Формулы Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперанализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ "УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.987.4

Панюнин Никита Михайлович

ФОРМУЛЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СУПЕРАНАЛИЗЕ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-

Москва — 2009 г

003468065

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Олег Георгиевич Смоляное

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Алексей Владимирович Угланов

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 15 мая 2009 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Московский государственный университет' имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Николай Николаевич Шамаров

Д501.001.85 при МГУ

доктор физико-математических наук

профессор

Н. Сергеев

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена получению представлений функциональными интегралами решений эволюционных псевдодифференциальных уравнений относительно функций, определенных на суперпространстве и принимающих значения в суиералгебре.

Кроме того, получен критерий счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.

Как известно, суиеранализ возник из стремления представить вторичное квантование фермионных полей в форме, аналогичной форме квантования бозонных полей. Еще одним мотивом для его создания послужили исследования суперсимметрии в математической физике.

К настоящему времени опубликовано значительное число работ, посвященных суперанализу. Эти работы можно разделить на две группы. К одной относятся работы, связываемые с именами Дж. Л. Мартина, Ф. А. Березина. В них развивается алгебраический подход к суперанализу.

Другая группа работ более соответствует духу функционального анализа. Подход, развиваемый в работах Б. Де Витта, А. Роджерс, В. С. Владимирова и И. В. Воловича, О. Г. Смолянова и Е. Т. Шав-гулидзе, А. Ю. Хренникова сейчас принято называть фунциональным суиеранализом.

Именно функциональный суперанализ и используется в диссертации.

Несмотря на большое количество работ, посвященных суперанализу, результатов, связанных с интегралами типа Фейнмана, опубликовано совсем немного. Ситуация здесь существенно отличается от ситуации с исследованием классических интегралов типа Фейнмана. Здесь, особенно в последнее время, получено много результатов, при этом была развита новая техника, связанная с применением теоремы Чернова. Ничего аналогичного применительно к интегралам по траекториям в суперслучае сделано не было. Кроме того, ничего не было известно об условиях счетной аддитивности цилиндрических супермер, подобных содержащимся в теореме Минлоса-Сазонова. Получение такого рода условий существенно используется при представлении решений эволюционных псевдодифференциальных уравнений функциональными интегралами на бесконечномерном суперпространстве. Все сказанное и определяет актуальность

темы диссертации.

В диссертации получены формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для некоторого класса эволюционных псевдодифференциальных уравнений в пространстве супераналитических функций. Для построения супермеры Фейнмана на пространстве траекторий на суперслучай были перене-cerfbi методы работы О. Г. Смолянова, А. Г. Токарева и А. Трумена1. Полученные результаты содержат, в частности, решение задачи, поставленной в книге А. Ю. Хренникова2. Кроме того, получен супераналог теоремы Минлоса-Сазонова.

Цель работы

1. Построить представления решений эволюционных псевдодифференциальных уравнений интегралами по траекториям в фазовом суперпространстве.

2. Получить условия счетой аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы классического бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказан аналог теоремы Минлоса-Сазонова для цилиндрических супермер в гильбертовом суперпространстве.

2. Получены решения задачи Коши для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в пространстве супераналитических функций.

3. Получены представления решений задачи Коши для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в пространстве супераналитических функций интегралами Фейнмана по траекториям

1O.G.Smolyanov, A.G.Tokarev, A.Trutnan. Hamiltonian Feynman path integrals via the ChetnoS formula // J. Math. Pbys. 43 (2002).

2 А. Ю. Хренников. Суперанализ. — M.: Физматлит, 2005.

в фазовом суперпространстве (формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца).

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могуV быть использованы для исследования дифференциальных и псевдодифференциальных операторов в бесконечномерных суперпространствах. Кроме того, ряд результатов может быть использован для решения уравнений, возникающих в квантовой теории поля и в теории суперструн.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководством О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе (мех-мат МГУ, 20042009 гг.); на XXIX конференции Молодых учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2007; на XXII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И. Г. Петровского, Москва, 2007.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 71 страница, библиография включает 55 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении дается обзор результатов, связанных с темой диссертации и даются необходимые понятия функционального суперанализа. Также формулируются основные результаты диссертации.

В главе 1 рассматривается модель бесконечномерного суиерпростран-ства, предложенная О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе3,4. Эта

3 О. Г, Смоляное, Е. Т. Шавгулидзе. Преобразование Фурье и псевдодифференциаьные операторы в суперанализе // ДАН, 1988, т. 299, №4, с. 816-821.

4 О. Г. Смоляное, Е. Т. Шавгулидзе. Представление решений линейных эволюционных супердифференциальных уравнений второго порядка функциональными интегралами // ДАН, 1989, т. 299, №4, с. 545-549.

модель обобщает на бесконечномерный случай конечномерную модель В. С. Владимирова и И. В. Воловича5,6.

В параграфе 1.1 вводится суперпространство над гильбертовой супералгеброй Л = Л0 ф Л1, соответствующее ^-градуированному гиль-бертовому пространству Н = Щ ф Н\. Оно определяется следующим образом: Яд = Ао®Я0 ® А^Ях. Тензорное произведение"®" наделятся гильбертовой топологией, а""" обозначает пополнение по ней. Доказывается, что это суперпространство является также суперпространством в смысле определения, приводимого в работе А. Ю. Хренниковым7. А именно, доказывается, что Яд является суперпространством над коммутативными банаховыми супермодулями А®Яо и Л®Яь

В суперпространстве Яд вводится суперскалярное произведение, обозначаемое (•, •)д, и структура гильбертова суперпространства. Суперскалярное, произведение строится с помощью продолжения по Л-линейности скалярного произведения в пространстве Яо на супермодуль А®Яо и некоторой антисимметричной формы в пространстве Я\ на супермодуль Л®Ях.

В параграфе 1.2 вводится понятие супердифференцируемой функции. Для гильбертова пространства О = Со ф рассмотрим супермодуль (7Л = Л®СоФЛ®С1. Пусть функция / : Яд -4 дифференцируема в точке х € Яд по Фреше. Её производной в этой точке сопоставляется матрица

[Аоо А0Л ЧАи> Ап)'

А00е ЦА0®Но,Ао®С), А01<Е ^(Л^ЯьЛо®^), Люб £,(Л0®Я0, А^С), ЛИ€ £(Л1®ЯьАг®С).

Доказывается, что имеют место вложения: Ло<8>(Яо<Э(?) в пространство £(Ло<8>Я0,Л0<8>С), Л!<2)(Я1®С) в С{Аг®Нь А0®С), Л1 ®(Я0<8>С) в и Л0®(Я1®(?) в ^(Л^ЯьЛ!®^).

Функция / : Яд ->■ Сл называется супердифференцируемой по Фреше, если А00 е Л0®(Я0®С), А01 € А^Щй>СУ), А10 е Л1(Э(Яо®С;),

5 В. С. Владимиров, И. В. Волович. Суперанализ, 1. Дифференциальное исчисление // ТМФ, 1984, т. 59, с. 3-27.

6 В. С. Владимиров, И. В. Воловин. Суперанализ, 2. Интегральное исчисление // ТМФ, 1984, т. 60, с. 169-198.

7 А. Ю. Хренников. Функциональный суперанализ // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 2(260), с. 87-144.

Ли е Ло<8>(#1<8>С?)- Такое определение супердифференцируемости было предложено О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе.

Для суперпроизводных порядка п справедливо следующее предложение.

Предложение 1.4. Пусть f — отображение открытой части су-перпрострапства Яд в А, п раз супердифференцируемое в точке х. Тогда

где символ ДII г обозначает гильбертово пространство, представ-

п

ляющее собой замкнутое векторное подпространство пространства Н\®.. порожденное алгебраическим внешним произведением тг

экземпляров Н\. Пространство Д Н\ наделяется нормой, индуцируе-

п

мой из IIСимвол означает "сужение на".

п

В параграфе 1.3 вводится понятие супермеры на супернространстве Яд. Это борелевская мера ограниченной вариации в пространстве Щ, принимающая значения в супермодуле А® (Д Ях).

Определение интеграла по супермере использует понятие билинейного интеграла8. Обозначим символом (-^д Л-линейное отображение А® (Д Н\) х А® (Д Н\) А, получаемое продолжением скалярного произведения в Д Н\ по А-линейности.

Для функции / : Яд —> А супердифференцируемой во всем пространстве Яд бесконечное число раз рассмотрим отображение Df : Яд —>

П А® ( Д Щ ), определяемое так:

п=0 \ п /

Обозначим символом ^(Яд) пространство всех бесконечно супердиффе-ренцируемых функций из Яд в А таких, что значения сужения Dj на Щ принадлежат А® (Д Н{).

8К.С.ВагИе. А general ЬШпеэх уейог Ыебга! // БЬкИа МаЛ., 1956, уо1. 15, р. 337-352.

Интеграл от функции / € .Р(Яд) по супермере и определяется так:

|/(г)„(&:) = I ((£»/)(4),«/(Л))а.

Ял Я0

Замечание 1. Длл вычисления интеграла по супермере нужно вычислить кратный интеграл: по четному подпространству это интеграл по борелевской мере, а по нечетному подпространству интегрирование сводится к вычислению значения линейного функционала.

В параграфе 1.4 определяется суперпреобразование Фурье сулермер в Яд. Это функция на Н\, определяемая следующим образом:

= I е^л^Аг).

ЯЛ

Оказывается, что значения суперпреобразования Фурье Д( •) супермеры ц на подпространстве Нл = можно получить из значений ее классического преобразования Фурье, применив некоторый оператор.

Обозначим оператор, сопоставляющий супермере ее суперпреобразование Фурье, символом Оператор классического преобразования Фурье обозначим символом Г, а через обозначим следующий оператор из Л® (Д Н{) в Л:

= • • •. < 2/1,' >1Л ' ■' < 2/1,' >1Л,

Доказывается, что справедливо следующее представление:

где < € #0,2/1 € ЯЛ1.

Преобразование Фурье супермер, определенных на суперпространствах с нулевой четной частью обладает свойством изометричности.

Теорема 1.1. Пусть Н\ — суперпространство с Но = {0} и ц — супермера в Яд- Тогда

б

ИЖ-^кял,} = ИмИл^ля,)-

Из этой теоремы получаем следующее утверждение о ядре суперпреобразования Фурье.

Следствие 1.1. Ядро оператора суперпреобразования Фурье ^ равно нулю.

Заключительный параграф главы 1 посвящен аналогу теоремы Мин-лоса-Сазонова для супермер. Здесь даются условия счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.

Теорема 1.2. Для счетной аддитивности цилиндрической супермеры (л необходимо и достаточно непрерывности в топологии Сазонова (ассоциированной с топологией в Но) отображения Ь -> /2(£, •) : Но —>

ПНкд-

Замечание 2. Рассматривая различные топологии в тензорном произведении в определении суперпространства, будем получать различные суперпространства. В этих суперпространствах аналогичным образом можно определить понятие супердифференцируемости, супермеры, интеграла по супермере и суперпреобразования Фурье. Для суперпреобразования Фурье также будет иметь место представление в виде композиции классического преобразования Фурье и некоторого оператора. В этих суперпространствах также возникает задача о поиске условий счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.

Глава 2 диссертации посвящена вопросу о представлении решений эволюционных псевдодифференциальных уравнений функциональными интегралами.

В параграфе 2.1 даются предварительные сведения теории супераналитических распределений на бесконечномерном суперпространстве, развитой в работах А. Ю. Хренникова.

Пусть X — сунерпространство над банаховыми коммутативными супермодулями. Функция / : и —> А, где и — окрестность точки жо £ X,

называется компактно супераналитической в точке xq, если для х £ U имеет место представление

оо

f(x)= Ьп(х ~~ х°> • • • >х ~ х° п=0

где Л-п-линейные формы Ъп принадлежат супермодулям КПлГ{Ь\, Л) Л-. n-линейных справа отображений Lx х • • ■ х Lx в А непрерывных на компактных множествах и сужение этих форм на Хп симметрично. Кроме того, существует окрестность V точки xq в Lx такая, что для любого компактного множества К с V справедливо неравенство:

00

11/(0Ik = Y^sup ||6„(а; — xq, ... ,х — ®о)|| <

п=0*еЛГ

Пространство функций, компактно супераналитических на всем X обозначается символом Л(Х). Оно наделяется топологией, индуцируемой системой норм || • |{ с xq = 0. Распределением на суперпространстве X называется элемент сопряженного супермодуля А'(Х).

Преобразование Фурье распределения ц g A'(X) обозначается символом Fp,: Это функция на двойственном суперпространстве У, определяемая как:

(*>)(•) = J n{dx)ti<,x>. х

Пространство Fiy) суперпреобразований Фурье распределений на X берется в качестве основного пространства для распределений на двойственном суперпространстве У. Пространство распределений на двойственном суперпространстве определяется с помощью стандартной схемы с использованием равенства Парсеваля:

М (У) = {и € Г (У) : 3/ € Л{Х) :

J 9{y)v{dy) = J F~\g){dx)f(x), Уд € ^(Y)},

r X

где — алгебраически сопряженный супермодуль.

В параграфе 2.2 приводятся необходимые факты теории псевдодифференциальных операторов.

Пусть Р, <5 — двойственные суперпространства, тогда суперпространство X = ф X Р называется фазовым.

Псевдодифференциальные операторы определяются с помощью распределения Фейнмана на фазовом суперпространстве. Распределение Фейнмана Ф — это элемент пространства Л4((д х Р), задаваемый своим суперпреобразованием Фурье:

Ф(р, д) = е«"<м>+«'<л*>

для некоторого д £ С}.

Псевдодифференциальный оператор в пространстве с символом 5р-символом а 6 х Р) определяется равенством

(о/)(?)= I а(д,р)/{д1Щйд^р). ЯхР

В параграфе 2.3 рассматриваются эволюционные псевдодифференциальные уравнения вида

^ = (1)

в пространстве

Для этого уравнения рассматривается "слабая" задача Коши с начальным условием щ(-) из пространства Находятся условия существования решений уравнения (1), принадлежащих пространству непрерывных Л-линейных (справа и слева) А((3)-зна,чных функционалов на пространстве

оо

= {ф € А'(Ж) : \\ф\\а = £ -,ШП¥ап2 < оо, Уа > 0, }

п=О

где Д'(М) — пространство аналитических вещественнозначных функций на М. Топология в УУ(К) определяется системой норм || ■ ||а. Пространство таких функционалов обозначим символом Н''(М,»4(<5))- Символом А(<3 X Р)) обозначим пространство непрерывных Л-линейных (справа и слева) функционалов на пространстве И'(К) со значениями в А<$ х Р).

На подпространстве пространства УУ'(Ж, А(С})) определяется

псевдодифференциальный оператор с символом из УУ^К, А(С}хР)). Для Н{-)€ А{<2 х Р)) и р е М{Р), положим

(ЛД)вд) = I Н{г,д,р)е*<м>№р). р

Тогда •, •) определяет Л(<5)-значный функционал на в сле-

дующем смысле:

р

для ф(-) € УУ(К). Этот функционал непрерывен.

В пространстве Т{7:{0,), УУ'(К, А{ЯхР))) псевдодифференциальных операторов с символами из х Р)) введем топологию, индуци-

руемую отображением Л : >У'(Е,.Д(<3)) х Р))).

Продолжим Л с пространства на подпространство пространства >У'(К, Л(<5)) функций, представимых в виде

00

п=0

где ...,£) € ^((5), а сходимость ряда понимается в топологии

пространства А(С^)). Областью определения продолжения Н будет

пространство функций такого вида, для которых в топологии пространства сходится ряд

оо

п=0

Его сумма и определяет значение Л на /.

Слабым решением задачи Коши для уравнения (1) называется элемент пространства УУ^М, А((3)), такой что

-(«(*,?), ДО)) = (««(*,?), ДО))

и

(ДО, = 10

где — элемент пространства >У'(К), такой что (¿п, 6(-)) = 0 для всех п.

Теорема 2.1. Пусть ц е А'(Р х <5) и а(р, д) = Тогс^а символ Л

оператора эволюции еы уравнения (1) в пространстве *4(<Э х -Р)) имеет вид:

л(-,.,0 =

г г /1 1 \ f f (j j ч , е <ёр».->+<£«™.->

Следствие 2.1. Пусть а(-,-) G х -Р) « ii0(-) € ^(<5), и0(д) = /¿о(д) Тогда уравнение (1) имеет в пространстве W(Ж, A(Q)) решение, представимое в виде

«(9,0 = / fc(e,P,i)ei<M>/xo(dp).

р

Замечание 3. Теорема 2.1, с естественными изменениями, справедлива и для случая £ £ Л о-

В параграфе 2.4 построены представления решений "слабой" задачи Коши уравнения (1) с помощью интеграла Фейнмана по траекториям в фазовом суперпространстве.

Обозначим символом Др банахово пространство борелевских ограниченных Р-значных функций на [0,£], таких что р(0) = 0 с нормой ||®р(--)11яр = sup ||гс(г)||л. Символом Eq обозначим банахово npOCTpaH-

iKT^i

ство борелевских ограниченных Q-значных функций на [0,£], таких что q{t) = 0 с нормой ||х<э( • )||вп = sup ||ж(т)||л. Пусть Е = EpxEq — бана-

0<T<t

хово пространство с нормой ||(zq,£р)||е = ||xo||bq + ||яр||яя- Обозначим через Fq, Fp пространства счетно-аддитивных мер на [0, t] со значениями в пространствах Q, Р, имеющих ограниченную вариацию. Пространства Fq,Fp будут банаховыми относительно норм \yq\q = |?Л?|ф([в> £]) для yQ G Fq и \yp\p = |ур|р([0, i]) для уР е FP, здесь | • |g, | • \Р - вариации

меры. Положим Р = Р<р х Рр. Норма ||(г/<э,2/р)||р = \Vq\q + \ур\р задает на Р банахову структуру.

Для пары пространств Ер, Р@ определяется двойственность:

где хр £ Ер и у<э £ Рд. Аналогично определяется двойственность для пары Рр:

о

где х<э 6 Е<з иур е Рр. Двойственности (Ер, Р^), (Р^, Рр) задают двойственность (Е, Р):

Определим теперь последовательность {Еп} подпространств Е, которым будет соответствовать супермера Фейнмана. Для к, п, N 6 М, к < п — 2и положим = k2~Nt.

Подпространство Еп состоит из непрерывных слева функций из Е, на каждом интервале ¿к+г) являющихся постоянными. Пространства Еп изоморфны {С} х Р)п. Действительно, функции / 6 ЕП) принимающей значения /(0) = (0, д"), = (рп, (?п_1),..., /(£„) = (рь 0), поставим в соответствие вектор ((р1, д1),..., (рп, д")).

Пусть Рп — подпространство Р, состоящее из Р х (^-значных мер, сосредоточенных в точках вида (р\,0)5о+- • -+(0, Поставив такой мере в соответствие вектор ((рх, дх)> •.., (рь, получим изоморфим Рп и (Р х (3)".

В дальнейшем пространства Еп и (<5 х Р)" и Р„ и (Р х ф)" различаться не будут.

Двойственность (Е, Р) индуцирует двойственность между пространствами Еп и Р„, которая будет обозначаться символом {•,*)„. Для ((р1,91), • • •. (Рп, Чп)) € Еп и ((рь 91), • • •, (Рп, 9п)) е Р„ справедливо ра-

о

((жр, хо), (уР, Уо)) = (хр, уд) + {х<э,ур).

венство:

<((р\ Л • • -, ОЛ д")), ((рь«0, • • -, (рп, яп)))п =

п

= ^2<Рк,Як> + < Як,Рк> ■ к=1

Рассмотрим супермодуль компактно супераналитических функций на пространстве — Обозначим символом А'(Еп) его сопря-

женный, а символом Р{Еп) — фурье-образ пространства распределений.

Распределение Фейнмана Ф„ на Еп определим как элемент пространства М (Еп) с суперпреобразованием Фурье равным сужению на подпространство Рп функции Ф : ^ Л, имеющий вид

Таким образом,

- . . i^t<Pk,tQl>

ФпО?ьрь---,<7п,рп) = е .

Обозначим символом А(Е) супермодуль компактно супераналитических функций на Е и скажем, что функция / £ А(Е) интегрируема по супермере Фейнмана Ф, если для любого п ее сужения на Еп интегрируемы по мере Фп и существует предел

[ ¡(д,р)Ф(<1дар)= Нш //(<?,р)Ф„(<Мр). (2)

J У

е еп

Замечание 4. Супермера Фейнмана на траекториях в фазовом суперпространстве определяется как предел конечнократных интегралов по фазовому суперпространству, поэтому ее естественно называть сек-венцальной. При этом суперлгера Фейнмана на произведении конечного числа экземпляров фазового суперпространства определяется с помощью равенства Парсеваля. Суперпреобразования Фурье супермер Фейнмана на этом произведении получаются сужением функции Ф, заданной на пространстве, двойственном пространству траекторий и которую, поэтому, естественно называть суперпреобразованием Фурье супермеры Фейнмана.

Замечание 5. При определении супермеры Фейнмана на пространстве траекторий в фазовом суперпространстве были использованы два различных подхода к определению меры Фейнмана в классическом случае: равенство Парсеваля и предел конечнократных интегралов9.

Представление интегралом по траекториям в фазовом суперпространстве дается следующей теоремой:

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда решение "слабой" задачи Коши для уравнения

д1 = ММ

представимо в виде

, . Г /а(?(г)+г,р(г))<гг

/ е° и0(д(0) + г)Ф{<1д(1р).

е

Последнее равенство естественно называть формулой Фейнмана-Каца для уравнения (1): в классическом анализе формулой Фейнмана-Каца называют представление решения эволюционного псевдодиффере-нициального уравнения функциональным интегралом по траекториям в фазовом пространстве.

Формулой Фейнмана в классическом анализе называют представление решения эволюционного псевдодифференициального уравнения в виде предела конечнократных интегралов по фазовому пространству.

Поскольку мера Фейнмана на пространстве траекторий определялась как предел конечнократных интегралов по фазовому суперпространству, тоже самое равенство является одновременно и формулой Фейнмана. При этом на произведении фазовых суперпространств (ф х Р)" берутся сужения меры Фейнмана, определенной на пространстве траекторий в фазовом суиерпространстве.

В общем случае, однако, в формуле Фейнмана не предполагается существование пространства траекторий и меры на нем.

9 О. Г. Смояянов, Б. Т. Шавгулвдэе. Континуальные интегралы. — М. : МГУ, 1990.

Можно было получать формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца по-другому. При доказательстве теоремы 2.2 фактически была доказана формула

т.е. формула Фейнмана: доказывается, что правая часть (3) при всех п совпадает с конечнократными интегралами порядка п, предел которых задает супермеру Фейнмана на пространстве траекторий. Таким образом, можно было, не вводя заранее пространство траекторий и меры на нем, получить формулу Фейнмана, а уже потом, заметив, что меры на (ф X Р)п суть сужения некоторой меры на пространстве траекторий, получить формулу Фейнмана-Каца.

Замечание 6. В работе О. Г. Смолянова, А. Г. Токарева и А. Труме-на10, представление решений эволюционного псевдодифференциального уравнения интегралом Фейнмана (в классическом случае) также строятся с помощью формулы (3) (понимаемой, конечно, иначе). Там эта формула является следствием теоремы Чернова. В случае рассматриваемых пространств условия теоремы Чернова не выполняются, поэтому формула была доказана непосредственно. Кроме того, в указанной работе в предположении существования решений псевдодифференциальных уравнений с помощью формулы (3) строятся их представления в виде ряда по степеням Условия существования решений рассмотренных там уравнений можно получить из теорем о возмущении генераторов полугрупп. В случае рассматриваемых пространств таких теорем автору не известно, поэтому сначала было получено решение (в виде ряда по степеням Ь), а уже потом его представление интегралом Фейнмана.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, их обсуждение и многолетнюю поддержку. А также профессору Евгению Тенгизовичу Шавгулидзе за многочисленные советы.

10 О. С. 8то1уапоу, А. в. Токагеу, А. Тгитал. НатШлшап Реуптап раЛ integrals via Ше СЬегпоЯ £огти1а // Л. МаЛ. РЬуз. 43 (2002).

(3)

Публикации автора по теме диссертации

1. N. М. Panyunin. Fourier transform of supermeasures // Russian Journal of Mathematical Physics, 2007, vol. 14, n. 4, pp. 501-504.

2. N. M. Panyunin. Feynrnan-Kac and Feynman Formulas for Evolution PseudodifFerential Equations in Superspace // Russian Journal of Mathematical Physics, 2008, vol. 15, n. 4, pp. 511-521.

3. H. M. Панюнин. О счетной аддитивности цилиндрических супер-мер // Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И. Г. Петровского, 2007, стр. 232.

4. Н. М. Панюнин. Формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперпространстве // Тезисы международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего, 2009, стр. 187.

1G

Подписано в печать /з.оч.оз Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж /ОО экз. Заказ «г5/

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Введение

1 Аналог теоремы Минлоса-Сазонова для супермер

1.1 Гильбертово суперпространство

1.2 Супердифференцируемость.

1.3 Супермеры.

1.4 Суперпреобразование Фурье

1.5 Аналог теоремы Минлоса-Сазонова для супермер.

2 Формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана для эволюционных псевдодифференциальных уравнений в суперпространстве

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Распределение Фейнмана на фазовом суперпространстве и псевдодифференциальные операторы

2.3 Эволюционные псевдодифференциальные уравнения

2.4 Формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана.

Диссертация посвящена получению представлений функциональными интегралами решений эволюционных псевдодифференциальных уравнений относительно функций, определенных на суперпространстве и принимающих значения в супералгебре. Получены представления решений для некоторого класса таких уравнений в виде формул Фейнмана-Каца и Фейнмана. Кроме того, в работе доказывается аналог теоремы Минлоса-Сазонова, дающий критерий счетной аддитивности цилиндрических су-пермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.

Первые работы, выполненные на математическом уровне строгости, в которых делались попытки построить теорию коммутирующих и ан-тикоммутирующих переменных появляются в 60-х годах прошлого века. Самой первой работой принято считать работу Дж. JI. Мартина [22]. В дальнейшем подход, предложенный в ней, развивался в работах Ф. А. Березина [1, 2, 3, 4], Д. А. Лейтеса [5, 6], Б. Константа [49] и других авторов. Сейчас этот подход принято называть алгебраическим суперанализом.

В физических приложениях используется и другой подход, основанный на понятии суперпространства, введенного Саламом и Стратди в работах [24, 25]. Этот подход развивался в работах М. Бэтчелор [26], А. Джадзика и К. Пилча [27], а позднее в работах Б. Де Витта [18], А. Роджерс [19, 20, 21], В. С. Владимирова и И. В. Воловича [7, 8], О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе [9, 10], А. Ю. Хренникова [12, 13, 14, 15, 16], Ю. Купша [31] и других. Анализ, развитый в этих работах называют функциональным суперанализом.

Оба формализма(алгебраический и функциональный), позволяющих на математическом уровне строгости оперировать с коммутирутирую-щими и антикоммутирующими переменными, возникли при попытках обосновать многочисленные физические работы, где эти операции использовались на физическом уровне строгости. А именно, работы, в которых стремились представить вторичное квантование фермионных полей в форме, аналогичной форме квантования бозонных полей, а также работы, связанные с исследованием суперсимметрии в математической физике.

В современной суперматематике используются оба подхода. Они находят приложения для решения уравнений, возникающих в квантовой теории поля и в теории суперструн. Многочисленность этих приложений требует дальнейшего развития математического аппарата. Кроме того, возникают задачи, интересные и сами по себе.

В диссертации используется функциональный подход к суперанализу. Будут рассматриваться модели бесконечномерных суперпространств, предложенные О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе, а также

A. Ю. Хренниковым. Эти модели обобщают на бесконечномерный случай модель суперпространства предложенную В. С. Владимировым и

B. И. Воловичем в [7].

Далее приводятся необходимые для дальнейшего изложения определения.

Напомним, что линейное пространство Е, представимое в виде прямой суммы Е = Eq © Ei называется ^-градуированным. Элементы пространства Eq называются четными, а Е\ — нечетными.

Определение 0.1. Супералгеброй называется Z2-градуированное пространство А = Aq©Ai; на котором введена структура ассоциативной алгебры с единицей и четной операцией умножения (т.е. произведение двух четных или двух нечетных элементов — четный элемент, а произведение четного на нечетный — нечетный элемент).

Суперкоммутатор [а, Ь} однородных элементов аиЬиз супералгебры Л определяется равенством а,Ъ] = ab - (~1УаЩа, где |а| = 0, если а 6Е Ло и |а| = 1, если а € Ai

Супералгебра Л = Ло Ф Ai называется (супер) коммутативной, если [а, Ь} = 0 для произвольных однородных элементов a,b G Л.

В диссертации рассматриваются только коммутативные супералгебры, у которых аннулятор нечетной части равен нулю: {А е А : V77 е Ai Л77 = 0} - {0}.

Напомним также, что модулем над алгеброй А называется абелева группа М с операцией умножения на элементы алгебры А, удовлетворяющей аксиомам векторного пространства с заменой элементов поля на элементы алгебры(см. [47]).

Определение 0.2. Супермодулем называется градуированное пространство М = Мо © М\, на котором введена структура двухстороннего модуля над коммутативной супералгеброй А = Ао Ф Ai с четной операцией умножения на элементы Л.

Суперкоммутатор элементов супермодуля и супералгебры определяется аналогично суперкоммутатору элементов супералгебры, обозначать его будем тем же символом [•,■}. Супермодуль называется коммутативным, если для произвольных однородных элементов [а, 6} = 0 (т.е. четные элементы алгебры коммутируют со всеми элементами модуля, а нечетные элементы алгебры антикоммутируют с нечетными элементами модуля).

Определение 0.3. Коммутативная супералгебра Л = Ло ф Ai называется банаховой, если Л - банахова алгебра и прямая сумма топологическая. Коммутативный супермодуль М называется банаховым, если М - банахов модуль над банаховой алгеброй Л и прямая сумма М ~ Мо ф Mi является топологической.

Дадим теперь определение суперпространства.

Определение 0.4. Линейное банахово пространство X = Mq ф N\, где М = МофМх и N = NqQ)Ni — банаховы коммутативные супермодули, называется суперпространством над парой коммутативных супермодулей М и N. Коммутативный супермодуль Lx = М (В N называется накрывающим суперпространство X.

Это определение было предложено А. Ю. Хренниковым в работе [15]. Как уже упоминалось, в диссертации используются две модели суперпространства. В главе 1 показано, что суперпространство, построенное О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе является суперпространством и в смысле определения 0.4.

Для введения понятия сопряженного супермодуля понадобится понятие А-линейных отображений.

Определение 0.5. Пусть Мк и N — коммутативные супермодули над коммутативной супералгеброй А. п-линейное отображение I : ]~[fc=i Mk —> N назовем А-п-линейным справа, если для Xi G Мг и А = Ао ф Ai Е А выполняется: l(x 1,., ХкХо, - ■ ■, %п) = 1{хъ • • ■ ? хк: • • •, жп)А0, п

1(х«\ ., ., х?) = (-1 aii(x?,., xl\ . . . , <*)Аь

Отображение I : Пл=1 Мк N назовем А-п-линейным слева, если выполняется к

1(х«\ ., Аь ., xf) = (-l)iSa,AiZ(®?,. - -, xl\ ., xf).

Отображение, являющееся Л-линейным и справа и слева, будет называться в дальнейшем Л-линейным.

Символом Cn>r(M,N) (соответственно, £nj{M,N)) будет обозначаться пространство непрерывных Л-п-линейных справа (соответственно слева) отображений из супермодуля М в N, а символом /СП)Г (М, N) (соответственно, Knj,{M,N)) пространство A-n-линейных справа (соответственно слева) функционалов из супермодуля М в N непрерывных на компактных множествах. Эти пространства являются коммутативными супермодулями.

Для супермодуля М рассмотрим супермодули Li>r(M, Л) и Li;/(M, Л). В работе [11] показано, что между ними существует канонический изоморфизм, устанавливающий взаимнооднозначное соответствие между отображениями М в Л Л-линейными справа и Л-линейными отображениями слева. Супермодулем алгебраически сопряженным к М называется супермодуль М* — Li>r(M, Л) = Li>r(M, Л). Сужение канонического изоморфизма на непрерывные отображения является изоморфизмом между супермодулями £i>r(M, Л) и £хДМ, Л). Топологически сопряженным супермодулем к М называется супермодуль М' = С\!Г(М, Л) = £i;7.(M, Л).

Определение 0.6. Отображение f : U —> У, где U — открытое подмножество банахова суперпространства X, а У — банахов супермодуль, называется ограниченно супердифференцируемым в точке х € X по Фреше справа(слева), если Vh£X:x-t-hE U имеет место представление f{x + h) = f(x) + A(h) + o(h), где отображение А принадлежит супермодулю £г(Ьх,У) (Ci{Lx,Y))■ И —> 0, t 0 равномерно по h на любом ограниченном множестве.

А-линейный справа(слева) оператор А называется правой(левой) суперпроизводной.

Таким образом, функция является супердифференцируемоей по Фреше справа(слева), если она дифференцируема по Фреше и ее производная принадлежит супермодулю Л-линейных справа(слева) отображений между супермодулями.

Компактная супердифференцируемость отображений определяется аналогично, при этом пространство непрерывных отображений заменяется на пространство отображений непрерывных на компактных множествах, а равномерная сходимость на ограниченных множествах — на равномерную сходимость на компактных множествах.

Замечание 0.1. Можно показать, что функция супердифференциру-ема в точке по Фреше справа тогда и только тогда, когда она супер-дифференцируема по Фреше слева.

Определение 0.7. Топологические коммутативные супермодули М и N называются двойственными, если существует непрерывная на компактных множествах билинейная форма < •, • >: М х N —^ А, разделяющая точки М и N и для любых A, j3,aEAumGMunGN удовлетворяющая равенству < Хт/3, па >= X < т, /Зп > а.

Суперпространства X = Mq ф Ni и У = Rq © Si над парами двойственных коммутативных супермодулей называются двойственными суперпространствами. Форма двойственности между суперпространствами определяется через формы двойственности между супермодулями: {т0, щ), (г0, si) >=< mo, r0 > + < Щ, Si >, где га0 G M0, щ G jVb r0 € До, si G S\.

Перейдем теперь к краткой сводке результатов диссертации.

В главе 1 рассматривается модель бесконечномерного суперпространства, предложенная О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе в работах [9, 10]. Эта модель обобщает на бесконечномерный случай конечномерную модель В. С. Владимирова и И. В. Воловича.

Суперпространство, обозначаемое соответствующее ^-градуированному гильбертову пространству Н = Щ © Щ над банаховой супералгеброй А = Ло © Ai, определяется так: На = Ло<Й>Яо © Ai<g>#i. Предполагается, что супералгебра Л наделена гильбертовой нормой, тензорное произведение "(g)" также наделяется гильбертовой нормой. Доказывается, что это суперпространство удовлетворяет определению 0.4, а именно, доказывается, что оно является суперпространством над коммутативными супермодулями А®Щ и Л<g>Hi.

В суперпространстве Нд. вводится суперскалярное произведение, обозначаемое через (•, • )л и структура гильбертова суперпространства. Суперскалярное произведение строится с помощью продолжения по Л-линейности скалярного произведения в пространстве Hq на супермодуль A<S>Hq и некоторой антисимметричной формы в пространстве Н\ на супермодуль Л<8>#1.

В главе 1 рассматриваются супердифференцируемые функции, суперпроизводные которых принадлежат более узкому классу, чем тот, который предполагается определением 0.6. Именно, для гильбертова пространства G = Go Ф G\ рассмотрим супермодуль GK = A<S>Gq ф A<S>G\. Пусть функция / : GA ограниченно супердифференцируема в точке х. Ее производной в этой точке сопоставляется матрица

Лю Л)Л Aw ЛцJ '

Аоое £(Л0<§>Я0,Л0®С), Л01б £(Л1(8>Я1,ЛО<8)С), Ai0e £(Л0<8>Я0, Ai<g>G), Апе ЦА^Нг^А^).

Доказывается, что имеют место вложения: Ao®(Ho<g>G) в пространство £(Ao<8>#o,Ao<i>G), Ai®(Hi<g>G) в £(Ai<g^b Ло^С), Аг®{H0®G) в £(Ло<й>#о, Ai0G) и Л0®(Hi®G) в C(Ai®Hi,Ai®G).

В главе 1 рассматриваются такие ограниченно супердифференцируемые функции, что Дю £ Лq<§(Hq<g)G), Aqi € Ai<g>(Hi<g>G)> Aw £ Ai®(Hq<8>G), An E Ao<gi(Hi<g)G). Такое определение супердифференци-руемости было предложено О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе в статье [9].

Для суперпроизводных порядка п справедливо следующее предложение.

Предложение 1.4. Пусть f — отображение открытой части суперпространства На в А, п раз супердифференцируемое в точке z. Тогда

Мел^ДяЛ где символ Д Н\ обозначает гильбертово пространство, представп ляющее собой замкнутое векторное подпространство пространства Hi<S>. - - <8>-£Гь порожденное алгебраическим внешним произведением п экземпляров Н\. Пространство f\H\ наделяется нормой, индуцируеп мой из ^ Hi. Символ означает "сужение на". п

В параграфе 1.3 вводится понятие супермеры на суперпространстве На- Это борелевская мера в пространстве Но, принимающая значения в супермодуле А<Й> (Д Н\).

Обозначим символом Л-линейное отображение A<S>(/\Hi) х

А® (Д Hi) —А, получаемое продолжением скалярного произведения в Д Hi по А-линейности.

Для функции / : На —> А, супердифференцируемой в На бесконечное число раз, рассмотрим отображение Df : На —> П Л<8> ( Д Hi ], определи О \ п ) ляемое так:

Df){z)=(f(z),f{z) /<">(*)

HAl vn! лг'

Обозначим символом F(Ha) пространство всех бесконечно супердиффе-ренцируемых функций из На в Л таких, что значения сужения Df на Но принадлежат Л<Й> (Д Hi).

Определение интеграла по супермере использует понятие билинейного интеграла (см. [28]). Это билинейный интеграл относительно отображения (•, • )Л, принимающий значения в Л: f(z)v(dz) = J ((Dfm^idt))^

НА Но

В параграфе 1.4 определяется суперпреобразование Фурье супермер в Н\. Это функция на Яд, задаваемая следующим образом:

КУ) = J eiMA/iW,

ЯЛ где (•, -)л. — суперскалярное произведение в Нх

Оказывается, что значения суперпреобразования Фурье Д( •) супермеры /i на подпространстве Ял = Hq®Ki®H\ можно получить из значений ее классического преобразования Фурье, применив некоторый оператор.

Оператор, сопоставляющий супермере ее суперпреобразование Фурье, обозначим Fs■ Оператор классического преобразования Фурье обозначим символом F, а через Syi обозначим следующий оператор из

А® (Л ЯО в Л: svi* = • ■ • > ^у < Уъ ' >1Л • • ■ < Уи ' >IA, •

Тогда справедливо следующее представление:

FSf*)(t,yi) = Syi((F/im)t где t € Я0,2/1 € ЯЛ1.

Основной результат параграфа 1.4 — теорема об изометричности суперпреобразования Фурье супермеры на суперпространстве с нулевой четной частью: Яд = Ялг.

Теорема 1.1. Пусть Н\ — суперпространство с Яо = {0} и fi — супермера в Н\. Тогда

11Д(-)11^(яЛ1) = 1Н1л®(Л#1)

Из этой теоремы получаем следующее утверждение о ядре суперпреобразования Фурье.

Следствие 1.1. Ядро оператора суперпреобразования Фурье Fg равно нулю.

Заключительный параграф главы 1 посвящен аналогу теоремы Мин-лоса-Сазонова для супермер. Здесь даются условия счетной аддитивности цилиндрических супермер в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье.

Теорема 1.2. Для счетной аддитивности цилиндрической супермеры fi в гильбертовом суперпространстве На необходимо и достаточно непрерывности в топологии Сазонова (ассоциированной с топологией в Hq) отображения t —» ■) : Hq —:► Fffl^).

Доказательство этой теоремы существенно использует теорему Мин-лоса-Сазонова для векторнозначных мер(см. [32]).

Глава 2 посвящена представлению решений эволюционных (супер) псевдодифференциальных уравнений функциональными интегралами.

Первыми работами, в которых строились представления решений уравнений с антисимметрическими переменными функциональными интегралами были работы Дж. JI. Мартина [22, 23], выполненные на физическом уровне строгости. Первыми работами, выполненными на математическом уровне строгости, были работы Ф. А. Березина [1, 3], там получены представления символов псевдодифференциальных операторов функциональными интегралами по фазовому суперпространству в рамках алгебраического подхода к суперанализу.

В рамках функционального подхода к суперанализу этот вопрос рассматривался в работах О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе [9, 10]. Там получены представления решений линейных эволюционных супердифференциальных уравнений второго порядка интегралами по супермерам Пуассона и Фейнмана в конфигурационном суперпространстве. Также рассмотрены супераналоги уравнений Фейнмана и Дирака.

В работах А. Ю. Хренникова в рамках функционального подхода к суперанализу получены формулы типа Фейнмана-Каца в конфигурационном суперпространстве для уравнений теплопроводности и Шредин-гера (см. [12]). В работах [13, 14] получены формулы Фейнмана-Каца в фазовом суперпространстве для некоторого класса эволюционных псевдодифференциальных уравнений.

Кроме выше упомянутых работ укажем также работы Б. Де Витта [18], А. Роджерс [19, 20], Д. В. Ктитарева [36, 37].

В главе 2 рассматривается модель бесконечномерного функционального суперпространства, предложенная А. Ю. Хренниковым.

В параграфе 2.1 даются предварительные сведения теории супераналитических распределений на бесконечномерном суперпространстве, развитой в работах [15, 16].

Пусть X — суперпространство над банаховыми коммутативными супермодулями. Функция / : U —> А, где U — окрестность точки xq G X, называется компактно супераналитической в точке хо, если для х G U имеет место представление где A-n-линейные формы Ъп принадлежат супермодулям /Cnjr(L^-,A) А-n-линейных справа отображений Lx X . х Lx в А непрерывных на компактных множествах и сужение этих форм на Хп симметрично. Кроме того, существует окрестность V точки жо в Lx такая, что для любого компактного множества К С V справедливо неравенство:

Пространство функций, компактно супераналитических на всем X обозначается символом Л(Х). Оно наделяется топологией, индуцируемой системой норм || • с xq = 0. Распределением на суперпространстве оо оо

X называется элемент сопряженного супермодуля А'(Х). Значение распределения [I € Л{Х) на элементе / € Л{Х) будем обозначать символом fn(dx)f(x). х

Суперпреобразование Фурье распределения ц 6 А'(Х) обозначается символом Ffj, или Д. Это функция на двойственном суперпространстве (обозначим его Y), определяемая так:

•) = / №хУ<->х>. х

Пространство F(Y) суперпреобразований Фурье распределений на X берется в качестве основного пространства для распределений на двойственном суперпространстве Y. Распределения на двойственном суперпространстве определяется с помощью стандартной схемы с использованием равенства Парсеваля:

M{Y) = {ие F(Y) : 3/ е Л(Х) :

J 9{y>(dy) = J F~1(g)(dx)f(x), Vg G F(Y)},

Y X где J-*{Y) — алгебраически сопряженный супермодуль.

В параграфе 2.2 приводятся необходимые факты теории псевдодифференциальных операторов на суперпространстве. Пусть P,Q — двойственные суперпространства, тогда суперпространство X = Q X Р называется фазовым, двойственным ему будет суперпространство Y = Р xQ.

Псевдодифференциальные операторы определяются с помощью распределения Фейнмана на фазовом суперпространстве. Распределение Фейнмана Ф — это элемент пространства A4(Y): задаваемый своим суперпреобразованием Фурье:

Ф(р,д) = ei<i^>+i<P,4> ^ для некоторого q 6 Q.

Псевдодифференциальный оператор в пространстве F{Q) с символом gp-символом а 6 F{Q х Р) определяется равенством af)(q)= J a(q,p)f(qi№(dqidp).

QxP

Подход к определению псевдодифференциальных операторов с помощью меры Фейнмана был предложен О. Г. Смоляновым в работе [34]. На случай бесконечномерного суперпространства это определение было перенесено в работе [9].

В параграфе 2.3 рассматриваются эволюционные псевдодифференциальные уравнения вида

2-5) в пространстве компактно супераналитических функций A(Q) с символами псевдодифференциальных операторов а € T{Q хР) и вещественным параметром эволюции t.

Для уравнения (2.5) рассматривается "слабая" задача Коши в пространстве непрерывных А-линейных (справа и слева) отображений на пространстве

СЮ 1

W(R) = {ф € А'(Ш) : |\ф\\а = ]Г -ШП\\еап2 < оо, Va > 0} п=0 Псо значениями в A(Q). Пространство таких отображений обозначим

W'{R,A{Q)).

Теорема 2.1. Пусть fiEA'(P х Q) и a(p,q) = Д(р, д). Тогда символ h оператора эволюции eta уравнения (2.5) в пространстве W'(R, A(QxP)) имеет вид:

М-. •,*) =

Г Г , , 7 ^ Г Г , , 7N Е <ИЛ*> <£ Рт,-> + <Е <w> = 2j ^Т / / МФА) • • • / / n{dpndqn)e^<^ е m=o ш=о n=0 Р Q Р Q

Следствие 2.1. Пусть а( ■, •) 6 T{Q х Р) и щ(-) е F(Q), uo(q) — До (<?)• Тогда уравнение (2.5) имеет в пространстве W'(R, A(Q)) решение, представимое в виде

В параграфе 2.4 построены представления решений "слабой" задачи Коши уравнения (2.5) интегралом Фейнмана по траекториям в фазовом суперпространстве.

Супермера Фейнмана Ф на траекториях в фазовом суперпространстве определяется как предел распределений Фейнмана Фп на произведении конечного числа экземпляров фазового суперпространства. Таким образом, эту супермеру естественно называть секвенциальной. При этом распределение Фейнмана на произведении конечного числа экземпляров фазового суперпространства определяется с помощью равенства Пар-севаля. Суперпреобразования Фурье распределений Фейнмана на этом произведении получаются сужением некоторой функции, заданной на пространстве, двойственном пространству траекторий и которую, поэтому, естественно называть суперпреобразованием Фурье супермеры Фейнмана на траекториях.

Таким образом, при определении супермеры Фейнмана на пространстве траекторий в фазовом суперпространстве были использованы два различных подхода к определению меры Фейнмана в классическом случае: равенство Парсеваля и предел конечнократных интегралов (см. [35],

Представление решений интегралом по траекториям в фазовом суперпространстве дается следующей теоремой. р

41]).

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда решение "слабой" задачи Коши для уравнения (2.5) представимо в виде

Равенство (2.16) естественно называть формулой Фейнмана-Каца для уравнения (2.5): в классическом анализе формулой Фейнмана-Каца называют представление решения эволюционного псевдодифференициаль-ного уравнения функциональным интегралом по траекториям в фазовом пространстве.

Формулой Фейнмана в классическом анализе называют представление решений эволюционного псевдодифференициального уравнения в виде предела конечнократных интегралов по фазовому пространству.

Из определения меры Фейнмана Ф следует, что равенство (2.16) является одновременно и формулой Фейнмана для уравнения (2.5). Действительно, оно является представлением решения в виде предела конечнократных интегралов по фазовому суперпространству. При этом в (Q х Р)п берутся сужения меры Фейнмана на пространстве траекторий в фазовом суперпространстве.

В общем случае, однако, в формуле Фейнмана не подразумевается существование пространства траекторий и меры на нем.

Можно было получать формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца по-другому. При доказательстве теоремы 2.2 фактически доказывается формула т.е. формула Фейнмана: доказывается, что правая часть в последнем равенстве при всех п совпадает с конечнократными интегралами порядка п, предел которых задает супермеру Фейнмана на пространстве траекторий. Таким образом, можно было, не вводя заранее пространство траек

2.16) Е торий и меры на нем, получить формулу Фейнмана, а уже потом, заметив, что меры на (Q х Р)п суть сужения некоторой меры на пространстве траекторий, получить формулу Фейнмана-Каца.

В заключении я хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, их обсуждения и многолетнюю поддержку. А также доктору физико-математических наук, профессору Евгению Тенгизовичу Шавгулидзе и за многочисленные советы при написании диссертации.

Заключение

В главе 1 диссертации рассматривается модель бесконечномерного суперпространства, предложенная О. Г. Смоляновым и Е. Т. Шавгулидзе. Показана связь этой модели с моделью, предложенной А. Ю. Хренниковым. Получен критерий счетной аддитивности цилиндрических супер-мер в гильбертовом суперпространстве в терминах непрерывности их суперпреобразования Фурье (супераналог теоремы Минлоса-Сазонова). Кроме того, рассмотрены некоторые свойства суперпреобразования Фурье супермер на гильбертовом суперпространстве.

В главе 2 в модели бесконечномерного суперпространства, предложенной А. Ю. Хренниковым рассмотрены эволюционные псевдодифференциальные уравнения в пространстве компактно супераналитических функций. Доказана теорема существования слабых решений задачи Коши для таких уравнений. Построены представления этих решений функциональными интегралами по траекториям в фазовом суперпространстве (формулы Фейнмана-Каца и Фейнмана). Кроме того, для эволюционного оператора доказана формула аналогичная формуле Чернова.

1. Ф. А. Березин. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983.

2. Ф. А. Березин. Метод вторичного квантования. — М.: Наука, 1965.

3. Ф. А. Березин. Дифференциальные формы на супермногообразиях // Ядерная физика, 1979, т. 30, Я^4, с. 1168-1174.

4. Ф. А. Березин, Д. А. Лейтес. Супермногообразия // Доклады Ака- деми Наук СССР, 1975, т. 224, K 3^, с. 505-508

5. Д. А. Лейтес. Теория супермногообразий. — Петрозаводск: АН СССР, Карельский филиал, 1983.

6. Д. А. Лейтес. Введение в теорию супермногообразий // Успехи математических наук, 1980, т. 35, вып. 1(211), с. 3-57.

7. В. Владимиров, И. В. Волович. Суперапализ, 1. Дифференциальное исчисление // Теоретическая и математическая физика, 1984, т. 59, с. 3-27.

8. В. Владимиров, И. В. Волович. Суперанализ, 2. Интегральное исчисление // Теоретичесая и математическая физика, 1984, т. 60, с. 169-198.

9. A. Rogers. Fermionic path integration and Grassmann Brownian motion // Communications in Mathematical Physics, 1987, 113, p. 353-368.

10. A. Rogers. Super Lie groups: global topology and local sturcture // Journal of Mathematical Physics, 1980, vol. 21, p. 724-731.

11. J. L. Martin. Generalized Classical Dynamics, and the 'Classical Analogue' of a Fermi Oscillator // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1959, vol. 251, p. 1934-1990.

12. J. L. Martin. The Feynman principle for a Fermi system // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1959, vol. 251, p. 543-549.

13. A. Salam, J. Strathdee. Super-gauge transformations // Nuclear Physics B, 1974, vol. 76, is. 3, p. 477-482.

14. A. Salam, J. Strathdee. Feynman rules for superfields // Nuclear Physics B, 1975, vol. 86, is. 1, p. 142-152.

15. M. Batchalor. Two approaches to supermanifolds // Transactions of Ameriacan Mathematical Society, 1980, vol. 258, p. 257-270.

16. A. Jadziyk, K. Pilch. Superspace and supersymmetry // Communications of Mathematical Physics, 1981, vol. 78, p. 373-386.

17. R. G. Bartle. A general bilinear vector integral // Studia Math., 1956, vol. 15, p. 337-352.

18. O. G. Smolyanov, J. Kupsch. Hilbert norms for graded algebras // Proceedings of the American Mathematical Society, 1999, vol. 128, 6, p. 1647-1653.

19. И. Kynni, 0. Г.Смолянов. О моделях симметричной алгебры Фока // Математические заметки, 1996, т. 60, вып. 6,

20. И. Купш, О. Г.Смолянов. Представления суперсимметричного пространства Фока пространствами функций, принимающих значения в супералгебре // Доклады Академии Наук, 1998, т. 363, №6 с. 741-745. с. 939-942.

21. М. П. Кац. Меры со значениями в пространстве, не содержащем CQ II Сибирский математический журнал, 1979, т. 20, 4.

22. Ю. л . Далецкий, В. Фомин. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. — М.: Наука, 1983.

23. О. Г. СМОЛЯНОЕ. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по Шредингеру // Доклады Академии Наук, 1982, т. 263, 3, с. 558-562.

24. О. Г. Смолянов, Е. Т. Шавгулидзе. Континуальные интегралы. — М.: МГУ, 1990.

25. D. V. Ktitarev. Functional integral and the Feynman-Kac formula in superspace // Letters in Mathematical Physics, 1989, vol. 18, p. 325-331.

26. D. V. Ktitarev. Functional integral in supersymmetric quantum mechanics // Letters in Mathematical Physics, 1990, vol. 20, p. 309-312.

27. P. R. Chernoff. Note on product formulas for operator semigroups // J. Functional Analysis, 1968, 2, p. 238-242.

28. O. G. Smolyanov, A. G. Tokarev, A. Truman. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula // Journal of Mathematical Physics, 2002, vol. 43, p. 5161-5171.

29. Ф. A. Березин. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве // Успехи физических наук, 1980, 132, вып. 3, 497-548.

30. А. В. Угланов. Об одной конструкции фейнмановского интеграла // Доклады Академи Наук СССР, 1978. т. 243, №6, с. 1406-1409.

31. А. Г. Токарев. Доказательство формулы Фейнмана в фазовом пространстве, основанное на теореме Чернова // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2001, №2, с. 16-21.

32. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики, т. 1. - М.: Мир, 1977.

33. X. Шефер. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.

34. А. Робертсон, В. Робертсон. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1967.

35. О. Г. Смолянов, В, Фомин. Меры на топологических линейных пространствах // Успехи математических наук, 1976, т. 31, вып. 4(190), с. 3-56.

36. В. Л. Ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.

37. М. А. Шубин. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — М.: Наука, 1978.

38. В. Constant. Graded Manifolds, Graded Lie Theory, and Prequantiza- tion // Lecture Notes in Mathematics. 1977, 570, p. 177-306.

39. A. Л. Алимов. О связи между континуальными интегралами и дифференциальными уравнениями //Теоретическая и математическая физика, 1972, 11, Я^2, с. 182-190.

40. Р. Фейнман, А. Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968.

41. Е. Nelson. Feynman integrals and the Schrodinger Equation // Journal of Mathematical Physics, 1964, vol. 5, p. 332-343.

42. Н. F. Trotter. On the product of Semigroups of operators // Proceedings of the American Mathematical Society, 1959, 10, p. 545-551. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

43. N. М. Panyunin. Fourier transform of supermeasures // Russian Journal of Mathematical Physics, 2007, vol. 14, n. 4, pp. 501-504.

44. N. M. Panyunin. Feynman-Kac and Feynman Formulas for Evolution Pseudodifferential Equations in Superspace // Russian Journal of Mathematical Physics, 2008, vol. 15, n. 4, pp. 511-521.

45. H. M. Панюнин. О счетной аддитивности цилиндрических супер- мер // Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвяшенной памяти И. Г. Петровского, 2007, стр. 232.