Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи Чиркунов Юрий Александрович

ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

/Р. Ъи^иЛ

2 6 НОЯ 2009

Новосибирск - 2009

003484824

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Официальные оппоненты: член - корреспондент РАН

доктор физико - математических наук профессор В. В. Пухначев

доктор физико - математических наук профессор С. В. Хабиров

доктор физико - математических наук С. Б. Медведев

Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Защита состоится 24 декабря 2009 г. в 15-00 на заседании Диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан /2 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м.н.

В. Л. Мирошниченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Во второй половине XIX в. норвежский математик Софус Ли начал систематически исследовать непрерывные группы преобразований, называемые теперь группами Ли. Теория групп Ли долгое время оставалась в стороне от возможных приложений к дифференциальным уравнениям математической физики. Начиная с середины прошлого столетия исследования, выполненные Л. В. Овсянниковым его учениками и последователями: Н. X. Ибрагимовым, В. В. Пухначевым, В. М. Тешуковым, С. В. Хабировым, Ю. Н. Павловским, О. В. Капцовым, А. П. Чупахиным, В. М. Меныциковым, А. В. Аксеновым, В. К. Андреевым, С. В. Мелешко, П. Олвером, Б. Д. Анниным, В. И. Фущичем, В. О Бытевым, Р. Л. Андерсоном, Р. К. Газизовым, Е. В. Мамонтовым и другими, показали, что методы теории групп Ли являются эффективным способом изучения структуры множества решений дифференциальных уравнений. В настоящее время это математическое направление получило название группового анализа дифференциальных уравнений. Основные понятия и алгоритмы современного группового анализа дифференциальных уравнений читатель может найти в

1 2 3

известных книгах Л.В. Овсянникова , Н.Х. Ибрагимова , П. Олвера .

В настоящей диссертации приведены результаты, полученные автором в области группового анализа некоторых классов линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений математической физики.

Актуальность темы обусловлена тем, что математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Информация о структуре операторов, допускаемых дифференциальным уравнением, и его законах сохранения существенно упрощает как отыскание этих операторов и законов

Л.В Овсянникоа. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука. 1978

2

Н.Х. Ибрагимов Группы преобразований в математической физике. - М.: Наука. 1983. 3 П. Олвер Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. - М.: Мир. 19И9.

сохранения, так и поиск решений данного уравнения. Групповая классификация и классификация дифференциальных уравнений по законам сохранения позволяют, в частности, выявить значения и формы экспериментально определяемых физических величин и зависимостей наиболее перспективных с точки зрения математического исследования; получить новые физические величины, сохраняющиеся с течением времени.

Целью работы является решение следующих проблем:

- Исследование проблемы линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений, относящейся к

4

индуцированному работой Л. В. Овсянникова новому направлению исследований в области группового анализа дифференциальных уравнений.

- Изучение структуры касательных преобразований, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, точечных преобразований, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, законов сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка; классификация по законам сохранения первого порядка линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

- Решение задачи групповой классификации систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных.

Групповой анализ системы уравнений Ламе классической динамической и статической теории упругости. Групповое расслоение этих уравнений относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы.

- Групповой анализ квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина.

4

Л.В Овсянников. О свойстве дг-автономии // Докл. АН. 1993. Т. 330. № 5. С. 559-561.

- Исследование вопроса о взаимосвязи между групповыми свойствами и законами сохранения для систем дифференциальных уравнений; отыскание всех законов сохранения нулевого порядка для уравнений Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости, для уравнений движения газа, для уравнений изэнтропического движения газа (при этом во всех случаях рассматриваются также уравнения, описывающие соответствующие безвихревые движения, как с потенциалом вектор а скорости, так и без этого потенциала). Выяснение групповой природы расширения множества законов сохранения для рассматриваемых систем дифференциальных уравнений.

- Исследование методами группового анализа системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука - одной из подмоделей газовой динамики, получившей несчастливый номер 13 в основополагающей работе5 Л.В. Овсянникова, в которой было начато систематическое изучение подмоделей газовой динамики.

- Групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики (Программа «Подмодели», руководитель: академик Л.В. Овсянников).

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту:

- Впервые получены необходимые и достаточные условия х-автономности основной алгебры Ли комплексной системы линейных дифференциальных уравнений, которые для комплексной квазилинейной системы становятся достаточными условиями х-автономности основной алгебры Ли.

- Впервые получены достаточные условия линейной автономности всех операторов, допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений.

- Впервые предложен алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно х- автономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли.

5

Л.В Овсянников. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика// ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 30-55.

Впервые получены структурные теоремы: о касательных преобразованиях, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о точечных преобразованиях, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о законах сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, о законах сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка; выполнена классификация по законам сохранения первого порядка линейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

- Впервые выполнена групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных. Тем самым, решена в простейшем случае одна из задач группового анализа, поставленная Л.В. Овсянниковым (1974).

- Впервые выполнен групповой анализ системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости. Найдена основная группа Ли преобразований этой системы. Выполнено групповое расслоение уравнений Ламе относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы. Разрешающая система (ЯЬ) этого расслоения, включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Получена конформно-инвариантная система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде, содержащая наименьшее число дополнительных функций. Комплексификация этой системы позволяет получить новые классы точных решений уравнений Ламе.

- Впервые выполнен групповой анализ системы я-мерных (и >2)

уравнений Ламе классической статической теории упругости. Найдена

6

основная группа Ли преобразований этих уравнений. Выполнено групповое расслоение относительно бесконечной подгруппы из нормального делителя их основной группы. Получено общее решение автоморфной системы, которое является «-мерным аналогом формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. В двумерном случае разрешающая система совпадает с системой Коши-Римана, что и позволяет успешно применять методы теории функций комплексной переменной в плоских задачах статической теории упругости. Структура разрешающей системы в трехмерном случае позволяет естественным образом ввести комплексные переменные. Полученная комплексная система дает возможность получать новые классы точных решений разрешающей системы, а, следовательно, и уравнений Ламе.

- Впервые выполнена групповая классификация квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина, относительно произвольного элемента: напряжения и коэффициента вязкости. Указаны краевые задачи, для которых полученные решения могут служить в качестве тестовых решений.

- Предложен новый метод, названный методом А-операторов, получения всех, законов сохранения для системы дифференциальных уравнений. Эффективность метода А -операторов показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики, для которых найдены новые законы сохранения. Установлено, с какими дополнительными свойствами симметрии рассматриваемых уравнений связаны эти законы сохранения.

- Впервые исследована методами группового анализа одна из подмоделей газовой динамики, а именно: система уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести л-мерную(я > 2) систему уравнений газовой динамики

с нулевой скоростью звука к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей (п -1) пространственных переменных, которая, в частности, при п = 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.

Впервые проведена групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики (Программа «Подмодели», руководитель: академик Л.В. Овсянников). Найдены все случаи расширения основной группы каждой из этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором.

Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты носят общий характер и могут быть использованы при аналитическом и численном исследовании различных задач математической физики, связанных с решением дифференциальных уравнений. В частности, значимость работы состоит в следующем:

- Предложенный алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно Х- автономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли значительно упрощает отыскание основной алгебры Ли рассматриваемой системы.

- Структурные теоремы: о касательных преобразованиях, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка; о точечных преобразованиях, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка; о законах сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка; о законах сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - дают возможность получения информации о свойствах указанных объектов для рассматриваемых уравнений без непосредственных вычислений.

- Выполненная групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных является решением одной из задач группового

8

анализа, поставленной Л.В. Овсянниковым.

- Выполненное групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости привело к эквивалентной им системе (У?/.) линейных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащей наименьшее число дополнительных функций и включающей в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Найденный в плоском случае общий вид находящихся в инволюции систем, полученных добавлением к уравнениям системы (/?/.) одной или двух дифференциальных связей, уменьшает число параметрических производных, тем самым сужает произвол в решении этой системы, что упрощает отыскание ее точных решений. Полученная конформно-инвариантная система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде, содержащая наименьшее число дополнительных функций позволяет получать новые классы точных решений уравнений Ламе.

- Выполненное групповое расслоение п -мерных («> 2) уравнений

Ламе классической статической теории упругости позволило перейти от уравнений Ламе к равносильному им объединению двух систем первого порядка: автоморфной и разрешающей. Полученное общее решение автоморфной системы является /2-мерным аналогом формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. Комплексификация разрешающей системы дает возможность получать новые классы точных решений уравнений Ламе.

- Полученные точные решения квазилинейного дифференциального

уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания

вязкоупругого стержня в модели Кельвина могут служить в качестве тестовых

9

решений при численном решении соответствующих краевых задач.

- Предложенный новый метод, названный методом А -операторов, позволяет получить все законы сохранения для системы дифференциальных уравнений из одного ее закона сохранения нулевого порядка, имеющего ранг, равный числу независимых переменных системы.

- Результаты классификации уравнений газовой динамики по законам сохранения могут быть использованы, например, при решении краевых задач для этих уравнений с помощью консервативных разностных схем.

- Результаты группового анализа системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука могут быть использованы, например, при моделировании движения очень холодного газа или для описания движения газа перед фронтам очень сильной ударной волны.

- Выполненная групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики позволила выделить подмодели с более широкой, чем соответствующий нормализатор, основной группой. В частности, получена групповая интерпретация известного преобразования М. Мунка и Р. Прима, которое позволяет преобразовать любое непрерывное стационарное решение с уравнением состояния р = И(р5) либо в изэнтропическое, либо в

изодинамическое решения.

Методы исследования: в работе были использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аналитические методы теории дифференциальных уравнений.

Достоверность полученных результатов . определяется применением строгих математических методов, математическими доказательствами полученных формул, совпадением их для частных случаев с известными формулами, а также физической интерпретацией полученных закономерностей.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:

Ю

- Школа-семинар "Математические методы и механике", посвященная 70-летию академика JI. В. Овсянникова. (Новосибирск. Россия. 1989).

- "Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics" (Varna, Bulgarian Academy of Sciences. National Committee of Theoretical and Applied Mechanics. Bulgaria. 1989).

- Международный семинар "Современный групповой анализ" (International Workshop "Modern Group Analysis"). (Уфа. Россия. 1991).

- IV Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова. (Абрау - Дюрсо. Россия. 2003).

- Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посзященная 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. (Новосибирск. Россия. 2009).

- Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова. (Новосибирск. Россия. 2009).

- Международная научная конференция ''Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященная памяти академика А. А. Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения. (Москва. МГУ им. Ломоносова, ИПМ РАН, ИММ РАН. Россия. 2009).

- International Conference "Modern Group Analysis (MOGRAN-13)". (Ufa, Russia. 2009).

- Всероссийская конференция "Математика в приложениях", приуроченная к 80-летию академика С.К.Годунова. (Новосибирск. Россия. 2009).

На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах, руководимых ведущими учеными:

- Семинары под руководством академика Л. В. Овсянникова в Новосибирском государственном университете и в Институте гидродинамики

им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск).

- Семинар "Математика в приложениях" под руководством академика С. К. Годунова в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН. (Новосибирск).

- Семинар под руководством член - корреспондента РАН В. В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск).

Публикация результатов. По теме диссертации опубликовано 37 работ, в том числе 1 монография и 9 статей в журналах, входящих в Перечень ВАК РФ ведущих рецензируемых научных журналов. Из совместных публикаций (3 статьи и 2 тезисов докладов на конференциях) в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 272 наименований. Объем диссертации составляет 388 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении указаны цель исследования, его научная новизна, основные результаты, выносимые на защиту, теоретическая и практическая ценность работы, приведен обзор работ по теме диссертации, дана общая характеристика работы, приведено ее краткое содержание.

В Главе 1 основным объектом исследования является система

и, = А'их„ (1.1)

где/еС; * = (*', х2, .... х")ТеС" (и > 1); и = (и', и2, ..., и"')1 еС'" (т > 2); А' = |а/'| (г = 1) п)~ постоянные квадратные матрицы т-ого порядка, элементы которых (/', к = 1,2, ,.., т; у - номер строки) -

заданные комплексные числа. По повторяющемуся индексу, как и всюду в дальнейшем (если не оговорено противное) - суммирование. Оператор, допускаемый системой (1.1), ищется в виде:

л:, и)д, + <?'(', ")дх, + Пк х, и)дик (1.2)

и обладает, как правило, следующими свойствами: 1) ^-0, (х-

автономность оператора); 2) Т}ии — 0.

Основная алгебра Ли системы (1.1) будет называться х -автономной если все ее операторы л:-автономны. Понятие х -автономности оператора, допускаемого системой дифференциальных уравнений было введено академиком Л.В. Овсянниковым в работе4. В заключительной части этой работы сказано, что «проблема х -автономии индуцирует развитие нового плодотворного направления исследований в области группового анализа дифференциальных уравнений». Настоящая глава относится к этому новому направлению исследований.

Определение 1.1. Оператор (1.2) будет называться линейно-автономным, если его координаты таковы, что — 0, = 0, Т}ии = 0.

Основная алгебра Ли системы (1.1) будет называться линейно-автономной если все ее операторы линейно-автономны.

В данной главе решается задача классификации системы (1.1) по

отношению к свойству линейной автономности ее основной алгебры Ли.

В параграфе 1 получены определяющие уравнения и преобразования эквивалентности.

В параграфе 2 рассматривается вопрос об х -автономности основной алгебры Ли системы (1.1). Получены следующие результаты.

Теорема 1.3. Основная алгебра Ли системы (1.1) при п =1, т > 2 X-

автономна тогда и только тогда, когда матрица А этой системы не удовлетворяет квадратному уравнению.

Теорема 1. 5. Пусть матрицы А1, А2,..., А" {п > 1) системы (1.1)

13

удовлетворяют хотя бы одному га следующих условий:

1. Для некоторого ге С" степень минимального многочлена характеристической матрицы А{$) ~ А'г,- больше двух.

2. Хотя бы один га корней Л(г) характеристического уравнения

¿е1(А(г}-Л(г)Е) = 0

не является при всех ге С"значением линейной формы на пространстве С".

3. Матрицы А1, А2,..., А" не имеют общего собственного вектора (левого или правого). Например, система матрш[ А1, А2,..., А" неприводима.

Тогда основная алгебра Ли системы (1.1) (и > 1) х -автономна.

Возможность приведения матриц Л1, А2,..., А" системы (1.1) (и>1),

основная алгебра Ли которой не я:- автономна, с помощью преобразований эквивалентности к каноническому виду:

(Л*)* =еЕ, А'А'+А'А'= О, А'А' + А'А' = 0 (/, у = 2, 3, ..., п),

где £ = 0 или £ = 1; позволяет получить в зависимости от величины £ два критерия X -автономности основной алгебры Ли системы (1.1) с характеристической матрицей, удовлетворяющей квадратному уравнению, корни которого при всех г е С" являются значениями линейных форм на пространстве С". А именно:

Теорема 1.12. Пусть матрицы А1, А2, ..., А" (п> 2) системы (1.1) таковы, что характеристическая матрица А(х;) = А'21 при всех 2 = (г,, 22, 2ч) 6 С удовлетворяет квадратному уравнению (л(г)-Д(г)£)2 =0, корень которого Я(г)==: (а\ а2, ..., а" е С)

при каждом г £ С" является значением некоторой линейной формы на пространстве С". Пусть N — столбец, элементами которого являются

14

матрицы Е^А1 Р^Аг -агЁ}, ..., Е(А"-а"где Р- столбец с

элементами А' — а1 Е, А2-~а2Е, ..., А"—а"Е.

Основная алгебра Ли системы (1) Х - автономна тогда и только тогда, когда ранг(Ы) > 2.

Т е о р е м а 1.13. Пусть матрицы А1, А2,..., А" (п > 2) системы (1.1) таковы, что характеристическая матрица Л (г) = А'2; при всех г = 2г, ..., 2п ) 6 С удовлетворяет квадратному уравнению (/4(г)-/1](г)£)(^(г)-Л2(г)£') = 0 (^(г)*^(г)), различные корни которого = /¡2(г) = 6'^. (а1, а2, ..., а"; б1, Ь'\ ..., Ь" еС),

при каждом Z е С" являются значениями некоторых линейных форм на пространстве С". Не ограничивая общности, можно считать, что а' ф (этого всегда можно добиться перенумерацией независимых переменных).

Пусть А" = А' —¡-Ц-[(а' -Ь')А1 +(а1Ь'-а'Ь1)Е] (/ = 2, 3, ..., п); Та -Ъ

столбец из матриц А'2,А'2,..., А'"; М - столбец из матриц ТА'2,

ТА'2, ...,ТА'п; Р = -гЦ-04' -Ъ'Е), £} = Е-Р. а —Ъ

Основная алгебра Ли системы (1.1) X - автономна, если выполнено хотя бы одно из условий: 1) ранг(М) > 2; 2) ранг(ТР} > 1 и ранг[Т0)>2.

Если М — 0, то основная алгебра Ли системы (1) Х- автономна тогда и только тогда, когда матрицы Т, Р, (), 5 не удовлетворяют ни одному из условий: 1)ранг{ТР) = 1; 2)ранг{ТО) = 1; 3) ТР = 0 и рачг(5) <ранг(Р); 4) Т() = 0и ранг(Б) < ранг(0).

Если ранг^М} — то основная алгебра Ли системы (1) х- автономна тогда и только тогда, когда матрицы Т, Р, () не удовлетворяют условию

5) { если MP Ф 0, торанг(ТР) = 1 } и { если MQ ф 0, тоpam{TQ) = 1 }.

Для выделения нетривиальных систем (1.1) с не х- автономной основной алгеброй Ли вводится понятие исключительной (тривиальной) системы, а именно:

Определение 1.5. Система (1.1), эквивалентная системе

(¿=1,2, ...,«), (1.52)

будет называться исключительной системой.

Основная алгебра Ли системы (1.52) не л: - автономна. Определение 1.6. Пусть £ - некоторое множество квадратных матриц т-ого порядка над полем комплексных чисел. Столбец гф 0 и строка I Ф 0 называются (Г, I) - парой данного множества, если для каждой матрацы A el, справедливы соотношения: Аг = Л(А)г, /А = Х{А)1, гдеЛ(А)еС - собственное значение матрицы А..

Имеет место следующее необходимое условие не Х- автономности основной алгебры Ли системы (1.1) при п > 1.

Теорема 1.15. Если система (1.1) (п > 1) не является исключительной и допускает не Х- автономный оператор (1.2), то множество матриц А\ ..., А" этой системы обладает (г, Г) - парой . Множество матриц исключительной системы (г, I) - парой не обладает. Для системы квазилинейных уравнений

и, = A'(t, х, u)uxi + b(t, х, и), (1.62)

в которой /еС; х = (х\ х2, ..., хп)Т еС"; и = [и\ и2, u'"f gC1"' п > 1, m > 2; А' - A'(t,X, и) = |a{'(t, X, н)| - квадратные матрицы /и-oro порядка; b = b (/, х, и) - те-мерный столбец; а{' (t, х, и) ,b{t, х, и)-заданные комплекснозначные функции, в случае, если матрицы А'((, х, и)

системы (1.62) в точке «общего положения» удовлетворяют равномерно по X, и) условиям, которые накладываются в теоремах 1.1 - 1.16 на

постоянные матрицы А1 системы (1.1), то для квазилинейной системы (1.62) будут справедливы теоремы, доказанные для системы (1.1), однако при этом критерии превращаются в достаточные условия х- автономности основной алгебры Ли системы (1.62). Достаточные условия х-автономности основной алгебры Ли для вещественной системы (1.62) приведены в работе4.

В параграфе 3 рассматривается вопрос о линейной зависимости

координаты 7] оператора (1.2) от функций. Система (1.1) допускает оператор (1.2), для которого т]ии О, в следующих случаях: 1) при и = 1; 2) при п > 1, если ее основная алгебра Ли не л: - автономна.

Если основная алгебра Ли системы (1.1) д:- автономна, то существование допускаемого этой системой оператора (1.2) с Т]ии^ О

сводится к вопросу о существовании нелинейного отображения в : С'" —> С'", матрица Якоби которого коммутирует с матрицами данной системы. Такое отображение существует тогда и только тогда, когда найдется матрица ранга 1, перестановочная с каждой матрицей этой системы.

Критерий нелинейной зависимости координаты Т] от и для системы (1.1) с х-автономной основной алгеброй Ли дается теоремой 1.22.

Теорема 1.22. Если основная алгебра Ли системы (1.1) ( п > 1) х-аетономна, то система (1.1) допускает оператор (1.2) с Т]ииф 0 тогда и

только тогда, когда множество матриц {А', А2,..., А") этой системы обладает (г, I) — парой.

Следствие 1. Если система (1.1), основная алгебра Ли которой X-автономна, допускает оператор (1.2) с Т]ии ^ 0, то на пространстве С" существует линейная форма значение которой в каждой точке С"

является корнем характеристического уравнения (Ы[А1г,-Л(г)Е) = 0.

Следствие 2. Если ни при каких геЛ"\{0}(71 > 1) у характеристического уравнения - = 0 системы (1.1),

основная алгебра Ли которой X-автономна, нет вещественных корней, то вторая координата всех операторов (1.2), допускаемых этой системой, удовлетворяет условию: Т)ии — 0.

Достаточные условия линейной автономности всех операторов (1.2), допускаемых системой (1.1), приводятся в теореме 1.23.

Теорема 1. 23. Все операторы (1.2), допускаемые системой (1.1) при п > 1, являются линейно-автономнъит в каждом из следующих случаев:

1. Система (1.1) не является исключительной и не существует матрицы ранга 1, перестановочной с каждой матрицей системы.

2. Матрицы А1, А2,..., А" не имеют общего левого или общего правого собственного вектора. Например, множество матриц {А', А2,..., А") неприводимо.

3. На пространстве С" не существует линейной формы Я(г), значение которой при всех 2 € С" является корнем характеристического уравнения с/е^А'г( = 0 системы (1.1) .

4. Характеристическое уравнение системы (1.1) ни при каких Z е R" \ |()| не имеет вещественных корней.

Получен алгоритм исследования системы (1.1) относительно линейной автономности ее основной алгебры Ли.

В главе 2 рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение

аЧ1и+Ь = 0 (2.1)

где и,7- = с1,. = — (/, / = 1, 2, ..., п\ п > 2); матрица А ~ Ца'71| и

величина Ь - заданные функции переменных лг — , х , х и, и=(ы,, и2, ..., ип) (м,. =9,м).

В параграфе 1 получено достаточное условие отсутствия касательных преобразований.

Теорема 2.1. Если общий ранг(А) > 3, то все касательные преобразования, допускаемые уравнением (2.1), являются продолженными точечными преобразованиями.

В параграфе 2 для уравнения (2.1), в котором А = А(х, и), то есть для уравнения

а°(х, и)и0 +ь(х, и, ") = 0. (2.9)

получено достаточное условие линейной автономности всех допускаемых операторов вида:

и)д,.+т}(х, и)ди. (2.10)

Теорема 2.2. Если общий ранг (Л)> 2, то основная алгебра Ли слабонелинейного уравнения (2.9) х - автономна. Если при этом Ьи и. = 0 для

всех /, 7 = 1, 2, ..., п, то все операторы (2.10), допускаемые уравнением (2.9), являются линейно-автономными.

В параграфе 3 получена следующая теорема о структуре законов сохранения для уравнения (2.9).

Теорема 2.3. Если общий ранг(А) > 3, то компоненты

В\ В2, ..., В" каждого закона сохранения первого порядка для слабонелинейного уравнения (2.9) являются многочленами не выше второй степени относительно щ, и2, ..., ип.

В параграфе 4 получена теорема 2.4 о структуре законов сохранения первого порядка для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

В параграфе 5 выполнена классификация относительно коэффициентов

19

a, b, с по законам сохранения первого порядка линейного дифференциального уравнения

и12 + ян, + Ьщ +си = О, (2.28)

где а, Ь, с - заданные функции переменных х\ х2. Пусть h = я, + аЬ — с, k = b2+ab-c - инварианты Лапласа этого уравнения.

Теорема 2.5. Если h • к ^ 0, то уравнение (2,28) имеет не более трех неочевидных законов сохранения первого порядка и их компоненты квадратичны относительно и, щ, иг.

Инвариантная характеристика (в терминах инвариантов Овсянникова) нетривиальных случаев расширения множества законов сохранения первого порядка для гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными дается следующей теоремой.

Теорема 2.6. Нетривиальное максимальное расширение множества законов сохранения первого порядка для уравнения (2.28) при происходит тогда и только тогда, когда его инварианты Овсянникова

I k 2 1 1

I ——, 1 =— (ln/z)i2, I =—(inудовлетворяют альтернативным

h Н k

соотношениям: 1)I2 + /' = 2, /3+ур = 2 l);

2) / ' = 1, I2 = у = const', 3) /' = О, I2 = 2.

В главе 3 решена задача групповой классификации систем А(х, y)Ux+B(x, y)Uy + C{x, y)U = О,

где U ={и, у)еЛг; (х, y^jeR2; А, В, С - заданные вещественные

квадратные матрицы второго порядка.

В параграфе 1 дана постановка задачи. Произвольным элементом системы, по отношению к которому проводится классификация, является набор матриц {/i, В, С}. В нетривиальных случаях системы подходящим

преобразованием эквивалентности приводятся

20

или к гиперболической системе

ux=av, Vy = bu, (3.2) или к параболической системе

Ux = av, vx=uy+ bu, (3.3) или к эллиптической системе

их - vy + av, vx = -uv + bu, (3.4)

с коэффициентами a - a(x, jy), b = b(x, y).

В параграфах 2.3. 4 соответственно выполнена групповая классификация каждой из систем (3.2) - (3.4). Результаты приведены в теорем« 3.1- 3.4.

В параграфе 5 выполнена групповая классификация линейного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Результат сформулирован в теореме 3.5.

Глава 4 посвящена групповом;/ анализу системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости, которые в подходящей системе координат записываются следующим образом:

и„ = а0У div и-rot rot и, (4.1)

где u — u(t, х) е R" - вектор перемещений; t - время; xeR" (и = 2; 3); а0 > 2 - постоянная, характеризующая упругие свойства среды.

В параграфе 1 найдена основная группа Ли преобразований этой системы. Выполнено групповое расслоение уравнений Ламе относительно некоторой бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе основной группы.

В параграфе 2 рассматривается система и, = aoV0 - rot (о, в, = div и, ш1 = rot и, div ы = 0, (RL) полученная из разрешающей системы после переобозначения функций. Показано, что она эквивалентна уравнениям Ламе и занимает особое место среди систем первого порядка, эквивалентных этим уравнениям, а именно: она содержит наименьшее число дополнительных функций и является

21

единственной (с точностью до линейного невырожденного преобразования дополнительных функций) такой системой, эквивалентной уравнениям Ламе. Эта система включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла.

В параграфе 3 установлено, что система допускает ту же самую

основную группу Ли преобразований, что и уравнения Ламе, только действующую в другом пространстве. Система уравнений безвихревой акустики и система уравнений Максвелла позволяют в виду структуры системы (•/?£) использовать более широкие группы для получения точных

решений уравнений Ламе.

В параграфе 4 выполнена классификация частично инвариантных решений системы и уравнений Ламе. Для этого построена оптимальная

система подгрупп их основной группы, найдены универсальные инварианты каждой подгруппы из построенной оптимальной системы. Тем самым, указаны возможные виды всех их частично инвариантных решений.

В параграфе 5 исследована структура инвариантных решений системы (Л/,). Представление каждого решения системы {ЯЬ) в виде суммы решений

уравнений безвихревой акустики и уравнений Максвелла указанное в теореме 4.3 следующим образом конкретизируется для инвариантных решений:

Теорема 4.4. Любое инвариантное динамическое Н-решение системы (/?/,) есть сумма инвариантных Н-решений уравнений безвихревой акустики и уравнений Максвелла.

В параграфе 6 представление любого решения уравнений Ламе в виде суммы потенциального и соленоидального решений этих уравнений следующим образом конкретизируется для инвариантных решений:

Пусть Н{ и Н2 - подгруппы, порождаемые соответственно операторами аХ0 + Х3, Н-Р, и аХ0 + Х], Х„ Л (а ¿0), где

х0 = д„ э^, г3 = ххдХг -х2а, + ид -и2з„, к = (д,+х-а,

Р = и-дн,Х,=дх{

Теорема 4.5. Любое инвариантное динамическое Н-решение уравнений Ламе, за исключением Н-решений на подгруппах, подобных Н1 и Н2, можно представить в виде суммы инвариантного потенциального и инвариатного соленоидапьного Н-решений этих уравнений.

Найдены: инвариантное Н1 -решение уравнений Ламе, описывающее цилиндрическую автомодельную волну, и инвариантное Нг -решение уравнений Ламе описывающее плоскую автомодельную волну.

В параграфе 7 для системы (Ш[,) найдены: простые волны, и в плоском

случае - некоторое частично инвариантное решение дефекта 2 и ранга 1. Оказалось, что и для этих частично инвариантных решений система уравнений безвихревой акустики и система уравнений Максвелла имеют особое значение.

В параграфе 8 для плоского случая найден общий вид находящихся в инволюции систем, полученных добавлением к уравнениям системы (Л/,) одной и двух дифференциальных связей.

В параграфе 9 получена линейная однородная симметрическая /-гиперболическая (по Фридрихсу) система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде. Эта система содержит наименьшее число дополнительных функций и является конформно-инвариантной. Ее структура позволяет ввести комплексные зависимые и независимые переменные, что оказывается удобным для получения точных решений. Приведены примеры частично инвариантных решений.

В главе 5 методами группового анализа исследуется система уравнений Ламе классической статической теории упругости, описывающая состояние

равновесия однородной изотропной упругой среды:

+ (ИУ и + ^Аи = 0. (5.1)

Вектор перемещений и = {и\ и2 ,..., и") {п >2) есть функция точки

л: = Л-"2, ..., Xа Л > О, ¡Л > 0 - постоянные Ламе.

В параграфе 1 найдена основная группа Ли преобразований системы и-мерных (л >2.) уравнений Ламе классической статической теории упругости. Выполнено групповое расслоение этих уравнений относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы.

В параграфе 2 получено общее решение автоморфной системы, которое является п -мерным аналогом формулы Колосова - Мусхелишвили.

В параграфе 3 найдена основная группа Ли преобразований разрешающей системы выполненного группового расслоения. Оказалось, что в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях эта система является конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства.

В параграфе 4 для трехмерного случая найден обший вид преобразований аналогичных преобразованию Кельвина для решений разрешающей системы. Эти преобразования являются следствием ее конформной инвариантности.

В параграфе 5 для трехмерного случая с помощью комплексных

зависимых и независимых переменных разрешающая система записывается в

виде комплексной системы, для которой найдена основная группа Ли

преобразований, получены существенно различные инвариантные решения

рангов 0, 1, 2. При этом оказалось, что для получения точных решений

уравнений Ламе классической статической теории упругости можно

использовать группы, допускаемые известными уравнениями математической

физики: уравнением теплопроводности, телеграфным уравнением,

уравнением Трикоми, обобщенным уравнением Дарбу. С помощью указанной

24

комплексной системы получены двойные волны специального вида для разрешающей системы.

В параграфе 6 найдены нередуцируемые двойные волны сдвига для разрешающей системы.

В Главе 6 методами группового анализа исследуется квазилинейное дифференциальное уравнение третьего порядка, описывающего продольные колебания одномерного вязкоупругого стержня с единообразным поперечным сечением в модели Кельвина:

"« = $>("*)"«. (6-1) где I - время; х - координата, характеризующая положение поперечного сечения стержня; и = х) - продольное перемещение сечения стержня за время ?; Я - коэффициент вязкости; <р(их) = сг'(иг); <т(мЛ.) - напряжение.

В параграфе 1 выполнена групповая классификация уравнения (6.1) относительно напряжения и коэффициента вязкости. Основные итоги классификации приведены в таблице (Л, <т).

В параграфе 2 найдены все существенно различные инвариантные решения рассматриваемого уравнения в случае нелинейной деформации стержня, состоящего из настоящего вязкоупругого материала. Указан физический смысл полученных решений. Эти решения могут служить в качестве тестовых решений при численном решении соответствующих краевых задач для уравнения (6,1).

В главе 7 рассматривается вопрос о взаимосвязи между групповыми свойствами и законами сохранения для систем дифференциальных уравнений.

В параграфе 1 доказана теорема 7.1 о порождающем законе сохранения для системы дифференциальных уравнений, на основании которой предложен алгоритм, названный методом А -операторов, позволяющий получить все законы сохранения для системы дифференциальных уравнений. из одного ее закона сохранения нулевого порядка, имеющего ранг, равный числу независимых переменных системы. Эффективность этого алгоритма показана в

25

последующих параграфах на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики.

В параграфе 2 методом А -операторов получены все законы сохранения нулевого порядка для уравнений Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости при п >2, для уравнений безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости при п> 3 и при « = 2; получены все законы сохранения специального вида для уравнений потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости при п> 2, Для уравнений Эйлера установлена связь А -операторов с операторами основной группы Ли преобразований, допускаемой этими уравнениями. Для уравнений Эйлера при п-2 найдены все естественные нелокальные переменные и соответствующие нелокальные симметрии.

В параграфе 3 методом А -операторов выполнена классификация по законам сохранения нулевого порядка системы уравнений одномерного

2 Hp)

движения газа, в частности, получено уравнение состояния: с =—^т—, где

Р

-любая заданная функция (такой газ будет называться обобщенным газом Чаплыгина; при = const - это известный газ Чаплыгина), для

которого эта система имеет бесконечное множество законов сохранения. Оказалось, что только для обобщенного газа Чаплыгина рассматриваемая система имеет обобщенные симметрии первого порядка, которые зависят при этом от произвольных функций, Методом А -операторов выполнена классификация по законам сохранения нулевого порядка системы уравнений движения газа при п> 2, системы уравнений безвихревого движения газа и классификация по законам сохранения специального вида системы уравнений потенциального движения газа при п = 1 и при п> 2, При этом проявилась особая роль обобщенного газа Чаплыгина - именно в этом случае происходит нетривиальное расширение множества законов сохранения для рассматриваемых систем уравнений газовой динамики. С помощью

частичных симметрий, включающих в себя, в частности, все операторы, допускаемые системой уравнений газовой динамики при всевозможных уравнениях состояния, выявлена групповая природа обобщенного газа Чаплыгина в многомерном случае.

В параграфе 4 методами группового анализа исследована одна из подмоделей газовой динамики, а именно: система уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука. Эта подмодель получила несчастливый номер 13 в основополагающей работе5 Л.В. Овсянникова, в которой было начато систематическое изучение подмоделей газовой динамики. Методом А -операторов найдены все законы сохранения нулевого порядка для системы «-мерных [ п > 1) уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука,

Выполнено групповое расслоение этой системы относительно бесконечной подгруппы, являющейся нормальным делителем ее основной группы Ли преобразований; найдена основная группы разрешающей системы. С помощью перехода к массовым лагранжевым переменным найдены нелокальные симметрии первого порядка для исходной системы. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести и-мерную (и > 2) систему уравнений газовой динамики с нулевой скоростью

звука к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей (я — 1) пространственных переменных, которая, в частности, при п = 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.

В параграфе 5 методом А -операторов выполнена классификация по законам сохранения нулевого порядка системы уравнений одномерного изэнтропического движения газа. Проведена групповая классификация данной системы. Сравнение результатов этих классификаций показало, что расширение множества нетривиальных законов сохранения происходит только в одном из пяти случаев расширения ее основной группы. Методом А -операторов выполнена классификация по законам сохранения нулевого

порядка системы уравнений изэнтропического движения газа при n~i1\ показано, что условие изэнтропичности не приводит к появлению новых законов сохранения и новых симметрий по сравнению с обычной системой уравнений движения газа. Методом А -операторов выполнена классификация по законам сохранения нулевого порядка системы уравнений безвихревого изэнтропического движения газа и системы уравнений потенциального изэнтропического движения газа. Оказалось, что для последней системы в случае газа Чаплыгина будет наибольшее число нетривиальных законов сохранения, при этом и скалярных законов сохранения будут нелокальными. Для выявления групповой природы случаев расширения множества нетривиальных законов сохранения нулевого порядка для системы уравнений потенциального изэнтропического движения газа решены три задачи групповой классификации.

В параграфе 6 приведены результаты групповой классификации систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики, полученные автором в рамках программы «Подмодели» (руководитель: академик Л.В. Овсянников). Оказалось, что для некоторых подмоделей алгебра Ли их основной группы шире, чем факторалгебра соответствующего нормализатора. В частности, такое расширение происходит для подмодели установившихся движений газа с уравнением состояния р = h(pSy, расширяющий оператор в этом случае имеет вид

Z0=0(S, В)(и ди-2рдр), где Ф(5, 5) - произвольная функция энтропии S и функции Бернулли В - |н|2 + 21 {р, р} (/'(/?, /?)- удельная энтальпия). Преобразования псевдогруппы Ли, порождаемой оператором Z0, позволяют, как было показано в работе6 М. Мунка и Р. Прима преобразовать непрерывное стационарное решение с уравнением состояния p — h[pS} 6

Mimk М. Prim R. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern // Proc. Nat- Acad. Sei. USA, 1947. - V. 33. - P. 137-141.

либо в изэнтропическое (5 = const), либо в изодинамическое (й = const).

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Автор является учеником академика J1.B. Овсянникова, общение с которым определило круг научных интересов автора и способствовало улучшению полученных результатов, за что автор выражает Льву Васильевичу искреннюю благодарность.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чиркунов Ю.А. Метод А -операторов и законы сохранения для уравнений

газовой динамики // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 53-60.

2. Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах и законах сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 3. С. 64-70.

3. Чиркунов Ю.А. Системы линейных дифференциальных уравнений, симметричные относительно преобразований, нелинейных по функции // СМЖ. 2009. Т. 50. № 3. С. 680-686.

4. Чиркунов Ю.А. Условия линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН. 2009. Т. 426. № 5. С. 605-607.

5. Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости // Известия АН. Механика твердого тела. 2009. № 3. С. 47-54.

6. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 587-593.

7. Чиркунов Ю.А. Групповая классификация систем линейных

29

дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных //Докл. АН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 155-159.

8. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 471-477.

9. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений классической теории упругости // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. №6. С. 1353-1356.

10. Чиркунов Ю.А. Об одной конформно-инвариантной системе первого порядка, равносильной волновому уравнению // СМЖ. Депонирована в ВИНИТИ за № 1604-В91 от 15.04. 1991 г. 15 с.

11. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирский государственный университет экономики и управления. 2007.362 с.

12. Чиркунов Ю.А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 14. Новосибирск. С. 138-140.

13. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1975. Вып. 23. Новосибирск. С. 219-225.

14. Чиркунов Ю.А. О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка, допускающих группу максимальной размерности // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 24. Новосибирск. С. 124-137.

15. Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах уравнения Дарбу // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 27. Новосибирск. С. 101-115.

16. Чиркунов Ю.А. О построении методами группового анализа обобщенных формул Пуассона // Динамика сплошной среды. 1979. Вып. 39. Новосибирск. С. 135-151.

17. Чиркунов Ю.А. Установившиеся колебания в неоднородном полупространстве при наличии гиперплоскости вырождения // Динамика сплошной среды. 1983. Вып. 63. Новосибирск. С. 94-106.

18. Чиркунов Ю.А. Нелинейные вязкоупругие одномерные модели Кельвина //Динамика сплошной среды. 1984. Вып. 64. Новосибирск. С. 121-131.

19. Чиркунов Ю.А. Групповая классификация одного класса систем квазилинейных уравнений И Динамика сплошной среды. 1984. Вып. 67. Новосибирск. С. 135-144.

20. Чиркунов ¡O.A. Инвариантные продольные колебания вязко-упругого стержня // Динамика сплошной среды. 1985. Вып. 71. Новосибирск. С. 144-155.

21. Чиркунов Ю.А. Об условиях единственности решения уравнения колебаний в неоднородной среде с максимальной симметрией // Динамика сплошной среды. 1986. Вып. 75. Новосибирск. С. 151-159.

22. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Конформная инвариантность в эластостатике // Динамика сплошной среды. 1987. Вып. 82. Новосибирск. С. 110-120.

23. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений теории упругости // В кн.: Математические методы в механике. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1989. С. 38.

24. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений теории упругости // В кн.: Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Abstracts. -Varna: Bulgarian academy of sciences. National committee of theoretical and applied mechanics. 1989. P. 11.99.

25. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений гидродинамики и газовой динамики // Международный семинар «Современный групповой анализ». Уфа. 1991. С. 28-29.

26. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений безвихревого движения газа И Актуальные проблемы прикл. математики и механики. Тезисы докладов IV Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова. Абрау - Дюрсо. ИММ УрО РАН (Екатеринбург), ЮГИНФО ЮФУ (Ростов-на-Дону). 2008. С. 72.

27. Чиркунов Ю.А. О проблеме линейной автономности операторов,

31

допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений // Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. Новосибирск: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН. 2008. С. 231.

28. Чиркунов Ю.А. О свойствах симметрии и законов сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. 2009. С. 155.

29. Чиркунов Ю.А. Линейная автономность основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений // Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. 2009. С. 154.

30. Чиркунов Ю.А. Симметрии и законы сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А. А. Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, ИПМ РАН, ИММ РАН. 2009. С. 277-278.

31. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений газовой динамики //Всероссийская конференция «Математика в приложениях», приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2009. С. 269-270.

32. Chirkunov Yu.A. On the structure of point transformations, admitted by system of linear differential equations // International Conference "Modern Group Analysis (MOGRAN-13)". Ufa, Russia. 2009. P. 36.

з:>

Отпечатано в типографии: Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел./факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16 объем 2.25 п.л., тираж 100 экз.. заказ № 1237 подписано в печать 08.09.09 г.

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Структура точечных преобразований, допускаемых системой линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянным коэффициентами

§1. Определяющие уравнения и преобразования эквивалентности.

§2. Условия X-автономности основной алгебры Ли.

1. Постановка задачи. Структура алгебраической системы.

2. Одномерный случай (п = Х).

3. Многомерный случай (/7 > 1). Канонические системы.

4. Двумерный случай (/7 = 2). Критерии х-автономности основной алгебры Ли.

5. Многомерный случай (п > 1). Критерии х-автономности основной алгебры Ли.

6. (г, /) - пара. Необходимое условие не х - автономности основной алгебры Ли.

7. Групповое свойство исключительной системы.

8. Сводка результатов об х - автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнении.

9. Квазилинейная система.

10. Примеры.

11. Обзор выполненного исследования X - автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений.

§3. Свойство второй координаты операторов, допускаемых системой линейных уравнений.

1. Постановка задачи. Определяющие уравнения.

2. Одномерный случай (/7 = 1).

3. Многомерный случай {п > 1). Система, основная алгебра Ли которой не х - автономна.

4. Многомерный случай {п > 1). Система, основная алгебра Ли которой х - автономна.

4.1. Основная теорема. Критерий существования нелинейного отображения, матрица Якоби которого коммутирует с каждой матрицей из некоторого множества матриц.

1. Неприводимое множество Е.

2. Приводимое множество X.

2.1. Многомерные факторы.

2.2. Одномерные факторы.

2.2.1. Sph = 0.

2.2.2. Spl.*0.

4.2. Свойство второй координаты в многомерном случае [п > 1) .для системы, основная алгебра

Ли которой х - автономна.

5. Достаточные условия линейной автономности основной алгебры Ли.

6. Алгоритм исследования линейной автономности основной алгебры Ли.

7. Примеры.

8. Сводка результатов.

9. Обзор выполненного исследования свойства линейности второй координаты.

Глава 2. Групповые свойства и законы сохранения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

§1. Касательные преобразования, допускаемые квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

§2. Точечные преобразования, допускаемые слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

§3. Законы сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

§4. Законы сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

§5. Классификация по законам сохранения первого порядка линейных гиперболических дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

1. Случай: h-k^ 0.•.

2. Случай:. h-k = 0.

3. Инвариантная характеристика случаев расширения множества законов сохранения первого порядка.

§6. Сводка результатов.

Глава 3. Групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Групповая классификация гиперболических систем.

1. Случай: а-Ьф

2. Случай: а-Ь = 0.

§3. Групповая классификация параболических систем.

§4. Групповая классификация эллиптических систем.

§5. Групповая классификация эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

§6. Сводка результатов.

Глава 4. Групповой анализ уравнений Ламе классической динамической теории упругости.

§ 1. Групповое расслоение уравнений Ламе.

1. Основная группа.

2. Групповое расслоение.

§2. Система (RL).

§3. Групповое свойство системы (RL).

§4. Классификация частично инвариантных решений системы (RL) и уравнений Ламе.

1. Оптимальная система подалгебр основной алгебры Ли.

2. Типы частично инвариантных решений системы [RL^j и уравнений Ламе.

3. Универсальные инварианты подгрупп основной группы G9 системы (RL) и уравнений Ламе.

4. Виды инвариантных решений.

§5. Теорема о разложении инвариантных решений системы (RL^j

§6. Теорема о разложение инвариантных решений уравнений Ламе.

§7. Примеры частично инвариантных решений.

1. Простые волны.

2. Плоский случай.

§8. Дифференциальные связи.

§9. Волны сдвига в трехмерной упругой среде.

1. Конформно-инвариантная система первого порядка, описывающая волны сдвига.

2. Комплексные переменные.

§ 10. Сводка результатов.

Глава 5. Групповой анализ уравнений Ламе классической статической теории упругости.

§ 1. Групповое расслоение.

§2. Решение автоморфной системы.

§3. Групповое свойство разрешающей системы.

§4. Преобразования Кельвина.

§5. Комплексные переменные.

1. Комплексная система (RLS).

2. Инвариантные решения системы (RLC).

3. Простые волны системы (RLC).

§6. Двойные волны сдвига системы (RLS).

§7. Сводка результатов.

Глава 6. Групповой анализ нелинейных вязкоупругих одномерных моделей Кельвина.

§ 1. Групповая классификация.

1. Случай: Я^О

2. Случай: Я = 0.

§2. Инвариантные решения.

1. Я = 1; — произвольная функция, удовлетворяющая условиям: (J'{ux ) > 0, <У"(их ) Ф 0.

2. Я = 1; <т'(г/х) = ехрмд.

3. Я — 1; сг'{их) = и" {ОС - произвольное ненулевое вещественное число).

§3. Сводка результатов.

Глава 7. Законы сохранения и групповые свойства уравнений гидродинамики и уравнений газовой динамики.

§ 1. Теорема о порождающем законе сохранения для системы дифференциальных уравнений.

§2. Законы сохранения и групповые свойства уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости.

1. Общие уравнения.

2. Законы сохранения для уравнений Эйлера.

3. Законы сохранения для уравнений безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости.

3.1. Случай: п>Ъ

3.2. Случай: п = 2.

4. Законы сохранения для уравнений потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.

5. Естественные нелокальные переменные для уравнений Эйлера при п — 1.

§3. Законы сохранения и групповые свойства уравнений гаювой динамики.

1. Общие уравнения.

2. Законы сохранения для уравнений одномерного движения газа.

3. Законы сохранения для уравнений движения газа при п> 2.

4. Законы сохранения для уравнений безвихревого движения газа.

5. Законы сохранения для уравнений потенциального движения газа.

5.1. Одномерный случай.

5.2. Многомерный случай.

§4. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука.

1. Законы сохранения.

2. Групповое расслоение.

3. Лагранжевы переменные.

§5. Законы сохранения и групповые свойства уравнений изэнтропического движения газа.

1. Общие уравнения.

2. Законы сохранения для уравнений одномерного изэнтропического движения газа.

3. Групповая классификация уравнений одномерного изэнтропического движения газа.

4. Групповые свойства и законы сохранения для уравнений изэнтропического движения газа при п >2.

5. Законы сохранения для уравнений безвихревого изэнтропического движения газа.

6. Законы сохранения и групповые свойства уравнений потенциального изэнтропического движения газа.

§6. Групповая классификация систем дифференциальных уравнений некоторых инвариантных подмоделей газовой динамики.

1. Групповая классификация фактористем эволюционных подмоделей.

2. Групповая классификация фактористем неэволюционных подмоделей.

§7. Сводка результатов.

Во второй половине XIX в. норвежский математик Софус Ли начал систематически исследовать непрерывные группы преобразований, называемые теперь группами Ли. Теория групп Ли долгое время оставалась в стороне от возможных приложений к дифференциальным уравнениям математической физики. Начиная с середины прошлого столетия исследования, выполненные Л. В. Овсянниковым [82] - [123], его учениками и последователями [1] - [18], [35] - [60], [67], [69], [73] - [77], [124], [125], [129] - [135], [139], [143], [146], [154] - [185], [187] - [228], [233]. [234], [248], [253] показали, что методы теории групп Ли являются эффективным способом изучения структуры множества решений дифференциальных уравнений. В настоящее время это математическое направление получило название группового анализа дифференциальных уравнений. Основные понятия п алгоритмы современного группового анализа дифференциальных уравнений заинтересованный читатель может найти в известной книге Л.В. Овсянникова [101]. Следует отметить также книгу Н.Х. Ибрагимова [45] и книгу П. Олвера [124].

В настоящей диссертации приведены результаты, полученные автором в области группового анализа некоторых классов линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений математической физики.

Актуальность темы обусловлена тем, что математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Информация о структуре операторов, допускаемых дифференциальным уравнением, и его законах сохранения существенно упрощает как отыскание этих операторов и законов сохранения, так и поиск решений данного уравнения. Групповая классификация и классификация дифференциальных уравнений по законам сохранения позволяют, в частности, выявить значения и формы экспериментально определяемых физических величин и зависимостей наиболее перспективных с точки зрения математического исследования; получить новые физические величины, сохраняющиеся с течением времени.

Целью работы является решение следующих проблем: - Исследование проблемы линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений, относящейся к индуцированному работой JI. В. Овсянникова [104] новому направлению исследований в области группового анализа дифференциальных уравнений.

- Изучение структуры касательных преобразований, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, точечных преобразований, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка , законов сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка; классификация по законам сохранения первого порядка линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

- Решение задачи групповой классификации систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных.

Групповой анализ системы уравнений Ламе классической динамической и статической теории упругости. Групповое расслоение этих уравнений относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы.

- Групповой анализ квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина [136], [246], [247].

- Исследование вопроса о взаимосвязи между групповыми свойствами и законами сохранения для систем дифференциальных уравнений; отыскание всех законов сохранения нулевого порядка для уравнении Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости, для уравнений движения газа, для уравнений изэнтропического движения газа (при этом во всех случаях рассматриваются также уравнения, описывающие соответствующие безвихревые движения, как с потенциалом вектора скорости, так и без этого потенциала). Выяснение групповой природы расширения множества законов сохранения для рассматриваемых систем дифференциальных уравнений.

- Исследование методами группового анализа одной из подмоделей газовой динамики, получившей несчастливый номер 13 в основополагающей работе [107], в которой JI.B. Овсянниковым было начато систематическое изучение подмоделей газовой динамики, а именно: системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука.

- Групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики (Программа «Подмодели», руководитель: академик JI.B. Овсянников). Отыскание случаев расширения основной группы этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту:

- Впервые получены необходимые и достаточные условия х-автономности основной алгебры Ли комплексной системы линейных дифференциальных уравнений, которые для комплексной квазилинейной системы становятся достаточными условиями х-автономности основной алгебры Ли.

- Впервые получены достаточные условия линейной автономности всех операторов, допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений.

- Впервые предложен алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно х- автономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли.

- Впервые получены структурные теоремы: о касательных преобразованиях, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о точечных преобразованиях, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о законах сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, о законах сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка; выполнена классификация по законам сохранения первого порядка линейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

- Впервые выполнена групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных. Тем самым, решена в простейшем случае одна из задач группового анализа, поставленная JI.B. Овсянниковым [98]. Установлена связь между результатами групповой классификации систем и соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка. Проведена групповая классификация линейного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

- Впервые выполнен групповой анализ системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости. Найдена основная группа Ли v преобразований этой системы. Выполнено групповое расслоение уравнений Ламе относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы. Разрешающая система (RL^J этого расслоения, включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Получена конформно-инвариантная система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде, содержащая наименьшее число дополнительных функций. Комплексификация этой системы позволяет получить новые классы точных решений уравнений Ламе.

- Впервые выполнен групповой анализ системы п -мерных (/2 >2) уравнений Ламе классической статической теории упругости. Найдена основная группа Ли преобразований этих уравнений. Выполнено групповое расслоение относительно бесконечной подгруппы из нормального делителя их основной группы. Получено общее решение автоморфной системы, которое является -мерным аналогом формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. В двумерном случае разрешающая система совпадает с системой Коши-Римана, что и позволяет успешно применять методы теории функций комплексной переменной в плоских задачах статической теории упругости. Структура разрешающей системы в трехмерном случае позволяет естественным образом ввести комплексные переменные. Полученная комплексная система дает возможность получать новые классы точных решений разрешающей системы, а, следовательно, и уравнений Ламе.

- Впервые выполнена групповая классификация квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина [136], [246], [247] относительно произвольного элемента: напряжения и коэффициента вязкости. Указаны краевые задачи, для которых полученные решения могут служить в качестве тестовых решений.

- Предложен новый метод, названный методом -операторов, получения всех законов сохранения для системы дифференциальных уравнений. Эффективность метода А -операторов показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики, для которых найдены новые законы сохранения. Установлено, с какими дополнительными свойствами симметрии рассматриваемых уравнений связаны эти законы сохранения.

- Впервые исследована методами группового анализа одна из подмоделей газовой динамики [107], а именно: система уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести п -мерную(л > 2) систему уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей (я—1) пространственных переменных, которая, в частности, при п — 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.

- Впервые проведена групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики (Программа «Подмодели», руководитель: академик Л.В. Овсянников). Найдены все случаи расширения основной группы каждой из этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором.

Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты носят общий характер и могут быть использованы при аналитическом и численном исследовании различных задач математической физики, связанных с решением дифференциальных уравнений. В частности, значимость работы состоит в следующем:

- Предложенный алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно х- автономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли значительно упрощает отыскание основной алгебры Ли рассматриваемой системы.

- Структурные теоремы: о касательных преобразованиях, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка; о точечных преобразованиях, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка; о законах сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго" порядка; о законах сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - дают возможность получения информации о свойствах указанных объектов для рассматриваемых уравнений без непосредственных вычислений.

- Выполненная групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных является решением одной из задач группового анализа, поставленной JT.B. Овсянниковым [98].

- Выполненное групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости привело к эквивалентной им системе (R.L) линейных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащей наименьшее число дополнительных функций и включающей в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Найденный в плоском случае общий вид находящихся в инволюции систем, полученных добавлением к уравнениям системы одной или двух дифференциальных связей, уменьшает число параметрических производных, тем самым сужает произвол в решении этой системы, что упрощает отыскание ее точных решений. Полученная конформно-инвариантная система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде, содержащая наименьшее число дополнительных функций позволяет получать новые классы точных решений уравнений Ламе.

- Выполненное групповое расслоение п-мерных (/7 >2) уравнений

Ламе классической статической теории упругости позволило перейти от уравнений Ламе к равносильному им объединению двух систем первого порядка: автоморфной и разрешающей. Полученное общее решение автоморфной системы является п -мерным аналогом формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. Комплексификация разрешающей системы дает возможность получать новые классы точных решений уравнений Ламе.

- Полученные точные решения квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина могут служить в качестве тестовых решений при численном решении соответствующих краевых задач для этого уравнения.

- Предложен новый метод, названный методом А -операторов, получения всех законов сохранения для системы дифференциальных уравнений. Эффективность метода А -операторов показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики, для которых найдены новые законы сохранения. Установлено, с какими дополнительными свойствами симметрии рассматриваемых уравнений связаны эти законы сохранения.

- Результаты группового анализа системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука могут быть использованы, например, при моделировании движения очень холодного газа или для описания движения газа перед фронтом очень сильной ударной волны.

- Выполненная групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики позволила выделить подмодели с более широкой, чем соответствующий нормализатор, основной группой. В частности получена групповая интерпретация известного преобразования Мунка и Прима [267], которое позволяет преобразовать любое непрерывное стационарное решение с уравнением состояния р — Ii^pS^ либо в изэнтропическое (S = const), либо в изодинамическое (В—const).

Методы исследования: в работе были использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аналитические методы теории дифференциальных уравнений.

Достоверность полученных результатов определяется применением строгих математических методов, математическими доказательствами полученных формул, совпадением их для частых случаев с известными формулами, а также физической интерпретацией полученных закономерностей.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:

- Школа-семинар "Математические методы в механике", посвященная 70-летию академика JL В. Овсянникова. (Новосибирск. Россия. 1989).

- "Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics" (Varna, Bulgarian Academy of Sciences. National Committee of Theoretical and Applied Mechanics. Bulgaria. 1989).

- Международный семинар "Современный групповой анализ" (International Workshop "Modern Group Analysis"). (Уфа. Россия. 1991).

- IV Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной матемашки и механики", посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова. (Абрау - Дюрсо. Россия. 2008).

- Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. (Новосибирск. Россия. 2009).

- Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова. (Новосибирск. Россия. 2009).

- Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященная памяти академика А. А. Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения. (Москва. МГУ им. М. В. Ломоносова, ИПМ РАН, ИММ РАН. Россия. 2009).

- International Conference "Modern Group Analysis (MOGRAN-13)". (Ufa, Russia. 2009).

- Всероссийская конференция "Математика в приложениях", приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова. (Новосибирск. Россия. 2009).

На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах, руководимых ведущими учеными:

- Семинары под руководством академика JT. В. Овсянникова в Новосибирском государственном университете и в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

- Семинар "Математика в приложениях" под руководством академика С. К. Годунова в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

- Семинар под руководством члена — корреспондента РАН В. В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Публикация результатов. По теме диссертации опубликовано 37 работ, в том числе 1 монография. Из совместных публикаций (3 статьи и 2 тезисов докладов на конференциях) в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [198], [199], [202], [218] - [223J, изданных в журналах, входящих в Перечень ВАК РФ ведущих рецензируемых научных журналов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 272 наименований. Объем диссертации составляет 388 страниц.

Основные результаты диссертации таковы:

1. Получены необходимые и достаточные условия X -автономности основной алгебры Ли комплексной системы линейных дифференциальных уравнений, которые для комплексной квазилинейной системы становятся достаточными условиями х-автономности основной алгебры Ли. Установлена х-автономность основной алгебры Ли некоторых систем уравнений механики.

2. Получены достаточные условия линейной автономности всех операторов, допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений. Установлена линейная автономность основной алгебры Ли некоторых систем уравнений механики.

3. Предложен алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно х- автономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли.

4. Получены достаточные условия отсутствия касательных преобразований (их совпадения с продолженными точечными преобразованиями) для квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка; приведен пример, показывающий, что эти условия, вообще говоря, нельзя существенно ослабить.

5. Получены достаточные условия линейной автономности операторов, допускаемых слабонелинейным дифференциальным уравнением второго порядка: приведен пример, показывающий, что их дальнейшее существенное ослабление, вообще говоря, невозможно.

6. Получены теоремы о структуре законов сохранения первого порядка для слабонелинейного дифференциального уравнения второго порядка, о структуре законов сохранения первого порядка для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

7. Выполнена классификация по законам сохранения первого порядка линейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Получена инвариантная характеристика (в терминах инвариантов Овсянникова) нетривиальных случаев расширения множества законов сохранения первого порядка для этого уравнения

8. Выполнена групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных. Тем самым, решена в простейшем случае одна из задач группового анализа, поставленная JI.B. Овсянниковым [98]. Установлена связь между результатами групповой классификации систем п соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка. Проведена групповая классификация линейного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

9. Найдена основная группа Ли преобразований системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости. Выполнено их групповое расслоение относительно некоторой бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе основной группы. Разрешающая система (RL) этого расслоения, эквивалентная вместе с автоморфной системой уравнениям Ламе, оказывается эквивалентной (после переобозначения функций) этим уравнениям и без автоморфной системы и занимает особое место среди систем первого порядка, эквивалентных уравнения Ламе, а именно: она содержит наименьшее число дополнительных функций и является единственной 4 (с точностью до линейного невырожденного преобразования дополнительных функций) такой системой, эквивалентной уравнениям Ламе. Система (R£) допускает ту же самую основную группу Ли преобразований, что и уравнения Ламе, только действующую в другом пространстве. Эта система включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, - что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений

357 уравнений Ламе. Выполнена классификация частично инвариантных решений системы и уравнений Ламе. Для этого построена оптимальная система подгрупп их основной группы, указаны возможные виды их частично инвариантных решений. Исследована структура инвариантных и некоторых классов частично инвариантных решений системы (RL

Доказана теорема о представлении ее инвариантных динамических решений в виде суммы инвариантных решений уравнений безвихревой акустики и инвариантных решений уравнений Максвелла. Анало1 ичная теорема установлена и для инвариантных динамических решений уравнений Ламе, которые, как оказалось, за исключением двух классов инвариантных решений, являются суммой инвариантных потенциальных и инвариантных солепоидальных решений этих уравнений. В плоском случае найден общий вид находящихся в инволюции систем, полученных добавлением к уравнениям системы (RL) одной или двух дифференциальных связей.

Получена линейная однородная симметрическая t-гиперболическая (по Фридрихсу) система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде. Эта система содержит наименьшее число дополнительных функций и является конформно-инвариантной. Ее структура позволяет ввести комплексные зависимые и независимые переменные, что оказывается удобным для получения точных решений. Приведены примеры частично инвариантных решений.

10. Найдена основная группа Ли преобразований системы п-мерных {п> 2) уравнений Ламе классической статической теории упругости. Выполнено групповое расслоение этих уравнений относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы. Это позволяет перейти от уравнений Ламе к эквивалентному объединению двух систем первого порядка: автоморфной и разрешающей. Получено общее решение автоморфной системы, которое является п мерным аналогом формулы Колосова — Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. В двумерном случае разрешающая система совпадает с системой Коши — Римана, что и позволяет успешно применять методы теории функций комплексной переменной в плоских задачах статической теории упругости. В трехмерном случае следствием конформной инвариантности разрешающей системы является наличие для ее решений преобразований, аналогичных преобразованию Кельвина. Найден общий вид таких преобразований. При п = 3 структура разрешающей системы (RLS) (позволяет естественным образом ввести комплексные переменные. Полученная комплексная система (.RLC) удобна для построения классов точных решений системы (RLS). Выполнена классификация инвариантных решений системы (RLC). подгрупп группы, допускаемой системой (RLC). Найдены ее существенно различные инвариантные решения. С помощью этой системы получены специальные двойные волны системы (RLS). Найдены двойные волны системы (RLS) при сдвиговых деформациях упругой среды.

11. Выполнена групповая классификация квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина [136], [246], [247], относительно произвольного элемента: напряжения и коэффициента вязкости. Для каждой из этих моделей найдены все наиболее интересные с точки зрения физических приложений существенно различные инвариантные решения рассматриваемого уравнения. Указаны краевые задачи, для которых полученные решения могут служить в качестве тестовых решений.

12. Доказана теорема о порождающем законе сохранения, которая стала основанием для алгоритма, названного методом А -операторов,

Построены оптимальные системы к — параметрических позволяющего получить все законы сохранения для системы дифференциальных уравнений из одного ее закона сохранения нулевого порядка, имеющего ранг, равный числу независимых переменных системы. Последнее условие является более слабым структурным ограничением для системы дифференциальных уравнений, чем существование лагранжиана.

13. Эффективность метода А -операторов показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики. С помощью этого метода найдены все законы сохранения нулевого порядка для уравнений Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости, для уравнений движения газа, для уравнений изэнтропического движения газа. При этом во всех случаях рассматриваются также уравнения, описывающие соответствующие безвихревые движения, как с потенциалом вектора скорости, так и без этого потенциала. Для лучшей иллюстрации эффективности метода А -операторов в качестве порождающих законов сохранения берутся различные законы сохранения. Для указанных систем дифференциальных уравнений найдены новые законы сохранения, как локальные, так и нелокальные.

14.Для уравнений газовой динамики в тех случаях, когда происходит расширение множества законов сохранения, выяснена групповая природа этого расширения либо с помощью групповой классификации этих уравнений (например, для уравнений одномерного изэнтропического движения газа), либо с помощью обобщенных симметрий первого порядка (для уравнений одномерного движения газа), либо с помощью операторов более общего вида (в частности, для обобщенного газа Чаплыгина).

15. Методами группового анализа исследована одна из подмоделей газовой динамики, а именно: система уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука. Эта подмодель получила несчастливый номер 13 в основополагающей работе [107], в которой JI.B. Овсянниковым было начато систематическое изучение подмоделей газовой динамики. Для системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука методом А -операторов найдены все законы сохранения нулевого порядка. Выяснена групповая природа полученных законов сохранения. Выполнено групповое расслоение данной системы относительно бесконечного нормального делителя ее основной группы Ли преобразований. С помощью перехода к массовым лагранжевым переменным найдены нелокальные симметрии первого порядка для исходной системы. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести /7-мерную (/7 > 2) систему уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей (/7 — 1) пространственных переменных, которая, в частности, при /7 = 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.

16. Для системы уравнений изэнтропического движения газа выявлена особая роль газа Чаплыгина, как с групповой точки зрения, так и с точки зрения законов сохранения для этой системы.

17. Приведены результаты групповой классификации систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики, полученные автором в рамках программы «Подмодели» (руководитель: академик Л.В. Овсянников). Найдены все случаи расширения основной группы каждой из этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором. В частности, такое расширение происходит для подмодели установившихся движений газа с уравнением состояния p — h{^pS). Расширяющий оператор имеет вид Z0=<P(S, ди — 2рдр j, где

S, В) - произвольная функция энтропии 5 и функции Бернулли

В = |и|" + 2/(/?7 р) (i(p, р)- удельная энтальпия). Оператор Хф, характеризует наличие двух важнейших интегралов для системы уравнений, описывающих установившиеся движения газа: интеграла энтропии и интеграла Бернулли.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения П УМН. 1991. Т. 49. Вып. 4. С. 143-144.

2. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Докл. АН. 1995. Т.342. № 2. С. 151-153.

3. Аксенов А.В. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения . 1995. Т.31, №10. С. 1697- 1700.

4. Аксенов А.В. Локальные и нелокальные симметрии. Точные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // УМН. 1996. Т. 51. Вып. 5. С. 223.

5. Аксенов А.В. Периодические инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1997. № 2. С. 14 20.

6. Аксенов А.В. Инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1998. № 1. С. 110-115.

7. Аксенов А.В. Периодические по пространственной переменной точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики//УМН. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 198.

8. Аксенов А.В. Точные решения, описывающие изэнтропическое одномерное движение политропного газа // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. Вып. 4. С. 148- 152.

9. Аксенов А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера Пуассона - Дарбу // Известия АН. Механика твердого тела. 2001. Т. 63 . № 1. С. 15 -20.

10. Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера Пуассона - Дарбу // Докл. АН. 2001. Т.381. № 2. С. 176- 179.

11. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука. 2003.

12. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико — групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука. 1994.

13. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. № 6. С. 1358-1361.

14. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах//Дифференциальные уравнения. 1988. №9. С. 1577-1586.

15. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашев С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука. 1985.

16. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К, Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход // Итоги пауки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1989. Т. 34. С. 3-83.

17. Бучнев А.А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды.

18. Вып. 7. Новосибирск. 1971. С. 212-214.

19. Бытев В.О. К задаче о редукции // Динамика сплошной среды. Вып. 5. Новосибирск. 1970. С. 146-148.

20. Вейлъ Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука. 1986.

21. Векуа И.Н. О метагармонических функциях // Труды Тбилисского математического института АН Гр. ССР. 1943. № 12. С. 105-174.

22. Винберг. Линейные представления групп. М.: Наука. 1985.

23. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1986.

24. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

25. Ворович И.И., Бабегико В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. 1979.

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967.

27. Гелъфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. 1971.

28. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.

29. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Науч. Книга. 1998.

30. Голубятников А.Н. Симметрии сплошных сред. Успехимеханики. 2003. Т. 2. N 1. С. 126-183.

31. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм,рядов и произведений. М.: Наука. 1971. 3 1. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир. 1964.

32. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука. 1986.

33. Дъедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир. 1964.

34. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука. 1983.

35. Ибрагимов Н.Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1967.

36. Ибрагимов Н.Х. Групповые свойства волновых уравнений для частиц с нулевой массой //Докл. АН СССР. 1968. Т. 178. №3. С. 566-568.

37. Ибрагимов Н.Х. К групповой классификации дифференциальных уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. №2. С. 174-177.

38. Ибрагимов Н.Х. Об инвариантности уравнений Дирака // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. №6. С. 1225-1228.

39. Ибрагимов Н.Х. Группы обобщенных движений // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187. № 1. С. 25-28.

40. Ибрагимов Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения // Теоретическая и математическая физика. 1969. Т. 1.№3. С. 350-359.

41. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск: НГУ. 1972.

42. Ибрагилюв Н.Х. Законы сохранения в гидродинамике // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210. №6. С. 1307-1309.

43. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли Беклунда и законы сохранения // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230. № 1. С. 26-29.

44. Ибрагимов Н.Х. Тождество Нётер // Динамика сплошной среды. 1979. Вып. 38. Новосибирск. С. 26-32.

45. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.

46. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание. 7/1991.

47. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН. 1992. Т. 47. Вып. 4(286). С. 83-144.

48. Ибрагимов Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 2. С. 11-21.

49. Капцов О.В. Расширение симметрий эволюционных уравнений //Докл. АН СССР. 1982. Т. 262. № 5. С. 1056-1059.

50. Капцов О.В. Дифференциальные связи и определяющие уравнения//

51. Вычислительные технологии. 2001. 6(2). С.334-337.

52. Каинов О.В. Инволютивные распределения, инвариантные многообразия и определяющие уравнения V СМЖ. 2002. Т.43. №3. С.539-551.

53. Kaplsov О. V. and Verevkin I. V. Differential constraints and exact solutions of nonlinear diffusion equations // J. Phvs. A.: Math. Gen. 2003.36. P. 1401-1414.

54. Капцов О.В. Инварианты характеристик систем уравнений с частными производными // СМЖ. 2004. Т.45. №3. С. 577-591.

55. Капцов О.В. . Заблуда А.В. Инварианты характеристик // Вестник ЮГУ. Физико-математические пауки. 2004. № 3. С. 57-61.

56. Kaptsov О. V., Zahluda A. V. Characteristic invariants and Darboux's method 11 J. Pliys. A: Math. Gen. 38 (2005). P. 31333144.

57. Kaptsov O.V., V Schmidt A.V. Linear determining equations for differential constraints// Glasgow Math. J. 47A. 2005. P. 109-120.

58. Капцов О.В. Ефремов PI.А. Инвариантные свойства модели дальнего турбулентного следа// Вычислительные технологии. 2005, т. 10 №6, с. 45

59. Капцов О.В. Применение преобразований Myiapa Дарб) к интегрированию дифферецалытых уравнений Препринт №3. 2005. ИВМ СО РАН. С. 1-16.

60. Каинов О.В. Инвариантные ген юры и дифференциальные уравнения с частными производными// СМ Ж. 2006. Т.47. №>2. С. 316-328.

61. Капцов О.В. Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу// Вычислительные технологии. 2007. Т. 12. JNM. С. 59-72.

62. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.:Мир, 1971.

63. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука. 1986.

64. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.: ОНТИ. 1935.

65. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973.

66. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука. 1987.

67. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Тидродинамика. М.: Наука. 1988.

68. Лапко Б.В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 7. Новосибирск. С. 12-24.

69. Ляе А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ. 1935.

70. Мамонтов Е.В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПТМФ. 1999. Т. 40. № 2.

71. Медведев С. Б. Асимптотическая нормальная форма скобки Пуассона для одномерных моделей жидкости // Вестник Новосибирского госуниверситета. 2005. Т.5. Вып.4. С. 3-12.

72. Медведев С. Б. Теорема Дарбу для распределенных гамильтоновых систем // Вестник Новосибирского госуниверситета. 2004. Т.4. Вып.1. С. 37—55.

73. Медведев С. Б. Нормальные формы для градиентных систем с кососимметричной структурной матрицей // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. №6. С. 60- 69.

74. Мелешко С.В. О неизэнтропических стационарных пространственных и плоских нестационарных двойных волнах //ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 255-260.

75. Мелешко С.В. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 5662.

76. Мелешко С.В. Об одном классе частично инвариантных решений плоских течений газа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №10. С. 1825-1827.

77. Мелешко С.В. Групповая классификация уравнений движения газа в постоянном поле сил // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 1. С. 4247.

78. Меньщиков В.М. К теории частично инвариантных решенийдифференциальных уравнений // 1972. Динамика сплошной среды. Вып. П. Новосибирск. С. 82—93.

79. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Иностранная литература. 1957.

80. Мусхелишвипи Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР. 1954.

81. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975.

82. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз. 1958.

83. Овсянников JI.B. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 47-49.

84. Овсянников Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118. № 3. С. 439-442.

85. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения Нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125. № 3. С. 492-495.

86. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнения С.А.Чаплыгина // ПМТФ. 1960. №3. С. 125-145.

87. Овсянников Л.В. Об отыскании группы линейного дифференциального уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132. № 1. С. 44-47.

88. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962.

89. Овсянников Л.В. О бесконечных группах отображений, задаваемых дифференциальными уравнениями // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148. №1. С. 36-39.

90. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ. 1966.

91. Овсянников Л.В. Уравнения динамической конвекции моря. Препринт ИГиЛ СО АН СССР. Новосибирск. 1967.

92. Овсянников Л.В. Групповое расслоение уравнений пограничного слоя // Динамика сплошной среды. 1969. Вып. 1. Новосибирск. С. 24-35.

93. Овсяннгтов Л.В. Частичная инвариантность // Докл. АН СССР. 1969. Т. 186. № 1. С. 22-25.

94. Овсянников Л.В. Групповое свойство определяющих уравнений // Динамика сплошной среды. 1971. Вып. 7. Новосибирск, С. 5-11.

95. Овсянников Л.В. Аналитические группы. Новосибирск: НГУ. 1972.

96. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений механики // В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука. 1972. С. 381-393.

97. Овсянников Л.В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 15. Новосибирск. С. 104-125.

98. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги пауки и техники. Серия: Общая механика. 1974. Т. 2. С. 5-52.

99. Овсянников Л.В. Некоторые задачи, возникающие в групповом анализе дифференциальных уравнений // Динамика сплошной среды. 1974. Вып. 18. Новосибирск. С. 211- 238.

100. Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред. Часть I. Новосибирск: НГУ. 1976.

101. Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред. Часть И. Новосибирск: НГУ. 1977.

102. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальныхуравнений. М.: Наука. 1978.

103. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981.

104. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Препринт ИГиЛ СО РАН. Новосибирск. 1992.

105. Овсянников Л.В. О свойстве х-автономпи // Докл. АН. 1993. Т. 330. №5. С. 559-561.

106. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. АН. 1993. Т. 333. №6. С. 702-704.

107. Овсянников Л.В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 10. С. 17921799.

108. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика //ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 30-55.

109. Овсянников Л.В. Двойные звуковые волны // СМЖ. 1995. Т. 36. №3. С. 611-618.

110. Овсянников Л.В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т. 36. №3. С. 45-52.

111. Овсянников Л.В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл. АН. 1995. Т. 343. № 2. С. 156-159.

112. Овсянников Л.В. Инвариантные интегральные законы сохранения // Докл. АН. 1996. Т. 351. № 5. С. 559-602.

113. Овсянников Л.В. Регулярные типа (2, 1) подмодели уравнений газовой динамики//ПМТФ. 1996. Т. 37. № 2. С. 3-13.

114. Овсянников Л.В., Чупахин А.П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // ПММ. 1996. Т. 60. № 6. С. 990-999.

115. Овсянников Л.В. Каноническая форма инвариантныхподмоделей газовой динамики. Препринт № 3-97 ИГиЛ СО РАН. Новосибирск. 1997.

116. Овсянников Л.В. Групповая классификация подмоделей газовой динамики // Тр. Математического института им.

117. B.А.Стеклова. 1998. Т. 223. С. 21-29.

118. Овсянников Л.В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. АН. 1998. Т. 361. № 6.1. C. 740-742.

119. Овсянников Л.В. Плоские течения газа с замкнутыми линиями тока//Докл. АН. 1998. Т. 361. № 1. С. 51-53.

120. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы «Подмодели» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63. № 3. С. 362-372.

121. Овсянников Л.В. О «простых» решениях уравнений газовой динамики политропного газа // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 2. С. 5-12.

122. Овсянников Л.В. Газовый маятник // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 5. С. 115-119.

123. Овсянников Л.В. О периодических движениях газа // ПММ. 2001. Т. 65. №4. С. 567-577.

124. Овсянников Л.В. Симметрия барохронных движений газа // СМЖ. 2003. Т. 44. № 5. С. 1098-1109.

125. Овсянников Л.В. Групповая классификация уравнений вида у" = /(jc, у) II ПМТФ. 2004. Т. 45. №2. С. 5-10.

126. Олвер 77. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989.

127. Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя // ЖВМиМФ. 1961. Т. 1. № 2. С. 280-294.

128. Понтрягин JI.С. Непрерывные группы. М.: Наука. 1973.

129. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука. 1986.

130. Постников М.М. Линейная алгебра. М.: Наука. 1986.

131. Пухначев В.В. Групповые свойства уравнений Навье Стокса в плоском случае // ПМТФ. 1960. № 1. С. 83-90.

132. Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений Навье — Стокса, описывающие движения со свободной границей // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202. № 2. С. 302-305.

133. Пухначев В.В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично инвариантными решениями уравнений Навье Стокса // Динамика сплошной среды. 1972. Вып. 12. Новосибирск. С. 131-146.

134. Пухначев В.В. Эволюционные уравнения и лагранжевы координаты // Динамика сплошной среды. 1985. Вып. 70. Новосибирск. С. 127-141.

135. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 3. С. 535-538.

136. Пухначев В.В. Точные решения уравнений гидродинамики, построенные на основе частично инвариантных // ПМТФ. 2003. Т. 44. №3. С. 18-25.

137. Пухначев В.В. Точные решения уравнений движения несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла // ПМТФ. 2009. Т. 50. №2. С. 16-23.

138. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Изд-во литературы по строительству. 1968.

139. Рисс Ф., Сёкефалъви-Надь Б. Лекции по функциональномуанализу. М.: Мир. 1979.

140. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978.

141. Свирщевский С.Р. Групповые свойства модели теплопереноса с учетом релаксации теплового потока. Препринт № 105 ИПМ АН СССР. М. 1988.

142. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука. 1970.

143. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука. 1970.

144. СеррЖ.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир. 1969.

145. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1984.

146. Снеддон И.Н., Бери Д. С. Классическая теория упругости. М.: ГИФМЛ. 1961.

147. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

148. Субоч Ю.Ф. Об одном групповом свойстве систем дифференциальных уравнений // Динамика сплошной среды. 1971. Вып. 6. Новосибирск. С. 201-207.

149. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ. 1973.

150. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972.

151. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975.

152. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.

153. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. М.: Наука. 1963.

154. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.

155. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.; М.: ОНТИ. 1937.

156. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука. 1990.

157. Хабиров С.В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой воды // Динамика сплошной среды. 1969. Вып. 3. Новосибирск. С. 82-90.

158. Хабиров С.В. Бесконечные непрерывные группы преобразований трехмерного пространства, задаваемые системами дифференциальных уравнений первого порядка // Динамика сплошной среды. 1972. Вып. 12. Новосибирск. С. 131-146.

159. Хабиров С.В. О структуре псевдогруппы, допускаемой уравнениями идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 24. Новосибирск. С. 105-115.

160. Хабиров С.В. Нестационарное инвариантное решение уравнений газовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума//ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 967-975.

161. Хабиров С.В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие бесконечные алгебры Ли Бэклунда // Математические заметки. 1990. Т. 47. Вып. 1. С. 168-170.

162. Хабиров С.В. Применение контактных преобразований неоднородного уравнения Монжа — Ампера в одномерной газовой динамике // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 2. С. 333-336.

163. Хабиров С.В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Докл. АН. 1995. Т. 341. № 6. С.764.766.

164. Хабиров С.В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике//ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 53-65.

165. Хабиров С.В. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Математические заметки. 1996. Т. 59. Вып. 1. С. 133-141.

166. Хабиров С.В. Подмодель вращательных движений газа в однородном поле сил // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 263271.

167. Хабиров С.В. Подмодель вращательных движений в газовой динамике // ПМТФ. 1998. Т.39. №6. С. 37-45.

168. S.V. Khabirov. Submodels of gasdynamics, Inter-disciplinary workshops symmetry analysis and mathematical modeling. Mmabatho-Pretoria. 1998. P. 76-85.

169. S.V. Khabirov, G. Unal. Submodels of isotropic turbulence. Interdisciplinary workshops symmetry analysis and mathematical modeling. Mmabatho-Pretoria. 1998. P. 86-93.

170. Хабиров С.В. Течения газа по спиральным поверхностям уровня // ПМТФ. 1999. Т.40. №2. С. 34-39.

171. S.V. Khabirov. Submodels of the Spiral Stationary Motion in Gras Dynamics. Modern Group Analysis VII. Mars Publishers, Symmetry Foundation. 1999. Thondheim, Norway. P. 181-187.

172. Хабиров С.В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики к каноническому виду // Математические заметки.1999. Т. 66, Вып. 3. С. 439- 444.

173. S.V. Khabirov. Optimal systems of symmetry subalgebras for big models of gasdynamics // Quastions Mathematicae. 2001. Volume 24, Number 2. P. 133-146.

174. S.V. Khabirov, G. Unal. Group analysis of the von Karman -Howarth equation. Part II. Phisical invariant solution // Elseiver.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 7(2002). P. 19-30.

175. Хабаров С.В. Нерегулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 1 уравнений газовой динамики // СМЖ. 2002. Т. 43. №5. С. 1168-1181.

176. Хабиров С.В. Течения газа со спиральными и винтовыми линиями уровня // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 6. С. 32-38.

177. S.V. Khabirov. Optimal systems of symmetry subalgebras for big models of gasdynamics // Selsuk Journal of Appliid Mathematics. 2002. Vol. 3, № 2. p. 65-80.

178. S.V. Khabirov. Definition of the differential invariant submodels and an example of its classification // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Elseiver. 9(2004). P. 473-480.

179. Хабиров С.В. Непрерывное радиальное ограниченное движение газа под действием поршня // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 2. С. 124-135.

180. Хабиров С.В. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей // СМЖ. 2004. Т. 45. № 3. С. 682-701.

181. Хабиров С.В. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа // Математические заметки. 2006. Т.79, Вып.4. С. 601-606.

182. Хабиров С.В. Моделирование схождения сферической ударнойволны по теплопроводному газу // Сибирский журнал индустриальной математики. Том X. №1(29). 2007. С. 140-152.

183. Хабиров С.В. Частично инвариантные решения для подмодели радиальных движений газа // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 5. С. 2634.

184. Хабиров С.В. Непрерывное сопряжение специальных неизэнтропических одномерных движений газа // Труды института математики и механики УрО РАН. Т. 14, № 1. 2008. С. 22-30.

185. Хабиров С.В. Галилеево-инвариантная осесимметричная автомодельная подмодель газовой динамики без закрутки // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 2. С. 46-52.

186. Хамитова Р.С. Структура группы и базис законов сохранения // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 52. № 2. С. 244-251.

187. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.;Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1940.

188. Чиркунов Ю.А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 14. Новосибирск. С. 138-140.

189. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1975. Вып. 23. Новосибирск. С. 219-225.

190. Чиркунов Ю.А. О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка, допускающих группу максимальной размерности // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 24. Новосибирск. С. 124-137.

191. Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах уравнения Дарбу // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 27. Новосибирск. С. 101-115.

192. Чиркуиов Ю.А. О построении методами группового анализа обобщенных формул Пуассона // Динамика сплошной среды. 1979. Вып. 39. Новосибирск. С. 135-151.

193. Чиркунов Ю.А. Установившиеся колебания в неоднородном полупространстве при наличии гиперплоскости вырождения // Динамика сплошной среды. 1983. Вып. 63. Новосибирск. С. 94-106.

194. Чиркунов Ю.А. Нелинейные вязкоупругие одномерные модели Кельвина // Динамика сплошной ' среды. 1984. Вып. 64. Новосибирск. С. 121-131.

195. Чирщтов Ю.А. Групповая классификация одного класса систем квазилинейных уравнений // Динамика сплошной среды. 1984. Вып. 67. Новосибирск. С. 135-144.

196. Чиркунов Ю.А. Инвариантные продольные колебания вязко-упругого стержня // Динамика сплошной среды. 1985. Вып. 71. Новосибирск. С. 144-155.

197. Чиркунов Ю.А. Об условиях единственности решения уравнения колебаний в неоднородной среде с максимальной симметрией // Динамика сплошной среды. 1986. Вып. 75. Новосибирск. С. 151-159.

198. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Конформная инвариантность в эластостатике // Динамика сплошной среды. 1987.Вып. 82. Новосибирск. С. 110-120.

199. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 471^177.

200. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений классической теории упругости // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. №6. С. 1353-1356.

201. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений теории упругости // В кн.: Математические методы в механике. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1989. С. 38.

202. Чиркунов Ю.А. Групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 155-159.

203. Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений гидродинамики и газовой динамики // Международный семинар «Современный групповой анализ». Уфа. 1991. С. 28-29.

204. Чиркунов Ю.А. Об одной конформно-инвариантной системе первого порядка, равносильной волновому уравнению // СМЖ. Депонирована в ВИНИТИ за № 1604-В91 от 15.04. 1991 г. 15 с.

205. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения уравнений гидродинамики // Применение математических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ, 2002. С. 125131.

206. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения безвихревого движения идеального газа // Применение математических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ, 2002. С. 132-138.

207. Чиркунов Ю.А. Групповая классификация уравнений одномерного изэнтропического движения газа I! Применениематематических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ. 2002. С. 139-142.

208. Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений голоморфного вектора // Применение математических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ, 2002. С. 143-147.

209. Чиркунов Ю.А. Групповое свойство обобщенных уравнении Коши — Римана // Математические методы в прикладных исследованиях. Новосибирск: НГАЭУ, 2003. С. 166-169.

210. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирский государственный университет экономики и управления. 2007.

211. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений газовой динамики //Всероссийская конференция «Математика в приложениях», приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2009. С. 269-270.

212. Chirkunov Yu.A. On the structure of point transformations, admitted by system of linear differential equations // International Conference "Modern Group Analysis (MOGRAN-13)". Ufa, Russia. 2009. P. 36.

213. Чиркунов Ю.А. Метод А-операторов и законы сохранения для уравнений газовой динамики // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 5360.

214. Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах и законах сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 3. С. 64-70.

215. Чиркунов Ю.А. Системы линейных дифференциальных уравнений, симметричные относительно преобразований, нелинейных по функции // СМЖ. 2009. Т. 50. № 3. С. 680-686.

216. Чиркунов Ю.А. Условия линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН. 2009. Т. 426. № 5. С. 605-607.

217. Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости // Известия АН. Механика твердого тела. 2009. № 3. С. 47-54.

218. Чиркунов Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 587-593.

219. Чупахин А.П. Нелинейные конформно-инвариантные уравнения в пространстве V4 с нетривиальной конформной группой // Динамика сплошной среды. Вып. 25. Новосибирск. 1976. С. 122-152.

220. Чупахин А.П. О барохронных движениях газа // Докл. РАН. 1997. Т. 352. №5. С. 624-626.

221. Чупахин А.П. Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (1, 2) и (1, 1). Новосибирск: Препринт ИГиЛ СО РАН № 4- 98. Новосибирск. 1998.

222. Чупахин А.П. Не барохронные подмодели типов (1, 2) и (1, 1) уравнений газовой динамики. Препринт ИГиЛ СО РАН №5-98. Новосибирск. 1998.

223. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука. 1979.

224. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы. М.: ИЛ. 1947.

225. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ. 1948.

226. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука. 1985.

227. Ames W.F. Nonlinear partial differential equations in ehgineering. New York London< Acad. Press, 1965. - Vol. 1; 1972. - Vol. 2.

228. Anderson R.L., Kumei S. Wulfman C.E. Generalisation of the Concept of Invariance of Differential Equations. Results of Applications to Some Schrodinger Equations. Phys. Rev. Letters, 1972, 28, № 15,988-991.

229. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Rodionov A.A. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. -Netherlads. Kliver Academic Publishers. 1998. -396 p.

230. Birkhoff G. Analytical Groups Trans. Amer. Math. Soc., 1938, 43, № 1, 61-101.

231. Birkhoff G. Hydrodynamics. Princeton, New Jersey, Princenton University Press, 1960 / Перевод Биркхоф Г. Гидродинамика. М.: Ил. 1963.

232. Birkhoff G. Dimensional analysis of partial differential equations. Electrical Engineering, 1948, 67, 1185-1188.

233. Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity of the heat equation. J. Math. And Mech., 1969, 18, № 11, 1025-1042.

234. Buckingham E. Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. Amer. Soc. Mech. Tbg., 1915, 37, 263-296.

235. Cahdotti E., Palmieri C., Vitale D. On the Inversion of Noether's Theiorem in the Lagrangian Formalism. Nuovo Cimento, 1970, 70 A, 233-246.

236. Cartan E. Sur la structure des groupes infmis de transformation. CEUVRES, Partie 2, v. 2, Paris, 1953, 571-714.

237. Cole J.D. Perturbation Methods in Applied Mathematics. Toronto -London, 1968 / Пер. Дж. Коул. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972.

238. Delsarte J. Les groupes de transformations lindares dans l'espace de Hilbert. Memorial Г Academe Sci. Paris. Fash. LVII, Paris, 1932, 1-60.

239. Dikson L.E. Differential equations from group standpoint. Ann. Of Math., ser. 2, 1924, 25, 287-378.

240. Germain P., Liger M. Une nouvelle approximation pour Гё1ис1е des ecoulement subsoniques et transsoniques. C.R. Acad. Sci. Paris, 1952, №234, 1846-1848.

241. Greenderg J.M., MacCamy R.C., Mizel V.J. On the Existence, Uniqueness, and Stability of Solutions of the Equation

242. S'{ux ^ju^ + Лихх = pQUtr Journal of Mathematics and Mechanics. 1968. V. 17, №7. P. 707-728.

243. Greenberg J.M. On the Existence, Uniqueness, and Stability of Solutions of the Equation p0X,t =E(Xx)Xvv +A%xxl. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 25. 1969. P. 575-591.

244. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Edited by N.H. Ibragimov. CRC Press. USA :

245. Vol. 1. Symmetries, exact solutions, and conservation laws. 1994. 429 p.

246. Vol. 2. Applications in engineering and physical sciences. 1995.546 р.

247. Vol. 3. New trends in theoretical developments and Computational methods. 1996. 536 p.

248. Harrison B.K., Estabrook F.B. Geometric approach to invariance groups and solutin of partial differential systems. J. Math. Phys. 1971. 12. №4. P. 653-666.

249. Indnii T. Contraction of Lie Groups and their Representations. Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Phesics. Lectures of the Istanbul Summer School of Theor. Phys., Ankara, Turkey, 1962.

250. Indnii Т., Wigner E.P. On the Contraction of Groups and their Rapresentations. Proc. Nat. Acad. Sci. (USA), 1953, 39, № 6, 510524.

251. Killing W. Ueber die Grundlagen der Geometrie. J. Reine und Angew. Math. (Crelle), 1892, 108, 121-186.

252. Kucharczyk P. Teotia grup Liego w zastosowaniu do rownan rozniczkoeych czastkwych. Warxzawa, Inst. Podstawowych Problemow Techniki Polckiej Akad. Nauk, 1967.

253. Kurasishi M. On the local theory of continuous infinite pseudo-groups, I, II, Nagoea Math., J., 1959, 15,225-260; 1960, 19,55-91.

254. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partiellen Differentialgleichungen. Arch. Fur Math., 1881, 6, Helt 3,328-368.

255. Lie S. Classification und Integration von gewohnlichen Differentialgleischungen zwichen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestaten. Archiv for Math. Og Naturv., Christiania, 1883,9,371-393.

256. Lie S. Uber Differentialinvariaten. Math. Ann., 1884, 24, 52-89.

257. Lie S. Allgemeine Untersuchungen uber Differentialgleichungen die eine continuirliche, endliche Gruppe gestatten. Math. Ann. 1885, 25, Heft; 71-151.

258. Lie S. Untersuchungen uber undenliche Kontinuirliche Gruppen. Ber. Sachs., 1895, 21, 43-150.

259. Lie S. Engel F Theorie der Transformatiosgruppen, Bd. 1, 2, 3. Leipzig, Teubner, 1888, 1890, 1893.

260. Medolaghi P. Sulla Theoria dei gruppi infmiti continui. Annali di Matematica, 1897, 25, 179-217.

261. Medolaghi P. Classificazione delle equationi alle derivate parziali del secondo ordine, che ammetono un gruppo infmito di transformationi puntali, Annali di Mai. Рига Appl. Ser. IIIй, 1898, 1, 229-263.

262. Michal A.D. Differential invariants and invariant partial differential equations under continuous transformation groups in normed linear spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1951, 37, № 9, 623-627.

263. Morgan A.J.A. The reduction be one of the number of independent variables in some systems of partial differential equations. Quart, J. Math. Oxford (2), 1952, 3, № 12, 250-259.

264. Morgan A.J.A. On the construction of constitute equations for continuous media. Arch. Mechaniki Stosowanej, 1965, 17, № 1, 145-174.

265. Munk М., Prim R. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern // Proc. "Nat. Acad. Sci. USA, 1947. -V. 33.-P. 137-141.

266. Noether E. Invariante VariationsprobJeme. Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Gottingen, Math.-Phys. Kl., 1918. P 235-257/ Перевод в сб. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1959. С. 611-630.

267. Pauli W. On the Conservation of the Lepton Charge. Nuovo Cimento, 1957, 6, № 1, 204-214.

268. Penrose R. Conformal Treatment of Infinity. Relativity, groups and topology the 1963 Les Houches Lectures, New York, 1964< 565593 / Перевод в сб. Гравитация и топология. М.: Мир 1966. С. 152-181.

269. Rogers С. The Construction of Invariant Transformations in Plane Rotatoinal Gasdynamics. Archive Rat. Mech. Anal. 1972, 27, № 1, 36-46.

270. Truesdell C. A First Course in Rational Mechanics of Continua. New York London, 1972.