Элементы некоммутативного анализа над полями вещественных и - адических чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Российская Академия Наук

Ордена Ленина и ордена Октябрьской революции Математический институт имени В. А. Стеклова

•• •:- Г 1

2 2 АПР И36

На правах рукописи УДК 517.98

Козырев Сергей Владимирович

Элементы некоммутативного анализа над полями вещественных и р-адических

чисел

(01.01.03- математическая физика)

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в отделе математической физики Математического института имени В. А. Сгеклова.

Научный руководитель официальные оппоненты

ведущая организация

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник И.В.Волович доктор физико-математических наук Н.В.Борисов

доктор физико-математических наук В.В.Веденяшш

Объединенный институт ядерных исследований

Защита состоится ^ "^'^-в-^-^часов на заседании Специализированного

ученого совета Д.002.38.01 в Математическом институте РАН по адресу: 117966, Москва, ул.Вавилова, дом 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИРАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного ученого совета Д.002.35.01 доктор физико-математических наук Ю.Н.Дрожжинов

Общая характеристика работы.

Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам некоммутативного анализа. Некоммутативный анализ, или анализ на некоммутативных алгебрах имеет долгую историю и многочисленные применения в различных разделах математической физики. Матричный анализ, анализ на алгебре кватернионов и алгебрах Клиффорда и ^-анализ являются примерами некоммутативного анализа. Другим примером являются хорошо известные понятия суперанализа, изучавшегося В.С.Владимировым и И.В.Воловичем, и параграссмаяова анализа. Некоммутативный анализ оказывается связанным с многими областями математики. Например, в работе И.Я.Арефьевой и И.В.Воловина отмечалось совпадение меры Хаара-Вороновича на квантовой группе и меры Хаара на кольне целых р-адических чисел. В последнее, время значительный интерес вызывает применение методов р-адпческого анализа в математической физике.

В настоящее время большой интерес вызывает концепция некоммутативной геометрии, введенная А.Конном. Наиболее известным примером некоммутативной геометрии является квантовая группа, изучавшаяся в работах

B.Г.Дринфельда, М.Джимбо, Л.Д.Фаддеева, Н.Ю.Решетихина, Л.А.Тахтаджяиа,

C.Л.Вороповича и других. Предпринимались попытки построения на чти основе теории элементарных частиц. Для разработки этих идей требуется дальнейшее развитие метода» некоммутативного анализа и некоммутачивной дифференциальной геометрии.

Также следует отметить связь квантовой группы 5'! ',(2) и нркомму глтивноя теории вероятности Войкулеску, см. [4].

В настоящей диссертационной работе исследуются такие вопроси некоммутативного анализа как представления алгебры функций на квантом;"; группе, построение пучка со значением в алгебре функций на квантовой группе, р-адические аналоги (/-интегралов и «-экспонент.

Одним из основных результатов диссертации является доказательство свойства стабильности для регулярного представления алгебры функций на квантовой группе 57/,(2).

Как известно, теория представлений квантовых групп имеет два аспекта.

1. Под представлением квантовой группы понимается структура комодуля над алгеброй функций на квантовой группе. В этом случае терпя представлений квантовых групп вполне аналогична теории представлений соответствующих классических групп.

2. Под представлением квантовой группы понимается структура модуля над алгеброй функций на квантовой группе. В .этом случае терпя представлений квантовых групп не имеет классического аналога. г)тот аспект теории представлений менее разработан. В связи с этой тематикой следует отметить работы Л.Л.Ваксмана и Я.Е.Сойбсльмана.

Исследование этих вопросов представляет шачительньш интерес. В частности, представляется интересным следующий вопрос: как описывается с точки зрения теории представлений алгебры Хопфа функций па квантовой группе

операция коумяожения А в давкой алгебре Хопфа,. Ответом на этот вопрос является операция умножения на множестве представлений алгебры Хопфа функций на квантовой груше, для двух представлений £ и Г принимающее вид 5Т = (5 ® Т)Л. Представления образуют полугруппу относительно данного умножения- В настоящей диссертации рассматривается эта полугруппа для квантовой группы ,?(/,(2). Дозазано, что существует представление П алгебры функций на данной квантовой группе, обладающее следующим замечательным свойством, см:. [2]. При умножении Я на любое другое представление получается снова представление П. Как следствие получается некоторое тождество для базисных гипергеометрических рядов. В настоящей диссертации, см. также [2], это представление П называется стабильным. Представление П является нулем в полугруппе представлений относительно рассматриваемой операции умножения.

В настоящей диссертации, см. также [1], доказано, что стабильное представление П унитарно эквивалентно регулярному представлению алгебры функций на квантовой группе 54^(2).

В диссертационной работе исследуются также другие вопросы некоммутативного анализа. Исследуется представление д-деформированной алгебры Гайзенберга в пространстве функций на поле р-адических чисел, строятся р-адические д-интегралы и д-экспоненты.

Приводится пример квантовогруппового киралытого поля и изучаются возникающие перестановочные соотношения.

Актуальность ТвМЫ. В многочисленных современных работах развиваются приложения некоммутативного анализа к различным областям физики и математики, в частности, к теории элементарных частиц. В этой связи представляется существенным изучение квантовогруппового кнрального поля и исследование связи некоммутативного анализа с р-адическим.

Цель работы. Исследование структуры полугруппы на представлениях алгебры функций на квантовой группе. Изучение связи некоммутативного анализа, р-адического анализа и разностных уравнений. Рассмотрение возможности применения в физике теории представлений алгебр функций на квантовых группах на примере квантовогруппового киралыгого поля.

Методика исследований. Используются методы функционального анализа. (теория операторов, спектральная теорема), теории представлений, р-адического анализа.

Научная новизна.

1) Исследована структура полугруппы на представлениях алгебры функций

па квантовой группе 5(7,(2). Доказана теорема о стабильном представлении алгебры функций па квантовой группе 5?7,(2).

2) Доказана теорема об унитарной эквивалентности стабильного и регулярного представлений алгебры функций на квантовой группе 5(7,(2).

3) Построены р-адические ({-интегралы и ^-экспонепты.

4) Построен пример киралыюхх> поля со значением в квантовой группе. Построена алгебра с кубическими перестановочными соотношения, возникающая при дифференцировапии рассмотренного киральпого поля.

Теоретическая И Практическая ценность. Настоящая диссертационная работа представляет теоретическую ценность. Возможно использование изложенных результатов в теории квантовых групп, некоммутативного анализа, теории элементарных частив.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертационной ра-5оти били доложены на семинарах в Математическом Инт и г\/те имени В.А.Стеклова РАН, механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, Объединенного Института Ядерных Исследований (Дубна). Результаты диссертации изложены в четырех публикациях, список которых Праведен в конце автореферата.

Содержание работы.

В настоящей диссертационной работе исследуются вопросы некоммутативного анализа, теории квантовых групп и ^-анализа.

В главе 1 изучается вопрос об унитарной представимости (или стабильности) коумножения для квантовой группы ¿77,(2). Свойство стабильности соответствует унитарной представимости (/-аналога преобразовали Боголюбова. Соответственно, можно говорить об унитарной эволюции, задаваемой (/аналогом преобразования Боголюбова.

В первой главе изучается операция произведения для представлений алгебры А функций на квантовой группе .577, (2). Основным результатом этой главы являются теоремы 2, 3 и 4, описывающие свойства стабильного представления.

Алгебра с инволюцией функций на 311,(2) определена для вещественных <?, О < < 1, и порождается образующими а, Ь, с, с2 с перестановочными соотношениями следующего вида:

аЪ — цЪа ас = <?са а<1 — дсб — 1 Ьс—сЬ сЛ = Ы — </ей da—q~1bc= 1

и инволютивным анпшинейньш антигомоморфизмом *:

а' = <1, Ь* = —ца.

Алгебра А функций па квантовой группе .?(/,(2) есть алгебра Хопфа с ко-умножеяием Д следующего вида:

Д :А -» Л®VI;

д<?;= £ г!®?'; (!)

*=0,1

В первой главе исследуется следующая операция произведения для представлений алгебры А. Пусть Я и Т суть представления алгебры Хопфа Л с коумножедыем Д. Произведение 5Т представлений 5 И Т определяется по формуле

БТ{а)= 5®Т(Да);а£Л.

Множество представлений образует относительно данпого произведения полугруппу. В первой главе полностью описывается структура данной полугруппы. При этом используется классификация неприводимых *-представлений для алгебры А. Она имеет следующий вид: существуют две непрерывные серии неприводимых ^-представлений.

1) Серия рф\

Ь\_( ехр {гф) 0 \ т

<1 } ~ ^ 0 ехр(-гф) }

реализованная в одномерном гильбертовом пространстве. Здесь 0 < ф < 2х.

2) Серия Ж)-. Представления данной серии реализованы в гильбертовом пространстве Нтз с ортонормированным базисом {еот}, где целое число т пробегает от 0 до оо, по следующим формулам:

ает = ае0 = 0 (3)

¿е.т = у/1 - (4)

се„ = ехр (1в)дтет (5)

6ет = ~ех р(-.%т+1ет (6)

Здесь 0 < 9 < 2тг.

Для произвольных ф,1р п 0 определим ^-представление П = п^тг^пд. В первой главе показано, что класс унитарной эквивалентности представления П не зависит от ф,ф и 9. Класс унитарной эквивалентности данного представления сохраняется при умножении на произвольное представление. В первой главе доказана

Теорема 2 Имеет место тождество Щ — ^П — II, где " = " означает унитарную эквивалентность и £ есть произвольное представление.

В соответствии с этим свойством представление 11 названо стабильным. Стабильное представление реализует нуль в полугруппе представлений алгебры А.

След на слабом замыкании алгебры А в представлении П связан с инвариантным интегралом Хаара-Вороповича на квантовой группе £{/,(2) но формуле /М/= (1 - ,2)М/СС*).

Для доказательства сформулированных утверждений в настоящей диссертации изучаются следующие вопросы. В первой главе исследованы свойства *-предстаплений алгебры А. Пусть £ есть ^-представление алгебры А в гильбертовом пространстве Нк. Для полинома [ е А обозначим как /г этот полином в представлении £. Далее не будем указывать если представление известно из контекста.

Важнейшим для дальнейших рассмотрений является следующий факт.

Теорема 1 Всякое *-пре.дстаблепие £ алгебры А допускает разложение и прямую сумму £ = @ ¡1а *-представлений в ортогональных подпространствах ^ О (?;,

н( = ^ а

со следующими свойствами. В Р^ имеет место условие Кег с — 0 и ^ — д^Кег П(. В Сг( мы имеем с — 0 и оператор а унитарен.

В существует ортпонормироваи.иыа базис {е,„д^, в котором операторы из алгебры А действуют следующим образом:

ае-тМ = \Л - $2тет-1,м;аеом = 0 (')

<1ет и = /1 - 9г<т+1)е„,^,лг (8)

сет.м = ч"' (9)

н

Ьспи (10)

■V

Здесь си суть матричные элементы взаимно сопряженных унитарных операторов.

В существует оргаонормированны'й базис {е„}, в котором операторы из алгебры А действуют следующим образом:

аеа = С11)

Р

сеа = 0 (12)

Пусть представление £ = & © будет реализовано в гильбертовом пространстве Щ в базисе, определенном в вышеприведенной теореме.

Аналогично представление у — т)р ф т/о реализовано в гильбертовом пространстве Нп с ортонормированным базисом пробегает от 0 до оо;е7}, где {еолг} есть ортонормированный базис в Кег а, и есть ортонормирован-нын базис в О = Кег с,, где операторы из алгебры А действуют следующим образом:

аепк = V1 _ 92"еп-г,.^; ае0л' = 0 (13)

<1еш = - <72<п+1)е»-ц,л/ (14)

= (15)

а е.

лг

„г

■-» = XXе« (16)

í

сеу = 0 (17)

где с^ и а' суть матрицы унитарных операторов.

Нашей целью является построение произведения £т]. Достаточно доказать следующие утверждения.

Лемма 3 Для *-представлений ( в I) алгебры А имеет место условие Кег с^, = Кег с^ ® Кег с,

Предложение 2 Представление реализовано в гильбертовом про-

странстве Это гильбертово пространство имеет ортонормирован-

ный базис {етпдм,га — 0,1,2...;п челое}. В этом базисе представление (рЧр определено по следующим формулам:

аетпмк = V 1 _ 32тет-1,г1Ш/; аеопмлг = 0 (18)

¿е„тл/л- = V1 - ?2(т+1)ет + 1,пл/л (15)

сет„лш = я'Пе~т,п+1,мм (20)

Ъетпмя -— — дт+1ет,а-1,мк (21)

При доказательстве данного предложения получен также следующий дополнительный результат: Определим функцию

оо 71 -I

Следствие 2 Функция дя(п) имеет свойство характера:

ле»-и)=(1-92ы«)-

Предложение 3 Представление реализовано в гильбертовом про-

странстве ® Это гильбертово пространство имеет ортонормироваи-ный базис {йтм/з, т — 0,1,2...}. В этом базисе представление определено по следующим формулам:

аетыр = \Л -чгтет-1,ме\ аеомр = 0 (23)

¿етМ0 = \А - ?2(га+1»ет+1,м/? (24)

се,= X] (25)

Л.'л

ЬетШ = (26)

к-,

Предложение 4 Представление ^оЛР реализовано в гильбертовом пространстве Это гильбертово пространство имеет ортонормирован-ный базис {еап№,п — 0,1,2...}. В зтпом базисе представление определено следующими формулами:

аеапЯ = \/1 - Ч2"ес.,т.-1,л/;ае£>о,у = 0 (27)

¿йапК = т/1 (28)

сеап!г= (29)

Ь,8

Ьеапу = (30)

¿4

Предложение 5 Представление, ^о^я реализовано 6 гильбертовом пространстве Сг^СЗСг',,. Это гильбертово пространство имеет ортонормирован-ный базис {еар,п — 0,1,2...}. этом базисе ■представление ^ача определено следующими формулами:

(32)

-.5

«а/» = 0 (33)

6еа(, = 0 (34)

Используя приведенные предложения , можно строить произведения произвольных представлений алгебры А.

Доказано предложение

Предложение 7 Представление П = ■ХфТГфКд реализовано в гильбертовом пространстве Нц с ортонормированным базисом {етдггЬ где т пробегает от 0 до эо, а М и Г пробегают, все целые числа, по следующим формулам:

аетмг = ~ ?2т"ет-1,л/г; ае0,мг = 0 (35)

¿епМГ = л/Г- 92("1+1)е„+а,мг (36)

се„мг = ?тет,м+г,г (37)

ЬбтМГ = -д"1+1ет,л/-х,г (38)

Свойства представления П даются следующими двумя предложениями и теоремами 2, 3 и 4.

Предложение 8 Слабое замыкание алгебры А в представлении П унитарно эквивалентно алгебре фон Неймана В(Н) ® Fun(S) &Ы, где В(Н) есть алгебра ограниченных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве, Рип(З) есть алгебра функций на окружности понимаемая как слабое замыкание алгебры тригонометрических полиномов, действующей в ¿2(6') поточечным умножением, ¡¿. есть единичный оператор в бесконечномерном гильбертовом■ пространстве.

Коммутант алгебры А в представлении П унитарно эквивалентен этой же алгебре.

На алгебре А о представлении П определен полуконечный след по формуле

оо к—О

Этот след связан с инвариантным интегралом Хаара-Вороновича \ на 5{/9(2) по формуле

х(Л = и - ?Х/«").

Предложение 9 Пряма! сумма представлений унитарно эквивалентных П также будет унитарно эквивалентна П.

На более формальном языке это предложение выглядит следующим образом. Пусть представление II реализовано в гильбертовом пространстве Нц в. пусть Н есть произвольное гильбертово пространство.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве Нп ® // представление Е определенное в соответствии со следующей формулой.

ЩЛ = щл ®

для / £ А. По приведенному предложению представление Е унитарно эквивалентно П.

Следующая теорема о стабильности для представления П является одним из основных результатов работы.

Теорема 2 Для произвольного *-представления I алгебры А выполняется следующее условие стабильности:

Щ = £П = П

где "=" означает унитарную эквивалентность.

Определено также второе свойство стабильности для представления II. Для этого приведем представление П к следующему виду. Пусть представление П реализовано в гильбертовом пространстве Нп с ортонормированным базисом {етМг}, где т и Г пробегают от 0 до оо, а М пробегает все целые числа, по ■ следующим формулам:

астмг = \Д ~ 92'"ет_1.дп-;ае0мг = 0 (39)

¿е„гмг = \Л - ?2(т+1'ет+1,мг • (40)

сетмг = 7теп.,А/+1,г (11)

= -?т+1ет,дг-1,г (42)

Определим в том же гильбертовом пространстве Нп представление П' алгебры Л, порожденное операторами а',Ъ',с',<1', действующими по следующим формулам.

а'ьтМТ = \Д _ 9гг"стМ,г-х; аетЛГ0 = 0 (43)

ЛтМГ = - ?2(Г+1)е™лг,г+1 (44)

с'етмг = 9ГСт,м+х,г (45)

Ь'етмт = —<?Г+1е>п,л*-1,г (46)

Нетрудно видеть, что представление П' унитарно эквивалентно П. Также легко видеть, что операторы а', V, с', д! перестановочны с операторами а, Ь, с, Л. Определим представление П"(А) по следующей формуле.

а" Ь" \ ( а Ь \ ( а' V

с" 4" \ с <1 ) [с' ¿! I Имеет место теорема

Теорема 3 Представление П" унитарно эквивалентно П. Будем называть это условие вторым свойством стабильности для представления П.

В разделе 1.8 доказана унитарная эквивалентность стабильного представления П и регулярного представления алгебры функций на кваптовой группе Л = Рип(5и^(2}). Введем требуемые обозначения. Инвариантный интеграл х на биалгебре В есть функционал

х-в-* с-,

где С есть поле комплексных чисел, удовлетворяющий следующему условию: (х ® /<0Д(/) = {I* ® х) мл = 1 вх(/). ' (48)

Здесь Ы есть тождественное отображение, 1 в есть единица в биалгебре В.

Инвариантный интеграл та 5(7,(2) был определен Вороновдгаем. Этот интеграл связан со следом в представлении П по формуле

*(/) = (1 - 02М1сс').

Введем теперь понятие регулярного представления. Это представление вводится с помощью конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала.

Пусть ф есть положительный функционал на алгебре с инволюцией А. Тогда формула

(х,у) - ф(х*у)

задает на алгебре А положительно определенное скалярное произведение. Пополнение алгебры А по норме, отвечающей этому скалярному произведению, дает гильбертово пространство Ь^ф). Представление Гельфанда-Наймарха-Сигала. в гильбертовом пространстве ¿^(ф) вводится как продолжение действия

а : х —» ах, а, г € А;

с плотного аодпросгранства а на

Если функционал (¡> есть инвариантный интеграл на алгебре Л, то соответствующее представление будем называть регулярным. Доказана следующая

Теорема 4 Регулярное представление Тх алгебры А унитарно эквивалентно стабильному представлению П.

В разделе 1.9 исследовано обобщение свойства стабильности для произвольного кодействия алгебры Хопфа А. Рассмотрен произвольный комодуль V над алгеброй Хопфа А — .Гип^У,,^)). Это означает, что V есть линейное пространство с отображением кодействия

' (49)

где отображение кодействия удовлетворяет свойству

б2 = (Д® 1)6.

Естественно считать, например, что V есть алгебра с инволюцией, а с есть гомоморфизм алгебр с инволюцией. Структура алгебры с инволюцией в линейном пространстве А © V вводится следующим образом.

(а К) ьЛ(а' ® V1) = аа' 0 т';

*(а ® V) — я' <й I'*.; а. а1 6 А: V, !>' 6 V.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве Ну ^-представление Т алгебры V, а в гильбертовом пространстве Д? ^-представление 5 алгебры А.

Кодействие 6 назовем унитарно представимым отпосительно представлений Т если существует унитарный оператор II,

и : Ну Н8 ® Яу;

такой что Чу е V

[Б ®Т)(Щ = иТ[у)и~\

Пользуясь существованием стабильного представления для алгебры А, доказано следущее предложение.

Предложение 12 Для произвольного комодуля V" над алгеброй Хопфа А = Рип(Бия(2)) существует такое представление Р, что кодействие £ из формулы Ц9) является унитарно представимым относительно представления Р комодуля V и произвольного представления 5 алгебры А.

В главе 2 изучаются вопросы д-анализа, его связи с квантовыми группами и р-адическим анализом. В ^-анализе оператор дифференцирования заменяется на оператор ^-дифференцирования, представляющий собой оператор разностного дифференцирования. Рассмотрим кратко ^-анализ на вещественной прямой и его связь с квантовыми группами. Одним из предметов ^-апализа является следующее представление ^-деформированной алгебры Гайзепберга. Эта алгебра порождена элементами X а д, с перестановочными соотношениями, являющимися деформацией перестановочных соотношений алгебры Гайзенберга

д,Х-дХд, = \. (50)

Ненулевое комплексное число д здесь является параметром деформации. Хорошо известно следующее представление ^-деформированной алгебры Гайзепберга, определенное на функциях на вещественной прямой или комплексной плоскости:

(ХЛМ =*/(»>; (51)

м-)(52>

Оператор дд называется оператором д-дцфференцирования.

Анализ связан с теорией квантовых групп через структуру Рип(5Х,(2, С))-комодуля на ^-деформированной алгебре Гайзенберга. Это означает, что преобразование

сохраняет перестановочное соотношение (50).

В главе 2 изучается ^-анализ в радической области. В частности, построены р-адическтте ц-интегралы и (/-экспоненты. Также построено новое представление ^-деформированной алгебры Гайзенберга, определенное в пространстве комплекснозначных функций на поле р-аднческих чисел.

В работе [3] уравнение для ^-экспоненты было исследовано для комплексных 9, удовлетворяющих условию ]<?| = 1. В этой работе были получены следзтопгае результаты:

Предложение 13 Дляц, являющихся корнем из 1, ц-экспоненты не существуют.

Предложение 14 Для |?| = 1 и q, не являющегося корнем из 1, д-экспоиента равна нулю почти всюду вне некоторого диска или неизмерима по Лебегу вне этого диска.

Во второй главе рассмотрено представление ^-деформированной алгебры Гайзенберга в пространстве функций на поле р-адических чисел. Рассмотрим следующие операторы, действующие в пространстве комплекснозначных функций на поле р-адических чисел

(*/)(*) = £(*)/(*); ' (54)

здесь £ есть непрерывный мультипликативный характер из (¡р в поле комплексных чисел С. Пусть и 6 5р\{0},а € С\{0},? = £(и) Ф 1.

Это оператор q-дифференцирования в р-адической области. Этот оператор удовлетворяет следующему ^-деформированному правилу Лейбница:

= {d„f)(x)g(x) + в/(«г)(9,р)(г); (56)

Операторы X и dqia удовлетворяют перестановочным соотношениям

дя,аХ - qXdqt<x = 1. (57)

Это есть перестановочное соотношение q-деформированной алгебры Гайзенбер-га.

Рассмотрены два примера (/-анализа.

Пример 1. Пусть и = р, £(х) — p,q = £(u) = р~г.

Определим g-интеграл как

f(t)dJ<nt = (1 - р"1),^ (58)

к-0

Имеет место аналог формулы Ньютона-Лейбница:

L , (M(t)d^t = Hm (/(г) - а'7(р»х)). (59)

Если мы выберем а = 1 я /(i) = тогда рассматриваемый ^-интеграл

будет равен интегралу по мере Хаара "по р-адическому диску {t £ Qv : |i|p < Здесь мера Хаара нормирована таким образом, что мера Zp равна 1. Формулы для 9-пнтеграл и правила Ньютона Лейбница определены для функций /. удовлетворяющих условию существования следующего предела:

lirn anj(qnx). (60)

Определим q-экспоненту / как функцию, удовлетворяющую следующему у-равнешпо в д-производных:

Наложим на решение этого уравнения условие

lim a"f(pnx) = 1.

n—*OÖ 4 '

В этом случае решение уравнения является единственным и выражается следующей формулой:

/М=П(1 -Ail-p-VM,)-' (62)

ь-.о

Это бесконечное произведение сходится при х и к, удовлетворяющих следующему условию:

Пример 2. Пусть ц является единицей. Это означает, что выполнено следующее условие: |и — 1 |р < 1. Пусть пе есть корень из 1. Рассмотрим р-адический диск £>:

П={хедр-.\х-1\р<\и-1\р}. (63)

Этот диск является мультипликативной подгруппой ф*. Определим д-интеграл по следующей формуле:

к

j{x)dbax = lim p-^Y; f(ukx)ttukx)ak. (61)

D k=о

Для этого (¡-интеграла имеет место аналог формулы Ньютона-Лейбница:

L

dg,af(x)dqi0,x = lim {—(f(x) - f(u" x)a" ). (65)

D 71—OO X - <J

Если а = 1 и / непрерывна, то (/-интеграл равен интегралу до мере Хаара от функции j{x)£(x) по диску D. Здесь мера Хаара нормирована таким образом, что мера диска D равна 1.

Определим q-экспоненту / как функцию, удовлетворяющую следующему уравнению:

dq,J(z) = */(*). (66)

^-Экспонента / является характером мультипликативной группы, порожденной ир . Определим комплексное число

С = а""'(1 + (к(1 - <?))"').

^-Экспонента будет обладать различными свойствами в зависимости от значения числа С. Рассмотрим следующие случаи:

a) Пусть Зп. : Ср" = 1. В этом случае существует q-экспонента, принадлежащая классу локально постоянных функций на р-адическом диске D, удовлетворяющих свойству:

{д(х) : д(ur"x) = 9(2)}.

В этом классе функций «/-экспонента будет единственной.

b) Пусть \С\ = 1 и С пе является корнем из 1 некоторой степени рп. Тогда функция / разрывна в каждой точке х, в которой J(x) ф 0.

c) Пусть |С| ф 1. Функция / неизмерима по мере Хаара на диске D.

В главе 3 изучается пример (/-деформации в теории поля. Квантовый пучок на множестве М, принимающий значения в алгебре Л функций на квантовой группе SU4(2) определен набором операторнозначных функций a(t),b(t),c(t),d(t),t 6 М, удовлетворяющим следующиму условию: a(t),b(l),c(t),d(t) для фиксированного t образуют представление алгебры А.

В рассматриваемом в диссертации примере множество М есть вещественная прямая, а функции «¿(¿) являются гладкими.

Киральным полей на множестве М со значением в квантовой группе 8ич(2) мы будем называть набор оцераторнозначных функций

^ " \ с(сс) ¿(х)

где I £ Д/, такой что для произвольного х матричные элементы вышеуказанной матрицы образуют представление Рип(511я(2)).

Матричные элементы (д',(х)) в рассматриваемом примере зависят от х гладким образом. Рассматриваемый в главе 3 пример кнрального поля выбран таким образом, что матричные элементы (д'3{х)) и их производные образу-

ют замкнутую алгебру(то есть замыкаются соответствующие перестановочные соотношения, имеющие степень 3).

1.1

Основные результаты диссертации напечатаны в следующих работах.

Список литературы

[1] Козырев С.В. Изоморфизм стабильного и регулярного представлений алгебры функций да квантовой группе. Докл.Акад.Наук, 343(1995)N4

[2] Козырев С.П. Точная вычислимость, полугруппа представлений и свойство стабильности для представлений алгебры функций на квантовой группе SUq(2). Teop.Mar.<t>H3.,101(199i)No2

[3] Козырев С.В. Свободное движение ^-деформированной квантовой частицы. Теор.Мат.Физ.,93(1992)Ко10

[4] Accardi L., Arefeva I. Ya, Kozyrev S.V, Volovich I.V The master field for large N matrix models and quantum groups. Modern Phys.Lett.A, 11 (1995)p.2341-2345

1С