Ренормализационная группа в N-компонентных моделях статистической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Степанов Роман Григорьевич

РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА В ЛГ-КОМПОНЕНТНЫХ МОДЕЛЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2005

Работа выполнена на кафедре экономической кибернетики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет имени В.И. Ульянова - Ленина».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Миссаров Мукадас Дмухтасибович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Муштари Данияр Хамидович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Козырев Сергей Владимирович

Ведущая организация: Институт Проблем Передачи Информации

РАН, г.Москва

Защита диссертации состоится 22 декабря 2005 г. в 14:30 на заседании диссертационного совета К212.081.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете (420008, г. Казань, ул. Кремлевская,18, ¿^¿^

и ¿рЬ$

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан НОЯБРЯ-2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доцент Агачев Ю.Р.

:± 21^5341

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Состояние систем с большим числом степеней свободы в статистической физике обычно описывается с помощью гиббсов-ских случайных полей. Преобразование ренормализационной группы (РГ) соответствует переходу от одного гиббсовского случайного поля к другому с помощью операций суммирования и нормировки. При этом речь идет о суммах сильно зависимых случайных величин. Теорию ренормализационной группы можно рассматривать как развитие классической теории предельных теорем для гиббсовских случайных полей. Распределения вероятностей, инвариантные относительно действия РГ, называются автомодельными распределениями вероятностей или неподвижными точками РГ.

Гауссовские автомодельные процессы, известные сейчас под названием дробного броуновского движения, впервые были рассмотрены А.Н. Колмогоровым. Связь автомодельных распределений с предельными теоремами теории вероятностей обсуждалась Ламперти и Р.Л Добрушиным. Проблемой автомодельных распределений занимались также Галлавоти, Йона-Лазинио, М. Розенблатт, Такку, Дайсон, Я.Г. Синай, П.М. Блехер, М.Д. Миссаров и другие.

Интерес к преобразованиям ренормгруппы и к автомодельным распределениям вероятностей объясняется тем, что данные объекты возникают в фундаментальных вопросах статистической физики и квантовой теории поля. Как известно, макроскопические характеристики разнообразных физических систем с бесконечным числом степеней свободы при изменении температуры или некоторых констант связи могут иметь особенности (фазовые переходы) Оказывается, состояние таких систем в критической точке определяется автомодельными распределениями вероятностей. Метод ренормализационной группы в теории критических явлений был создан Вильсоном, Кадановым, Фишером и другими. Данный метод позволяет вычислять критические показатели, характеризующие поведение систем в критической точке

з! РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА |

Диссертация посвящена исследованию преобразования ренормализаци-оной группы в различных ЛГ-компонентных моделях статистической физики. Рассматриваемые случайные поля определены в евклидовом или р-адическом пространстве или на иерархической решетке, являющейся дискретной версией р-адического пространства.

Иерархические модели были предложены Ф Дайсоном. Большой вклад в теорию РГ в иерархических моделях внесли ГТ М. Блехер и Я Г Синай. Первые р-адические модели математической физики появились в работах В С. Владимирова и И.В. Воловича Связь между иерархическими и р-адическими моделями была установлена в работах М.Д. Миссарова и Э Ю. Лернера. Важным достоинством р-адических моделей является то, что сложные проблемы современной математической физики получают точное решение. Например, многие проблемы теории РГ в четырехком-понентной фермионной иерархической модели получили явное решение

Еще один класс задач, рассмотренных в диссертационной работе, представлен стохастическими версиями известных задач комбинаторной оптимизации (задача коммивояжера, задача о минимальном паросочетании и задача о минимальном остовном дереве) в р-адических пространствах. Идеи, близкие к идеям релормгруплы, позволили явно вычислить математические ожидания оптимальных решений и исследовать их асимптотическое поведение.

Цель работы - исследовать преобразование ренормализационной группы в различных ДТ-компонентных моделях статистической физики; исследовать стохастические задачи комбинаторной оптимизации (ЗКО) в ультраметрических пространствах.

Направления исследования.

1. Распространить формализм проеционных гамильтонианов на случай О (.АО-симметричных ДГ-компонентных бозонных случайных полей, заданных как в евклидовом, так и в р-адическом пространствах. Вычислить критические показатели до второго порядка теории возмущений

2 Исследовать 2Лг-компонентную фермионную иерархическую модель.

3. Исследовать ЛГ-компонентную бозонную иерархическую модель.

4. Для стохастических задач комбинаторной оптимизации в ¿-мерном р адическом пространстве вычислить математические ожидания сумм длин робер в оптимальных решениях, а также исследовать их асимптотику при п —> оо, где п - число точек

Методы исследования. Для исследования преобразования РГ Вильсона в случае ^-компонентных 0(]У)-симметричных случайных полей в евклидовом и р-адическом пространствах используется техника фейнма-новских диаграмм и перенормировок, а для описания неподвижных точек РГ и критических показателей строятся формальные ряды теории возмущений 2ЛГ-компонентная фермионная иерархическая модель исследуется с привлечением понятий из суперанализа и теории динамических систем. Стохастические задачи комбинаторной оптимизации исследуются с помощью комбинаторных рассуждений с привлечением сведений из теории вероятностей и математического анализа.

Научная новизна. Формализм перенормированных гамильтонианов распространен автором на случай 7У-компонентных 0(]У)-симметричных полей, заданных как в евклидовом, так и в р-адическом пространствах. Получены формулы для симметрийных коэффициентов фейнмановских гра-I фов, доказаны теоремы о контрчленах, построены ряды теории возмуще-

ний для неподвижных гамильтонианов РГ и критических показателей.

Критические показатели в евклидовой и р-адической теориях вычислены в рамках (а —3/2(1)- и (4—¿)-разложений. Проведен их сравнительный анализ.

Автором исследовано преобразование РГ для 2Лг-компонентных фер-мионных случайных полей, заданных на иерархической решетке. Ряд наблюдений, полученных для данной модели, не имеет аналогов в других известных N компонентных моделях статистической физики Например, преобразование РГ удалось представить в виде конечномерного преобра-

зования в пространстве констант связи, а для определения неподвижных точек предложена система алгебраических уравнений.

Автором установлена интересная связь между преобразованиями РГ в бозонной и фермионной 2TV-компонентных моделях. Оказалось, что одно преобразование переходит в другое при формальной замене N на —N.

Удалось явно вычислить математические ожидания оптимальных решений стохастических задач комбинаторной оптимизации в р-адическом пространстве, а также исследовать их асимптототическое поведение

Практическая ценность результатов. Результаты, полученные в работе, носят в основном теоретический характер.

Развитый в диссертации формализм проекционных гамильтонианов позволяет вычислять критические показатели для iV-компонентных 0(N)~ симметричных случайных полей, пользуясь (а - 3/2d) -разложением, либо (4 - ^-разложением.

Строгие результаты, полученные для фермионной и бозонной иерархических моделей позволяют глубже понять динамику преобразования РГ. Наблюдения, полученные для этих моделей могут быть источником гипотез для евклидовых моделей математической физики.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. Две работы приняты к печати.

Апробация и внедрение результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях: III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция «Вероятность и статистика» (Сочи, октябрь 2002), Международная конференция по р-адической математической физике (Москва, 1-5 октября 2003), XI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Сочи, сентябрь 2004), VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция «Вероятность и статистика» (Санкт-Петербург, май 2005), Вторая международная конференция по р-адической математической физике (Белград, Сербия и Черногория, сентябрь 2005).

Структура и объем диссертации: Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, содержащего 48 наименований. Работа изложена на 123 листах и содержит 1 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы исследований, формулируется цель работы, проводится обзор литературы, прилегающей к темактике диссертации.

В главе 1 формализм проекционных гамильтонианов, предложенный П М Блехером и М Д Миссаровым для однокомпонентной модели, обобщается на случай А^-компонентной 0(ЛТ)-симметричной модели.

Пусть в ¿-мерном шаре Од = {д : < Я} задано Дг компонентное 0(Лг)-симметричное гиббсовское поле а(д) = (<71(17), • • • 1 ам(я))

Действие преобразования ренормализационной группы (РГ) Вильсона а задается как

г\,а<г{д) = (8А,а<т(д))х(д), «А ,о<г(?) = Щ'"1^/X),

где Л - параметр растяжения, а - параметр РГ, х(я) ~ индикатор шара Пд

Распределения гиббсовских 0(Дг)--симметричных случайных полей а{д)

00 N

задаются гамильтонианами вида Н(сг) = ^ ^ /12к х

к=1«!,..., Ък=1

2к

х / кк(д1,...,д2к)6(д1 + --- + д2к) П

где Нк(д 1,..., д2к) ~ функции, удовлетворяющие свойствам изотропности и инвариантности относительно перестановок переменных,

Рч' '%*к ~ (2к - 1)!! ^ П

7 (т1,т2)ё7

суммирование ^ ведется по всем разбиениям набора {1,..., 2к} на пары.

7

В пространстве гамильтонианов преобразование РГ Да, а сводится к композиции двух преобразований Лл а = Ра 5а, а1 где преобразование скейлин-га 5а, а индуцировано преобразованием 8\<а и сводится к изменению коэф-

фициентных функций /^(дь ..., к) = \\\ак~ш+'1}1к . • , Ц*-). Оператор проекции Р\ индуцирован операцией ограничения поля с'{я) = живущего в шаре Пая, на шар Од.

Для подсчета возникающих функциональных интегралов используется техника фейнмановских диаграмм. Пусть С? - некоторый связный фейнма-новский граф, построенный на п вершинах, п - натуральное число, и пусть все эти вершины пронумерованы числами от 1 до п. Степенью вершины назовем количество линий, выходящих из данной вершины. Обозначим степень вершины с номером V через 2ку (считаем, что это всегда четное число). Пусть все линии, выходящие из вершины V, пронумерованы числами от 1 до 2к».

Предположим, что граф (7 имеет 2к внешних линий. Каждая внешняя линия определяется набором (у,гп), где V - номер вершины, из которой выходит линия, тп - ее порядковый номер среди линий данной вершины. Отождествим каждую внутреннюю линию с четверкой тп.2). При

этом считаем, что внутренняя линия (и^ть «2,17x2) соединяет вершины VI, «2 и имеет для вершины г>1 номер ть а для вершины «2 номер тг-

Пусть £(<?) = {(«1,7711,1>2, т^)} ~ множество внутренних линий графа О, Е(0) = {(и, т)} - множество внешних линий графа С.

Коэффициентом симметрии графа б назовем следующее выражение:

= £ (п** .-кН П

Будем пользоваться двумя формализмами теории возмущений: формализм (а — 3/2^)-разложения и формализм (4 — й)-разложения.

(а — 3/2с/)-разложение

Введем следующие обозначения: N

Яо.а.йИ = Е + 92)1 ЧА^яМ^гЫ ¿4,

«=1

N 2к

Заметим, что гамильтониан задает гауссовское случайное поле,

инвариантное относительно преобразования РГ, с бинарной корреляционной функцией < <7,(91)^(92) >= ^,/(91+92)^1(91), где ^(д) = \ я\а'а{1 -х(я))- Обозначим через < • связное упорядочивание Вика по этому гауссовскому полю.

Как и в случае однокомпонентной модели, анализ дифференциала РГ на гауссовской ветви неподвижных точек показывает, что значение а = 3/2Й является бифуркационным значением Дальнейшие разложения будут строиться по параметру е = а — 3/2<1.

Пусть операция аналитической перенормировки по пара-

метру е фейнмановской амплитуды соответствующей графу 6?.

Рассмотрим перенормированный проекционный гамильтониан

Нец{иииг) = \нй>а,к - А Я. < ехр(—- и2Н2) . (2)

Здесь операция А.В.. применяется ко всем фейнмановским амплитудам •^43(9)1 возникающим при подсчете < ■ и обеспечивает конечность гамильтониана при £ —► 0.

Теорема 1 (Теорема о контрчленах) Для гамильтониана (2) справедливо представление.

не//(щ, и2) = -Во,а,я- < ехр(-и^1{и2)Н1 - ш2(и2)Н2) «/!(«) = 1 0\(п) = '£0(01ШС1),

п>1 вг

ш2(и) = - £ 02(п) = £ 0(С2)5*(С2).

п>1 П' вг

Суммирование ^ выполняется по фейнмановским графам, порожденным п вершинами степени 4 и одной вершиной степени 2 и имеющим 2 внешние линии Суммирование выполняется по графам, порожденным п вершинами степени 4 и имеющим 4 внешние линии О(С) - вершинная часть графа в.

Теорема 2 Действие РГ на перенормированный проекционный гамильтониан (2) задается формальным дифференциальным оператором

Ях,аНе//(и1,и2) =ехр |Л|Не!}{их,иг), (3)

(4)

(5)

Система уравнений иг) = 0, /^(.щ) = 0 имеет два решения: решение «i = 0, «2 = 0, соответствующее гауссовскому неподвижному гаг мильтониану, и решение щ = 0, щ = и* = c¡e + c¡£2 4- ... (cj / 0), соответствующее негауссовскому неподвижному гамильтониану.

Теорема 3 Гамильтониан Не//(0, и*) является негауссовским гамильтонианом, неподвижным относительно Rx,a-

Критический показатель r¡, называемый также аномальной размерностью, определяется по формуле r¡ = 2 + d — а = (4 — d)¡2 — е. Критический показатель f вычисляется по формуле и — где Ai - старшее собственное число дифференциала Rx,a в нетривиальной неподвижной точке.

Теорема 4 Гамильтониан ■^-Нец(и\,щ)\ является собствен-

1 \щ=0,щ=и'

ным гамильтонианом дифференциала R\t а в неподвижной точке Heff(0,u*) с собственным числом Ах = lAl®1! I . Критический по-

IUi=0, U2~U*

казатель и равен:

До второго порядка по г получаем следующий ответ для модели в евклидовом пространстве:

i „N + 2 „ JN + 2)(7N + 20) Á/J,

^ =d/2 + e- 2-е + 8£zV (Д8)3 1 A{d) + 0(£3), (7)

т = (-7 - 2Ф№) + №/2)), ф(х) = Г'(х)/Г(х),

где 7 = 0.577216... - константа Эйлера.

Все результаты, сформулированные для евклидовой модели, без изменений переносятся на р-адическую модель. При этом

- ф + . - . + + »» АМ + 00. (8,

Ap(d) = -- (lnp - 2фр(<1/4) + VP(d/2)),

i

ад = /;(х)//Р(х), /р(х) = (i - р-2*)-1 •

/р\

Сопоставление (7) и (8) показывает любопытное сходство ответов. Формула (7) переходит в (8), если гаммагфункцию Г(х) заменить на fp(x), а значение —7 заменить на lnp. Связь между функциями Г(ж) и /р(а;) хорошо известна в теории дзета-функции Римана.

(4 - d)-разложение

N

Пусть Я0,л(<т) = 2 4,,3enR + 9з)| 9i!2tf.(7iK(<?2) dq. i—i

Заметим, что гамильтониан \Hq,r задает гауссовское случайное поле с бинарной корреляционной функцией < <7,(<71)^(52) >= S,,}S(qi + 92)^2(^1). где 02(g) = |<7|~2(1 ~ х(я))- Обозначим через < • связное упорядочивание Вика по этому гауссовскому полю. Дальнейшие разложения будут строиться по параметру 6 = 4 — d.

Пусть D.R.FgÍq) ~ операция аналитической перенормировки по параметру S фейнмановской амплитуды !Fg(q), соответствующей графу G. Рассмотрим перенормированный проекционный гамильтониан

НеП{щ,иищ) - ^H0tR-D.R. < ехр(-иоЯо,оо-«1#1-г12Я2) >g2. (9)

Теорема 5 (Теорема о контрчленах) Для гамильтониана (9) справедливо представление:

Не//(щ, щ, и2) = < exp(-v0B0,oo ~ viHi - v2H2)

= + + «*>(«) = - £ О0(п) = £

71>1 ' бо

«*(«) = 1 + 0,{п) =

П>1 С!

«*(«) = - £ 02(п)Ц£ 02(п) = £ 0(С2)5^(С2). Суммирование выполняется по графам с 2 внешними линиями, по-

бо

рожденным п вершинами степени 4 Суммирование £ выполняется по

С1

графам с 2 внешними линиями, порожденным п вершинами степени 4

и одной вершиной степени 2. Суммирование выполняется по графам

сг

с 4 внешними линиями, порожденным п вершинами степени 4 О (С) -вершинная часть графа С.

Теорема 6 Действие РГ на перенормированный проекционный гамильтониан (9) задается формальным дифференциальным оператором

= ехр Нец{щ,щ, и2), (10)

А> = Ч<* - 3/2Л - С(й)/2), А = М1 (а - й - р, (й) А(й)С(й)), А = (1 + 2и0)2(С(й)р2(й) + й(2а - М - С(«))),

и/0(и) . ш'^и) ги2(и)

Система уравнений /ЭЬ = 0, Д = 0, /?2 = 0 относительно а,щ,й имеет два решения: решение «1 = 0, й = 0, а = 2 + й, соответствующее гауссовскому неподвижному гамильтониану, и решение их = 0, й = и* = С1<5 + с2<52 + • ■ •

12

(с) ф 0), а — 3/2^+С(и*)/2, соответствующее негауссовскому неподвижному гамильтониану. Значение и* определяется из уравнения С(и*)рг(и*) = 0.

Теорема 7 Пусть и* - ненулевое решение уравнения £(и*)ру(и*) = 0 Пусть параметр а выбран следующим образом:

а = 3/2Й + £(и*)/2. (11)

Для любого щ гамильтониан Не//(щ, 0, м*(1 + 2«о)2) является негауссов-ской неподвижной точкой преобразования

Для критического показателя г] верно представление:

г, = -<(«')й(и*)А>(и*). (12)

Теорема 8 Гамильтониан щ. г^) является

1 Ш1=0,из=и'(1+2ио)г

собственным гамильтонианом дифференциала йд а в неподвижной точке Не//(щ, 0, и*(1 + 2щ)2) с собственным числом

А1 = |А|$|

Критический показатель V равен•

и = (<¿/2 + СМ/2 - С(ОЛ^М«*))'1 (И)

Для евклидовой модели получаем следующий ответ:

<15>

Этот результат совпадает с результатами вычислений в рамках формализма уравнений Каллана-Симанзика. В р-адической модели Т) = 0,

Для того, чтобы сравнить ответы для V в обоих вариантах разложений, подставим в (7) значение е = а - 3/26 = <5/2 — т], где т\ определено в (15). и

переразложим (7) по степеням 5. Используя то, что А(4) = —1/2, нетрудно показать, что после такой подстановки формула (7) совпадет с (14). Это говорит в пользу того, что оба разложения, по-видимому, описывают одну и ту же негауссовскую неподвижную точку РГ. Аналогичное сравнение ответов в р-адической модели дает тот же результат.

В главе 2 рассматривается 2]У-компонентная фермионная модель на иерархической решетке.

Четырехкомпонентная модель получила точное решение в работах М.Д. Миссарова. Обобщение четырехкомпонентной фермионной иерархической модели на случай, когда число компонент спина равно 2Ы, рассматривалось в работе М.Д Миссарова и Э.Ю. Лернера. Однако в ней был предложен лишь алгоритм для вычисления преобразования РГ в пространстве констант связи. Явных формул предложено не было. Вопрос о существовании негауссовской ветви неподвижных точек был исследован лишь локально в окрестности тривиальной (гауссовской) неподвижной точки.

В данной диссертации преобразование РГ явно вычислено в /"/-мерном проективном пространстве констант связи. Исследованы некоторые свойства этого преобразования,

Пусть п - количество узлов в элементарном блоке иерархической решетки. Считаем, что в каждом узле ] € Ъ определено N пар спинов:

при этом ФЬ)Л>);{])■, к= 1,..., ¿V, образующие алгебры Грассмана.

Спин-блоковое преобразование ренормализационной группы определяется формулой:

где а £ К - параметр ренормгруппы, V, — {] 6 Ъ : (г — 1)п < ] < гп}.

Рассмотрим 0(ЛГ) -симметричные негауссовские фермионные поля, в которых взаимодействие задано гауссовским гамильтонианом, инвариантным

Ф(з) = Ш)Ж(3), • • • - ФШ ГыШ

(17)

относительно действия РГ, а плотность свободной меры имеет вид:

т-со+^^г)", (18)

*=1к-

где ф = (Фх,Ф1, . ......Фм-,Ф~ы ~ образующие алгебры

Грассмана, ф+ф~ = Набор коэффициентов (со, мы

рассматриваем, как точку ЛГ-мерного проективного пространства.

Теорема 9 Пусть поле Ф имеет плотность свободной меры ${ф). Тогда ренормированное поле Ф' имеет плотность свободной меры /'(ф) вида Г(ф) = Ща,п)/(ф), где

Я{а,п)Цф) = ехр(па~1ф+ф-)х

х

J % ехр(—г па^ф) I ехр{-ф+ф~ + i £Ф)1(Ф) <1ф

, №

£ = , с, • ■ •,Ф = Фх, ■ ■ •,

лт лт

^=+^ V=£ к= 1 *=1

€к<Фк ~ грассмановы образующие, к = 1,..., ЛГ. Интегралы понимаются как грассмановы интегралы по Березину.

Преобразование Я,(а, п) обладает следующей симметрией относительно преобразования Фурье F: Я(а, п)Р — РЯ(2 — а,п).

Динамика преобразования РГ легко исследуется, когда а = 1. Заметим, что при этом значении а нормировка спина в преобразовании РГ Вильсона-Каданова (17) совпадает со стандартной нормировкой п-1/2 в центральной предельной теореме. В нашей модели справедлива теорема, которую можно рассматривать, как аналог центральной предельной теоремы для антиком-мутирующих полей.

Теорема 10 Пусть /(ф) - некоторая плотность вида (18), и пусть Е^о Ф 0- Тогда в случае, когда ^ ("^КИ)" 1 5 Ф О,

справедливо соотношение:

В случае же, когда (лг~1)св(—— о, справедливо соотношение

Удобно сделать следующую замену:

д(г,) = I ехр (уп«-1 - 1(ГУ" + Г»Г) ~ СП ЯП) (20)

Пусть д(г]) = и>о + и1к (г1+г1~)к В пространстве коэффициентов и)3 преобразование РГ имеет вид (£ = 0,..., И)-

3=1 4 31+ +3п~3 '

Обозначая = из^/юо, получим систему алгебраических уравнений на неподвижную точку РГ относительно неизвестных («1,... ,идг) {] изменяется от 1 до ТУ):

гг''1 = п(п — 1)... (п — < +1). Данная система имеет два тривиальных решения решение г>; = (па~1 — \)3, ] — ..., N, соответствующее гауссовской неподвижной точке РГ, и решение = 0, ] = 1,..., И, соответствующее грассмановой ¿-функции.

При N = 1 данная система имеет лишь тривиальные решения. При N = 2, кроме тривиальных решений, система имеет два нетривиальных решения При N = 3 имеется несколько нетривиальных решений, при этом для различных значений а количество вещественных решений различно.

Значения а = 1,1/2,..., являются точками бифуркации для ветви неподвижных точек, соответствующей грассмановой ¿-функции Точки

а — 2 —1,2 — 1/2,... ,2— 1/ЛГ являются точками бифуркации для гауссов-ской ветви неподвижных точек.

Пусть с(а) = (со(а),..., с^(а)) - некоторая ветвь нетривиальных неподвижных точек РГ, непрерывная при а = 1. Тогда с{а) — (1,1,..., 1)

В главе 3 мы рассматриваем /V-компонентную бозонную (веществен-нозначную) модель на иерархической решетке.

Каждому узлу з решетки соответствует ^-компонентный спин £0) =

Спин-блоковое преобразование ренормализационной группы определяется формулой.

зеУ,

Пусть поле £ имеет плотность свободной меры ¡{у), у £ М^ Тогда ре-нормированное поле имеет плотность свободной меры /'(у) вида

Показано, что для описания неподвижных точек можно использовать как разложение по параметру е = а — 3/2, так и по параметру 5 = 4 — й. В последнем случае мы фиксируем п = р^, а = + 2)/й В Евклидовом случае этот выбор а соответствует гауссовской части, заданной оператором Лапласа В случае однокомпонентной модели негауссовские неподвижные точки РГ описаны с помощью обоих типов разложений. Сравнение ответов в первых двух порядках теории возмущений говорит в пользу того, что оба разложения описывают одну и ту же неподвижную точку в размерности ¿ = 3

Для сопоставления бозонной и фермионной моделей примем число компонент поля равным 2И. С целью получения более компактных формул,

(22)

сделаем в бозонной модели замену, аналогичную замене (20)' д{у) = Jexp(yx\/n?--l~--l-x'2/2)f(x)dx.

Пусть д(у) имеет разложение вида д(у) = и)к(у2/2)к/к\, у €

Теорема 11В пространстве коэффициентов то* преобразование РГ имеет вид

00 __п

Так как = ^ ПыТ*^ + * + 0. и ПРИ 3 > М выпол-

няется (^1*) = 0, то (23) переходит в (21) при замене N на —N Таким образом, преобразование РГ в фермионной 2Л''-компонентной модели формально совпадает с преобразованием РГ в бозонной (—2Лг)-компонентной модели.

В главе 4 рассматриваются задачи комбинаторной оптимизации для точек, лежащих в ультраметрическом пространстве Рассматриваются три известные задачи комбинаторной оптимизации - задача коммивояжера (ЗК), задача о минимальном паросочетании (МП), задача о минимальном остов-ном дереве (МОД) "Жадные" алгоритмы в ультраметрическом пространстве дают оптимальное решение этих задач.

Пусть имеется п точек, равномерно распределенных по мере Хаара в ¿-мерном р-адическом шаре {х : \х\р < 1}. Пусть Ь%к - мате-

матические ожидания сумм длин ребер в оптимальных решениях задач МП, МОД и ЗК соответственно.

Теорема 12 Для величин ЦЬ%к верны представления:

¿г=+Е^"1' (1 ■- (1 - ^р-ыУ).

ЬГД =(р- 1)РЫ'1) Ер4"-1' (1 - (1 - ^Р~Ы)П) - А.

к=О

К -к +дп1_р_„1п_1)_1, где Задача отыскания асимптотики этих величин при п —► оо сводится к

оо

отысканию асимптотики ряда вида = 2 Р*^-1' (1 — (1 — а • р~ы)п\,

*=о

где 0 < а < 1.

Теорема 13 При й = 1 величина (Зп предстпавима в виде:

(3„ = logp п + 0(1), п оо

В случае й > 1 существуют С\,С2 > 0 такие, что для всех п выполняется С1 < < с% ■ Предела величин при п —» оо не существует. Однако при фиксированном вещественном х и натуральном параметре т существует предел

где {/¿(х) - периодическая функция с периодом 1, равная

+0О

- ехр ^ о

к=—оо

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Формализм перенормированных гамильтонианов распространен на случай /V-компонентных 0(Аг)-симметричных полей. Получены формулы для симметрийных коэффициентов фейнмановских графов, доказаны теоремы о контрчленах, определены негауссовские неподвижные гамильтонианы РГ.

2. Критические показатели г/, и рассчитаны для евклидовых и р адичес-ких пространств до второго порядка теории возмущений с использованием (а — Ъ/2й)- и (4 — (^-разложений.

3 Исследовано преобразование РГ для 2Лг-компонентных фермионных случайных полей на иерархической решетке. Преобразование РГ представлено в виде конечномерного преобразования в пространстве констант евя-

?и, а для определения неподвижных точек предложена система алгебраических уравнений

4 Исследовано преобразование РГ для Л^-компонентных бозоных случайных полей на иерархической решетке. Построены е-разложения неподвижных точек РГ. Показано, что преобразование РГ в 2А^-компонентной бозонной модели формально совпадает с преобразованием РГ в (— компонентной фермионной модели

5 Исследованы стохастические задачи комбинаторной оптимизации в р-адическом пространстве Удалось явно вычислить математические ожидания сумм длин ребер в оптимальных решениях данных задач, а также исследовать асимптотику этих величин при п —» оо, где п - количество точек.

Список работ по теме диссертации

1. Миссаров М.Д. О построении неподвижных точек ренормализацион-ной группы в иерархической модели Дайсона / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов //Обозрение прикладной и промышленной математики - 2002. - Т9, № 2. - с.425-426.

2. Миссаров М.Д. О задачах комбинаторной оптимизации в ультрамет-ричных пространствах / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. - 2003. - Т.136, № 1. - с.164-176.

3. Миссаров М.Д. е-разложения в иерархической модели Дайсона

/ М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. - 2004. - Т. 139, № 2 - с.268-275.

4. Миссаров М.Д. Преобразование ренормгруппы в 2Аг-компонентной фермионной иерархической модели, / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, № 3. - с.510—511.

5. Миссаров М Д. Действие ренормализационной группы в ^-компонентной у>4- модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и

механики» - Труды математического центра им. Лобачевского - Казань, 2004. - Том 25 - с.188-190.

б Миссаров М Д Инвариантные многообразия ренормгруппы Вилсона в TV-компонентной модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т.12, № 2. - с 439-440

7. Миссаров М.Д е-разложения в TV-компонентной '¿>4-модели

/ М.Д Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати). - 2006. - Т. 146

8. Степанов Р Г Эпсилон-разложения в TV-компонентной иерархической модели / Р.Г. Степанов // Тез. докл. Международной конференции студентов и аспирантов «Ломоносов-2004». - Москва, 2004 - 117.

9. Степанов Р.Г. Преобразование ренормализационной группы в 2TV-компонентной фермионной иерархической модели / Р.Г Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати) - 2006. - Т. 146

10 Missarov М D Stochastic versions of combinatorial optimization problems in p-adic spaces / M.D. Missarov, R.G Stepanov // 8th Vilnius Conference on Probability Theory, Abstracts - June 23-29, 2002 - P 214

11 Missarov M D. Comparison of e-expansions in the Euclidean and p-adic models, / M D Missarov, R G Stepanov, // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. - 15-21 09.2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. - P.32.

12 Stepanov RG. Critical exponents in the bosonic hierarchical model / RG Stepanov, // Тезисы докладов Международной конференции по р-адической математической физике - Москва, 1-5 октября 2003.

13 Stepanov R.G. Renormalization group in 2TV-component fermionic hierarchical model / R.G.Stepanov // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. - 15-21.09 2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. - P. 45-46

Подписано в печать 17.11.2005 г. Заказ Е-33. Усл. печ. л. 1,3. Тираж 100 экз. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Отпечатано с готового оригинал-макета. Республиканский некоммерческий фонд делового и общественного развития "ФОРРА" г.Казань, ул. Университетская, 17. тел. 231-53-69

№25 5 02

РНБ Русский фонд

2006-4 28546

4 Введение

1 АГ-компонентные поля в евклидовом и р-адическом пространствах

1.1 Общие определения и обозначения.

1.2 (а — 3/2^)-разложение.

1.3 (4 — с?)-разложение.

1.4 Случай р-адического пространства.

1.5 Сравнение (о; — 3/2с?)- и (4 — с/)-разложений. 1.6 Доказательство теорем о контрчленах.

1.7 Вычисление вершинных частей фейнмановских графов

2 2]У-компонентная фермионная иерархическая модель

2.1 Описание модели.

2.2 Свойства преобразования ренормгруппы

2.3 Неподвижные точки преобразования РГ.

3 А^-компонентная бозонная иерархическая модель

3.1 Описание модели

3.2 е-разложения.

3.3 Связь между фермионной и бозонной моделями.

4 Задачи комбинаторной оптимизации в ультраметрических пространствах

4.1 Алгоритмы решения ЗКО.

4.2 Средние значения оптимальных решений ЗКО.

Состояние систем с большим числом степеней свободы в статистической физике обычно описывается с помощью гиббсовских случайных полей. Увеличение масштаба в таких системах соответствует переходу от одного гиббсовского случайного поля к другому с помощью операций суммирования и нормировки. При этом речь идет о суммах сильно зависимых случайных величин. Один из возникающих вопросов - это вопрос отыскания случайных полей, инвариантных относительно этого преобразования.

Рассмотрим вещественное «¿-мерное Л^-компонентное случайное поле ется на £(&), - это стационарность случайного поля в узком смысле: для любого заданного а поле £'(к) = 4- а) имеет то же распределение, что и поле £(&). Второе условие - это О(Ы)-симметричность: для любой ортогональной матрицы А размерности ИхИ случайное поле £'(&) = имеет то же распределение, что и поле £(&).

Разобьем решетку на кубы Уп(к) со стороной п и объемом па:

Уп{к) = {] € ЪЛ : п(Ъ - 1) < л < пки * = 1,. ,<*}.

Определим векторное случайное поле = {€\,п(к),., £лг,п(&)) по формуле а - некоторый параметр модели. Пусть Р - распределение вероятностей случайного поля £(&)> ^п? - распределение вероятностей случайного где - целочисленная решетка. Первое условие, которое обычно налага

0.1) зеУп(к) поля £п(к). Семейство преобразований В^ образует полугруппу, так как Ягнгч = Дп1-КГг2- Эту полугруппу часто называют ренормализационной группой (РГ), или более коротко ренормгруппой.

Одним из основных вопросов является вопрос о том, какие виды распределений могут являться предельными для распределений Е^Р при п —У оо. При этом из-за сильной связи случайных величин предельное распределение не обязано быть устойчивым распределением вероятностей.

Распределение Р называют автомодельным, если ЛпР = Р для всех целых п > 1. Таким образом, автомодельность распределения Р означает, что случайные векторы подчиняются тем же совместным распределениям вероятностей, что и первоначальные случайные векторы £(&).

В физической литературе обычно используют другое определение РГ, называемое преобразованием РГ Вильсона в импульсном представлении.

Пусть задано обобщенное 0(Л^)-симметричное случайное поле сг^) = (°1(<7)>в шаРе = {я \я\ < Щ- Определим оператор скей-линга

8Ка*(я) = \\\~а12а{41\) и оператор ограничения

Здесь Л - параметр растяжения, а - параметр РГ, х(я) ~ индикатор шара Од. По сути гд)0! - это оператор ограничения поля 5л>асг(д), определенного в шаре на шар

Пусть Р - распределение вероятностей случайного поля сг(д), Д\Р -распределение вероятностей случайного поля гд)асг(д). Семейство преобразований образует полугруппу, так как Ях^ = Я\1 К\2 . Данную полугруппу называют ренормгруппой Вильсона. Случайное поле а(д) называется автомодельным, если его распределение вероятностей Р таково, что Р = для всех Л.

Традиция статистической механики состоит в том, чтобы представлять распределения вероятностей в гиббсовской форме с помощью гамильтонианов. Преобразование РГ может быть представлено, как преобразование в пространстве гамильтонианов. Гамильтониан, соответствующий автомодельному распределению вероятностей, называется неподвижным гамильтонианом преобразования РГ.

Основные положения теории гиббсовских случайных полей даны в [8]. Детальное изложение основных положений теории автомодельных полей (в том числе обобщенных автомодельных полей с непрерывным временем, и их связи с дискретными полями) дано в [4].

Интерес к преобразованиям ренормгруппы и к автомодельным распределениям вероятностей объясняется тем, что данные объекты возникают в фундаментальных вопросах статистической физики и квантовой теории поля. Как известно, макроскопические характеристики разнообразных физических систем с бесконечным числом степеней свободы при изменении температуры или некоторых констант связи могут иметь особенности (фазовые переходы). Оказывается, состояние таких систем в критической точке определяется автомодельными распределениями вероятностей.

Гауссовские автомодельные процессы, известные сейчас под названием дробного броуновского движения, впервые были рассмотрены А.Н. Колмогоровым [5]. Связь автомодельных распределений с предельными теоремами теории вероятностей обсуждалась Ламперти [35] и Р.Л. Добру-шиным [4]. Проблемой автомодельных распределений занимались также Галлавоти, Йона-Лазинио, М.Розенблатт, Такку, Я.Г.Синай [23,24] и другие.

Метод ренормализационной группы в теории критических явлений был создан К. Вильсоном [2,32], Л. Кадановым [34], М. Фишером [32] и другими. Данный метод позволяет вычислять критические показатели, характеризующие поведение систем в критической точке. Критический показатель г) определяет степень убывания бинарной корреляционной функции в критической точке. Предполагается, что при — оо. Используя определение автомодельиости поля, нетрудно установить, что 77 и а связаны соотношением г) = 2 +¿-а.

В физической литературе показатель г) называют также аномальной размерностью. Для вычисления критического показателя и, определяющего степень расходимости корреляционной длины в критической точке, в [2] была получена формула

1п А ^ЫА? где А1 - старшее собственное число дифференциала преобразования Н\, заданного в пространстве гамильтонианов, в нетривиальной (негауссов-ской) неподвижной точке.

В работах [29,39] рассматривались однокомпонентные (И = 1) обобщенные случайные поля а(д) в импульсном представлении, заданные в шаре ГИд. Для определения неподвижных гамильтонианов РГ и вычисления критических показателей был предложен формализм перенормированных проекционных гамильтонианов. Негауссовская ветвь автомодельных гамильтонианов строилась как бифуркация от гауссовской ветви по параметру е = а—3/2^ с использованием процедуры аналитической перенормировки. В работе [1] формализм перенормированных проекционных гамильтонианов был распространен на случай (4 — ^-разложения. В этом случае негауссовская ветвь бифурцирует от гауссовского гамильтониана, заданного оператором Лапласа, и используется процедура размерной перенормировки. Одна из задач, решаемых в диссертации, состоит в том, чтобы распространить данный формализм перенормированных проекционных гамильтонианов на случай ТУ-компонентных 0(Лг)-симметричных случайных полей.

Кроме моделей скалярного случайного поля на евклидовой решетке, интерес представляют модели на иерархической решетке. Исследованием иерархических моделей занимались Дайсон [31], Блехер и Синай [28], Колле и Экман [30], и другие. В них ренормгрупповой подход был полностью реализован без привлечения техники фейнмановских диаграмм и перенормировок. Распределения случайных полей здесь удобно задавать с помощью плотностей свободной меры, а преобразование РГ в пространстве плотностей свободной меры действует как обычное интегральное преобразование.

Ситуация еще более упрощается, если вместо бозонного (вещественно-значного) поля мы рассмотрим фермионное (грассмановозначное) поле на иерархической решетке. Основные положения, связанные с фермион-ными случайными полями, даны в [9].

В работах [10,12-14,37] была исследована четырехкомпонентная фер-мионная иерархическая модель. Оказалось, что преобразование РГ в этой модели вычисляется явно и описывается рациональным отображением в двумерном пространстве констант связи гамильтониана. Это обстоятельство позволило дать глобальное описание динамики РГ-преобразования для всех значений параметра а. В частности, были описаны все неподвижные точки ренормгруппы, их устойчивые инвариантные кривые, исследованы некоторые критические явления и симметрии преобразования РГ. В данной диссертационной работе исследуется 2^-компонентная ферми-онная иерархическая модель для произвольного N.

Из точного решения четырехкомпонентной фермионной иерархической модели следует, что (а — 3/2й)~ и (4 — ^-разложения в размерности й - 3 описывают одну и ту же негауссовскую неподвижную точку. Возникает гипотеза о том, что это верно и для бозонных моделей. Одной из задач данной диссертации является исследование этой гипотезы.

Непрерывным аналогом иерархической решетки является р-адическое пространство. Первые р-адические модели математической физики появились в работах B.C. Владимирова и И.В. Воловича [3]. Связь между иерархическими и р-адическими моделями была установлена в [6]. Важным достоинством р-адических моделей является то, что сложные проблемы современной математической физики получают точное решение. Одной из задач диссертации является распространение формализма ре-нормгруппы Вильсона на случай гиббсовских случайных полей, заданных в р-адическом пространстве.

Еще один класс задач, рассмотренных в диссертационной работе, представлен стохастическими версиями известных задач комбинаторной оптимизации (задача коммивояжера, задача о минимальном паросочетании и задача о минимальном остовном дереве) в р-адических пространствах. Идеи, близкие к идеям ренормгруппы, позволили явно вычислить математические ожидания оптимальных решений и исследовать их асимптотическое поведение.

Перейдем к основным результатам, полученным в данной работе.

В главе 1 формализм проекционных гамильтонианов, развитый в работах [1,29,39], обобщается на случай iV-компонентных 0(7У)-симмет-ричных гиббсовских случайных полей, заданных как в евклидовом, так и в р-адическом пространствах. Отличие гамильтонианов TV-компонентных полей от гамильтонианов однокомпонентных полей состоит в том, что в случае произвольного N в гамильтонианах необходимо учитывать "сим-метрийные" тензоры вида суммирование ^ ведется по всем разбиениям набора {1,., 2к} на пары.

В рамках (а — 3/2с?)-разложения негауссовский неподвижный гамильтониан преобразования РГ ищется на множестве перенормированных проекционных гамильтонианов вида: 7 где и\,и2 - константы связи,

N „ 2к

Нк(°) = / %1 + • • • + Ч2к) П <Тг,Ы Лд,

1 Аь-мвмеД" в=1 а, яС0") ~ гамильтониан автомодельного гауссовского поля в шаре с бинарной корреляционной функцией < <Хг(я1)сг;(<72) >= ¿¿,^(^1+72)^1(^1), где в1(5) = - х(д)); < • - связное упорядочивание Вика относительно этого гауссовского поля; А.Я,. - операция аналитической перенормировки.

Доказана теорема о контрчленах (теорема 1.1), в соответствии с которой

Не1^иьи2) = < ехр(-«1гУ1(«2)Я1 - т2(и2)Н2) где ю^и), т2(и) - формальные степенные ряды по и, вычисление которых связано с вычислением вершинных частей фейнмановских графов. Перед этим оказалось необходимым доказать вспомогательную лемму 1.4, в соответствии с которой для любого связного фейнмановского графа (3 и для любого тензора инвариантного относительно перестановок индексов ц,., %2к, выполняется соотношение: N п

Е1 I РгУ Яи I I А.«, х2к —

11 Ч .-»»а*, 11 »тц,«та г1,.,4Л1=1 (VI ,Ш1 ,У2 ,тг) еЬ((?) N (С?) ^

1,—>*2А; = 1 где п - количество вершин в графе 2&1,., 2&п - степени вершин в графе бг, 2к - количество внешних линий, (й^,Щ),., {й2к,Ш2к) - набор внешних линий графа (?, 1/(С?) - множество внутренних линий, коэффициент симметрии, определяемый формулой £ (1р,г.5Л ( П «а.* г},., 1^=1 \«=1 / \Ы,ГП1,Ь2 ,Ш2)6Х(С) п Уп 1

Заметим, что в случае N = 1 утверждение этой леммы очевидно и состоит в том, что (1)" • 1 • = 51 (С?) • 1 • А\утшд, где ^(О) = 1.

Показано (теорема 1.2), что на множестве перенормированных проекционных гамильтонианов г/г) преобразование РГ может быть задано с помощью формального дифференциального оператора

Ях,аНе}/{иЬи2) = ехр ^1п|А| А'^т^ Яе//(П1,1Х2), где формальные степенные ряды по и1,щ.

Система уравнений = 0, = 0 относительно щ,и2 имеет два решения: тривиальное решение щ = 0, г/2 = 0, и нетривиальное решение щ = 0, щ — и* ф 0. Негауссовский гамильтониан, неподвижный относительно преобразования РГ, задается гамильтонианом Не//(0,и*). Для критического показателя и получена формула

V = ад дщ

141=0, И2=и*

Приведено явное вычисление показателя и до второго порядка по е, где £ = а- 3/2(1.

Аналогичные результаты получены в случае (4 — с?)-разложения. В этом случае система уравнений на неподвижную точку приводит к зависимости а от что позволяет вычислить аномальную размерность 7). Формальное сравнение (а — 3/2с?)— и (4 — с£)-разложений в первых двух порядках теории возмущений показывает, что при этом а ответы для показателя V в обоих типах разложений совпадают.

Все указанные выше результаты, полученные для евклидового пространства, могут быть перенесены на р-адическое пространство. Особенностью р-адического случая является то, что в формализме (4 — «¿^разложения критический показатель т] = 0.

Сравнение вычисленных критических показателей для евклидовой и ]>-адической моделей в формализме (а—3/2с£)-разложения показало интересную связь между ответами. Оказалось, что во втором порядке теории возмущений ответы совпадают с точностью до замены функции Г (х) на ее р-адический аналог, а константы Эйлера у на — 1пр.

В главе 2 рассматривается 2Л^-компонентная фермионная модель на иерархической решетке. Обобщение четырехкомпонентной фермионной иерархической модели на случай, когда число компонент спина равно 2Ы, рассматривалось в работе [7]. Однако в ней был предложен лишь алгоритм для вычисления преобразования РГ в пространстве констант связи. Явных формул предложено не было. Вопрос о существовании не-гауссовской ветви неподвижных точек был исследован лишь локально в окрестности тривиальной (гауссовской) неподвижной точки.

В данной диссертации преобразование РГ явно вычислено в АГ-мерном проективном пространстве констант связи. Исследованы некоторые свойства этого преобразования, вычислено его обратное преобразование. В частном случае о: = 1 доказан аналог центральной предельной теоремы для фермионных случайных полей. А именно, показано, что при а = 1 для любого начального случайного поля итерации преобразования РГ сходятся к гауссовскому случайному полю.

Нахождение неподвижных точек преобразования РГ сводится к решению системы из N алгебраических уравнений. При фиксированном а она имеет несколько нетривиальных решений. При = 3 оказалось, что количество ее вещественных решений различно при различных значениях а.

Имеется две тривиальные неподвижные точки в пространстве формальных плотностей свободной меры - грассманова ¿-функция и функция, тождественно равная 1. Последняя соответствует гауссовскому автомодельному случайному полю. Значения а = 1/2,., 1 /ТУ являются бифуркационными значениями, в которых ветвь, задаваемая грассмановой ¿-функцией, пересекается с ветвями нетривиальных неподвижных точек. Значения а = 2 — 1/2, .,2 — 1/Ы являются бифуркационными значениями, в которых ветвь гауссовских неподвижных точек пересекается с ветвями нетривиальных неподвижных точек. При а —» 1 все нетривиальные неподвижные точки РГ сходятся к сингулярному значению, в котором преобразование РГ не определено.

Строгие результаты, полученные для фермионной 2А/"-компонентной иерархической модели позволяют глубже понять динамику преобразования РГ. Наблюдения, полученные для этой модели могут быть источником гипотез для других моделей математической физики.

В главе 3 мы рассматриваем ^-компонентную бозонную модель на иерархической решетке. Преобразование РГ записывается в виде интегрального преобразования в пространстве плотностей свободной меры. Исследуются свойства этого преобразования.

Показано, что для гауссовского распределения, неподвижного относительно преобразования РГ, бифуркационным значением является значение а = Ъ/2. В случае а = (2+с?)/с/, который соответствует выбору оператора Лапласа в качестве гауссовской части гамильтониана, бифуркационным значением является значение й = 4. Для N = 1 неподвижная точка преобразования РГ вычислена в первых двух порядках по £ = а — 3/2 и по 8 = 4—й. В физически наиболее интересном случае с? = 3, а = (2-М)/с? сравнение ответов для (а — 3/2)- и (4 — (Г)-разложений показывает, что коэффициенты разложений имеют одинаковую асимптотику при р —> оо, где р - размер элементарного блока иерархической решетки. Это говорит в пользу того, что (ск — 3/2)- и (4 — ^-разложения описывают одну и ту же неподвижную точку РГ в размерности 3.

Показано, что существует двойственность между фермионной и бозон-ной моделями. А именно, если преобразование РГ определить в пространстве констант связи, то преобразование РГ для фермионной модели будет переходить в преобразование РГ для бозонной модели при формальной замене N на —ТУ.

Класс задач, рассмотренных в главе 4, представлен известными задачами комбинаторной оптимизации (ЗКО) в ультраметрических пространствах. Примерами таких пространств являются иерархическая решетка и ее континуальный аналог - р-адическое пространство.

Рассмотрим задачу коммивояжера (ЗК), задачу о минимальном па-росочетании (МП) и задачу о минимальном остовном дереве (МОД). В задаче коммивояжера требуется найти кратчайший замкнутый путь, проходящий через заданные точки некоторого метрического пространства. В задаче о минимальном паросочетании требуется разбить множество точек на пары таким образом, чтобы сумма длин ребер, соединяющих полученные пары точек, была наименьшей из всех возможных. В задаче МОД требуется найти дерево, вершины которого совпадают с заданными "точками, а сумма длин ребер является наименьшей из всех возможных.

Естественно рассматривать вероятностную постановку этих задач, когда все точки равномерно распределены в некоторой области d-мерного пространства. Мезардом, Паризи, Вирасоро [38] было отмечено, что задачи комбинаторной оптимизации в вероятностной постановке можно в определенном смысле интерпретировать как модели теории неупорядоченных систем статистической физики. Действительно, допустимые решения задачи комбинаторной оптимизации можно рассматривать как состояния физической системы, значение целевой функции для допустимого решения - как энергию состояния, а оптимальное решение - как основное состояние системы.

Пусть fn - случайная величина, равная сумме длин ребер в оптимальном решении задачи комбинаторной оптимизации для п точек, равномерно распределенных в шаре единичного объема.

В работах [27], [45] было показано, что для вышеперечисленных задач комбинаторной оптимизации в евклидовом пространстве справедливо свойство "самоусреднения": существует константа C(d), для которой с вероятностью 1 lim = C(d). n->00 n1-1/"

Константа C(d) не вычислена явно.

В случае р-адических пространств идеи, близкие к идеям ренормгруп-пы, позволили явно вычислить математические ожидания величин /п и исследовать их асимптотику при п —>■ оо. Оказалось, что хотя величины ^/ф ограничены при п сю, но не сходятся к одному пределу. Однако при фиксированном вещественном х и натуральном параметре т существует предел

М/р(т+х)Л т^оо (р(т+х)<*)1-1/<*

Ит где II¿{х) - периодическая функция с периодом 1, явный вид которой дан в теореме 4.4.

Перечислим основные результаты, выносимые на защиту:

1. Формализм перенормированных проекционных гамильтонианов распространен на случай ЛГ-компонентных О{Щ-симметричных полей. Получены формулы для симметрийных коэффициентов фейнманов-ских графов, доказаны теоремы о контрчленах, определены негаус-совские неподвижные гамильтонианы РГ.

2. Критические показатели г), V рассчитаны для евклидовых и р-ади-ческих пространств до второго порядка теории возмущений с использованием (а — 3/2с?)— и (4 — ^-разложений. Проведен их сравнительный анализ.

3. Исследовано преобразование РГ для 27У-компонентных фермионных случайных полей на иерархической решетке. Для а = 1 доказан аналог центральной предельной теоремы. Преобразование РГ представлено в виде конечномерного преобразования в пространстве констант связи, а для определения неподвижных точек предложена система алгебраических уравнений.

4. Исследовано преобразование РГ для АГ-компонентных бозоных случайных полей на иерархической решетке. Построены ^-разложения неподвижных точек РГ. Показано, что преобразование РГ в 2N-компонентной бозонной модели формально совпадает с преобразованием РГ в (—2Аг)-компонентной фермионной модели.

5. Исследованы стохастические задачи комбинаторной оптимизации в р-адическом пространстве. Удалось явно вычислить математические ожидания сумм длин ребер в оптимальных решениях данных задач, а также исследовать асимптотику этих величин при п —> оо, где п -количество точек.

Основные результаты диссертации опубликованы в [15-20,25,42,43,46, 47]. Кроме того, работы [21,26] приняты к печати.

Результаты работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях: III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция «Вероятность и статистика» (Сочи, октябрь 2002), Международная конференция по р-адической математической физике (Москва, 1-5 октября 2003), XI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Сочи, сентябрь 2004), VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция «Вероятность и статистика» (Санкт-Петербург, май 2005), Вторая международная конференция по р-адической математической физике (Белград, Сербия и Черногория, сентябрь 2005).

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, содержащего 48 наименований. Работа изложена на 122 листах и содержит 1 рисунок.

Заключение

В главе 1 формализм перенормированных проекционных гамильтонианов распространен на случай ]У-компонентных 0(Л/")-симметричных случайных полей, заданных в евклидовом или р-адическом пространстве. Рассмотрены два метода разложений - метод (ск — 3/2с?)-разложений и метод (4 — с?)-разложений. Для обоих типов разложений доказаны теоремы о контрчленах. Преобразование РГ на многообразии перенормированных проекционных гамильтонианов записано в виде дифференциального оператора. Получены формулы для вычисления неподвижной точки РГ и критических показателей V и г) в виде формальных степенных рядов по параметру разложения.

Полученные ответы для критических показателей в евклидовом случае в рамках (4 —с?)-разложения совпали с аналогичными ответами, полученными на основе формализма уравнений Каллана-Симанзика [48].

Сравнение (4 —с?)- и (а—3/2с?)-разложений до второго порядка теории возмущений показывает, что при а = 2+с?—г}, где г] - аномальная размерность, ответы для критического показателя и в обоих типах разложения совпадают.

Сравнение ответов для евклидового и р-адического пространств показывает, что во втором порядке теории возмущений существует следующая связь между ответами: ответы совпадают вплоть до замены функции Г(х) в евклидовом случае на ее р-адический аналог /р(х), а константы Эйлера 7 - на — 1п р.

В главе 2 исследовано преобразование РГ в 27У-компонентной фер-мионной иерархической модели. Данное преобразование явно вычислено в Л^-мерном проективном пространстве коэффициентов связи. Доказана его симметрия относительно преобразования Фурье. Вычислено его обратное преобразование. Для случая а = 1 для фермионных случайных полей доказан аналог центральной предельной теоремы.

Показано, что неподвижные точки РГ могут быть определены, исходя из системы N алгебраических уравнений с N неизвестными. Оказалось, что при N > 1 данная система имеет несколько нетривиальных решений. При N = 3 количество нетривиальных решений зависит от а.

В главе 3 мы исследовали преобразование РГ в ^-компонентной бо-зонной иерархической модели. Многие свойства преобразования РГ в этой модели аналогичны свойствам преобразования РГ в фермионной иерархической модели. Нетривиальные неподвижные точки преобразования РГ можно искать по теории бифуркаций от гауссовской неподвижной точки. При этом можно пользоваться (а — 3/2)-разложением и (4 — ¿)-разложением. Ответы для неподвижных точек в случае в, = 3, полученные до второго порядка теории возмущений обоими типами разложений, имеют одинаковую асимптотику по параметру р, где р - диаметр элементарного блока иерархической решетки. Данный факт говорит в пользу того, что оба разложения описывают одну и ту же неподвижную точку в размерности (1 = 3.

Показано, что если формально определить преобразование РГ в пространстве констант связи, то преобразование РГ в 2А^-компонентной бо-зонной иерархической модели при замене N на — N переходит в преобразование РГ в 2-ЛГ-компонентной фермионной иерархической модели.

В главе 4 мы исследовали некоторые задачи комбинаторной оптимизации, в которых необходимо соединить ребрами случайно выбранные точки в ультраметрическом пространстве так, чтобы сумма длин ребер была наименьшей. Рассмотрены три известные задачи: задача коммивояжера, задача о минимальном паросочетании и задача о минимальном остовном дереве.

Для этих задач показано, что в ультраметрическом пространстве "жадные" алгоритмы дают оптимальное решение. Для случая р-адического пространства вычислены средние значения сумм длин ребер в оптимальных решениях, а также изучена их асимптотика при большом количестве точек п.

1. Блехер П.М. Инвариантные многоообразия ренормализационной группы Вильсона / П.М.Блехер, М.Д.Миссаров // Теоретическая и математическая физика. - 1988. - Т.74, № 2. - с. 203-209.

2. Вильсон К. Ренормализационная группа и е-разложение / К.Вильсон, Дж.Когут // М.: Мир. 1975.

3. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. р-адический анализ и математическая физика. М.: Наука. - 1994.

4. Добру шин P.J1. Автомодельность и ренормгруппа обобщенных случайных полей / P.JT. Добрушин // Многокомпонентные случайные системы. Москва, 1978 - с. 179-213.

5. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве / А.Н.Колмогоров // Докл. АН СССР. 1940. - 26, №2. - с.115-118.

6. Лернер Э.Ю. Скалярные модели р-адической квантовой теории поля и иерархическая модель Дайсона / Э.Ю. Лернер, М.Д. Мисса-ров //Теоретическая и математичекая физика. 1989. - Т.78, № 2. -с.248-257.

7. Лернер Э.Ю. Ренормализационная группа в фермионной иерархической модели / Э.Ю. Лернер, М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика. 1994. - Т. 101, № 2. - с.282-293.

8. Малышев В.А., Минлос JI.A. Гиббсовские случайные поля. М.: Наука. - 1985.

9. Малышев В.А., Минлос J1.A. Линейные операторы в бесконечноча-стичных системах. М.: Наука. - 1994.

10. Миссаров М.Д. Функциональные уравнения и теория перенормировок в р-адических моделях / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика. 1996. - Т. 109, № 1. - с.3-16.

11. И. Миссаров М.Д. РГ-инвариантные кривые в фермионной иерархической модели / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика. 1998. - Т. 114, № 3. - с.323-336.

12. Миссаров М.Д. Критические явления в фермионной иерархической модели / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика.- 1998. Т.117, № 3. - с.471-488.

13. Миссаров М.Д. Непрерывный предел в фермионной иерархической модели / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика.- 1999. Т.118, № 1. - с.40-50.

14. Миссаров М.Д. Симметрии и циклы ренормализационной группы в фермионной иерархической модели, //Р.З. Даутов, М.Д. Миссаров.- Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т. 126, № 2. -с.238-246.

15. Миссаров М.Д. О построении неподвижных точек ренормализационной группы в иерархической модели Дайсона / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов //Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т.9, № 2. - с.425-426.

16. Миссаров М.Д. О задачах комбинаторной оптимизации в ультрамет-ричных пространствах / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. 2003. - Т.136, № 1. - с.164-176.

17. Миссаров М.Д. е-разложения в иерархической модели Дайсона / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. 2004. - Т. 139, № 2. - с.268-275.

18. Миссаров М.Д. Преобразование ренормгруппы в 2АГ-компонентной фермионной иерархической модели, / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. -Т.11, № 3. - с.510-511.

19. Миссаров М.Д. Инвариантные многообразия ренормгруппы Вилсона в АГ-компонентной модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, № 2. - с.439-440.

20. Миссаров М.Д. е-разложения в АГ-компонентной у>4-модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати). 2006. - Т. 146

21. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО. - 1999. - 336 с.

22. Синай Я.Г. Автомодельные распределения вероятностей / Я.Г. Синай // Теория вероятностей и ее применения. 1976. - 21, Я21. - с. 63-80.

23. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука. - 1980.

24. Степанов Р.Г. Эпсилон-разложения в //-компонентной иерархической модели / Р.Г. Степанов // Тез. докл. Международной конференции студентов и аспирантов «Ломоносов-2004». Москва, 2004. -117.

25. Степанов Р.Г. Преобразование ренормализационной группы в 2TV-компонентной фермионной иерархической модели / Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати). 2006.- Т. 146

26. Bearwood J. The Shortest path through many points / J. Bearwood, J.H. Halton, J.M.Hammersley // Proc.Cambridge Philos.Soc. 1959. -55. - p.294.

27. Bleher P.M. Investigation of the critical point in models of the type of Dyson's hierarchical models / P.M. Bleher, Ya.G. Sinai // Commun. Math. Phys. 1973. - V.33. - P.23

28. Bleher P.M. The Equations of Wilson's Renormalization Group and Analytic Renormalization /P.M. Bleher, M.D. Missarov // Commun. Math. Phys. 1980. - 74. - P.235-272.

29. Collet P. A renormalization group analysis of the hierarchical model in statistical mechanics. / P. Collet, J.-P. Eckmann // Lecture Notes in Physics. 74. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. - 1978

30. Dyson F.J. Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet / F.J. Dyson // Commun. Math. Phys. 1969. - V.12, N2.- P.91.

31. Fisher M. Critical exponents in 3.99 dimensions. / M. Fisher, K. Wilson // Phys. Rev. Lett. 1972. - V.28, N4 - P.240.

32. Gelfand I.M., Shilov G.E. Generalized functions. New York: Academic Press. - 1964.

33. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc / L.P.Kadanoff // Physics. 1966. - V.2, N6 - P.263-272.

34. Lamperti J. Semi-stable stochastic processes /J. Lamperti // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. - V.104, N1.- P.62-78.

35. Lerner E.Yu. p-adic Feynman and String Amplitudes / E.Yu. Lerner, M.D. Missarov // Commun. Math. Phys. 1989. - V.121, N 1. - P.35-48.

36. Lerner E.Yu. Fixed points of renormalization group in the hierarchical fermionic model / E.Yu. Lerner, M.D. Missarov // J.Stat.Phys. 1994.- V.76, N3/4. P.805-817.

37. Mezard M., Parisi G., Virasoro M. Spin-Glass Theory and All Beyond -Singapore: World Scientific. 1987.

38. Missarov M.D. The equations of Wilson's renormalization group in dimension 4 and analytic renormalization / M.D. Missarov // Journal of Stat. Phys. 1985. - V.38, N 5/6. - P.851-860.

39. Missarov M.D. Stochastic versions of combinatorial optimization problems in p-adic spaces /M.D. Missarov, R.G. Stepanov // 8th Vilnius Conference on Probability Theory, Abstracts. June 23-29, 2002. - P.214

40. Missarov M.D. Comparison of ^-expansions in the Euclidean and p-adic models, / M.D. Missarov, R.G. Stepanov, // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. 15-21.09.2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. - P.32.

41. Speer E.R. Dimensional and analytic renormaiization. In: Renormalization theory /Speer E.R.//Dordrecht. Reidel. 1976. -R25-93.

42. Steele J.M. Probability theory and combinatorial optimization : SIAM, Philadelphia. 1997.

43. Stepanov R.G. Critical exponents in the bosonic hierarchical model / R.G.Stepanov, // Тезисы докладов Международной конференции по р-адической математической физике. Москва, 1-5 октября 2003.

44. Stepanov R.G. Renormalization group in 2iV-component fermionic hierarchical model / R.G.Stepanov // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. 15-21.09.2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. - P.45-46.

45. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press. - 1996.