ρ-Адический и ультраметрический анализ в моделях математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.96, 517.98, 517.5

Козырев Сергей Владимирович

р—Адический и ультраметрический анализ в моделях математической физики

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в отделе математической физики Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

В.С.Анашин,

доктор физико-математических наук А.Н.Кочубей,

доктор физико-математических наук М.Д.Миссаров,

Ведущая организация: механико-математический факультет

Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Защита состоится и-Я 2006г. в 14 часов

на заседании специализированного Совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу 119991 Москва, ГСП-1, ул.Губкина 8, Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Автореферат разослан Учёный секретарь

специализированного совета Д 002.022.02 доктор физико-математических наук

2006 г. Ю.Н. Дрожжинов

1 Общая характеристика работы

Работа посвящена разработке методов и приложений р-адической и ультраметрической математической физики.

Актуальность темы

р-Адические числа широко применяются в алгебраической геометрии, теории чисел и теории представлений. Начиная с 80-х годов прошлого века и работ В.С.Владимирова и И.В.Воловича, р-адические числа получили широкое применение в математической физике.

Были получены применения р-адических чисел в теории струн (И.В.Волович, П.Фройнд, Э.Виттен, П.Фрэмптон, В.С.Владимиров, И.Я.Арефьева, Л.О.Чехов, А.В.Забродин и др.), теории неупорядоченных систем, развиты модели р-адической и адельной квантовой механики (В.С.Владимиров, И.В.Волович, Б.Драгович и др.). р-Адические динамические системы и их применения, а также модели квантовой механики с р-адичнозначными волновыми функциями изучались А.Ю.Хренниковым. В работах М.Д.Миссарова изучалась ренормгруппа в иерархических моделях статистической физики.

Теория р-адических псевдодифференциальпых операторов была развита B.C. Владимировым. В частности, был определён оператор Владимирова р-адического дробного дифференцирования D". Было обнаружено, что оператор Владимирова имеет базисы из собственных функций с компактным носителем (В.С.Владимиров, А.Н.Кочубей). Различные результаты в области р-адических псевдодифференциальных операторов принадлежат А.Н.Кочубею, в частности, исследование р-адических псевдодифференциальных операторов в многомерном случае и изучение р-адических стохастических интегралов.

р-Адические всплески были введены С.В.Козыревым и обобщались Дж.Дж.Бенедетто и Р.Л.Бенедетто на случай локально компактных абелевых групп.

Случайные процессы с вещественным временем, принимающие значения в р-адических пространствах, рассматривались С.Альбе-

верно, В.Карвовским и др. Случайные процессы, для которых время является р-адическим, изучались А.Х.Бикуловым, И.В.Воловичем, С.Эвансом.

Ультраметрические модели в теории неупорядоченных систем (в частности, спиновых стёкол) развивались Дж.Паризи, М.Вирасоро, М.Мсзардом и др. Была получена р-адическая параметризация для матрицы Паризи — параметра порядка в методе реплик (В.А.Авети-сов, А.Х.Бикулов, С.В.Козырев, Дж.Паризи, Н.Сурлас).

Иерархические модели динамики неупорядоченных систем исследовались разными авторами. Для описания динамики сложных макромолекул использовалось приближение мсжбассейновой кинетики (Ф.Стилинджер, Т.Вебер, О.Бекср, М.Карплус, Г.Фраунфельдер и др.). Применение р-адического анализа к описанию приближения межбассейновой кинетики было предложено В.А.Аветисовым, А.Х. Бикуловым, С.В.Козыревым.

Цель работы

Разработка методов ультраметрического анализа, в частности, теории ультраметрических всплесков и спектрального анализа ультраметрических псевдодифференциальпых операторов. Применение таких методов к теории сложных систем. Исследование связи между некоммутативным и р-адическим анализом.

Методика исследований

Используются и методы р-адичсского и ультраметрического анализа, функционального анализа, теории представлений.

Научная новизна

• Построена теория р-адичсских всплесков (вейвлетов). Введён базис р-адических всплесков. Доказано существование отображения поля р-адичсских чисел на вещественную полупрямую, переводящее базис р-адических всплесков в базис известных вещественных всплесков Хаара. В базисе р-адических всплесков вычислен спектр р-адических псевдодиффсрспциальных операторов, в частности, оператора Владимирова.

Введён новый широкий класс р-адических псевдодифференциальных операторов, недиагонализуемых преобразованием Фурье, но диагональных в базисе р-адических всплесков, и рассчитан их спектр.

• Разработана теория псевдодифференциальных операторов на ультраметрических пространствах. Построено семейство базисов ультраметрических всплесков в пространствах квадратично интегрируемых функций для широкого класса ультраметрических пространств. Построена спектральная теория для псевдодифференциальных операторов, действующих на комплексно-значные функции на этих ультраметрических пространствах.

• Развиты новые методы в теории нарушения репличной симметрии.

Показано, что для матрицы Паризи, применяемой для описания нарушения репличной симметрии в теории спиновых стекол, после соответствующей перенумеровки индексов матричный элемент будет зависеть только от р-адичсской нормы разности индексов, и, следовательно, матрица Паризи диагонали-зустся р-адическим преобразованием Фурье.

Построено обобщение анзаца Паризи в методе реплик, использующее теорию псевдодиффсренциальных операторов на общих ультраметрических пространствах. Найдено бесконечное семейство новых репличных решений.

• Показано, что приближение межбассейновой кинетики в динамике макромолекул (например, белков) эквивалентно динамике на ультраметрическом пространстве, описываемой ультраметрическим псевдодифференциальным уравнением. Предложен конкретный вид такого уравнения.

• Исследовано оснащенное гильбертово пространство свободных когерентных состояний. Доказано, что это оснащенное гильбертово пространство изоморфно пространству обобщённых функций на р-адическом диске.

Теоретическая и практическая ценность

Развитые в диссертационной работе методы ультраметрического анализа, такие как анализ ультраметрических всплесков и спектральный анализ ультраметрических псевдодйфференциальных операторов, представляют интерес как для приложений к анализу всплесков и теории функций, так и для приложений к теории сложных систем.

Результаты диссертации по р-адическим всплескам использовались и развивались (с соответствующими ссылками на работы автора) в работах других исследователей (в частности, Дж.Дж.Бенедетто, Р.Л.Бенедетто) по анализу на локально компактных абслсвых группах.

Результаты диссертации по р-адической параметризации реплич-ных матриц обсуждались и цитировались (с соответствующими ссылками на работы автора) в работах Дж.Паризи и Н.Сурласа.

Апробация работы

Основные результаты докладывались на научных семинарах МИ-АН, ИХФ РАН, МГУ, МФТИ, Университета Рима (Тор Вергата), Университета Вскшо (Швеция), Семинаре Ю.Весса в Университете Мюнхена, и других, в частности, на конференциях:

Международная Боголюбовская конференции "Проблемы теоретической и математической физики Москва, Дубна, Киев, 1999

Международная конференция памяти И.Г.Петровского, Москва, 2001,

Международная конференция по основаниям квантовой механики, Векшо, Швеция, 2002

Первая международная конференция по р-адической математической физике, МИАН, Москва, 2003

Международная конференция по математическому моделировав нию волновых явлений, Векшо, Швеция, 2005

Вторая международная конференция по р-адической математической физике, Белград, Сербия, 2005

Публикации

Результаты диссертации были опубликованы в работах [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14].

В совместных работах по теории р-адичсских и ультраметрических псевдодифференциальных операторов и всплесков постановка задачи и основной вклад принадлежат автору. В совместных работах по методу реплик автору принадлежат теорема о р-адической параметризации матрицы Паризи, обобщение процедуры нарушения реп-личной симметрии на произвольные ультраметрические пространства, и новые репличные решения. В совместных работах по ультраметрическим методам в межбассейповой кинетике автору принадлежат теорема об эквивалентности простейшей модели межбассейновой кинетики и р-адического уравнения теплопроводности, и формулировка общей модели межбассейновой кинетики в терминах ультраметрического псевдодифференциального уравнения.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из 7 глав (включая введение), и списка литературы. Объём 169 страниц, библиография — 260 наименований.

2 Содержание работы

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию теории р-адических и ультраметрических псевдодифференциальных операторов и всплесков, приложениям к теории неупорядоченных систем, и обсуждению связи между некоммутативным и р-адическим анализом.

Содержание диссертационной работы по главам выглядит следующим образом. Во введении делается краткий обзор литературы и кратко излагаются основные результаты диссертации.

В главе 2 диссертационной работы излагаются результаты по р-адическим всплескам и спектральной теории р-адических псевдодифференциальных операторов (ПДО).

В работе [4] был построен пример ортонормированного базиса из собственных векторов оператора Владимирова, названный базисом

р-адических всплесков. Такой базис состоит из сдвигов и растяжений локально постоянной функции с компактным носителем

#r)=x(p_1*)n(Np)

где х(х) есть комплекснозначный характер р-адического аргумента (аналог осциллирующей экспоненты) и О (\х\Р) есть характеристическая функция диска единичного радиуса с центром в нуле.

При обобщении конструкции базиса всплесков на пространства функций р-адического аргумента невозможно использовать сдвиги на целые числа. Связано это с тем, что в р-адическом случае целые числа не образуют решетку, а образуют плотное множество в единичном шаре, и сдвиги на целые числа не могут быть полны в L2(QP). Тем не менее, базис р-адических всплесков оказалось возможным определить, используя вместо сдвигов на целые числа сдвиги на элементы факторгруппы Qp/Zp поля р-адических чисел по кольцу целых р-адических чисел (точнее, на элементы из соответствующих классов эквивалентности). Была доказана теорема.

Теорема Набор функций {iplnj}:

■ф-tnj(х) = Р~Ыр7_1.7'(х - P_7n))f2(|p7a; - n|p),

7€Z, neQp/Zp, j = l,...,p-l

есть ортонормированный базис в L2(QP) из собственных векторов оператора Владимирова Da:

Здесь группа Qp/Zp параметризована как -1

n=J2njPi> Tij = 0,... ,р 1

3=7

Более того, базис р-адических всплесков обладает замечательными свойствами: этот базис (для р = 2) эквивалентен базису всплес-

ков в L2(R+), порожденному со всплеска Хаара. Эта эквивалентность задается р-адической заменой переменных: непрерывным отображением р р-адических чисел на вещественные числа, сохраняющим меру. Это означает, что теория всплесков (уже в вещественном случае) может рассматриваться как р-адический спектральный анализ (разложение функций по собственным векторам оператора Владимирова р-адического дробного дифференцирования).

Была доказана теорема.

Теорема Отображение р отображает ортоыормнронянный базис всплесков Хаара на L2(R+) на базис р-адических всплесков в L2(Qp) из собственных векторов для оператора Владимирова:

р* : Ф7/>(п^(х) нч- ф-mjix)

В работе [5] был построен широкий класс р-адических интегральных операторов, которые не диагонализуются преобразованием Фурье, но диагональны в базисе р-адических всплесков, и были вычислены соответствующие собственные значения. В отличие от изучавшихся ранее операторов вида

Tf(x) = JТ(\х - y\P)(f(x) - f(y))dn{y) введенные операторы имеют более общий вид

Tf(x) = JT(x,y)(f(x) - /(y))d/z(y)

Т(х, у) = const , если \х—у\р = const для фиксированного х

Была доказана теорема.

Теорема Пусть ядро Т(х,у), удовлетворяющее свойствам Т(х, у) = const, если \х—у\р = const для фиксированного х оператора

ТДх) = /Т(х,у)(Six) - №)dt*(v)

положительно и удовлетворяет условию сходимости всех интегралов вида Л7„ ниже для любых 7, п. Тогда псевдодифференциальный оператор имеет плотную область определения в пространстве Ь2(С~)р) и р-адические всплески ф1П] являются собственными векторами для р-адического псевдодифференциального оператора:

Тф'упз = с собственными значениями

ХТ» = /\п-Р1у\р>1 у)йу + Р^Р'^р-^П + 1))

Это показывает, что в р-адическом (и шире, в ультраметрическом) случае класс псевдодифференциальных операторов значительно шире, чем в вещественном: естественно называть псевдодифференциальными операторы, диагональные в базисе р-адических всплесков.

Кроме того, в работах [6], [7] были изучены псевдодифференциальные операторы с более общими ядрами Т(х,у), которые симмет-ричиы и положительны, и для фиксированных х и у выполнено:

Т(х,у) =Т(х,у + г), для \г\р < \х - у\р

Была изучена спектральная теория таких операторов (применением метода р-адичсских всплесков).

В главе 3 настоящей работы мы обобщаем результаты главы 2 на случай широкого семейства ультраметрических пространств. Мы описываем семейство ультраметрических пространств регулярного типа. Такие пространства в некотором (описанном в главе 3) смысле являются двойственными направленным деревьям (где направление удовлетворяет некоторым свойствам). Направленное дерево есть дерево с направлением на множестве вершин, то есть таким частичным порядком, для которого для любых двух вершин I, J существует единственным образом определенная верхняя грань вир(/, Л), то есть такая минимальная вершина вир (/,7), которая больше или равна I, 3. Тогда для ультраметрического пространства регулярного

типа X соостветствующее ему дерево Т(Х) задаётся через взаимно однозначное соответствие между вершинами дерева и шарами в данном ультраметрическом пространстве. Вложение шаров определяет направление на дереве.

На пространства регулярного типа естественным образом обобщается теория обобщённых функций на поле р-адических чисел.

Пусть V есть положительная борелевская счётно аддитивная мера со счётным базисом. Мы вводим базисы ультраметрических всплесков в пространствах L2(X, и) на ультраметрических пространствах регулярного типа. Рассмотрим конечномерное пространство Vf — пространство локально постоянных функция с нулевым средним с носителем в неминимальном шаре I, постоянных на максимальных подшарах в этом шаре. Ультраметрические всплески xpxj из пространства Vj вводятся как ортонормированный базис в пространстве V¡. Была доказана теорема [8], [9]:

Теорема 1) Пусть мера. v(X) ультраметрического пространства X регулярного типа бесконечна. Тогда набор функций {ifiij}, где I пробегает множество всех неминимальных вершин в дереве Т, есть ортонормированный базис в L2(X, v).

2) Пусть мера v(X) ультраметрического пространства X регулярного типа конечна и равна А. Тогда набор функций {ipij, , где I пробегает множество всех неминимальных вершин в дереве Т, есть ортонормированный базис в L2(X, и).

Мы вводим семейство операторов на пространстве комплексно-значных (квадратично интегрируемых) функций на X формулой

Tf(x) = /T(sup(T,y)){f{x) - f(y))du(y) (1)

где sup (ж, у) есть вершина в дереве Т, соответствующая минимальному шару, содержащему х, у, T(J) есть некоторая функция на дереве, мера V описана выше.

Операторы такого вида мы в дальнейшем будем называть псевдодифференциальными операторами на ультраметрических пространствах регулярного типа.

Мы показываем, что при выполнении условий сходимости (2) ниже оператор вида (1) имеет плотную область определения в Ь2(Х, и), область определения содержит локально постоянные функции с компактным носителем и нулевым средним (по мере и). Кроме этого, спектральная теория оператора (1) связана с базисом ультраметрических всплесков. Имеет место теорема:

Теорема Пусть X есть ультраметрическое пространство регулярного типа, V есть положительная борелевская счётно аддитивная мера со счётным или конечным базисом, Т{1) есть комплекспо-зпачпая функция па дереве Т(Х). Пусть следующий ряд сходится абсолютно:

(2)

■7>Я

Тогда оператор

ТДх) = ¡хТ(впф,у))У{х) -Пу№(у)

имеет плотную область определения в Ь2(Х, и) и диагонален в базисе ультраметрических всплесков:

Т-фц(х) = А 1ф1](х)

с собственными значениями вида:

А/ = Т{1)у{1) + £ Т(7)М1) - 1/(7 - 1, /))

Оператор Т самосопряжен, если функция Т(1) вещественпозначна, и положителен, если эта функция неотрицательна.

Здесь (.1 — 1,1) есть максимальная вершина, меньшая 3 и большая I (то есть (7—1,1) есть максимальный подшар в 3, содержащий шар I).

Также оператор Т уничтожает константы.

Суммирование в формуле для среднего значения ведётся по возрастающему пути в дереве Т, начинающемуся с вершины I.

Таким образом, можно говорить о достаточно простой и удобной теории псевдодифференциальных операторов на ультраметрических пространствах достаточно общего вида.

Такая теория ультраметрических псевдодиффереициальных операторов применяется в главе 3 для введения гауссовского случайного поля на ультраметрическом пространстве регулярного типа, как решения пссвдодифференциального стохастического уравнения

Тф{х) = ф(х) (3)

где ф(х) есть белый шум на ультраметрическом пространстве, Т есть ультраметрический псевдодифференциальный оператор.

Для такого случайного поля вводится понятие ультраметрической марковости, как набора условий независимости для случайного поля на ультраметрическом пространстве. В то время как стандартное понятие марковости связано с линейным порядком на вещественных (либо целых) числах, понятие ультраметрической марковости связано с направлением на дереве Т{Х) шаров в ультраметрическом пространстве X. Мы показываем, что ультраметрическое случайное поле, определяемое стохастическим уравнением (3), является уль-траметрически марковским.

В главе 4 мы излагаем результаты о р-адической параметризации матрицы Паризи, а также вводим новый класс репличных блочных матриц, связанных с действием ультраметрических ПДО из главы 3 в конечномерных пространствах основных функций на ультраметрическом пространстве. Таким образом, естественной областью применения для ультраметрических псевдодифференциальных операторов является теория неупорядоченных систем.

В работе [1] и работе Паризи и Сурласа независимо было показано, что для блочной матрицы Паризи, применяемой для описания нарушения репличной симметрии в теории спиновых стекол, после соответствующей перенумеровки индексов матричный элемент будет зависеть только от р-адической нормы разности индексов.

Теорема Для матрицы Паризи, для которой размеры блоков равны степеням р, существует перенумеровка строк и столбцов (р-адическая параметризация, которая строится явным образом и зависит только от размеров блоков), после которой матричный элемент принимает вид

Яч = 9(1» - Лр) .

где д(х) есть некоторая функция.

В главе 4 вводится новый класс репличных матриц, и строятся соответствующие репличные решения. По сравнению с матрицами Паризи, вводимое семейство репличных матриц имеет существенно более общий вид

Ягз = д(зир(г,^))л/1^7 (4)

где д{1) есть некоторая функция на направленном дереве, г, з пробегают некоторое множество вершин в дереве (множество минимальных вершин в поддереве регулярного типа), есть некоторые положительные числа (меры соответствующих ультраметрических дисков).

Далее, в главе 4 мы развиваем технику вычислений, небходимую для манипуляций с введенными репличными матрицами, используем эту технику для проведения важных для метода реплик расчетов в нашем более общем репличном анзаце, и вводим приспособленный для наших целей вариант анализа на деревьях. Такой вариант анализа на деревьях содержит древесные производные и интегралы, а также древесный аналог правила Ньютона-Лейбница, который оказывается одним из наиболее существенных методов вычисления в вводимом обобщении нарушения репличной симметрии. Чтобы составить представление о введенном анализе на деревьях, можно упомянуть теорему об изоморфизме между пространством констант древесного дифференцирования, то есть решений уравнения

ДР(7) = О, V/

где А есть древесная производная, и пространством обобщенных функций на абсолюте дерева (с выколотой бесконечной точкой).

В главе 5 мы продожаем разработку нового анзаца нарушения репличной симметрии. Эта глава посвящена исследованию двух вопросов.

Во первых, мы формулируем процедуру предела п —> 0, пригодную для произвольного ультраметрического пространства из рассматриваемого нами семейства. Мы показываем, что для рассматриваемого семейства репличных матриц существует как минимум

два подсемейства, для которых существует предел п —► 0. Одно из этих подсемейств является обобщением семейства, рассмотренного Паризи. Матрицы из этого семейства определяются по формуле (4), где

д(7) = *>(/))

где и(1) есть мера диска в ультраметрическом пространстве, отвечающего вершине /, и F есть некоторая функция вещественного аргумента. Функционалы метода реплик в пределе п —► 0 для матрицы из такого подсемейства выражаются интегралами по отрезку [0,1] вида

где /1и{х) есть некоторая мера на отрезке [0,1].

Другое подсемейство является новым, и матрицы из него задаются (4) с д(7), удовлетворяющим уравнению

д(М/М/)) = о, V/

Функционалы метода реплик в пределе п —* 0 для матрицы из такого подсемейства выражаются пределами нормированных интегралов по ультраметрическому пространству от некоторой обобщенной функции:

- Кт д(К) = - Шп /А. фГ1Ши(х)

где обобщенная функция фд задается функцией на дереве д(1) по формуле

£фч(х)<1ц(х) = /л(/)д(/)

Здесь ¡л есть однородная мера (введённая в главе 3) на ультраметрическом пространстве X. Таким образом, репличный анализ для различных семейств репличных матриц может принимать форму как вещественного, так и ультраметрического анализа.

Кроме этого, в главе 5 мы выводим уравнение нарушения реплич-ной симметрии, получающееся варьированием свободной энергии по параметрам рассматриваемого репличного анзаца (поскольку реп-личное решение должно минимизировать свободную энергию). Мы

получаем некоторые репличные решения и обсуждаем возможность их обобщения. Основным техническим методом расчетов главы 5 является введенный в предыдущей главе анализ на деревьях.

Глава б настоящей работы посвящена связи некоммутативного и р-адического анализа. А именно, исследуется представление свободных (или квантовых больцмановских) операторов рождения и уничтожения в квантовом больцмановском фоковском пространстве. Такие операторы удовлетворяют соотношениям

и мы рассматриваем случай, когда г,] = 0,р — 1.

Мы исследуем пространство X' свободных когерентных состояний Ф, являющихся обобщенными собственными векторами суммы операторов уничтожения:

ЛФ = АФ, Л = ЕА

«=о

Такие обобщенные собственные вектора имеют вид рядов в квантовом больцмановском фоковском пространстве

Ф = ЕА|/1Ф/Л}Г2.

I

Здесь Г2 есть вакуумный вектор в фоковском пространство, мульти-индекс есть I = го... 1, ^ е {0,... ,р — 1} и

А\ = ... А|0

Суммирование пробегает по всем последовательностям I конечной длины (обозначаемой |/|). Коэффициенты Ф/ суть комплексные числа, удовлетворяющие

р-1 Ф/ = Е

«=о

В пространстве X' мы рассматриваем линейное подпространство X, порождённое векторами Хх вида

оо /1 р-1 ОО /р-1

= Е ^ р Е 4 + Е А-' Е лЛ А

к=о »=о / г=1 \г=о /

Определим перенормированное спаривание пространств X и X' следующим образом:

Здесь Ф <Е X', Ф € X.

Мы показываем, что пространство свободных когерентных состояний сильно вырождено (даже при фиксированном А), и естественным образом изоморфно пространству обобщенных функций на р-адическом диске. При этом изоморфизме спаривание между основными и обобщенными функциями возникает как регуляризация скалярного произведения в квантовом больцмановском фоковском пространстве, суженного на свободные когерентные состояния. Доказывается следующая теорема [14], [12], [13].

Теорема Отображение ф, определенное как

ф: Хг^рЩф-1);

расширяется до изоморфизма ф оснащенных гильбертовых пространств:

X Т X'

1Ф 1Ф I ф'

п(гр) -А щгр)

между оснащенным гильбертовым пространством свободных когерентных состояний (с перенормированным спариванием) и оснащенным гильбертовым пространством обобщенных функций нар-адичсском диске.

Здесь вщ (а; — I) есть характеристическая функция р-адического шара диаметра р-^ с центром в точке I = УР*, соответствующей мультииндексу I = г о...

Т есть пополнение X по норме перенормированного спаривания, г, г', — соответствующие естественные вложения.

В главе 7 настоящей работы мы показываем, что модели межбассейновой кинетики, применявшиеся для приближённого описания

динамики сложных макромолекул, эквивалентны моделям ультраметрической диффузии, где генератор диффузии есть ультраметрический псевдодифференциальный оператор. В простейшем случае модель межбассейновой кинетики принимает вид р-адического уравнения теплопроводности

где время вещественное, а координата х, описывающая пространство состояний макромолекулы — р-адическая, есть оператор Владимирова по х.

3 Основные результаты работы

• Построена теория р-адических всплесков (вейвлетов). Введён базис р-адических всплесков. Доказано существование отображения поля р-адических чисел на вещественную полупрямую, переводящее базис р-адических всплесков в базис известных вещественных всплесков Хаара. В базисе р-адических всплесков вычислен спектр р-адических псевдодифференциальных операторов, в частности, оператора Владимирова.

Введён новый широкий класс р-адических псевдодифференциальных операторов, недиагонализуемых преобразованием Фурье, но диагональных в базисе р-адических всплесков, и рассчитан их спектр.

• Разработана теория псевдодифференциальных операторов на ультраметрических пространствах. Построено семейство базисов ультраметрических всплесков в пространствах квадратично интегрируемых функций для широкого класса ультраметрических пространств. Построена спектральная теория для псевдо-дифферепциальных операторов, действующих на комплексно-значные функции на этих ультраметрических пространствах.

• Развиты новые методы в теории нарушения репличной симметрии.

Показано, что для матрицы Паризи, применяемой для описания нарушения репличной симметрии в теории спиновых стекол, после соответствующей перенумеровки индексов матричный элемент будет зависеть только от р-адической нормы разности индексов, и, следовательно, матрица Паризи диагонали-зуется р-адическим преобразованием Фурье.

Построено обобщение анзаца Паризи в методе реплик, использующее теорию псевдодифференциальных операторов на общих ультраметрических пространствах. Найдено бесконечное семейство новых репличных решений.

• Показано, что приближение межбассейновой кинетики в дина, мике макромолекул (например, белков) эквивалентно динамике на ультраметрическом пространстве, описываемой ультраметрическим псевдодифференциальным уравнением. Предложен конкретный вид такого уравнения.

• Исследовано оснащенное гильбертово пространство свободных когерентных состояний. Доказано, что это оснащенное гильбертово пространство изоморфно пространству обобщённых функций на р-адическом диске.

Список литературы

[1] V.A.Avetisov, A.H.Bikulov, S.V.Kozyrev, Application of p-adic analysis to models of spontaneous breaking of replica symmetry // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. V.32. N 50. P.8785-8791.

[2] V.A.Avetisov, A.H.Bikulov, S.V.Kozyrev, V.A.Osipov, p-Adic Models of Ultrametric Diffusion Constrained by Hierarchical Energy Landscapes // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. V.35. N 2. P.177-189.

[3] А.Ю.Хренников, С.В.Козырев, р-Адические псевдодифференциальные операторы и аналитическое продолжение репличных матриц // Теор.и мат. Физика. 2005. Т.144. N 2. С.336-342.

[4] С.В.Козырев, Анализ всплесков как р-адический спектральный анализ // Известия РАН Серия Мат. 2002. Т.66. N2. С.149-158.

[5] С.В.Козырев, р-Адичсскис псевдодифференциальные операторы и р-адические всплески // Теор. и мат. физика.2004.Т.138, №З.С.383-394.

[6] С.В.Козырев, р-Адические псевдодифференциальные операторы: методы и приложения. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, Т.245. 2004. С. 154-165.

[7] S.V. Когугеу, V.A1. Osipov, V.A. Avetisov, Nondegenerate ultrametric diffusion // J. Math. Phys. 2005. V.46. P.063302-063317.

[8] С.В.Козырев, А.Ю.Хренников, Пссвдодифференциальные операторы на ультраметрических пространствах и ультраметрические всплески // Известия РАН, серия Мат. 2005. Т.69. No 5, С.135-150.

[9] A.Yu.Khrennikov, S.V.Kozyrev, Wavelets on ultrametric spaces// Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005. V.19. P. 6176.

[10] A.Yu.Khrennikov, S.V.Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space I: replica matrices and functionals // Physica A. 2006. V.359. P.222-240.

[11] A.Yu.Khrennikov, S.V.Kozyrev, Replica symmetry breaking related to a general ultrametric space II: RSB solutions and the n —» 0 limit // Physica A. 2006. V.359. P.241-266.

[12] С.В.Козырев, Ультраметрическое пространство свободных когерентных состояний // Теоретическая и Математическая Физика. 1997. Т. 110. N2. С.334-336.

[13] S.V.Kozyrev, The space of free coherent states is isomorphic to space of distributions on p-adic numbers // Infinite Dimensional Analysis and Quantum Probability. 1998. V.l. N.2. P.349-355.

[14] С.В.Козырев, Оснащенное гильбертово пространство свободных когерентных состояний и р-адические числа // Теоретическая и Математическая Физика. 2003. Т. 135. N2. С.642-650.

[15] A.Yu.Khrennikov, S.V.Kozyrev, Noncommutative probability in classical disordered systems // Physica A. 2003. V.326. N.3-4. P.456-463.

[16] A.Yu.Khrennikov, S.V.Kozyrev, Contextual Quantization and the Principle of Complementarity of Probabilities // Open Systems and Information Dynamics. 2005. V.12. N.3. P.303-318.

1 Введение 4 1.1 Библиографический обзор.

2 р-Адические ПДО и всплески

2.1 Введение.

2.2 р-Адические всплески.

2.3 Связь со всплесками на вещественной прямой.

2.4 р-Адические ПДО: снятие вырождения.

2.5 р-Адические ПДО: дальнейшее снятие вырождения.

3 Ультраметрические ПДО и всплески

3.1 Введение.

3.2 Направленное дерево Т{Х) шаров.

3.3 Направленные деревья и ультраметрика.

3.4 Пополнение направленных деревьев.

3.5 Связь со стандартным определением абсолюта.

3.6 Ультраметрические всплески.

3.7 Связь со всплесками на вещественной прямой.

3.8 Ультраметрические ПДО.

3.9 Аналог оператора Владимирова.

3.10 Обобщенные функции на ультраметрическом пространстве

3.11 Ультраметрическое случайное поле.

4.2 Параметризация матриц Паризи.88

4.3 Новое семейство репличных матриц.90

4.4 Ультраметрические ПДО и репличные матрицы.92

4.5 Анализ на деревьях.94

4.6 Связь с д-анализом.97

4.7 Вычисления с репличными матрицами.98

4.8 Сравнение с анзацем Паризи.103

5 Решения с нарушенной репличной симметрией и предел п 0106

5.1 Введение.106

5.2 Предел п -> 0: определение.107

5.3 Предел п 0: расчёты.109

5.4 Уравнение нарушения репличной симметрии .112

5.5 Постоянное репличное решение.115

5.6 Следствия из уравнения нарушения репличной симметрии . 116

5.7 Решение с нарушенной репличной симметрией .120

6 Связь некоммутативного и р-адического анализа 122

6.1 Введение.122

6.2 Свободные когерентные состояния.123

6.3 Связь с р-адическими числами .126

6.4 Оснащенное гильбертово пространство СКС.130

6.5 р-Адическое представление алгебры Кунца.133

6.6 р-Адическое представление как ГНС-представление.135

6.7 Представление алгебры Кунца в пространстве СКС .136

7 Межбассейновая кинетика и ультраметрическая диффузия 138

7.1 Введение. 138

7.2 Межбассейновая кинетика как ультраметрическая диффузия . . . 140

7.3 Ландшафт и дерево бассейнов.142

7.4 Случайное блуждание на ландшафте и межбассейновая кинетика.144

7.5 р-Адические модели межбассейновой кинетики.147

1. В.A.Aeemucoe, A.X.Бикулов, В.А.Осипов р-Адические модели ультраметрической диффузии в конформационной динамике макромолекул. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, том 245, 2004. с.55-65.

2. JI. Аккарди , И.В. Воловин , C.B. Козырев Стохастическое приближение в модели взаимодействия частицы с квантовым полем и новая алгебра // Теор. и матем. физика. 1998. Т.116. N.3. С.401.

3. С.Альбеверио, А.Ю.Хренников, В.М.Шелковин Ассоциативные алгебры р-адических распределений. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, том 245, 2004. с.29-40.

4. И.Я.Арефьева Скатывающиеся решения полевых уравнений на неэкстремальных бранах и в р-адических струнах. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, том 245, 2004. с.47-54.

5. А.Х.Бикулов Исследования р-адической функции Грина // ТМФ. 1991. Т.87. С.376-390.

6. А.Х.Бикулов, И.В.Воловин р-Адическое броуновское движение // Изв. Российской академии наук. Серия матем. 1997. Т.61. No.3. С. 75.; A.Kh.Bikulov, I. V. Volovich p-Adic Brownian motion // Russ.Math.Izv. 1997. V.61. N.3. P.537-552.

7. З.И.Боревин, И.Р.Шафаревин Теория чисел. Москва: Наука, 1985.

8. А.Вейлъ Основы теории чисел. Москва: Мир, 1972.

9. И.М.Виноградов Основы теории чисел. Москва: Наука, 1972.

10. В.С.Владимиров Обобщенные функции в математической физике. Москва: Наука, 1976.

11. В.С.Владимиров, И.В.Воловинр-Адическая квантовая механика // Доклады АН. 1988. Т.302. С.320-322.

12. В.С.Владимиров Обобщённые функции над полем р-адических чисел // УМН. 1989. Т.43. С.17-53.

13. В.С.Владимиров О спектрах некоторых псевдодифференциальных операторов над полем р-адических чисел // Алгебра и анализ. 1990. Т.2. N.6. С. 107—124.

14. В.С.Владимиров, И.В.Воловин, Е.И.Зеленое Спектральная теория в р-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН серия мат. 1990. Т.54. С.275-302.

15. В.С.Владимиров, И.В.Воловин Применение р-адических чисел в математической физике // Труды МИАН. 1991. Т.200. С.88-99.

16. В.С.Владимиров Адельные формулы Фройнда-Виттена для амплитуд Ве-нециано и Вирасоро-Шапиро // УМН. 1993. Т.48. №6. С.3-38.

17. В.С.Владимиров , И.В.Воловин, Е.И.Зеленое р-Адический анализ и математическая физика. Москва: Наука, 1994; V.S.Vladimirov, I.V.Volovich, Ye.I.Zelenov p-Adic Analysis and Mathematical Physics. Singapore: World Scientific, 1994.

18. В.С.Владимиров Адельные формулы для гамма и бета функций в полях алгебраических чисел // Доклады РАН. 1996. Т.347. №1. С.11-15.

19. В.С.Владимиров Адельные формулы для гамма и бета функций пополнений полей алгебраических чисел и их применения к струнным амплитудам // Изв РАН. серия мат. 1996. Т.60. №1. С.63-86.

20. В.С.Владимиров Разветвлённые характеры групп иделей одноклассных квадратичных полей // Труды МИАН. 1999. том 224. С.107-114.

21. В.С.Владимиров Адельные формулы для гамма и бета функций одноклассных квадратичных полей. Применения к 4-частичным струнным амплитудам // Труды МИАН. 2000. Т.228. С.76-79.

22. В.С.Владимиров Бета функции локальных полей характеристики нуль. Применения к струнным амплитудам // Изв РАН. серия мат. 2002. Т.66. №1. С.43-58.

23. В.С.Владимиров Адельные формулы для 4-частичных древесных струнных и суперструнных амплитуд. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, том 245, 2004. с.9-28.

24. И.В.Волович р-Адическое пространство-время и теория струн // ТМФ. 1987. Т.71. С.337-340.

25. И.В.Волович, М.Н.Хохлова О теории моделирования и гиперграфе классов, В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, том 245, 2004. с.281-287.

26. Я.И.Воловин Свойства уравнений динамики в р-адической и полевой струнных моделях. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, том 245, 2004. с.296-303.

27. И.М.Гелъфанд, М.И.Граев, И.И.Пятецкий-Шапиро Теория представлений и автоморфные функции. Обобщенные функции, вып. 6. Москва: Наука, 1966.

28. И.М.Гелъфанд, Н.Я.Виленкин Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертова пространства, вып. 4. Москва: Наука, 1961.

29. И.И.Гихман, A.B. Скороход Теория случайных процессов. Т. 1-3. Москва: Наука, 1971-1973.

30. Б.И.Голубое, А.В.Ефимов, В.А.Скворцов Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. Москва: Наука, 1987.

31. Б.И.Голубое О модифицированном сильном двоичном интеграле и производной // Мат. Сборник. 2002. Т.193. N.4. С. 37-60.

32. Б.И.Голубое Модифицированный сильный двоичный интеграл и производная дробного порядка // Функ. анализ и его приложения. 2005. Т.39. N.2. С.64-70.

33. А.Ю.Гросберг, А.Р.Хохлов Статистическая физика макромолекул. М.: Наука, 1989.

34. А.Ю. Гросберг Неупорядоченные полимеры // УФН. 1997. Т.167. №2. С.129-166.

35. Ю.Л.Далецкий, С.В. Фомин Меры и дифференциальные уравнения на бесконечномерных пространствах, Москва, Наука, 1983; Ум. L. Dalecky and S. V. Fomin Measures and diiferential equations in infinite dimensional spaces. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1991.

36. Г. С.Дэюорджевич, Б.Драгович р-Адический и адельный гармонические осцилляторы с зависящей от времени частотой. // ТМФ. 2000. Т.124. №2. С.239-248.

37. И. Добеши Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001; Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, CBMS Lecture Notes Series. SIAM, Philadelphia, 1991.

38. В.С.Доценко Физика спин-стеколыюго состояния // УФН. 1993. Т.163. N.6.

39. Л.В.Жуковская Сохранение энергии для уравнений р-адической струны и уравнений струнной теории поля. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова, том 245, 2004. с.107-113.

40. Е.И.Зеленое р-Адическая квантовая механика при р = 2 // ТМФ. 1989. Т.80. С.253-264.

41. Е.И.Зеленое р-Адическая квантовая механика и когерентные состояния 1. Системы Вейля. // ТМФ. 1991. Т.86. С.210-220.

42. Е.И.Зеленое р-Адическая квантовая механика и когерентные состояния 2. Собственные функции осциллятора // ТМФ. 1991. Т.86. С.375-384.

43. Н.Коблиц р-Адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. Москва: Мир, 1982.

44. С.В. Козырев. Точная вычислимость, полугруппа представлений и свойство стабильности для представлений алгебры функций на квантовой группе SUg{2) // Теор. и матем. физика. 1994. V.101. N.2. С.163.

45. С.В. Козырев Изоморфизм стабильного и регулярного представлений алгебры функций на SUq{2) // Доклады РАН. 1995. Т.343. N.4.

46. С.Б.Козырев Ультраметрическое пространство свободных когерентных состояний // Теоретическая и Математическая Физика. 1997. Т.110. N2. С.334, http://xxx.lanl.gov/abs/q-alg/9701015

47. С.В.Козырев Анализ всплесков как р-адический спектральный анализ // Известия РАН Серия Мат. 2002. Т.бб. N.2. С. 149 -158, http://xxx.lanl.gov/abs/math-ph/0012019

48. С.В.Козырев Оснащенное гильбертово пространство свободных когерентных состояний и р-адические числа // Теоретическая и Математическая Физика. 2003. Т.135. N2. С.642-650, http://arxiv.org/abs/math-ph/0205009

49. С.В.Козырев p-Адические псевдодифференциальные операторы: методы и приложения. В: Труды МИАН им. В.А.Стеклова. 2004. Т.245. С.154-165.

50. С.В.Козырев, А.Ю.Хренников Псевдодифференциальные операторы на ультраметрических пространствах и ультраметрические всплески // Известия РАН, серия Мат. 2005. Т.69. No 5, С.135-150; http://arxiv.org/abs/math-ph/0412062

51. С.В.Козырев, А.Ю.Хренников р-Адические псевдодифференциальные операторы и аналитическое продолжение репличных матриц // Теор.и мат. Физика. 2005. Т.144. N.2.

52. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, Наука, 1989.

53. А.Н.Кочубей Параболические уравнения над полем р-адических чисел // Известия Академии Наук Серия Мат. 1991. Т.55. N6. С.1312-1330; A.N.Kochubei Math.USSR Izv. 1992. V.39. Р.1263-1280.

54. А.Н.Кочубей Операторы типа Шрёдингера над полем р-адических чисел // ТМФ. 1991. Т.86. С.323-333.

55. А.Н.Кочубей О р-адических функциях Грина // ТМФ. 1993. Т.96. N1. С.123-138.58