р-Адические стохастические процессы и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Необходимые сведения из р-адического анализа.

Глава 1. р-Адические случайные процессы.

1.1 Введение.

1.2 р-Адическое броуновское движение на Ър.

1.3 Аналог теоремы Шенберга-Шварца.

1.4 Стохастические уравнения с псевдодифференциальным оператором Владимирова. р-Адическое броуновское движение на

1.5 Дробное р-адическое броуновское движение на йр.

Глава 2. р-Адические случайные поля.

2.1 Введение.

2.2 р-Адический броуновский лист.

2.3 р-Адическое броуновское движение Леви.

2.4 Исследование двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля.

Глава 3. Применение р-адических случайных процессов к описанию динамики сильно неупорядоченных сред с фрустрациями.

3.1 Введение.

3.2 Логарифмическая релаксация, закон Кольрауша. Заключение.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению случайных процессов, параметризуемых полем р-адических чисел

Qр

Начало неархимедовой физики было положено в 1984 году в статье B.C. Владимирова и В.И. Воловича [1] В последнее время, получила развитие р-адическая математическая физика [2]-[6]. Основные результаты этого направления изложены в монографиях [5], [7].

В рамках этой деятельности была поставлена задача построения аналога одного из фундаментальных объектов теории случайных процессов - броуновского движения. Случайные процессы принимающие р-адические значения исследовались А.Ю. Хренниковым [8]. Широкий класс случайных процессов с вещественным временем и р-адической координатой рассматривались А.Н. Кочубеем [9] р-Адическое броуновское движение в данной работе получается как решение стохастического уравнения с оператором Владимирова [6]. Такой подход к решению задачи естественным образом ставит вопрос о введение р-адического аналога "белого шума"

Теория броуновского движения всегда была тесно связана с приложениями. В настоящей диссертации предложена теория релаксации в спин-стекольных средах, в основе которой лежит р-адическая теория случайных процессов.

Результаты полученные в диссертации, можно разбить на две основных части:

Математическая, в которой получен новый случайный процесс "р-адическое броуновское движение". Исследованы его свойства, и также получены его обобщения на двумерный случай "р-адический броуновский лист" и "р-адическое броуновское движение Леви". Использованные методы являются распространением на р-адический случай подходов разработанных в работах О.Г. Смолянова [10] и Т. Хиды [11].

Физическая, в которой развитый стохастический анализ над полем р-адических чисел используется для построения процесса старения", то есть релаксации, в таких системах как спиновые стекла.

Актуальность темы. Начало неархимедовой математической физики было положено в статье В. С. Владимирова и И. В. Воловича [1]. Наиболее полное изложение физических мотивировок неархимедовости пространства-времени в микромире (на малых планковских растояниях порядка 10~33сж) содержится в работе И. В. Воловича [2]. В этой же работе выдвинут прицип инвариантности фундаментальных физических теорий относительно замены числового поля. Гипотеза о р-адической структуре пространства-времени и теория р-адических струн предложены Воловичем в [12].

Применение ультрометричности в физике твердого тела обсуждалось Мезардом, Паризи, Раммалем, Сурласом, Тулузом и Вирасоро [13], [14]. р-Адическому анализу посвящены работы [15]—[21]. Обсуждение возможной роли теории чисел в физике можно найти в работах Ю.М. Манина [22],[23].

Теория обобщенных функций над произвольной локально компактной группой была развита в работе Брюа [35] и над локально компактным несвязным полем И.М. Гельфандом, М.И. Граевым и И.И. Пятецким-Шапиро [18]. Теория свертки и произведения обобщенных функций, использующая преобразование Фурье, была впервые развита B.C. Владимировым [6], многомерный случай расмотрен B.C. Владимировым и И.В. Воловичем [25]

Понятие псевдодифференциального оператора на пространстве Q™ было введено в работе B.C. Владимирова [37].

Нелокальный оператор дробного дифференцирования и интегрирования Da был определен и изучен B.C. Владимировым [6]. Этот оператор играет важную роль в данной работе.

Спектральная теория оператора Da, а > 0, действующего на Qp, была построена B.C. Владимировым [38], при этом был найден явный вид собственных функций [39].

Формализм р-адической квантовой механики, был предложен B.C. Владимировым и И.В. Воловичем [40],[3]. Этот формализм возник как квантование р-адической классической механики. Немного отличающейся от этого подход рассматривался Фройндом и Олсоном [41]. Вместо динамического оператора в этом подходе используется унитарное представление коммутативной группы, что дает возможность его применения только для квадратичных гамильтонианов. Различные возможности построения р-адической квантовой механики рассматривал Па-ризи [42]. Представление коммутационных соотношений и другие аспекты р-адической квантовой теории исследовались Е.И. Зеленовым [46], [47]. Лагранжев формализм и фейнмановские интегралы по траекториям коротко обсуждались [3], впоследствии этот подход развивался в [49] [24]. Адельная квантовая механика разрабатывается Б. Драговичем, Г. Джорджевичем [33],[34]. Другая возможность построения р-адической квантовой механики, основанная на р-адичнозначных амплитудах, также отмечалась в [3]. В работах А.Ю. Хренникова [4],[43],[44], [7] был развит общий подход к квантовой механике с р-адичнозначными функциями, основанный на теории гауссовых распределений. Применения р-адического анализа к вопросам квантовой теории поля рассматривались в работах М.Д. Миссарова [27],[28],[29],[30], Э.Ю. Лернера, М.Д. Миссарова [26], а также в работах В.А. Смирнова [36],[31],[32] и других авторов. Различные подходы к квантовой механике эквивалентны в случае поля вещественных чисел, в случае поля р-адических чисел в настоящий момент связь между различными подходами требует дополнительных исследований.

Значительные усилия были направлены на изучения спектральной теории в р-адической квантовой механике. Оказалось, что для весьма простых систем (р-адический квантовый осци-лятор), имеются в наличие достаточно богатые спектры. Спектральная теория для р-адической квантовой механики была построена B.C. Владимировым, И.В. Воловичем и Е.И. Зеленовым [39].

Иследование р-адических систем Вейля в конечномерном и бесконечномерном случаях, изучение когерентных состояний и собственных функций в случае р = 3(mod4) были проведены Е.И. Зеленовым [45],[46].

Формулировка р-адической теории струн с р-адичнозначными и комплекснозначными амплитудами как свертки характеров была предложена И.В. Воловичем [2], [12],[48]. Фройнд и Ол-сон [50] внесли существенный вклад в эту теорию, рассмотрев р-адические ^-функции в качестве струнных амплитуд. Связь р-адической теории струн с гипотезой Вейля в теории чисел обсуждалась Гроссманом [51]. Идея адельного подхода выдвинута Ю.М. Маниным [23]. Важная адельная формула была отмечена Фройндом и Виттеном [52] и И.В. Воловичем [53]. Проблема регуляризации этой формулы была решена в работах B.C. Владимирова [55],[56]. Альтернативная адельная формула была рассмотрена И.Я. Арефьевой, Б. Драговичем и И.В. Воловичем [54]. Обоснование адельных формул и адельные формулы для струнных амплитуд над полями алгебраических чисел построены в работах B.C. Владимирова [56],[55],[57]. Многопетлевые вычесления в теории р-адических струн рассмотрены в [58].

В многочисленных современных работах идет попытка построения совершенно новой физики, возникающей в системах, известных под названием спиновых стекол.

Одним из общих свойств спин-стекольных систем является исключительно медленная релаксация. Среди различных феноменологических описаний эффектов старения выделяется описание основанное на концепции "иерархической диффузии" [89].

Цель работы. Получение и изучение свойств Гауссовских случайных процессов, параметризуемых полем р-адических чисел построенных как обобщенные решения стохастических псевдодифференциальных уравнений с оператором Владимирова и его двумерными обобщениями.

Построение феноменологического описания аномально медленной релаксации в спин-стекольных системах, при помощи модели иерархического случайного блуждания.

Методика исследований. Используются методы функционального анализа, теории случйных процессов и р-адического анализа.

Научная новизна. 1. Построен случайный процесс "р-адическое броуновское движение" и изучены его свойства.

2. Иследованы свойства обобщенных решений стохастических псевдодифференциальных уравнений с оператором Владимирова и его обобщениями. Изучены р-адические аналоги уравнений математической физики, таких как волновое уравнение и уравнение Лапласа. Построены случайные поля, аналоги броуновского листа и броуновского движения Леви, как соответствующие решения этих стохастических уравнений.

3. Исследованы свойства двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля. Доказан р-адический аналог теоремы Шенберга-Шварца.

4. Построена новая теория аномально медленной логарифмической релаксации спин-стекольной системы, основанной на концепции р-адического случайного блуждания.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертационная работа носит теоретический характер. Возможно использование изложенных результатов в теории случайных процессов и в теории стохастических псевдодифференциальных уравнений над полем р-адических чисел, а также в моделировании случайных процессов в средах с иерархической структурой.

Содержание работы. В настоящей диссертационной работе исследуются вопросы теории случайных процессов и стохастических псевдодифференциальных уравнений над полем р-адических чисел. Полученные результаты применяются для построения теории релаксации спин-стекольной системы.

В первой главе проводится построение и исследование р-адического аналога броуновского движения. Рассматривается случайный процесс, который принимает вещественные (или комплексные ) значения и зависит от р-адического аргумента, в рамках стандартной аксиоматики теории вероятностей Колмогорова [60], [61].

Символически р-адический Винеровский процесс с показателем а может быть определен как решение Ф следующего стохастического дифференциального уравнения

ВаФ = Ф, где О"оператор Владимирова [6]. Здесь Ф - р-адический белый шум.

Во втором разделе первой главы аксиоматически определяется р-адическое броуновское движение на и доказывается его существование (теорема 6), показывается, что построенное р-адическое броуновское движение удовлетворяет этому стохастическому уравнению (теорема 4). В конце этого раздела изучаются свойства траекторий р-адического Винеровского процесса, и устанавливается аналог их непрерывности по Гельдеру (теорема 7).

В третьем разделе доказывается аналог теоремы Шенберга-Шварца (теорема 1).

В четвертом разделе этой главы будет получен р-адический случайный процесс на 0)р, как решение псевдодифференциального стохастического уравнения с оператором Владимирова для а > 1/2. В частности для а = 1 получается р-адическое броуновское движение на

В конце этой главы, в пятом разделе, рассматривается дробное р-адическое броуновское движение на Ър, как решение псевдодифференциального стохастического уравнения с оператором Владимирова для 1/2 < а < 1 и затем доказывается существование р-адического обобщенного случайного процесса для а = 1/2 (теорема 3). Этот обобщенный процесс будет играть основную роль в построение феноменологической динамики спин-стекольного состояния в третьей главе.

Во второй главе исследуются случайные поля как решения стохастических обобщенных псевдодифференциальных уравнений, являющихся р-адическими аналогами уравнений математической физики, таких как волновое уравнение и уравнение Лапласа. Роль оператора дифференцирования играют соответствующие двумерные обобщения псевдодифференциального оператора Владимирова [6].

Во втором разделе этой главы для псевдодифференциального оператора, р-адического аналога оператора гиперболического типа, рассмотрена задача Гурса и показано, что ее решением будет р-адический аналог броуновского листа. В третем разделе для аналога оператора Лапласа с нулевым граничным условием в точке (0, 0) найдено решение, которое мы назовем р-адическим броуновским движением Леви. Отметим, что случаи р = 1(плос14) и р = 3(тос14) требуют различного рассмотрения. Только при р = 3(тос14) мы получим естественный аналог оператора Лапласа.

Основное содержание главы можно охарактеризовать как исследование граничных задач для обобщенных стохастических псевдодифференциальных уравнений вида

АФ = Ф где Ф — р-адический белый шум.

Четвертый раздел посвящен изучению свойств двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля р-адического аргумента, который был предложен в работе B.C. Владимирова и И.В. Воловича [40]. В частности в этом разделе вычислены оценки снизу и сверху, получены асимптотики при стремлении аргумента ковариационной функции к нулю и к бесконечности и доказана ее положительная определенность.

И наконец в третьей главе развитая в предыдущих главах р-адическая теория случайных процессов применяется к описанию динамики в системах известных под названием спиновые стекла. Одним из универсальных свойств стекольных систем является наличие аномально медленной логарифмической по времени релаксации [80],[81],[82],[84]. Логарифмическая релаксация связана с неэкспоненциальной кинетикой, наблюдающейся для реакций распада в полимерных средах, молекулярных стеклах и биополимерных системах. А именно, концентрация реагента п в некоторых случаях зависит от времени в форме закона Кольрауша n(t) = ще~(т) } о < а < 1.

Отметим, что в работах, посвященных этому вопросу, исследуются, как правило "иерархические диффузионные модели" [89]. Грубо модель состоит в следующем. Во-первых, считается, что ландшафт свободной энергии состоит из иерархически гнездящихся долин, которые обычно описываются в терминах определенной древообразной структуры. Затем вводится релаксационная динамика, которая описывает диффузионный перенос между различными долинами, возникающий из-за тепловых перескоков через барьеры.

В этой главе рассматривается другая концепция, а именно: в спин-стекольных системах переходы из одного состояния другое затруднены по той причине, что каждая частица взаимодействует со многими другими. Переход например одного спина в низкоэнергетическое состояние затрагивает много спинов системы и оказывается возможным лишь при соответствующих переходах многих других спинов. Таким образом, если следить за случайным движением одного спина, то он почти всегда находится в состоянии покоя. Такое случайное движение моделируется суммой бесконечного числа независимых р-адических случайных процессов. Особую важную роль предложенной теории играет построенный в пятом разделе первой главы обобщенный дробный р-адический случайный процесс с а =

Основные результаты диссертации опубликованы в [66], [67], [68], [69]. Работы докладывались на семинарах отдела математической физики МИ АН, в отделе строения вещества ИХФРАН, на международной конференции по р-адическому функциональному анализу в Неймегене (Голандия) в 1997 году. Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность академику B.C. Владимирову заведующему отделом математической физики МИ-АН, где была выполнена работа за неоднократные обсуждения и поддержку. Автор благодарит Ю.Н. Дрожжинова, Б.И. Завьялова, В.В. Жаринова, A.B. Воронина за многочисленные консультации, Е.И. Зеленова за конструктивные обсуждения и за ряд ценных предложений и всех сотрудников отдела математической физики за внимание и поддержку. Также автор весьма признателен В.А. Аветисову и C.B. Козыреву за плодотворное сотрудничество.

Автор особо благодарен научному руководителю И.В. Воло-вичу за руководство работой.

Необходимые сведения из р-адического анализа

В этом разделе вводятся обозначения и приводятся некоторые используемые в даьнейшем сведения из р-адического анализа см. [5].

Поле р-адических чисел. Пусть Q- поле рациональных чисел. Абсолютное значение любого х (Е Q удовлетворяет следующим свойствам:

1) \х\ > 0, причем \х\ = О <Ф4> х — О,

2) \ху\ = \х\\у\, ye Q,

3) \х + у\ < \х\ + \у\, yeQ.

Любая вещественнозначная функция со свойствами (1)-(3) называется нормой на Qp.

Пусть теперь р-простое число, р = 2,3, 5,. В поле Q введем норму \х\р по правилу

ЩР = 0, \х\Р=р1, где целое число 7 определяется из представления

X = р1— 771, n, j Е £ п и целые числа т,п не делятся на р. Норма \х\р называется р -адической нормой.

Норма \х\р обладает характерными свойствами (1)-(3) нормы даже в более сильной форме, а именно,

1') \х\р > 0 причем \х\р = О х = О,

2 ) l^ylp —

3') \х + у\р < тах(|ж|р|у|р). Эта норма определяет ультраметрику на Q (из-за неравенства (3')). Норма \х\р - неархимедова. Действительно, \пх\р < \х\р для любого n £

Имеет место следующая теорема.

Теорема Островского. Нормы и \х\р, р = 2,3,., исчерпывают все нетривиальные неэквивалентные нормы поля рациональных чисел Q.

Пополнение поля рациональных чисел Q по р-адической норме образует поле Qp р-адических чисел.

Любое р-адическое число х ф 0 однозначно представляется в каноническом виде х — р1(х0 + xip + х2р2 + .), где 7 = 7(ж) Е Z и Xj - целые числа такие, что 0 < Xj < р — 1, xq > 0 (j = 0,1,.). Этот ряд сходится по р-адической норме, поскольку общий член его имеет оценку

Ip^Xjtflp < р"1'3. р-Адическая норма индуцирует метрику в Qp р(х,у) = \х- у\р.

При этом Qp становится полным метрическим пространством.

Обозначим

В у (а) — [х G Qp : \х — а\р < р7] -диск с центром в точке а Е Qp радиуса р7;

57(а) = [х е Qp : \х — а\р = р7]

-окружность с центром в точке a £ Qp радиуса р1.

Геометрия пространства Qp весьма необычна: все треугольники в нем равнобедренные; всякая точка диска является его центром, диск не имеет границ, диск есть объеденение конечного числа непересекающихся дисков меньшего радиуса; если два диска пересекаются, то один из них содержится в другом; диск есть открытый компакт.

В основном рассматриваются два типа анализа: один - в котором изучаются функции типа / : Qp —> Qp, и другой - в котором изучаются комплекснозначные функции / : Qp —> С, который и используется в данной работе.

Для функций вида / : Qp —> С имеется естественный аналог интеграла Лебега, поскольку на Qp, как и на любой локально компактной группе, есть мера Хаара.

Аналитические функции. Пусть б - открытое множество в Qp. Функция / : б -л Qp называется аналитической в если для любой точки а Е б существует 7 G Z, такое что в диске В1{а) она представляется сходящимся степенным рядом оо f{x) = J2ck{x~a)k. к=о

Ряд сходится тогда, и только тогда, когда сходится ряд Ы р*> к=О и его можно почленно дифференцировать в В^(а) бесконечное число раз п) X

У] к (к — 1 ).(к — п + 1 )ск(х — а) к=п к—п п = 1,2,., причем

Ск fW к\ '

А: = 0,1,.,.

Мера Хаара. Поскольку поле (}р образует локально компактную коммутативную группу по сложению, то в (Ц)р существует мера Хаара - положительная мера с/ж, инвариантная относительно сдвигов, ¿{х + а) = ¿х. Условимся нормировать меру с1х так, чтобы

I с1х = 1. Ир<1

При таком соглашении мера <1х единственна.

Пусть 1 < д < оо. Множество функций / : М С Ор —> С, для которых

11/11, = f\i(x)\4x Ш ОО, обозначим через ЬЧ(М). Если б - открытое множество в (Ц)р, то множество функций / : б —С, для которых для любого компакта К С б / Е ЬЧ(К) обозначим через Ьд1ос(&) - локально интегрируемые функции в б.

Формула замены переменных вводится следующим образом. Если х = х{у) - аналитический диффеоморфизм открыто-замкнутого множества М' С на М С <0>р, причем х'(у) ^ 0,1/ е М', то для любой / Е Ьг(М) справедлива формула

I ¡(х)(1х= I ¡{х(у))\х\у)\р(1у. м м'

Пространство = (])р х х . х Ор (и раз) состоит из точек х = {х\, ж2, •••, хп), хз £ (])р, ] = 1, 2,., п, снабженных нормой х\ тах \х

1 <э<п з \р

Эта норма обладает свойствами (1') —(3'), так, что пространство ультраметрическое (неархимедово). Скалярное произведение

Гр х,у) = Х1У1 +Х2У2 + ••• + хпуп, х,у £ удовлетворяет неравенству х,у)\р<\х\р\у\р, х,у£®%.

Меру Хаара на (Ц)" обозначаем с1пх = йх\йх2.-^хп = с/ж,

Г(х + а) = с/пх, а е <0£, (Г{Ах) = | det А\р<Гх, где х —> Ах - линейный изоморфизм (Ц)" на О™, с1е1 А ф 0. Пространства функций Ьд(М) и Ь1ОС(0), С определяются аналогично случаю п — 1.

Теорема Фубини. Если функция / : 0)р+т —У С такова, что повторный интеграл у)\<Гу сГх существует, то / € Ь1^™*™) и справедливы равенства

1(х,у)с1ту

Гх = / Нх,у)<Гх(Гу х,у)(Рх ту.

Если х = х{у) - аналитический диффеоморфизм открыто-замкнутого множества М' С О™, причем дхк'фй, уем1, ду V дУз то для любой / £ Ь\М) справедливо равенство

Г !{х)<Гх= [ Нх(у))\йеьЩ&\р(Гу. м м' ду обозначает:

I) носитель Бирр(/?п С К С б, причем компакт К не зависит от п;

II) существует т £ не зависящее ни от п ни от х, такое, что рп(х + х') = <рп(х), х' е в* х е К\ (ш)<£п 0, х £ К, п оо.

Обобщенной функцией в б называется всякий линейный непрерывный функционал / : (р —> (Л V9) на 9{б). Множество всех обобщенных функций в б обозначим Я1'(б); пространство всех обобщенных функций в (Ц^ обозначается = ^'(О^). Сходимость в О)' определяется следующим образом: fk —> 0 к оо е & определяется как слабая сходимость функционалов из то-есть о, к —>■ сю, ре®.

Всякий линейный на @ функционал / непрерывен на то-есть / е

Обобщенная функция / из & обращается в нуль в открытом множестве б С <0?™, если (/, ф) = 0, 6 при этом пишем ж) = 0,ж £ б. Обобщенные функции / и д из О)' совпадают (равны) в б б / = д в б, если /(ж) - д(х) = 0, х е б.

Множество обобщенных функций с компактным носителем обозначим через £" - сопряженное пространство к <§. Если / е Цос(б), то / € причем

Обобщенные функции такого типа называются регулярными в б; остальные обобщенные функции называются сингулярными.

Прямое произведение / X д обобщенных функций / £ 01 € Ор и д Е е определяется формулой X д(у),<р) = (/(х)Ш),Ф,у))) Ч> е х

Прямое произведение коммутативно.

Свертка f * д обобщенных функций / £ supp/ £ В% и д £ определяется равенством f*g,<p) = {f{x) х g(y),nN(x)ip(x + y)), 4? £ @ где - индикатор диска На основе этого определяется свертка обобщенных функций / и д из *£,<£>) = ,lim (/(ж) х #(?/), Qk(x)ip(x + у)), к-* оо если предел существует для любых <р £ так что f * д £ . Если существует свертка / * д, то существует и свертка д * /, и они равны.

Преобразование Фурье.

Пусть (р £ Преобразование Фурье ф = F[ip] определяется формулой ф(к) = I p(x)x((k,x))dnx, x£Qnp.

Преобразование Фурье - это линейный изоморфизм на спроведлива формула обращения преобразования Фурье ф) = I ф(к)х(-(к,х))0пк, <ре®.

Преобразование Фурье f = F[f] обобщенной функции / £ & определяется формулой = (/>$, ¥>6 0, так что / £ &.

Преобразование Фурье / —v / есть линейный изоморфизм & на & и справедлива формула обращения f = F~1[f] = F[h где f(x) = f(-x). Если / £ L1, то = I f(x)X((k,x))dnx, 16 причем / непрерывна в и /(к) -> 0, \к\р —>■ оо (аналог теоремы Римана-Лебега).

Пусть /, д £ О)'. Свертка / * д существует тогда и только тогда, когда существует произведение / • д и справедливы равенства

1*9 = 1-9, I ■9 = 1*9-Оператор Владимирова Обобщенная функция fa (х) X la—1

Гр(а) '

Гр(а)

1 - р а~1

1 +Р~ голоморфна по а всюду за исключением простых полюсов 1 Л-сик-, аь — г2&7г/1пр, к Е Ъ с вычетом (1 — р)/(р\пр), причем /ак = 6 и а * //? = /а+р, а Ф 1 + <Хк, Р Ф 1 + а + Р Ф 1 + оц,к, з,г е Ъ.

Пусть а Е К, а у^ — 1 и / £ таковы, что свертка /а * / существует в Оператор = /а * / называется оператором Владимирова. При а > 0 он является оператором дробного дифференцирования порядка а, а при а < 0 - оператором дробного интегрирования порядка —а; при а — О И0/ = 6 * / = / -тождественный оператор.

Например, если ск = 1и(/?€^, то ад M р(х) р +1 к - 2/1 dy= \k\p<p(k)x(-kx)dk. р

Таким образом, оператор И - гиперсингулярный псевдодифференциальный оператор с символом \к\р.

Пусть а = 1. Рассмотрим локально-интегрируемую в (0>р функцию

1 -.р"1 iW

1 In ï p. mp

Она обладает следующими свойствами: fa(x)ip(x)dx—у / fi(x)(p(x)dx, о; —)• 1, если Lp G @ удовлетворяет условию

J (p{x)dx — 0; а также fl*fa = fl—ai а>1.

Введем оператор интегрирования порядка 1, соответствующий значению а. — — 1,

D~xf = Л * /, /е^', если свертка /i * / существует. Тогда

D~af ZT1/, в если / G <§' и lim [ f(x)nndx = 0. (3) п—>-оо J

Резюмируя, получим следующие свойства оператора Владимирова Da, aGl:

DaDßf = Da+ßf = DßDaf, f (4) если (а, а + /?) ф (-1,-1,-1), или а < 0, ß = —1, или а = — l,ß < 0; если / удовлетворяет условию (3), то равенства (4) справедливы при всех вещественных а и /3, и Da/ непрерывно зависит от а в Например а G Е, а G Qp, а ^ 0.

Заключение

В заключении перечислим еще раз основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построен случайный процесс "р-адическое броуновское движение" и изучены его свойства.

2. Иследованы свойства обобщенных решений стохастических псевдодифференциальных уравнений с оператором Владимирова и его обобщениями. Изучены р-адические аналоги уравнений математической физики, таких как волновое уравнение и уравнение Лапласа. Построены случайные поля, аналоги броуновского листа и броуновского движения Леей, как соответствующие решения этих стохастических уравнений.

3. Исследованы свойства двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля. Доказан р-адический аналог теоремы Шенберга-Шварца.

4. Построена новая теория аномально медленной логарифмической релаксации спин-стекольной системы, основанной на концепции р-адического случайного блуждания.

1. Владимиров B.C., Волович И.В. Суперанализ 1. Дифференциальное исчисление //Теор. и мат. физ.-Т. 59, 1.-С. 3-27 (1984).

2. Volovich I. V. Number theory as ultimate physical theory.-preprint CERN.-Geneva, 1987.-TH.4781/87. Physics, Dordecht: Kluver, (1994).

3. Vladimirov V.C. and Volovich I.V.: p-Adic Quantum Mechanics. Commun.Math.Phys. 123, 659-676 (1989).

4. Хренников А. Ю.: Квантовая механика над неархимедовыми числовыми полями. ТМФ 83, 406-418 (1990).

5. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленое Е.И. р Адичес-кий анализ и математическая физика. М.:Наука, 1994

6. Владимиров В. С. Обобщенные функции над полем р-адических чисел.// Успехи матем. наук. 1988. Т. 43, вып. 5 С. 17-53.

7. Khrennikov A., p-Adic Volued Distributions in Mathematical Physics. Kluver Acad. Publ. (1994)

8. Хренников А.Ю.Обобщенные функции и гауссовские кон-тиуналъные интегралы по неархимедовым функциональным пространствам. // Изв. АН. Сер. матем. 1991. Т. 55. 4. С. 780-8Ц.

9. Кочубей А.Н. Гауссовы интегралы и спектральная теория над локальным полем. // Изв. АН. Сер. матем. 1994■ Т. 58, 6 С. 69-78.

10. Смоляное О.Г. Об измеримости и неизмеримости подмножеств некоторых функциональных пространств с мерой // Вестник МГУ 1966, серия 1, 4, С. 72-85.

11. Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука. 1987.

12. Volovich I. V. p-Adic string. Class. Quantum Grav. 4, L83-L87 (1987).

13. Mezard M., Parisi G., Sourlas N., Toulouse G. end Virasoro M. A. J.Phys.(Paris) 45, 843 (1984).

14. Rammal R., Toulouse G. end Virasoro M. A.: Ultrametricity for physicist. Rev. Mod. Phys. 58, 765-821 (1986).

15. Amis Y.: Les nombres p-adiques. Presses Universit aires de France, 1975.

16. Bosch S., Guntzer U. end Remmert R.: N on-Archimedean Analysis. Berlin: Springer- Verlag, 1984

17. Dwork B.M.: Lectures on p-adic differential equations, N.Y.: Springer-Verlag, 1977.

18. Гелъфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И.-.Теория представлений и автоморфные функции. Обобщенные функции, вып. 6. М.: Наука, 1966.

19. Gerritzen L. and van der Put M.: Groups and Mumford Curves. Lecture Notes in Mathematics, v. 817. Berlin: SpringerVerlag, 1980.

20. Коблиц H.: р-Адический анализ и дзета-функция. М.: Мир, 1982.

21. Schikhov W.H.: Non-archimedean harmonic analysis.-Catholic Univ. Nijmegen, 1967.

22. Manin Yu.I.: New dimensions in geometry. Led. Notes in Math. 1111, 59-101, Springer, 1985.

23. Manin Yu.I.: Reflections on Arithmetical Physics. In " Conformal Invariace and String Teory", eds. Dita P. and Gergescu V., p.293-303. Boston: Acadic Press, 1989.

24. Zelenov E.I.: p-Adic path integrals. J.Math.Phys. 32, Ц7-152 (1991) 12.

25. Труды МИ AH 200, 88-99 (1991).

26. Lerner E. Yu., Missarov M. D. p-adic Feynman and String Amplitudes. Commun. Math. phys. V. 121, P. 35-48, (1989).

27. Missarov M. D. Renormalization group and renormalisation theory in p-adic adelic scalar models. Dynamical systems and statistical mechanics, ed. Ya. G. Sinai (Adv. Sou. Math. V.3. Amer.Math.Soc., 1991). P.143-161.

28. Missarov M. D. Adelic ф\ theory. Phys. Lett. V.B 272, P. 3638, (1991).

29. Missarov. M. D. Invariant manifolds of p-adic renormalisation group. Lett, in Math. Phys. V. 27, P.149-154, (1993).

30. Missarov M. D. p-Adic фА theory as a functional equation problem. Lett. Math. Phys. V. 39, P. 253-260, (1997).

31. Smirnov A. A. Renormalsation in p-adic quantum field theory. Mod. Phys. Lett. V. A6, P. 1421-1427, (1991).

32. Smirnov A. A. Calculation of generral p-adic Feynman Amplitude. Commun. Math. Phys. V. Ц9, P.623-636, (1992).

33. Djordjevic G. S. and Dragovich B. p-adic path in rals for quadratic actions. Mod. Phys. Lett. V. A12, Р.Ц55-Ц63, (1997).

34. Dragovich B. On generalized functions in adelic quantum mechanics. Integral Transforms and Special Functions. V.6, P. 197-203, (1998).

35. Bruhat F.: Distributions sur un group localemont compact et applications а Г etude des representations des groupes p-adiques. Bulletin Soc.Mathem. de france 89, 43-75 (1961).

36. Smirnov V.A.: p-Adic feynman amplitudes. Preprint MPI-Ph/91-4-8, 1-13 (1991).

37. Владимиров B.C.: О спектре некоторых псев до дифференциальных операторов над полем р-адических чисел. Алгебра и анализ 2, 107-124 (1990).

38. Vladimirov V.S.: p-Adic analysis and quantum mechanics. Ann. of the NY Ac. of Sci: Symposium in Frontiers of Math. (1988).

39. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленое Е.И.: Спектральная теория в р-адической квантовой механике и теория представлений. Изв. АН СССР сер. матем. 54, 275-302 (1990).

40. Владимиров B.C., Волович И.В.: р-адическая квантовая механика. ДАН СССР 302, 320-322 (1988).

41. Freund P.G.O. and Olson М.: Phys. В297, 86-102 (1988).

42. Parisi G.: On p-adic functional integrals. Phys. Lett. A4, 369374 (1988).

43. Хренников А. Ю.: Математические методы неархемедо-вой физики. УМН 45, 79-110 (1990).

44. Khrennikov A. Yu.: p-Adic quantum mechanics with p-adic valued functions. J. Math. Phys. 32, 932-936 (1991).

45. Зеленое E. И.: р-адическая квантовая механика и когерентные состояния. 2. Собственные функции осцилятора. ТМФ 86, 375-384 (1991).

46. Zelenov Е. I.: Representations of commutation relations of p-adic systems of infinitely many degrees of freedom. J. Math. Phys. 33, 178-188 (1992).

47. Zelenov E.I.: p-Adic Heisenberg group and Maslov index. Comm. Math. Phys. 155, 489-502 (1993).

48. Волович И. В.: р-Адичеекое пространство-время и теория струн. ТМФ 71, 337-340 (1987).

49. Ruelle P., Thiran Е., Verstegen D. and Weyers J.: Quantum mechanics on p-adic fields. J. Math, Phys. 30, 2854-2859 (1989).

50. Freund P. G. 0. end Olson M.: Non-archimedean strings. Phys. Lett. B199, 186-190 (1987).

51. Grossman В.: p-Adic strings, the Weyl conjcturse end anomalies. Phys. lett. B197 101-105 (1987).

52. Freund P. G. 0. end Witten E.: Adelic string amplitudes. Phys. Lett. Ы99, 191-194 (1987).

53. Volovich I. V.: Harmonic analysis and p-adic strings. Lett. Math. Phys. 16, 61-66 (1988).

54. Aref'eva I. Ya. Dragovich B. end Volovich I. V.: On the abelic string amplitudes. Phys. Lett. B209, 445-450 (1988).

55. Владимиров B.C.: Аделъные формулы Фрейнда-Виттена для амплитуд Венециано и Вирасоро-Шапиро. УМН 48, вып. 6 294- (1993)

56. Владимиров B.C.: ТМФ 94, 355-367 (1993)

57. Владимиров B.C.: Аделъные формулы для гамма- и бета-функций пополнений полей алгебраических чисел и их применения к струнным амплитудам. // Изв. АН. Сер. ма-тем. 1996. Т. 60. 3. С. 63-86.

58. Chekhov L.O., Mironov A.D. and Zabrodin A. // Mod. Phys. Lett. A4 (1989) P. 1127-1235.

59. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Том 1. М.: Наука, 1971.

60. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1967.

61. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

62. Evans S.N. Continuity properties of gaussian stochastic processes indexed by a local field.// Proc. Math. Soc. 1988 V. 56 Part 2 P. 380-416.

63. Evans S.N. Sample path properties of gaussian stochastic processes indexed by a local field.// Proc.Math.Soc. 1988 V. 56 Part 3 P. 580-624

64. Шилов Г.E., Фан Дык Тинъ. Интеграл мера и производная на линейных пространствах. М.: Наука. 1967.

65. Albeverio S end Karwowski W.A random walk on p-adics: the generator and its spectrum.//Stoch. Proc. Appl. 1994 V- 53 P 1-22 .

66. Бикулов A.X. Исследование р-адической функции Грина.// Теор. и матем. физика. 1991. Т. 87, 3 С. 376-390.

67. Бикулов А.Х., Волович И.В. р-Адическое броуновское движение. //Изв. АН. Сер. матем. 1997. Т. 61. 3. С.75-90.

68. Бикулов А.Х.: Стохастические уравнения математической физики над полем р-адических чисел.//ТМФ. Т. 119, 2, С.249-263. (1999).

69. Аветисов В.А., Бикулов А.Х., Козырев С.В. Описание логарифмической релаксации моделью иерархического случайного блуждания.// Доклады РАН Т. 368, 2, С. 1-4■

70. A. Yu. Khrennikov. //Russian Math. Surveys 45 (1990), 4, 87125.

71. Karwowski W., Mendes R.V. //Math. Phys. 35 (1994) 46374650.

72. Missarov M.D. // Ann.Inst. H. Poincare. Phys. Theor. 50 (1989), 357-367.

73. Kochubei A.N. //Potential Analysis 6: 105-125, 1997.

74. Кочубей A.H. //Изв. АН. Сер. матем. 1992. Т. 39. С.1263-1280.

75. Леей П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука 1972.

76. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука 1988.

77. Розанов Ю.А. Случайные поля и стохастические уравнения с частными производными. М.: Наука 1995.

78. Гелъфанд И.А., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Вып. 4 1961.- М.: Физматгиз.

79. Боревич З.И., Шафоревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

80. Mezard М., Parisi G., Virasoro М., Spin-Glass Theory and Beyond, Singapore: World Scientific, 1987

81. Rammal R., Toulouse G., Virasoro M.A., Rev.Mod.Phys., 1986, 58, p.801

82. Доценко B.C., Успехи Физ. Наук, 1993, m.163, N6, cmp.l-37

83. Lundgren L., Svedlich P., Beckman 0., Nordblad P., Phys.Rev.Lett., 1983, 51, р.911-9Ц

84. Гинзбург С.Л., Необратимые явления в спиновых стеклах, Москва, Наука, 1989

85. Plonka A., Lecture Notes in Chemistry, Vol.40, Springer, Berlin, 1986

86. Berlin Yu., Chem. Phys., 1996, 212(1), p.29

87. Kohlrauchsh R., Ann.Phys. (Leipzig), Щ7, 12, p.393

88. Philips J.С., Chem. Phys., 1996, 212(1), p.41

89. Ogieüski A.T., end Stein D.L.: Phys. Rev. Let., Vol.55, p. 1637 (1985)