Нелинейные волновые процессы в среде с дисперсией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ^ТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.II

1.1. Уравнения движения и постановка задачи.II

1.2. Двумерное эволюционное уравнение

1.3. Одномерное эволюционное уравнение

2. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

2.1. Базисный алгоритм.

2.2. Устойчивость численного алгоритма

2.3. Тестовые задачи

3. АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИИ ВОЛНОВЫХ ПРОФИЛЕЙ

3.1. Одномерная задача с дисперсией

3.2. Одномерная задача с релаксацией

3.3. Двумерная задача с дисперсией

3.4. Двумерная задача в неоднородной среде с дисперсией

3.5. Поперечное распределение в пучке

Современная теория распространения волн деформации все чаще обращается к более точному математическому моделированию волновых процессов. Во многих случаях известные линейные модели бездиссипативной среды оказываются недостаточными и необходимо учитывать добавочные эффекты, такие как нелинейность, i диссипация, дисперсия, релаксация, дифракционная расходимость, j а при изменении свойств среды - ее неоднородность. Высокой точности требуют^ например, задачи неразрушающего контроля с применением ультразвуковой техники, динамические задачи теории упругости с определением экстремальных напряжений и ускорений и др. В данной работе рассматриваются волновые процессы деформации с учетом нелинейности, дисперсии и неоднородности среды.

Задачи распространения нелинейных волн деформации являются частью нелинейной теории упругости /13, 14/. Основы этой теории представлены, например, в работах /13, 14, 23, 32, 51, 60, 68/, где рассматривается построение математических моделей упругой среды, исходя из общих законов сохранения. Динамическим задачам нелинейной теории упругости полностью посвящена монография /60/, где представлены основы теории и рассматривается распространение нелинейных волн деформации в твердом теле, а также ряд других работ /10, 15/. Эти работы использовались как основополагающие при построении математических моделей в представляемой диссертации.

Учет эффектов нелинейности, дисперсии и дифракционной расходимости особенно важен в случаях, когда эти явления приводят к сильному искажению профиля волны и изменению амплитуды. Дисперсионные свойства могут быть обусловлены микроструктурой или геометрией среды. Построение математической модели среды с микроструктурой рассматривается в работе /21/, где поправка в уравнениях движения теории упругости зависит от расстояния между отдельными элементами микроструктуры. Дисперсионные эффекты, ! обусловленные геометрией среды, учитываются поправкой Рэлея о связи продольной и поперечной деформаций /83/. !

Влияние релаксации рассматривается во многих работах /17, 20, 45, 82/1 где ставится задача нахождения ядра релаксации, более точно I описывающего исследуемые эффекты и дающего хорошее сопоставление с экспериментом. Различные механизмы диссипации вообще исследованы -во многих работах /19, 44, 46/.

Особо следует отметить работу /55/, в которой дана общая методика учета разных добавочных эффектов и построены матемаI тические модели для сред с диссипативными, дисперсионными, релаксационными свойствами, а также для неоднородной среды с медленно изменяющимися свойствами. Рассматривается также построение математической модели двумерного процесса в диссипа-тивной среде. j

Во всех случаях учет добавочных эффектов приводит к су щественному усложнению уравнений движения теории упругости, которые становятся громоздкими для непосредственного анализа конкретных волновых процессов. Даже в линейной постановке только в некоторых случаях удается построить замкнутые решения. Число точно решаемых нелинейных задач еще меньше. В связи с этим интенсивно развиваются приближенные методы, которые можно разделить на три группы /43/:

1. Приближенный анализ точного решения /II, 53/.

2. Метод возмущений для анализа решений с мальм отклонеI нием от известного /24/.

I 5 I

3. Упрощение уравнений математических моделей, описывающих процесс /33, 43, 48, 84, 85/.

Методы первой группы берут за основу точные решения в интегральной форме, и приближенные решения получаются примеI нением некоторого классического приближенного метода, например, метода стационарной фазы. Недостаток такого подхода в том, что в нелинейных задачах невозможно получить явные решения.

Методы второй группы свободны от этого недостатка и применимы также для нелинейных задач. Известные решения обычно применяются в форме стационарных волн и коэффициенты предполагаются медленно меняющимися, так что возможно разложение в ряд по малому параметру. Однако полученное этим способом решение применимо только для определенного интервала пространства-времени.

Методы третьей группы не упрощают решения, а упрощению j подлежат сами уравнения. Примененный в диссертации модифицированный лучевой метод /55/ принадлежит к этой группе. Суть i метода заключается в разделении всего волнового процесса на отдельные волны, описываемые по определенным лучам своими уравнениями, которые называются эволюционными уравнениями. Такой подход позволяет выделить интересующее нас направление и описывать волну в этом направлении одним уравнением, учитывающим также добавочные эффекты в направлении распространения волны. Полученные эволюционные уравнения позволяют получить аналитические решения для некоторых нелинейных задач, однако I в общем случае нужно использовать численные методы. Преимущество здесь в том, что анализ структуры самого уравнения уже дает информацию о процессе. Заметно упрощается вся схема исследования /22/.

Одномерные эволюционные уравнения рассматриваются в работах /48, 53, 79/ где исследуются возможности аналитического решения, а также физические эффекты, описываемые этими уравнениями. Много внимания уделяется аналитическому решению известных нелинейных уравнений Бюргерса и Кортевега-де Вриза. В работах /55, 67/ выводятся эволюционные уравнения из конкретных математических моделей сплошной среды. В зависимости от учитываемых добавочных эффектов эволюционные уравнения являются уравнениями Бюргерса, Кортевега-де Вриза или Кортевега-де Вриза - Бюргерса. Анализируется влияние разных эффектов и приводится несколько численных примеров.

Распространение двумерных волн в диссипативной среде рассматривается в работах /2, 48, 55/. В работе /48/ I получено аналитическое решение линейного эволюционного уравнения, используемое в настоящей работе для проверки численного алгоритма. В работе /2/ на основе численного решения эволюционных уравнений дается подробный анализ волнового процесса, исследуется влияние нелинейности, диссипации и дифракционной расходимости. В работе /55/ получено эволюционное уравj нение, описывающее распространение двумерных волн деформации в твердом теле. При этом исходными взяты уравнения движения нелинейной теорий упругости и для построения эволюционного уравнения используется модифицированный лучевой метод.

Аналитические решения эволюционных уравнений известны для некоторых несложных случаев. При этом возникают трудос-ти математического характера и иногда решение возможно только при определенных|начальных условиях. В одномерном случае аналитическое решение известно для уравнений простых волн, Бюргерса и Кортевега-де Вриза. Заметим, что существование автомодельного решения нельзя считать исчерпывающим результатом, хотя бы потому, что оно не может дать объяснения переходного процесса. Например, можно получить аналитическое решение уравнения Кортевега-де Вриза (уравнения КдВ) в виде стационарных волн, но процесс сформирования этих волн из начального импульса остается мало изученным. Следовательно, и в случае известного точного решения численный анализ сохраняет свое значение. Решения нелинейных двумерных эволюционных уравнений неизвестны, даже в линейном случае решение можно получить для опредеi ленного начального условия /48/.

В связи с трудностями аналитического решения эволюционных уравнений целесообразно использование численных методов. Перспективным оказывается псевдоспектральный метод, суть которого состоит в применении быстрого преобразования Фурье и выi числении производных по координате в пространстве изображений. Для вычисления производных по времени используется метод конечных разностей. Этот численный метод применим для решения i одномерных задач /69, 70, 71, 72/. Развитие метода j тесно связано с разработкой быстрых алгоритмов для вычисления преобразования Фурье, о которых имеется обширная литература, например /62, 63, 64, 65/, где предложен численный алгоритм для решения двумерных эволюционных уравнений.

Из этого краткого анализа следует, что, хотя уже существует методика построения эволюционных уравнений сложной структуры, во многих случаях пока их решения не найдены и отсутствует анализ описываемых ими физических процессов. Прежде всего это относится к двумерным задачам. Известны их аналитические решения /48/ и численные решения в случае нелинейности и диссипации /2/. При более сложной структуре эволюционного уравнеj ния применение метода конечных разностей связано с трудностями аппроксимации высших производных, поэтому весьма целесообразна разработка эффективных алгоритмов для решения задач в среде с дисперсией. Из сказанного вытекает основная цель настоящей диссертации:

Цель настоящей диссертации заключается в построении эволюционных уравнений, описывающих распространение двумерных нелинейных волн деформаций в диспергирующей неоднородной среде, в разработке|численного алгоритма для решения полученных эволюционных уравнений и в анализе искажения профиля волны при распространении в диспергирующей неоднородной среде.

Научная новизна работы. Из уравнений нелинейной теорий упругости, учитывающих геометрическую и физическую нелинейности, с использованием лучевого метода, построено эволюционное уравнение, описывающее распространение нелинейных двумерных волн деформации в неоднородной среде с дисперсией. Для решения двумерного эволюционного уравнения разработан эффективный численный алгоритм. Проведен анализ одномерных и двумерных волновых процессов с учетом нелинейности, дисперсии и неоднородности.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертации исследовано распространение одно- и двумерных волн с учетом следующих физических эффектов: нелинейность, дисперсия и неоднородность. Следуя идеям Лаврентьева и Шабата /22/ построены упрощенные модели волновых процессов с учетом ведущих факторов. Эти упрощенные модели в виде эволюционных уравнений анализированы с помощью развитого в данной диссертации численного метода. Таким образом развит синергети-ческий подход /86/ (совместное применение аналитических и численных методов) для решения поставленной проблемы.

Суммируя результаты проделанной работы, выделяем основные результаты:

1. Составлено эволюционное уравнение, описывающее распространение двумерных волн деформации в неоднородной среде с дисперсией.

2. Предложен эффективный численный алгоритм интегрирования одно- и двумерных эволюционных уравнений на базе дискретного преобразования Фурье и метода конечных разностей. Проанализирована сходимость алгоритма и решены тестовые задачи.

3. Описана эволюция нелинейных одномерных волн в среде с дисперсией. Показано, что максимальные амплитуды в процессе формирования солитонов могут превышать максимальные' амплитуды солитонов.

4. Описано искажение двумерной волны вследствие дисперсии. Показано, что в зависимости от характера параметров дисперсия может содействовать либо дифракционной расходимости, либо нелинейности. В последнем случае возможно увеличение максимальной амплитуды до значения, превышающего начальное (амплитудное усиление).

5. Для неоднородной среды с периодически изменяющимися свойствами показано влияние нелинейности, зависящее от характера изменения свойств среды.

1. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 456 с.

2. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982. - 174 с.

3. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возглущений в плазме и других диспергирующих средах. ЖЭТФ, 1966,т. 51 (вып. 5 (П)), с. 1557-1568.

4. Березин Ю.А. О формировании солитонов. ШТФ, 1968, т. 38, вып. I, с. 24-27.

5. Березин Ю.А. О численных решениях уравнения Кортевега-де Вриза. "Численные методы мех. сплош. среды", 1973, т. 4, № 2, с. 20-31.

6. Березин Ю.А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука, 1977. - 110 с.

7. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. -Новосибирск: Наука, 1982. 160 с.

8. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.- 344 с.

9. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных бисперсных системах. М.: Мир, 1983. - 136 с.

10. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев: Наукова думка, 1981. - 216 с.

11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн.- М.: Наука, 1979. 384 с.12