Матричные дифференциальные уравнения в базисе алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Условные обозначения.

Введение.

Некоторые сведения из теории алгебр Ли.

Глава I. Односторонние матричные линейные дифференциальные уравнения.

§1. Односторонние МЛОДУ.1 в базисе алгебр Ли.

1.1. Основные свойства.

1.2. Экспоненциальное решение.

1.3. Мультипликативно-экспоненциальное решение.

1.4. МЛЛОДУ. 1 в двумерном пространстве.

1.5. МЛЛОДУ. 1 в присоединенном матричном представлении.

1.6. Линейные диффеоморфизмы.

1.7. Приводимость МЛООДУ.1.•.

§2. Односторонние МЛОДУ. 1 общего вида.

2.1. Общие свойства.

2.2. Экспоненциальное решение однородного МЛОДУОВ.1.

2.3. Мультипликативно-экспоненциальное решение.

2.4. Линейные дифеоморфизмы.

2.5. Приводимость однородного МЛОДУОВ.1.

§3. Системы односторонних МЛОДУ. 1.

3.1. Оператор Гаусса.

3.2. Системы матричных односторонних алгебраических линейных уравнений.

3.3. Интегрируемость систем односторонних МЛОДУ.1.

3.4. Система второго порядка.

3.5. Линейные диффеоморфизмы и приводимость однородных СМЛЛОДУ. 1.

3.6. Односторонние системы общего вида.

§4. Матричные линейные уравнения высших порядков.

4.1. Разрешимость в квадратурах МЛОДУ. 2.

4.2. Некоторые свойства односторонних МЛОДУ.2.

4.3. Односторонние уравнения третьего порядка.

4.4. Матричные линейные уравнения высших порядков.

4.5. Два типа разрешимости МЛЛОДУ.К.

4.6. Линейная полиприводимость матричных уравнений высших порядков.

Глава П.Двусторонние матричные линейные дифференциальные уравнения.

§1. Двусторонние уравнения первого порядка.

1.1. Редуцирование матричных уравнений.

1.2. Интегрирование двусторонних МЛОДУ.1.

1.3. Один тип МЛОДУСДУ. 1.

§2. Системы МЛОДУСДУ. 1.

2.1. Условия интегрируемости.

2.2. Двумерная система МЛОДУСДУ. 1.

2.3. Пример.

§3. МЛОДУСДУ высших порядков.

3.1. Факторизуемые матричные двусторонние уравнения высших порядков.

3.2. Пример.

3.3. О МЛОДУСДУ высших порядков, эквивалентных матричным системам с двусторонним умножением.

3.4. Пример.

Глава П1. Нелинейные матричные дифференциальные уравнения.

§1. Квазилинейные МОДУ. 1.:.

1.1. Определение и свойства квазилинейных уравнений.

1.2. Экспоненциальное решение квазилинейного уравнения.

1.3. Мультипликативно-экспоненциальное решение.

1.4. Квазилинейное уравнение в базисе трехмерной нильпотентнои алгебры Ли.

§2. Дифференциально-автоморфные уравнения.

2.1. Определение и свойства дифференциально-автоморфных уравнений.

2.2. ДАУ.1 в базисе разрешимых ¿2 и Хз.

2.3. Неоднородное ДАУ.1.

2.4. ДАУ. 1 обшего вида.

2.5. Системы ДАУ.1.

§3. Нелинейные уравнения высших порядков.

Глава ТУ.Применение матричных дифференциальных уравнений к исследованию скалярных ОДУ.

§1. Линейные уравнения второго порядка.

1.1. Скалярные ЛОДУ.2.

1.2. Связь ЛОДУ.2 и уравнения Риккати.

1.3. ЛОДУ.2, порождаемые триангулируемыми системами ЛОДУ. 1.

§2. Линейные уравнения третьего порядка.

2.1. ЛОДУ.п в присоединенном представлении алгебр Ли.

2.2. ЛОДУ.3 в ПМП разрешимых.

2.3. Обший вид ЛОДУ.З в ПМП разрешимых 1Л.

2.4. ЛОДУ.З в ПМП простой некомпактной Ьт,.

2.5. ЛОДУ.З в ПМП простой компактной Ьт,.

2.6. ЛОДУ.З, порождаемые треугольной системой.

2.7. Эндоморфные преобразования решений ЛОДУ.

2.8. Полиприводимость ЛОДУ.

§3. Системы скалярных дифференциальных уравнений.

3.1. Системы однородных ЛОДУ.

3.2. Кривая Монжа квазилинейного уравнения в частных производных.

3.3. Один вид квазилинейной скалярной системы.

Диссертация посвящена исследованию матричных обьпсновенных дифференциальных уравнений над действительным полем R . Теорема Адо И.Д. [2] о представлении линейных операторов матрицами позволяет их рассматривать как представление дифференциальных уравнений над ассоциативными алгебрами. Подобные уравнения описывают многие реальные процессы. Примерами их являются эволюционные уравнения Шредингера, Гейзенберга и т.д. [72, стр.42, 51], на которых основана новейшая физика. Класс таких уравнений имеет свои специфические особенности, определяющие методы их исследования. Так как матричное множество есть алгебра, то уравнения над ним неизбежно должны рассматриваться с применением алгебраических методов, включая теоретико-групповые и лиево-алгебраические. Последние имеют особое значение, т.к. позволяют одновременно исследовать и пространственные, и операционные свойства матричного многообразия. Именно поэтому в диссертации матричные уравнения рассматриваются в базисе алгебр Ли и исследуются с применением аппарата этой теории.

Использование алгебраических и групповых методов анализа ДУ имеет свою историю. Как известно, приоритет в применении групп к их исследованию принадлежит С.Ли. Уже в начале нашего столетия его плодотворные идеи стали успешно применяться и развиваться в самых различных областях. Так, в 1990 г. Wilczunski E.J. [168] опубликовал исследование с их помощью уравнений гидродинамики, продолженное в двадцатые годы Биргкофом Г. [18], а в сороковые - Станюковичем К.П. [ПО]. В 1902-1904 гг. вышли в свет работы Baker M.F. [124-127] и Vessiot Е. [162], рассматривавших групповые свойства линейных дифференциальных систем. В 1924 г. это исследование продолжил DichsonL.E. [133].

Однако групповой «Ренессанс» в дифференциальных уравнениях начался в шестидесятые-семидесятью годы с работ Овсянникова Л.В., изучавшего уравнения газо-, гидро- и термодинамики [85-87]. Это направление успешно развивалось его учениками и последователями: Ибрагимовым Н.Х. [56-58], Дородницыным В.А. [41,42],Жибером A.B. [50,51] и многими другими.

Заметный импульс применению теоретико-групповых методов анализа уравнений физики и механики дали работы Петрова А.З. и его школы [4, 97-99],

-8в которых классифицировались поля тяготения общей теории относительности по группам движений. В шестидесятые - семидесятые годы Сибирский К.С. [109] активно применял инвариантно-групповые методы в качественной теории дифференциальных уравнений. Аналогичные исследования велись и за рубежом. Достаточно полная библиография иностранных авторов содержится в книге Олвера П. [90]. В последние годы вышло много статей по групповому исследованию ДУ. Анализировать эту литературу чрезвычайно сложно. Однако необходимо отметить новое направление дискретно-группового анализа нелинейных уравнений, разрабатьюаемое Зайцевым В.Ф. [53-55] и его учениками.

Исследование групп невозможно без привлечения аппарата теории алгебр Ли (АЛ). Наиболее рано и плодотворно он стал применяться в гамильтоновой механике. В 1967 г. вышла статья Mukunda N. [155], в которой определялись лиево-алгебраические структуры, порождаемые различными операторами классической механики. В 1974 г. (книгой Арнольда В.И. [9]) этот аппарат вошел в отечественную учебную литературу по механике. Это перспективное направление в нашей стране представляют Архангельский А.Л. [10], Богоявленский О.И. [21-23], Емельянова И.С. [44], Козлов В.В. [61,62], Мищенко A.C. [84,85], Павловский Ю.Н. [91-93], Переломов A.M. [94], Рейман А.Г. [103,104], Семенов-Тян-Шанский М.А. [103], Сенашев СИ. [107], Трофимов В.В. [112,113], Фоменко А.Т. [84,85], Яковенко Г.Н. [123,124] и другие. Активно эти методы разрабатьшаются и за рубежом. Например, Fokas A.S. [136-138] и Prince G.E. [157,158].

Теоретико-групповые и лиево-алгебраические методы исследования скалярных ДУ далеко не в полной мере характеризуют уровень «алгебризации» этой математической дисциплины. К ним, несомненно, следует отнести и методы дифференциальной алгебры (Капланский И. [60]). Однако, этот формализм не используется в диссертации. Отмечавшиеся же выше работы прямо или косвенно определяли постановки задач и методы их решения при рассмотрении матричных дифференциальных уравнений, исследуемых в данной работе.

Характеризуя достигнутые результаты в этой области, прежде всего отметим, что существенная разница в исследовании ДУ над матричным кольцом и числовым полем была замечена уже на заре развития теории систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, когда была установлена связь между ними и матричными ЛОДУ. I. Ж.-П.Лагранж, О.Л.Коши, К.Г.Якоби и ЖЛиувиль [27, 105, 111], заложившие основы матричного метода исследования таких систем, первыми ощутили специфическую сложность матричных уравнений, связанную с неперестановочностью умножения.

Однако особенности МЛ ОДУ. 1, обусловленные оперированием элементами некоммутативного кольца, в полной мере были выявлены в упоминавшемся цикле работ Baker H.F. Он был вынужден вводить понятия функции матричного аргумента и ее производной, давать достаточные условия представимости в экспоненциальном виде решений однородного МЛ0ДУ.1, определять правило умножения матричных экспонент. Им определен матрицант в форме интегрального ряда и установлена связь МЛ ОДУ. 1 с непрерывными группами линейных преобразований i?". Аналогичные исследования проводили упоминавшиеся выше Vessiot Т., а позже - Dichson L.E. и другие.

В тридцатые годы Лаппо-Данилевский И.А. [73] определял решение регулярных МЛ0ДУ.1 как произвольную функцию матричного аргумента, используя методы приведения матриц к каноническим формам. Его достаточное условие экспоненциальной разрешимости уравнениях = АХ, [Ä,i Adt] = О, долгое время широко использовалось в научной литературе. Однако, если матрица А принадлежит алгебре Ли, то записанное условие означает ее абелевость. Путем смягчения требования на показатель экспоненциального решения в диссертации расширяется класс алгебр до разрешимых (I гл. п. 1.2). Методом эквивалентных преобразований исследовал матричные дифференциальные уравнения в 1940 г. и Лузин H.H. [74].

Однако, рассматривать МЛ0ДУ.1 как уравнение над ассоциативной алгеброй, впервые, видимо, начал Magnus W. в статье [146] (1954 г.). Выход ее в свет, по признанию автора, стимулирован публикацией в 1951 и 1953 годах работ Feynman R.P. [135] и Friedrich К.О. [139], посвященных операторным уравнениям квантовой механики. Работа Магнуса В. открывает новое направление в теории дифференциальных уравнений, к которому относится диссертационная тема. В своей работе автор вводит понятие дифференцирования переменных элементов ассоциативного кольца и исследует условия представимости в экспоненциальной форме решения линейного дифференциального уравнения первого порядка над ним. Во второй части статьи полученные результаты переносятся на матричный случай.

Работы В.Магнуса положили начало интенсивному изучению операторных уравнений. Об этом свидетельствует рост числа публикаций, посвяшенных им, особенно на страницах «J. of Mathematical Physics». В 1961 г. опубликована статья Wichmar! E.H. [166], в которой рассматривались системы ЛОДУ.1 классической и квантовой механик в базисе алгебр Ли. В работе устанавливалась зависимость возможности понижения порядка системы от структуры алгебры. Двумя годами позже вышли работы Wei J. и Norman Е. [164,165] о представимости решения линейного дифференциального уравнения первого порядка над АЛ в мультипликативно-экспоненциальном виде. Они установили, что подобное представление существует для всей области непрерывности функциональных параметров уравнения, если алгебра Ли разрешима. Конкретные физические задачи с привлечением методов теории АЛ рассматривали Mori М. и Fujita J. [153,154], Light С. и Pechucas P. [145], MilhoUand R. [151,152] и другие. В 1961 г. Nagano Т. [156] анализировал с помощью этого аппарата сингулярные линейные дифференциальные системы. Через год вышла статья Wilcox R.M. [167], в которой автор обсуждал представимость решения МЛ ОДУ. 1 над алгеброй Ли в экспоненциальной форме, эта работа использовала последние результаты в области дифференцирования функций от операторов, активно разрабатывавшейся во многих странах [37,38,148-150]. В 1981 году Sontag E.D. [162] рассматривал линейные системы над коммутативным кольцом. В 1988 году Gonzales L.A. [140] исследовали АЛ групп симметрии линейных систем второго порядка. ЛОДУ над матричными группами исследовали Hazewinkel М. [141], Hill J.M. [142], Iserles А. [143] и другие.

Из отечественных авторов работ аналогичного направления можно отметить Богданова Ю.С. и Чеботарева Г.Н. [19], Винокурова В.А. [33], Еругина Н.П. [45], Морозова В.В. [86], Шифнера Л.М. [120], которые исследовали условия представимости в определенных видах решений МЛОДУ.1. Например, Еругин Н.П. [45] искал решение матричного уравнения Y = Y(Ui<Pi + U2(P2)A где Uj - постоянные матрицы, а - скалярные функции /, в виде

- и

Y = QxpSQxp(U2¡(P2di)- [SS] = 0 . в 1959 году Морозов В.В. [86] показал, что это возможно, если и только если Uj порождают алгебру Ли, содержащую коммутативный идеал. В 1960 г. Салахова И.М. и Чеботарев Г.Н. [106] обобщили постановку задачи Еругина Н.П. на случай принадлежности матричного параметра уравнения объединению двух алгебр Ли. В 1972 году Митропольский Ю.А. и Лопатин А.К. методами теории алгебр Ли исследовали условия разложения системы ЛОДУ. 1 на независимые подсистемы [83].

Так как все эти работы имеют определенную связь с диссертационным исследованием, то, уточняя эту связь, отметим следующее. Изучаемый в §1 первой главы вопрос об условиях представимости решений МЛОДУ.1 в экспоненциальном и мультипликативно-экспоненциальном видах непосредственно продолжает исследования Магнуса, Вея, Нормана, Вилкокса и ряда других, упоминавшихся выше, авторов. Важнейшей отличительной чертой рассматривавшейся в настоящей работе задачи является то, что эти условия напрямую связываются со структурными константами алгебры Ли и проекциями матричных параметров уравнения на ее базис. Так как при подобной постановке задачи исследуемые условия определяются с точностью до задания представления АЛ при произвольной ее структуре, то рассматриваемая в диссертации задача обобщает задачи предшествующих работ.

В начале шестидесятых годов интерес к матричным ДУ резко возрос в связи с развитием «теории управления», где также использовался аппарат теории групп и алгебр Ли. Среди зарубежных авторов это направление представляют Broken R.W., Rahirai A.L. [131], Bonnard В., Tebbikh Н. [130], Bittani S., Colaneri P., De Nicolao G. [129], Chon I. [132], Leiva H. [144]. и т.д. В нашей стране его развивают Андрианов С.Н., Войтенко С.С., Хрящев СМ. [6], Вершик A.M., Гершкович В.Я. [32], Елкин В.И. [47-49], Павловский Ю.Н. [49,91-93], Яковенко Г.Н. [49,93,123,124] и другие.

В этом кратком обзоре нет возможности дать полную оценку библиографии, посвященной применению алгебраических методов в теории ДУ. Тема диссертации ставит естественные границы рассматриваемой литературы, не позволяя отклоняться от главной цели: характеристики истории и современного уровня использования' лиево-алгебраических методов исследования матричных дифференциальных уравнений. Это не дает возможности отметить большое число авторов, внесших огромный вклад в исследование МЛОДУ. 1 и их обобшений. В крупных циклах работ Барбашина Е.А. [11,12], Былова Б.Ф. [28,29], Воскресенского ЕВ. [34], Красносельского М.А. и Крейна С.Г. [64,65], Красовского H.H. [66,67], Матросова В.М. [77,78], Миллионщикова В.М. [80-82], Персидского К.П. [95,96], Плисса В.А. [100], Шестакова A.A. [118] и многих других авторов очень широко использовались самые разнообразные матрично-операторные методы анализа МЛОДУ. 1. Эти методы позволили в последнее время перейти к различным обобшениям линейных уравнений. Из подобных обобшений следует, в первую очередь, отметить матричные уравнения Риосати, исследованию которых сейчас уделяется много внимания [133,140,160,161]. Все эти работы, как и обширнейшая учебно-монографическая литература по дифференциальным уравнениям [1,3,7,8,14,16,17,35,39,46,52,101,114,115], говорят о глубоком проникновении матрично-алгебраических методов в данную область математики, подтверждая необходимость применения для их исследования всей мощи современного алгебраического аппарата.

Переходя к характеристике диссертационной работы, отметим некоторые ее особенности.

Актуальность темы. Матричные обьшновенные дифференциальные уравнения (МОДУ), описывающие различные процессы реального мира, играют важную роль в современной науке. Определение основных свойств таких уравнений и их решений невозможно без привлечения специфических матричных методов. А так как матричное множество является некоммутативной алгеброй, то особенно важным среди них являются методы теории алгебр Ли. Именно они позволяют учитьшать как пространственные, так и мультипликативные особенности матричных многообразий. Рассмотрение МОДУ в базисе алгебр Ли LAj позволяет устанавливать зависимость важнейших характеристик уравнений от алгебраической структуры LjA, определяемой структурными константами алгебры Qy. Необходимость установления такой зависимости определяется несколькими причинами: она 1) позволяет классифицировать матричные уравнения; 2) дает возможность варьировать представления их для получения необходимых видов; 3) помогает определять группы преобразований, относительно которых инварианты МОДУ. Все это позволяет существенно упрощать исследование матричных уравнений.

Цель работы заключается в применении лиево-алгебраических методов для исследования матричных обьшновенных дифференциальных уравнений и их систем. Конкретнее, целью исследования является установление зависимости ряда их важнейших свойств от структуры, вообще, и структурных констант Су , в частности, алгебр Ли, содержащих матричные параметры рассматриваемых уравнений. При этом исследовались: а) условия разрешимости в квадратурах; б) возможность представления решений в определенных видах функций лиевых элементов; в) свойства некоторых видов диффеоморфных преобразований множества частных решений этих уравнений; г) условия сводимости МЛОДУ. 1 и их систем к аналогичным уравнениям и системам с постоянными коэффициентами.

Целью работы также являлось: д) исследование нелинейных матричных уравнений, обобщающих односторонние МЛОДУ. 1; е) применение полученных результатов к теории скалярных ДУ. Новизна.полученных результатов определяется новизною как постановок задач, так и используемых методов их решения. Так, при исследовании односторонних МЛОДУ. 1 впервые установлена связь между проекциями показателей экспоненциального и мультипликативно-экспоненциального решений и структурными константами алгебры Ли, содержащей матричный параметр уравнения. С помощью введенных операторов Гаусса даны формулы для решения систем линейных алгебраических уравнений. Это позволило впервые поставить и решить задачу о достаточных условиях разрешимости в квадратурах систем матричных дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков. Впервые рассматривались матричные линейные уравнения с двусторонним умножением на переменные матричные параметры, квазилинейные и дифференциально-автоморфные уравнения. Исследование этих классов МОДУ позволило указать новые виды интегрируемых в квадратурах скалярных систем линейных уравнений высших порядков и некоторых видов нелинейных систем.

Основные результаты, выносимые на защиту, сформулированы в теоремах, в которых определяются:

1) мультипликативная структура решений односторонних МЛОДУ. 1,

2) условия представимости решений этого МЛОДУ. 1 с разносторонним умножением и квазилинейного уравнений в экспоненциальной и мультипликативно-экспоненциальной формах,

3) достаточные условия разрешимости в квадратурах систем односторонних и двусторонних МЛОДУ. 1, матричных квазилинейных и дифференциально-автоморфных уравнений,

4) свойства линейных однородных диффеоморфных преобразований МЛОДУ. 1 и их систем,

5) условия приведения МЛОДУ. 1 и их систем к аналогичным уравнениям и системам с постоянными параметрами.

Результаты и методы исследования матричных дифференциальных уравнений позволили, в свою очередь, определить:

6) методы исследования скалярных ДУ и их систем,

7) достаточные условия разрешимости в квадратурах скалярных линейных уравнений высших порядков, систем таких уравнений, а также систем некоторых видов нелинейных уравнений.

Практическая ценность полученных результатов и используемых методов работы определяется отмечавшимся выше широким диапазоном применений матричных дифференциальных уравнений для описания различных физических процессов. Диссертационные методы и результаты могут позволить решить либо более тщательно исследовать, многие актуальные задачи современной научной теории и практики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации изложены на различных конференциях, коллоквиумах и семинарах как в нашей стране, так и за рубежом: «4-й конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям» в 1989 г. в г.Русе (Болгария), «Коллоквиуме по дифференциальным уравнениям и прилоя<:ениям» в 1991 г. в Г.Будапеште (Венгрия), «5-й международной конференции по комплексному анализу» в 1991г. в Г.Варна (Болгария), «4-м Коллоквиуме по качественной теории дифференциальных уравнений» в 1993 г. в г. Сегеде (Венгрия), EQUADIF - 8 в 1993 г. в Г.Братиславе (Словацкая Республика), SICDEA в 1995 г. в г.Веспрем (Венгрия), 1-4 «Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и их приложениям» в 1994, 1996, 1998 и 2000 гг. в г.Саранске, XI Российском Коллоквиуме «Современный групповой анализ и задачи математического моделирования» в 1993 г. в г.Самаре, международной конференции «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений» в 1996 г. в г. Орле, международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения» в 1996 г. в г.С.-Петербурге, математической школе в 1997 и 2000 г.г. в г.Воронеже, 7 и 10 межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в 1997 г. в г.Самаре; VII четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» в 1997 г. в г.Казани, конференции «Алгебра и анализ» в 1997 г. в г.Казани. Диссертационный материал заслушивался на научных семинарах университетов городов Казани, Москвы, Н.-Новгорода, Саранска и др. Вычислительного центра РАН и ряда других учебных и научных учреждений страны.

Публикации автора по теме диссертации составляют более 80 наименований, из которых в библиографический список включено 48. Совместных публикаций нет.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения, 4 глав, разбитых на параграфы, которые, в свою очередь, объединяют несколько пунктов. Заключения и списка литературы. Библиография включает 168 наименований цитированной литературы и 48 работ автора. Общий объем диссертации - 276 страниц, из которых список литературы содержит 15 страниц. Более полно структуру работы представляет «Оглавление».

ЗАЬСЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги диссертационной работы, отметим основные ее результаты, соответствующие указанным во «Введении» целям и задачам. Вот наиболее существенные из этих результатов. а) В терминах теории алгебр Ли установлены условия разрешимости в квадратурах матричных односторонних (ПЗ гл.1) и двусторонних (Т7) ЛОДУ. 1 и их систем (Т4, П6 гл.П), односторонних ЛОДУ.2 (П27,28 гл.П), ЛОДУ.З (П31 гл.1) и ЛОДУ .к (Т5,6 гл.1). Аналогичные утверждения сформулированы для двусторонних ЛОДУ.2 (П10 гл.П), ЛОДУ .к (ТВ), квазилинейных (С5Т9) и диф-ференциально-автоморфных (Т12) уравнений. б) Найдены условия представимости в экспоненциальном и мультипликативно-экспоненциальном видах односторонних МЛОДУ. 1 (Т2, 3) и квазилинейных ДУ.1 (Т9,10). Даны условия принадлежности алгебре Ли решения диффе-ренциально-автоморфного уравнения (Т11). в) Исследованы основные свойства левых и правых линейных однородных диффеоморфных преобразований множества частных решений односторонних ЛОДУ.1 (П8, 9, 17 гл.1) и их систем (П23, 24 гл.1). г) Установлены критерии приводимости матричных односторонних ЛОДУ.1 (П10,18 гл.1) и их систем (П25 гл.1) к аналогичным уравнениям и системам с постоянными матричными коэффициентами. Подобный же результат сформулирован для МЛОДУ .к (П35 гл.1). д) Исследованы основные свойства некоторых видов матричных дифференциальных уравнений, обобщающих односторонние МЛОДУ. 1: МЛОДУ. 1 общего вида (§2 гл.1), двусторонних МЛОДУ. 1 (§1 гл.П), квазилинейных МОДУ.1

-261

§1 гл.111) и дифференциально-автоморфных ДУ.1 (§2 гл.ГП). е) Указана возможность применения полученных результатов в теории скалярных ОДУ (гл.1У).

Разумеется, в диссертации не сказано «последнее слово» в такой большой, и и и 1 1 и сложной и важной теории, какой является теория дифференциальных уравнений над ассоциативной алгеброй, вообще, и матричной алгеброй, в частности. Это математическое направление будет долго и интенсивно разрабатьюаться вширь и вглубь с использованием самого разнообразного аппарата. И, несомненно, в числе наиболее важных и эффективных методов исследования этих уравнений будут методы теории алгебр Ли. Как отмечалось во «Введении», ее аппарат уже успешно используется в классической, релятивистской и квантовой механиках, теории оптимального управления и т.д., широко применяющих для описания различных процессов матричные и операторные уравнения, т.е. уравнения над алгебрами и кольцами. Еще шире диапазон применения скалярных уравнений и их систем, решения которых сводятся к интегрированию матричных ДУ.

Разумеется, значение таких уравнений будет существенно возрастать по мере введения в научную практику более сложных видов эволюционных уравнений. Для описания, исследования и решения их потребуется вся мощь алгебраической теории, определяющей основные структурные свойства любых многообразий, включая, конечно, и множества решений дифференциальных уравнений. Так что, теории дифференциальных уравнений над ассоциативными алгебрами, исследованию которых посвящена настоящая диссертация, предстоит долго жить и развиваться, способствуя прогрессу научной теории и практики.

1. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейныхсистем М.: Наука, 1973 - 431 с.

2. Адо И. Д. Представление алгебр Ли матрицами // УМН 1947 - Т. 11, N6(22)1. С. 159-173.

3. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения Харьков: ОНТИ,1939-719 с.

4. Аминова A.B. Проективные преобразования и симметрии дифференциальных уравнений//Мат.сб.-1995 т.196, N12 - С.21-36.

5. Анго А. Математика для злектро- и радиоинженеров М.: Наука, 1964 - 772 с.

6. Андрианов С.Н., Войтенко С.С., Хрящев СМ. Применение функциональныхметодов компьютерной алгебры при математическом моделировании сложных физических систем//Дифференц.уравнения с частн.производными Л.: Ленинград, гос. пед. ин-т -1990 - С.90-97.

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука,1971-239 с.

8. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обьпсновенных дифференциальных уравнений М.: Наука, 1978 - 304 с.

9. Арнольд В.И. Математические методы классической механики М.г Наука,1974-431 с.

10. Архангельский Ю.А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы на группе треугольных матриц //Мат.сб. 1979 - т. 108(150) - С. 134-142.

11. Барбашин Е.А. Дисперсивные динамические системы //УМН 1950 - т.5, N4(38)-a 138-139.

12. Барбашин Е.А. О гомоморфизмах динамических систем //Мат.сб. 1951 -т.29, N2 - С.233-280.

13. Беллман Р. Введение в теорию матриц М.: Наука, 1969 - 361 с.

14. Беллман Р. Теория устойчивости дифференциальных уравнений М.: ИЛ,1954-216 с.

15. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования обьшновенных дифференциальных уравнений Саратов: Изд.Сарат.ун-та, 1989 - 192 с.-26316. Бибиков Ю.Н. Курс обьшновенных дифференциальных уравнений М.: Высшая школа, 1991 - 303 с.

16. Биркгоф Г. Динамические системы М-Л.: ОГИЗ ГИТ-ТЛ, 1941 - 320 с.

17. Биркгоф Г. Гидродинамика М.: ИЛ, 1954 - 183 с.

18. Богданов Ю.С., Чеботарев Г.Н. О матрицах, коммутирующих со своими производными //Изв.вузов. Мат.- 1959 N 4 - С.27-37.

19. Боголюбов H.H., Логунов A.A., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля М.: Наука, 1969 - 424 с.

20. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера, связанные с фильтрациями алгебр Ли //ДАН СССР 1983 - т. 121 (163), N2 - С.233-242.

21. Богоявленский О.И. Интегрирование уравнений Эйлера на алгебрах Ли, возникающих в задачах математической физики //Изв.АН СССР, сер.мат.-1984-т.48, N5 С.883-938.

22. Бурбаки Н. Алгебра, алгебраические структуры М.: Наука, 1962 - 402 с.

23. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл.У11,У111 М.: Мир, 1978 - 342 с.

24. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра М.: Мир, 1971 - 707 с.

25. Бурбаки Н. Очерки по истории математики М.: ИЛ, 1963 - 292 с.

26. Былов Б.Ф. Обобщение теоремы Перрона //Диф.уравн. 1965 - т.1, N12 -С.1597-1600.

27. Былов Б.Ф. О приведении системы к диагональному виду //Мат.сб.- 19651. Т.65, N3 С.338-344.

28. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра М.: Наука, 1976 - 648 с.

29. Веселов А.П., Веселова Л.Е. Интегрируемые неголономные системы на группах Ли //Мат.заметки 1988 - т.44, N5 - С.604-619.

30. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Расслоение нильпотентных алгебр Ли над неголономным многообразием (нильпотентизация) //Зап.научн.семин. ЛОМИ. Дифференц.геом., группы Ли и механика 1989 - т. 172 - С.21-40.

31. Винокуров В.А. Логарифм решения линейного дифференциального уравнения, формула Хаусдорфа и законы сохранения //ДАН СССР 1991 - т.319, N4 - С.792-797.

32. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе Саранск: изд.Саратовского ун-та, Саранский филиал - 1990 - 224 с.

33. Гаврилов Н.И. Методы теории обьпсновенных дифференциальных уравнений -М.: Высш.школа, 1962 314 с.

34. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: Наука, 1967 - 575 с.

35. Далецкий Ю.Л., Крейн С.Г. Формулы дифференцирования по параметруфункций эрмитовых операторов //ДАН СССР 1951 - т.76, N1 - С. 13-16.

36. Далецкий Ю.Л. Интегрирование и дифференцирование операторов, зависящих от параметра //УМН 1957 - т. 12, вып. 1 (73) - С. 182-186.

37. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука, 1967 472 с.

38. Джекобсон Н. Алгебры Ли М.: Мир, 1964 - 355 с.

39. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником //ЖВМ и МФ 1982 - т.22, N6 - С. 1393-1400.

40. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский СР. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях//Диф.уравн. 1983 - т. 19, N7 - С1215-1223.

41. Емельянова И.С Проблема "симметрия-интегралы движения" в аналитической динамике Н.Новгород: изд.ННГУ, 1992 - 171 с.

42. Еругин Н.П. Замечание к статье Л.М.Шифнера//Изв.АН СССР. Мат. 1941-N5-0.377-380.

43. Еругин Н.П. Приводимые системы //Тр. мат. инст. им.В.А.Стеклова 1946т.Хт 96 с.

44. Еругин Н.П. Линейные системы обьшновенных дифференциальных уравнений Минск: изд.АН БССР, 1963 - 272 с.

45. Елкин В.И. Методы алгебры и геометрии в теории управления. Управляемые динамические системы М.: изд. ВЦ АН СССР, 1984 - 66 с.

46. Елкин В.И. Алгебраический подход к теории инвариантности управляемыхсистем В кн.: Сложные системы управления - Киев: изд. ИК АН СССР, 1978-С21-38.

47. Елкин В.И., Павловский Ю.Н., Чернопленов А.Н., Яковенко Г.Н. Задачифакторизации управляемых систем и некоторые их приложения //Тр. меж-дунар. симпоз. "Теоретико-групповые методы в механике Новосибирск: изд. СО АН СССР, 1978 - С108-117.

48. Жибер A.B. Уравнения п-волн и система нелинейных уравнений Шредингера //ТМФ 1982 - Т.52, N3 - С.405-413.

49. Жибер A.B., Ибрагимов Н.Х., Шабат A.B. Алгебры Ли-Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений //УМН 1979 - т. 34, N4 - С. 148-149.

50. Заде Л.А., Дезоер У.Н. Теория линейных систем М.: Наука, 1970 - 703 с.

51. Зайцев В.Ф. О дискретно-групповом анализе обьшновенных дифференциальных уравнений //ДАН СССР 1988 - т.299, N3 - С.542-545.

52. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальнымуравнениям. Приложения в механике, точные решения М.: Наука, 1993 -464 с.

53. Ибрагимов Н.Х. К групповой классификации дифференциальных уравнений второго порядка //ДАН СССР 1968 - т. 183, N2 - С. 174-177.

54. Ибрагимов Н.Х. Законы сохранения в гидродинамике //ДАН СССР 1973т. 210, N6-С. 1307-1309.

55. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике М.: Наука, 1983- 280 с.

56. Камке Э. Справочник по обьшновенным дифференциальным уравнениям5.е изд.- М.: Наука, 1976 576 с.

57. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру -М.: ИИЛ, 1959 -85 с.

58. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновской механике //УМН 1983 - Т.38, вып. 1 - С.3-67.

59. Козлов В.В. О группах симметрии динамических систем //ПММ 1988 - т.8,вьш.З-С.85-107.

60. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников иинженеров М.: Наука, 1968 - 720 с.

61. Красносельский М.А., Крейн С.Г. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве //Тр. III Всесоюзн. мат. съезда. T.III М.: изд. АН СССР, 1958 -С.73-80.

62. Красносельский М.А., Крейн М.Г. Об операторных уравнениях в функциональных пространствах //Тр. IV Всесоюзн. мат. съезда. Т.II М.: Наука, 1964-С.292-299.

63. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения М.: Физматгиз, 1959 - 211 с.

64. Красовский H.H. Теория управления движением М.: Наука, 1968 - 476 с.

65. Кручкович Г.И. Классификация трехмерных римановых пространств по группам движений //УМН 1954 - т.9, вып. 1(59) - С.3-40.

66. Кручкович Г.И. О движениях в римановых пространствах У* //Мат.сб. 1957-т.41(83):2-С. 195-220.

67. Курант Р. Уравнения с частными производными М.: Мир, 1964 - 830 с.

68. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре М.: ГИФ-МЛ, 1962 - 396 с.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, нерелятивистская теория2.е изд. М.: ГИФ-МЛ, 1963 - 702 с.

70. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обьпсновенных дифференциальных уравнений М.: Гостехиз-дат, 1957-456 с.

71. Лузин H.H. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений //Автоматика и телемеханика 1940 - N5 - С.4-66.

72. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры М.: Наука, 1970, 400 с.

73. Математическая энциклопедия. Т. 1-5 М.: Сов.энциклопедия, 1977-1985.

74. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем //Диф.уравн. 1974 -т. 10, N9 - С. 1547-1559; 1975 т. 11, N3 - С.403-417.

75. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю, Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем Новосибирск: Наука, 1980 - 491 с.

76. Маркус И., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств М.:1. Наука, 1972-232 с.

77. Миллионщиков В.М. Метрическая теория линейных систем дифференциальных уравнений //ДАН СССР 1968 - т. 179, N1 - С.20-23.

78. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальныхуравнений //Диф.уравн. 1969 - т.У, N10 - С. 1774-1784.

79. Миллионщиков В.М. Линейные системы обьпсновенных дифференциальныхуравнений //Диф.уравн. 1971 - т. VII, N3 - С.387-390.

80. Митропольский Ю.О., Лопа11п O.K. Про декомпозицпо нел1ншних систем

81. Допов1д1 АНУРСР 1972 - А, N12 - С. 1078-1082 (укр).

82. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Об интегрировании уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли //ДАН СССР 1976 - т.231, N3 - С.536-538.

83. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли //Изв.АН СССР, сер.мат. 1978 - т.42 - С.396-415.

84. Морозов В.В. Об одной задаче Еругина //Изв.вузов. Мат. 1959 - N5 -С.171-173.

85. Овсиенко В.Ю., Хесин Б.А., Чеканов Ю.В. Интегралы уравнений Эйлера многомерной гидродинамики и сверхпроводимости //Зап.научн.семин. ЛОМИ. Дифференц.геом., группы Ли и механика 1989 - т. 172 - С. 105-113.

86. Овсянников Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений //ДАН СССР 1957 - т.118, N3 - С.439-442.

87. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопровод

88. НОСТИ//ДАН СССР 1959 - т. 125, N3 - С.492-495.

89. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям М.: Мир, 1989-637 с.

90. Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем ифазовые организационные структуры. I, II //ЖВММФ 1974 - т. 14, N4, 5 -С.862-872, 1093-1103.

91. Павловский Ю.Н. Методы факторизации и. декомпозиции в теории си-стем//Киберн. и вычисл.техн. 1982 - N54 - С.9-15.

92. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими системами//Методы оптимизации и их приложения Новосибирск: Наука, 1990-240 с.

93. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры

94. Ли М.: Наука, 1990 - 240 с.

95. Персидский К.П. Об одной теореме Ляпунова //ДАН СССР 1937 - т. 14, N91. С.541-544.

96. Персидский К.П. О некоторых теоремах второго метода Ляпунова //Диф. уравн. 1969 - Т.5, N4 - С.678-687.

97. Петров А.З. Классификация полей тяготения общего вида //Изв.вузов. Мат.1958-N6(7)-C226-232.

98. Петров А.З. Пространства Эйнштейна М.: ГИФ-МЛ, 1961 - 464 с.

99. Петров А.З., Кайгородов В.Р., Абдуллин В.Н. Классификация полей тяготения общего вида по группам движений I, П, III //Изв.вузов. Мат 1959 -N6-C118-130; 1960-N1,4-0.175-187, 158-169.

100. Плисе В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений М.: Наука, 1977 - 303 с.

101. Понтрягин Л.С. Обьжновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1970-331 с.

102. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ М.: Наука, 1964 -664 с.

103. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А., Френкель И.Б. Градуированные алгебры Ли и вполне интегрируемые динамические системы //ДАН СССР -1979-Т.247, N; С.802-805.

104. Рейман А.Г. Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли //Зап.научн.семин. ЛОМИ. Дифференц.геом., группы Ли и механика 1980 - т.95 - С.3-54.

105. Рыбников К.Л. История математики. Т.П М.: изд.МГУ, 1963 - 334 с.

106. Салахова И.М., Чеботарев Г.Н. О разрешимости в конечном виде некоторых систем линейных дифференциальных уравнений //Изв.вузов. Мат. -1960-Ю-С.230-234.

107. Сенашов СИ. Основы группового анализа для механиков Красноярск: изд.Красноярского гос- ун-та, 1993 - 152 с.

108. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли М.: Мир, 1969 - 376 с.

109. Сибирский К.С Метод инвариантов в качественной теории дифференциальных уравнений Кишинев: изд.Штиинца, 1968 - 184 с.

110. Станюкович К.П. Об автомодальных решениях уравнений гидродинамики, обладающих центральной симметрией //ДАН СССР 1945 - т.48, N3 -С.310-312; 1948 - т.60, N6 - СП41-1144; 1949 - т.64, N1, - С.29-32, N2 - С.179-181,N3-C.467-470.

111. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики М.: Наука, 1978 - 336 с.

112. Теория алгебр Ли. Топология групп Ли М.: ИЛ, 1962 - 308 с.

113. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильто-новых систем на алгебрах Ли //УМН 1984 - т.39, вып.2 - С.3-56.

114. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее приложения к дифференциапьным уравнениям и динамике М.: ИИЛ, 1950 - 446 с.

115. Хартман Ф. Обьшновенные дифференциальные уравнения М.: Мир, 1970 -720 с.

116. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли М.-Л.: ГИТ-ТЛ, 1940 - 396 с.

117. Шевалле К. Теория групп Ли. Т.1,2,3 -М.: ИИЛ -1948, 1958 315,275,308 с.

118. Шестаков А.А. Признаки устойчивости множеств относительно неавтономной дифференциальной системы //Диф.уравн. 1977 - т. 13, N6 - С. 10791090.

119. Широков П.А. Тензорное исчисление изд.2-е - Казань: изд.Казанск.гос.ун-та, 1961 -448 с.

120. Шифнер Л.М. Еще об интегрировании дифффенциальных систем в конечном виде//Изв.АН СССР.Мат.- 1940 т.4, N5 - С.417-422.

121. ЭйзенхартЛ.П. Непрерывные группы преобразований-М.: ИИЛ,1947-360с.

122. ЭйзенхартЛ.П. Риманова геометрия М.: ИИЛ, 1948 - 316 с.

123. Яковенко Г.Н. О групповом подходе к проблеме инвариантности систем с управлением //Динамика управляемых систем Новосибирск: Наука, 1979 -С.329-335.

124. Яковенко Г.Н. Групповые свойства динамических систем. Конечномерный случай М.: изд.МФТИ, 1994 - 135 с.б) Зарубежные издания

125. Baker H.F. On the integration of linear differential equations //Proc.Lond.Math. Soc. 1902, 1903, 1904 - v.34, 35, 3, 2-nd ser - P.347-360, 333-374, 293-296.

126. Baker H.F. Futher application of raatrica notation to integration problera//Proc. Lond.Math.Soc. 1902 - v.34. -P.76-103.

127. Baker H.F. Alternants and continuous groups //Proc.Lond.Math.Soc. 1904 -V.3, 2-nd ser. - P.23-47.

128. Baker H.F. On the exponential theorem for a simply transitive continuous group and the calculation from the constant of structure //Proc.Lond.Math.Soc. 1905 - v.3, 2-nd ser. -P.43-87.

129. Bittani S., Colaneri P., De Nicolao G. The periodic Riccati equation: existence of a periodic positive seraidefinite solution //Proc.26 th IEEE Conf.Decis. and Contr.Los Angeles, Calif., Dec.9-11, 1987, v.l N.Y.- 1987 - P.293-294.

130. Bonnard B., Tebbikh H. Quadratic control systems //ibid P. 146-151.

131. Brockett R.W., Rahirai A. Lie algebras and linear differential equations, in "Ordinary differential equations" N. Y.: Acad.Press., 1972 - P.379-385.

132. Chon I., Lawson J.D. Attainable sets and one parameter semigroups of sets. //Glasgow Math.J.- 1991 v.33, N2 - P. 187-201.

133. Datta K.B. Series solution of matrix Riccati equation //Jnt.J.Contr.- 1978 N2 -P.463-472.

134. Dichson L.E. Differential equations from the group standpoint //Annals of Math.- 1924 N25 - P.287-378.

135. Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics //Phys.Rev.- 1951 v.84, N1 - P. 108-128.

136. Fokas A.S. Generalized symmetries and constants of motion of evolution equation //Lett.Math.Phys.- 1979 v.3 - P.467-473.

137. Fokas A.S. Group theoretical aspects of constants of motion and separable solutions in classical mechanics //J. Math. Anal. Appl. 1979 - v.68 - P.347-370.

138. Fokas A.S. A symmetry approach to exactly solvable evolution equations/ZJ. Math. Phys.- 1980 -V.21, N6 P. 1318-1325.

139. Friedrichs K.O. Mathematical aspects of quantum theory of fields. Part V// Commun. on Pure and Appl. Math.- 1953 v.6 - P. 1-72.

140. Gonzales L.A. Symmetries of linear systems of second-order ordinary differential equations //J.Math.Phys.- 1988 v.29, N5 - P. 1097-1105.

141. Hazewinkel M., Martin C. Symmetric linear systems: an application of algebraic systems theory //Jnt.J.Contr.- 1983 v.37, N6 - P. 1321-1384.

142. Hill J.M. Solution of differential equations by means of one-parameter groups //Res.Notes Math.- 1982 -N63 161 p.

143. Iseries A. and Nprsett S.P. Linear ODEs in Lie groups // Tech. rep. DAMTP. NA9/97, Univ. of Cambrige, 1997 - 6 p.

144. Leiva H. Extension of the range condition for the controlability of non-autonomous linear systems //Notas Math./Univ.Andes 1991 - N11 - P. 1-21.

145. Eighth C. and Pechucas P. On the exponential form of time-dicplacement operators in quantum mechanics //J.Chera.Phys.- 1966 v.44, N10 - P.3897-3912.

146. Magnus W. On the exponential solution of differential equations for linear operator //Commun. on Pure and Appl.Math.- 1954 v.VIl - P.649-673.

147. Mahomed F .M., Leach P.G. Contact symmetry algebras of scalar second-order ordinary differential equations //J.Math.Phys.- 1991 v.32, N8 - P.2051-2055.

148. Marcus M. Linear operatons on matrices //Amer.Math.Monthly 1962 - v.69 -P.837-847.

149. Marcus M. and Moyls B.N. Linear transformations on algebras of matrices// Canad. J.Math- 1959 v. 11 - P.61 -69.

150. Marcus M. and Purves R. Linear transformations on algebras of matrices, the invariance of the elementary sirametric functions //ibid P. 383-396.

151. Milholland R.J. Exponential representation of solutions of the telegraphist's equations //JEEE Trans.Circuit Theory 1970 - v. 17, N4 - P.648-650.

152. Milholland R.J. Exponential representations for linear systems //JEEE Trans. Autom.Cont.- 1971 v.l6, N1 - P.97-98.

153. Mori M. Exponential approximation for transition probability //J.Phys.Soc.Japan 1967 - v.23, N5 - P. 1086-1093.

154. Mori M. and Fujita J. On transition probability in ionisation of atoms by coUision //J.Phys.Soc.Japan 1965 - v.20, N3 - P.432-437.

155. Mukunda N. Realisation of Lie algebras in classical mechanics //J.Math.Phys.-1967-V.8, N5-P. 1069-1072.

156. Nagano T. Linear differential systems with singularities and application to transitive Lie algebras //J.Math.Soc.Japan 1966 - v. 18 - P.398-404.

157. Prince G.E. Lie symmetries of differential equations and dynamical systems //BuU.Austral.Math.Soc. 1982 -v.25, N2 -P.309-311.

158. Prince G.E. A complete classification of dynamical symmetries in classical mechanics //BuU.Austral.Math.Soc. 1985 -v.32, N2 -P.299-308.

159. Ray J.R., Reid J.L., Cullen J.J. Lie and Noether symmetry groups of nonlinear equations //J.Phys.A:Math.and Gen.- 1982 v. 15, N11 - P.575-577.

160. Redheffer R. On solutions of Riccati's equation as functions of initial values //J.Rational Mech.and Anal.- 1956 N5 - P.835-848.

161. Redheffer R. Matrix differential equations //Bull.Amer.Math.Soc- 1975 v.81, N2 - P.485-488.

162. Wei J. and Norman E. The solution of the linear differential equations by the method of the Lies algebras //J.Math.Phys.- 1963 v.4, N4 - P.664-672.

163. Wei J. and Norman E. On global representations of the solutions of linear differential equations //Proc.Amer.Math.Soc- 1964 v. 15, N2 - P.327-334.

164. Wichman E.H. Note on the algebraic aspect of the integration of a system of ordinary linear equations //J.Math.Phys.- 1961 v.2, N6 - P.876-883.

165. Wilcox R.M. Exponential operators and parameter differentiation in quantum physics //J.Math.Phys.- 1967 v.8, N4 - P.962-982.

166. Wilczynski E.J. An application of group theory to hydrodynamics //Trans.Amer. Math.Soc- 1900 v.l - P.339-352.в) Публикации автора

167. Деревенский В.П. Один тип диффеоморфизмов матричного линейного дифференциального уравнения, определенного в базисе простой некомпактной трехмерной алгебры Ли //Сб.научных трудов "Дифференциальные уравнения" Рязань: изд. РГПИ, 1981 - С.36-40.

168. Деревенский В.П. Экспоненциальное решение матричных линейных дифференциальных уравнений первого порядка//Изв.вузов. Мат. -1981 -N7-С.31-33.

169. Деревенский В.П. Приводимость систем и диффеоморфные преобразования //СМЖ 1983 - T.XX1V, N4 - С.220; ВИНИТИ - 1983 - N5004 - 82 Деп.

170. Деревенский В.П. Экспоненциальное и мультиплнпсативноэкспоненциальное решения матричного линейного однородного дифференциального уравнения обшего вида //Сб. научи. трудов "Дифференциальные и интегральные уравнения" Горький: изд.ГГУ, 1984 -С.56-60.

171. Деревенский В.П. Кривая Монжа одного квазилинейного уравнения в частных производных в двумерном пространстве //Сб.научн. трудов "Дифференциальные и интегральные уравнения" Горький: изд.ГГУ, 1985 -С.61-64.

172. Деревенский В.П. Интегрируемость уравнения Риккати и линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка //Изв.вузов. Мат.1987 -М5-С.ЗЗ-40.

173. Деревенский В.П. Квазилинейные матричные диффд)енциальные уравнения //Изв.вузов. Мат.- 1988 N12 - С. 11-17.

174. Деревенский В.П. Интегрируемость в квадратурах линейного обьпсновен-ного дифференциального уравнения третьего порядка //Изв.вузов. Мат.-1989-N8-0.28-31.

175. Деревенский В.П. Квазилинейные матричные дифференциальные уравнения //ДАН УССР. Сер.А 1989 - N3 - С. 11 -13.

176. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения в базисе алгебры Ли //Тез.докл. IV Международн.конференц.по дифференц. уравнениям Русе (НРБ), 1989 - С.89.

177. Деревенский В.П. Лиевоалгебраический метод интегрирования некоторых видов нелинейных дифференциальных систем //Сб.научн.трудов "Дифференциальные и интегральные уравнения" Горький: изд.ГГУ, 1989 -С.48-54.

178. Деревенский В.П. Автоморфизмы объединения множества линейно-независимых решений дифференциальных уравнений второго порядка и касательного к нему множества //Сб.научн.трудов "Методы сравнения и методы Ляпунова" Саранск: изд.Морд.ун-та, 1990 - С.85-88.

179. Деревенский В.П. Разрешимость в квадратурах линейных обьпсновенных дифференциальных уравнений третьего порядка в присоединенном представлении алгебр Ли //Диф.уравн.- 1991 т.27, N4 - С.699-702.

180. Деревенский В.П. Разрешимость в квадратурах матричных дифференциальных уравнений второго порядка //Диф.уравн.- 1991 т.27, N5 - С.901-904.

181. Derevensky V.P. The linear ordinary differential equations in adjoint representation of 3-rd dimential algebras of Lie//Abstracrs of "Colloquium on differential equations and applications" Budapest (Hungary), 1981 - P.8.

182. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения третьего порядка в присоединенном представлении простых алгебр Ли //Диф.уравн. -1992 т.28, N10 - С. 1675-1683.

183. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения высших порядков //Диф.уравн.- 1993 т.29, N4 - С.711-714.

184. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения с двусторонним умножением //Труды XI Российск.коллокв. "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" Самара: изд. Сам.ГУ, 1983 -С.56-61.

185. Derevensky V.P. The solution of the systems of matrix LODE 1-st order //Abstracts of "Fourth Colloquium on the qualitative theory of differential equations" -Seged (Hungary), 1993 P. 14.

186. Деревенский В.П. Матричные двусторонние линейные дифференциальные уравнения//Мат.заметки 1994 - Т.55, вып. 1 - С.35-42.

187. Деревенский В.П. Интегрирование матричных линейных дифференциальных систем первого порядка //Мат.моделирование 1995 -т.7, N5 - С.52.

188. Деревенский В.П. Интегрирование матричных линейных дифференциальных систем первого порядка //Материалы международн.конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения" Саранск: изд.Морд.ун-та, 1995-С. 173-178.

189. Деревенский В.П. Факторизация разрешимых в квадратурах матричных ЛОДУ//Там же С. 179-183.

190. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения второго порядка //Диф.уравн.- 1995 т.31, N11 - С.1926-1927.

191. Деревенский В.П. Два типа разрешимости матричных линейных дифференциальных уравнений //Изв.вузов. Мат.- 1996 N1(404) - С.36-43.

192. Деревенский В.П. Общий тип линейных дифференциальных уравнений третьего порядка в присоединенном представлении разрешимых алгебр Ли //Изв.вузов. Мат.- 1996 -N3(406) С.29-37.

193. Деревенский В.П. Система двух матричных ЛОДУ.1 //Тез. докл. И Между-народн.конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения" Саранск: изд. Морд.ун-та, 1996 - С.68.

194. Деревенский В.П. Полиприводимостъ ЛОДУ.п в присоединенном представлении алгебр Ли //Там же С.69.

195. Деревенский В.П. Системы матричных двусторонних ЛОДУ.1 // Труды международн.конф. "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений" Орел: изд. ОГУ, 1996 - С. 114-117.

196. Деревенский В.П. Дифференциально-автоморфные матричные уравнения первого порядка //Прогр. 1-й Международн.научно-практ.конф. "Дифференциальные уравнения и приложения" С.Петербург: изд. СПбГТУ, 1996 -С.63-64.

197. Деревенский В.П. Диффеоморфизмы и приводимость матричных ЛОДУ.1 //Тез.докл.конф. "Понтрягинские чтения-У1П" -Воронеж: изд.ВГУ, 1997 -С.44.

198. Деревенский В.П. Матричные односторонние дифференциальные уравнения третьего порядка //Труды 7-й межвузовской конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", ч. 3 Самара: изд.СГТУ, 1997 - С.24-27.

199. Деревенский В.П. Матричные разносторонние линейные дифференциальные системы первого порядкаУ/Тез. докл. УП четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" -Казань: ИЗД.КГТУ, 1997 -СПб.

200. Деревенский В.П. Интегрируемость матричных односторонних ЛОДУ высших порядков //Материалы конф. "Алгебра и анализ" Казань: изд.Казанск.мат. общества, 1997 - С.69-70.

201. Деревенский В.П. Интегрируемость систем матричных ЛОДУ первого порядка//Диф.уравнения 1997. -Т.ЗЗ, №11. - С. 1573.

202. Деревенский В.П. Линейные системы над ассоциативной алгеброй // Тез.докл. Международ, конф., посвящ. 90-летию со дня рождения

203. Л.С.Понтрягина. Диф.уравнения-М.: изд МГУ, 1998 С. 140-141.

204. Деревенский В.П. Решение систем матричных алгебраических линейных уравнений // Изв.вузов. Мат.- 1998 N10(437) - С.32-36.

205. Деревенский В.П. Системы линейных ОДУ высших порядков //Труды средневолжского мат. общества.- Саранск: изд. Средневолжского мат. общества. 1998.-Т.1, №1.-0.97-99.

206. Деревенский В.П. Об условии А.И.Лаппо-Данилевского// Диф.уравнения.-1998,-Т.34, №П.-С. 1579-1580.

207. Деревенский В.П. Матричные уравнения Риккати в базисе алгебр Ли // Тез. докл. Международ, конф. "Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики". -М.:изд.МГУ, 1998.-С. 17-18.

208. Деревенский В.П. Системы матричных линейных дифференциальных уравнений первого порядка // Мат. заметки.- 1'999.-Т.66, вып. 1 .-С.63-75.

209. Деревенский В.П. Связь решений однородных и неоднородных односторонних ЛОДУ над ассоциативной алгеброй // Тез. докл. ВЗМШ-2000 "Современный анализ и его приложения". Воронеж: изд. ВГУ,2000.-С. 68-69.

210. Деревенский В.П. Матричные дифференциальные уравнения Риккати над Я2// Труды 10-й Межвузовской конф."Математическое моделирование и краевые задачи", ч.З- Самара: изд.СГТУ, 2000.- С.47-50.

211. Деревенский В.П. Приводимость, нормализуемость и разрешимость уравнения Риккати над ассоциативной алгеброй // Труды средневолжского мат. общества.- Саранск: изд. Средневолжского мат. общества. 2000.-Т.2, Же1.-С.83-84.

212. Деревенский В.П. Один тип матричных нелинейных обьпсновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Ред.журнала "Диф. уравн." МИНСК.-2000.16с. Деп. в ВИНИТИ 09.10.200.№2570-ВОО.