых инвариантна система уравнений, помогает в определенных случаях находить некоторые (инвариантные) решения этой системы в явном виде. Ли указал способ вычисления для заданных систем дифференциальных уравнений групп преобразований и привел примеры построения инвариантных решений. Этот метод является одним из очень немногих методов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных безотносительно к их типу и происхождению.

Существенное развитие теория Ли групповых свойств дифференциальных уравнений получила в работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, их учеников и последователей /54-57, 44/. Были изучены групповые свойства ряда уравнений механики и физики. Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты Л.В. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия В работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова,

B.В. Пухначева, С.В. Хабирова, Ю.Н. Павловского, А.А. Бучнева, В.О. Бы-тева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа, а также показано, каким образом эти свойства можно использовать для решения физически важных задач В настоящее время наряду с указанными авторами исследование уравнений механики сплошной среды продолжается В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, С.В. Мелешко, С.И. Сенашовым, А.П. Чупахиным,

C.В. Головиным и др.

Современное развитие получила концепция программы ПОДМОДЕЛИ, которая была предложена Л.В. Овсянниковым в 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике. Концепция направлена на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды. Под руководством J1.B. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации этой программы для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, используемых в групповом анализе, а также к расширению его теоретической базы. В частности, были обобщены результаты по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр.

A.А. Бучневым /34/. Структура этой алгебры изучалась в работе С.В. Хабирова /84/. Используя свойства инвариантности уравнений Эйлера, Н.Х. Ибрагимов нашел новые законы сохранения /43/. Некоторые инвариантные решения уравнений Эйлера рассматривались в работах Л.В. Овсянникова /55/, В.И. Налимова, В.В. Пухначева /53/. Групповые свойства и решения уравнения Навье-Стокса исследовались В.О. Бытевым /35/, Л.В. Капитанским /46/, В.В. Пухначевым /60/.

B.К. Андреева /5/. Уравнение состояния было взято политропным. Задача о движении идеальной жидкости при наличии вращательной симметрии была рассмотрена в /63, 64/. А в /65/ аналогичная задача была решена для неоднородной жидкости. Более полная групповая классификация уравнений Эйлера вращающейся жидкости в лагранжевых координатах получена в работах /12, 13, 15/. Для уравнений плоских течений однородной и неоднородной жидкости в лагранжевых координатах группа Ли вычислена в /14, 15, 16/. Там же построены точные решения, описывающие движения со свободными границами. В указанных работах лагранжевы координаты определялись как декартовы координаты жидкой частицы в начальный момент времени.

Для одномерных движений газа часто используются массовые лагран-жевы координаты. При этом новая система состоит из такого же числа уравнений, что и исходная система. В работе /41/ найдена группа для уравнений одномерной магнитной гидродинамики в массовых лагранжевых координатах и построены примеры точных решений. Для системы уравнений газовой динамики с плоскими волнами с учетом теплопроводности и источника (стока) аналогичная задача решена в /36/. Решению задачи групповой классификации для обычных уравнений одномерной газовой динамики, записанной в произвольной системе координат, посвящена работа /38/.

В большой и содержательной работе /29/ развит конструктивный метод построения квазилокальных симметрий, основанный на теории групп Ли-Беклунда. Этот метод, в частности, позволил найти квазилокальные симметрии плоских одномерных движений газа и выявить скрытную симметрию газа Чаплыгина /29, 30, 31/.

Следует также отметить интересную работу /61/, где переход к лагран-жевым массовым координатам применялся для нелинейного уравнения теплопроводности и эволюционных уравнений высших порядков.

Задача о движении идеальной несжимаемой жидкости сводится к отысканию решения уравнений Эйлера где вектор скорости й = (ui, щ, щ), давление р и плотность р суть искомые функции точки пространства х — (x,y,z) и времени t. В уравнении (0.1) d/dt = d/dt + uSJx — оператор полной производной, вектор массовых сил д считается известной функцией от х, t. Индекс "ж" при дифференциальных операторах div и V указывает на то, что операции выполняются по переменным х, у, г.

Уравнения Эйлера (0.1), (0.2) должны удовлетворяться в некоторой области на границе Г которой задаются те или иные граничные условия. Важным в теоретическом и практическом отношении являются задачи, в которых область заранее не фиксирована, но известно, что ее граница Г является свободной. Это означает, во-первых, что нормальная составляющая скорости жидкости в точках границы совпадает со скоростью перемещения самой границы в направлении нормали (кинематическое

0.1) + р divzW = 0,

0.2) условие). Во-вторых, давление на свободной границе пропорционально ее средней кривизне (динамическое условие).

Если искать уравнение свободной границы в виде Tt : f(x,t) = 0, то кинематическое и динамическое условия равносильны уравнениям при / = 0; (0.3) р-ро = 2аК при / = 0. (0.4)

Здесь а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения; К — средняя кривизна свободной границы {К > 0, если Г выпукла наружу жидкости). Величина 2аК в соответствии с формулой Лапласа есть капиллярное давление. Функция po(x,t) является заданной и представляет собой внешнее давление. В ряде задач свободная граница составляет часть всей границы области О. При этом на оставшейся части границы Е выполняется условие непротекания u-v) -пЕ = 0, (0.5) где v — скорость Е, а П£ — ее внешняя нормаль.

Кроме граничных условий к уравнениям (0.1), (0.2) следует присоединить начальные условия, которые состоят в задании области Qq с границей Го, вектора скорости щ и плотности ро при t = 0, причем div щ = 0. Таким образом, u\t=0 = щ{х), p\t=о = А)(®)> dhvu0 = 0, х в Qq. (0.6)

Задача со свободной границей состоит в определении при t > 0 области Qt с границей Г( решения u(x,t), p(x,t), p(x,t) системы (0.1), (0.2) в этой области, так чтобы удовлетворялись условия (О.З)-(О.б).

Необходимость поиска области Qt усугубляет трудности, и без того присущие задаче интегрирования уравнений Эйлера. Специфика кинематического условия (0.3) позволяет преобразовать эту задачу к другой, в которой область определения решения фиксирована заранее. Последнее достигается переходом к лагранжевым координатам. В случае плоской и вращательной симметрии уравнения движения в переменных Лагранжа имеют вид (1.2.3), (4.2.4) для однородной жидкости и (2.4.3), (5.3.3) для стратифицированной жидкости.

Поскольку для любой гладкой функции = f(x(£,t):t), где £ Е

Qo лагранжевы координаты, имеем dh/dt = df/dt, то уравнение свободной границы Tt в лагранжевых координатах есть просто h(£) = /о(0 = 0 о(0 = 0 — уравнение начальной границы Г). Значит, кинематическое условие (0.3) равносильно тому, что точки являются образом точки Г при отображении £ —> £ £ Г. Тогда, если Tt построить как образ

Г при этом отображении, кинематическое условие (0.3) будет выполнено автоматически. Тем самым задача со свободной границей может рассматриваться как задача отыскания отображения t) уже в фиксированной области Соответствующие системы уравнений для трехмерных движений выведены в работах /49, 51/.

Динамическое условие (0.4) также переписывается в переменных Лагранжа (подробности, см. в /6/): где К — средняя кривизна свободной границы в лагранжевых координатах.

Замечание 0.1. Если в граничном условии (0.4) ро = po(t), то преобразование эквивалентности р' = p + po(t) позволяет считать ро = 0.

Замечание 0.2. Для потенциальных внешних массовых сил д = Vxh замена р — р + h приводит к уравнениям Эйлера однородной жидкости (р = const) для функций и, р с д = 0. В этом смысле групповые свойства систем (0.1), (0.2) с д = Vxh и д = 0 одинаковы для однородных жидкостей. Однако указанная замена ие сохраняет динамическое условие (0.4) на свободной границе.

Замечание 0.3. Пусть в (0.1) g = g(t), тогда преобразования являются преобразованиями эквивалентности для (0.1) и в уравнениях можно считать g = 0. Условия на свободной поверхности инвариантны относительно преобразования (0.8). Более того, преобразования (0.8) справедливы для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей при наличии поверхности раздела /25/.

В эйлеровых координатах инвариантные решения для уравнений гидродинамики со свободной границей изучались в работах Л.В. Овсянникова, В.В. Пухначева, В.О. Бытева, С.В. Хабирова, В.М. Меныцикова и других.

Следует отметить, что переход от эйлеровых к лагранжевым координатам — нелокальное преобразование и между группами Ли изучаемых р~р0 = 2аК1 £ £ Г,

0.7) t Т

0 0 о уравнений, вообще говоря, не должно быть изоморфизма. Поэтому группу Ли уравнений Эйлера в лагранжевых координатах необходимо вычислять независимо. Кроме того, в случае плоского и вращательно-симметричного движения уравнения Эйлера частично интегрируются. Новые системы состоят из меньшего числа уравнений, содержат произвольные функции, что делает актуальной задачу групповой классификации.

Метод группового анализа

Дадим краткое описание классических фактов теории группового анализа дифференциальных уравнений, получивших систематическое изложение в работах Л.В. Овсянникова /56/ и Н.Х. Ибрагимова /44/. Представление основных моментов теории приведено для конечномерных пространств.

Локальные группы преобразований. Пусть V — некоторое открытое множество в евклидовом пространстве RN точек ж = (ж1,. ,xN), а Д — открытый шар в r-мерном евклидовом пространстве Rr с центром в точке 0. Рассматриваются гладкие отображения

F : VxA-+Rn,

0.9) которые обладают следующими свойствами:

1) /(ж, 0) = х для любого х Е RN;

2) /(/(ж, а), Ь) = /(ж, </?(а, Ъ)) для любых а, b из некоторого открытого шара А' С А, ж £ У, Отображение ср : А' х А' —Д определяет закон умножения преобразований (0.9);

3) если а Е Д и /(ж, а) = х для всех ж G V, то а = 0;

4) / G C°°(V х Д).

0.10)

Координаты точки а = (а1,. ,а') из А играют роль параметров преобразований ((0.9). Для отображения ip выполняются аксиомы:

1) (р(а, 0) = <р(0, а) = а для любого a Е А';

2) ip(ip(а, 6), с) = <р(а,<р(Ь,с) для любых а, Ь, с Е А', для которых ip(a, Ъ) Е А' и ip(b, с) Е А';

3) (ре С°°(А' х А').

Множество (2, всех преобразований (0.9), удовлетворяющих свойствам(0.2), называется локальной г-параметрической группой Ли локальных преобразовании пространства или просто группой Gr. Каждое преобразование /о € Gr, а Е А, в координатной записи имеет вид ^ = /'(*, a), i=l1.,N. (0.11)

При г = 1 локальная группа Ли называется однопараметрической группой преобразований и обозначается через G\. В дальнейшем это обозначение будет часто использоваться.

Касательное векторное поле. Для отображения / из группы G\ фиксируем точку х Е V. Тогда отображение fx : А —> RN определяет некоторую кривую fx(А) в RN, заданную параметрическим уравнением = /ж(о) = f(x,a), а Е А, и проходящую через точку х. Кривая fx(А) называется орбитой точки х, или Gi-орбитой. Вектор построенный по формуле df(x,a) да daf(x,0), (0.12) а=0 является касательным вектором к орбите fx(А) в точке х. Формула (0.12) определяет касательное векторное поле £ : V —у RN группы G\.

Тесная связь между группой G\ и ее касательным полем устанавливает Теорема Ли. Пусть дано гладкое векторное поле £ : V —> RN. Тогда отображение f, построенное как решение задачи Коши = ?(/). /|„=о =х' (°-13) порождает локальную однопараметрическую группу JIu G\. Обратно, если для группы G\ орбита точки х является интегральной кривой уравнения Ли (0.13), то векторное поле £ является касательным векторным полем группы G\.

Уравнение Ли — основное в групповом анализе и устанавливает взаимно однозначное соответствие с точностью до произвольного ненулевого числового множителя между группой G\ и ее касательным векторным полем.

В координатной записи уравнение (0.13) принимает вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений = C(f\.--JN), Г(х,0) = х\ i = l,.,N, где ^(ж1,., xN) — координаты векторного поля £ = ., £N) в точке х.

Если для каждой однопараметрической подгруппы группы Gr построить соответствующее касательное векторное поле, то эти поля образуют r-мерное векторное пространстве Lr.

Инфинитезималъный оператор. Пусть / : V х Д —> RN есть отображение, порождающее группу Gr. Рассмотрим дифференцируемое отображение F : RN —RM на Gi-орбите точки х 6 V С RN. Изменение значений F в точке а = 0 дается формулой dF(f(x,a))\a=0 = daf(x,0)dF=(t-d)F(x) (0.14) и называется производной Ли отображения F относительно группы G\.

Линейный дифференциальный оператор £ • д, действующий на отображение F по формуле (0.14), обозначается символом X и в координатной записи имеет вид = ^ s ^ •

Оператор X называется инфинитезималъным оператором группы G\. Координаты £г касательного векторного поля £ = • • •, называются также координатами инфинитезималыюго оператора £ • д.

Взаимно однозначное соответствие между группой G\ и касательным векторным полем между касательным полем £ и оператором X приводит к взаимно однозначному соответствию между группой G\ и оператором X (G\ -f* X). Инфинитезимальный оператор считается определенным с точностью до произвольного ненулевого числового множителя.

Алгебра Ли операторов. Векторное пространство L, в котором задан билинейный закон умножения [а, 6], называемый коммутатором элементов a, b 6Е удовлетворяющий свойству антисимметричности [а, 6] = —[6, а] и тождеству Якоби [[а, Ь], с] + [[&, с], а] + [[с, а], Ь] — 0, называется алгеброй Ли.

Рассмотрим r-параметрическую группу Gr преобразований (0.9) и соответствующее ей r-мерное векторное пространство Ьг касательных векторов. Коммутатором векторных полей £i, £2 £ Lr называется векторное поле, обозначаемое символом [£i, £2] и определяемое формулой

Кь 6] - (£1 • д)Ь - (£2 . д)Ь = - (0-15) где £1, £2 — производные отображений £1, £2 : RN —> RN • Векторное пространство Lr является алгеброй Ли относительно умножения (0.15).

Для соответствующих инфинитезимальных операторов = £1 • д = = ■ di, Х2 = £2 • д = £2 " задается оператор [Xi, Х2], называемый коммутатором операторов Xi, Х2, и выражается формулой

ХЪХ2] = Х,Х2 - = Кь 6] ■ д = (Хх(Й) - (0.16)

Итак, закон умножения (0.16) определяет понятие алгебры Ли ЬГ инфинитезимальных операторов. Каждой группе Gr устанавливается взаимно однозначно алгебра векторных полей £ и операторов X (Gr -Н- Lr). В качестве базиса алгебры Lr операторов можно взять операторы

Xa = €a{x)di, а = 1 которые образуют замкнутую систему относительно операции коммутации.

Размерностью алгебры Ли операторов L называется размерность L как векторного пространства.

Алгебра Ли L называется коммутативной, если [£1,^2] = 0 для любых £2 е L.

Подпространство V С L называется подалгеброй в Ь, если [£i,£2] £ L' для любых £1, £2 £ L'.

Подалгебра Ли L' С L называется идеалом, если для любых £' Е L' и £ £ L коммутатор [£',£] £ L'.

Вещественные постоянные С^, определяемые выражением

Xi, Хт] = CfmXk, Xi, Хт: Xk Е L, называются структурными константами алгебры операторов L.

Инвариантные многообразия. Переход от группы Gr к соответствующей алгебре Ли L связан с изучением инвариантности свойств различных объектов. Отображение F : RN —> RM свойств называется инвариантом группы Gr преобразований (0.9) в RN, если F(x) является неподвижным элементом на GV-орбите каждой точки х € RN, т. е. F(f(x, а)) = F(x).

Имеет место критерий инвариантов. Отображение F : RN —> RM, F ^ const, класса C1(RN) является инвариантом группы Gr, если и только если для любого х G RN выполнена система дифференциальных уравнений

XaF{x) = (& ■ di)F(x) = 0, а = 1,., г, (0.17) где £га, i = I,., N, — координаты базисных векторных полей алгебры Ли группы Gr.

Число решений уравнения (0.17) определяется величиной r*(£) = rank = rank

Й ■ fr1 •

0.18)

Если г* < N, то система (0.17) имеет (N — г*) функционально независимых решений, которые образуют базис инвариантов группы Gr. При г* = N группа Gr не имеет инвариантов и называется транзитивной. Многообразие Ф С RN, заданное уравнениями ф{х) = 0, ф = (0.19) называется инвариантным многообразием группы Gr, если для любого жбФи для любого преобразования fa G Gr следует, что fa(x) = f(x, a) G Ф, другими словами, орбита любой точки х G Ф содержится в Ф.

Многообразие Ф, регулярно заданное уравнениями (0.19) (т. е. rank Ф = — N — s), инвариантно относительно группы Gr, если и только если

Хафа(х) = ■ д)фа(х) = 0, а = 1 (7 = 1,., 5, (0.20) для всех точек этого многообразия.

Многообразие Ф С RN называется неособым многообразием (относительно группы G>), если г*(£|ф) = г*(£). Если г*(£|ф) < г*(£), то многообразие Ф называется особым.

Пусть г*(£) постоянен в некоторой окрестности неособого многообразия Ф и меньше N. Пусть Ji(x),., Jw-r(x) — базис инвариантов группы Gr. Тогда задание инвариантного многообразия Ф группы Gr уравнением (0.19) может быть реализовано в виде = (0.21) 14

Так как С?г-орбита содержится в Ф для любой точки ж 6 Ф, то г* ^ iV — s. Рангом многообразия Ф С RN относительно группы Gr называется ранг его орбиты /(Ф,Д) и обозначается символом /?(Ф, Gr). Уравнение (0.21) представляет (N — б)-мерное многообразие Ф С RN как многообразие размерности р = N — s — г* в пространстве инвариантов Ji,., «/дт-г,

Для многообразия Ф С RN Gr-орбита является минимальным инвариантным относительно Gr многообразием, содержащим Ф как подмногообразие. Дефектом многообразия Ф С RN относительно группы Gr называется число

S(Ф, Gr) = dim /(Ф, Д) - dim Ф. (0.22)

Число S дает количественную характеристику того, насколько не инвариантным является Ф относительно группы Gr. Инвариантные многообразия характеризуются условием (5 = 0. Дефект многообразия, заданного уравнением (0.19), равен

5 = rank дфк(х) к — 1,., 5, ф дх1 где {£а} — базис векторных полей операторов группы Gr.

Ранг (N — s)-MepHoro многообразия, имеющего дефект равен p = N-s-r* + 6, (0.23) причем 5 может принимать любые целые значения, удовлетворяющие условиям max{r* -7V + s,0} < S ^ min{r*,s- 1}. (0.24)

Продолжение группы и оператора. Одним из наиболее существенных приложений теории групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений.

Пусть участвующие в рассмотрении, переменные подразделяются на независимые х = (ж1,., хп) Е Rn и зависимые и = (гг1,., ит) Е Rm переменные. Рассмотрим однопараметрическую группу G\ преобразований

X11 = fl(x,U, a), fl\ п = Х1, г = 1, . 77-,

J К ' ; J |а=0 (0.25) и'а = да(х,и,а): 9а\а=0 = иаос = 1,., т, в пространстве Rn+m переменных х, /, да Е C°°(Rn+m X Д). Оператор группы G\ в этом случае имеет вид

Г\ Г\

Х = £Эх + иди = ё(х, Г)а(х, и)— , (0.26) где е = daf{x, и, 0), 77" = дада(х, и, 0).

Оператором полного дифференцирования по переменной хг называется дифференциальный оператор вида + + - + (а27)

Каждое отображение и : Rn —Rm класса C°°(i?n) продолжается до к отображений и : Rn —>> Rnm,.:u : Rn —>• Rnm. Это отображение осу-1 к ществляется с помощью операторов дифференцирования действующих по формуле

Г дк(иа) 1 и = {дкхи} = ^ дхк dxik о; = 1,., m; iu ., ik = 1,., nj, k = 1,2,.

Для образований (0.25) определяется fc-e продолжение преобразований

1 к 1 к где отображения v = v[x, и,и}. ,u),l — 1,., fc, в более подробной записи имеют вид

U = у (з.«> Y' • • •' Y» а)' У fi.i,|a=0 = uS.ii> * = (0-28)

Отображения у находятся из рекуррентных формул v-Df = Dg, v • D f — D v , 1 = 2,.,к, i i i i i i i-i где = + = — усеченные операторы полного дифi i i i-i i i ференцирования (0.45), оператор дифференцирования д следует понимать как вектор с координатами ди? .= 9 г1"Л1 dulA[

В результате получается однопараметрическая группа G i преобразований к

0.25)), (0.46), которая называется к-м продолжением группы G\. Касательный вектор продолженной группы G\ записывается так: к к 1 к 16

Все компоненты "Л (I = 1,., к) выражаются через 77 с помощью формул продолжения векторного поля £ = rj = D v -U-DZ, 1 = 1,.т? = 77. (0.29) i i i~i i i о

В частности, Vf — D i{r)a) - uj Di(t;j), здесь ъ д , P д ■ 1 1

Продолженным оператором, или к-м продолжением оператора (0.44), называется оператор

Х = £-д = £-дх + т1-ди + г1.д+. + ,П-д. (0.30) к к 11 к к

Дифференциальным инвариантом порядка к группы G\ называется инвариант группы G1, зависящий от вектора и. В силу критерия (0.17) все к дифференциальные инварианты F группы G\ порядка не выше чем к являются решением дифференциального уравнения

XF = ((-d)F(x,u,u,.,u) = 0, к к 1 к в котором X — продолженный оператор (0.48). к

Определяющие уравнения. Пусть в пространстве переменных (ж, и1 и1., и), где х £ Rn, и £ Rm, и,1 — 1,.,к, — продолженные отобра

1 к I жения, рассматривается многообразие Е, заданное уравнениями в частных производных ф, и, и,., и) = 0, е = (г1,., es) в Rs. (0.31)

1 /с

Многообразие Е называется дифференциальным инвариантным многообразием группы Gi, определяемой преобразованиями (0.25), если оно является инвариантным многообразием группы Gilt

Задача об отыскании всех групп G\, допускаемых системой Е, рассматривается в предположении, что отображение е принадлежит классу С°° своих аргументов, а многообразие Е задано уравнением (0.49) регулярно. В этом случае может быть применен критерий инвариантности (0.20) многообразия Е относительно преобразования группы G\. Он дает необходимые и достаточные условия инвариантности Е относительно G\

Условие (0.32) рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля £ = (С)7?)- Из формул (0.47), (0.48) следует, что (0.32) есть система линейных однородных дифференциальных уравнений относительно координат £(х,и), г)(х,и) оператора X (0.44). Величины х,и,и,. ,и в (0.32) играют роль независимых переменных, связан-1 к ных только соотношениями (0.49). Переход на многообразие Е в (0.32) связан с тем, что в (0.49) выбирается s различных координат вектора и,., и), относительно которых уравнения могут быть "алгебраически" 1 к решены, с дальнейшей подстановкой в (0.32). Условие (0.32) должно выполняться по всем "свободным" переменным. Это приводит к тому, что уравнения (0.32) реализуются как переопределенная система дифференциальных уравнений относительно г).

Уравнения (0.32) называются определяющими и обозначаются символом DE. Множество всех решений £ — уравнений (0.32) образует алгебру Ли, а соответствующая этой алгебре локальная группа Ли представляет наиболее широкую группу преобразований пространства Rn+m, допускаемую системой (0.49).

Инвариантные и частично инвариантные решения. Пусть Gr — максимальная группа, допускаемая уравнениями Е из (0.49). Каждое решение уравнения Е есть отображение Rn —У Rm. Множество всех решений класса C°°(V) на открытом множестве V С R71 обозначим символом SE. Фундаментальное свойство уравнения Е состоит в том, что под действием любого преобразования из Gr каждое решение и 6 SE преобразуется в решение того же уравнения Е.

Всякое решение и — и(х) можно трактовать как n-мерное многообразие U в (п + ш)-мерном пространстве переменных (х, и), заданное уравнением

Если уравнение Е допускает группу G>, то оно допускает и любую подгруппу Н С Gr. Решение и G SE называется инвариантным Н-решением уравнения Е, если соответствующее ему многообразие U С Rn+m является инвариантным многообразием группы Н.

0.32)

U : и — и{х) = 0.

0.33)

Пусть 7% = г* (С) — общий ранг касательного отображения £ группы Н. Решение и уравнения Е будет неособым по отношению к группе Н, если ранг г* сохраняется на многообразии U, т. е. г* = (С\и) — г*- Предполагаем, что U — неособое многообразие относительно Н.

Алгоритм построения инвариантных решений уравнения Е включает в себя несколько этапов: а) пусть Н — r-параметрическая группа, {(£а, r)a), а = 1,., г} — базис алгебры Ли этой группы. Предположим, что г* = (£а>?7а) < п (0.18). Выбираем базис инвариантов группы Н

Ji(x,u),., Jn+mr.(a;,u); (0.34) б) проверяется необходимое условие существования неособых инвариантных //"-решений уравнения Е, а именно: г* ^ п, г* = (С) = г*; (0.35) в) согласно (0.21) неособые инвариантные решения (0.33) ищутся в виде

Фа( Jh ., Jn+mrJ = 0, а = 1,., т. (0.36)

Для того чтобы многообразие (0.36) можно было записать в разрешенном виде (0.33), инварианты (0.34) должны быть независимы по отношению к переменным и, т. е. dJi rank —j- = га, (0.37) что является следствием (0.35). За новые "искомые функции" принимаются т инвариантов, удовлетворяющих (0.37), а оставшиеся (п—г*) инвариантов принимаются за "независимые переменные"; г) для любой группы Н, допускаемой системой Е и удовлетворяющей условиям (0.35), определяется преобразование системы Е в фактор-систему Е/Н. Фактор-система Е/Н обладает важным свойством: ее "искомые функции" зависят от меньшего, чем в исходной системе, числа "независимых переменных".

Число р = п—г* называется рангом инвариантных решений. Если р = 0, то фактор-система Е/Н является системой конечных (не дифференциальных) уравнений, если р — 1, то системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отметим, что существование инвариантных Я^-решений не гарантируется фактор-системой Е/Н.

Построение частично инвариантных решений расширяет возможности дальнейшего поиска частных решений дифференциальных уравнений.

Решение и 6 SE называется частично инвариантным Н-решением уравнения заданного (0.49), если многообразие-решение U является частично инвариантным многообразием группы Н, допускаемой уравнением Е.

Согласно (0.22), (0.23) многообразие U характеризуется двумя целочисленными величинами, а именно рангом р = p(U, Н) и дефектом 6 = S(U, Н) соответствующего частично инвариантного решения.

Необходимым условием существования , частично инвариантных iJ-решений ранга р ^ п — 1 являются неравенства на дефект <5 max{r* — п, 0} ^ 5 ^ mm{r* — 1, т — 1}, причем т — 5 ^ rank\\dJi/duk\\, где {Ji} ~ базис инвариантов группы Н.

Алгоритм построения частично инвариантных решений аналогичен алгоритму построения инвариантных решений.

Групповая классификация. Большую роль в прикладных вопросах играет задача групповой классификации дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения часто содержат некоторый произвол, выражающийся в зависимости уравнений от параметров или функций (от произвольного элемента). Групповой подход позволяет принять требование на выбор произвольного элемента, чтобы при соответствующем выборе этого элемента моделирующее дифференциальное уравнение допускало группу с определенными свойствами или наиболее широкую группу преобразований.

Пусть определено отображение в : Rn х Rm —У R\ действующее по формуле t = 9(х,и). Уравнение вида е(9,г) = е(е(х,и),х,и,и,.,и) = 0, z = (x,u,u,.1u), (0.38)

К х rZ tZ л. К где е = (е1,. ,es) Е Rs, называется уравнением с произвольным элементом в и обозначается символом Е(9).

При исследовании (0.38), во-первых, надо привести уравнение к возможно более простому виду, т. е. за счет преобразования подобия (см. /56, с. 76/) уменьшить произвол, содержащийся в системе Е{9). На практике предварительное упрощение уравнения за счет подходящего преобразования подобия есть не что иное, как классическая "замена переменных", которая не влияет на групповые свойства дифференциальных уравнений.

Во-вторых, для задачи групповой классификации существенно определение таких преобразований, которые действуют только на произвольный элемент 9, сохраняя структуру дифференциальной системы Е(в). Такие преобразования называются преобразованиями эквивалентности. Они образуют группу G(t).

Отыскание преобразований эквивалентности для уравнения E(t): e(t, z) — 0 осуществляется из условия инвариантности (0.32) многообразия E(t), считая t независимым элементом: т. ft)e (*,*) +(c-a)e(t,f) 0. (0.39) т

Здесь

T-dt + (-d = T-dt + £-dx + r)'du + V-d + . + 'n-d к 11 к к есть оператор какой-либо группы из G(t).

Пусть G(9) — основная группа уравнения Е(9), заданного равенством (0.38). Группа G0, равная пересечению всех групп G(9), когда в пробегает множество всех отображений Rn х Rm —у R\ называется ядром основной группы. Группа G0 допускается уравнением Е{9) с любым произвольным элементом в. Каждая группа G{9) является расширением группы G° С G{9). Ядро основной группы G0 содержится в группе эквивалентности G(t).

Каждое конкретное отображение 9 : Rn х Rm Rl называется специализацией произвольного элемента.

Задача групповой классификации состоит в следующем: для класса дифференциальных уравнений Е{9) найти ядро основной группы

G0 и все специализации произвольного элемента 9, дающие расширение группы G0.

Описание процесса решения задачи классификации.

1. Строится условие инвариантности уравнения Е(9) относительно группы G\ с касательным вектором £ =

С . д)9(х, u))dte (в(х, м), г) + (С ■ д)е (в(х, и), С 0, (0.40) т которое расщепляется относительно "свободных" координат векторов приводит к определяющим уравнениям DE{9).

1 к

2. Предположение о произвольности в (и производных 89) в определяющих уравнениях DE{9) дает дальнейшее расщепление уравнений. Множество решений 9 образует пространство векторных полей L0, которое соответствует ядру основной группы G0. Пространство L0 задается указанием его базиса.

3. Далее решается система определяющих уравнений DE(9), которая является переопределенной. При разрешении условий совместности системы DE{9) возникают уравнения, содержащие только произвольный элемент в. Эти уравнения называются классифицирующими. Для каждого 9, удовлетворяющего классифицирующим уравнениям, получается некоторое пространство L{9) векторных полей, касательных к группам Gi, которые допускают уравнения Е(9). Каждое пространство L(9) содержит L0 и задается базисными векторами, дополняющими L0.

4. Классификация получаемых решений уравнений DE{9) выполняется по признаку эквивалентности относительно действия группы G(t), которая строится предварительно. Из каждого класса эквивалентных решений отбирается их типичный представитель, имеющий наиболее простой аналитический вид.

5. Итогом решения задачи групповой классификации уравнении Е{9) является таблица выбранных представителей элемента в(х,и) и соответствующих пространств векторных полей L{9), представленных в виде базисных операторов.

Оптимальные системы подалгебр. Пусть L — конечномерная алгебра Ли. Каждому элементу г) 6 L соответствует линейное отображение ad(r]) : L —У L, действующее по формуле еч(0 = аад(е> = К> V] (0.41) для любого £ е L.

Отображение ad(rj) задает семейство S векторных полей и называется присоединенным к 77 отображением, или внутренним дифференцированием алгебры Ли L.

Совокупность £ всех внутренних дифференцирований является алгеброй Ли с коммутатором [ad((), ad(r])] = ad([C,rj\) и называется присоединенной алгеброй алгебры Ли L. Присоединенная алгебра Е изоморфна алгебре Ли L.

Алгебру Ли £ можно рассматривать как алгебру Ли операторов, вводя вместо векторных полей ad{rj) операторы вида eT1(0-d = ad(r]m-d = l^rI}-d. (0.42)

По теореме Ли каждому векторному полю ец Е £ соответствует однопара-метрическая группа G\{en) преобразований пространства L. Производящее отображение этой группы определяется задачей dt£' = [£', 77], обозначается символом Av(t) и действует по формуле i=0

Оно e = AT1(t)(0 = exp(tad(r])){0. (0.43)

Преобразования (0.43) пространства L удовлетворяют равенствам и называются внутренними автоморфизмами алгебры Ли L.

Внутренним автоморфизмом группы G называется преобразование, определяемое формулой д' — hagh~l, ha Е G.

Группа преобразований пространства L, порожденная преобразованиями A^t), принадлежащими всевозможным группам Gi(e^), является группой внутренних автоморфизмов алгебры Ли L и обозначается IntL.

Пусть {Xi,., Хг} — базис операторов в Lr со структурными константами Ск. Если в этом базисе положить X = x^Xj, где х = (ж1,., хт) — вектор координат элемента X, то согласно (0.41) внутреннее дифференцирование в Lt запишется через структурные константы: е{(Х) = [X, Х{] = С^Хк, i = 1,., г.

Соотношение коммутации для векторных полей е^ определяется теми же структурными константами Cfj. Следовательно, векторное пространство 8 элементов ег- наделяется структурой алгебры Ли, изоморфной Ьг. Инфи-нитезимальные операторы (0.42) в этом случае строятся по правилу

А{ = C^xWxk, i = 1,., г, и задают базис операторов Ли группы внутренних автоморфизмов IntLr.

Операторы Ai определяют группу линейных преобразований, действующих в пространстве векторов х = (ж1,., хг), координат операторов X и сохраняющих структуру алгебры Ли Lr.

Пусть Gi(ei) — однопараметрическая группа, порожденная оператором А{. Автоморфизмы Ai(t) 6Е Gi(el) представляются матрицей Ai(t) и действуют по формуле, равносильной (0.43), xli = A\{t)xl, г = 1,., г.

Две подалгебры N и алгебры Ли Lr называются подобными, если существует внутренний автоморфизм А 6 IntLr такой, что A(N) = М. Тем самым все подалгебры данной алгебры Ли разбиваются на классы неподобных подалгебр. Для группового анализа дифференциальных уравнений существенна задача о перечислении всех подалгебр данной алгебры Lr.

Совокупность представителей классов подобных подалгебр данной размерности s называется оптимальной системой (порядка s) и обозначается символом 6S.

Итогом решения задачи перечисления всех неподобных подалгебр алгебры Lr должна быть таблица оптимальных систем 0S (s = 1,., г — 1).

При решении поставленной задачи можно считать известной группу IntLr, которая строится предварительно.

Две подгруппы Н и Н' группы Gr подобны, если существует такой внутренний автоморфизм группы Gr, который переводит Н в Н'. Учитывая соответствие между подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, можно считать задачу построения оптимальной системы подгрупп группы Gr решенной, если решена задача построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли.

Построение оптимальной системы в\, как правило, осуществляется простым подбором подходящих преобразований из Intl/r с целью добиться максимально возможного упрощения набора (ж'1,., ж/г) координат вектора ж'.

При построении оптимальной системы в& (к > 1) более высокого порядка можно предполагать, что оптимальная система вk получается путем расширения элементов из в к-1 до ^-мерной подалгебры (с последующим исключением подобных подалгебр).

К вопросу построения оптимальных систем в8 непосредственно примыкает задача построения существенно различных инвариантных решений для системы уравнений.

Решения щ, u<i 6 SE называются существенно различными (относительно группы G), если в G нет преобразования, которое переводит одно решение в другое.

Известно, что каждое инвариантное Н-решение под действием любого преобразования из G переходит в инвариантное решение подобной подгруппы с сохранением ранга решения. Поэтому существенно различные инвариантные решения получаются относительно неподобных подгрупп.

Имеет место следующая схема построения оптимальной системы инвариантных Д-решений уравнения Е: а) требуется найти все оптимальные системы 9S (s = 1,., г — 1); б) из всех подгрупп (подалгебр) надо отобрать те подгруппы Я, для которых выполнены необходимые условия существования инвариантных Д-решений; в) для каждой из выбранных подгрупп определить вид инвариантного Я-решения и построить фактор-систему Е/Н.

Цель работы

Групповой анализ и групповая классификация. уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии, уравнений вязкой жидкости в терминах скорость - завихренность, когда вязкость есть функция времени, уравнений микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна, построение оптимальных систем подалгебр, а также нахождение новых точных решений и их физическая интерпретации.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах. Найдено преобразование эквивалентности, которое исключает из рассмотрения в уравнениях движения зависящие от времени внешние силы, однако оставляющее инвариантными* условия на свободной границе. Впервые предпринято системное изучение групповых свойств уравнений идеальной однородной и неоднородной жидкости при наличии плоской и вращательной симметрии в лагранжевых координатах. Проведен групповой анализ уравнений новой модели конвекции и гидродинамической модели глаза тайфуна. Найдены классы новых точных решений указанных моделей гидродинамики.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что: проведен групповой анализ уравнений гидродинамики в координатах Эйлера при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, уравнений новой модели микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна; построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков; решена задача групповой классификации уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность, когда коэффициент вязкости зависит от времени. Для каждого случая специализации вязкости найдена основная алгебра Ли базисных операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого порядка; решена задача групповой классификации уравнений в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, а также для уравнений с осевой симметрией. Установлено, что уравнения в лагранжевых координатах обладают более широкой группой преобразований, чем уравнения в координатах Эйлера; доказано, что в лагранжевых координатах система уравнений модели глаза тайфуна интегрируется полностью (при вращательной симметрии) и частично (для общей модели); для всех рассматриваемых систем уравнений построен ряд новых (или обобщающих известные) точных решений, имеющих физическую* интерпретацию, описывающих нестационарные вихревые движения жидкости со свободными или твердыми границами; найденные новые симметрии существенно расширяют знания о качественных свойствах уравнений гидродинамики, а построенные точные решения могут быть использованы как модельные, например - при сравнительном анализе численных методов.

Апробация работы

Результаты по теме диссертации были доложены на: