Линейная и нелинейная теория ρ-адических обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Шелкович Владимир Михайлович

Линейная и нелинейная теория р-адических обобщенных функций

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010

2 4 ИЮН 2910

004606091

Работа выполнена в отделе математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

C.B. Козырев

доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Кочубей

доктор физико-математических наук, профессор М.Д. Миссаров

Ведущая организация: Российский государственный гуманитарный

университет, г. Москва.

Защита состоится 21 октября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина 8, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан 21 мая 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 002.022.02 при МИАН доктор физико-математических

Ю.Н. Дрожжинов

1. Общая характеристика работы

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке некоторых разделов математической физики, связанных с теорией обобщенных функций и гармоническим анализом. Также исследованы и решены некоторые важные задачи вещественной теории обобщенных функций. Актуальность темы. р-Адические числа были открыты К. Гензелем в 1899 году и традиционно использовались в алгебраической геометрии, теории чисел, теории групп. Последние 30 лет р-адические числа стали интенсивно использоваться в теоретической и математической физике. Этот всплеск научной активности в большой степени был инициирован пионерскими работами B.C. Владимирова, И.В. Воловича.

Физические модели, использующие р-адическое пространство, возникали как попытка дать решение некоторых кардинальных проблем теории квантовой гравитации и теории струн (И.Я. Арефьева, B.C. Владимиров, И.В. Волович, Б.Г. Драгович, П. Фрэмптон, П. Фройнд, Е. Виттен, A.B. Забродин). В работах B.C. Владимирова, И.В. Воловича, Б.Г. Драговича, Е.И. Зеленова, Ю. Меурисе, А.Ю. Хренникова были построены р-адические и адельные модели квантовой механики. М.Д. Миссаров и Е.Ю. Лернер изучали теорию перенормировок для иерархической фермионной модели. р-Адические теории струн, гравитации и космологии стимулировали развитие и новые приложения р-адического Фурье-анализа, теории распределений, псевдодифференциальных уравнений, самосопряженных операторов в £2(QP), теории Фейнмановских интегралов, теории р-адически знач-ных вероятностей и динамических систем (B.C. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, C.B. Козырев, А.Н. Кочубей, А.Ю. Хренников). Эти математические теории, в свою очередь, дают новые возможности для физических приложений р-адического анализа - например, в теории неупорядоченных систем (спиновых стекол) (М. Мезард, Г. Паризи, Вирасоро, Н. Сургалис, В.А. Аветисов, А.Х. Бикулов, C.B. Козырев). Имеются приложения ультраметрического анализа для параметризации генетического (аминокислотного) кода (Б.Г. Драгович, А. Драгович, C.B. Козырев, А.Ю. Хренников). р-Адические вероятностные модели и их приложения исследовались А.Н. Кочубеем. р-Адические случайные процессы рассматривались С. Аль-беверио, В. Карвовским, А.Н. Кочубеем, А.Х. Бикуловым, И.В. Волови-чем, С. Эвансом. р-Адические динамические системы и их приложения (в частности в криптографии) рассматривались в работах А.Ю. Хренникова, М. Нильсена, П.-А. Свенсона, В. Анашина. р-Адические модели в психологии, когнитивных и социальных науках, анализе изображений были

изучены А.Ю. Хренниковым.

В свою очередь, новые р-адические модели и приложения стимулировали развитие новых областей р-адического анализа и математической физики, в частности, теории псевдодифференциальных операторов и уравнений, р-адических всплесков.

Как известно, для р-адического анализа, связанного с функциями, определенными на Qp и принимающими комплексные значения, операция дифференцирования не определена. Вследствие этого, большое число р-адичес-ких моделей вместо дифференциальных уравнений используют псевдодифференциальные. Поэтому в моделях математической физике, базирующихся на р-адическом анализе, псевдодифференциальные операторы (в частности операторы дробного дифференцирования), играют значительную роль. Понятие р-адического псевдодифференциального оператора было введено

B.C. Владимировым. B.C. Владимиров построил спектральную теорию одномерного оператора дробного дифференцирования и оператора типа Шрё-дингера. При этом B.C. Владимировым были получены явные формулы для собственных функций дробного оператора. Развитие спектральной теории операторов типа Шрёдингера было продолжено в работах А.Н. Кочубея.

Как известно, в моделях р-адического анализа интенсивно используются р-адические псевдодифференциальные уравнения. Стационарное и нестационарное р-адическое уравнение Шредингера исследовалось в работах B.C. Владимировым и И.В. Воловичем. р-Адическое стохастическое псевдодифференциальное уравнение было рассмотрено А.Х. Бикуловым и И.В. Воловичем. р-Адические уравнения Эйнштейна и квантовой р-адичес-кой гравитации изучались в работах И.Я. Арефьевой, И.В. Воловича, Б.Г. Драговича и П. Фрэмптона. р-Адические псевдодифференциальные уравнения использовались для моделирования межбассейновой кинетики в работах В.А. Аветисова, А.Х. Бикулова, C.B. Козырева и В.А. Осипо-ва. В работах C.B. Козырева и Е.И. Зеленова, С. Фищенко для моделирования турбулентности использовались нелинейные ультраметрические и р-адические уравнения. Широкий класс р-адических нсевдодифференци-альных уравнений был исследован в книге А.Н. Кочубея.

Первый р-адический базис всплесков хааровского типа был построен

C.B. Козыревым в 2002 году. C.B. Козыревым было показано, что построенные р-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов. В работах С. Альбеверио и C.B. Козырева было показано, что р-адическом случае непрерывный и дискретный анализ всплесков можно рассматривать в рамках теории представлений групп.

Дж. Дж. Бенедетто и P. J1. Бенедетто предложили метод построения базисов всплесков на локально- компактных абелевых группах с компактными открытыми подгруппами, основанный на "теории множеств всплесков" ('ïheory of wavelet sets"). Базис C.B. Козырева может быть получен этим методом. Напомним, что в вещественном случае имеется эффективный метод построения базисов всплесков - это так называемый кратномасштабный анализ {КМА). В статьях Дж. Дж. Бенедетто, P. J1. Бенедетто были приведены соображения, что в р-адическом случае КМА построить невозможно.

Теория всплесков дала адекватный формализм для построения решений р-адических уравнений (А.Ю. Хренников, C.B. Козырев, С. Альбеверио, С. Кужель, С. Торба).

Как видно из сказанного, различные разделы математической физики, базирующиеся на р-адическом анализе, интенсивно развиваются и находят новые приложения. Однако, в силу того, что р-адический анализ - молодая наука, в нем имеется много неразработанных областей.

Цель работы. Основной целью диссертации является разработка новых разделов математической физики, связанных с теорией р-адических обобщенных функций и гармоническим анализом, разработке теории р-адических псевдодифференциальных операторов и уравнений, развитию теории р-адических всплесков и асимптотическим методам р-адического анализа. Рассматриваются модели, использующие комплексно-значные функции р-адического аргумента.

Методы исследований. В работе используются специфические методы р-адического анализа, функционального анализа, а также новые методы, которые были разработанные автором (в частности, метод р-адического кратномасштабного анализа (КМА), метод построения р-адических асимптотик).

Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые результаты (полученные ранее в оригинальных статьях).

1. Исследовано понятие присоединенного однородного распределения (ПОР) в Х>'(Е). Введено определение квазиприсоединенного однородного распределения (КПОР), обобщающее определение ПОР. Построена теория одномерных вещественных КПОР. Для многомерных вещественных КПОР доказан аналог классической теоремы Эйлера. Построена теория р-адических КПОР.

2. Были введены и изучены р-адические аналоги пространств Лизор-кина основных функций и распределений, инвариантные относительно одного класса р-адических псевдодифференциальных операторов (который

включает оператор дробного дифференцирования и интегрирования). Эти пространства являются естественной областью определения псевдодифференциальных операторов и должны играть центральную роль в моделях, связанных с р-адическими псевдодифференциальными операторами и уравнениями.

3. Введено определение р-адической версии кратно-масштабного анализа (КМА). Предложено масштабирующее уравнение, которое отражает самоподобие топологической структуры Построена теория р-адических одномерных и многомерных всплесков (вейвлет) хааровского типа. Описан широкий класс р-адических масштабирующих функций, порождающих КМА. Построено бесконечное семейство р-адических одномерных и многомерных базисов всплесков (вейвлет) нехааровского типа. Доказан р-адический аналог теоремы Шеннона-Котельникова.

4. На пространствах Лизоркина определены и исследованы операторы дробного дифференцирования и интегрирования Владимирова и Тайблесо-на (в дальнейшем будем называть эти операторы дробнъши оператором). Также введен новый класс многомерных псевдодифференциальных операторов, включающий в себя дробные операторы, а также псевдодифференциальные операторы, изученные в работах А.Н. Кочубея и В. Зуниги-Галинды. Построена спектральная теория упомянутых выше псевдодифференциальных операторов. Получены необходимые и достаточные условия того, что р-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов. Доказано, что все построенные нами р-адические всплески являются собственными функциями дробного оператора.

5. Разработан метод решения р- адических псевдодифференциальных эволюционных уравнений (где t £ Ш, х & 0>"), использующий теорию р-адических всплесков. Это "метод разделения переменных", который является аналогом классического метода Фурье. Используя этот метод, в явном виде найдены решения задач Коши для р-адических линейных (первого и второго порядка по ¿) и полулинейных псевдодифференциальных эволюционных уравнений.

6. Введено определение и исследованы свойства квази-асимптотики р-адического распределения. Доказаны р-адические многомерные тауберовы теоремы для распределений Лизоркина.

7. Доказаны теоремы, описывающие асимптотическое поведение р-адических сингулярных интегралов Фурье.

8. Построен алгебраический аппарат, в рамках которого можно решать

линейные и нелинейные сингулярные задачи вещественного и р-адического анализа, связанные с теорией распределений. Именно, построены новые версии вещественных алгебр Коломбо. Также построены алгебра р-адичес-ких обобщенных функций Коломбо-Егорова и ассоциативная алгебра р-адических асимптотических распределений, порожденная КПОР. Исследованы алгебраические аспекты сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Развиты новые разделы математической физики, связанные с р-адической теорией обобщенных функций и р-адическим гармоническим анализом. Результаты работы и развитые в ней методы (в частности КМА , спектральный анализ псевдодифференциальных операторов) могут быть использованы в различных моделях математической физики, использующих р-адические числа, в задачах, связанных с обработкой сигналов, в задачах, связанных с р-адическими с псевдодифференциальными операторами и уравнениями, при решении линейных и нелинейных сингулярных задач р-адического анализа, связанных с теорией распределений.

На некоторые результаты приведенные в диссертации ссылались другие авторы: С. Альбеверио, М. Гроссер, В. Зунига-Галиндо, C.B. Козырев, А.Н. Кочубей, С. Кужель, М. Кунцигер, Е. Майерхофер, М. Обергугген-бергер, Родригес-Вега, С. Торба, Р. Штейнбахер.

Апробация работы. Основные результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались на семинаре отдела математической физики (МИАН), на семинаре отдела дифференциальных уравнений (МИАН), на семинарах МГУ, ПОМИ, на университетских математических семинарах г. Лиона (Франция), г. Бонна (Германия), г. Векшо (Швеция), а также были представлены на следующих международных конференциях:

1. Международная конференция "Обощенные функции (GF 2009)", Вена, Австрия, Август 31-Сентябрь 4, 2009; 2. XVI Международный конгресс по математической физике, Прага, Чешская республика, Август 3-8, 2009; 3. Международная "Wavelets and applications", Санкт-Петербург, Июнь 1420, 2009; 4. Летняя школа и конференция по современной математической физике, Белград, Сербия, Июль б - 17, 2008; 5. 12-я международная конференция по гиперболическим проблемам: теория, численные методы и приложения. Университет Мэриленд, Колледж-Парк, США, Июнь 9-13, 2008; 6. Третья международная конференция по р-адической математической физике, МИАН, Москва, Октябрь 1-6, 2007; 7. Линейная и нели-

нейная теория обобщенных функций и ее приложения (вГ 2007), Бедлево, Польша, Сентябрь 2-8, 2007; 8. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" посвященная И. Г. Петровскому, Москва, МГУ, Май 21-26, 2007; 9. Вторая международная конференция по р-адической математической физике, Белград, Сербия, Сентябрь 15-21, 2005; 10. Международная конференция по обобщенным функциям, ДУЧП, гармоническому анализу и математической физике (КХЗР 2004), Новый Сад, Сербия, Сентябрь 22-28, 2004; 11. Первая международная конференция по р-адической математической физике, МИАН, Москва, Октябрь 1-5, 2003.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 28 научных статьях, список которых приводится в конце автореферата.

В совместных работах по теории р-адических квази-присоединенных однородных распределений постановка задачи и основной вклад принадлежит автору. В совместных работах по кратно-масштабному анализу ха-аровских р-адических всплесков [19], [20], [28] вклад соавторов одинаков, однако автору принадлежит идея использовать для построения КМА функциональное уравнение (5.1.5), отражающее самоподобность структуры <0)р, в качестве масштабирующего уравнения. В совместных работах по теории нехааровских р-адических всплесков автору принадлежит теорема, дающая описание счетного семейства нехааровских базисов всплесков. В совместных работах о р-адических псевдодифференциальных операторах, автору принадлежит идея введения р-адических пространств Лизоркина и использование этих пространств в качестве "естественной" области определения дробных и псевдодифферснциальных операторов. В этих же работах автору принадлежат теоремы о необходимых и достаточных условиях того, что всплеск-функции является собственной функцией псевдодифференциального оператора. В совместных работах о р-адических псевдодифференциальных уравнениях автору принадлежит идея метода разделения переменных, а также теоремы, дающие решения задач Коши для эволюционного псевдодифференциального линейного уравнения второго порядка по £ и для полулинейных эволюционных уравнений. В совместных работах о р-адических тауберовых теоремах автору принадлежит идея введения р-адических квазиасимптотик, теоремы о р-адических квази-асимптотиках, тауберова теорема, дающая в одномерном случае характеризацию квазиасимптотики распределения на бесконечности через дробную первообразную, а также тауберова теорема, связанная с псевдодифференциальным оператором. В совместных работах об асимптотическом поведении р- адиче-ских сингулярных интегралах Фурье автору принадлежат теоремы для

случая, когда а = 0 идля случая, когда мультипликативный нормированный характер не равен 1. В совместных работах об р-адической алгебре Коломбо-Егорова автору принадлежит общая конструкция алгебры и теоремы о том, что семейства дробных операторов Владимирова и Тай-блесона образуют абелевы группы. В совместных работах об р-адической алгебре асимптотических распределений автору принадлежит теорема, которая дает слабые асимптотические разложения произведений регуляризации квази-присоединенных однородных распределений.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из 10 глав, библиографии, двух приложений и списка литературы, содержащего 239 названий. Общий объём диссертации составляет 292 страниц.

2. Содержание диссертации и ее основные результаты

Работа посвящена развитию теории р-адических распределений (обобщенных функций) (как линейной так и нелинейной), построению теории кратно-масштабных р-адических всплесков, теории р-адических псевдодифференциальных операторов и уравнений, развитию асимптотических методов р-адического анализа. Мы рассматриваем модели, которые связаны с комплексно-злачными функциями р-адического аргумента. Кроме того, исследованы и решены несколько важных задач, связанных с вещественной теорией распределений функций.

Глава 1 является введением. В главе 2 "Вспомогательные факты из р-адического анализа" приводятся необходимые определения и обозначения и вспомогательные факты р-адического анализа, используемые на протяжении всей работы. Следующие 8 глав содержат оригинальные результаты автора.

В главе 3 "Теория присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений (вещественный и р-адический случаи)"

мы развиваем теорию присоединенных однородных распределений (ПОР) и квази-присоединенных однородных распределений (КПОР) в вещественном и р-адическом случаях. Наши результаты дают решение важной нерешенной до сих пор задачи описания всех ПОР и КПОР. Эти результаты расширяют и обобщают результаты, полученные И.М. Гельфандом, Г.Е. Шиловым, Р. Эстрадой и Р. Канвалом, И.М. Гельфандом, М.И. Граевым, И.И. Пятецким-Шапиро, B.C. Владимировым, И.В. Воловичем, Е.И. Зе-леновым. Результаты этой главы были получены в статьях [23], [9], [1]. р-Адические КПОР существенно используются в главах б, 7, 10.

В нашей статье [23], обобщая естественным образом понятие ПОР, введено

Определение 3.7 ( [23]). Будем называть распределение Д € ТУ{К) квази-присоединенным однородным (КПОР) степени А и порядка к, к = 0,1,2,3,..., если для любого а > 0 и € D(R)

к

(Д(г), </>(-) ) = аА+1(Д, </>) + аМаХ/к-г, <р),

Г=1

то есть,

к

Uafk{x) = fk(ax) = axfk(x) + ^Лг(а)Д-г(я),

r=1

где Д_г(х) - КПОР степени Л и порядка к — г, hr(a) - дифференцируемая функция, г = 1,2,... ,к. При этом будем предполагать, что для А; = О суммы в правых частях последних соотношений являются пустыми. Множество {Д '■ к G Z+} назовем цепочкой КПОР.

Согласно основной теореме 3.4.3 этой главы, с точностью до постоянного множителя hr(a) = аЛ log1" а, г — 1,2,..., к. Поэтому определение 3.7 эквивалентно следующему определению:

Определение 3.8 ( [23]) Распределение Д £ V(R) назовем КПОР степени А и порядка fc, fc = 0,1,2,..., если для любого а > 0 и ip 6 X>(R)

к

(fk(x),<pQ ) = аЛ+1<Д, + £ аА+1 log' а(Л_г> у>>,

Г=1

где fk-r(x) - ПОР степени А и порядка к— г, г — 1,2,..., к. Мы считаем, что для к — 0 сумма в правой части соотношения пуста.

Согласно [23], существуют ПОР только порядка к = 0, т.е. однородные распределения (ОР) (заданные определением 3.8 при к = 0) и порядка к = 1 (заданные определением 3.8 при к = 1). Следующая теорема дает описание всех КПОР одномерных распределений.

Теоремы 3.4.2, 3.4.3 ( [23]). Каждое КПОР / е Х>'(К) степени А и порядка А; € N (с точностью до КПОР порядка < к — 1) есть линейная комбинация линейно независимых распределений

(a) x^\ogkx±, A£-N;

(b) х±), \ €—N, где распределение Р(х±п^к~х х±) является главным значением функции x^.n\ogk~1 х±.

То есть класс КПОР совпадает с классом распределений, который описан в книге И.М. Гелъфанд, Г.Е. Шилов, "Обобщенные функции и действия над ними. Обобщенные функции", вып. 1, М.: ГИФМЛ, 1959 {см. Гл.1, §4.1.).

Для многомерного случая доказан аналог классической теоремы Эйлера:

Теорема 3.5.3 ([23]) Л(х) - КПОР степени А и порядка к, к > 1 тогда и только тогда, когда

, п Q >. fc+l

В отличие от вещественного случая, р-адические ПОР не исследовались. Это было впервые сделано в наших работах [9], [1]. Используя приведенные выше результаты, мы развили в [9], [1] теорию р-адических присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений.

Обозначим через T>(Q") линейное пространство локально-постоянных С-значных функций на Q™ с компактным носителем (пространство основных функций) и через D'(Q£) множество всех линейных функционалов (распределений) на V(Q™). Следующее определение р-адического КПОР вводится по аналогии с определением 3.8.

Определение 3.12 ( [9], [1]) Будем называть /т е V(QP) КПОР степени 7га и порядка т, т € Z+, если

т

= na(t)\t\p{fm,<p) + Y^na[t)\t\pb£\t\p{fm4,(p)

3=1

для всех <р е T>(Qp) и t 6 Q*, где /m_j 6 V'{Qp) - КПОР степени жа и порядка m — j, j = 1,2,..., т. Если m = О, мы будем считать последнюю сумму пустой.

Доказывается теорема, дающие описание всех р-адических КПОР:

Теорема 3.9.3 ( [9], [1]) Каждое КПОР / е 2?'(Q„) степени жа{х) = |x|p-17Ti(x) и порядка т £ N (с точностью до КПОР порядка < т — 1) имеет вид

(a) С7га(х) log™ \х\р, если тга(х) ф 7г0(ж) =]х\~1;

(b) CP(|z|-1 log™-1 |а:|р), если тга(х) = щ(х) = l^l"1, где распределение P(|i|-1 log™-1 |х|р) - главное значение функции \х\~1 log™-1 \х\р, С -константа.

При исследовании КПОР было обнаружено семейство функций, которые можно рассматривать как новые типы вещественных и р-адических Г-функций.

В главе 4 "р-Адические пространства Лизоркина основных функций и распределений" введены р-адические пространства Лизор-

кина основных функций и распределений и исследованы их свойства. Эти пространства далее интенсивно используются в главах 5, 6, 7, 8, 10.

Как известно, дробные операторы играют особую роль в приложениях р-адического анализа, однако пространство распределений V'(Q") не инвариантно относительно действия этих операторов и потому не является для них естественной областью определения.

Следуя идеям работ П.И. Лизоркина мы и ввели в [11], [12] р-адические пространства Лизоркина основных функций и распределений. Было введено пространство основных функций Лизоркина первого типа ( [11]):

м<0£) = {ф •• Ф = т, ф е **(0£)} с Z>(Q»),

где фх№) = Ш) е V(®;) : О,= 0=

1,2,..., тг} и F - преобразование Фурье. Также введено пространства основных функций Лизоркина второго типа ( [11], [12]):

= {ф:ф = m ф 6 ФОД С V(QP,

где Ф(0£) = 6 î'(Qp) : Ф(0) = 0}. Назовем пространства и

Ф'(<0}р) пространствами распределений Лизоркина первого и второго типа, соответственно.

Пространства Лизоркина основных функций и распределений инвариантны относительно действия введенных нами в главе 6 псевдодифференциальных операторов (в частности, дробных операторов) и тем самым представляют собой "естественную" область их определения.

В главе 5 "Теория р-адических всплесков" построена кратно-масштабная теория р-адических всплесков (wavelets) и р-адический кратномас-штабный анализ (КМА). Результаты этой главы базируются на работах [11], [15], [16], [6], [18], [20], [19], [28]. Теория всплесков играет ключевую роль в теории и приложениях р-адического анализа (см. главы 6, 7).

В отличие от вещественного случая, теория р-адических всплесков только недавно начала развиваться. Первый р-адический базис всплесков ха-аровского типа в £2(QP)

ehûa{x)=p4l\P{p-lWx-a))Çl(\pix--a\p), x&Qp, (5.1.3)

k = 1,2,... ,p—l;j € Z; a 6 /р, был построен в 2002 году C.B. Козыревым 1 В этой статье использовалось "естественное" множество сдвигов

1р = {ае®р: {а}р = а} , (5.2.1)

В. Козырев, Теория всплесков как р-адический спектральный анализ, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 66, по. 2, (2002), 149-158).

где {о}р - дробная часть числа а € Qp. Позднее в статьях Дж.Дж. Бенедет-то и Р.Л. Бенедетто был предложен метод построения базисов всплесков на локально-компактных абелевых группах с компактными открытыми подгруппами, основанный на "теории множеств всплесков" (theory of wavelet sets). Однако в вещественном случае существует классическая теория, называемая кратномасштабным анализом (КМА), в рамках которой разработана техника построения базисов всплесков. В р-адическом случае этот метод не был разработан. Более того, Дж.Дж. Бенедетто и P.JI. Бенедетто высказали предположение, что в силу того, что множество сдвигов (5.2.1) не образует группу, р-адический КМА невозможен. Тем не менее, в нашей статье [28] р-адический КМА был построен.

Чтобы построить р-адический аналог классического КМА, нам нужно иметь соответствующее р-адическое масштабирующее уравнение. Автор предложил использовать соотношение

р-1 х

ф(х) = У2ф(-х-~), iSQp, (5.1.5)

в качестве масштабирующего уравнения, порождающего КМА. Решение этого уравнения ф(х) = ii(|a;|p) (масштабирующая функция) является характеристической функцией единичного шара. Уравнение (5.1.5) является аналогом масштабирующего уравнения, порождающего КМА Хаара в вещественном анализе и отражает самоподобность структуры Qp:

2?о(0) - U^iMr),

то есть единичный шар -Bq(O) = {х : |х|р < 1} представляется как сумма р непересекающихся шаров В-\(г) = {ж : \х — г\р < р-1}, г = 0,1,... — 1.

В нашей статье [28] было введено определение КМА в £2(QP). В этой же статье (для р = 2), пользуясь масштабирующим уравнением (5.1.5), мы строим хааровский КМА в £2(<Q>2)- В [28] было показано, что в отличие от вещественного случая, существует бесконечное множество различных 2-адических ортонормальных базисов всплесков в £2(!Q>2), порожденных тем же самым хааровским КМА. В [28] была доказана теорема, дающая явные формулы для всплеск-функций, порождающих эти базисы:

Теорема 5.4.1 ([28]) Пусть тр^(х) = хг^яМИг), х 6 Q2) - всплеск-функция, порождающая в £?(Q2) базис Козырева (5.1.3) прир — 2, Q(t) -характеристическая функция отрезка [0,1]. Для каждого s = 0,1,2,... функция

является всплеск-функцией для хааровского КМА в том и только в том случае, если

2*-1

а* = 2-4-1)* Е к = 0,..., 2* - 1, (5.4.5)

Г=0

где 7Г € С - произвольные постоянные, такие, что |7Г| = 1, г = О,..., 2е— 1.

Согласно теореме 5.4.1, все 2-адические хааровские базисы задаются как

где /2 - "естественное" множество сдвигов (5.2.1).

В [20] мы обобщаем теорему 5.4.1 на случай произвольного р: Теорема 5.5.1 ( [20]) Все множество всплеск-функций с компактным носителем даются следующей формулой

М*) = Е Е - ' А* = 1,2,.. ■ - 1, (5.5.2)

и=1 к=О

где "ф^ = хр(р-11/х)0(|х|р), и = 1,... ,р — 1, - всплеск-функции, порождающие базис Козырева (5.1.3), и

а1г,к —

~Р Ът=0е Р ^И« ПРП = ">

_-2в уч>*-1 ург~1 пъиа^у

Р 2^т=0 ¿^п=0 е при

(5.5.3)

= 1; ¿V - элементы произвольной унитарной (р — 1) х (р — 1) матрицы 2, я = 0,1,2,....

Согласно теореме 5.5.1, все р-адические хааровские базисы задаются как

ф^х-а), ц = 1,2,... ,р- 1, з 6 2, ае/р,

где 1Р - множество сдвигов (5.2.1). Один из наших базисов — а),

ц = 1,2,... ,р ~ I, ] £ Ъ, а £ совпадает с базисом Козырева (5.1.3).

В нашей статье [19] мы изучили р-адические масштабирующие уравнения вида

р'-1 1 ,

к=О

и их решения - масштабирующие функции. Одно из этих уравнений совпадает с "естественным" масштабирующим уравнением (5.1.5). Был описан широкий класс р-адических масштабирующих функций, порождающих КМА. Все описанные масштабирующие функции являются Апериодическими, причем их сдвиги попарно ортогональны (ортогональные масштабирующие функции).

Как было недавно доказано в работах С. Альбеверио, С.А. Евдокимова, М.А. Скопиной 2 не существует ортогональных масштабирующих функций (из класса основных функций) отличных от описанных в нашей статье [19]. Более того, все эти масштабирующие функции порождают один и тот же р-адический хааровский КМА. Таким образом, в теоремах 5.4.1, 5.5.1 описаны все р-адические хааровские базисы всплесков с компактным носителем.

В [28], пользуясь стандартным подходом Ж. Мейера и С. Малла, мы также построили многомерные базисы всплесков Хаара посредством тензорного произведения одномерных КМА. Один из этих многомерных базисов порожден одномерным базисом всплесков Козырева (5.1.3):

Qk;ja(x) = p-nil2xp{p~lk ■ [рРх - а)Щ\р?х - а|р), х € QJJ, (5.8.8)

где к — (ку,... ,кп) € J™0, j € Ъ, а £ Ц. Здесь - прямое произведение п множеств (5.2.1) и J™0 = {(fci,..., кп) : кг = 0,1,2,..., р — 1; г = l,2,...,n; h + '-' + kn^O}.

В статьях [16], [6], [18] были построены нехааровские р-адические базисы всплесков с компактным носителем. Доказана теорема, дающая явные формулы для всплеск-функций, порождающих бесконечное семейство новых различных нехааровских базисов всплесков.

Теорема 5.10.1 ( [16], [18]) Для каждого и = 0,1,2,... функции

2S. Âlbeverio, S. Evdokiraov, M. Skopina, p-Adic multiresolution analysis and wavelet frames, Принята к печати в Journal of Fourier Analysis and Applications, (2010), http://arxiv.org/abs/0802.1079vl; С.А. Евдокимов, М.А. Скопина, 2-Адические базисы всплесков, Труды Института математики и механики Уральского отделения Российской кадемии наук, т. 15, no. 1, (2009), 135-146; S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic non-orthogonal wavelet bases, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 265, Москва, 2009, 1-12.

являются всплеск-функциями тогда и только тогда, когда

а,;к = р-" £ (5.10.3)

где £ С - произвольная константа, такая, что = 1, к =

т—1

= {в = р~т : в] = 0,1,... ,р - 1; 3 = 0,1,... ,т - 1; й0 ф 0},

¿=о

(5.9.1)

ш > 1 - фиксированное натуральное число. Здесь

= «ё^ш, (5.9.2)

множество из (р — 1 )рга~1 всплеск-функций, которые порождают неха-аровский базис в £2(<0>р)

О*) = РЧ/2Хр№Х - а))0(|р^ - а|р), х € <}р> (5.9.3)

где j 6 Ъ, а 6 1Р, э 6 который был построен в наших работах

[16], [б].

В этой же главе показано, что упомянутые нехааровские базисы (5.9.3) и (5.10.2) могут быть получены в рамках модифицированного хааровского КМА, который порожден рт~х масштабирующими функциями.

В [16], [6] мы строим многомерные нехааровские базисы всплесков посредством тензорного произведения одномерных базисов. Например, мы получаем нехааровский базис в £2(<12™)

©Й?^) = Р~тХр{* ■ фх - а)Щ$х - а|р), х 6 (5.11.1)

как тензорные произведения одномерных базисов (5.9.3), где

р>х ^ 3 = {Ь,...,Зп)еЪп, (5.11.2)

х = (х1,..., хп) € <0>р и р? - мульти-растяжение.

Было доказано, что среди базисов, построенных в теоремах 5.4.1, 5.5.1 и 5.10.1, имеются бесконечные семейства базисов, которые не могут быть получены методом работ Бенедетто. Таким образом, были построены бесконечные семейства новых базисов всплесков.

В этой же главе доказана многомерная р-адическая версия теоремы Шеннона-Котельникова, обобщающая одномерный случай теоремы [15]. В отличие от вещественного аналога, в р-адическом случае ряд, восстанавливающий сигнал в каждой точке, состоит из одного члена. Показано, что в противоположность вещественному случаю, для р-адического случая КМА Шеннона-Котельникова совпадает с хааровским КМА.

В этой же главе в разделе 5.13 доказываются леммы и предложения, которые дают характеризацию р-адических пространств Лизоркина основных и обобщенных функций (первого и второго типов) в терминах всплесков (которые сами принадлежат пространству Лизоркина основных функций). Приведем эти утверждения для пространств Лизоркина второго типа 3.

Лемма 5.13.3 (см. [16]) Каждая функция ф 6 Ф(<0>£) может быть представлена в форме конечной суммы

Ф{х)= Y, ck;jaek.Ja(x), хе®;, (5.13.6)

kej£0,jez,aeip

где Ck-ja ~ константы; Qtja{x) ~ элементы хааровского базиса всплесков (5.8.8), k = (fcb..., кп) е з е Z, a G Ц.

Предложение 5.13.4 (см. [16]) Любое распределение / £ Ф'(Ч$р) может быть представлено в форме бесконечной суммы вида

/(х)= £ dk,jaQk.ja(x), xeQ(5.13.8)

kej;0,jez,aeiz

где dk-ja ~ константы; &k-,ja(x) ~ элементы хааровского базиса всплесков (5.8.8), к = (кх, ...,кп)€ Jp0, j€Z,ae 7pn.

В главе 6 "р-Адические псевдодифференциальные операторы на пространствах Лизоркина" (результаты которой базируются на статьях [11], [12], [16], [6], [28]) на пространствах Лизоркина рассматриваются многомерные дробные операторы Владимирова D®, а & Сп, Тайблесона Da, а £ С, а также один класс многомерных псевдодифференциальных операторов вида

(Аф)(х) = F-1 [Л(0 (*), ф 6 (6.3.1)

где символ оператора А(£) £ £(Qp \ {0}), £(Q£) - пространство локально-постоянных С-значных функций на Оператор (6.3.1) определяется на пространстве распределений как

Af = F-^AFtf]], /6 Ф'ОД- (6.3.4)

В частности, этот класс включает в себя дробный оператор Тайблесона (здесь = |ф:

(D°f)(x) = ^[^[/Ш*), / € ФЩ); (6.3.5)

3Такого типа утверждения были впервые сформулированы для случая ультраметрических пространств Лизоркина в S. Albeverio, S. V. Kozyrev, Multidimensional ultrametric pseudodifferential equations, Proc. Steklov Inst. Math., v. 265, Moscow, 2009, 13-29.

оператор Кочубея с символом вида Д(£) — |/(£ь..., £п)|р, а > О, где /(£ь • ■ • > £п) _ квадратичная форма, для которой /(£1,..., £„) ф 0, когда |&1р + ''' |р Ф 0; оператор Зуниги-Галиндо с символом вида -4(£) = 1/(£ъ • ■ • > ^п)|р, о: > 0, где /(£1,..., £„) - отличный от константы полином.

Лемма 6.3.1 ([11], [12]) Пространства Лизоркина второго типа Ф(<0>£) и Ф'(Ор) инвариантны относительно действия операторов (6.3.1).

Построена спектральная теория операторов (6.3.1). Получены необходимые и достаточные условия того, что введенные нами в главе 5 р-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов (6.3.1). Эти результаты были получены в наших работах [11], [16], [6], [28]. Приведем две типичных теоремы, касающиеся базисов всплесков (5.8.8) и (5.11.1).

Теорема 6.4.5 ( [4]) Пусть А - псевдодифференциальный оператор (6.3.1) с символом Л(£) € £{% \ {0}); к € 7р"0, j € Ж, а € 1Тогда п-мерная хааровская всплеск-функция (5.8.8) является собственной функцией А в том и только в том случае, если выполнено условие

А(р>{-р-1к + г]))=А(~р>-1к), УчеЦ. (6.4.4)

Этому вектору соответствует собственное значение А — А[ — р>~1к), то есть

А&к-5а{х) = А( - рЗ^Щвк.^х).

Теорема 6.4.2 ( [16], [6]) Пусть А ~ псевдодифференциальный оператор (6.3.1) с символом А{£) £ \ {0}); 3 = {п, ...,;„) е а е I"; в £ Зрт; т = (шь... ,тп), пусть ггц > 1 - фиксированное натуральное число, I = 1,2,...,п. Тогда п-мерная нехааровская всплеск-функция (5.11.1) является собственным вектором оператора А в том и только в том случае, когда

А(р1(-з + г)))=А(-р>з), (6-4.1)

Этому вектору соответствует собственное значение т.е.

Здесь мульти-растяжение рР задается формулой (5.11.2), а и -п-прямые произведения множеств (5.2.1) и (5.9.1), соответственно.

В частности, доказано, что все построенные нами в главе 5 р-адические всплески являются собственными функциями дробного оператора (6.3.5).

Эти результаты играют фундаментальную роль в р-адическом анализе и его приложениях, в особенности, при решении псевдодифференциальных уравнений (см. главу 7).

В главе 7 "р-Адические псевдодифференциальные уравнения" (результаты которой базируются на статьях [11], [4], [16]) исследуются линейные и нелинейные р-адические эволюционные псевдодифференциальные уравнения (во всех уравнениях t еШ, х £

В нашей статье [16] было предложено искать решения задач Коши для упомянутых р-адических эволюционных псевдодифференциальных уравнений в специальном "естественном" классе распределений. В этом классе применим "метод разделения переменных" (аналог классического метода Фурье), который базируется на следующих фактах: (1) хааровские всплески, построенные в главе 5, при соответствующих условиях типа (6.4.4) являются собственными функциями нсевдодифференциальных операторов (6.3.1), построенных в главе 6; (2) согласно лемме 6.3.1, пространства Ли-зоркина и Ф'(Ор) инвариантны относительно действия операторов

(6.3.1); (3) согласно лемме 5.13.3, каждая основная функция из пространства Ф(<0?р) может быть представлена как конечная линейная комбинация (5.13.6) всплесков (5.8.8), а согласно предложению 5.13.4, каждое распределение из пространства Ф'(<0>р) может быть представлено как бесконечная линейная комбинация (5.13.8) всплесков (5.8.8).

Учитывая сказанное, для решения задач Коши для эволюционных псевдодифференциальных уравнений мы будем использовать пространства ^Н^р х К+) таких распределений /(М), что (а) /(-,*) € Ф'(<0£) для каждого £ > 0; (Ь) если ггг = 0, (/(•, ¿), ф(-)} - непрерывная функция для каждой основной функции ф £ Ф(<0>р); если т = 1,2,..., для каждой основной функции ф € Ф(($р) существуют производные </>(•))>

у = 1,..., т. Согласно лемме 5.13.3 и предложению 5.13.4, каждое распределение из Ф'^ (<0>р х К+) однозначно представляется в виде формального ряда

/ом)= Е

(7-1-1)

где коэффициенты =

для случая т = 0 - некоторые непрерывные функции и для случая т = 1,2,... - некоторые т раз дифференцируемые функции; 6- элементы хааровского базиса всплесков (5.8.8); и для каждой основной функции ф £ Ф(<0р)

(К-ЛФ(-)) = Е

где последняя сумма конечна.

Поэтому естественно искать решение задачи Коши t) в пространстве G $(m)(Qp х М+). Подставляя u(x,t) в уравнение в виде формального ряда (7.1.1) и разделяя переменные, мы в конечном счете сводим решение задачи Коши для р-адического эволюционного псевдодифференциального уравнения к решению вещественного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами по временной переменной t.

В разделе 7.3 (теоремы 7.3.2 и 7.3.6) решаются задачи Коши для линейных уравнений первого порядка по t:

+ Ахи(х, t) = f(x, t), и(х, 0) = u°(s) G Ф'да (7.3.1)

и

.du^t) _ t) = ^ ^0) = u0(x) G {7 3 Щ

где Ах - псевдодифференциальный оператор (6.3.1) (относительно х). Приведем формулировку одной из упомянутых теорем.

Теорема 7.3.2 (см. [16]) Пусть символ псевдодифференциального оператора Ах в (7.3.1) удовлетворяет условию (6.4.4), т.е.

A(pi(-p-1k + ri))=A{-pi-1k), У г] е Zp,

для всех для всех j G Zn; к G J™0. Пусть f G $(o)(Qp х ®ч-)- Тогда задача Коши (7.3.1) имеет в х R+) единственное решение

u(x,t) = £

+ £ е-^-^К-'Щ, г), ek;ja(-))dr) ek;Ja(x), (7.3.5)

где Qfc,ja{x) ~ n-мерные р-адические хааровские всплески (5.8.8).

Для уравнения (7.3.1) получено условие стабилизации решения когда t —» оо.

Теорема 7.3.4 (см. [16]) Пусть символ псевдодифференциального оператора Ах в (7.3.1) удовлетворяет условию

А(р>{-р~1к + г)))=А(-р'-1к), ReA{-pi'1k)> 0, Vt? €

для всех j е Zn, k G Jp0. Пусть f G ¿'^(Q™ x R+). Предположим также, что для каждого k € J™0, j G Z", a G

lim (/(•, i), ©А;_,а(0) = (= const).

t—loo

Тогда решение (7.3.5)) задачи Коши (7.3.1) стабилизируется при t оо: Нш u(x,t)=g(x)= £ Ух € Q™.

В разделе 7.4 (теорема 7.4.1) решается задача Коши для линейного уравнения второго порядка по t:

Г w + + t) + и(х, t) = f(x, t), 4

где Aix, А2х - псевдодифференциальные операторы (6.3.1) (относительно х). В этом же разделе (теорема 7.4.2) решается задача Коши для псевдодифференциальных уравнения т-го порядков по t:

{ ЕГ=0 Ах^И + и{х, t) = f(x, t),

где Агх,

г = 0,1,..., т - псевдодифференциальные операторы (6.3.1) (относительно х).

В разделе 7.5 (теоремы 7.5.1, 7.5.2) решаются задачи Коши для полулинейных уравнений

+ Ахи(х, t) + и(х, t)\u(x, t)Г = 0, и(х, 0) - и°{х) £ Ф'(<0>р);

(7.5.1)

,du(^t) _ Axu(x>t) + u{xyt)\u{x>t)]2m = 0j u(S)0) = uo(x) €

(7.5.11)

где m € N. Приведем формулировку теоремы 7.5.1.

Теорема 7.5.1 (см. [16]) Пусть символ псевдодифференциального оператора Ах в (7.5.1) удовлетворяет условию (6.4.4), т.е.

>4(p''(-p-1fe + 77))=^(-pi-1fc), V77 6 Zp,

для всех j € Zn, k £ J™0. Тогда в классе распределений х R+),

таких, что в представлении (7.1.1) имеем — а! Z™, если j < j', задача Коши (7.5.1) имеет единственное решение

и(х, t) —

ReAi-jP^k)

Е

jez", ае/?

£ VR-e^i-^'-1^) + |{ы°, &k-,ja}\2mp-mnj{l ~ е-2тКеЛ(-Р*-1к)*)

1 2m

x <u°, ek;ja)e~A^~lk^ ekija(x), t > 0, (7.5.4)

где Ok;ja{x) - n-мерные р-адические хааровские всплески (5.8.8).

В этой же главе решены задачи Коши для случая, когда в упомянутых псевдодифференциальных уравнениях вместо операторов (6.3.1) используются дробные операторы (6.3.5). Так как построенные всплески автоматически являются собственными функциями дробного оператора(6.3.5), в этом случае мы получаем решение соответствующих задач Коши без дополнительных предположений (6.4.4). Уравнение (7.3.1) - аналог классического параболического уравнения; уравнения (7.3.16) и (7.5.1) - аналоги линейного и нелинейного уравнений Шредингера, соответственно.

В главе 8 "Асимптотики распределений и р-адические тауберо-вы теоремы" (результаты которой базируются на статьях [14], [15], [11]) введены определения квази-асимптотик р-адических распределений, исследованы их свойства и даны доказательства нескольких р-адических многомерных тауберовых теорем для распределений из пространства Лизор-кина <E>'(Qp). Ранее р-адические аналоги тауберовых теорем не рассматривались. Введенные квази-асимптотики являются р-адическим аналогом вещественных квази-асимптотик используемых в книге В. С. Владимирова, Ю. Н. Дрожжинова, Б. И. Завьялова, "Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций", Москва, Наука, 1986. В дальнейшем запись f(x) ~ д{х), |х|р —> со (p(i)) будет обозначать, тот факт, что распределение / € Ф'(0>р) имеет квази-асимптотику д степени па на бесконечности относительно автомодельной функции p(t), где па - мультипликативный характер мультипликативной группы поля Qp. Упомянутые тауберовы теоремы связаны с преобразованием Фурье, дробными операторами Владимирова Dх, а € С™, Тайблесона Da, а € Си псевдодифференциальным оператором (6.3.1). Приведем формулировки двух теорем.

Теорема 8.5.5 ( [14], [15]) Распределение / € $'(QP) имеет квазиасимптотику на бесконечности относительно автомодельной функции p(t) степени тга в том и только в том случае, если существует натуральное число N > —а + 1 такое, что

lim = 0,

т.е. (дробная) первообразная D~Nf(x) порядка N имеет асимптотику на бесконечности степени 7га+лг (понимаемую в обычном смысле), где С константа.

Теорема 8.5.6 ( [14], [15]) Пусть € £(QJJ \ {0}) - символ однородного степени iiß псевдодифференциального оператора (6.3.1) и / €

Тогда

f(x) ~ g(x), \х\р -> оо (p(t))

в том и только в том случае, если

(Af)(x)^(Ag)(x), |х|р-+оо (n?(t)p{t)).

В главе 9 "Асимптотики р-адических сингулярных интегралов Фурье" (результаты которой основаны на статье [17]) изучено асимптотическое поведение р-адических сингулярных интегралов Фурье:

(<0 — (/та;т(х)Хр{х^)I (/3(а;))) Щр ~~*

где fira-,m(x) S D'iQp) ~ квази-присоединенное однородное распределение степени па(х) = |x|p~17ri(x) и порядка т; 7Га(х), 7Ti(x), и Хр(х) ~ мультипликативный, нормированный мультипликативный и аддитивный характеры поля р-адических чисел, соответственно, tp(x) € ~D(QP) ~ основная функция, m = 0,1,2..., а £ С.

Все построенные асимптотические соотношения для интеграла Фурье •Лга,тдо(^) при |£|р —> со обладают необычным для вещественного случая свойством стабилизации. А именно, эти асимптотические соотношения становятся точными равенствами для достаточно больших |i|p > s(ip), где s(ip) = p~l+ko - параметр стабилизации, I - параметр постоянности основной функции ко - ранг мультипликативного характера жа. Теоремы, дающие описание упомянутых асимптотических соотношений для при |i|p —> оо являются теоремами абелевого типа.

В главе 10 "Нелинейные теории обобщенных функций (вещественный и р-адический случаи)" развивается нелинейная теория распределений (обобщенных функций). Используя эти результаты можно решать как линейные, так и нелинейные сингулярные задачи вещественного и р-адического анализа, связанные с теорией распределений. Результаты этой главы базируются на статьях [10], [2], [3], [24], [7], [25], [8], [26], [27]. Мы также используем некоторые конструкции из наших статей об алгебрах распределений [5], [21], [13, Sec.1-2],

Для вещественного случая построены новые версии алгебр обобщенных функций Коломбо [24], [7], [25]. В частности, построены алгебра Коломбо Gharmi^71), порожденная гармоническими (или полигармоническими) ре-гуляризациями распределений и алгебра Ж.Ф. Коломбо GanaiytQ&n), порожденная аналитическими регуляризациями распределений. Построение алгебры Коломбо Gharm(^n) решает (в обобщенной постановке) одну задачу из книги М. Обергуггенбергера, "Multiplication of distributions and

applications to partial differential equations", Longman, Harlow, U.K., 1992 (cm. Problem 27.1).

Мы показали, что алгебра асимптотических распределений Е*, порожденная вещественными КПОР (введенными в главе 3), которая была введена ранее в нашей статье, вкладывается в алгебру Коломбо 9нагт(Щ как подалгебра. Каждый элемент алгебры Е* (а значит и произведение КПОР) (называемый асимптотическим распределением) представляет собой финитное слева вектор-распределение.

В наших работах [8], [26], [27] был исследован алгебраический аспект сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности. Это так называемые решения типа S- и ¿'-ударных волн, которые не вписываются в классическую теорию Лакса и Глимма.

Были рассмотрены системы законов сохранения:

du d{F{u,v)) dv d[GM)

т+ дх -т+ дх - (10А6)

*L + d{G{u,v)) 8^ + д{ИМ)

dt дх dt дх

где функции потока F(u,v), G(u,v), H(u,v) являются гладкими и линейными по и; и — u(x,t), у = v(x,t) 6 f; х € К. Эти системы допускают решения ¿-ударных волн. Была также рассмотрена система, допускающая решения типа ¿'-ударных волн:

ди | a(f(u)) = о dt дх '

ЁИ + W) = о, (10.4.13)

dt дх dw d(f"{u)v2 + f'{u)w) _

dt dx

где f(u) - гладкая функция, и = и(х, t), v = v(x, t), w = w(x, i)gK, x € M.

Для таких сингулярных решений систем (10.4.6) (10.4.7) и (10.4.13) в теоремах 10.5.1- 10.5.4 были построены функции потоков F(u,v), G(u,v), Н(и, V), и f(u), f'(u)v, f"(u)v2 + f'(u)w, которые будучи нелинейными, являются, однако, однозначно определенными шварцевскими распределениями из £>'(R). Их можно рассматривать как "правильные" сингулярные суперпозиции распределений (произведения распределений), которые можно определить только в контексте решения задачи Коши. Функции потока могут быть сильно сингулярными и содержать как ¿-функции, так и их производные, причем их структура определяется структурой линейных членов

уравнений. Таким образом, сингулярное решение задачи Коши для систем (10.4.6), (10.4.7), (10.4.13) порождает алгебраические соотношения между его компонентами (распределениями). Невзирая на то, что "правильные" сингулярные суперпозиции распределений являются однозначно определенными распределениями, они имеют "странные" специфические свойства.

В этой же главе построена ассоциативная и коммутативная алгебра р-адических обобщенных функций Коломбо-Егорова ЯР{Щ,) [10], [2], [3]. В алгебре Яр{<0>р) можно определить произведение р-адических распределений из ©'(О1™), которое в общем случае будет обобщенной функцией из (?р(<0)р). Эта алгебра также является ассоциативной сверточной алгеброй. Существует линейное инъективное вложение Р'С^р) ^ 0Р{Щ,)-, ПРН этом пространство Х>(<0>р) является подалгеброй в алгебре 0р(Ч^р). Отметим, что вложение пространства распределений алгебру Коломбо можно осуществить различными способами - нет естественного канонического вложения. Этот дефект типичен для подхода Коломбо. В отличие от вещественного случая алгебры Коломбо, в р-адической алгебре Коломбо-Егорова мы можем определить произвольную непрерывную функцию от обобщенных функций.

В 0Р(О>ъ) вводятся операции дробного дифференцирования и дробного интегрирования с помощью дробных операторов Владимирова и Тайбле-сона (вместо операций дифференцирования и интегрирования). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 10.8.1 Семейство операторов Владимирова {£7™ : а £ С™} на пространстве обобщенных функций 5Р{Щ,) образует п-параметрическую абелеву группу: если / € &р(0!р), то

= /, а, ре Сп.

Теорема 10.8.2 Семейство операторов Тайблесона {£>а : а 6 С} на пространстве обобщенных функций 0Р(0^) образует однопараметриче-скую абелеву группу: если / € ЯР{Щ,), то

ТУЧГа] = /, а, /3 е с.

Чтобы определить операторы Владимирова и Тайблесона на бр(<0>р), используются последовательности основных функций из пространств Лизор-кина.

Также построена ассоциативная алгебра Л*, порожденная линейной оболочкой Л множества квази-присоединенных однородных р-адических распределений (КПОР), которые введены в главе 3) [10], [2], [3]. Каждый элемент алгебры /*(х) 6 Л* (называемый асимптотическим распределением) является произведением КПОР распределений и представляет собой вектор-распределение (финитное справа и слева):

№) = (/(*т,п)(*)), АтеЕ, т,п € ж € ®р, (10.9.7)

Ло = 0, Лт £ К - возрастающая последовательность; компоненты вектора /(Ао,0)(Х) 6 А И /(А™,«)^) = Стп^М; ГП = 1,2,...,М, П = 0,1,..., АГ, М 6 Н, N £ 2+; стп и М,Ы - константы. Будем отождествлять распределение ¡(х) из подпространства А с вектор-распределением f*(x) = {1{\т,п)[х))1 гДе /од(ж) = /(ж), а остальные компоненты равны нулю, то есть имеет место вложение Л С Л*. Алгебра асимптотических распределений Л* вкладывается как подалгебра в алгебру Коломбо-Егорова £/р(Ор). При построении алгебры асимптотических распределений, аппроксимация произведения распределений строилась в виде слабой асимптотики. Такой подход к определению произведения распределений оказался весьма продуктивным при решении задач, возникающих в теории разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений (в вещественном случае).

В приложении А приводятся два тождества, которые используются в главах 3, 9. В приложении В доказывается теорема о слабых асимптотических разложениях, которая используется в главе 10.

3. Основные результаты работы

• В пространстве Х>'(1К) исследовано понятие присоединенного однородного распределения (ПОР). Доказано, что существуют только ПОР порядков к = 0 и к — 1. Введено определение квазиприсоединенного однородного распределения (КПОР), обобщающее определение ПОР. Дано описание всех одномерных КПОР и их преобразований Фурье. Для многомерных КПОР доказан аналог классической теоремы Эйлера. Дано описание класса р-адических КПОР и их преобразований Фурье.

• Введено определение р-адической версии кратно-масштабного анализа (КМА). Построена кратно-масштабная теория р-адических одномерных и многомерных всплесков (вейвлет) хааровского типа. В отличие от вещественного случая, существует бесконечное множество различных р-адических ортонормальных базисов всплесков, порожденных тем же самым ха-аровским КМА. Приведены формулы, дающие описание всех этих базисов (один из этих одномерных базисов совпадает с базисом всплесков, постро-

енным C.B. Козыревым). Описан широкий класс р-адических масштабирующих функций, порождающих КМА. Построено бесконечное семейство р-адических одномерных и многомерных базисов всплесков (вейвлет) неха-аровского типа. Нехааровские базисы могут быть получены в рамках модифицированного хааровского КМА. Доказан р-адический аналог теоремы Шеннона-Котелышкова.

• Введены л изучены р-адические пространства Лизоркина основных функций и распределений, которые являются естественной областью определения р-адических псевдодифференциальных операторов. На пространствах Лизоркина исследованы дробные операторы Владимирова и Тайбле-сона и один новый класс многомерных псевдодифференциальных операторов (включающий в себя дробный оператор и псевдодифференциальные операторы, изученные в работах А.Н. Кочубея и В. Зуниги-Галинды). Показано, что пространства Лизоркина инвариантны относительно действия упомянутых операторов.

Построена спектральная теория рассмотренных псевдодифференциальных операторов. Получены необходимые и достаточные условия того, что р-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов. Кроме того доказано, что все построенные нами р-адические всплески являются собственными функциями дробного оператора. Последние результаты играют фундаментальную роль в р-адическом анализе и его приложениях, в особенности, для решения псевдодифференциальных уравнений.

• В явном виде найдены решения задач Коши для р-адических линейных и полулинейных псевдодифференциальных эволюционных уравнений. Метод построения решений опирается на теорию р-адических всплесков.

• Введено определение и исследованы свойства квази-асимптотики р-адических распределений. Эти квази-асимптотики - р-адический аналог вещественных квазхьасимптотик из книги B.C. Владимирова, Ю.Н. Дрож-жинова, Б.И. Завьялова, "Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций", Москва, Наука, 1986. Доказаны р-адические многомерные тауберовы теоремы для распределений Лизоркина.

Изучено асимптотическое поведение р-адических сингулярных интегралов Фурье, связанных с КПОР. Теоремы, описывающие асимптотическое поведение интегралов Фурье, являются теоремами абелевого типа.

• Построен алгебраический аппарат, в рамках которого можно решать линейные и нелинейные сингулярные задачи вещественного и р-адического анализа, связанные с теорией распределений. Именно, построены новые версии вещественных алгебр Коломбо. Также построены алгебра р-адичес-

ких обобщенных функций Коломбо-Егорова и ассоциативная алгебра р-адических асимптотических распределений, порожденная КПОР. Последняя алгебра является подалгеброй в алгебре Коломбо-Егорова. В отличие от стандартной схемы Коломбо, в рамках наших конструкции обобщенные функции Коломбо можно представлять в виде слабых асимптотических разложений (по параметру аппроксимации) коэффициенты которых являются распределениями Шварца.

• Исследован алгебраический аспект сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности. На этих решениях построены функции потока, которые будучи нелинейными, являются, однако, однозначно определенными шварцевскими распределениями. Их можно рассматривать как "правильные" сингулярные суперпозиции распределений, которые определяются только в контексте решения задачи Коши.

Литература

[1] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Присоединенные однородные р-адические обобщенные функции, Доклады РАН, 393, по. 3, (2003), 300-303.

[2] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Ассоциативные алгебры р-адических распределений, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 245, 2004, Москва, 29-41.

[3] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нелинейные сингулярные проблемы р-адического анализа: ассоциативные алгебры р-адических распределений, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 69, по. 2, 2005, 3-44.

[4] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, р-Адические полулинейные эволюционные псевдодифференциальные уравнения в пространствах Лизоркина, Доклады РАН, 415, по. 3, (2007), 295-299.

[5] О. Г. Смолянов, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Мультипликативные структуры в линейном пространстве векторнозначных распределений, Доклады РАН, 383, no. 1, (2002) 28-31.

[6] А.Ю. Хренников, В.М. Шелкович, Нехааровские р-адические всплески и псевдодифференциальные операторы, Доклады РАН, 418, по. 2, (2008), 167-170.

[7] В.М. Шелкович, Теория обобщенных функций Коломбо, использующая гармонические регуляризации, Матем. заметки, 63, по. 2, 1998, 313-316.

[8] В.М. Шелкович, Сингулярные решения систем законов сохранения типа S- и ¿'-ударных волн и процессы переноса и концентрации, Успехи Математических Наук, 63, вып. 3(381), (2008), 73-146.

[9] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Associated homogeneous p-adic distributions, J. Math. An. Appl., 313, (2006), 64-83.

[10] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, p-adic Colombeau-Egorov type theory of generalized functions, Mathematische Nachrichten, 278, no. 1-2, (2005), 3-16.

[11] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Harmonic analysis in the p-adic Lizorkin spaces: fractional operators, pseudo-differential equations, p-adic wavelets, Tauberian theorems, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 12, Issue 4, (2006), 393-425.

[12] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Pseudo-differential operators in the p-adic Lizorkin space, in: p-Adic Mathematical Physics. 2-nd International Conference, Belgrade, Serbia and Montenegro, 15-21 September 2005, Eds: B. Dragovich, Z. Rakic, Melville, New York, 2006, AIP Conference Proceedings - March 29, 2006, Vol. 826, Issue 1, 195-205.

[13] V.G. Danilov, G.A. Omel'yanov, V.M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves, in Mikhail Karasev (ed.), "Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems", Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 208, 2003, 33-165.

[14] A.Yu. Khrennikov, and V.M. Shelkovich, Tauberian theorems for p-adic distributions, Integral Transforms and Special Functions, 17, no. 02-03, (2006), 141-147.

[15] A.Yu. Khrennikov, and V.M. Shelkovich, Distributional asymptotics and p-adic Tauberian and Shannon-Kotelnikov theorems, Asymptotical Analysis, 46(2), (2006), 163-187.

[16] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Non-Haar p-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations, Applied and Computational Harmonic Analysis, 28, (2010), 1-23.

[17] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Asymptotical behavior of one class of p-adic singular Fourier integrals, J. Math. An. Appl., 350, Issue 1, (2009), 170-183.

[18] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, An infinite family of p-adic nonHaar wavelet bases and pseudo-differential operators, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 3, (2009), 204-216.

[19] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets, (2007), Journal of Approximation Theory, 161, (2009), 226-238.

[20] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic orthogonal wavelet bases, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 2, (2009), 145-156.

[21] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, O.G. Smolyanov, Locally convex spaces of vector-valued distributions with multiplicative structures, Infinite-Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 5, no. 4, (2002), 1-20.

[22] A. Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, and O.G. Smolyanov, An associative algebra of vector-valued distributions and singular solutions of nonlinear equations, in: Mathematical modelling in physics, engineering and cognitive sciences, v. 7. Proceedings of the conference "Mathematical Modelling of Wave Phenomena", November 2002. Edited by B. Nilsson and L. Fishman, Växjö University Press, 2004, 191-205.

[23] V.M. Shelkovich, Associated and quasi associated homogeneous distributions (generalized functions), J. Math. An. Appl., 338, (2008), 48-70.

[24] V. M. Shelkovich, The Colombeau algebra and an algebra of asymptotical distributions, Proceedings of the International Conference on Generalized Functions (ICGF 2000), eds. A. Delcroix, M. Hasler, J.-A. Marti, V. Valmorin, University of French West Indies. Cambridge Scientific Publishers Ltd., 2004, 317-328.

[25] V.M. Shelkovich, New versions of the Colombeau algebras, Mathematische Nachrichten, 278, no. 11, 2005, 1-23.

[26] V.M. Shelkovich, Delta-shocks, the Rankine-Hugoniot conditions, and singular superposition of distributions, Proceedings of International Seminar Days on Difraction'2004, June 29-July 2, 2004, Faculty of Physics, St.Petersburg, 2004, 175-196.

[27] V.M. Shelkovich, Singular solutions to systems of conservation laws and their algebraical aspect, in the Banach Center Publications, Vol. 88, "Linear and non-linear theory of generalizeed functions and its applications" Warszawa, Poland, 2010, 251-266.

[28] V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 15, Issue 3, (2009), 366-393.

Глава 1. Введение

1.1. р-Адический анализ и р-адическая математическая физика

1.2. Содержание диссертации и ее основные результаты

1.3. Библиографический обзор

Глава 2. Вспомогательные факты из р-адического анализа

2.1. Введение

2.2. р-Адическая норма и р-адические числа.

2.3. р-Адические функции

2.4. р-Адическое интегрирование

2.5. р-Адические распределения

Глава 3. Теория присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений (вещественный и р-адический случаи)

3.1. Введение

3.2. Анализ определения присоединенного однородного распределения.

3.3. Симметрия класса распределений

3.4. Вещественные квази-присоединенные однородные распределения

3.5. Вещественные многомерные квази-присоединенные однородные распределения

3.6. Преобразование Фурье вещественных квази-присоединенных однородных распределений

3.7. Новый тип вещественных Г-функций

3.8. р-Адические однородные распределения

3.9. р-Адические квази-присоединенные однородные распределения

3.10. Преобразование Фурье р-адических квази-присоединенных однородных распределений

3.11. Новый тип р-адических Г-функций

Глава 4. р-Адические пространства Лизоркина основных функций и распределений

4.1. Введение

4.2. Вещественный случай пространств Лизоркина

4.3. р-Адические пространства Лизоркина

4.4. Плотность пространств Лизоркина в

Глава 5. Теория р-адических всплесков

5.1. Введение

5.2. р-Адический кратномасштабный анализ (одномерный случай)

5.3. Построение р-адического хааровского кратномасштабного анализа

5.4. Описание одномерных 2-адических хааровских базисов всплесков

5.5. Описание одномерных р-адических хааровских базисов всплесков

5.6. р-Адические масштабирующие функции и кратномасштабный анализ

5.7. р-Адический сепарабельный многомерный КМА

5.8. Многомерные р-адические базисы всплесков Хаара

5.9. Один нехааровский базис всплесков в £2(QP)

5.10. Одно бесконечное семейство нехааровских базисов всплесков в £2(Qp)

5.11. Многомерные нехааровские р-адические всплески

5.12. р-Адическая теорема Шеннона-Котельникова

5.13. р-Адические пространства Лизоркина и всплески

Глава 6. р-Адические псевдодифференциальные операторы на пространствах

Лизоркина

6.1. Введение

6.2. р-Адические многомерные дробные операторы

6.3. Один класс р-адических псевдодифференциальных операторов

6.4. Спектральная теория псевдодифференциальных операторов

Глава 7. р-Адические псевдодифференциальные уравнения

7.1. Введение

7.2. Простейшие псевдодифференциальные уравнения

7.3. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения первого порядка по t

7.4. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения второго и более высокого) порядка по t

7.5. Полулинейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения

Глава 8. Асимптотики распределений и р-адические тауберовы теоремы

8.1. Введение

8.2. Асимптотические оценки р-адических распределений

8.3. Квази-асимптотики р-адических распределений

8.4. Тауберовы теоремы по отношению к асимптотикам

8.5. Тауберовы теоремы по отношению к квази-асимптотикам

Глава 9. Асимптотики р-адических сингулярных интегралов Фурье

9.1. Введение

9.2. Результаты об асимптотиках сингулярных интегралов Фурье в вещественном случае

9.3. Асимптотические разложения р-адических распределений

9.4. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (^(х) = 1)

9.5. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (7Г1 (х) ф 1)

9.6. р-Адическая версия леммы Эрдейи

Глава 10. Нелинейные теории обобщенных функций (вещественный и р-адический случаи)

10.1. Введение

10.2. Нелинейные теории распределений (вещественный случай)

10.3. Новые версии алгебр Коломбо (вещественный случай)

10.4. Сингулярные решения квазилинейных систем законов сохранения вещественный случай)

10.5. Произведения распределений в контексте решения задачи Коши для квазилинейных систем законов сохранения (вещественный случай)

10.6. Построение р-адической алгебры Коломбо-Егорова

10.7. Свойства обобщенных функций Коломбо-Егорова

10.8. Дробные операторы в алгебрах Коломбо-Егорова

10.9. Ассоциативная алгебра р-адических асимптотических распределений

10.10. Л* как подалгебра алгебры Коломбо-Егорова

1.1. р-Адический анализ и р-адическая математическая физика

В течение нескольких сотен лет теоретическая физика развивалась на основе действительных (а затем и комплексных) чисел. Эта математическая модель физического мира сохранилась даже в процессе перехода от классической к квантовой физике, где комплексные числа стали играть даже несколько большую роль, чем вещественные числа. Ранее комплексные числа начали использоваться в Фурье анализе, который применялся в классической электродинамике и акустике. Однако последние 20 лет поле р-адических чисел Qp (как и его алгебраические расширения, включая поле так называемых комплексных р-адических чисел Ср) интенсивно использовалось в теоретической и математической физике (см. [9]- [12], [21], [26], [28], [33], [34], [41], [63]-[65], [76], [81], [103]-[110], [112], [113], [50], [51], [1]-[3], [116], ] 140], [141], [145], [159], [183], [227]- [232] и другие ссылки в этих работах). Таким образом, несмотря на то, что р-адические числа были открыты К. Гензелем в 1899 году, теория р-адических чисел уже успела найти применение в нескольких областях математики и прикладных исследованиях.

Говоря о р-адическом анализе и его приложениях, всегда следует уточнять, какой именно тип р-адической модели мы рассматриваем. Есть два основных типа таких моделей: один связан с отображениями из Qp в С, где С - поле комплексных чисел, другой - с отображениями из Qp в Qp. Первый этап развития р-адической физики для моделей с С-значными отображениями, а также соответствующий анализ представлен в книге B.C. Владимирова, И.В. Воловича, Е.И. Зеленова [227], которая интенсивно использовалась физиками, работающих с р-адическими моделями, а также математиками, ищущими новые задачи. Также можно упомянуть книгу А.Н. Кочубея [140], которая в своей основе связана с приложениями, в частности, с стохастическими задачами. Физические, когнитивные и психологические модели, связанные с Qp-значными отображениями, и соответствующий им анализ (которого эти модели требуют) были описаны в ряде монографий А. Ю. Хренникова [ЮЗ]- [105]. Последние модели описаны гораздо лучше на уровне монографий, чем модели, основанные на отображениях из Qp в С.

В настоящее время различные разделы р-адической математической физики интенсивно развиваются и находят новые приложения. Однако, в силу того, что р-адический анализ - молодая наука, в нем имеется много неразработанных областей.

1. Albeverio, R. Gianci and A. Yu. Khrcnnikov, On the spectrum of the p-adic position operator, J. Physics A: Math, and General, 30, (1997), 881-889.

2. С. А. Альбеверио, А. Ю. Хренников, P. Чанчи, Представление гамильтониана квантового поля в р-адическом гильбертовом пространстве, ТМФ, 112, (1997), по. 3, 355-374.

3. S. Albeverio, R. Cianci and A. Yu. Khrcnnikov, On the Fourier transform and the spectral properties of the p-adic momentum and Schrddinger operators, J. Physics A, Math, and General, 30, ( 1997), 5767-5784.

4. S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic multiresolution analysis and wavelet frames, Принята к печати в Journal of Fourier Analysis and Applications, (2010), Preprint at the url: http: / /arxiv.org/abs/0802.1079vl

5. S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic multiresolution analysis, (2008), http: //arxiv ,org/abs/0810.1147vl

6. S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic non-orthogonal wavelet bases, Труды Математического института ин. В. А. Стеклова, т. 265, Москва, 2009, 1—12.

7. S. Albeverio, Z. Haba, F. Russo, Trivial solutions for a non-linear two-space-dimensional wave equation perturbed by space-time white noise, Stochastics Stochastics Rep. 56, (1996), no. 1-2, 127— 160.

8. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh Krohn, and H. Holden, Solvable Models in Quantum Mechanics. New York-Berlin-Heidelberg-London-Paris-Tokyo, Springer, 1988.

9. S. Albeverio, E. I. Gordon, A. Yu. and Khrennikov, Finite-dimensional approximations of operators in the Hilbert spaces of functions on locally compact abelian groups, Acta Appl.Math., 64, no. 1, (2000), 33-73.

10. S. Albeverio, W. Karwowski, A random walk on p-adics, the generator and its spectrum, Stochastic Process Appl., 53, (1994), 1-22.

11. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, Representation of the Weyl group in spaces of square integrable functions with respect to p-adic valued Gaussian distributions, J. of Phys. A, 29, (1996), 5515-5527.

12. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, p-adic Hilbert space representation of quantum systems with an infinite number of degrees of freedom, Int. J. of Modern Phys. B, 10, (1996), 1665-1673.

13. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, Associated homogeneous p-adic distributions, J. Math. An. Appl., 313, (2006), 64-83.

14. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. M. Шелкопич, Присоединенные однородные р-адические обобщенные функции, Докл. РАН, 393, по. 3, (2003), 300-303.

15. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, and V. М. Shelkovich, p-adic Colombeau-Egorov type theory of generalized functions, Mathematische Nachrichten, 278, no. 1—2, (2005), 3-16.

16. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. M. Шелкович, Ассоциативные алгебры р-адических распределений, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 245, 2004, Москва, 29-41.

17. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нелинейные сингулярные проблемы р-адического анализа: ассоциативные алгебры р-адических распределений, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 69, по. 2, 2005, 3-44.

18. С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. M. Шелкович, р-Адические полулинейные эволюционные псевдодифференциальные уравнения в пространствах Лизоркина, Докл. РАН, 415, по. 3, (2007), 295-299.

19. S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, and В. Tirozzi, p-Adic neutral networks, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 9 (9), (1999), 1417-1437.

20. S. Albeverio, S. V. Kozyrev, Multidimensional ultrametric pseudodifferential equations, Proc. Steklov Inst. Math., v. 265, Moscow, 2009, 13-29.

21. S. Albeverio, S. V. Kozyrev, Frames of p-adic wavelets and orbits of the affine group, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 1, (2009), 18-33.

22. S. Albeverio, P. Kurasov, Singular perturbations of differential operators. Cambridge University Press, 1999.

23. S. Albeverio, S. Kuzhel, and S. Torba, p-Adic Schrodinger-type operator with point interactions, J. Math. Anal. Appl., 338, (2008), 1267-1281;

24. D. Aldous, and S. N. Evans, Dirichlet forms on totally disconnected spaces and bipartite Markov chains, J. Theoret. Probab., 12, no. 3, (1999), 839-857.

25. V. Anashin and A. Yu. Khrennikov, Applied algebraic dynamics, De Gruyter, Berlin, New York, 2009.

26. I. Ya. Arefeva, B. G. Dragovic, and I. V. Volovich On the adelic string amplitudes, Phys. Lett. B, 209, no. 4, (1998), 445-450.

27. I. Ya. Aref'eva, B. Dragovich, P. H. Frampton and I. V. Volovich, Wave function of the Universe and p-adic gravity Int. J. Mod. Phys. A6 (1991), 4341-2307.

28. I. Ya. Aref'eva, P. H. Frampton, Beyond Planck energy to nonarchimedean geometry, Mod. Phys. Lett. A, 6 (1991), 313-316.

29. V. Arnold, S. Gusein-Zade, A. Varchenko, Singularities of Differentiable Maps, Vol. II. Birkhiiuser, Boston Basel Berlin, 1988.

30. V. A. Avetisov, A. II. Bikulov, S. V. Kozyrev, Application of p-adic analysis to models of spontaneous breaking of replica symmetry, J. Phys. A: Math. Gen., 32, no. 50, (1999), 8785-8791.

31. V. A. Avetisov, A. H. Bikulov, S. V. Kozyrev, and V. A. Osipov, p-Adic models of ultrametric diffusion constrained by hierarchical eneigy landscupes, Л. Phys. A: Math. Gen., 35, no. 2, (2002), 177-189.

32. V. A. Avetisov, A. H. Bikulov, and V. A. Osipov, p-Adic description of characteristic relaxation in complex systems, J. Phys. A: Math. Gen., 36, no. 15, (2003), 4239-4246.

33. J. J. Benedetto, A. I. Zayed (eds.), Sampling, wavelets, and tomography, Birkhâuser Boston, Basel, Berlin, 2004.

34. R. L. Benedetto, Examples of wavelets for local fields, Wavelets, Frames, and operator Theory, (College Park, MD, 2003), Am. Math. Soc., Providence, RI, (2004), 27-47.

35. Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев, Замечание об уравнении Шредипгера с сингулярнылг потенциалом, ДАН СССР, 137, по. 5, 1961, 1011-1014.

36. А. X. Бикулов, И. В. Волович, р-адическое броуновское движение, Изв. РАН. Сер. матем., 61, по. 3, (1997), 75-90.

37. С. de Boor, R. DeVore, A. Ron, On construction of multivariate (pre) wavelets, Constr. Approx., V. 9 (1993), 123-166.

38. H. Bremermann, Distributions, Complex Variables, and Fourier Transforms, Addison-Wesley Publ.Comp, Reading, Massachusetts, 1965.

39. Ю. А. Брычков, Асимптотические разложения обобщенных функций. I, ТМФ, 5, (1970), . по. 1, 98-109.

40. Ю. А. Брычкоп, Об асимптотических ра:июженинх обобщенных функций, Математические заметки, 12, (1972), по. 2, 131-138.

41. Ю. А. Брычков, 10. М. Широков, О некоторых предельных формулах для обобщенных функций, Математические заметки, 2, (1967), по. 1, 81—91.

42. P. Чанчи, and А. Ю. Хренников, Энергетические уровени соответствующие р-адическим квантовым состояниям, ДАН, 342, (1995), по. 5, 603-606.

43. R. D. Carmichael, n-dimensional Cauchy integral of tempered distributions, J. Elisha Mitchell Sci. Soc., 93, (1977), no. 3, 115-135.

44. J. F. Colombeau, Elementary introduction to new . generalized functions. North-Holland Mathematics Studies 113, North-Holland, Amsteradm 1985.

45. G. Dal Maso, P. G. Le Floch, and F. Murat, Definition and weak stability of nonconseruative products, J. Math. Pures Appl., 74, (1995), 483-548.

46. V. G. Danilov, V. M. Shelkovich, Generalized solutions of nonlinear differential equations and the Maslov algebras of distributions, Integral Transformations and Special Functions, 6, (1997), no. 1-4, 137-146.

47. В. Г. Данилов, В. П. Маслов, В. M. Шелкович, Алгебры особенностей сингулярных решении квазилинейных строго гиперболических систем первого порядка, ТМФ, 114, по. 1, (1998), 3-55.

48. V. G. Danilov and V. M. Shelkovich, Propagation and interaction of shock waves of quasilinear equation, Nonlinear Studies, v. 8, no. 1, (2001), 135-170.

49. V. G. Danilov, G. Л. Omel'yanov, V. M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves, in Mikhail Karasev (ed.), "Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems", Amer. Math. Soc. Trans]., Ser. 2, 208, 2003, 33-165.

50. I. Daubechies, Ten Lectures on wavelets, CBMS-NSR Series in Appl. Math., SIAM, 1992.

51. Branko G. Dragovic On signature change inp-adic space-times Mod. Phys. Lett., A6 (1991), 23012307.

52. B. Dragovich, A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, and I. V. Volovich, On p-adic mathematical physics p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 1, (2009), 1-17.

53. B. Dragovich, Lj. Nesic, On p-adic numbers in gravity, Balkan Physics Letters 6, (1998), 78-81.

54. Ю. H. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Квазиасимптотика обобщенных функций и тауберовы теоремы в комплексной области, Матем. сб., 102 (144), (1977), по. 3, 372—390.

55. Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функции со значениями в банаховых пространствах, Матем. сб., 194, (2003), по. 11, 17-64.

56. Ю. В. Егоров, К теории обобщенных функций, УМН, 45, вып. 5, 1990, 3-40.

57. S. D. Eidelman, and А. N. Kochubei, Cauchy problem for fractional diffusion -equations, Journal of Differential Equations, 199, (2004), 211-255.

58. S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, and A. N. Kochubei, Analytic Methods in the Theory of Differential and Pseudo-Differential Equations of Parabolic Type, Birkhauser, Basel, 2004.

59. A. Erdelyi, Asymptotic representations of Fourier integrals and the method of stationary phase, J. Soc. Indust. Appl. Math., 3, (1955), 17-27.

60. A. Erdelyi, Asymptotic expansions of Fourier integrals invoicing logarithmic singularities, J. Soc. Indust. Appl. Math., 4, (1956), 38-47.

61. R. Estrada, R. P. Kanwal, Asymptotic analysis: A distributional approach. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1994.

62. R. Estrada, R. P. Kanwal, A distributional approach to asymptotics: Theory and applications. Second edition. Birkhauser Boston, Inc., Boston, 2002.

63. JI. К. Эванс, Уравнения с частными производньши, Новосибирск. Тамара Рожковская. Университетская серия, т. 7, 1998.

64. S. N. Evans, p-Adic white noise, chaos expansions, and stochastic integration, Probability measures on groups and related structures, XI, (Oberwolfach, 1994), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, (1995), pp. 102-115.

65. C.A. Евдокимов, M.A. Сконина, 2-Адические базисы всплесков, Труды Института математики и механики Уральского отделения Российской кадемип наук, т. 15, no. 1, (2009), 135-146.

66. В. Ю. Протасов, Ю. А. Фарков, Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой, Матем. сб., 197, по. 10, (2006), 129-160;

67. М. В. Федорюк, Асимптотика: Интегралы и ряды, Москва, Наука, 1987.

68. P. G. O. Freund, and E. Witten, Adelic string amplitudes, Phys. Lett. B, 199, (1987), 191-195.

69. Olaf von Grudzinski, Quasihomogeneous distributions. Amsterdam, New York: North-Holland, Elsevier Science Pub. Co., 1991.

70. A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 69, (1910), 331-371.

71. D. B. Heifetz, p-Adic oscillatory integrals and wave front sets, Pacific Journal of Mathematics, 116, (1985), 285-305.

72. E. Hewitt, K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, v. I and II, Springer 1963.

73. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том I. Теория распределений и анализ Фурье. М.: "Мир 1986.

74. J. Igusa, Complex powers and asymptotic expansions. I, J. Reine Angew. Math., 268/269, (1974), 110-130.

75. J. Igusa, A stationary phase formula for p-adic integrals and its applications, In: C. L. Bajaj (ed,), "Algebraic Geometry and Its Applications Springer, New York, 1994, pp. 175-194.

76. В. К. Иванов, Асимптотическое приближение к произведению обобщенных функций, Известия ВУЗов, Математика, no. 1, 1981, 19-26.

77. D. S. Jones, Generalized Functions. McGraw-Hill, 1966.

78. В. А. Какичев, В. M. Шелкович, Обумножении распределений умеренного роста из <S'(Rn), п > 2, Манускрипт по. 1224-75, депонирован в ВИНИТИ, (1975).

79. В. А. Какичев, В. М. Шелкович, Задача Римана для р-конуса в алгебрах Владимирова, Матем. заметки, 27, (1980), по. 6, 899-911.

80. Ram P. Kanwal, Generalized Functions: Theory and technique, Birkhàuser Boston-Basel-Berlin,. 1998.

81. I. Karamata, Sur un mode de croissance régulière des fonctions, Matematica (Gluj), 4, (1930), 38-53.

82. G. Kaiser, A friendly guide to wavelets, Birkhàuser Boston, 1994.

83. S. Katok, p-Adic analysis compared with real, American Mathematical Society, 2007.

84. B. L. Keyfitz, Conservation laws, delta-shocks ans singular shocks, In: Grosser, M., Ilorman, G., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M. (eds) Nonlinear theory of generalized functions. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC press, (1999), 99-111.

85. А. Ю. Хренников, Фундаментальные решения над полем р-адических чисел, Алгебра и анализ (St. Petersburg Math. J.), 4, no. 3, 1993, 248-266.

86. A. Yu. Klirennikov, p-Adic valued distributions in mathematical physics, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1994.

87. A. Yu. Khrennikov, Non-archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1997.

88. A. Yu. Khrennikov, Information dynamics in cognitive, psychological, social and anomalous phenomena, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2004.

89. A. Yu. Khrennikov, p-Adic discrete dynamical systems and their applications in physics and cognitive science, Russian journal of mathematical physics, 11, no. 1, (2004), 45-70.

90. А. Ю. Хренников, Математические методы неархимедовой физики, УМН, 45:4(274), (1990), 79-110.108| Л. Ю. Хренников, Квантовая механика над jмсширениями Галуа числовых полей, Доклады АН СССР, Физика, 315, (1990), по. 4, 860-864.

91. Л. Yu. Khrennikov. p-Adic quantum mechanics with p-adic valued functions, J. Math. Phys., 32, (1991), 932-937.

92. А. Ю. Хренников, Вещественно-неархимедова структура пространства-времени, ТМФ, 86, (1991), по. 2, 177-190.

93. A. Yu. Khrennikov, Interpretations of Probability, De Gruyter, Berlin, New York, 2009, second edition.

94. A. Yu. Khrennikov, Description of cxperimentb detecting p-adic statistics in quantum diffraction experiments, Russian Doklady Mathematics, 58, (1998), no. 3, 478-480.

95. A. Yu. Khrennikov, Ultrametric Hilbert space representation of quantum mechanics with a finite exactness, Found. Physics, 26, (1996), no. 8, 1033-1054.

96. A. Yu. Khrennikov, and S. V. Kozyrev, Wavelets on ultrametric spaces, Applied and Computational Harmonic Analysis, 19, (2005), 61-76.

97. С. В. Козырев, А. Ю. Хренников, Псевдодифференциальные операторы на ультраметрических пространствах и ультраметрические всплески, Изв. РАН. Сер. матем., 69, по. 5, (2005) , 133-148.

98. С. В. Козырев, А. Ю. Хренников, Пространственная локализация для свободной частицы в ультраметрической квантовой механике, Докл. РАН, 411 по. 3 (2006) 319—322.

99. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Ultrametric random field, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, Vol. 9, no. 2 (2006), P.199-213.

100. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space I: replica matrices and functionals, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 359, (2006), 222-240.

101. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space II: RSB solutions and the n —> 0 limit, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 359,2006), 241-266.

102. A.Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space III: The case of general measuir., Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 378, no. 2,2007), 283-298.

103. A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, Tauberian theorems for p-adic distributions, Integral Transforms and Special Functions, 17, no. 02-03, (2006), 141-147.

104. A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, Distributional asymptotics and p-adic Tauberian and Shannon-Кotelnikov theorems, Asymptotical Analysis, 46 (2), (2006), 163-187.

105. A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, p-Adic multidimensional wavelets and their application to p-adic pseudo-differential operators, (2006), Preprint at the url: http://arxiv.org/abs/math-ph/0612049

106. A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, Non-Haar p-adic wavelets and their application to pseudodifferential operators and equations, Applied and Computational Harmonic Analysis, 28, (2010), 1-23.(2009).

107. А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нехааровские р-адические всплески и псевдодифференциальные операторы, Докл. РАН, 418, по. 2, (2008), 167-170.

108. A. Yu. Khrennikov, V. М. Shelkovich, Asymptotical behavior- of one class of p-adic singular Fourier integrals, J. Math. An. Appl., 350, Issue 1, (2009), 170-183.

109. A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets, .Journal of Approximation Theory, 161, (2009), 226—238.

110. О. Г. Смолянов, A. IO. Хренников, В. M. Шелкович, Мультипликативные структуры в линейном пространстве векторнозначных распределений, Докл. РАН, 383, по. 1, (2002) 28—31.

111. A. Yu. Khrennikov, V. М. Shelkovich, and О. G. Smolyanov, Locally convex spaces of vector-valued distributions with multiplicative structures, Infinite-Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 5, no. 4, (2002), 1-20.

112. E. J. King, Wavelet and frame theory: frame bound gaps, generalized shearlets, Grassmannian fusion frames, and p-adic wavelets, Dissertation, University of Maryland (College Park, Md.), 2009.

113. N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 58. Springer-Verlag, New York, 1984.

114. A. H. Кочубей, Параболические уравнения над полем р-адических чисел, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55, по. 6 (1991), 1312-1330.

115. А. II. Кочубей, Операторы типа Шрёдингера над полем р-адических чисел, ТМФ, 86, (1991), 323-333.

116. А. Н. Кочубей, Оператор дифференцирования на подмножествах поля р-адических чисел, Изв. РАН. Сер. матем., 56, (1992), по. 5, 1021-1039.

117. A. N. Kochubei, Pseudo-differential equations and stochastics over non-archimedean fields, Marcel Dekker. Inc. New York, Basel, 2001.

118. A. H. Кочубей, Фундаментальные решения псевдодифференциальных уравнений, связанных с р-адическими квадратичными формами, Изв. РАН. Сер. матем., 62, (1998), по. 6, 103-124.

119. А. N. Kochubei, A non-Archimedean wave equation, Pacific Journal of Mathematics, 235, (2008), no. 2, 245-261.

120. Bang-He and Li Ya-Qing, On the harmonic and analytic representations of distributions, Acta scientia sinica, 28, (1985), no. 9, 923-937.

121. П. И. Лизоркин, Операторы, связанные с дробным дифференцированием, и классы дифференцируемых функций, Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 117, (1972), 212-243.

122. Е. Mayerhofer, On the characterrization ofp-adic Colombeau-Egorou generalized functions by their point values, Mathematische Nachrichten, 280, no. 11, (2007), 1297-1301.

123. S. Mallat, Multiresolution representation and wavelets, Ph. D. Thesis, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA. 1988.

124. S. Mallat, An efficient image representation for multiscale analysis, In: Proc. of Machine Vision Conference, Lake Taho. 1987.

125. Y. Meyer, Ondelettes and fonctions splines, Séminaire EDP. Paris. December 1986.

126. Y. Meyer, Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algèbres d'opérateurs, Séminaire N. Bourbaki, 1985-1986, exp. no. 662, p.209-223.

127. D. Nikolic-Despotovié, S. Pilipovic, The quasiasymptotic expansion at the origin. Abelian-type results for Laplace and Stieltjes transform, Math. Nachr. 174, (1995), 231-238.

128. И. Я. Новиков , В. Ю. Протасов, M. А. Скопина, Теория всплесков. Москва: Физматлит, 2005.

129. М. Oberguggenberger, Generalized functions in nonlinear models a survey, Nonlinear Analysis, 47 (2001), 5029-5040.

130. M. Oberguggenberger, Multiplication of distributions and applications to partial differential equations. Longman, Harlow, U.K., 1992.

131. M. Oberguggenberger and F. Russo, Nonlinear SPDEs: Colombeau solutions and pathwise limits. In: L. Decreusefond, J. Gjerde, B. Oksendal, and A. S. Ustiinel (eds.), Stochastic Analysis and Related Topics, VI, Birkhaeuser, Boston, 1998, pp. 319-332. . .

132. M. Oberguggenberger, M. Kunzinger, Characterization of Colombeau generalized functions by their pointvalues, Math. Nachr., 203, (1999), 147-157.

133. M. Oberguggenberger, S. Pilipovic, D. Scarpalezos, Local properties of Colombeau generalized functions, Math. Nachr., 256, 2003, 88-99.

134. E. Yu. Panov, V. M. Shelkovich, 5'-Shock waves as a new type of solutions to systems of conservation laws, Journal of Differential Equations, 228 , (2006), 49-86.

135. E. Ю. Панов, В. M. Шелкович, 5'-Ударные волны как новый тип сингулярных решений гиперболических систем законов сохранения, Докл. РАН, 407, по. 5, (2006), 595-599.

136. G. Parisi, p-Adic functional integral, Mod. Phys. Lett., A, 4, (1988), 369-374.

137. G. Parisi, N. Sourlas, p-adic numbers and replica symmetry breaking, The European Physical Journal B, 14, (2000), 535-542.

138. И.Г. Петровский, Лекции no теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Москва, Наука, 1970.

139. F. Pham, Singularités des processus de diffusion multiple, Annales de l'Institut Henry Poincaré, Section A., Physique Théorique, Vol. VI, no. 2, 1967, 89-204.

140. E. M. Радыно, Я. В. Радыно, Распределения и мнемофункции на аделях. Преобразование Фурье, Тр. МИАН, т. 245, 2004, 228-240

141. Hans Reiter, Jan D. Stegeman, Classical Harmonie Analysis and Locally Compact Groups, Oxford University Press; Second Edition edition, 2000.

142. A. M. Robert, A course in p-adic analysis, Graduate Texts in Math., vol. 198, Springer-Verlag, New York, 2000.

143. J. J. Rodri'guez-Vega and W. A. Zuniga-Galindo, Taibleson operators, p-adic parabolic equations and ultrametric diffusion, Pacific Journal of Mathematics, 237, (2008), no. 2, , 327-347.

144. B. G. Rubin, Fractional integrals and potentials, Addison Wesley Longman Limited, Edinburg Gate, Harlow Essex, 1996.V

145. W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, N.-Y., St. Louis, San Francisco, Sydney, Toronto, 1973.

146. С. Г. Самко, Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве и о делении на функции, Мат. заметки, 21, по. 5, (1977), 677-689.

147. С. Г. Самко, О плотности в Lp(Rn) пространства Фу типа Лизоркина, Мат. заметки, 31, по. 6, (1982), 855-865.

148. S. G. Samko, Hypersingular integrals and their applications. Taylor & Francis, London, 2002.

149. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые из приложения, Минск: Наука и техника, 1987.

150. W. H. Schikhof, Ultrametric calculus. An introduction to p-adic analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

151. C. Schmieden, D. Laugwitz, Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung, Math. Z. 69 (1958), 1-39.

152. L. Schwartz, Sur limpossibilite de la multiplication des distributions, C.R. Acad. Sci: Paris, 239, (1954), 847-848.

153. E. Seneta, Regulary varying functions, Lecture Notes in Math., vol. 508, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

154. В. M. Шелкович, Одна ассоциативная алгебра распределений и мультипликаторов, ДАН СССР, 314, (1990), по. 1, 159-164.

155. В. М. Шелкович, А. П. Южаков, Структура одного класса асилттотических распределений В. К. Иванова, Известия ВУЗов, Математика, (1991), по. 4, 70-73.

156. В. M. Шелкович, Ассоциативно-коммутативная алгебра распределений, включающая мультипликаторы, и обобщенные решения нелинейных уравнений, Матем. заметки, 57, вып. 5, 1995, 765-783.

157. В. М. Шелкович, Теория обобщенных функций Коломбо, использующая гармонические регу-ляршшции, Матем. заметки, 63, по. 2, 1998, 313-316.

158. V. М. Shelkovich, New versions of the Colombeau algebras, Mathematische Nachrichten, 278, no. 11,2005, 1-23.

159. V. M. Shelkovich, Associated and quasi associated homogeneous distributions (generalized functions), J. Math. An. Appl., 338, (2008), 48-70.

160. V. M. Shelkovich, Delta-shock waves of a class of hyperbolic systems of conservation laws, in A. Abramian, S. Vakulenko, V. Volpert (Eds.), "Patterns and Waves", Akadem Print, St. Petersburg, 2003, 155-168.

161. В. M. Шелкович, Сингулярные решения систем законов сохранения типа 5- и 5'-ударных воли и процессы переноса и концентрации, Успехи Математических Наук, 63, вып. 3(381), (2008), 73-146.

162. V. M. Shelkovich, Delta-shocks, the Rankine-IIugoniot conditions, and singular superposition of distributions, Proceedings of International Seminar Days on Difraction'2004, June 29- July 2, 2004, Faculty of Physics, St.Petersburg, 2004, 175-196.

163. V. M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 15, Issue 3, (2009), 366-393.

164. Yu. AI. Shirokov, On microcovariance and microcausality. Nucl. Phys. 46 (1963), 617-638.

165. V. A. Smirnov, Renormalization inp-adic quantum mechanics, Modern Phys. Lett. A 6(15), (1991), 1421-1427.

166. M. H. Taibleson, Harmonic analysis on n-dimensional vector spaces over local fields. I. Basic results on fractional integration, Math. Annalen, 176, (1968), 191-207.

167. M. H. Taibleson, Fourier analysis on local fields. Princeton University Press, Princeton, 1975.

168. H. G. Tillman, Darstellung der Schwartzschen Distributionen durch analytische Funktionen, Math. Zeitschr., 77, (1961), 106-124.

169. H. Я. Виленкин, Обобщенные функции, в книге "Функциональный анализ" (Справочная Математическая Библиотека), под ред. С. Г. Крейна, М.: Наука, 1972, гл.Х.

170. В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, Москва, Наука, 1979.

171. В. С. Владимиров, О спектрах некоторых псевдодифференциальных операторов над полем р-адических чисел, Алгебра и анализ, 2, по. 6, 1990, 107—124.

172. V. S. Vladimirov, p-Adic analysis and p-adic quantum mechanics, Ann. of the NY Ac. Sci.: Symposium in Frontiers of Math., 1988.

173. В. С. Владимиров, Обобщенные функции над полем р-адических чисел, Успехи Мат. Наук, 43, по. 3, 1988, 17-53.

174. В. С. Владимиров, Ю. Н. Дрожжинов, Б. И. Завьялов, Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций, Москва, Наука, 1986.

175. В. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленов, р-Адический анализ и математическая физика. М.: Наука, 1994. .

176. V. S. Vladimirov and I. V. Volovicli, p-Adic quantum mechanics, Commun. Math. Phys., 123, (1989), 659-676.

177. V. S. Vladimirov and I.V. Volovich, p-Adic Schrddinger-type equation, Lett. Math. Phys., 18, (1989), 43-53.

178. V. S. Vladimirov, and T. M. Zapuzhak, Adelic formulas for string amplitudes in fields of algebraic numbers, Lett. Math. Phys., 37, (1996), 232-242.

179. И. В. Волович, р-Адическое пространство-время и теория струн, ТМФ, 71, по. 3, 1987, 337340.

180. I. V. Volovich, p-Adic string, Class. Quant. Grav., 4, (1987), L83-L87.

181. А. И. Вольперт, Пространства BV и квазилинейные уравнения, Матем. Сборник, 73, (1967), 225-267.

182. A. JI. Якымив, Вероятностные приложения тауберовых теорем, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

183. A. I. Zaslavsky, Multidimensional analogue of Erdelyi lemma and the Radon transform, In E. Quinot, M. Cheney, P. Kuchment (Eds.), Tomography, Impedance Imaging, and Integral Geometry. Lecture in Applied Mathematics, Vol. 30, 1994.

184. A. I. Zayed, Advances in Shannon's Sampling Theory. CRC Press, Boca Raton, 1993.

185. W. A. Zuniga-Galindo, Pseudo-differential equations connected with p-adic forms and local zeta functions, Bull. Austral. Math. Soc., 70, no. 1, (2004), 73-86.

186. W. A. Zuniga-Galindo, Fundamental solutions of pseudo-differential operators over p-adie fields. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 109, (2003), 241-245.

187. W. A. Zuniga-Galindo, p-Adie oscillatory integrals and Newton polyheAra, Rev. Acad. Colombiana Cienc. Exact. Fis. Natur. 28, (2004), no. 106, 95-99.