Формулы Фейнмана для эволюционных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

5

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.983.53

Пляшечник Андрей Сергеевич

ФОРМУЛЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2013

О 3 ДПР 2014

005546745

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова..

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Смолянов Олег Георгиевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится 25 апреля 2014 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 24 марта 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор Орлов Юрий Николаевич, зав. отделом института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

кандидат физико-математических наук Толстыга Диана Сергеевна, компания Волга-Днепр, ведущий специалист

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Д 501.001.85 при МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В диссертации получены формулы, представляющие эволюционные семейства, порожденные некоторым классом дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами, с помощью пределов кратных интегралов от элементарных функций от коэффициентов и начальных данных при стремлении кратности к бесконечности. Эти эволюционные семейства дают решение соответствующих задач Коши при некотором классе начальных данных. В работе О.Г. Смолянова, А.Г. Токарева и А. Труме-на1 такой способ представления решений было предложено называть формулой Фейнмана. Наиболее часто используются два вида формул Фенймана. В лагранжсвых формулах Фейнмана интегрирование производится по конфигурационному пространству. Первое аккуратное доказательство результата (фактически гипотезы) Фейнмана, относящегося к лагранжевым формулам Фейнмана, было получено в работе Е. Нельсона2 при помощи теоремы Трот-тера. В гамильтоповых формулах Фейнмана интегрирование производится по фазовому пространству. Первое аккуратное доказательство аналогичного результата Фейнмана о гамильтоновых формулах было проведено в только что процитированной работе1, где в качестве основного инструмента доказательства использовалась теорема Чернова. Существует еще один способ представления решений с помощью интеграла по бесконечномерному пространству функций, называемый формулой Фейнмана-Каца. Формулы Фейнмана-Каца могут быть получены с помощью формул Фейнмана: конечномерные интегралы аппроксимируют бесконечномерный интеграл по пространству функций (траекторий). В настоящее время интегрирование по траекториям широко используется в квантовой механике и в квантовой теории поля (см., например, книги С. Вайнберга3, М.Е. Пескина и Д.В. Шредера4).

Хотя первые гамильтоновы и лагранжевы формулы Фейнмана были по-

G. Smolyanov, A. G. Tokarcv, A. TYuman, "Hamiltonian Feynman path integrals via the ChernoS formula", J. of Math. Phys., 2002, 43, № 10, c. 5161-5171.

2E. Nelson, "Feynman Integrals and the Schredinger Equation", J. Math. Phys., 1964, 5, № 3, c. 332-343.

3C. Вайнберг, "Квантовая теория поля"(в 2х томах), М.: ФМЛ, 2003.

4М.Е. Пескнн, Д.В. Шредер, "Введение в квантовую теорию поля", Ижевск: РХД, 2001.

лучены самим Р. Фейнманом5 (опиравшимся на одно наблюденне П.A.M. Дирака) более полувека назад, в настоящее время известно сравнительно немного работ, посвященных строгому исследованию формул такого типа; многие результаты лишь анонсированы. Обзор и ссылки на эту тему можно найти в работах О.Г. Смолянова 6.

Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Из полученных в диссертации формул вытекают, в частности, результаты работ М. Гаделья и О.Г. Смолянова7 и О.Г. Смолянова, Х.ф. Вайцзеккера и О. Виттиха8. В первой из них рассматриваются эволюционные дифференциальные уравнения второго порядка и исследуется сходимость формул Фейнмана в пространстве квадратично интегрируемых функций. Полученные в этой работе результаты обобщаются и усиливаются в диссертации, именно, в диссертации допускается, что коэффициенты при производных могут зависеть как от координат, так и от времени; сходимость формул Фейнмана рассматривается в пространстве непрерывных функций и в различных пространствах интегрируемых функций. Во второй работе рассматриваются формулы Фейнмана для уравнений на римановых многообразиях. В диссертации рассматриваются более общие уравнения с переменным множителем перед оператором Лапласа.

Изучаемые в диссертации эволюционные семейства можно разбить по тину соответствующих уравнений на две группы: параболические уравнения и уравнения типа Шредингера.

Параболическому уравнения второго порядка соответствует стохастическое дифференциальное уравнение, решением которого будет некоторый диффузионный процесс. При этом плотность переходной вероятности получеп-

6R.P. Feynmaii, " Spacc-timc approach to non-relat.ivistic quantum mechanics", Reviews of Modern Physics, 10-18, 20, №2, pp. 367-387.

60. G. Smolyannv, "Feynman formula for evolution equations", 'IVends in stochastic analysis, 200!), 453, pp. 284-302.

O.G. Smolyanov, "Schrodingcr typo semigroups via Fcynman formulae and all that", Quantum bioinformation, 2013, 5, pp. 301-314.

7M. Гадэлья, О.Г. Смоляное "Формулы Фейнмана для частиц с массой, зависящей от координаты", ДАН, 2008, 418, № 6, с. 727-730.

еО. G. Smolyanov, Н. von Weizsäcker, О. Wittich, "Chernoff' theorem and discrete time approximations of brownian motion on manifolds", Potential Analysis, 2007, 26, № 1, pp. 1-29.

ного случайного процесса, являющаяся также интегральным ядром соответствующего эволюционного семейства, будет фундаментальным решением исходного уравнения в частных производных. Построенный случайный процесс определяет меру на пространстве непрерывных функций, а решение исходного уравнения представляется как интеграл по этой мере. Такое представление называется формулой Фсйнмана-Каца. Хотя такой способ и дает точное представление решения, в случае переменных коэффициентов переходные вероятности соответствующего случайного процесса не выражаются через элементарные функции; поэтому на формулы Фейнмана можно смотреть как па применимый для практических вычислений способ приближенного нахождения таких интегралов но бесконечномерному пространству.

Уравнениям типа Шредингера также соответствует интегралы но траекториям; именно они и были введены Фейнманом2. Интегрирование в них производится по псевдомере, которая имеет локально неограниченную вариацию; однако свойства таких интегралов во многом схожи со свойствами обычных интегралов. Здесь снова интеграл по траекториям дает точное представление решения, а формулы Фейнмана представляют собой применимый для компьютерных вычислений способ его нахождения.

Перечислим теперь несколько сравнительно недавних результатов о формулах Фейнмана и Фейнмана-Каца, полученных методами, близкими к используемым в диссертации. В работе О.О. Обрезкова9 рассматривается уравнение типа теплопроводности на компактном римановом многообразии без границы, где старшая часть дифференциального оператора является оператором Лапласа-Бельтрами. В пей также доказаны формулы Феийпмана-Каца и явно выражена нлотность полученной меры относительно меры Винера в терминах геометрических характеристик многообразия. Уравнения типа теплопроводности и Шредингера с оператором Владимирова, являющимся аналогом оператора Лапласа в р-адическом пространстве, с переменным множителем рассмотрены в работе О.Г. Смолянова и H.H. Шамарова10. Форму-

80.0. Obrezkov, "The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian

Manifold", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topic, 2003, 6, № 2, c. 311-320.

10O. Г. Смолянов, H.H. Шамаров, "Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюционных уравнений с оператором Владимирова", Избранные вопросы математической физики и р-адического анализа, Сборник статей, Тр. МИАН, 2009, 265 с.229-240.

лы Фейнмана для операторов на разветвленных многообразиях изучаются в работе О.Г. Смолянова. и Д.С. Толстыги11. В работе А. Трумена и О.Г. Смолянова12 изучаются формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченной области. Применение формул Фейнмана для решения уравнения Шредингера в бесконечномерном пространстве изучается в работах О.Г. Смолянова13 ; С. Альбевсрио, О.Г. Смолянова и А. Хренникова14 ; О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе15. Отметим также пионерскую книгу В.П. Масло-ва16, в которой для получения формул типа Фейнмана-Каца используются не формулы Фейнмана, а разложение типа Дайсона, а также книгу О.Г. Смолянова н Е.Т. Шавгулидзе17, в которой систематически рассматриваются еще несколько методов получения формул Фейнмана-Каца.

В отличие от перечисленных работ, в диссертации коэффициенты в уравнениях зависят как от пространственных координат, так и от времени; при этом соответствующие операторы могут быть не самосопряженными и даже не симметричиыми. Кроме того, в диссертации используется более широкий набор функциональных пространств.

При доказательстве результатов диссертации используется обобщение формулы Чернова18, его доказательство также приведено в диссертации. Это обобщение было анонсировано в статье19. Формула Чернова представляет собой обобщение формулы Троттера, с помощью которой в указанной ранее работе Е. Нельсона3 были впервые доказаны результаты, связанные с формулами Фейнмана. Формула Чернова дает способ приближенного представле-

аО.Г. Смолянов, Д.С. Толстыга "Формулы Фейнмана для стохастической и квантовой динамики частиц в многомерных областях", ДАН, 2013, 452, № 3, с. 256-260.

120. Г. Смоляное, А. Трумен, "Гашшьтоновы формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченных областях", ДАН, 2004, 399, № 3, с. 310-314.

,3О.Г. Смолянов, "Бесконечномерные исевдодифференциальные операторы и квантование Шредингера", ДАН, 1982, 263, № 3, с. 568-562.

14S. Albeverio, A. Khremiikov, O.G. Smolyanov, "The Probabilistic Feynman-Kac Formula for infinite-dimensional Schrodinger Equation with Exponential and Singular Potentials", Potential Analj'sis, 1999, 11. c. 157-181.

150.Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе, "Бесконечномерные уравнения Шредипгора с полиномиальными потенциалами и интегралы Фейнмана по траектория", ДЛИ, 2000, 408, № 1, с. 28-33.

10В. П. Мас.тов, "Комплексные марковские цени и контипуальпый интеграл Фейнмана", М.: Наука, 1976.

170. Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе, "Континуальные интегралы", М.: Издательство МГУ, 1990.

1SR. P. Chernoff, "Note on product formulas for operator semigroups", J. Funct. Anal., 1968. 2,№2,c. 238-242.

1эО.О. Обрезков, О.Г. Смолянов, А. Трумен, "Обобщенная теорема Чернова и рандомизированная формула Фейнмана", ДАН, 2005, 400, № 5, с. 596-602.

ния сильно непрерывной полугруппы операторов в банаховом пространстве, а при достаточно общих условиях решения эволюционных уравнений выражаются именно через такие полугруппы в различных функциональных пространствах. Мы будем использовать обобщение формулы Чернова на случай, когда операторы зависят от времени. В этом случае полугруппа заменяется на двухпараметричсское эволюционное семейство.

Цель работы. Целью диссертации является доказательство формул Фей-нмана, представляющих решения некоторых эволюционных дифференциальных уравнений второго порядка, в виде предела кратных интегралов при стремлении кратности к бесконечности.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, опубликованы в статьях автора, и заключаются в следующем:

1. Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа теплопроводности. Формулы доказаны в пространствах интегрируемых функций Ьр, 1 < р < оо и в пространстве непрерывных функций. При рассмотрении уравнения в евклидовом пространстве коэффициенты при старших производных зависят от координат и времени и составляют положительно определенную матрицу. Оператор в правой части уравнений в римановых многообразиях содержит оператор Лапласа-Бельтрами, умноженный на зависящий от координат множитель.

2. Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа Шредингера. Формулы доказаны в пространстве квадратично интегрируемых функций. Старшие коэффициенты образуют матрицу, элементы которой зависят от времени, умноженную на зависящий от координат множитель. Стоит отметить, что в этом случае оператор, вообще говоря, не является ни самосопряженным, ни даже симметричным.

Основные методы исследования. При получении результатов диссертационной работы были использованы методы бесконечномерного анализа и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для нахождения приближенных решений уравнений типа теплопроводности и Шредингера.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

• Семинар механико-математического факультета МГУ под руководством О. Г. Смолянова. и Е.Т. Шавгулидзе (2007-2012 гг., неоднократно)

• XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2012 г.)

• Семинар "Проблемы необратимости "в МИАН им. В.А. Стеклова РАН под руководством И.В. Воловича, В.В. Козлова, C.B. Козырева, О.Г. Смолянова (2011г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведён в конце автореферата. Из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 1 тезисы в материалах международной конференции. Работ, нанисанных в соавторстве, пет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы из 27 наименований. Общий объём диссертации — 82 страницы

Содержание работы.

Во введении проводится обзор работ, связанных с темой диссертации, и кратко излагается основное содержание диссертации.

В первой главе приводятся используемые далее обозначения, определения, вспомогательные утверждения. Также в ней доказывается обобщенная теорема Чернова.

Рассмотрим некоторое банахово пространство X над полем действительных или комплексных чисел.

Определение 1. Однопараметрическое семейство ограниченных линейных операторов {T(t), t > 0}, действующих в X, называется сильно непрерывной полугруппой, если

1. T(t)T(a) = T(t + s).

2. <н» T(t) сильно непрерывно.

Сильная непрерывность означает, что для каждого х € X функция t ь-> T(t)x непрерывна. Рассмотрим в пространстве X задачу Koijih

где Я - линейный, не обязательно ограниченный оператор в X. Тогда при определенных условиях будет существовать такая сильно непрерывная полугруппа Т(Ь), что Т[{)щ даст классическое решение задачи для некоторого класса начальных данных. Стоит отметить, что Т{г)х определено для всех х е X, хотя задача может иметь решение не для всех начальных данных. Теорема Чернова задает условия на оператор Я, достаточные для существования полугруппы, а также представляет способ вычисления ее элементов.

В общем случае оператор Я зависит от неременной t и задача Коши принимает вид

Определение 2. Двухпараметрическое семейство ограниченных линейных операторов {U(t,s), 0 < s < t < t0}, действующих в X, называется эволюционной системой, если

1. U(s, s) = I, U{t, r)U(r, s) = U{t, s) для 0 < s < r < t < t0.

2. (t, s) н-> U(t, s) сильно непрерывно при 0 < s < t < to.

При определенных условиях существует такое эволюционное семейство C/(i,s), что классическое решение задачи имеет вид U(t, з)щ. Обобщенная теорема Чернова дает способ вычисления U(t, s).

^f- = Hu(t), t> 0 u(0) = щ,

Теорема 1 (обобщенная теорема Чернова). Пусть имеется семейство замкнутых операторов {#(£), 0 < I < Т} таких, что их область определения Бот{Н{£)) = Б не зависит от t и плотна в X, для всех Ь оператор Н(¿) взаимнооднозначно отображает Б на X и для каждого д е Б множество Н{€)д ограничено в X. Рассмотрим эволюционное семейство в), 0 < й < г < Т} такое, что

\\Щ,8)\\<С

при всех 0 < в < Ь < Т. Пусть для каждого д 6 Б выполнено

Ц{Ь + — I -Ш-9-Н(1)д

при И | 0 равномерно по Пусть для каждого д е Б выполнено С/(г, з)д € Б и Н(0)и^, в)д непрерывно по совокупности переменных на множестве 0 < в < í < Т. Пусть имеется семейство ограниченных операторов 0<s<t<T такое, что для любого набора 0 < ^ < ... < tk < Т выполнено

и для каждого д 6 Б

At ~9 H{t)g

при Ai J. О равномерно по t. Тогда для всех / 6 X

« , ь, lim „ nQ^n-i)-Q{kM)f^U{b,a)!

n-юо, t„=b, t0=a, max(ii+1 —ij—>0

равномерно на множестве 0 < а < b < Т.

Во второй главе приводится доказательство формул Фейнмана для уравнений типа теплопроводности в различных функциональных пространствах. Рассмотрим семейство дифференциальных операторов (#(i), 0 < t < Т}:

!J=1 г=1

Коэффициенты H(t) принимают действительные значения и удовлетворяют следующим требованиям:

1. Гладкость коэффициентов. Для каждого значения I коэффициенты перед частной производной &-го порядка лежат в С£(1&п) и ограничены равномерно по переменной t:

Н^.ОНсг^») < с, Нь^.оНсгоР) < с, < с.

2. Непрерывность по Гельдеру. Существуют константы Ь и 0 < а < 1 такие, что

|с(<,х) — с(в,х)\ < Ь\1 — з|а.

3. Равномерная эллиптичность. Старший коэффициент симметричен =

а?,г{Ь,х) и существует такая положительная постоянная а, что

¿¿=1 Ь=1

Рассмотрим семейства операторов

/ ехР (-{aM'%lv];is-v))) ЛУШ

х

R"

(F2(t,s)f)(x) = f(x+(t~s)b(s,x)),

(F3(t,s)f)(x) = е^^Дя),

где 0 <s<t<T и t — s достаточно мало.

Пусть коэффициенты оператора Н не зависят от неременной t. Пусть пространство X будет одним из пространств Lp(IRn)i<p<00 или пространством непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности Со (¡К"). В качестве области определения Н возьмем пространство Co0(Rn) трижды непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем. Операторы Fk(t, s) зависят лишь от разности t — s, поэтому мы можем определить операторы Fk{t) = Fk(t + s,s) и F(t) =.F1(i)F2(i)F3(i).

Теорема 2. Замыкание оператора Н в пространстве X является генератором сильно непрерывной полугруппы T(t). Элементы этой полугруппы могут быть вычислены по формуле

T(t)f = lim F(t/n)nj.

п—*оо

Рассмотрим общий случай с зависимостью от времени. Пусть 1 < р < оо. Будем рассматривать H{t) в пространстве LP(R") на области определения Wp(Rn). Семейство H(t) порождает эволюционную систему U(t,s) в пространстве Lp(Rn). Положим F(t,s) = Fi(t,s)F2(t, s)Fs{t,s).

Теорема 3. Для любой / € ¿Р(К")

lim F(tn,tn^)...F(tut0)f = U(b,a)f

п-+ оо, tn=b, t о=а, max(ii+i —¿¿)—»0

равномерно на множестве 0 < а < b <Т.

Пусть имеется риманово многообразие без края N размерности п, изометрически вложенное в риманово многообразие М. Пусть Ь(х) - векторное поле на N и а(х), с(х) - скалярные функции на N, причем а(х) > С > 0. Пусть существует такое е > 0, что в е окрестности любой точки N в нормальных координатах а{х) дважды непрерывно дифференцируема, Ь(х) -один раз непрерывно дифференцируема, с(х) - ограничена, причем функции и производные ограничены одной константой, независимо от исходной точки. Кроме того, пусть функция вложения N в М и достаточное количество ее производных ограничены в том же смысле. Рассмотрим семейства операторов

(F^mi*) = (2 xir/2a(*r/2 / exp (-^ff) f(y)vol(dy),

U(x) ^ '

где U{x) - е-окрестность точки x в многообразии JV, а в качестве du,N можно выбрать djy - расстояние в N или ¿м - расстояние в М,

(F2(t)f)(x) = f(v(t,x))>

где <p(t,x) - интегральная кривая поля Ь(-) с начальной точкой х,

тШх) = e^f(x).

Теорема 4. Пусть X будет одним из пространств Lp(N)i<p<00 или пространством непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности Cq(N). Рассмотрим в пространстве X семейства операторов FN(t) и FM(t), заданные по формуле

FAT(M)(i) = if (M)(i)Fa(i)F3(t), и операторы Нn и Нм > действующие на гладкие функции как

(HNf)(x) = ^(&Nf)(x) + db[x)f(x) + (ф) - ia(z)ScaM*)) f(x),

(HMf)(x) = гМ(Д Nf)(x) + db[x)f(x)+

+ a{x) + + ^gifm + c[x)f{xl

где Scalff - ска.пярная кривизна N, Тф - след второй основной формы, Rm/l -частичный след тензора кривизны, a An - оператор Лапласа-Белътрами на многообразии N. Тогда замыкания операторов Hm(n) порождают сильно непрерывные полугруппы Tm(n)(t) в пространстве X, причем для всех f £ X выполнено

TM(N)(t)f = И™ FMW(t/n)nf.

^ п—»ОС

В третьей главе рассматриваются формулы Фейнмана для уравнений типа Шредингера в пространстве квадратично интегрируемых функций. Рассмотрим в пространстве ^(Ж"') операторы {H(t), 0 < t < Т} вида

H{t) = l-a(t,x) £ a'^Wg^. + ¿^¿Е + C(t,x).

k,m=1 k=l

Наложим на коэффициенты перед производными следующие требования:

1. Функция c(t, х) принимает комплексные значения, а все остальные коэффициенты принимают действительные значения.

2. Гладкость и ограниченность коэффициентов. Для каждого значения t коэффициенты перед частной производной fc-ro порядка лежат в C*(1R") и ограничены равномерно по переменной t:

1М«> OllciCR") < с. \\v(t, oibicR") < С, ||c(i, Olkm < С,

и

|a*-m(i)| < G.

3. Коэффициенты непрерывно дифференцируемы по переменной t и производные ограничены.

4. Найдется такая положительная постоянная С, что

a(t, х) > С.

5. Равномерная эллиптичность. Старший коэффициент симметричен a^{t) aJ,!(i) и существует такая положительная постоянная С, что

hj=1 fc=i

Областью определения H{t) является пространство Соболева W|(Mn). Она одинакова для всех t. Семейство H(t) порождает эволюционную систему U(t,s) в пространстве L2(R").

Выберем число е с условием 0 < е < и рассмотрим операторы

(Fi(t, s)f)(x) = (27r)-"/2det((i - s)l+eE + i(t - s)a(s,z))~1/2x

~ f -(((t-^'E+i(t-S)a(s,x)) {x-vUx-y))/2

x J e \\ ) ) f(y)dy,

E"

где E означает единичную матрицу, а квадратный корень вычисляется как непрерывное продолжение функции det((i - s)1+£E + i£a(z))_1/2 по отрезку

Îe[0,i-s],

(F2(t,s)f)(x) = f(x+(t-s)b(six)), (F3(t,s)f)(x) = e^c^f(x). Обозначим F(t, s) = Fx(t, s)F2{t, s)F3(t, s). Теорема 5. Для каждой функции f E L2 (Rn) выполнено

n-oct ы lim if M nF{tn,tn-1)...F(t1,to)f = U(b,a)f

n—»oc, tn=6, £o=a, max(ii+i —¿i)—»0 равнол1ерно на множестве 0 < a < b < T.

В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, за помощь и поддержку на протяжении всей научно-исследовательской деятельности.

Работы автора по теме диссертации

[1] A.S. Plyashechnik, Feynman formula for Schrôdinger-Type equations with time- and space-dependent coefficients, Russian Journal of Mathematical Physics, 2012, 19, № 3, pp. 340-359.

[2] A. S. Plyashechnik, Feynman formulas for second-order parabolic equations with variable coefficients , Russian Journal of Mathematical Physics, 2013, 20, № 3, pp. 377-379.

[3] А. С. Пляшечник, Формулы Фейнмана для уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, XIX Международная молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Тезисы докладов, МАКС Пресс, Москва, 2012.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж/05 экз. Заказ

с

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

04201457067 ПЛЯШЕЧНИК АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

ФОРМУЛЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Смолянов Олег Георгиевич

Москва — 2013

Оглавление

Введение 3

1 Эволюционные уравнения, полугруппы и теорема Чернова 9

2 Параболические уравнения 18

2.1 Постановка задачи..........................18

2.2 Приближающие операторы.....................20

2.3 Формула Фейнмана для автономного случая...........29

2.4 Формула Фейнмана в общем случае................30

2.5 Уравнения на римановых многообразиях.............35

3 Уравнения типа Шредингера 48

3.1 Постановка задачи..........................48

3.2 Одномерный случай.........................49

3.3 Приближающие операторы.....................57

3.4 Формула Фейнмана..........................75

Литература 80

Введение

В диссертации получены формулы, представляющие эволюционные семейства, порожденные некоторым классом дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами, с помощью пределов кратных интегралов от элементарных функций от коэффициентов и начальных данных при стремлении кратности к бесконечности. Эти эволюционные семейства дают решение соответствующих задач Коши при некотором классе начальных данных. В работе О.Г. Смолянова, А.Г. Токарева и А. Трумена [15] такой способ представления решений было предложено называть формулой Фейнмана. Наиболее часто используются два вида формул Фенймана. В лагранжевых формулах Фейнмана интегрирование производится по конфигурационному пространству. Первое аккуратное доказательство результата (фактически гипотезы) Фейнмана, относящегося к лагранжевым формулам Фейнмана, было получено в работе Е. Нельсона [17] при помощи теоремы Троттера. В гамильтоновых формулах Фейнмана интегрирование производится по фазовому пространству. Первое аккуратное доказательство аналогичного результата Фейнмана о гамильтоновых формулах было проведено в только что процитированной работе [15], где в качестве основного инструмента доказательства использовалась теорема Чернова. Существует еще один способ представления решений с помощью интеграла по бесконечномерному пространству функций, называемый формулой Фейнмана-Каца. Формулы Фейнмана-Каца могут быть получены с помощью формул Фейнмана: конечномерные интегралы аппроксимируют бесконечномерный интеграл по пространству функций (траекторий). В настоящее время интегрирование по траекториям широко используется в квантовой механике и в квантовой

теории поля (см., например, книги С. Вайнберга [13], М.Е. Пескина и Д.В. Шредера [14]).

Хотя первые гамильтоновы и лагранжевы формулы Фейнмана были получены самим Р. Фейнманом [12] (опиравшимся на одно наблюдение П.А.М. Дирака) более полувека назад, в настоящее время известно сравнительно немного работ, посвященных строгому исследованию формул такого типа; многие результаты лишь анонсированы. Обзор и ссылки на эту тему можно найти в работах О.Г. Смолянова [21] и [22].

Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.

Из полученных в диссертации формул вытекают, в частности, результаты работ М. Гаделья и О.Г. Смолянова [5] и О.Г. Смолянова, Х.ф. Вайцзеккера и О. Виттиха [4]. В первой из них рассматриваются эволюционные дифференциальные уравнения второго порядка и исследуется сходимость формул Фейнмана в пространстве квадратично интегрируемых функций. Полученные в этой работе результаты обобщаются и усиливаются в диссертации, именно, в диссертации допускается, что коэффициенты при производных могут зависеть как от координат, так и от времени; сходимость формул Фейнмана рассматривается в пространстве непрерывных функций и в различных пространствах интегрируемых функций. Во второй работе рассматриваются формулы Фейнмана для уравнений на римановых многообразиях. В диссертации рассматриваются более общие уравнения с переменным множителем перед оператором Лапласа.

Изучаемые в диссертации эволюционные семейства можно разбить по типу соответствующих уравнений на две группы: параболические уравнения и уравнения типа Шредингера.

Параболическому уравнения второго порядка соответствует стохастическое дифференциальное уравнение, решением которого будет некоторый диффузионный процесс. При этом плотность переходной вероятности полученного случайного процесса, являющаяся также интегральным ядром соответствующего эволюционного семейства, будет фундаментальным решением исходного уравнения в частных производных. Построенный случайный процесс определяет меру на пространстве непрерывных функций, а реше-

ние исходного уравнения представляется как интеграл по этой мере. Такое представление называется формулой Фейнмана-Каца. Хотя такой способ и дает точное представление решения, в случае переменных коэффициентов переходные вероятности соответствующего случайного процесса не выражаются через элементарные функции; поэтому на формулы Фейнмана можно смотреть как на применимый для практических вычислений способ приближенного нахождения таких интегралов по бесконечномерному пространству.

Уравнениям типа Шредингера также соответствует интегралы по траекториям; именно они и были введены Фейнманом [12]. Интегрирование в них производится по псевдомере, которая имеет локально неограниченную вариацию; однако свойства таких интегралов во многом схожи со свойствами обычных интегралов. Здесь снова интеграл по траекториям дает точное представление решения, а формулы Фейнмана представляют собой применимый для компьютерных вычислений способ его нахождения.

Перечислим теперь несколько сравнительно недавних результатов о формулах Фейнмана и Фейнмана-Каца, полученных методами, близкими к используемым в диссертации. В работе О.О. Обрезкова [20] рассматривается уравнение типа теплопроводности на компактном римановом многообразии без границы, где старшая часть дифференциального оператора является оператором Лапласа-Бельтрами. В ней также доказаны формулы Фенйнмана-Каца и явно выражена плотность полученной меры относительно меры Винера в терминах геометрических характеристик многообразия. Уравнения типа теплопроводности и Шредингера с оператором Владимирова, являющимся аналогом оператора Лапласа в р-адическом пространстве, с переменным множителем рассмотрены в работе О.Г. Смолянова и H.H. Шамарова [23]. Формулы Фейнмана для операторов на разветвленных многообразиях изучаются в работе О.Г. Смолянова и Д.С. Толстыги [24]. В работе А. Тру-мена и О.Г. Смолянова [10] изучаются формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченной области. Применение формул Фейнмана для решения уравнения Шредингера в бесконечномерном пространстве изучается в работах О.Г. Смолянова [7]; С. Альбеверио, О.Г. Смолянова и А. Хренникова [8]; О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [9]. Отметим также пионерскую кни-

гу В.П. Маслова [1], в которой для получения формул типа Фейнмана-Каца используются не формулы Фейнмана, а разложение типа Дайсона, а также книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе [11], в которой систематически рассматриваются еще несколько методов получения формул Фейнмана-Каца.

В отличие от перечисленных работ, в диссертации коэффициенты в уравнениях зависят как от пространственных координат, так и от времени; при этом соответствующие операторы могут быть не самосопряженными и даже не симметричными. Кроме того, в диссертации используется более широкий набор функциональных пространств.

При доказательстве результатов диссертации используется обобщение формулы Чернова [16], его доказательство также приведено в диссертации. Это обобщение было анонсировано в статье [18]. Формула Чернова представляет собой обобщение формулы Троттера, с помощью которой в указанной ранее работе Е. Нельсона [17] были впервые доказаны результаты, связанные с формулами Фейнмана. Формула Чернова дает способ приближенного представления сильно непрерывной полугруппы операторов в банаховом пространстве, а при достаточно общих условиях решения эволюционных уравнений выражаются именно через такие полугруппы в различных функциональных пространствах. Мы будем использовать обобщение формулы Чернова на случай, когда операторы зависят от времени. В этом случае полугруппа заменяется на двухпараметрическое эволюционное семейство.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа теплопроводности.

• Доказаны формулы Фейнмана, представляющие решения уравнений типа Шредингера.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе формулируются необходимые определения и вспомогательные утверждения, а также доказывается обобщенная теорема Чернова.

Во второй главе доказываются формулы Фейнмана для уравнений параболического типа. Здесь получены следующие результаты.

Пусть - семейство операторов в пространстве X (его свойства описываются ниже), задаваемое формулой

1,3=1 г=1

При некоторых условиях оно порождает соответствующую эволюционную систему £/"(£, 5). Определим операторы

(^1(*,в)/)(а0 = (27Г^ — 5))_П//2(с^ а(й, ж))~1//2х

Х У еХР (- 2(*-У) ) 1Шу>

(Р2(г,з)/)(х) = /(х + (г-8)ъ(8,х))1

Тогда

[/(£, я) = Нт

п—*оо, тах(^—¿^-х)—>0

где предел понимается в смысле сильной сходимости. Эта формула справедлива в пространствах Ьр(Шп) 1<р<0о, а если коэффициенты не зависят от то и в пространствах Ь^М11) и Со(Кп).

Пусть теперь N - риманово многообразие без края, изометрически вложенное в риманово многообразие М. Пусть Ь(х) - векторное поле на Л^ и а(х), с(х) - скалярные функции на N. Рассмотрим оператор

а(х) . 0 , ч Н = -у^-Длг + дъ(х) + с(х),

где Адг - оператор Лапласа-Бельтрами на N. В этом случае ^з остается без изменений, ^ соответствует сдвигу вдоль траекторий Ь(х), а в качестве ^ рассматриваюся два различных варианта:

(Р»*(Шх) = / ехр 1(У>о1т

Щх) ^ '

где U(x) - £-окрестность точки х в многообразии N, а в качестве (Im,n можно выбрать d^ - расстояние в N или (1м - расстояние в М. Тогда будет справедлива аналогичная формула

UM'N(t, s) = Hm FM>N(t, tn) • ... ■ FM'N(tь s),

n—>oo, max(ifc—

где UM'N(t,s) порождается оператором HM,N, в котором к с{х) добавлена некоторая функция, выражаемая через геометрические характеристики многообразий и их вложения, своя для каждого способа выбора F\.

В третьей главе доказываются формулы Фейнмана для уравнений типа Шредингера. Рассматриваются операторы

■ п ор. п ß

H(t) = -a(t,x) J2 ¿•>(t)g-g- + J2b%z)Q- + c(t,x).

i,j=1 2=1

Операторы F2(t,s) и F^(t,s) имеют тот же вид, что и в предыдущей главе, а Fi(t,s) имеет вид

_-1 jry

(Fi(t, s)f){x) = (2тг)-п/2 det ((£ - s)1+£E + i(t - s)a(s, x)) x

2 i V (ts)1+eE+i(t-s)a(s,x) ) (x-y),(x-y) ] x / e W / Jf(y)dy,

где число £ фиксировано с условием 0 < е < ^^. В этом случае также имеет место формула

U(t,s)= lim F(t,tn)-...'F(t1,s)

п—»oo, max(ife—»0

для порожденного оператором H{t) эволюционного семейства U(i, s), справедливая в пространстве Z/2(Kn).

В заключение выражаю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смо-лянову за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

Глава 1

Эволюционные уравнения, полугруппы и теорема Чернова

В этом разделе будет доказана обобщенная теорема Чернова, а также ряд вспомогательных утверждений.

Рассмотрим некоторое банахово пространство X над полем действительных или комплексных чисел.

Определение 1. Однопараметрическое семейство ограниченных линейных операторов {T(t), t > 0}7 действующих в X, называется сильно непрерывной полугруппой, если

1. T(t)T(s) = T(t + s).

2. t н-> T(t) сильно непрерывно.

Сильная непрерывность означает, что для каждого х 6 X функция t i—> T(t)x непрерывна. Рассмотрим в пространстве X задачу Коши

= Hu(t), t > 0 (li)

u( 0) = щ,

где H - линейный, не обязательно ограниченный оператор в X. Тогда при определенных условиях будет существовать такая сильно непрерывная полугруппа T(t), что T{t)uQ дает классическое решение задачи (1.1) для некоторого класса начальных данных. Стоит отметить, что T(t)x определено для

всех х е X, хотя задача (1.1) может иметь решение не для всех начальных данных. Определим оператор Н по формуле

Я* = Иш - *

для всех х е X, для которых этот предел существует. Оператор Н называется генератором полугруппы Т(£). Часто оператор Н задается для узкого класса элементов X, например, дифференциальный оператор, заданный на гладких функциях. Тогда Н будет его замыканием. Для случая, когда Н ограничен, верна формула Т(£) = еш. Это обозначение часто используется и в общем случае. Обычная теорема Чернова [6, 3.5, теорема 5.2] дает достаточные условия для существования полугруппы, а также представляет способ вычисления ее элементов.

Теорема 1 (Теорема Чернова). Рассмотрим в банаховом пространстве X семейство ограниченных операторов <5(£)г>о таких, что <

Меш для

всех £ > 0 и к Е N. Пусть для всех х из плотного множества Б существует предел

Л V Я(л)х - X

Ах = Ит -

£->0 t

и множество (Ао — А)И плотно в X для некоторого значения До > и). Тогда замыкание оператора А является генератором сильно непрерывной полугруппы Т(£) и справедлива формула

т{ь)х = Иш я(г/п)пх.

п—»00

Замечание 1. В большинстве случаев выполнено более простое достаточное условие ||ф(£)|| < ешЬ.

В более общем случае оператор Н зависит от переменной £ и задача Коши принимает вид

*№ = H(t)u(t) 0 < s <t < to u(s) = Щ,

(1.2)

В дальнейшем случай зависимости H(t) от времени будем называть общим случаем, а если H(t) не зависит от времени, то это автономный случай.

Определение 2. Двухпараметрическое семейство ограниченных линейных операторов U(t,s), 0 < s < t < to называется эволюционной системой,

1. ¿/(§,5) = I, и(г,г)и(г,з) = и(г,в) для о < в < г < г < ¿0.

2. (¿, з) I—> и(£,«) сильно непрерывно при 0 < 5 < £ < Ц.

Если зависимости от времени нет, то можно вернуться к автономному случаю по формуле [/(¿, з) = Т(Ь — в).

При определенных условиях существует такое эволюционное семейство II(Ь, б), что классическое решение задачи имеет вид 11(1, з)щ.

Обобщенная теорема Чернова дает способ вычисления и(£, а).

Теорема 2 (обобщенная теорема Чернова). Пусть имеется семейство замкнутых операторов {#(£), 0 < £ < Т} таких, что их область определения Оот(Н({)) = В не зависит от £ и плотна в X, для всех £ оператор Н(Ь) взаимнооднозначно отображает И на X и для каждого д £ И множество {Н(1)д}о<г<т ограничено в X. Допустим имеется эволюционное семейство {£/(£, а), 0 < 5 < £ < Т} такое, что

если

||£/(i,i)||<C

(1.3)

при всех 0 < s < t < Т. Пусть для каждого g G D выполнено

(1.4)

при At I 0 равномерно по Ь. Пусть для каждого д £ Б выполнено 11(1, Б)д 6 I) м в)д непрерывно по совокупности переменных t, 5 на

мноэюестве 0 < в < Ь < Т. Пусть имеется семейство ограниченных операторов 5)}о<в^<г такое, что для любого набора О < ¿1 < ... < < Т выполнено

\Шк,Ь-1)...Я(г2м)\\<с (1.5)

H(t)g (1.6)

и для каждого g G D

Q(t + At, t) — I -At-*

при At I О равномерно no t. Тогда для всех f G X

Q(tn, tn-i)...Q(ti, tQ)f - U(b, a)f (1.7)

при n —> oo, tn = b, to = a, max|ii+i — —> О равномерно на множестве О < а < Ъ < Т.

Доказательство. Зададим в пространстве D норму графика Н(0). Тогда D будет банаховым пространством. По теореме о замкнутом графике операторы H(s)H(О)-1 ограничены, а потому при всех 0 < s < t < Т операторы - H(s) = - {H(s)H(О)-1) Я(0) являются ограниченными опе-

раторами из D в X. Для фиксированного g G D из условия (1.6) следует, что множество —H(s))g является ограниченным в X. По теореме Банаха-

Штейнгауза это семейство операторов является равномерно ограниченным. Для фиксированного g G D отображение U(t, s)g является непрерывным в норме графика, а потому образ замкнутого множества 0 < s < t < Т компактен в D.

Зададим е > 0. Тогда найдется конечное множество ди 6 -О, к = такое, что для каждой пары t:s найдется дь с условием \\дь — и{Ь, з)д\\в < е. По условию (1.6) найдется б > 0 так, что при Д£ < 5 для всех ¿и к

выполнено

9к

< е. Тогда получаем

3(г +д г,г)-1

дг

- Н(1) II(г, з)д

<

+ ДМ) -/ Д£

Щ) 9к

+

+

£ +

Д£

+ ¿) - / Д£

- Я (*) (С/(г, % - <?,)

<

-т

\\(и(г,з)д-дк)\\0<(С + 1)б.

Тем самым, доказана равномерная сходимость

Нт яир

д*

- н(г) и (г, з)д

= 0.

(1.8)

Аналогичным образом из (1.4) получаем

'и{г + дм) -1

Нт эир

Теперь докажем (1.7).

Д*

- Я (*)) и (г, з)д

= 0.

(1.9)

\\Qitn, *„_1)...<Э(*2, ¿0)д - и{гп, г0)<?|| <

п

<

3=1 п

\ Ъ3 13~ 1 Ъ' /

0)( вир

вир

<тах(^+1 —)

А*

[/(¿ + ДМ) -7 Д*

<

+

Н{1) и (г, з)д

)

В силу (1.8) и (1.9) это выражение стремится к нулю при max(£j+i— tj) —> О равномерно по 0 < ¿о < tn < Т. Т.к. D плотно в X, то из (1.3) и (1.5) получаем, что теорема справедлива для всех / G X. □

Условие (1.6) неудобно проверять для всех элементов из D. Для упрощения такой проверки используется следующее утверждение.

Предложение 1. В банаховом пространстве (X, || • ||х) рассмотрим подмножество D С X, которое также является банаховым пространством с нормой || • \ причем || • \ \х < С|| • ||_с>. Допустим имеется биективный ограниченный оператор В : D н-> X. Пусть дано семейство операторов A(s), 0 < s < Т с областью определения D{A(s)) D D в банаховом пространстве X такое, что выполнено ||A(s)a;|| < СЦжЦд для всех х G D. Рассмотрим множество Dq С