Метод функционального интегрирования и представление решений некоторых эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Некоммутативный аналог формулы Березина

1.1 Некоторые обозначения.

1.2 Интегралы по векторнозначным мерам.

1.3 Функциональные интегралы

1.4 Основные меры, их преобразования Фурье и свойства.

1.5 Основные понятия метода вторичного квантования.

1.6 Теорема о представлении решений.

2 Доказательство формулы Фейнмана в фазовом пространстве, основанное на теореме Чернова

2.1 Основные определения.

2.2 Формулы Фейнмана в конечномерном фазовом пространстве

2.3 Разложение Смолянова - Шавгулидзе

3 Контрпримеры к формуле Троттера в локально выпуклых пространствах

3.1 Определения и терминология.

3.2 Предварительные результаты.

3.3 Бесконечные топологические суммы.

3.4 Пространства Фреше.

Метод функциональных интегралов является одним из основных методов математической физики, так как он позволяет представлять решения эволюционных, дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в "явном виде" — в виде интегралов известных функций по бесконечномерному пространству (траекторий) с обычной или обобщенной мерой (= "распределением Соболева-Шварца"). Типичным и наиболее важным примером последней является "эвристическая" мера Фейнмана, так что получающийся интеграл Фейнмана имеет лишь эвристический смысл. Тем не менее многие формулы, содержащие функциональные интегралы, имеют ясный интуитивный смысл и в ряде случаев именно интуиция позволяет выводить такие формулы.

Метод функциональных интегралов не сводится только к представлению решений эволюционных уравнений, область его применения постоянно расширяется. В частности, этот метод проникает в дифференциальную геометрию (интеграл Виттена), теорию узлов (интеграл Концевича), теорию стохастических дифференциальных уравнений (формулы Смолянова) и позволяет получать там нетривиальные результаты.

Метод функционального интегрирования исследуется и применяется в работах С. Альбеверио, М. Атьи, Ф.А. Березина, З.Вжезняка, Э. Виттена, В.С.Владимирова, И.В.Воловича, И.М.Гельфанда, Дж. Глимма, Ю.Л. Да-лецкого, С. ДеВитт-Моритт, А. Джаффе, Г.Джонсона, М.А.Евграфова, Р.Камерона, П. Картье, М.Каца, А.И.Кириллова, В. Н. Колокол ьцова, М.Ляпидуса, Мартина, В.П. Маслова, P.A. Минлоса, В.Н. Попова, Б. Саймона, A.A. Славнова, О.Г. Смолянова, Д.Сторвика, A.B. Угланова, Л.Д. Фадде-ева, Р. Фейнмана, С.В.Фомина, Р. Хеэг-Крона, А.Ю. Хренникова, A.M. Чеботарева, Е.Т. Шавгулидзе, А.М.Яглома и других исследователей. В настоящее время этот метод является одним из основных методов теории бесконечномерных систем, в частности, квантовой механики, квантовой теории поля, статистической физики и гидродинамики.

Таким образом, сложилась следующая ситуация. Имеются эвристические формулы, описывающие эволюцию бесконечномерных систем и содержащие функциональные интегралы. Эти формулы позволяют судить о поведении системы и предсказывать ее свойства. Однако они нередко не имеют строгого математического обоснования. Кроме того, несмотря на богатые возможности интуиции в методе функционального интеграла, получение с его помощью новых формул также часто является далеко не простым делом. Поэтому дальнейшее развитие математического аппарата метода функционального интегрирования и расширение области его применимости является весьма актуальной задачей.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Заключение

В главе 1 получен некоммутативный аналог формулы Березина.

В главе 2 получены новое доказательство и новые достаточные условия справедливости формулы Фейнмана, а также усиление и прямой вывод формулы Смолянова-Шавгулидзе.

В главе 3 построена серия (контр)примеров, показывающих, что требование непрерывности операторов в локально выпуклом пространстве не может гарантировать справедливость формулы Троттера для широкого класса локально выпуклых пространств.

Все эти результаты связаны с проблемой представления решений эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов.

1. Алимов А.Л. О связи между континуальными интегралами и дифференциальными уравнениями// ТМФ. 1972. Т. И, № 2. С. 182-189.

2. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.:Наука 1965.

3. Березин Ф.А. Дальнейшее развитие метода вторичного квантования// ТМФ. 1971. Т. 6, № 2. С. 194-212.

4. Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве// УФН. 1980. Т. 132, вып. 3. С. 497-548.

5. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. Т. 1. М.: ИЛ 1962.

6. Евграфов М.А. Об одной формуле для представления фундаментального решения дифференциального уравнения континуальным интегралом// ДАН СССР. 1970. Т. 191, № 5. С. 979-982.

7. Ктитарев Д.В. Формула Фейнмана в фазовом пространстве для одного класса систем псев до дифференциальных уравнений //Матем. заметки. 1987. Т. 42, № 1. С. 40-49.

8. Лобанов С.Г., Смолянов О.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах// УМН. 1994. Т. 49, № 3, С. 93-168.

9. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. М.: Наука, 1976.

10. Маслов В.П., Чеботарев А.М. Обобщенная мера в континуальном интеграле Фейнмана// Теоретическая и математическая физика. 1976. Т. 28, № 3, С. 291-307.

11. Маслов В.П., Шишмарев И.А. О Т-произведении гипоэллиптических операторов// Итоги науки. Совр. проблемы математики. 1977. № 8, С. 137-197.

12. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. М.: Мир 1978.

13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир 1978.

14. Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М.: Изд-во МГУ, 1979.

15. Смолянов О.Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по Шредингеру// ДАН. 1982. Т. 263, № 3. С. 558-561.

16. Смолянов О.Г., Хренников А.Ю. Алгебра бесконечномерных псевдодифференциальных операторов// ДАН. 1987. Т. 292, № 6. С. 1310-1314.

17. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: МГУ 1990.

18. Угланов A.B. Об одной конструкции феймановского интеграла// ДАН. 1978. Т. 243, № 6. С. 1400-1409.

19. Угланов A.B. Феймановские меры со знаконеопределенным корреляционным оператором// ДАН. 1982. Т. 262, № 1. С. 37-40.

20. Холево A.C. Стохастические представления квантовых динамических полугрупп // Тр. МИАН. 1989. Т. 191. С. 130-139.

21. Чеботарев A.M. Симметризованная форма стохастического уравнения Хадсона Партасарати // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 5, С. 726-750.

22. Чеботарев A.M. Квантовое стохастическое уравнение унитарно эквивалентно симметричной краевой задаче для уравнения Шредингера // Матем. заметки. 1997. Т. 61, № 4. С. 612-622.

23. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир 1971.

24. Accardi L., Frigerio A., Lu Y.G. The Weak Coupling Limit as a Quantum Functional Central Limit // Commun. Math. Phys. 1990. V. 131. p. 537-570.

25. Albeverio S., Hoegh-Krohn R. Mathematical theory of Feynman path integrals. Lecture notes in math 523. Berlin: Springer, 1976.

26. Chebotarev A.M., Victorov D.V., Quantum stochastic processes arising from the strong resolvent limits of the Schrodinger evolution in Fock space // Banach center publications, v.43, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszava, 1998.

27. Chernoff P.R., Note on Product Formulas for Operator Semigroups //J. Funct. Anal. 1968. V. 2. P. 238-242.

28. Feynman R.P., Space-time approuch to nonrelativistic quantum mechanics // Rev.Mod.Phys. 1948. V. 20, P. 367-387.

29. Feynman R.P., An operation calculus having applications in quantum electrodinamics // Phys.Rev. 1951. V. 84. p. 108-128.

30. Hudson R.L., Partasarathy K.R. Quantum Ito's formula and stochastic evolutions // Commun. Math. Phys. 1984. V. 93. P. 301-323.

31. Parthasarathy K.R. An introduction to quantum stochastic calculus, Birkhauser, Basel, 1992.

32. Smolyanov O.G., Shavgulidze E.T., Some properties and applications of Feynman measures in the phase space// Proc. of the Fourth Vilnius Conference. 1987. V. 2. p. 595-608.

33. Smolyanov O.G., H.v.Weizsaecker, Smooth probability measures and assosiated differential operators // Infinitely dimentional analysis, quantum probability and related topics. 1999. V. 2, № 1. P. 51-79.

34. Список работ автора по теме диссертации

35. Токарев А.Г. Некоммутативный аналог формулы Березина// Труды московского математического общества. 2001. Т. 62. С. 229-261.

36. Токарев А.Г. Обобщение формулы Березина на некоммутативный случай// Математические заметки. 2001. Т. 69, вып. 2. С. 295-302.

37. Токарев А.Г. Доказательство формулы Фейнмана в фазовом пространстве, основанное на теореме Чернова// Вестник московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. № 2. С. 16-21.

38. Токарев А. Г. Контрпримеры к формуле Троттера в локально выпуклых пространствах// Математические заметки. 1996. Т. 59, вып. 6. С. 947950.