Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах

Шамаров, Николай Николаевич

Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Шамаров, Николай Николаевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах»

Автореферат диссертации на тему "Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Шамаров Николай Николаевич

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПОЛУГРУПП ИНТЕГРАЛАМИ ПО ТРАЕКТОРИЯМ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ И р-АДИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Механико-математический факультет

11 5 СЕН 2011

Москва 2011

4852920

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Шавгулидзе Евгений Тенгизович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Богачев Владимир Игоревич; доктор физико-математических наук Орлов Юрий Николаевич; доктор физико-математических наук, профессор Сухинин Михаил Федорович.

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится "30" сентября 2011г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Россия, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан " 29 " августа 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук профессор

В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тема диссертации относится к бесконечномерному анализу над локально компактными пополнениями поля рациональных чисел.

Бесконечномерный анализ использует дифференцируемые и обобщенные функции и меры на бесконечномерных вещественных пространствах для постановки и решения как собственно бесконечномерных, так и конечномерных задач. Первым примером применения бесконечномерного интегрирования к конечномерным задачам стало представление решений стандартного трехмерного уравнения Шредингера фейнмановским интегралом (идея была высказана Фейнманом в 1948 г. на "физическом уровне строгости", математически реализована в простейшем случае Нельсоном в 1964 г.).

Именно фейнмановский формализм функционального интегрирования, обобщенный на случай функциональных суперпространств, позволил Глэшоу, Саламу и Вайнбергу в конце 60-х гг. построить единую квантовую теорию электромагнитного и слабого ядерного взаимодействий (им за это присуждена Нобелевская премия в 1979 г.). На сегодня этот формализм является общим фундаментом как для Стандартной модели электрослабого и сильного ядерного взаимодействий, так и теории суперструн (и супербран).

Хотя самые первые работы по бесконечномерному анализу (принадлежащие, в частности, Адамару1, Фреше2, Вольтерре3, Гато4) появились в начала XX века, фактически бесконечномерный анализ в том виде, как он понимается сегодня, сформировался в значительной мере в работах советских математиков, начиная с пионерских работ А.Н. Колмогорова 5, C.B. Фомина6 и их последователей, причем нужно отметить, в частности, что определяющий вклад в это формирование внесен классическими результатами О.Г. Смоля-

1J. Hadamard: Sur les operations fonctionnelles// C.R. Acad. Sei. Paris, 136 (1903), 351-354. гМ. Frechet: Sur les operations lineaires // Trans. Amer. Math. Soc., 5:4 (1904), 493-499 3V. Volterra: Lections sur les fonctions de lignes// Paris: Gauthier-Villars. 1910.

4R. Gateaux : 'Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques // Comptes rendus de l'academie des sciences (Paris) 157 (1913), 325-327

bA.N. Kolmogorov. La transformation de Laplace dans les espaces linéaires. // C.R. Acad. Sei. Paris , 200 (1935) pp. 1717-1718

'C.B. Фомин: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79.

нова и его учеников: В.И. Богачева, A.B. Угланова и Е.Т. Шавгулидзе.

О важности создания нелинейной теории случайных процессов — этой важнейшей области развития бесконечномерных идей — А.Н. Колмогоров говорил, в частности, в самом последнем из своих выступлений на заседании Московского математического общества. Примерно в то же время на одном из заседаний совета по присуждению ученых степеней он отдельно отметил актуальность бесконечномерного анализа.

С.В.Фомин первый высказал идею о том, что пространства обобщенных функций бесконечномерного аргумента (то есть пополнения пространств обычных функций этого аргумента, обладающих хорошими аналитическими свойствами, относительно некоторой локально выпуклой сходимости, более слабой, чем локально равномерная) естественным образом сопряжены не пространствам бесконечно дифференцируемых функций, но пространствам бесконечно дифференцируемых мер, причем последние пространства не обладают никакими естественными изоморфизмами на пространства функций (в силу отсутствия меры Хаара). При этом двойственным к пространству достаточно хороших функций является пространство именно обобщенных мер, а не функций. При этом естественный аналог интеграла Фурье переводит пространство мер в пространство функций. C.B. Фомину же принадлежит первое (и наиболее прямое — в терминах значений самой меры) определение производной меры по направлению.

Спустя примерно 30 лет после процитированного высказывания Колмогорова, на рубеже веков, подводя итоги развития математики в XX веке (начало которого, как уже говорилось, отмечено первыми работами по бесконечномерному анализу), о важности развития бесконечномерного анализа ярко высказался известный британский математик М.Ф.Атья7. В лекции, прочитанной в Филдсовском институте г. Торонто на Мировом математическом симпозиуме 2000 года, говоря о перспективах математики в начавшемся XXI-м веке он

тявляющийся также иностранным членом РАН

сказал8 (цитата из опубликованного перевода9 на русский язык):

XXI-й век может стать эпохой квантовой математики, или, если угодно, бесконечномерной математики. Что бы это могло означать? Квантовая математика означает, в широком смысле, "подлинное понимание анализа, геометрии, топологии, алгебры в различных нелинейных функциональных пространствах", ...

При этом в качестве тех открытых в XX веке перспективных областей, от которых следует ожидать развития в веке XXI-м, он выделил, в частности, анализ над локальными (по Вейлю) полями. Важными частными случаями последних являются нетривиальные нормированные пополнения поля рациональных чисел (относительно различных нормирований). Кроме того, он отметил важность (для приложений в математической и теоретической физике, особенно в теории калибровочных полей и струн) распространения преобразования Фурье на случай нелинейных бесконечномерных областей определения преобразуемых функций. Наконец, он отметил и важность исследований, связанных с некоммутативным анализом - и особо отметил, что определенно ожидает результатов в первом десятилении века.

После этих уточнений уместно вернуться к продолжению цитаты: ... а "подлинное понимание" для меня означает, что найдены вполне строгие доказательства всех тех замечательных фактов, о которых размышляли физики.

К проводимой М.Ф.Атьей аналогии между квантовой и бесконечномерной математикой стоит ещё добавить, что все современные учебники по квантовой теории поля, статистической механике и теории струн используют континуальный интеграл как основной элемент формализма.

2002, Vol.34, No 1, p. 1-15.

вАтъя M.: Математика в двадцатом веке// Матем. проев., серия 3, 2003, выпуск 7, с. 8- 1А.

мерный гармонический анализ) и как сформировавшийся аппарат современных физических теорий; анализ над различными локально компактными полями и некоммутативный анализ.

Результаты настоящей диссертации относятся ко всем этим актуальным направлениям, о которых говорили как Колмогоров при их рождении (закладывая основы значительной части их) в XX веке, так и Атья в самом конце XX века, и которые на сегодня, с одной стороны, обрели признаки классических, а с другой стороны — набрав темп развития, пока ещё весьма далеки от завершения. Она представляет собой исследование операторных полугрупп, порожденных конечномерными (над локально компактными полями) псевдодифференциальными операторами (ПДО), методами бесконечномерного анализа, включающими как преобразования Фурье функций и мер, заданных на конечномерных и бесконечномерных пространствах над различными локальными полями, так и строгое доказательство формул, содержащих фун-циональные интегралы, аналогичных классическим формулам с интегралами Фейнмана для решений уравнений Шредингера. Упомянутые полугруппы естественным образом возникают как разрешающие для эволюционных уравнений, в которых правые части содержат псевдодифференциальные генераторы этих полугрупп. Таким образом, результаты о представлениях операторов этих полугрупп приводят к результатам о свойствах решений соответствующих эволюционных уравнений, в частности — к представлениям этих решений.

размеров исследуемых объектов, находящихся между типичными порядка' ми размеров макрофизики и объектов микрофизики (атомной). Важнейшим ингредиентом р-адических моделей процессов с белковыми молекулами является уравнение, аналогичное уравнению теплопроводности и понимаемое как кинетическое. В этом уравнении искомая вещественно-значная функция зависит как от вещественного, так и от р-адического аргумента, а роль оператора Лапласа играет ПДО Владимирова подходящего порядка. Потенцированию ПДО, включающх — в качестве слагаемых — ПДО Владимирова с отрицательными и с чисто мнимыми коэффициентами, посвящены две главы работы, 2-я и 3-я (с учетом использования в них общих конструкций, развитых в 1-й главе, — первые 3 главы из 4-х). 4-я глава посвящена исследованию аналогичными методами, развитыми автором, ПДО с некоммутирующими (матричными) коэффициентами, входящих в правую часть записанного в эволюционной форме классического уравнения Дирака для электрона и позитрона в пространственно неоднородном потенциале.

Цель работы — развитие метода функционального интегрирования для изучения эволюционных операторных полугрупп.

Основная задача работы. Исследование операторных полугрупп, генерируемых дифференциальными и псевдидифференциальными операторами в классах функций, определенных на векторных пространствах над полями вещественных или р-адических чисел и принимающих комплексные числовые или матричные значения.

При этом аргументы функций могут пробегать как соответствующее одномерное пространство — тогда получаются применения бесконечномерных структур для получения новой информации о прикладных конечномерных задачах, — так и бесконечномерное пространство, в случае которого сама постановка задачи использует структуры бесконечномерного анализа.

в пространствах траекторий, инвариантного относительно выбора основного поля пространств значений траекторий и их размерности, для случая неком-мутирующих (матричных) значений мер.

Основные методы. Главный метод работы — использование бесконечномерного интегрирования в широком смысле. При этом интегрирование производится как по вероятностным функциональным распределениям, аналогичным мерам Винера, так и по матрично-значным обобщениям мер Маслова-Пуассона, а также по более общим распределениям, не являющимися счетно аддитивными, примерами которых являются меры типа Фейнмана. Для определения функциональных интегралов используются как аппроксимации их классическими конечномерными интегралами в смысле Лебега, так и бесконечномерные преобразования Фурье. Конечнократные аппроксимации функциональных интегралов основаны на продакт-формуле Чернова для операторных полугрупп. Для построения таких функциональных интегралов, в которых значения подынтегральной функции не обязаны коммутировать со значениями меры интегрирования, используется разработанный автором новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В работе впервые систематически развита теория интегрирования по линейным функциональным пространствам, во многом инвариантная относительно выбора локально компактного нормированного числового поля этих пространств. Для таких функциональных пространств построен новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями, позволяющий интегрировать опера-торнозначные функции по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать). Полученные на этой базе основные новые результаты диссертации состоят в следующем.

• Получены представления решений уравнений типа теплопроводности с р-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в конфигурационном, импульсном и фазовом пространствах;

• получены представления решений уравнений типа Шредингера с р-ади-ческим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в конфигурационном и импульсном пространствах;

• получены представления решений классического 4-мерного уравнения Дирака для релятивистского электрона в неоднородном поле электромагнитного потенциала с помощью интегралов по траекториям в импульсном пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер.

Полученные в ней результаты, в частности, являются основой математической теории (хронологического) функционального интегрирования опера-торнозначных функций по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать).

Такие интегралы позволяют строить аналитические выражения, выражающие общие решения псевдодифференциальных уравнений с операгорнознач-ными символами (например, со значениями в супералгебрах), включая оригинальное 4-мерное уравнение Дирака для электрона и позитрона в пространственно-неоднородном электромагнитном поле.

Таким образом, результаты и новые методы диссертации могут быть полезны для математической физики; в частности, с помощью новых хронологических интегралов можно строить общие решения классических уравнений типа Дирака на математическом уровне строгости, что ранее было невозможно; особое значение полученные результаты имеют для суперанализа.

Результаты диссертации служат основой для новых специальных курсов, читаемых на механико-математическом факультете МГУ.

Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в 18 статьях автора (их список приведен в конце автореферата), 14 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались, в том числе: — на научно-исследовательских семинарах:

• "Бесконечномерный анализ и его приложения" механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители: проф. О.Г. Смо-лянов, проф. Е.Т. Шавгулидзе, 1997-2010;

• "Семинар по многомерному комплексному анализу" механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители: проф. В.К. Белошапка,чл.-корр. РАН С.Ю. Немировский, проф. А.Г. Сергеев, чл.- корр. РАН Е.М.Чирка, 2010;

• Семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики" механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители проф. Д.В. Георгиевский, д.ф.-м.н. М.В. Шамолин, проф. С.А. Агафонов, 20052010;

• "Открытый семинар по теоретической физике" Московский Государственный Открытый Университет, факультет прикладной математики, кафедра физики,руководитель проф. Т.Ф.Камалов, 2007-2010;

• "Семинар Отдела математической физики" МИАН им. В.А. Стеклова, руководители акад. В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В. Волович, 19972010;

. Семинар лаборатории Теории нелинейны* физико-математических процессов Института химической физики РАН, руководитель член-корр. РАН В.А. Аветисов, 1997-2010;

— на научных конференциях:

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2004;

• Третья международная конференция по р-адической математической физике: от физики планковских масштабов до сложных систем и биологии "p-ADIC MATHPHYS.2Q07" Москва, 2007;

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2007;

• 3rd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, Vaxjo, Sweden, 2008;

• 1-я Международная Самарская конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2008;

• Международная конференция "Stochastic Analysis and Random Dynamical Systems", Львов, Украина, 2009;

• Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, 2009;

• Российская Школа-конференция "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании", Москва, РУДН, 2009;

• Международная научно-техническая конференция "Нанотехнологии и на-номатериалы", Москва, МГОУ, 2009;

• 2-я Международная Самарская конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2010.

Структура диссертации. Диссертация содержит 264 страницы и состоит из введения, четырех глав, добавления и списка литературы.

Краткое содержание диссертации.

В введении обсуждаются вкратце мотивировки развиваемого в работе направления.

В первой главе приведены основные конструкции, связанные с используемым далее интегрированием по бесконечномерным пространствам, в частности, изложению мультипликативного метода переходных мер, имеющих матричные значения, и построению используемых далее пуассоновских распределений в пространствах траекторий. В начале главы изложены общие используемые в диссертации конструкции, связанные с нормированными полями и нормированными пространствами над такими полями. Затем для векторных пространств над такими полями строится общая теория цилиндрических переходных мер с некоммутирующими (матричными) значениями 10.

На поле О рациональных вещественных чисел норма полностью определяется значениями на простых натуральных числах р , ббльших единицы, множество которых {2, 3, 5, ...} обозначим символом Р . Полагаем далее Р = Р и {оо} и р € Р , так что р € Р р < оо .

Для каждого р € Р положим А^р) = р-1 и при этом для каждого ц 6 (Р \ {р}) положим ВД = 1 . Положим ещё ^(р) = р для всех р £ Р. Эти соотношения для каждого р € Р определяют нормирования Мр на О . Для каждого р е Р выбираем произвольным образом одно из (попарно изоморфных) нормированных полей, являющихся пополнениями поля <0> относительно нормы ЛГр , и обозначаем выбранное пополнение знакосочетанием .п Далее в рассуждениях, в которых значение переменной р £ Р фиксированно, поле (|р обозначаем для краткости буквой С1 . При р < оо поле <0Р называется

полем р-адических чисел. 12

Далее, если X — множество и V — векторное пространство, то Vх - мно-

10включая построение по таким переходным мерам новых мер на пространствах траекторий. В случае коммутирующих значений по сверточной полугруппе мер строится новая полугруппа — мер на пространствах траекторий.

"Значение нормы на элементе х 6 часто кратко обозначается |г|р . Поскольку при этом

поле Се» изоморфно полю вещественных чисел, то считаем, что в качестве «2оо выбрано именно поле К (в частности, |г|оо = Ми )■

12Для р-адического (р € Р) координатного пространства X = <Эа подразумевается заданной его так называемая каноническая норма С эхн тэхИ, , которая также называется р-адической (на О11);

она также является ультранормой. В случае р = оо вещественное координатное пространство <Э = К предполагается наделенным его стандартной евклидовой нормой.

жество 13 всех V-значных функций на множестве X .

Если V — банахово пространство над полем К 6 {R, С} , то L(V) — пространство ограниченных (всюду определенных) линейных операторов V-+V . Если ещё / С R — подмножество вещественной оси, то функция F : I-¥b{V) называется сильно непрерывной, если непрерывно отображение

I xV Э {t,x) F(t)x € V

относительно нормированной топологии в V и сужения на / х У С R х V произведения нормированных топологий пространств R и V . При / = [0;+оо) такая функция будет называться (сильно непрерывной операторной однопа-раметрической, или, кратко, Со-) полугруппой в пространстве V , если

F{0)x = x (xGV) и F(s + t) = F (s) о F(t) (t € / Э s) .

Для такой полугруппы F образуемая при фиксированном х € V функция Fx : / Э i F(t)x называется орбитальным отображением (с начальным значением х — Fx(0) ).

Далее, если to — неизолированная точка некоторого множества I С К, функцию у : I -> V будем называть дифференцируемой по норме пространства V в точке to , если в пространстве V существует предел

обозначаемый в этом случае ft\t=k(y{t)) и называемый производным значением функции у в точке t0 . Символ y'v при этом будет означать функцию, определенную на множестве всех тех точек tel, в которых функция у дифференцируема по норме пространства V , и значение которой в каждой точке её области определения равно производному значению функции у в этой точке.

Известно 14, что орбитальное отображение Fx : [0; оо) V полугруппы F, будучи по определению полугруппы непрерывным, не обязано быть

"его и его векторные подпространства называем функциональными, чтобы выделить их по сравнению с пространствами типа Lr, которые определим, как обычно, как фактор-пространства, элементами которых являются не индивидуальные функции, а классы эквивалентности.

liDavies Е.В.: One-parameter semigroups// Academic Press, 1980.

дифференцируемым по норме пространства V во всех точках полуоси I , и что свойство его дифференцируемости одновременно во всех этих точках равносильно свойству его дифференцируемости в нуле. Множество всех тех векторов х £ V , для которых это свойство выполнено, плотно в V ; оно обозначается Dpo и называется областью определения генератора полугруппы, а оператор

Э х и- (F(t)x) аъ г=о

обозначается Fq или F'(0) и называется генератором полугруппы; полугруппа однозначно восстанавливается по своему генератору, и если А — ее генератор, то ее значения в точках t £ [0; оо) обозначаются записью et A . 15

Источником аппроксимаций функциональных интегралов являются известная продакт-формула Чернова для аппроксимаций полугрупп и её частный вид — формула Троттера-Ли.

Пусть V\ и V% — векторные пространства, 14 банахово и А — линейный 16 оператор в V\ . Версией оператора А в пространстве (обозначаемой А\'г) называется плотно определенное в V2 замыкание части17 оператора А в пространстве Vi (если оно существует).

Если S — некоторая алгебра подмножеств множества X (X £ 5) hV-нормированное пространство , то для произвольной меры m : S V и произвольного множества А £ S значение |т|(А) , равное величине

п .

supjj] \\m{Ak)\\v : я е N, Ак 6 S {к б п), Ак П Aj = Ъ{кф ;)}

Дг=1

из промежутка [0,+оо] , называем вариацией меры т на множестве А или значением вариации меры на этом множестве, а отображение S Э А И- |пг|(А) — вариацией меры. Значение |то|(Х) при этом называем нормой меры т по вариации, или полной вариацией этой меры, и обозначаем ||т|| . Если это значение конечно, говорят, что мера обладает конечной вариацией.

Если для некоторых пространств X и У выделены их системы подмножеств

15При этом часто генератор имеет вид А = -В ; тогда вместо е( '~в> пишем также е~( В.

1вВообще говоря, частично определенный, с областью определения Б а С VI .

17Частью в \'г оператора А называется сужение его на {¡с € Уз ПОд : Ах € .

5 и Т соответственно (5 С Т{Х), Т С Г {У)) и отображение / : X У таково, что для каждого множества В , являющегося элементом системы Т , его полный прообраз Г\В) = {х : х £ X, /(¡в) £ В} является элементом системы 5, то / называется (5, Т)-измеримым. Если при этом ещё т — мера на X, то отображение Т Э В И- т(/~1(В)), являющееся мерой на У , обозначается (ш о /-1 \Т) и называется (/, Т)-образом меры т . Если к тому же 5 и Т являются алгебрами множеств, а мера ш принимает значения в нормированном пространстве, то полная вариация образа меры не превосходит полной вариации исходной, меры.

Пусть даны измеримые пространства Х1 и Х2 с их ст-алгебрами и £2 соответственно, и пусть У — конечномерное вещественное пространство (наделенное его стандартной топологией). Отображение о : Х\ X 5г Э (я, А) И-а(х, А) е У с ограниченным в пространстве У множеством значений называется У-значной переходной мерой между измеримыми пространствами Хг и Х2 , если при каждом х 6 Хг отображение о(®, ■) : э А а(х,А) является счетно аддитивнной У-значной мерой на алгебре 5г , обозначаемой далее записью ах , и отображение а{-,А) : Х\ Э х а(х,А) является (Яь соизмеримым У-значным отображением на множестве Х\ . Множество А(Х 1, Х2; У) таких переходных мер наделяется банаховой нормой А(Х\, Х2; У) Э а и- 8ир{||ах|| : х <Е Хг} . Если 5х = (в частности, X! = Х2) , то У-значная переходная мера между Хх и Х2 называется У-значной переходной мерой в пространстве Хх . Запись Л4(Х,У) означает пространство всех счет-ноаддитивных мер, определенных на борелевской сигма-алгебре конечномерного пространства X = и принимающих значения в конечномерном нор-

т г 18

мированном комплексном пространстве V.

18Если а € N , V — нормированное конечномерное пространство над Е , X = С}1* и т. £ М(Х, V) , то отображение ат:Хх<гхЭ (х,Л) и. т(А - х) является У-значной переходной мерой в пространстве X. Если пространство Хг имеет вид = (Ор)11 для некоторых а е N и р € Р, то всякая (знакопеременная) вещественнозначная переходная мера а между произвольным измеримым пространством Х1 и указанным Хг является разностью двух неотрицательных переходных мер, комплекснозначная переходная мера является комплексной линейной комбинацией не более чем четырех неотрицательных переходных мер, и всякая переходная мера общего вида является векторной линейной комбинацией некоторого конечного числа неотрицательных переходных мер.

Далее снова С} = <фр . Если V — векторное пространство над полем С} (далее — не обязательно конечномерное над <$) , то V* означает множество всех С?-линейных отображений V С} , называемых при этом (линейными) функционалами (на V). До конца главы символ 5 (возможно, с индексом или несколькими) означает некоторое пространство над <2иЕ (соответственно, с теми же индексом или индексами) — некоторое множество ф-линейных функционалов Я С} .

Пусть, для каждого п £ N = {1, 2, ...}, Сп - некоторый класс функций, определенных на <2" (область значений сейчас не важна) , и С = •

Функция у , определенная на пространстве 5 , называется (С?, ^-цилиндрической, если найдутся число п £ N , набор линейных функционалов (Д , /п) £ и функция д £ <?„ такие, что для каждого в £ 5 выполнено равенство = дЦ^) , /п(я)) • Если принадлежность к классу (7 выражается некоторым свойством функций, то при описании (С?, цилиндрических функций название этого свойства ставится перед термином 'Т-цилиндрический": таким образом определяются классы комплекснознач-ных ^-цилиндрических, борелевских ^-цилиндрических и т.д. функций на 5. Функции, значениями которых могут являться лишь нуль и единица, называются индикаторными. Напомним, что если индикаторная функция определена на некотором множестве X , равна единице в точках подмножества Ас X и нулю в точках подмножества X \ А , она обозначается 1асх и называется индикатором (-индикаторной функцией) подмножества А в множестве X . При этом множество А называется определяемым функцией 1 асх подмножеством в множестве X . ^-цилиндрическим множеством в 5 называется всякое подмножество в 5, которое определяется какой-нибудь борелевской индикаторной ^-цилиндрической функцией на 5 .

Если ^ — непустое подмножество в 5# , то запись а(5, означает наименьшую среди тех теоретико-множественных сигма-алгебр Е с единицей 5 , для каждой из которых (Е, соизмеримы все функционалы / £ F .19

Запись а (Б, означает объединение всех тех теоретико-множественных

19Для общности положим ещё а(3,0) = {0, 5} .

сигма-алгебр вида а(Я, Ро) , для которых Ро — конечное подмножество в Р . Элементы сигма-алгебр вида сг(5, С а(5, Г) называются также Р0-ци-линдрами, или ^-цилиндрическими множествами. Система а(5, Р) является алгеброй множеств с единицей 5 и называется цилиндрической алгеброй на векторном пространстве 5 относительно множества функционалов Р (С 5*), или, короче, ^-цилиндрической алгеброй на 5 .20

Если У — банахово пространство (не обязательно над полем (фр), то запись Р\ V) означает множество, элементами которого являются все те аддитивные меры ограниченной вариации а(й, -Г) —> У , сужение каждой из которых на подалгебру вида ст(5, К) , где К — непустое конечное подмножество в Р , счетно аддитивно.21 Запись М(в, V) означает пространство всех счетно аддитивных мер сг(5, Р) -> V конечной полной вариации.

Для определения операции свертки цилиндрических мер используется гот факт (Предложение 1.10), что отображение сложения А : 5 х 5 5, сопоставляющее упорядоченной паре (а, 6) е 5 X 5 элемент (их сумму) (а + 6) из пространства 5 , является, измеримым (линейным оператором) относительно алгебр а(5 , Р) ®а а(5 , и а(3,Р) , где а(5 , Р) ®а а(5 , Р) означает наименьшую цилиндрическую алгебру, содержащую все декартовы произведения вида Ах В при (А, В) € а(Б , Р) х а(5 , Р) (множество всех этих произведений обозначается а(5 , , Р)). Свертка т*п двух

цилиндрических мер т,п , принимающих значения в некоторой матричной алгебре, определяется как образ при отображении А той минимальной цилиндрической меры в пространстве 5x5, которая на каждом произведении (А, В) е а(5 , х а(5 , F) принимает значение т(А) х п(В). Такая свертка некоммутативна.

Для определения преобразования Фурье используется следующее обобще-

20Пространство в называется цилиндрическим, если вместе с ним задана некоторая цилиндрическая алгебра на нём. К-цилиндрическая алгебра на й называется невырожденной, если пересечение ядер всех функционалов / 6 ^ нулевое (другими словами, если не существует общего вектора образующей для всех цилиндров из алгебры; наконец, это равносильно тому, что F разделяет точки в 5); при этом и само цилиндрическое пространство называется невырожденным.

21меры, являющиеся элементами пространства V), называются К-значными

цилиндрическими мерами на 5 .

ние понятия дробной части вещественного числа на случай произвольного поля <3 = <0р (р е Р) . Минимальная замкнутая в 0>р подгруппа по сложению, содержащая единицу, обозначается . Очевидно, = 2 С 0> , и для каждого х € <Зоо класс смежности х+1ж имеет одноэлементное пересечение с вещественным полуинтервалом [О ; 1) , причем единственный элемент этого пересечения называется вещественной дробной частью элемента х € <0>оо ; эта дробная часть будет обозначаться {ж}«, . В случае конечного р подгруппа ¡£р является центральным единичным замкнутым шаром нормированного поля <фр ( 2р = {ж : х е |я|р ^ 1} = 5^(0) ) , и при этом для каждого х е И2р \ компактный класс смежности х + имеет единственный представитель вида ненулевой конечной суммы

в которой числа ск(х) £ {0, 1, 2, ..., (р - 1)} играют роль цифр р-ичного разложения, и с_1%) ^¡Дх) ф 0 ; этот представитель называется р-адической дробной частью от а: и обозначается {х}р ; полагают также {х}р = 0 для каждого х € йр . Таким образом, для произвольного р € Р определена вещественно-значная функция <0>р -> [0 ; 1) , х и- {х}р , причем отображение х : {г : г € С, |л|с = 1} (где \г\с - абсолютная величина или мо-

дуль комплексного числа .г ), определяемое формулой х ХдД1) = е^**»)« (г = 1) , является непрерывным гомоморфизмом аддитивной группы нормированного поля <0>р в мультипликативную группу Т = {г : |г|с = 1} комплексных чисел с единичным модулем.

Пусть снова Б — векторное, пространство над (2 = 0>р и Г С . Пусть еще Б — некоторое множество и J — некоторое сюръективное отображение множества Г) на множество ^ . Пусть также V — комплексное конечномерное нормированное нормированное пространство. Тогда ^преобразованием Фурье произвольной меры т £ М$у\(3,Р-, V) называется функция Б -> V , обозначаемая т1 или и определяемая равенствами

ск(х)р* ,

В случае J = ^/-преобразование Фурье меры т называется ^-преобразо ванием Фурье этой меры и обозначается тр или Е^ т , или просто т , если ^ определено контекстом. Ясно, что тп3 = тпр о 3 , и разница между .Р- и 3-преобразованиями Фурье одной меры проявляется в формулах: скажем, одно из них зависит от функций, другое — от мер, или от обобщенных функций, или от обобщенных мер.

^-преобразование Фурье свертки двух ^-цилиндрических матричных мер равно поточечному произведению преобразований Фурье этих мер, взятому в том же порядке. Сверточная экспонента обозначается е*т и

также является ^-цилиндрической мерой. Множество {е*'т : £ ^ 0} является примером сверточной полугруппы мер (называемой в этом случае экспоненциальной), то есть мерозначной функции / на М+ = [0;+оо) такой, что

Опишем теперь способ порождения сверточной полугруппой цилиндрических мер новых мер в пространствах траекторий. Пусть снова 5 — векторное пространство над <9 = (р 6 Р) и ^ с Б* . Пусть также V - конечномерная банахова алгебра над М (||о • Ъ\\ < ,||в|| • \\Ь\\ для а,Ь е V) . Пусть ещё тп = {Ь и- тщ : Ъ £ [0; + оо)е} - непрерывная (относительно нормы мер по вариации) однопараметрическая сверточная полугруппа У-значных Р-цилиндрических мер на 5 , такая, что для некоторого а > 0 ||т4|| < еы (последняя оценка носит технический характер22; она всегда в используемых далее примерах выполняется — как правило, по построению).

При построении новых мер далее для каждого Т > 0 определим последовательно следующие новые объекты: векторное пространство 1?1 над С} , подмножество ^ С (5г)# и, для каждого значения нового параметра г 6 [0; +оо)к , меру т* класса У) так, что в случае коммутативно-

сти умножения в алгебре V отображение

= {[0; э т ^ тт }

окажется полугруппой У-значных ^-цилиндрических мер на 51.

22 Она будет нужна для применения теоремы Чернова.

Для построения пространства & ещё фиксируем Т £ (0;оо)к , пусть 1Т -

[0;Т]ки51 = 57г = {/:[0;Т]к->5}.

Как и в случае множества ** , множество ^ не является векторным пространством, хотя и окажется, что оно содержит нулевой элемент (и это, как выше отмечалось, упростит некоторые формулировки). Именно, Д С - это в точности все функционалы вида Д Э д И- /Ш) (обозначаемые записью (/ о щ) ) при всевозможных * £ [0; Т]ж и / £ Р .

Далее <;г означает систему всех тех конечных подмножеств отрезка /т = [0;Т]® , которые включают концы этого отрезка. В каждом таком подмножестве t £ Ъ элементы считаем пронумерованными, начиная с нулевого индекса: 1 = , , ..., где 0 = 4 < А < ■■ ■ < = Т , и п4 означает число отрезков, на которые разделен отрезок 1Т точками из 1 .

Пусть, для произвольного t£tт линейное отображение щ ■ & 5"'

определено формулой я* (в) = (?(*о)> - > «(О)-

Наконец, фиксируем произвольное значение г £ [0; +оо)Е и построим

цилиндрическую меру тп^ .

Пусть заданы мера м £ Л4Су1(5,5'; V), множество tetги множества

А] £ а(5, Г) для э £ {0, ..'., п1} . Тогда положим

тил»(4) х Л1 х • • • х Л«) = У Мо(^о) • I тг.(е5_4«)(^1 - *о)х

Л0

I ¿з

При этом мера ^ аддитивна на полукольце а(5, и продолжа-

ется до 7п+1(^п+1)-цилиндрической меры на 5П'+1, где для произвольного набора (/О, /ь /г,.., /«,) € , функционал^Лг+1 (/о, /1, /2,.., /пЛ действует по формуле 5п,+1 -> Я , (¡»о, ...¡О н- £-Последняя цилиндрическая мера и есть искомая. Если исходная полугруппа - экспоненциальная, построенная мера называется обобщенной пуассоновской.

Во второй главе формулируются постановки задач для решаемых в ней

дифференциальных уравнений типа теплопроводности относительно функций р-адического аргумента и основные результаты об интегральных представлениях решений этих задач и других свойствах этих решений.

Формулой Фейнмана23 называется представление решения задачи Коши эволюционного уравнения в виде предела последовательности кратных интегралов, в которой эта кратность неограниченно растёт. Формулой Фейнмана в конфигурационном пространстве называется формула Фейнмана, в которой кратные интегралы берутся по декартовым степеням области определения начальной функции задачи (которая и называется конфигурационным пространством). Если конфигурационное пространство является векторным (соотв., многообразием), то соответствующим импульсным пространством называется сопряженное пространство (соотв., кокасательное к некоторой выбранной точке), и соответствующим фазовым пространством называется произведение конфигурационного пространства на двойственное к нему (соотв., кокасательное расслоение конфигурационного многообразия), и формулой Фейнмана в импульсном (фазовом) пространстве называется формула Фейнмана, в которой используются кратные интегралы по декартовым степеням этого импульсного (фазового) пространства. Формулами Фейнмана-Каца в конфигурационном (импульсном, фазовом) пространстве для той же задачи называется представление решения задачи с помощью интеграла по пространству траекторий (= отображений отрезка со значениями) в соответствующем пространстве (по счетноаддитивной мере или по псевдомере, например псевдомере Фейнмана).

Сам вид формул Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве в этой главе не отличается от известных, но теорема о них приведена для изложения нового эффективного полугруппового метода их получения.

В этой главе оператор £>£2 (Владимирова) в Ь2 = Хг((9р) (относительно меры Хаара Хр , равной единице на замкнутом единичном шаре) с помощью взаимно-обратных унитарных операторов преобразования Фурье Р^, Р£2

"ср. О .Г. Смоляное, Н.Н.Шамаров: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова// ДАН, 2008, том 420, Л* 1, с. 4-6.

определяется как неограниченный самосопряженный оператор, подобный умножению на положительную степень (с показателем а > 0) нормы аргумента, то есть, = , где Маф) = \\х\\аф) для всех <р : § -> С

и х Е <2 , и область определения Бщ^ = П (Ма)-1(£г) > причем для Ч> 6 Ь2 П и (Р+<р){х) = Iх^(ху)Хр{йу) и (*»(в) = (*»(-*)• Далее в главе изучается оператор, который можно назвать р-адическим оператором (гамильтонианом) Шрёдингера в пространстве с областью определения , представляемый в виде суммы + (у-)^ для некоторой ограниченной борелевской функции г; : <0>р ->• С (называемой иногда потенциалом) , и обозначаемый в этой главе Н или более подробно #а,„ . Функцию

Яа,„ : <5Р х Ор э (г, у) н- |у|£ + ф) € С

будем называть символом (или функцией Гамильтона) оператора .

Для полугруппы, генерируемой в 1,2 оператором (—Нар), доказывается следующее описание. Если Фо € ¿2 , то для каждого £ > 0 существует (конечно, единственный) непрерывный представитель [Ф(] = ^ класса Фг = (£ ¿г), причем для каждого х 6 С} справедлива следующая формула Фейнмана-Каца, обозначения которой описаны ниже:

[Ф«](г) = / • фъ{х - т ' МЛ 0 • (2-24)

¿СМ) э£

Здесь I = [0;^® , Сх(/) ~ Сх(/; С}) — пространство всех отображений / —»■ <5

без разрывов второго рода и непрерывных справа, М; — та единственная

счетно аддитивная мера на ^-алгебре, порожденной всеми функционалами

вычисления щ : С\{1) Э / /(<) £ <Р , для которой, каково бы ни было п 6

N , образ в <3" при всяком отображении вида С\(1) Э f (/(¿1),...,/(£„)) €

<2™ (0 = < ¿1 < ... < ^ £) имеет плотность

¿=1

относительно меры (Хаара) А®п(г2:Е1,..., ¿х„) , где, в свою очередь, для всех а: € <0>р и вещественных в > 0 (П(х) = 1 при |ж|р ^ 1 и £1(х) = 0 при |ж|р > 1)

ВД = - е-"»1"4-) • рк • П(»Г* • х) .

Решение ("неклассическое", класса Ь2 по переменной, пробегающей Q) задачи Коши эволюционного уравнения

(э.у.) =-iQ*(f)),

с начальным данным

(н.д.) Ф(о) = Ф0 е l2{Q)

определяется как непрерывная функция Ф : [0; +oo)R Ч- Ь2 дифференцируемая всюду кроме, быть может, нуля по норме Ь2 и удовлетворяющая соотношениям (э.у.) и (н.д.); соответствующая задача Коши обозначается

СР(Ь2,ф0,-Н) .

Доказывается, что для каждого Ф0 G L2{Q) существует единственное решение Ф, причем для каждого t > О

Ф(г) = Ф( = e_i'Ha'" Ф0

и, таким образом, это решение определяется приведенным выше функциональным интегралом.

В этих обозначениях, о перечисленных фактах в качестве одной из основных в этой главе сформулирована и доказана теорема 2.2:

Теорема 2.2 (о формуле Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве). Для произвольных фо £ ь2 и t > 0 существует непрерывный представитель [Ф4] £ Фt = е~с'**ф0 такой, что при каждом х 6 Qp выполнено равенство (2.24).

Далее, заменяя риманов интеграл в показателе экспоненты аппроксимирующими его суммами Римана, получаем и поточечную, и Ь2-аппроксимацию решения явными конечнократными интегралами, т.е., формулы Фейнмана, полученные в следующей теореме.

Теорема 2.3 (о формулах Фейнмана). Для произвольного фо £ Ь2 для решения Ф : t н- е~*'Йф0 задачи Коши СР(Ь2, фо, -Я) при каждом вещественном t > 0 в равенствах

Ф(*)= lim fe"-'^ о (еН-") .)ЛПфй= lim ((е^ • )ь2 о е~- Фо, 4 ' Ыэп-юо V / Кэп-юо Ч '

пределы можно понимать не только как в пространстве Ьг , но и - для непрерывных представителей как допредельных, так и предельного элементов из Ь2 , — как поточечный. При этом непрерывный представитель ^ е Ф(£) предельного выражения выражается формулой (2.24), непрерывный представитель первого допредельного выражения — формулой

х И' J е {Х " • фо{х - х„) • тг,„(с&) = (2.23)

(О»)*

Г ( п \ v(x-xj)■-

= / (П ' ^ ' " х ~ Хп) «¿Л'-1 }

(х0 = Ъ), второго — формулой (снова с ж0 = 0 )

х¡¿у . ■е-^м-Р1/п(х1-х2)---

(О»)"

... . ъ/п{хп-1 - хп) ■ фоЫ) =

/( п А —

П я/Л®* - х1-че ^ '" ~Хп) ** •

«м-^-1 }

Представленный метод получения этих формул Фейнмана-Каца и Фейн-мана непосредственно обобщается на случай матрично-значного потенциала д с некоммутирующими значениями (с векторной искомой функцией Ф) и, с естественными ограничениями, - на случай полных нормированных алгебр; единственное отличие от коммутативного случая состоит в том, что подынтегральную экспоненту (от непрерывной справа функции) нужно будет считать хронологической (в смысле мультипликативного интеграла Римана).

Описанное решение в том случае, когда фа является преобразованием Фурье некоторого элемента из <р € П Ь2 , и функция V является преобразованием Фурье некоторой борелевской меры и на Р = <3 = <2# , допускает равномерную аппроксимацию теми же формулами Фейнмана, связанными с Ьх-аппроксимацией преобразования Фурье решения формулами Фейнмана в импульсном пространстве Р . Эти формулы Фейнмана в импульсном пространстве, в свою очередь, аппроксимируют функциональный интеграл по

счетно аддитивной мере, называемой обобщенной пуассоновской, что приводит к формуле Фейнмдна-Каца в импульсном пространстве и к новому представлению исходного решения. Именно, пусть СЯ(1,Р) — подпространство в С\(1, Р) , состоящее из непрерывных справа отображений отрезка [0; £] в , обладающих конечным числом точек разрыва и постоянных на интервалах между соседними точками множества, образованного добавлением концов отрезка к множеству точек разрыва. Пусть ещё в алгоритме порождения новой меры сверточной полугруппой из первой главы 5 = <5 , г = 1 , роль Т играет фиксированное Ь > 0 и роль сверточной полугруппы — экспоненциальная {и3 = : в ^ 0}, и пусть М{, — лебегово продолжение счетно аддитив-

ного цилиндрического следа соответствующей перечисленным данным новой меры в пространстве С 11(1, Р) ; полагаем ещё да(у) = ||у|]а (у 6 Р).

Теорема 2.8. (о формулах Фейнмана-Каца в импульсном пространстве). Для преобразования Фурье щ = £ в случаях, когда щ существенно ограничен, для Хр-почти всех х 6 С? б равенствах

Ы(х) = ! е-¿Л'-*'» ■ Ы(® " Ф)) ■ МЦ<1 т,)

JCR(I,P)Ъr¡

([<Ро] означает некоторый борелевский представитель класса <ро £ ) правая часть определена и совпадает с некоторым представителем [<р<] класса щ £ ¿2 • Кроме того, такие равенства справедливы для всех х е . если Щ £ 1>2 П Ь\ .

В качестве простого следствия этой теоремы доказывается, что если <ро £ ¿1, то, во-первых, для каждого р £ Р справедливы явные формулы Фейнмана-Каца вида

Пк ' ль

[Ф,1(р)=Цт [ («Д)®п'(<*и) -ЫР-У>;) > (2-24)

оо ./ г

р"кэи=(иь...,«п1й)

[Ф,](р)=Ит [ (Д)®»*((/и) с •<РоЬ>-У1Ч) . (2-25),

J ,=1

р"» эи=(ии...,ич)

в которых можно взять просто щ = к , и эта сходимость к [Ф{] одновременно имеет место в Ь\ и, во-вторых, что аппроксимация в теореме 2.3 является равномерной. Ранее такие результаты доказывались чрезвычайно громоздкой техникой рядов типа Дайсона 24.

На случай матрично-значной меры и последние формулы Фейнмана и Фейн-мана-Каца обобщаются непосредственно.

Наконец, в том же случае с г; = v и гро € П Li существуют еще два представления того же решения — функциональными интегралами по траекториям в фазовом пространстве, — одно из них содержит счетно аддитивную меру интегрирования, другое — симплектическую меру типа Фейнмана.

Именно, пусть х € Qp , функции / : Q„ xQp -> С и h : Qp -> С борелевские, t > 0 и для каждого п — 1,2,... существуют повторные интегралы, в каждом из которых qn = х и интегрирование ведется по указанным дифференциалам справа налево:

J..Jen{£i{4k~9k~i)Pk)'eEb=i h(q0) dpn dqn-X dpn-i dqn-2...dp2 dqx dpi dqo-

Если существует предел этих чисел при п оо, он называется гамильтоно-вым интегралом Фейнмана по траекториям [0; i] Э г н» е Qp2 в "фазовом" пространстве Q X Р (по пространству фазовых траекторий), таким, что q(t) = х , от функционала

р(= h(q(0)) ■ e2"^P(r)dq(T)}p . е£ f(q(T),p(T))dr

\р('Ъ

и обозначается

T))d(q(T)).

Теорема 2.10 (о формула Фейнмана-Каца с гамильтоновым интегралом Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве.) Для каждого фо 6 Ьг П Ь\ справедливо равенство непрерывных по совокупности аргументов t > 0

24см., напр., Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Континуальные интегралы.// Москва, Издательство МГУ, 1990.

и x E Qp функций

{(Й); »(«)=«} r6[0;t! Для доказательства используется соответствующая формула Фейнмана в фазовом пространстве, приводимая в следующей теореме.

Теорема 2.9 . При каждом н.у. фо 6 Ь2Г\ L\ и каждом t > 0 к непрерывному представителю [Ф(2)] = •) элемента Ф(£) поточечно сходится при п оо последовательность непрерывных функций, являющихся представителями классов 25 ^ (е~п'я°.«) ф0 е Ь2 , и принимающих во всякой точке х £ Qp значение, равное повторному интегралу (в котором Haar(dqa) заменено па dg0 и т.д.):

f dpn xQp (Pn ■ / dqn—i Х<ъ (~РпЯn-i) X

X / dp3 xQf J dq2 Xq, (-рзй) X

X / dp2 xQt {р2Ч2)е^)^Ы)Цп J dgi {_рт) x

x J dpi XQf(Piqi)e-^+a°MWnfdqo Xj-Pl(?0^0(g0).

Другими словами, полагая при каждом п под знаком суммирования qn = х и понимая каждый интеграл как повторный, в котором интегрирование ведется по указанным дифференциалам справа налево (всякий раз от суммируемой функции), получаем равенство

х) = Jim J ■■■ J dpndqn-idpn-.idqn~2...dp2dqidpidq()X xe2»>{E:-i(ft-®-i)p*b . e-ZL№)-/W)t/n . (2.26)

Отметим также, что функция (р(-)> ?(■)) ^ ехр(2гтг /о{р(т)йд(т)}р) играет роль обобщенной плотности "симплектической меры Фейнмана".

Значительная часть этих рассуждений инвариантна относительно выбора поля q вида <Q>P (ре Р) и оказалась имеющей эвристическую ценность даже в вещественном случае. Именно так получающаяся формула Фейнмана-Каца в

25Для h 6 C{Q х Р) значение оператора Я'р : S{Q) -* C(Q) определяется как (/¡<"V)(g) = ¡р(х^, СР ■ 4)h{q,p)(F^ip){j>))dp , где S{Q) — пространство финитных локально постоянных функций Q С .

фазовом пространстве для классического уравнения теплопроводности привела к серии работ о таких представлениях для уравнений, управляющих более сложными диффузиями, когда деформация меры Винера делает работу с ней привычным способом неудобной. Метод оказался применим также и для полугрупп, порождаемых более общими феллеровскими процессами.

Наконец, справедлива и следующая формула со счетно аддитивной мерой на пространстве фазовых траекторий. Для её вывода надо учесть, что подынтегральная экспонента в формуле Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве представляет преобразование Фурье некоторой счетно аддитивной меры в импульсном пространстве, абсолютно непрерывной относительно построенной выше меры MJ, .

Теорема 2.11. Для произвольных £ ^ е ¿2 и i > 0 существует непрерывный представитель [Фг] £ Фt — G'^o такой, что при каждом х € Qp выполнено равенство

■УхГэКл)

где Ьр(£,г}) при £ £ X — C\(I,Q) и ц е Y = CR(I,P) определяется равенством Ьр(£, 77) = ^ £(s) • > в котором Dn — множество всех точек

разрыва функции 77 и в каждой такой точке = r}(s) — T)(s — 0) .

Третья глава посвящена уравнениям типа Шредингера относительно функций р-адического аргумента: основными результатами являются представление решений с помощью интеграла по траекториям в конфигурационном и импульсном пространстве. Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве содержат обобщение классической (обобщенной) меры Фейнмана, тогда как соответствующие формулы в импульсном пространстве содержат обобщение комплексной меры Пуассона-Маслова-Чеботарева.

Относительно постановок задач Коши для уравнения

idu{t, x)/dt = (-Dl - («?•)£>(*. x) (Sehr)

с искомой функцией и : [0,00) х Qp С отметим, что оператор D" не является в собственном смысле дифференциальным (в силу его нелокальности),

как интегральный он обладает лишь обобщенным ядром (и в частности, как оператор в ¿2 он неограничен при любом а > 0 ). Далее мы будем понимать равенство (Schr) при каждом t > 0 как равенство элементов пространства ¿2 , и используем тот факт, что оператор ¿(-D^ + (ïï-)^) имеет вид суммы антисамосопряженного и ограниченного, и потому 26 является генератором сильно непрерывной однопараметрической полугруппы G = {G(t) = G1}^. обозначаемой далее {G1}^о i ограниченных всюду определенных линейных операторов в .

Решением уравнения (Schr), отвечающим начальному условию (н.у.)

«(О, •) = фо G DaM , (Зо)

будем называть непрерывную функцию Ф аргумента t, определенную на неотрицательной вещественной полуоси t ^ О, принимающую значения в нормированном подпространстве 2 и определяемую при каждом t ^ 0 равенством

= (4)

где {G'Jt^o — описанная выше полугруппа с генератором + • Для краткости вместо Ф(^) будем писать Фг . Задачу найти описанное решение по уравнению (Schr) с н.у. фо G Da будем называть задачей (Коши) (3, Зо).

Теорема 3.2 (о формуле Фейнмана-Каца в импульсном пространстве). Для преобразования Фурье щ — F^t Lt-решения задачи (3,3q) при фо £ L2 П L\ справедливы для Хр-почти всех х равенства

foKs) = [ eJoV(—,W) d. . М(х _ . Mt_Jd v) (10)

jy ъп

Теорема 3.4 Решение задачи Коши (3,Зо) с начальным данным фо — (щ) класса Sp , представленное преобразованием Фурье элемента <р € Sp может быть задано при каждом t > 0 в виде такого элемента Ф(£) € ¿2 ; преобразование Фурье которого F^(^(t)) представлено, в свою очередь, ограниченной непрерывной функцией <pt : Qp —> С , определенной при каждом

leEngel K.-J., Nagel R.: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.// Springer-Verlag, N.Y., 2000.

х £ (¿р равенством

Jc1{D

где квазимера типа Фейнмана Ф'а имеет преобразование Фурье вида ц Н-, и К{х,-) является ((ЭД.б)'-преобразованием Фурье счетно аддитивной меры на СВ,(1,Р) имеющей плотность ц И- <Рй(г}(0)) относительно счетно аддитивной меры заданной формулой А

По-видимому, определенная в данной теореме с помощью преобразования Фурье квазимера типа Фейнмана связана с классической секвенциальной, как в вещественном аналоге данной теоремы27, и прояснение этой связи было бы полезным для теории интеграла Фейнмана.

В четвертой главе с помощью интеграла по траекториям в вещественном импульсном пространстве представлено решение классического уравнения Дирака.

Уравнение Дирака для релятивистского электрона — это уравнение

р0 + -А0 + Т] а,(р, + + а4тс ф = 0 , с . , с

1=1 Л

где ф : Е X Е3 С4 - искомая функция переменных 2 е Ки ж = (яьХг.Жз) <5

/о О О Л

Е3 , О! =

0 0 10 0 10 0

\1 О О

/о о о -Л

а2 =

0 0 г 0 0 -г 0 0 0 0 0

, а3 =

0 0

1 0^

0 0 0 -1

10 0 0

-10 О!

,а 4 =

Л 0 0 0 1 0 0 0-1

0^ о о

0 0 -1,

А] : К X М° = 0,3) — вещественные компоненты электромагнитного 4-потенциала, зависящие, вообще говоря, как от переменной (времени) ¿ей, так и от (пространственных) переменных хъ х?, £3 ; ро = -гд/дЬ = -гдо, р, - -г0/3х; = -гЗ, , ] = 1,2,3 ; заряд электрона е, его масса т и скорость света с - константы. Можем считать, без ограничения общности, что

27Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Континуальные интегралы.// Москва, Издательство МГУ, 1990.

е = с = 1 (либо что эта дробь -с включена в соответствующие компоненты потенциала), и последний коэффициент тс обозначается далее т . Тогда уравнение принимает вид + Ао -Ь о,- (р^ + А]) + та^ф = 0 , или, после выделения производной по времени и отделения дифференциального полинома от умножения на матрично-значную функцию,

= -г

та4 + ед ф + (-г) ¡Л0 + азАз] Ф

Первая скобка задаёт некоторый самосопряжённый оператор Щ (это вытекает из перестановочности пар самосопряжённых множителей, участвующих в каждом из четырех её слагаемых), вторая — оператор умножения на матрично-значную функцию V = —i(Ao + а;Л,) , и при надлежащем выборе потенциалов А,- (у = 0,1,2,3) — то есть при независимости их от времени и свойстве быть преобразованиями Фурье числовых либо А-значных счётно-аддитивных борелевских мер на — мы приходим к классическому двучленному уравнению Ф'(£) = —г(Но + У)Ф(£). Далее предполагается, что —гу = и для некоторой матричнозначной счетноаддитивной борелевской меры V на Е4 . Далее для каждого < > 0 строится такая матричнозначная счет-ноаддитивная мера М( на пространстве СИ = СЛ[0;<] кусочно-постоянных траекторий в М4 , для которой справедлива следующая теорема.

Теорема 4.2. Преобразование Фурье Ф( решения Ф^) ^ > 0) уравнения Дирака с непрерывным начальным данным Фо € ¿2 П Ь\ таким, что и Фо € Ь2 П ¿1 , имеет вид Ф((х) = /ся Мг((1г})[Ф0](х - 77^)), где [Ф0] € Фо — непрерывный представитель.

При этом мера Мг символически может быть записана в виде М^йг}) = е'/о ) гДе интеграл — риманов, мера М^ пуассоновская, а сим-

волом -х обозначено хронологическое (упорядоченное) по отрезку [0; ¿] (времени) умножение. Версия формулы Чернова с неравномерными разбиениями отрезка времени является дополнительной мотивировкой этого обозначения.

В добавлении приведены формулы Фейнмана-Каца в бесконечномерном р-адическом конфигурационном пространстве, функциональный интеграл для для решения задачи Неймана, а также фиксируются обозначения и собрана

воедино используемая специальная терминология и вспомогательные факты из теории полугрупп.

Автор благодарен участникам всех обсуждений результатов диссертации за их стимулирующий интерес. Автор также пользуется случаем выразить особую благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук профессору Евгению Тенгизовичу Шавгулидзе, руководителю семинара по бесконечномерному анализу доктору физико-математических наук профессору Олегу Георгиевичу Смолянову и сотрудникам кафедры математического анализа за творческую атмосферу и постоянную поддержку в работе.

Список публикаций автора по теме диссертации

Работы 1-14 опубликованы в журналах из официального перечня ВАК.

[1] N.N. Shamarov: Explicit Formulas for Fourier Transforms of Distributions of some Markov Processes.// Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 8, No. 4, 2001, pp. 493-494,

[2] N.N. Shamarov: Matrix-Valued Cylindrical Measures of Markov Type and their Fourier Transforms // Russian Journal of Mathematical Physics, 2003, vol.10, No 3, p. 1-16

[3] H.H. Шамаров: Преобразование Фурье распределений однородных случайных полей с независимыми приращениями и комплексные цепи Маркова-Маслова// Матем. заметки, 2004, V.75. No.2. с. 275-281.

[4] N.N. Shamarov: Poisson-Maslov types formulas for Schroedinger equations with matrix valued potentials// Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, vol.10, No 4, Dec.2007, 641-650.

[5] H.H. Шамаров: Полиномиальные замены антикоммутирующих переменных в функциональном суперанализе// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, Механика. 2006, № 4, 3-8.

[6] H.H. Шамаров: Некоторые формулы исчисления дифференциальных форм конечной костепени на локально-выпуклом пространстве.// — Вестник МГУ, сер. математика, механика, 1996, № 2, с 26-33.

[7] H.H. Шамаров: Вероятностное решение задачи Неймана для уравнения Пуассона в области гильбертова пространства// — Вестник МГУ, сер. математика, механика, 1996, № 4, с. 102-106.

[8] О.Г. Смолянов, H.H. Шамаров: Представления функциональными интегралами решений уравнения теплопроводности с оператором Владимирова// Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2008. № 4. С. 16-22.

[9] О.Г. Смолянов, H.H. Шамаров: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова// ДАН, 2008, том 420, № 1, с. 4-6.

[10] О.Г. Смолянов, H.H. Шамаров: Представление решений эволюционных уравнений с оператором Владимирова интегралами Фейнмана по траекториям// Докл. РАН. 2009. Т.425. № 4. 600-604.

[И] О.Г. Смолянов, H.H. Шамаров: Гамильтоновы интегралы Фейнмана для уравнений с оператором Владимирова// Докл. РАН. 2010. Т.431. № 2. С. 170-174.

[12] О.Г. Смолянов, H.H. Шамаров: Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюционных уравнений с оператором Владимирова Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2009. Т. 265. С. 229-240.//

[13] H.H. Шамаров: Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т. 12, вып. 6, 193-211.

[14] Н.Н. Шамаров: Функциональный интеграл по счетно-аддитивной мере, представляющий решение уравнения Дирака// Труды Московского Математического Общества, 2005, т.66., с. 263-276.

[15] O.G.Smolyanov, N.N. Shamarov: Feynman path integrals over p-adic vector space// AIP Gonf. Proc. - March 24, 2009 - Volume 1106, pp. 286-297 MATHEMATICAL MODELING OF WAVE PHENOMENA: 3rd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, 20th Nordic Conference on Radio Science and Communications;

doi:10.1063/1.3117106 .

[16] Н.Н. Щамаров: Применения нестандартных числовых систем в математической физике.// "Итоги науки и техники" ВИНИТИ, сер. "Современные проблемы математики и ее приложения", тематические обзоры, том посвященный памяти В.В.Трофимова, 2007 Том 23,182—194.

[17] Н.Н. Шамаров: Преобразование Фурье распределений некоммутативных процессов типа Маркова-Маслова// — Труды конференции молодых ученых МГУ - 2003, с.89-91.

[18] Н.Н. Шамаров: О восстановлении гладкой плотности одной меры относительно другой гладкой меры на бесконечномерном пространстве по их обобщенным плотностям// — Труды конференции молодых ученых МГУ - 1996, с.46-49.

Из совместных работ в диссертацию включены только результаты ее автора.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡¿¿>экз. Заказ № X $

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Шамаров, Николай Николаевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Нормированные поля и нормированные линейные пространства над ними

1.2 Сильно непрерывные операторные полугруппы в вещественных банаховых пространствах и формулы Чернова и Троттера

1.3 Меры, их вариации и образы.

1.4 Специфические свойства р-адических полей

1.5 Измеримые и топологические структуры координатных пространств X = С}й (<1 е М) над полями С1 = (р £ Р).

1.6 Меры Хаара в пространствах X = О^

1.7 Пространства функций и обобщенных функций.

1.8 Билинейные интегралы.

1.9 Переходные меры.

1.10 Дробные части р-адических чисел и характеры аддитивных групп пространств X = С}*1.

1.11 Версии операторов в пространствах (обобщенных) функций и псевдодифференциальные операторы

1.12 Определение цилиндрических функций на пространствах над полями $ = 0>р (р Е Р) и цилиндрических множеств в этих пространствах

1.13 Алгебры цилиндрических множеств в векторных пространствах над Я =

1.14 Цилиндрические меры и действия с ними.

1.15 Порождение сверточной полугруппой цилиндрических мер новой полугруппы мер в пространствах траекторий и выражение преобразования Фурье мер новой полугруппы через преобразования Фурье мер исходной полугруппы.

2 Представления полугрупп, порождаемых уравнениями типа теплопроводности относительно функций вещественного и р-адического аргументов

2.1 Постановка задач Коши

2.2 Существование и единственность решений для задачи Коши (1)

2.3 Формулы Фейнмана в конфигурационном пространстве для задачи (1).

2.4 Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационном пространстве для решений задач вида (1) в терминах интеграла по счетно аддитивной мере.

2.5 Формулы Фейнмана в импульсном пространстве для представления решения задачи (1).

2.6 Формулы Фейнмана-Каца в импульсном пространстве для им- ^ пульсного представления решения задачи (1).

2.7 Формулы Фейнмана в фазовом пространстве для задачи (1)

2.8 Гамильтонов интеграл Фейнмана для задачи (1).

2.9 Формулы Фейнмана-Каца в фазовом пространстве со счетно аддитивной мерой интегрирования.

2.10 Переменный коэффициент при операторе Владимирова.

3 Уравнения типа Шредингера с р-адической пространственной переменной

3.1 Постановка задач Коши.

3.2 Формулы Фейнмана для решений задачи (3, Зо) в конфигурационном пространстве.

3.3 Формула Фейнмана в импульсном пространстве.

3.4 Формулы Фейнмана в фазовом пространстве.

3.5 Формулы Фейнмана-Каца в импульсном пространстве.

3.6 Формулы Фейнмана-Каца в конфигурационнном пространстве.

4 Классическое уравнение Дирака

4.1 Постановка задач Коши и терминология

4.2 Интегральные представления.

Добавление.

Д.1 Вероятностное решение задачи Неймана

Д. 2 Бесконечномерные уравнения

Введение диссертация по математике, на тему "Представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и р-адических пространствах"

Тема диссертации относится к бесконечномерному анализу над локально компактными пополнениями поля рациональных чисел.

Бесконечномерный анализ ([1]-[8], [И]-[30], [33]—[36], [62]—[40], [46]—[90], [96]-[110], [120]—[127], [129]—[140]) использует дифференцируемые и обобщенные функции и меры на бесконечномерных вещественных пространствах для постановки и решения как собственно бесконечномерных, так и конечномерных задач. Первым примером применения бесконечномерного интегрирования к конечномерным задачам стало представление решений стандартного трехмерного уравнения Шредингера фейнмановским интегралом (идея была высказана Фейнманом [120] в 1948 г. на "физическом уровне строгости", математически реализована в простейшем случае Нельсоном [125] в 1964 г.).

Именно фейнмановский формализм функционального интегрирования, обобщенный на случай функциональных суперпространств, позволил Глэшоу, Саламу и Вайнбергу в конце 60-х гг. построить единую квантовую теорию электромагнитного и слабого ядерного взаимодействий (им за это присуждена Нобелевская премия в 1979г.). На сегодня этот формализм является общим фундаментом как для Стандартной модели электрослабого и сильного ядерного взаимодействий, так и теории суперструн (и супербран).

Хотя самые первые работы по бесконечномерному анализу (принадлежащие, в частности, Адамару1, Фреше2, Вольтерре3, Гато4) появились в начале XX века, фактически бесконечномерный анализ в том виде, как он понима

1J. Hadamard: Sur les operations fonctionnelles// C.R. Acad. Sei. Paris, 136 (1903), 351-354.

2M. Frechet: Sur les operations lineaires // Trans. Amer. Math. Soc., 5:4 (1904), 493-499

3V. Volterra: Lections sur les fonctions de lignes// Paris: Gauthier-Villars. 1910.

4R. Gateaux : Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques // Comptes rendus de l'academie des sciences (Paris) 157 (1913), 325-327 ется сегодня, сформировался в значительной мере в работах советских математиков, начиная с пионерских работ А.Н. Колмогорова 5, C.B. Фомина6 и их последователей, причем нужно отметить, в частности, что определяющий вклад в это формирование внесен классическими результатами О.Г. Смоля-нова и его учеников: В.И. Богачева, A.B. Угланова и Е.Т. Шавгулидзе.

5A.N. Kolmogorov. La transformation de Laplace dans les espaces linéaires. // C.R. Acad. Sei. Paris , 200 (1935) pp. 1717-1718

6 C.B. Фомин: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79. ному анализу), о важности развития бесконечномерного анализа ярко высказался известный британский математик М.Ф.Атья7. В лекции, прочитанной в Филдсовском институте г. Торонто на Мировом математическом симпозиуме 2000 года, говоря о перспективах математики в начавшемся XXI-м веке он сказал8 (цитата из опубликованного перевода9 на русский язык):

При этом в качестве тех открытых в XX веке перспективных областей, от которых следует ожидать развития в веке XXI-м, он выделил, в частности, анализ над локальными (по Вейлю) полями. Важными частными случаями последних являются нетривиальные нормированные пополнения поля рациональных чисел (относительно различных нормирований). Кроме того, он отметил важность (для приложений в математической и теоретической физике, особенно в теории калибровочных полей и струн) распространения преобразования Фурье на случай нелинейных бесконечномерных областей определения преобразуемых функций. Наконец, он отметил и важность исследований, связанных с некоммутативным анализом — и особо отметил, что определенно ожидает результатов в первом десятилении века.

После этих уточнений уместно вернуться к продолжению цитаты: . а "подлинное понимание" для меня означает, что найдены вполне строгие доказательства всех тех замечательных фактов, о которых размышляли физики.

7являющийся также иностранным членом РАН sAtiyah М.: MATHEMATICS IN THE 20ТН CENTURY// Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, Vol.34, No 1, p. 1-15.

Атья M.: Математика в двадцатом веке// Матем. проев., серия 3, 2003, выпуск 7, с. 5—24. альный интеграл как основной элемент формализма.

Таким образом, к числу областей математики, развитие которых им ожидалось, отнесены, в частности: математические модели физики, особенно квантовой теории; бесконечномерный анализ как таковой (включая бесконечномерный гармонический анализ) и как сформировавшийся аппарат современных физических теорий; анализ над различными локально компактными полями и некоммутативный анализ.

Результаты настоящей диссертации относятся ко всем этим актуальным направлениям, о которых говорили как Колмогоров при их рождении (закладывая основы значительной части их) в XX веке, так и Атья в самом конце XX века, и которые на сегодня, с одной стороны, обрели признаки классических, а с другой стороны — набрав темп развития, пока ещё весьма далеки от завершения. Она представляет собой исследование операторных полугрупп, порожденных конечномерными (над локально компактными полями) псевдодифференциальными операторами (ПДО), методами бесконечномерного анализа, включающими как преобразования Фурье функций и мер, заданных на конечномерных и бесконечномерных пространствах над различными локальными полями, так и строгое доказательство формул, содержащих фун-циональные интегралы, аналогичных, классическим формулам с интегралами Фейнмана для решений уравнений Шредингера. Упомянутые полугруппы естественным образом возникают как разрешающие для эволюционных уравнений, в которых правые части содержат псевдодифференциальные генераторы этих полугрупп. Таким образом, результаты о представлениях операторов этих полугрупп приводят к результатам о свойствах решений соответствующих эволюционных уравнений, в частности — к представлениям этих решений.

Следует отметить, что в только что закончившемся первом десятилетии века активно находил применения и развивался так называемый ультраметрический анализ, в частности, — анализ на пространствах над полями р-адических чисел, или р-адический анализ ([31], [32], [45]). В частности, именно на базе р-адического анализа построены математические модели таких физических процессов, как "спектральная диффузия" (в коллективе макромолекул протеина) и явление абсорбции угарного газа миоглобином. Исследование физических состояний белковых молекул иногда относят к мезофизике из-за типичных порядков размеров исследуемых объектов, находящихся между типичными порядками размеров макрофизики и объектов микрофизики (атомной). Важнейшим ингредиентом р-адических моделей процессов с белковыми молекулами является уравнение, аналогичное уравнению теплопроводности и понимаемое как кинетическое [9]. В этом уравнении искомая вегцественно-значная функция зависит как от вещественного, так и от р-адического аргумента, а роль оператора Лапласа играет ПДО Владимирова подходящего порядка. Потенцированию ПДО, включающх — в качестве слагаемых — ПДО Владимирова с отрицательными и с чисто мнимыми коэффициентами, посвящены две главы, работы, 2-я и 3-я (с учетом использования в них общих конструкций, развитых в 1-й главе, — первые 3 главы из 4-х). 4-я глава посвящена исследованию аналогичными методами, развитыми автором, ПДО с некоммутирующими (матричными) коэффициентами, входящих в правую часть записанного в эволюционной форме классического уравнения Дирака для электрона и позитрона в пространственно неоднородном потенциале.

Задача включает, в частности, представления изучаемых полугрупп с помощью интегралов по путям в пространствах над полями вещественных и р-адических чисел, в том числе — разработку аппарата пуассоновских мер в пространствах траекторий, инвариантного относительно выбора основного поля пространств значений траекторий и их размерности, для случая неком-мутирующих (матричных) значений мер.

Основные методы. Главный метод работы — использование бесконечномерного интегрирования в широком смысле. При этом интегрирование производится как по вероятностным функциональным распределениям, аналогичным мерам Винера, так и по матрично-значным обобщениям мер Маслова-Пуассона, а также по более общим распределениям, не являющимися счетно аддитивными, примерами которых являются меры типа Фейнмана. Для определения функциональных интегралов используются' как аппроксимации их классическими конечномерными интегралами в смысле Лебега, так и бесконечномерные преобразования Фурье. Конечнократные аппроксимации функциональных интегралов основаны на продакт-формуле Чернова для операторных полугрупп. Для построения таких функциональных интегралов, в которых значения подынтегральной функции не обязаны коммутировать со значениями меры интегрирования, используется разработанный автором новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В работе впервые систематически развита теория интегрирования по линейным функциональным пространствам, во многом инвариантная относительно выбора локально компактного нормированного числового поля этих пространств. Для таких функциональных пространств построен новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями, позволяющий интегрировать опера-торнозначные функции по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать). Полученные на этой базе основные результаты диссертации состоят в следующем.

• Получены представления решений уравнений типа теплопроводности с р-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в импульсном и фазовом пространствах;

• получены представления решений уравнений типа Шредингера с р-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в конфигурационном и импульсном пространствах;

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер.

Такие интегралы позволяют строить аналитические выражения, выражающие общие решения псевдодифференциальных уравнений с операторнознач-ными символами (например, со значениями в супералгебрах), включая оригинальное 4-мерное уравнение Дирака для электрона и позитрона в прост-ранственно-иеоднородном электромагнитном поле.

Все основные результаты диссертации опубликованы в 18 статьях автора, 14 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Результаты диссертации неоднократно докладывались, в том числе: — на научно-исследовательских семинарах: "Бесконечномерный анализ и его приложения" механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, руководители: проф. О.Г. Смолянов, проф. Е.Т. Шавгулидзе, 19972010; "Семинар по многомерному комплексному анализу" механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители: проф. В.К. Бе-лошапка,чл.-корр. РАН С.Ю. Немировский, проф. А.Г. Сергеев, чл.-корр. РАН Е.М.Чирка, 2010; Семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики" механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители проф. Д.В. Георгиевский, д.ф.-м.н. М.В. Шамолин, проф. С.А. Агафонов, 2005-2010; "Открытый семинар по теоретической физике" Московский Государственный Открытый Университет, факультет прикладной математики, кафедра физики,руководитель проф. Т.Ф.Камалов, 2007-2010; "Семинар Отдела математической физики" МИАН им. В.А. Стеклова, руководители акад. В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В. Волович, 1997-2010; Семинар лаборатории Теории нелинейных физико-математических процессов Института химической физики РАН, руководитель член-корр. РАН В.А. Аве-тисов, 1997-2010; на научных конференциях: Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2004; Третья международная конференция по р-адической математической физике: от физики планковских масштабов до сложных систем и биологии "p-ADIC MATHPHYS.2007" Москва, 2007; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2007; 3rd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, Vaxjo, Sweden, 2008; 1-я Международная Самарская конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2008; Международная конференция "Stochastic Analysis and Random Dynamical Systems", Львов, Украина, 2009; Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, 2009; Российекая Школа-конференция "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании", Москва, РУДН, 2009; Международная научно-техническая конференция "Нанотехнологии и наноматериалы", Москва, МГОУ, 2009; 2-я Международная Самарская конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2010.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух дополнений и списка литературы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Шамаров, Николай Николаевич, Москва

1. Авербух В. И., Смоляное О. Г., Фомин С. В.: Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах 1. Дифференцируемые меры.// Труды Московского математического общества, 1971, т. 24, с. 133-174.

2. Авербух В. И., Смоляное О. Г., Фомин С. В.: Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. II. Дифференциальные операторы и их преобразование Фурье// Труды Московского математического общества, 1972, т.27, 247-262.

3. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах.// Успехи математических наук, 1967. т.22, вып. 6, 201-260.

4. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Дифференцирование в линейных топологических пространствах.// Доклады АН СССР, 1967. т. 173, N 4, 735-738.

5. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Различные определения производной в линейных топологических пространствах// Успехи математических наук, 1968. т.23, вып. 4, 67-116.

6. Авербух В.И., Смоляное О.Г.: Дополнение к статье "Различные определения производной в линейных топологических пространствах"// Успехи математических наук, 1968. т.23, вып. 5, 223-224.

7. Авербух В. И., Смоляное О. Г.: Дифференцирование и псевдотопологии.// Вестник Московского университета, серия матем., мех. 1972, N0 1, с. 3-7.

8. Авербух В. И., Смоляное О. Г.: Псевдотопологии и дифференцирование./ / Вестник Московского университета, серия матем., мех. 1972, N0 2, с. 3-9.

9. Аветисов В.А., Вищлов А.Х., Осипов В.Ал.: р-Адические модели ультраметрической диффузии в конформационной динамике макромолекул// Тр. Матем. ин-та РАН. 2004. 245, 55-64.

10. Аккарди Л., Смоляное О.Г.: Расширения пространств с цилиндрическими мерами и носители мер, порождаемых лапласианом Леви// Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 4. С. 483-492

11. Аккарди Л., Смоляное О.Г.: Представления лапласианов Леви и связанных с ними полугрупп и гармонических функций// Доклады Академии Наук, 2002, т. 384, № 3, стр. 295-301.

12. Аккарди Л., Смоляное О.Г.: Операторы Лапласа-Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах, Математические заметки, 2002, том 72, выпуск 1, 145-150.

13. Альбеверио С., Смоляное О.Г. Представления функциональными интегралами решений некоторых стохастических уравнений типа Шредингера-Белавкина Доклады Российской Академии Наук 1999, 364(6), 747-751.

14. Альбеверио С., Смоляное О.Г.: Формулы Фейнмана-Каца для эволюционных дифференциальных уравнений с коэффициентами типа белого шума// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 367(1). 26-30.

15. Альбеверио С., Смоляное О.Г.: Квантование по Шредингеру систем Гамильтона-Дирака и интегралы Фейнмана по суперпространству.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 390, № 6, стр. 727-732.

16. Альбеверио С., Смоляное О.Г., Хренников А.Ю.: Представление функциональными интегралами решений уравнений Лиувилля для обобщенных гамильтоновых систем// Доклады РАН, 2001, 381 (2), 155-159.

17. Алъбеверио С., Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т: Решение уравнений Шредингера для конечномерных систем Гамильтона-Дирака с полиномиальными гамильтонианами.// Доклады Академии Наук, 2004, т. 397, № 2, стр. 151-154.

18. Атпъя М.: Математика в двадцатом веке// Матем. проев., серия 3, 2003, выпуск 7, 5—24.

19. Богачев В.И., Смоляное О.Г.: Действительный и функциональный анализ: университетский курс.// НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Москва—Ижевск, 2009

20. Бутпко Я.А.: Функциональные интегралы, соответствующие решению задачи Коши—Дирихле для уравнения теплопроводности в области компактного риманова многообразия// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, том 12, № 6, с. 3—15.

21. Бутко Я.А., Гротхаус М., Смоляное О.Г.: Формула Фейпмана для параболического уравнения второго порядка в области// Доклады Академии наук, 421 (2008), 6 (август), 727-732.

22. Бухер В., Фрелихер А.: Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. М., Мир, 1970.

23. Вайцзеккер Х.ф., Леандр Р., Смоляное О.Г.: Алгебраические свойства бесконечномерных дифференциальных форм конечной костепени// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 369(6), 727-731.

24. Вайцзеккер Х.ф., Смоляное О.Г.: Дифференциальные формы на бесконечномерных пространствах и аксиоматический подход к формуле Сток-са// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 367(2), 151-154.

25. Вайцзеккер Х.ф., Смоляное О.Г.: Связи между гладкими мерами и их логарифмическими градиентами и производными// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 369(2), 1-5.

26. Ватанабэ С., Икэда Н.: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. — М.: Наука, 1986.

27. Бахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах.// "Наука", М., 1985.

28. В ершик А. М., Судаков В. Н.: Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах. //Записки научных семинаров ЛОМИ, 1969, вып. 12, с. 767.

29. Вишик М.И.: Параметрикс эллиптических операторов с бесконечным числом независимых переменных.// Успехи мат. наук. 1971. Т 26, N 2, с. 155-174.

30. Вишик М.И.: Фундаментальные решения бесконечномерных эллиптических операторов любого порядка с постоянными коэффициентами.// — ДАН СССР. 1973. Т 208, N 4, с. 764-767.

31. Владимиров B.C., Воловин И.В.: р-адическая квантовая механика// ДАН СССР, т. 302, 1988, 320-322.

32. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленое Е.И.: р-Адический анализ и математическая физика. М.: Наука, Физматлит, 1994.

33. Гельфанд И.М., Яглом A.M.: Интегрирование в функциональных пространствах и его применения в квантовой физике.// УМН, 11,1(67), 1956, 77-114.

34. Гихман И.И., Скороход A.B.: Теория случайных процессов, т.1. М.: Наука, 1971.

35. Годунов А.Н., Дуркин А.П.: О дифференциальных уравнениях в линейных топологических пространствах. // Вестник МГУ, сер. 1 — матем., механика. 1969, N 4, с 39-47.

36. Далецкий Ю., Фомин C.B.: Меры и дифференциальные уравнения на бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

37. Данфорд H., Шварц Дою.: Линейные операторы. Общая теория.// ИЛ, М., 1962.

38. Дынкин Е.Б.: Основания теории марковских процессов.// Серия: Теория вероятностей и математическая статистика, Издательство: ФИЗМАТ-ЛИТ, 1959 г.

39. Дэвис Я., Смоляное О. Г., Тру мен А.: Представление функциональными интегралами решений стохастических уравнений Шредингера на компактных римановых многообразиях// Докл. РАН, т. 373, N 1, 2000, 10-14.

40. Г.К.Завада, Н.Н.Шамаров: Разложение де Рама-Ходжа-Кодаиры па бесконечномерном пространстве относительно гладкой продакт-меры// Вестник Московского Университета, сер. математика, механика, 2000, № 2, с. 14-18.

41. Р. С. Исмагилов: О спектре самосопряженного оператора в Ь2(К), где Клокальное поле; аналог формулы Фейнмана—Каца// ТМФ, 89:1 (1991), 18-24

42. К. Ито, Г. Маккин: Диффузионные процессы и их траектории// "Мир", М., (1968)

43. Каку, М.: Введение в теорию суперструн // пер. с англ. Г.Э. Арутюнова, А.Д. Попова, C.B. Чудова; под ред. И. Я. Арефьевой. — М.: Мир, 1999.- 624 с.

44. Карасев М.В.: К теории континуального интеграла// УМН. 1976, Т 31, вып. 2, стр. 213-214.

45. Козырев C.B.: Методы и приложения ультраметрического и р-адического анализа: от теории всплесков до биофизики// Современные проблемы математики/ МИ АН, 2008

46. Маслов В. П. : Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана для нелинейных уравнений.// — М.: Наука, 1976.

47. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей.// "Мир", М., 1969.

48. Саймон Б.: Модель Р(ф)2 евклидовой квантовой теории поля.// М.: Мир. 1976.

49. Скороход А. В.: Интегрирование в гильбертовом пространстве. М., Наука, 1975.

50. Смоляное О.Г.: Измеримые линейные многообразия в произведениях линейных пространств с мерой.// Математические заметки, 1969, т.5, выпуск 5, 623-634.

51. Смоляное О.Г.: Линейные дифференциальные операторы в пространствах мер и функций на гильбертовом пространстве.// Успехи мат. наук. 1973. Т 28, N 5, с. 251-252.

52. Смоляное О.Г.: Класс пространств, в которых справедлива теорема об ограниченной дифференцируемости обратной функции.// Математические заметки, 1975, т. 17, вып.5, с.703-709.

53. Смоляное О. Г.: Линейные представления эволюционных дифференциальных уравнений.// ДАН СССР. 1975. Т 221, N 6, с. 1288-1291.

54. Смоляное О. Г.: Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения.// М.: Московский гос. Ун-т, 1979.

55. Смоляное О. Г.: Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по. Шредингеру.// Докл. АН СССР. — 1982. — 263, № 3. С. 558-562.

56. Смоляное О.Г., Вайцзеккер Х.ф., Виттих О.: Формулы Фейнмана для для задачи Коши в областях с границей.// Доклады Академии Наук, 2004, т. 395, № 5, стр. 596-600.

57. Смоляное О.Г., фон Вайцзеккер X., Виттих О. Построение диффузий на множестве отображений отрезка в компактное риманово многообразие // ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2005, т. 402, № 3, р. 316-320.

58. Смоляное О.Г., Вайцзеккер Х.ф., Виттих О., Сидорова H.A.: Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузиями// Доклады РАН, 2001, 377 (4), 441-446.

59. Смолянов О.Г., Вайцзеккер Х.ф., Виттих О., Сидорова H.A.: Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях// Доклады Академии Наук, 2002, т. 383, № 4, стр. 458-463.

60. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Стохастические уравнения Шредингера для гамильтоновых систем со связями// Доклады Российской Академии Наук, 1999, 369(5), 600-604.

61. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Формулы Фейнмана для решений уравнений Шредингера на компактных римановых многообразиях// Матем. заметки, 68:5 (2000), 789-793.

62. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Формулы замены переменной в интеграле Фейнмана по траекториям-в компактном римановом многообразии// Доклады РАН, 2001, 380 (1), 14-18.I

63. Смолянов О. Г., Тру мен А.: Вероятностные модели квантовых систем и неравенства типа Белла.// Доклады Академии Наук, 2002, т. 387, № 1, стр. 31-36.

64. Смоляное О. Г., Тру мен А.: Интегралы Фейнмана по траекториям в ри-мановых многообразиях.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 392, № 2, стр. 174-179.

65. Смоляное О. Г., Тру мен А.: Гамильтоновы формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченных областях.// Доклады Академии Наук, 2004, т. 399, № 3, стр. 310-314.

66. Смоляное О. Г., Тру мен А., Хренников А.Ю.: Колмогоровские вероятностные модели квантовых корреляций.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 393, № 1, стр. 28-32.

67. Смоляное О. Г., Угланов A.B.: Всякое гильбертово подпространство ви-неровского пространства имеет меру нуль.// Математические заметки, 1973, т. 14, N 3, 369-374.

68. Смоляное О.Г., Хренников А.Ю.: Неклассические модели колмогоров-ского типа, описывающие квантовые эксперименты.// Доклады Академии Наук, 2003, т. 388, № 1, стр. 27-32.

69. Смоляное О.Г., Хренников А.Ю., Шелкович В.М.: Мультипликативные структуры в линейном простарнстве векторнозначных распределений.// Доклады Академии Наук, 2002, т. 383, № 1, стр. 28-31.

70. Смоляное О. Г., Фомин С. В.: Меры на топологических линейных пространствах.// Успехи математических наук, 1976, т.31, N5 4, 3-56.

71. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Континуальные интегралы.//Москва, Издательство МГУ, 1990.

72. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Простое доказательство теоремы Та-риеладзе о достаточности положительно достаточных топологий// Теория вероятн. и ее примен. 1992. Т. 37, № 2. С. 421-424

73. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Формулы Фейнмана для решений бесконечномерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами./ / Доклады Академии Наук, 2003, т. 390, № 3, стр. 321-324.

74. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Представления функциональными интегралами решений уравнения теплопроводности с оператором Владимирова/ / Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2008. № 4. С. 16-22.

75. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова// ДАН, 2008, том 420, № 1, с. 4-6.

76. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Представление решений эволюционных уравнений с оператором Владимирова интегралами Фейнмана по траекториям// Докл. РАН. 2009. Т.425. К0- 4. 600-604.

77. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюционных уравнений с оператором Владимирова Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2009. Т. 265. С. 229-240.//

78. Смоляное О.Г., Шамаров H.H.: Гамильтоновы интегралы Фейнмана для уравнений с оператором Владимирова// Докл. РАН. 2010. Т.431. № 2. С. 170-174.

79. Сухинин М. Ф. : Несколько теорем о неявной и обратной функциях в линейных топологических пространствах.// Успехи математических наук. 1973. т. 28, N 1.

80. Угланов А. В.: Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами для обобщенных мер на гильбертовом пространстве // Изв. АН СССР. 1975. Т 39, N 2, с. 438-468.

81. Угланов А. В.: Дифференциальною уравнения второго порядка для функций бесконечномерного аргумента.// ДАН СССР. 1976. Т 230, N 1, с. 44-47.

82. Фейнман Р.: Развитие пространственно-ввременнбй трактовки квантовой электродинамики// УФН, т.91, вып.1, 29-48 (1967).

83. Фейнман Р., Хибс А.: Квантовая механика и интегралы по траекториям.// М.:Мир,1965.

84. Фомин С. В.: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79.

85. Фомин С. В. Метод преобразования Фурье для уравнений в функциональных производных.// ДАН СССР. 1968. Т 181, N 4, с. 812-814.

86. Фомин С. В.: Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Успехи математических наук. 1968. т. 23, Вып. 1., с. 221-222.

87. Фомин С.В.: О некоторых новых проблемах и результатах в нелинейном функциональном анализе.// Вестник МГУ. 1970. N 2, с. 57-65.

88. Фомин С. В.: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78-79.

89. Хёрмандер Л.: Интегральные операторы Фурье, I, сб.Математика, 16:1, 17-61; 16:2, 67-136.// "Мир", М., 1972.

90. Хъюитт Э., Росс К.: Абстрактный гармонический анализ, т. 1// М.: Наука., 1975.

91. Хъюитт Э.} Росс К.: Абстрактный гармонический анализ, т.2// М.: Мир, 1975.

92. Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б.: Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии.// "Мир", М., 1990.

93. Шамаров Н. И.: Некоторые формулы исчисления дифференциальных форм конечной костепени на локально-выпуклом пространстве.// — Вестник МГУ, сер. математика, механика, 1996, N2, с 26-33.

94. Шамаров H.H.: Вероятностное решение задачи Неймана для уравнения Пуассона в области гильбертова пространства// — Вестник МГУ, сер. математика, механика, 1996, N4, с. 102-106.

95. Шамаров H.H.: О восстановлении гладкой плотности одной меры относительно другой гладкой меры на бесконечномерном пространстве по их обобщенным плотностям// — Труды конференции молодых ученых МГУ 1996, с.46-49.

96. Шамаров H.H.: Преобразование Фурье распределений некоммутативных процессов типа Маркова-Маслова// — Труды конференции молодых ученых МГУ 2003, с.89-91.

97. Шамаров H.H.: Преобразование Фурье распределений однородных случайных полей с независимыми приращениями и комплексные цепи Маркова-Маслова// Матем. заметки, 2004, V.75. No.2. с. 275-281.

98. Шамаров H.H.: Функциональный интеграл по счетно-аддитивной мере, представляющий решение уравнения Дирака// Труды Московского Математического Общества, 2005, т.66., с. 263-276.

99. Шамаров H.H.: Полиномиальные замены антикоммутирующих переменных в функциональном суперанализе// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, Механика. 2006, № 4, 3-8.

100. Шамаров H.H.: Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т. 12, вып. 6, 193-211.

101. Шамаров Н.Н.: Применения нестандартных числовых систем в математической физике.// "Итоги науки и техники" ВИНИТИ, сер. "Современные проблемы математики и ее приложения", тематические обзоры, том посвященный памяти В.В.Трофимова, 2007 Том 23, 182—194.

102. Шилов Г. Е.: О мерах в линейных пространствах.// — ДАН СССР, 159, N 1, 1955. с.46-48.

103. Шилов Г. Е.: Интегрирование в бесконечномерных пространствах и интеграл Винера.// Успехи математических наук, 18, вып. 2, 1963.

104. Шилов Г. Е.: "О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве, I"// Функц. анализ и его прил., 1:2 (1967), 81-90.

105. Шилов Г.Е.: О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. И. // Матем. исслед. 1968. Т 2, N 4, с. 166-186.

106. Шилов Г. Е.: "О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. ИГ'// Матем. сб., 74(116):1 (1967), 161-168.

107. Accardi L., Smolyanov O.G.: Semigroups and harmonic functions generated by Levy Laplacians.// — Centro Vito Volterra (Univercita di Roma II), January 2002, Preprint No.505, 1-24.

108. Albeverio S., Khrennikov A., Smolyanov O.: A Local Liouville Theorem for Infinite-Dimensional Hamilton-Dirac Systems// Russian Journal of Mathematical Physics; 2002, v. 9, No 2., 123-140.

109. Arsove M.G.: The Paley—Wiener theorem in metric linear spaces.// Pacific J.Math 10 (1960).

110. Atiyah M.: MATHEMATICS IN THE 20TH CENTURY// Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, Vol.34, No 1, p.1-15.

111. Chernoff R.: A Note on Products Formulas for Operator Semigroups// Journal of Functional Analysis, No 2 (1968) p.238-242.

112. Chemo ff P., Marsden J.: Inßnite-dimensional Hamiltonian systems.// Lecture Notes in Math., No. 425, 1974.

113. Davies E.B.: One-parameter semigroups// Academic Press, 1980.

114. Diestel J., Uhl J.J.,jr: Vector measures (Mathematical surveys, no.15)// Providence, Rhode Island. American Mathematical Sosiety 1977.

115. Dirac P.: Statement of a Problem in Quantum Mechanics// J. London Math. Soc. V.8, 274-277 (1933).

116. Dwyer. T. A. W.: Partial differential equations in Fischer-Fock spaces for the Hilbert-Schmidt holomorphy type// Bull. Amer. Math. Soc., 77:723-730, 1971.

117. Engel K.-J., Nagel R.: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.// Springer-Verlag, N.Y., 2000.

118. Feynman R. P.: Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics// Rev. Mod. Phys. 20, 367-387 (1948)

119. Gross L. Potential theory on Hilbert space //J. Funct. Anal. 1967. V. 1, N 2, p. 123-181.

120. Gyöngy I., Krylov N. V.: On stochastic equations with respect to semimartingales II. Ito formula in Banach spaces. — Stochastics, 1981, 8, p.1-12.

121. Kallianpur G.: The role of reproducing kernel Hilbert spaces in the study of Gaussian processes// Advances in probability and related topics, Vol. 2. Marcel Dekker, New York, 1970. pages 49-83.

122. Nelson E.: Feynman integrals and the Schro"dinger equation// J. Math. Phys. 5 (1964), pp. 332-343.

123. Piech M.A.: A fundamental solution of the parabolic equation on Hilbert space // J. Funct. Anal. 1969. V. 3, N 1, p. 85-114.

124. Shamarov N.N.: Explicit Formulas for Fourier Transforms of Distributions of some Markov Processes.// Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 8, No. 4, 2001, pp. 493-494.

125. Shamarov N.N., Urinovskii A.N.: Inner Products Compatible with an Algebra Structure// Russian Journal of Mathematical Physics, 2002, vol. 9, No 3, 351-370.

126. Shamarov N.N.: Matrix-Valued Cylindrical Measures of Markov Type and their Fourier Transforms// Russian Journal of Mathematical Physics, 2003, vol. 10, No 3, 1-16.

127. Shamarov N.N.: Poisson-Maslov types formulas for Schroedinger equations with matrix valued potentials// Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, vol.10, No 4, Dec.2007, 641-650.

128. Sidorova N., Wittich 0.: Construction of surface measures for Brownian motion// Trends in stochastic analysis: a Festschrift for the 60th birthday of Heinrich von Weizsaecker, 123-158, Cambridge University Press, 2009

129. Simon B.: Functional Integration and Quantum Physics // NY: Acad. Press, 1979.

130. Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A.: Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula// Journal of Mathematical Physics, 2002 October, v. 43, № 10, p.5161-5171.

131. Smolyanov O.G., Truman A.: Feynman path integrals over trajectories in Riemannian Manifolds// Proceedings of the International Conference "Mathematical modelling and wave phenomena", 3-8 November 2002, Vaxio, Sweden, 275-284.

132. Smolyanov O.G., Weizsaecker H. von.: Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations // C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, t. 321, Serie I, p. 103-108.

133. Smolyanov O.G., Weizsaecker H. von.: Smooth Probability Measures and Associated Differential Operators// Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 1999, V. 2, p. 51-78.

134. Weizsaecker H.v., Smolyanov O.G.: Calculus of smooth measures// Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 1999, 2(1), 151-174.