Нелинейная динамика электромагнитных и акустических модулированных волн в неоднородных волноводных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БИСЯРИН Михаил Александрович

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И АКУСТИЧЕСКИХ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛНОВОДНЫХ СТРУКТУРАХ

Специальность: 01.04.03 Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ а0347913Ь

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2009

003479138

Работа выполнена на кафедре радиофизики и в Научно-исследовательском институте радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор

Молотков Иван Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Громов Евгений Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор

Котов Олег Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Крауклис Павел Владимирович

Ведущая организация : Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится " " оУ^-З^О- " 2009 г. в час. 3<0 мин, на заседании совета Д 212.232.44 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу : 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9. Ауд. 85"" .

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " 2009 г.

Ученый секретарь совета Д 212.232.44 по защите докторских и кандидатских диссертаций,

кандидат физико-математических наук

С.Т.Рыбачек

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена аналитическому исследованию слабо нелинейных волновых процессов электромагнитной и акустической природы в градиентных волноводных каналах. В ней с единых позиций теории нелинейных локализованных волновых процессов разработаны асимптотические методы и получено аналитическое описание нелинейной динамики электромагнитных и акустических волн, модулированных по амплитуде и частоте и распространяющихся в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью.

Актуальность темы

Нелинейные явления сопровождают многие физические процессы, исследуемые в оптике, акустике, гидродинамике, физике плазмы и других областях физики. Абстрагируясь от специфических, определяемых физическими механизмами свойств процессов в каждой из перечисленных областей, оказывается возможным установить общие законы и закономерности проявлений нелинейности независимо от их физического содержания. Это позволяет считать теорию нелинейных волновых процессов самостоятельной физической дисциплиной, довольно разветвлённой и динамично развивающейся. Подтверждением её широчайших возможностей служит то обстоятельство, что методы и результаты теории нелинейных волн с успехом применяются в других областях знания, причём не только в естественных науках, но и экономических и гуманитарных.

Существенное место в теории нелинейных волн занимают слабо нелинейные волновые процессы, и возрастающий интерес к ним стимулируется практическими потребностями оптоэлектроники, волоконной оптики и нелинейной акустики. С физической точки зрения

слабо нелинейные процессы выделяются условием, что амплитуды волнового поля достаточно велики, так что нельзя пренебрегать эффектами нелинейности, однако их можно рассматривать в качестве дополнительных на фоне линейного волнового процесса. Влияние слабой нелинейности имеет следствием изменение качественного характера волнового процесса по сравнению с линейным случаем. Аналитическое описание слабой нелинейности требует разработки специальных асимптотических методов решения модельных уравнений.

В работе излагаются результаты исследований по аналитическим методам описания слабо нелинейных локализованных волновых процессов. Всесторонне исследован целый ряд задач, каждая из которых представляет научный интерес сама по себе и решение каждой из которых весьма актуально для соответствующих разделов нелинейной оптики или нелинейной акустики. Вместе с тем, фундаментальная общность свойств слабо нелинейных волновых процессов и системность применённых к их описанию аналитических методов органично объединяют рассмотренные задачи в рамках единой темы исследования и делают полученные результаты весьма актуальными для общей теории нелинейных волн.

Цели и задачи работы

Основными целями работы являются :

1. представление аналитического описания слабо нелинейной динамики коротких электромагнитных и акустических импульсов, модулированных по амплитуде и частоте, в градиентных волноводных каналах с учётом их продольной неоднородности и возможной кривизны ;

2. установление теоретической реализуемости солитопного режима распространения волнового поля в градиентном волноводном канале с

продольной неоднородностью и выяснение, какие ограничения для этого должны быть наложены на характеристики продольной неоднородности;

3. осуществление аналитического описания влияния продольной неоднородности градиентного волноводного канала на амплитуду, форму, ширину и скорость солитонного импульса в процессе его распространения;

4. разработка асимптотических методов исследования влияния нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на характеристики солитонных импульсов в различных режимах;

5. представление аналитического описания процесса распространения светлых и тёмных солитонных импульсов с длиной волны несущей, близкой к длине волны нулевой дисперсии;

6. установление применимости нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью для моделирования слабо нелинейной динамики короткого акустического импульса.

Аналитическое описание слабо нелинейной динамики электромагнитных и акустических импульсов в неоднородных волноводных структурах достигается путём вывода и всестороннего анализа ряда модельных задач:

1. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения применительно к описанию динамики короткого оптического импульса в градиентных оптических волокнах или планарных структурах с продольной неоднородностью. Нелинейность процесса предполагается слабой, порядок величины амплитуды импульса принимается в качестве малого параметра асимптотического решения. В ходе асимптотического решения происходит естественное выделение линейной компоненты волнового процесса, описание модовой структуры импульса и вывод уравнения для огибающей, учитывающего продольную неоднородность градиентного оптического волновода.

2. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения для аналитического описания слабо нелинейной динамики короткого импульса с линейной частотной модуляцией несущей. Как показано в работе, решение требует принципиально различных методов в зависимости от соотношения ширины спектра и глубины линейной частотной модуляции.

3. Исследование локальной и глобальной разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами в классе быстро убывающих функций. Формулировка на основе результатов этого исследования условий, которые достаточно наложить на продольную неоднородность волноводного канала и выполнение которых гарантирует сохранение локализованного характера импульса.

4. Установление применимости нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью к описанию слабо нелинейной динамики акустического импульса, осуществление с этой целью аналитического вывода нелинейного волнового уравнения из системы гидродинамических уравнений Эйлера. В процессе этого вывода оказывается возможным выяснить, при каких значениях показателя адиабаты среда является фокусирующей или дефокусирующей для акустического излучения.

5. Асимптотическое решение нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами для малой и плавной продольной неоднородности, а также на малых расстояниях при произвольной продольной неоднородности.

6. Асимптотическое решение возмущённого нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами, характеризующими дисперсионные и нелинейные эффекты высших порядков, при различных соотношениях между коэффициентами и протяжённостью трассы.

7. Асимптотическое решение возмущённого уравнения Шредингера применительно к импульсам с длиной волны несущей в окрестности

длины волны нулевой дисперсии, аналитическое описание возникающих в процессе распространения таких импульсов связанных состояний солитонов. Решение задачи требует принципиально различающихся подходов в зависимости от величины отстройки длины волны несущей от длины волны пулевой дисперсии.

Научная повизпа

Принципиально новой является сформированная в работе концепция, предполагающая моделирование электромагнитных и акустических слабо нелинейных волновых процессов посредством нелинейного волнового уравнения с квадратичной зависимостью показателя преломления среды от амплитуды волнового поля. И если для моделирования электромагнитных процессов введение нелинейности в систему уравнений Максвелла является уже хорошо известной процедурой, то редукция системы гидродинамических уравнений Эйлера к нелинейному волновому уравнению представляет собой результат настоящей работы. Дополнительная важность этого результата обусловлена тем обстоятельством, что полученное для коэффициента при нелинейном члене волнового уравнения явное аналитическое выражение позволяет связать фокусирующие или дефокусирующие свойства среды с показателем адиабаты.

Отличительной новой особенностью моделирования слабо нелинейных волновых процессов является введение в рассмотрение продольной неоднородности градиентного волноводного канала и пространственной изогнутости его оси. Предложенный асимптотический метод решения нелинейного волнового уравнения позволяет аналитически описать совместное действие таких факторов как слабая нелинейность процесса, слабая продольная неоднородность волноводного канала и

короткая продолжительность импульса посредством единого малого параметра. Для огибающей импульса выведено обобщённое нелинейное уравнение Шредипгера, его коэффициенты зависят от характеристик моды распространения и поперечной неоднородности волноводного канала и являются функциями от продольной координаты. Решением этого уравнения и реализуется описание влияния продольной неоднородности на параметры слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе.

При рассмотрении коротких импульсов с линейной частотной модуляцией несущей впервые отмечена необходимость классификации импульсов по глубине модуляции. Импульсы, у которых глубина линейной частотной модуляции много меньше ширины спектра, и импульсы, глубина модуляции которых соизмерима с шириной спектра, составляют два класса с существенно различной динамикой в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью. Для обоих режимов в работе сформулированы и реализованы методы аналитического описания и указаны отличительные особенности распространения импульсов.

Исследование эволюции огибающей импульса на базе обобщённого нелинейного уравнения Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты и выражающимися через характеристики поперечной неоднородности волноводного канала, представляет собой существенный элемент новизны проведённой работы. Впервые исследовала локальная и глобальная разрешимость задачи Коши для этого уравнения в классе быстро убывающих функций. Решение уравнения для огибающей осуществляется различными асимптотическими методами, что позволяет описывать динамику импульса либо на произвольных расстояниях при дополнительных предположениях о малости продольной неоднородности и дисперсионных и нелинейных эффектов высших порядков, либо без ограничений на эти характеристики, но лишь на малых

расстояниях вдоль трассы распространения. Принципиально новым результатом является также и установление существования двух качественно различающихся режимов распространения импульсов с длиной волны несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии. Один из них реализуется тогда, когда отстройка длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии превосходит некоторую характерную величину, другой имеет место в непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии.

Достоверность результатов

Полученные результаты носят теоретический характер. Их обоснованность и достоверность обеспечиваются адекватностью математических моделей, использованием обоснованных асимптотических методов и определённостью границ их применимости. При предельных переходах к более простым и изученным ситуациям (волноводный канал без продольной неоднородности, импульс без линейной частотной модуляции и т.п.) получаются результаты, согласующиеся с имеющимися в научной литературе. Вывод о том, что показатель адиабаты, равный 3/2, разделяет среды, фокусирующие и дефокусирующие акустическое излучение, находится в согласии с результатами других авторов, полученными при изучении системы уравнений Навье-Стокса методами теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа.

Научная и практическая значимость

Научная значимость работы определяется новизной рассмотренных задач, оригинальностью методов их решения, системной общностью аналитического описания волновых процессов различной физической

природы в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью. Работа вносит значительный вклад в развитие важного научного направления, связанного с анализом нелинейной волновой динамики в волноводных структурах. Практическая значимость обусловлена тем, что разработанные методы позволяют достаточно полно учитывать влияние продольной неоднородности волповодного канала на процесс распространения импульса. Эти методы могут использоваться при разработке методики оценки продольной неоднородности градиентного оптического волокна, а также для задания допусков на неоднородность, обеспечивающих надёжную передачу информационных сообщений по солитонным волоконнооптическим линиям.

Положения, выносимые па защиту

1. Локализация слабо нелинейного волнового процесса в среде, характеризующейся двумя масштабами неоднородности в направлении распространения и перпендикулярно к нему, обеспечивается качественно различающимися механизмами. Само образование волноводного канала и осевое сосредоточение волнового поля в нём являются следствием сильной поперечной неоднородности среды. Нелинейность процесса проявляется в динамике огибающей, и в первую очередь, в образовании солитона огибающей. Параметры солитона изменяются в процессе распространения импульса под влиянием слабой продольной неоднородности и изогнутости волноводного канала.

2. Слабо нелинейный режим распространения короткого импульса в градиентном волноводе адекватно моделируется нелинейным волновым уравнением и может быть асимптотически охарактеризован посредством единого малого параметра. Этим параметром определяется порядок величины амплитуды импульса, а квадратом этого параметра

характеризуется продольная неоднородность волноводного канала и его кривизна.

3. Динамика слабо нелинейного короткого импульса в градиентной волноводной структуре со слабой продольной неоднородностью характеризуется тремя масштабами. Высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна. Соотношения между фазами высокочастотного заполнения и огибающей различаются для различных распространяющихся мод. Распространение огибающей вдоль волновода происходит со скоростью, отличающейся от фазовой скорости высокочастотного заполнения, и сопровождается медленными вариациями амплитуды, ширины и формы.

4. Моды слабо нелинейного режима распространения в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью имеют линейные аналоги, которые, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют высокочастотным модам.

5. Динамика огибающей слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью удовлетворяет возмущенному нелинейному уравнению Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. Для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей волноводного канала существует интервал, на котором гарантированно сохраняется сосредоточенный характер импульса. При определенных ограничениях на продольную неоднородность такая сосредоточенность сохраняется на произвольно больших расстояниях вдоль волноводного канала.

6. Влияние дисперсии и слабой нелинейности высших порядков на огибающую короткого импульса может быть взаимно скомпенсировано,

что позволяет минимизировать искажения формы импульса в процессе его распространения. Этот эффект аналогичен образованию солитонов огибающей в результате совместного действия нелинейности и дисперсии в главном порядке.

7. Распространение излучения с длиной волны, близкой к длине волны нулевой дисперсии, инициирует образование связанных нелинейных структур. Качественный состав и динамика этих структур определяются величиной отстройки длины волны высокочастотного заполнения импульса от длины волны нулевой дисперсии. Если отстройка превышает установленную величину, то образуется связанное состояние из светлых и тёмных солитонов огибающей. В непосредственной же окрестности длины волны нулевой дисперсии формируется особая нелинейная структура - солитон на пьедестале.

8. Слабо нелинейная динамика импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения существенно различается в зависимости от того, является ли глубина модуляции много меньшей ширины спектра или эти две величины соизмеримы. На этой основе производится классификация импульсов на чирпированные и сильно чирпированные. Динамика огибающей сильно чирпированного импульса оказывает влияние па распределение волнового поля в поперечном сечепии волноводного канала. И в том и в другом случае коэффициент модуляции может задаваться лишь в определенных соотношениях с параметрами поперечной и продольной неоднородности волноводного канала.

9. Система гидродинамических уравнений Эйлера, применённая к описанию слабо нелинейного процесса распространения короткого акустического импульса в градиентном волноводном слое с продольной неоднородностью, редуцируется к нелинейному волновому уравнению

с кубичной нелинейностью. Значение показателя адиабаты у = —

3 3

разделяет среды на фокусирующие (/> — ) и дефокусирующие (/< — )

акустическое излучение.

Апробация работы

Результаты исследований по теме диссертации представлялись на всесоюзных, всероссийских и международных научных конференциях:

1. Всесоюзная научная конференция "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении". - Горький, 1989.

2. Волны и дифракция - 90. X Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. - Винница, 1990.

3. I European Fluid Mechanics Conference. - Cambridge, 1991.

4. X Topical Meeting on Gradient-Index Optical Systems. - Santiago de Compostela, 1992.

5. International Conference "Gradient-Index Optics in Science and Engineering". -Kazimierz-Dolny, 1995.

6. International Conference on Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems. -Zakopane, 1995.

7. Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса грантов 1997 года для молодых ученых Сапкт-Петербурга. - СПб., Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе, 1998.

8. International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation". - San Jose, 1999.

9. International Conference "Materials and Devices for Photonic Circuits", SPIE's 44th Annual Meeting. - Denver, 1999.

10. International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation - II". - San Jose, 2000.

11. Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежпые вопросы". - Уфа, 2000.

12. X International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2000.

13. Региональная VI конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2000.

14. Applied Nonlinear Dynamics. From Semiconductors to Information Technologies. -Thessaloniki, 2001.

15. Региональная VII конференция по распространению радиоволп. - Сашсг-Петербург, 2001.

16. Asia-Pacific Optical and Wireless Communications Conference. - Beijing, 2001.

17. XXVII General Assembly of the International Union of Radio Science. - Maastricht, 2002.

18. Региональная VIII конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2002.

19. XI International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2003.

20. Региональная X конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2004

21. Conference MSS-04, Institute of Space Research. - Moscow, 2004.

22. ХП International Conference "Laser Optics". - SLPetersburg, 2006.

23. Региональная ХП конференция по распространению радиоволп. - Санкт-Петербург, 2006.

24. 18th International Symposium on Nonlinear Acoustics. - Stockholm, 2008. Отдельные разделы диссертации докладывались па научных семинарах кафедры радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, кафедры радиофизики радиофизического факультета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, на городских семинарах по дифракции и распространению волн в Петербургском отделении Математического института им.

B.А.Стеклова.

Часть результатов, представленных в диссертации, получена в рамках исследований, поддержанных грантами Российского фонда фундаментальных исследований.

Публикации

Все представленные в диссертации результаты опубликованы в ведущих научных изданиях. Основное содержание диссертации изложено в 49 публикациях, в том числе в монографии "Нелинейпые локализованные волновые процессы", опубликованной в соавторстве с И. А .Молотковым и

C.А.Вакуленко, издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Все изложенные в диссертации результаты получены при личном участии автора. В совместных работах автор активно участвовал в разработке концепции, математической постановке задачи, в её аналитическом и численном решении.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, в составе которых 28 параграфов, заключения, приложений и списка цитируемой литературы из 277 наименований. Общий объём диссертации - 313 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обосновывается выбор темы и её актуальность, обсуждается место проведённого исследования в ряду работ по теории нелинейных волн, определяются цели исследования и формулируются положения, выносимые на защиту. Описывается также содержание и структура работы, приводится список публикаций автора по теме диссертации, и для каждой главы указывается, в каких статьях опубликованы её основные результаты.

Глава 1 (§§1-6) посвящена аналитическому описанию слабо нелинейного процесса распространения импульса в градиентных планарных структурах. Допускается слабая продольная неоднородность волноводного канала, то есть, масштаб зависимости показателя преломления среды от продольной координаты значительно превосходит масштаб зависимости от поперечной координаты. Кроме того, в рассмотрение включается также и переменная малая изогнутость осевой линии волноводного канала: при этом порядок величины радиуса кривизны совпадает с масштабом продольной неоднородности. Под импульсом, распространение которого составляет предмет исследования, подразумевается высокочастотное излучение, модулированное огибающей с быстро убывающими фронтами.

§1 носит вводный характер, в нём дается обзор литературы, посвящённой электромагнитным волновым процессам в двумерных волноводных структурах и применяемым для их описания методам. В §2 на основании литературных данных обсуждается применимость нелинейного волнового уравнения к волновым процессам в неоднородных средах и обосновывается его выбор в качестве модельного уравнения для

описания слабо нелинейного короткого импульса неоднородном волноводном канале.

В §3 формулируется модельная задача о распространении слабо нелинейного короткого импульса в двумерном градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью. Процесс описывается нелинейным волновым уравнением

л 2

Ди- /(w2;s,n)—, (1)

dt"

s и п - криволинейные ортогональные координаты, s - продольная, п -нормальная координата в окрестности осевой линии волноводного канала. Искомая функция и должна удовлетворять условию lim и = 0,

п—>4оэ

выражающему локализацию поля в окрестности оси, и описывать волну, распространяющуюся в положительном направлении по координате s. Предполагается, что амплитуда поля является малой величиной порядка д. Слабая продольная неоднородность и слабая изогнутость характеризуются посредством <?, то есть, свойства волноводного канала зависят от медленной продольной координаты a = S2s , а кривизна его оси равна 82к{сг), здесь к(а) - заданная функция.

В работе исследуется случай квадратичной зависимости квадрата показателя преломления среды от волнового поля

f (и2;ст,п) = ß2(n,cr) + —а(п,ст) < и2 > , (2)

< и2 > означает среднее значение квадрата волнового поля за период колебаний. Функцией ß(n,a) задаётся распределение показателя преломления до введения в среду высокоинтенсивного излучения, а -коэффициент Керра.

Решение уравнения (1) ищется в виде

фаза огибающей выражается как

(4)

д

и отличается от фазы высокочастотного заполнения в (3). Комплексная амплитуда и разлагается в ряд по степеням 8

ос

и = ■ (5)

]=0

В §4 осуществляется подстановка анзатца (3), (4), (5) в уравнение (1) и выводится серия задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничивши условиями Г/ • —> 0, обеспечивающими

локализацию волнового поля в окрестности оси волноводного канала. Последовательное решение этих задач с учётом соотношений, выражающих условия их разрешимости, позволяет определить все элементы анзатца.

Комплексная амплитуда в главном приближении оказывается подчинённой задаче Штурма-Лиувилля

^Ц± + (/32(п,а)-г2(а))у0=0 , Иш и0=0 , (6)

дп п->+°°

на бесконечном интервале, а и в играют роль параметров. Для достаточно широкого и практически важного класса функций /?2(я,о) задача (6) определяет конечный набор незатухающих мод, характеризуемых аналогом постоянной распространения г((т)=/?'(<7) и собственной функцией Щ(п,в,а). При этом локализация волнового поля импульса в окрестности оси волновода достигается за счет непрерывной зависимости показателя преломления от нормальной координаты п. Из вида уравнения (6) вытекает, что собственную функцию можно представить в виде

произведения U0{n,ú,a)-V(n,cr)F(ó,o), в котором функция V(n,&)

00

нормирована условием jv2(n,c)dn = 1 и описывает поперечное

—оо

распределение поля, медленно меняющееся вдоль оси волноводного канала. Функцию F(0,cr) в дальнейшем будем называть огибающей импульса. В случае зависимости линейной части квадрата показателя

преломления р2(п,ст)=- 0г{о)п2 для собственных чисел задачи

4

(6) имеются явные формулы, а поперечное распределение поля импульса при этом выражается посредством функций параболического цилиндра.

Условие разрешимости задачи для поправки U\ позволяет выразить q(a)-Q{d) через г(ст) и поперечное распределение поля импульса, тем самым устанавливается соотношение между фазами высокочастотного заполнения и огибающей. Уравнение для поправки второго порядка Щ к комплексной амплитуде является предметом §5, она также удовлетворяет неоднородному уравнению с дифференциальным оператором (6), и её условие разрешимости является уравнением для огибающей F(0,û) -обобщённым нелинейным уравнением Шредингера

л*-»

2 ir(a)~ + g(<r)— + i(a)F + h(a) \F\2F = 0 , (7) ост ЭгГ

коэффициенты которого выражаются через характеристики, определённые на предыдущих шагах асимптотической процедуры. Зависимость от переменной кривизны к(а) присутствует в выражении для коэффициента j{a). Зависимость коэффициентов уравнения (7) от продольной координаты позволяет описать влияние продольной неоднородности волноводного канала на слабо нелинейную динамику огибающей импульса.

В §6 рассматривается нелинейное уравнение Гельмгольца Au + ú)2fUuí2,n,<j)u = 0, f = p2(n,cr) + a(n,<r)\u\2, моделирующее слабо

иелииейиуго эволюцию пучка в среде с различными масштабами неоднородности в поперечном и продольном направлениях. В ходе последовательного асимптотического анализа устанавливается существование слабо нелинейных мод волнового пучка, причём каждая из них имеет линейный аналог, связь с которым иллюстрируется явной формулой для главного члена асимптотики слабо нелинейной моды.

Содержание Главы 2 (§§7-13) составляет исследование слабо нелинейного распространения короткого импульса в градиентном оптическом волокне. Учитывается продольная неоднородность волокна и его пространственная искривлённость. Допускается также зависимость показателя преломления материала волокна в поперечном сечении от азимутального угла. В §7 представлен обзор литературы, посвященной нелинейному режиму распространения импульсов в оптических волокнах. Разбираются дисперсионные свойства и способы управления ими в оптических волокнах, нелинейные явления и пороги их возбуждения, физические механизмы нелинейности, а также возможности применения нелинейного режима функционирования волоконнооптических коммуникаций. В §8 формулируется модельное уравнение, описывающее процесс распространения импульса, это уравнение (1), в котором квадрат показателя преломления представляется формулой (2), однако задача формулируется как трёхмерная, систему ортогональных криволинейных координат образуют полярные координаты р и <р в поперечном сечении световода и длина кривой s, отсчитываемая вдоль оси волокна. Соответственно и условие локализации волнового поля в окрестности оси волокна формулируется в виде lim и = О, кроме того, требуется

конечность функции и при р-О и 2л-периодичность по координате (р.

Анзатц для решения модельного уравнения обсуждается в §9, малый параметр имеет тот же смысл, что и в Главе 1. Основные элементы анзатца определяются формулами (3), (4), а в разложении по степеням малого параметра (5) присутствуют функции Ц(р,<р,9,а). Само модельное уравнение учитывает кривизну и кручение оси волокна. Отметим, что даже если показатель преломления в поперечном сечении градиентного световода и не зависит от азимутального угла <р, такая зависимость всё равно появится в Щ при />1 вследствие искривлённости оси. В §10 определяются основные характеристики мод импульса. Функция и0 2л-периодична по <р (1/0 ~ еш<р), и если линейная часть показателя преломления р не зависит от ц>, то и0 как функция от р, 0, а удовлетворяет задаче Штурма-Лиувилля

Э1и0 1 ди0 ----+

Эр2 Р ¿Р

2\

Р .

и0= 0 , (8)

Vо конечна при р —> 0, [/0 0 ,

тогда и0{р,<р,б,о) = У(р,о)Р{8,а)е1т(1>, У(р,а) - собственная функция

00

задачи (8), нормированная условием jpV2(p,a)dp = l. В случае

о

параболической зависимости функции /Р от радиальной координаты р собственная функция V выражается через обобщённый полином Лагерра.

Поправки к комплексной амплитуде Щ (/ > 1) удовлетворяют неоднородным уравнениям второго порядка с дифференциальным оператором (8). Условие того, что решения этих уравнений должны быть ограниченными при р = 0 и стремиться к нулю при накладывает

ограничения па правые части уравнений. Так, условие разрешимости задачи для 1!\ приводит к формуле

°° 2

?(сг)=г(а)+7^ЯШ dp

о

устанавливающей связь между фазами огибающей и высокочастотного заполнения. А условие разрешимости рассматриваемой в §11 задачи для Ui имеет следствием уравнение для огибающей импульса F(0,e) , по форме совпадающее с уравнением (7), но выражения для коэффициентов отличаются от аналогичных формул двумерной задачи. В случае продольной неоднородности, когда коэффициенты связаны соотношением

2g(a)r(a) = pzh(a) , р = const, можно в явном виде выписать солитонпое решение уравнения (7)

которое в сочетании с анзатцем (3), (4) наглядно иллюстрирует трёхмасштабный характер исследуемого процесса: высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой двухмасштабна, средняя по скорости эволюция фазы огибающей сопровождается медленным изменением её амплитуды.

Предметом §§12 и 13 являются короткие оптические импульсы с линейной частотной модуляцией несущей. Фаза чирпированного импульса

2 2

представляется в виде Ф = £У0г + //£У0? , параметр /г характеризует глубину модуляции. При этом мгновенная частота ео=щ + 2/^/, и полное изменение мгновенной частоты импульса длительностью /о равно Аа) = г0. Принципиальным результатом проведённого исследования является установление того факта, что динамика импульса существенно определяется соотношением между шириной спектра и глубиной модуляции. Выделяются два качественно различающихся типа динамики,

1,0 0,5 ...0,0 "-0,5 •1,0

! I $ 1 - и

¡1 'I ,

. /и!

'И'

•0 -4 0 | 4

к.

в,г

в,а

'"'Л

/ \ / \

V

^=0,02

4,0 5,2 0,0 '-0,5 -1,0

„/111 У1

Й1|Ь.

и '

V 11!

-4 О 4 8

е,з

Й,1 в,о

/V'

\

А/

/ * X

\

\

2 ' 3

ця=0,03

1,0 0,5

к 0,0

и,0

5 I

А

,'111 VII

>> ЧУ«-

| ■ I >1''

5 I

И'

-8 -4 0 4 3

и.

0,3

в, г 0,1 о,в

л/кч

г Н Ц

ч

Рис.1. Изменение качественного характера модуля спектральной функции !Ь'(у)1

чирпированного импульса f(i) = e'°CO$,{27tV0t + |Л•Aж2vlt2), У010=4, по мере увеличения коэффициента модуляции.

один имеет место в случае, когда глубина модуляции много меньше ширины спектра, такие импульсы называем чирпировапными, другой тип динамики - сильно чирпированный импульс - характеризуется тем, что глубина модуляции и ширина спектра соизмеримы. Для импульсов с гауссовой огибающей

f(t) = e cos(ü>0r+ //ü>oí2)

выражение для спектральной функции получатся в явной форме, и па рис.1 наглядно демонстрируется различие между чирпировапными и сильно чирпированными импульсами. При увеличении глубины модуляции возникают осцилляции модуля спектральной функции в окрестности частоты coq , сильно чирпированный импульс характеризует немонотонный спектр, причём максимальное значение модуля спектральной функции смещается от центральной частоты несущей. Заметим, что такой импульс вообще не может рассматриваться как традиционный волновой пакет.

В исследуемой задаче полагается, что импульс включает в себя достаточно большое количество периодов высокочастотного заполнения, и в силу выбора фазовой функции огибающей (4) отношение периода колебаний к длительности импульса является величиной порядка <5 (кроме того, это следует и из явной формулы для солитонного решения уравнения для огибающей). Составив отношение полного изменения мгновенной частоты несущей Асо к ширине спектра, нетрудно убедиться, что оно

является величиной порядка . На основе этого соотношения и

8

осуществляется классификация: чирпированными называем импульсы , у которых коэффициент модуляции является малой величиной если же

/и-82, то полное изменение частоты несущей соизмеримо с шириной спектра, и такие импульсы естественно называть сильно чирпированными.

В §12 исследуется слабо нелинейная динамика чирпированного импульса, и решение нелинейного волнового уравнения (1) ищется в виде

в дополнение к анзатцу (3) здесь вводится ещё одна неизвестная функция ц{(т)~ 1, характеризующая изменение коэффициента модуляции под влиянием продольной неоднородности волноводного канала. Наличие квадратичной фазовой модуляции не проявляется в старшем члене асимптотического разложения (5), он также определяется из решения задачи Штурма-Лиувилля (8), однако для последующих членов разложения (5) схема решения усложняется. В частности, из условия разрешимости задачи для U\ дополнительно получается соотношение Ju(cr)Q2 (<у) = const, выражающее согласованность вариаций коэффициента модуляции и фазы огибающей в продольно неоднородном волокне.

Выведенное уравнение для огибающей чирпированного импульса в общем случае может решаться численно. Тем не менее, для некоторых специальных типов продольной неоднородности это уравнение сводится ко второму уравнению Пенлеве

в котором х и и(х) выражаются через уже определённые элементы анзатца. Численное решение этого уравнения позволяет представить (рис.2) изменение качественного характера динамики огибающей импульса при наложении па несущую линейной частотной модуляции. Возникающий при этом осциллирующий хвост убывает вследствие нелинейности быстрее функции Эйри, а сравнение с БесЬ - солитоном нелинейного

1

и"(х)-хи(х) + и (х) = 0

Рис.2.

Структура огибающей имиульеа: (1) в нелинейном режиме при наличии линейной частотной

х модуляции, (2) в нелинейном режиме без частотой модуляции, (3) функция Эйри Ai(x).

уравнения Шредингера показывает, что линейная частотная модуляция приводит к более резкой крутизне переднего фронта импульса.

Для импульсов, глубина линейной частотной модуляции которых соизмерима с шириной спектра, требуется существенное изменение асимптотической процедуры, что и составляет содержание §13. Анзатц для решения нелинейного волнового уравнения (1) в виде сильно чирпированного импульса

отличается от анзатца (9) для чирпированного импульса тем, что квадратичная фазовая модуляция имеет больший порядок величины по параметру <5. Это обстоятельство проявляется уже в задаче Штурма-Лиувилля для главного приближения Щ комплексной амплитуды, её собственное значение представляет собой определённую комбинацию функций Rio), Q(a) и ц{а), а поперечное распределение волнового поля оказывается зависящим от коэффициента модуляции //(<т). Это означает, что сильная линейная частотная модуляция проявляется не только в продольной динамике импульса (как в случае чирпированного импульса), но и в распределении волнового поля в поперечном сечении градиентного

волноводного канала. Соответствующие явные формулы выписаны для случая параболической зависимости рг(р,а) = /?02 (a) ■ В

процессе асимптотического решения устанавливается соотношение /¿(ст)<2(с!") = const между фазой огибающей и коэффициентом модуляции (оно отличается от аналогичного соотношения для чирпированного импульса). Для огибающей выведено уравнение, обобщающее нелинейное уравнение Шредингера и имеющее коэффициенты, зависящие от продольной координаты и выражающиеся через характеристики градиентного волноводного канала и распределение волнового поля в поперечном сечении. Тем самьм описывается влияние продольной неоднородности градиентного волноводного канала на слабо нелинейную динамику сильно чирпированного импульса.

Глава 3 (§§14-17) выделяется как предметом, так и методом исследования. Поскольку нелинейное уравнение Шредингера и его обобщения описывают огибающую рассматриваемых импульсов, а исследование нелинейной динамики импульса предполагает построение асимптотических решений уравнения для огибающей, то возникает необходимость установить разрешимость этого уравнения в подходящем классе функций. Результаты главы представляются важными и актуальными для теории нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами.

Заменой переменной и искомой функции уравнение (7) приводится к виду, когда переменным является лишь один из коэффициентов, поэтому рассматривается задача Коши

^ + + = 0 , 4=0=^(x)ei?(R) , (Ю)

где S(R) - пространство быстро убывающих функций. Наличие переменного коэффициента в уравнении (10) может привести к тому, что

быстро убывающее при I = 0 решение утратит это свойство при конечных I. В §14 выясняются условия, которым должна удовлетворять функция ДО, чтобы решение оставалось сосредоточенным по крайней мере на конечном интервале изменения переменной /. Исследование проводится методами теории дифференциальных уравнений в частных производных. Вводится пространство С1 ГО,'/'; Б], его элементами являются функции и(;8(Я) при V г е [0,7) и дифференцируемые по / на рассматриваемом промежутке. Затем строится последовательность функций

и доказывается, что она сходится к искомому решению при конечном Т, если Д/)еС[0,со) и Д/)>0. Глобальная разрешимость задачи (10) исследуется в §15, его результатом является установление условий, гарантирующих принадлежность решения требуемому классу при любом Т>0. Другой "крайний" случай, когда сосредоточенное решение обязательно разрушается за конечное время, рассматривается в §16.

Применительно к процессу распространения импульса в градиентном волноводном канале можно сделать вывод, что для достаточно широкого и практически важного класса продольных неоднородностей существует гарантированная длина участка волновода, в пределах которого сохраняется локализованный характер импульса. Заметим, что этим фиксируется значение медленной координаты <т,

физическая же длина гарантированного участка В §17 проведены

оценки длины такого интервала для осциллирующих и монотонных

I

Щ09+' - /'){ и* (хЛ I2 ик

о

продольных неоднородностей градиентного оптического волокна, построены зависимости от мощности и крутизны начального импульса.

Глава 4 (§§18-22) посвящена нелинейной акустике, в пей устанавливается применимость нелинейного волнового уравнения с квадратичной зависимостью скорости звука от амплитуды волнового поля к описанию слабо нелинейных акустических волновых процессов. В §18 осуществляется сведение системы уравнений Эйлера к нелинейному волновому уравнению вида (1), (2), при этом в адиабатическом приближении коэффициент при нелинейном члене выражается через показатель адиабаты у

Ро - постоянное значение давления. Из этой формулы следует, что значение у = 3/2 разделяет положительные и отрицательные значения коэффициента а, при у > 3/2 среда фокусирует акустическое излучение, при у < 3/2 среда является дефокусирующей.

Сведением системы уравнений Эйлера к нелинейному волновому уравнению устанавливается глубокая аналогия между слабо нелинейными электромагнитными и акустическими волновыми процессами. Это позволяет использовать методы описания оптических импульсов в градиентных плапарных структурах при изучении распространения слабо нелинейного акустического импульса в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью. В §19 исследуется модовая структура акустического импульса и соотношения между высокочастотным заполнением и огибающей, а в §20 выводится уравнение для огибающей. Для определённого типа продольной неоднородности получено явное выражение решения нелинейного уравнения Шредипгера (7) в виде тёмного солитона.

Для оценки погрешности, вносимой за счёт пренебрежения изменением энтропии, в §§21 и 22 рассмотрено влияние изменения энтропии па процесс распространения импульса в среде с релаксацией. Изучены режимы, когда время релаксации того же порядка величины, что и характерное время возмущения, а также ситуация, когда время релаксации значительно превышает характерный масштаб возмущения. В обоих случаях получено аналитическое описание процесса.

В Главе 5 (§§23-28) осуществляется аналитическое решение ряда задач, описывающих нелинейную динамику огибающей короткого и сверхкороткого импульса в различных режимах распространения. Для случая малой и плавной продольной неоднородности (характеризуемой более медленной по сравнению с а продольной переменной) решение уравнения (7) построено в §23, оно справедливо на произвольных расстояниях вдоль трассы распространения. Решение этого же уравнения при произвольной (по а) продольной неоднородности осуществлено в §24 асимптотическим методом, обеспечивающим адекватное приближение на малых расстояниях. В обоих случаях выписаны явные формулы, характеризующие вариации амплитуды, формы, ширины и скорости импульса под влиянием продольной неоднородности.

В §§ 25 и 26 исследуется нелинейное уравнение

.Э и Э2М ,2 ./,3^(1 . Э „ ,2 ч „ г—- + —т + 2\иГ и-ф—т + 1у—(и2 и) = О Эх дб Эг?3 Эг?

с целью описания влияния дисперсии третьего порядка и самоукручения

огибающей на стандартный солитон нелинейного уравнения Шредингера.

Здесь также разработаны два асимптотических подхода. Один (§25)

реализуется при малых значениях /? и у и справедлив на произвольных

расстояниях х, другой (§26) применим при произвольных значениях этих

коэффициентов, по лишь на малых расстояниях. При определённых

соотношениях эффекты дисперсии третьего порядка и самоукручения огибающей компенсируют друг друга, так что форма солитонного импульса не искажается в приближении, учитывающем эти два фактора.

Нелинейная динамика импульса с длиной волны несущей X, близкой к длине волны нулевой дисперсии Ао, моделируется обобщённым нелинейным уравнением Шредингера (обозначения стандартные)

дх 2 дб 6 ЭгЗ 2с причём в окрестности длины волны Хо коэффициент к" —> 0 . Случай, когда величина 1Ао -XI ещё не слишком мала, составляет предмет §27. В этом режиме влияние дисперсии третьего порядка может трактоваться как эффект, возмущающий процесс распространения стандартного солитона нелинейного уравнения Шредингера, в результате возбуждаются примесные солитоны светлого и тёмного типов, и огибающая представляет собой связанное состояние основного и примесных солитонов.

Принципиально важным результатом §28 является установление критического значения отстройки 1Хо -XI, выделяющего непосредственную окрестность длины волны нулевой дисперсии, в пределах которой именно дисперсия третьего порядка является определяющим фактором динамики импульса. Для этого интервала длин волн применяется малоамплитудное приближение, и с его помощью аналитически описывается формирование особой нелинейной структуры - уединённой волны на пьедестале. Эта уединённая волна представляет собой солитон Кортевега - де Фриза, и его амплитуда, ширина и скорость выражаются явным образом через нелинейные и дисперсионные характеристики среды.

В Заключении изложены основные результаты диссертации. Некоторые вспомогательные результаты, использованные в основном изложении, представлены в семи Приложениях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построено асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью по малому параметру, задающему порядок величины амплитуды волнового поля. Решение адекватно описывает слабо нелинейную динамику короткого импульса и учитывает продольную неоднородность градиентного волповодного канала и изогнутость его оси. Описана модовая структура импульса и показано, что процесс распространения является трёхмасштабным: высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна и формируется средней по скорости эволюцией фазы огибающей и медленным изменением амплитуды и формы.

2. Показано, что слабо нелинейная динамика импульса с линейной частотной модуляцией несущей существенно зависит от соотношения между глубиной модуляции и шириной спектра импульса. Если глубина модуляции соизмерима с шириной спектра (сильно чирпированный импульс), то распределение волнового поля импульса в поперечном сечении волноводного канала оказывается зависящим от частотной модуляции. Аналитически описана динамика чирпированного и сильно чирпированного импульсов и установлены соотношения между коэффициентом модуляции и параметрами поперечной и продольной неоднородности волноводного канала.

3. На основе проведённого исследования локальной и глобальной разрешимости в пространстве быстро убывающих функций задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами сформулированы условия, которые достаточно наложить на продольную неоднородность волповодного канала, чтобы гарантировать сохранение локализованного характера огибающей импульса по мере его распространения. Установлена протяжённость трассы распространения, на

которой сохраняется сосредоточенность импульса для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей.

4. Установлена применимость нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью для моделирования слабо нелинейной динамики акустического импульса. Выведена формула для коэффициента квадратичной зависимости скорости звука от волнового поля, аналога коэффициента Керра для электромагнитных волновых процессов, и показано, что значение показателя адиабаты, равное 3/2, разделяет среды на фокусирующие (при показателе адиабаты больше 3/2) и дефокусирующие (в противном случае) акустическое излучение.

5. Построены асимптотические решения уравнения для огибающей -нелинейного уравнения Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты, - для малой и плавной продольной неоднородности, а также на малых расстояниях вдоль волноводного канала при произвольной слабой продольной неоднородности. С помощью этих решений получены явные формулы для вариаций амплитуды, формы, ширины и скорости огибающей импульса под влиянием слабой продольной неоднородности волноводного канала.

6. Аналитически описано совместное воздействие дисперсии третьего порядка и самоукручения на огибающую импульса. Установлена возможность взаимной компенсации этих двух эффектов и, как следствие, сохранения формы огибающей импульса в рамках приближения, учитывающего дисперсию третьего порядка и самоукручение.

7. Установлено существование двух режимов распространения импульсов с длиной волны несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии и указано значение длины волны, разделяющее эти два режима. Если отстройка длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии превосходит установленную величину, то действие дисперсии третьего

порядка проявляется в возбуждении примесных солитонов светлого и тёмного типов, и огибающая импульса распространяется в виде связанного состояния основного и примесного солитонов. В непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии эффект дисперсии третьего порядка является превалирующим, и формируется особая нелинейная структура - распространяющийся на пьедестале солитоп, характеризуемый уравнением Кортевега - де Фриза. Предложенный метод позволяет рассчитывать и все последующие поправки.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография

И.А-Молотков, С.А.Вакуленко, М.А.Бисярип. Нелинейные локализованные волновые

процессы. - М„ Янус-К, 1999. 176 с.

Статьи

1. М.А.Бисярин. Распространение неадиабатического возмущения в релаксирукяцей среде // Физика горения и взрыва. 1987. Т.23, №3.

2. И.А.Молотков, М.А.Бисярин. Распространение коротких импульсов в нелинейных и неоднородных световодах // В сб.: Проблемы теоретической физики. Т. 3. - Л., изд-во ЛГУ, 1988.

3. М.А.Бисярин. О локальной разрешимости пелинейпого уравнения Шредингера с переменными коэффициентами // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1989. Вып.2.

4. М.А.Бисярип. Нелинейное уравнение Шредингера с переменными коэффициентами: сосредоточенное решение и его разрушение // Записки научных семипаров ЛОМИ. 1988. Т. 173.

5. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция огибающей импульса в нелинейном световоде со слабой продольпой неоднородностью // Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 67, №2.

6. М.А.Бисярин. Волноводное распространение слабо нелинейных пучков в неоднородной среде // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1990. Вып. 1.

7. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Влияние неоднородностей оптического волокна, а также нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на параметры солитонных импульсов // Известия РАН. Серия физическая. 2001. №6.

8. М.А.Бисярип, И.А.Молотков. Модовая структура и огибающая короткого импульса в градиентном световоде с продольной неоднородностью и с пространственной кривизной // Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 6.

9. И.А.Молотков, М.А.Бисярин. Яркие и темные импульсы в оптических волокнах в окрестности длины волны пулевой дисперсии // Квантовая электропика. 2004. Т. 34, №2.

10. Л.Д.Бахрах, М.А.Бисярип, И.А.Молотков. Сверхкороткие импульсы в нелинейных неоднородных средах // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. № 7.

11. М.А.Бисярин. Короткие импульсы с линейпой частотной модуляцией в градиентных световодах // Известия вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, №1.

12. М.А.Бисярин. Мощные импульсы с сильной линейной частотной модуляцией в градиентных волноводах // Вестник СПбГУ. Сер. физ., хим. 2006. Вып. 2.

13. М.А.Бисярин. Акустические импульсы конечной амплитуды в волноводном слое с продольной неоднородностью // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т.48, № б.

14. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Self-action of short pulses in nonhomogeneous graded-index light guides // Optical and Quantum Electronics. 1992. Vol. 24, №3.

15. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Finite-amplitude pulses in light guides with quadratic profile of the refractive index // Proceedings of the SPIE. 1996. Vol. 2943.

16. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of transverse and longitudinal inhomogeneities of optical waveguide on propagation of nonlinear pulses // Journal of Technical Physics. 1996. Vol. 37, № 3-4.

17. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Distortions of the pulse shape in inhomogeneous graded-index light guides // Proceedings of the SPIE. 1999. Vol. 3609.

18. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Weak-nonlinear propagation of subpicosecond pulses in graded-index light guides with a small longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2000. Vol. 3927.

19. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in graded-index optical fibers under the influence of weak longitudinal inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects // Proceedings of the SPIE. 2001. Vol. 4579.

20. M.A.Bisyarin, LA.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in optical fibres with transverse and longitudinal inhomogeneities // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol. 17, № 2/3 .

21. M.A.Bisyarin. Nonlinear evolution of a pulse with a linear frequency modulation in a graded-index waveguide // International Journal of Geomagnetism and Aeronomy. 2005. Vol. 6, № 2, doi: 10.1029/2005GI000104.

22. M.A.Bisyarin. Nonlinear chirped pulses in graded-index optical fibers with longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2007. Vol. 6614, paper 661406.

23. M.A.Bisyarin. Weak-nonlinear acoustic pulse dynamics in a waveguide channel with longitudinal inhomogeneity // AIP Conference Proceedings. 2008. Vol. 1022.

Публикации в сборниках трудов конференций

1. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Распространение пикосекундных импульсов в нелинейпых градиептных световодах // Волпы и дифракция - 90. X Всесоюзпый симпозиум по дифракции и распространению волн. - Винница, 1990.

2. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция огибающей нелинейпого импульса в неоднородном световоде // Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса граптов 1997 года для молодых ученых Санкт-Петербурга. - СПб., Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе, 1998.

3. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция солитона нелинейного уравпепия Шредингера под действием высших дисперсионных и нелинейных членов// Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравпения и смежные вопросы". - Уфа, 2000.

4. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Short pulses in nonlinear graded-index light guides with weak longitudinal inhomogeneity // X Topical Meeting on Gradient-Index Optical Systems. - Santiago de Compostela, 1992.

5. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Nonlinear dynamics of short pulses in optical fibres with strong transverse and weak longitudinal inhomogeneities // XXVII General Assembly of the International Union of Radio Science. - Maastricht, 2002.

6. I.A.Molotkov, M.A.Bisyarin. Coupled nonlinear structures of bright and dark solitons in the vicinity of zero-dispersion wavelength // Conference MSS-04, Institute of Space Research. - Moscow, 2004.

Результаты диссертации представлены также в тезисах докладов на конференциях (18 публикаций) и депонированной рукописи:

М.А.Бисярин. Звуковые импульсы конечной амплитуды в нелинейном неоднородном волповодном слое П Деп. в ВИНИТИ 24.05.89 № 3464-В89.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 30.07.09 с оригянал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 2. Тираж 120 экз., Заказ № 991/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

Глава 1 Короткие электромагнитные импульсы конечной амплитуды в двумерных волноводных структурах

§1 Сосредоточенные электромагнитные волновые процессы в планарных структурах

§2 Модельное уравнение динамики слабо нелинейных коротких импульсов в планарных структурах

§3 Постановка модельной задачи о распространении слабо нелинейных коротких импульсов в планарных структурах и анзатц для ее решения ^

§4 Поперечная локализация поля короткого импульса в планарных структурах

§5 Огибающая короткого импульса в планарных структурах с продольной неоднородностью

§6 Волноводное распространение слабо нелинейных двумерных пучков в неоднородной среде

Глава 2 Слабо нелинейные электромагнитные импульсы в трехмерном градиентном волноводе с продольной неоднородностью

§7 Исследования нелинейного процесса распространения коротких и сверхкоротких оптических импульсов в световодах

§8 Моделирование распространения коротких импульсов в волноводе с различными масштабами неоднородности в поперечном сечении и вдоль оси

§9 Анзатц для трехмерного нелинейного волнового уравнения в среде с различными масштабами неоднородности

§10 Модовая структура короткого импульса в градиентном волноводе с продольной неоднородностью и пространственной кривизной

§11 Огибающая короткого электромагнитного импульса в градиентном волноводе с продольной неоднородностью и пространственной кривизной

§12 Слабо нелинейный режим распространения чирпированных импульсов в градиентных волноводах с продольной неоднородностью

§13 Особенности нелинейного режима распространения сильно чирпированных импульсов в градиентных волноводах с продольной неоднородностью

Глава 3 Локализация и динамика огибающей слабо нелинейного импульса в неоднородной среде

§14 Локальная разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами

§15 Глобальная разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами

§16 Разрушение солитонообразного решения задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами под действием продольной неоднородности среды

§17 Оценка протяженности участка волновода, на котором сохраняется сосредоточенность импульса

Глава 4 Импульсы термодинамических параметров в неоднородных средах и средах с внутренней структурой

§18 Моделирование акустического импульса конечной амплитуды посредством нелинейного волнового уравнения

§19 Модовый состав короткого акустического импульса в двумерных градиентных волноводных структурах

§20 Огибающая слабо нелинейного акустического импульса в градиентной волноводной структуре со слабой продольной неоднородностью

§21 Распространение термодинамических нелинейных импульсов в среде с релаксацией при длительности импульса соизмеримой с характерным временем релаксации

§22 Распространение термодинамических нелинейных импульсов в среде с релаксацией при длительности импульса много меньшей времени релаксации

Глава 5 Влияние нелинейных и дисперсионных эффектов на эволюцию огибающей модулированной волны

§23 Эволюция солитонного решения нелинейного уравнения Шредингера под действием малой и плавной продольной неоднородности

§24 Амплитудная модуляция слабо нелинейного импульса в продольно неоднородном волноводе на малых расстояниях

§25 Распространение сверхкоротких импульсов в средах с малыми 219 дисперсией третьего порядка и коэффициентом самоукручения

§26 Эволюция сверхкороткого импульса на малых расстояниях под влиянием дисперсии третьего порядка и самоукручения 227 импульса

§27 Возникновение примесных импульсов огибающей под влиянием дисперсии третьего порядка

§28 Распространение сверхкороткого импульса с длиной волны в непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии

Нелинейные явления, сопровождающие распространение волн в разнообразных физических средах, привлекают всё возрастающее внимание исследователей, работающих в различных областях физики, прежде всего, оптике, гидродинамике, акустике и физике плазмы. Абстрагируясь от специфических, определяемых физическими механизмами свойств процессов в каждой из перечисленных областей, оказывается возможным установить общие законы и закономерности этих процессов независимо от их физического содержания. Это позволяет выделить теорию нелинейных волновых процессов в самостоятельную физическую дисциплину, довольно разветвлённую и динамично развивающуюся. Подтверждением её широчайших возможностей может служить то, что методы и результаты, используемые и полученные в теории нелинейных волновых процессов, с успехом применяются для решения проблем в других научных дисциплинах, причём не только естественнонаучных, но и экономических и гуманитарных.

Теория нелинейных волновых процессов естественным образом является разделом теории волн вообще. В научной литературе отсутствует строгое определение волнового движения; даются лишь частные определения, ориентированные на определённый круг физических явлений. Чтобы охватить весь спектр волновых процессов, предпочтительнее руководствоваться интуитивным представлением о волне как о любом различимом сигнале, передающемся от одной части среды к другой с некоторой конечной скоростью [32, 66, 118]. Волны обычно служат наиболее быстрым механизмом переноса энергии, не сопровождающимся существенным перемещением вещества, хотя такое перемещение и возможно в качестве побочного эффекта. Различимое возмущение, с которым связывается понятие волны, может быть любого вида, например, максимумом какой-либо величины или резким её изменением при условии, что это возмущение чётко выделено и что в любой момент времени можно определить его местонахождение. Этот сигнал может искажаться, изменять свою величину и скорость, он должен лишь оставаться различимым. В частности, если скорость изменения амплитуды синусообразной волны по пространственным и временной переменным существенно меньше скорости изменения фазы, то волновой процесс различим и представляет собой колебания, модулированные по амплитуде, с высокочастотным, возможно модулированным, заполнением [13].

Различие физических механизмов волновых процессов проявляется в том, что их математическое описание осуществляется на базе совершенно разных систем уравнений. Однако для понимания фундаментальных свойств, присущих волнам различной физической природы, часто нет необходимости основывать анализ на исходной системе уравнений. Многие нелинейные эффекты могут быть описаны в рамках стандартных нелинейных математических моделей, основанных на небольшом числе уравнений, таких как уравнение Бюргерса, уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера [66, 118, 261], для механических волн хорошо разработаны модели теории упругости [41, 104]. Если же допустимо пренебречь нелинейностью процесса, то аналитическое описание ещё более упрощается. Так, например, электромагнитные явления в диэлектриках и распространение звука подчиняются совершенно разным физическим системам уравнений, однако в линейном приближении основные закономерности распространения как электромагнитных, так и акустических волн могут быть исследованы с помощью линейного волнового уравнения относительно какого-либо физического параметра.

Линейное волновое уравнение выводится из исходной системы физических уравнений путём некоторых преобразований. И если система уравнений Максвелла изначально имеет линейный вид, то в случае акустических волн требуется ещё и линеаризация исходной системы уравнений Навье-Стокса. Увеличение интенсивности волнового поля приводит к тому, что становится невозможным пренебрегать зависимостью свойств среды от амплитуды волны, и линейное приближение перестаёт быть справедливым. Анализ общих черт нелинейных эффектов сильно усложняется, поскольку эти эффекты описываются различными нелинейными уравнениями. И тем не менее, весьма широкий круг нелинейных явлений может исследоваться посредством нелинейного волнового уравнения

О 1 п (и) д и Аи--= О с1 д12 в котором скорость сама зависит от искомой функции и, в случае п{и) электромагнитных процессов п{и) - показатель преломления среды. Нелинейное волновое уравнение, с одной стороны, представляет собой естественное обобщение линейного на случай, когда амплитуда поля достаточно велика, так что невозможно пренебрегать нелинейными эффектами, а с другой стороны, к нему могут быть сведены сложные системы уравнений нелинейной оптики и нелинейной акустики. Это обстоятельство делает универсальным подход к изучению нелинейных явлений в различных областях физики, основанный на применении нелинейного волнового уравнения.

В литературе встречаются различные модели нелинейности, что определяет различный вид квадрата показателя преломления п\и). Широкий круг явлений, связанных с самовоздействием распространяющейся волны, адекватно описывается в рамках квадратичной нелинейности

9 9 о п (и) = /70 + п2 | и | ). Отметим однако, что помимо нелинейности более высокой степени, интерес исследователей привлекают также среды с насыщающейся нелинейностью [29, 159, 201, 229], при этом функция п2(и) при увеличении амплитуды волнового поля стремится к конечному значению. Вид функции п\и) может быть постулирован исходя из физического содержания задачи, так, например, в случае электромагнитных волновых процессов он определяется предполагаемой зависимостью вектора поляризации среды от напряжённости электрического поля. И наоборот, зависимость п2{и) может быть обусловлена непосредственно исходной нелинейной системой уравнений, так, например, при описании нелинейных акустических явлений явное выражение для функции п2(и) выводится из системы уравнений Навье-Стокса.

Среди проблем теории нелинейных волн особое место занимают слабо нелинейные волновые процессы. С физической точки зрения они выделяются тем условием, что величина амплитуды волнового поля достаточно велика, так что линейное приближение уже становится неприменимым, и в то же время действие нелинейности ещё можно локально рассматривать на фоне линейного процесса в качестве поправки или дополнения к нему. Особенно наглядно различие между сильно и слабо нелинейными процессами демонстрируется в случае оптического излучения. При его распространении в оптических волокнах изменение показателя преломления за счёт нелинейности среды составляет величину, на много порядков меньшую показателя преломления в линейном приближении, поэтому распространение оптического импульса в световоде может трактоваться как слабо нелинейный процесс. В случае же распространения стационарных пучков в объёмных средах "нелинейное" изменение показателя преломления компенсирует дифракционное расплывание и никак не может считаться малым эффектом [260]. Сильной нелинейностью характеризуются также и многие волновые процессы в плазме [48]. Точности нелинейного параболического уравнения оказывается недостаточно, и для описания сильно нелинейных волновых процессов следует привлекать нелинейное волновое уравнение [27].

С математической точки зрения сильно нелинейные процессы отличаются тем, что характеризующие их уравнения являются нелинейными в старшем порядке, решения таких уравнений обладают особыми чертами, не имеющими аналогов в слабо нелинейных задачах. Слабо нелинейные волновые процессы могут описываться как асимптотические решения некоторых модельных уравнений по малому параметру, характеризующему порядок величины волнового поля. Различные асимптотические методы решения задач с малой нелинейностью, асимптотические схемы и условия их разрешимости содержатся в обзоре [99].

Особую разновидность волновых процессов составляют процессы, происходящие в течение ограниченного промежутка времени или в ограниченной области пространства. Локализация, или сосредоточенность, означает, что решения соответствующих уравнений отличны от констант лишь в окрестностях некоторых кривых или поверхностей. Импульсный режим распространения волнового поля характеризуется дополнительно сосредоточенностью по временной (или фазовой) переменной. Локализация линейного волнового процесса может обеспечиваться механическим взаимодействием с обладающей нелинейными свойствами границей [30], а также некоторой специальной зависимостью свойств среды в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Это может иметь место в случае слоистых сред [23], но эта зависимость может быть и непрерывной, тогда возникает градиентный волноводный канал. Такой канал характерен, прежде всего, для природных сред, а в качестве технического устройства, в котором реализуется концепция градиентного волновода, следует упомянуть градиентное оптическое волокно [119].

В локализации может заключаться также и одно из проявлений нелинейности волнового процесса. Более того, обращение исследователей к нелинейным уравнениям во второй половине XX века во многом было связано с поиском их солитонных решений. Аналитические решения в виде распространяющейся уединённой волны были построены методом обратной задачи теории рассеяния для целого ряда модельных нелинейных уравнений [1, 51, 115, 116]. Концепция солитонного решения оказалась чрезвычайно продуктивной в различных практических приложениях, в частности монография [69] целиком посвящена образованиям солитонного типа, встречающимся в нелинейной оптике. Исследования по двухволновым уравнениям Максвелла - Блоха позволили обобщить это понятие и сформулировать концепцию оптического зумерона - осциллирующей уединённой оптической нелинейной волны, распространяющейся в одномерной периодической резонансной брэгговской структуре. Зумерон обладает характерной для солитона устойчивостью при распространении и взаимодействии [158], но проявляет новую динамику: его амплитуда и скорость испытывают значительные осцилляции в процессе распространения, причём возможно изменение не только абсолютной величины, но и знака скорости импульса [85].

Существенным элементом в аналитическом описании нелинейной волновой динамики является установление вида локальной зависимости мгновенных частоты, волнового числа и амплитуды. В работе [270] для решения этой задачи предложен метод усреднения по локальным осцилляциям, аналогичный методу Крылова-Боголюбова для обыкновенных дифференциальных уравнений теории колебаний; впоследствии на основе этой процедуры был разработан метод усреднённого лагранжиана [118].

Вариационные подходы также применялись для описания эволюции огибающей импульса в оптическом волокне [131], а в работе [276] - в волокне с управлением дисперсией.

Широкое применение в описании нелинейных волновых процессов нашли асимптотические методы. В монографии [87] излагается обобщение ВКБ-метода на случай нелинейных уравнений. Применения многомасштабных разложений к различным физическим задачам подробно разбираются в [179]. Разработке комбинированных аналитических методов в теории нелинейных волн посвящены монографии [13, 89, 91]. В них на базе результатов исследования невозмущённых уравнений формируются анзатцы, позволяющие решать задачи для возмущённых уравнений и для уравнений, относящихся к неоднородным средам, а также учитывать взаимодействия и взаимные возбуждения локализованных волн.

Настоящая работа лежит в русле исследований [13, 89, 91] и развивает асимптотические методы описания слабо нелинейной волновой динамики в модели нелинейного волнового уравнения, вариаций параметров солитонного решения, а также нелинейного взаимодействия основной и примесной уединённых волн в модели нелинейного уравнения Шредингера. Адекватность физической модели при этом обеспечивается надлежащим выбором малого параметра, по которому проводится асимптотическая процедура.

В процессе работы над диссертацией автор рассчитывал достичь следующих целей :

1. представить аналитическое описание слабо нелинейной динамики коротких электромагнитных и акустических импульсов, модулированных по амплитуде и частоте, в градиентных волноводных каналах с учётом продольной неоднородности и возможной кривизны ;

2. установить теоретическую реализуемость солитонного режима распространения волнового поля в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью и выяснить, какие ограничения для этого должны быть наложены на характеристики продольной неоднородности;

3. осуществить аналитическое описание влияния продольной неоднородности градиентного волноводного канала на амплитуду, форму, ширину и скорость солитонного импульса в процессе его распространения;

4. разработать асимптотические методы исследования влияния нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на характеристики солитонных импульсов в различных режимах распространения;

5. представить аналитическое описание светлых и тёмных солитонных импульсов с длиной волны несущей, близкой к длине волны нулевой дисперсии;

6. установить применимость нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью для моделирования слабо нелинейной динамики короткого акустического импульса.

Достигаются сформулированные цели путём всестороннего исследования ряда задач, каждая из которых представляет научный интерес сама по себе и решение каждой из которых весьма актуально и для общей теории нелинейных волн, и для нелинейных оптики или акустики:

1. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения применительно к описанию динамики короткого оптического импульса в градиентных оптических волокнах или планарных структурах с продольной неоднородностью. Нелинейность процесса предполагается слабой, порядок величины амплитуды импульса принимается в качестве малого параметра асимптотического решения. В ходе асимптотического решения происходит естественное выделение линейной компоненты волнового процесса, описание модовой структуры импульса и вывод уравнения для огибающей, учитывающего продольную неоднородность градиентного оптического волновода.

2. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения для аналитического описания слабо нелинейной динамики короткого импульса с линейной частотной модуляцией несущей. Как показано в работе, решение требует принципиально различных методов в зависимости от соотношения ширины спектра и глубины линейной частотной модуляции.

3. Исследование локальной и глобальной разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами в классе быстро убывающих функций. Формулировка на основе результатов этого исследования условий, которые достаточно наложить на продольную неоднородность волноводного канала и выполнение которых гарантирует сохранение локализованного характера импульса по мере его распространения.

4. Установление применимости нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью к описанию слабо нелинейной динамики акустического импульса, осуществление с этой целью аналитического вывода нелинейного волнового уравнения из системы гидродинамических уравнений Эйлера. В процессе этого вывода оказывается возможным выяснить, при каких значениях показателя адиабаты среда является фокусирующей или дефокусирующей для акустического излучения.

5. Асимптотическое решение нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами для малой и плавной продольной неоднородности, а также на малых расстояниях при произвольной продольной неоднородности.

6. Асимптотическое решение обобщённого нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами, характеризующими дисперсионные и нелинейные эффекты высших порядков, при различных соотношениях между коэффициентами этих членов и протяжённостью трассы распространения.

7. Асимптотическое решение обобщённого уравнения Шредингера применительно к импульсам с длиной волны несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии, аналитическое описание возникающих в процессе распространения таких импульсов связанных состояний солитонов. Решение задачи требует принципиально различающихся подходов в зависимости от величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии.

Представляемая работа является попыткой математического исследования слабо нелинейных волновых явлений различной физической природы в волноводных каналах: рассматривается прохождение коротких световых импульсов в планарных структурах и световодах и коротких звуковых импульсов в акустическом волноводном слое. Изучение нелинейных электромагнитных явлений основывается на системе уравнений Максвелла, в которой диэлектрическая проницаемость среды зависит от амплитуды электрического поля. При решении задач нелинейной акустики исходят из системы уравнений Навье-Стокса. Общим с математических позиций для этих двух систем является то, что они могут быть сведены к нелинейному волновому уравнению с кубичной нелинейностью. При решении обеих физических задач это уравнение является промежуточным звеном, однако оно обобщает линейное волновое уравнение и, как можно предполагать, является столь же широко применимым.

В настоящей работе нелинейное волновое уравнение применяется к описанию импульсов, в которых высокочастотное заполнение модулируется по амплитуде и частоте. Как и в общем случае нелинейной волновой динамики, процесс распространения импульса формируют два более простых процесса, идущие с разными скоростями. Выражается это в том, что различаются фазы комплексной амплитуды импульса и его высокочастотного заполнения. Иными словами, для описания динамики модулированных импульсов в волноводе необходимы две фазовые переменные.

Для того чтобы решение нелинейного волнового уравнения описывало модулированный импульс с высокочастотным заполнением, необходимо, чтобы амплитуда, мгновенная частота и мгновенное волновое число мало менялись за время порядка периода колебаний и на расстояниях порядка длины волны. Этого можно достичь, явным образом введя в фазовые функции анзатца малый параметр. Важным вопросом является соотношение этого параметра с малым параметром, характеризующим слабую нелинейность процесса, - с порядком величины амплитуды импульса; в работе устанавливается соотношение между ними, обеспечивающее адекватное описание физического процесса.

Решение нелинейного волнового уравнения должно быть локализованным. Сосредоточенность волнового поля в поперечном сечении волноводного канала обеспечивается поперечной неоднородностью среды, в продольной же сосредоточенности импульса проявляется нелинейность процесса. Из общей теории известно, что одномерные волновые пакеты в неограниченном пространстве описываются нелинейным уравнением Шредингера. В случае рассматриваемого в настоящей работе волноводного распространения продольная динамика огибающей импульса также подчиняется этому уравнению.

В настоящей работе рассматриваются градиентные волноводные каналы, они характеризуется сильной зависимостью свойств среды (показателя преломления) от поперечной координаты. Допускается также слабая продольная неоднородность волноводного канала, так что отношение масштабов поперечной и продольной неоднородностей является ещё одним малым параметром, связь которого с порядком амплитуды волнового поля также должна быть установлена в ходе анализа задачи. Продольная неоднородность оказывает влияние на процесс распространения импульса. Таким образом, основываясь только на общих идеях теории нелинейных волн, можно предсказать, что слабо нелинейный процесс распространения короткого импульса в градиентном волноводе окажется трёхмасштабным, причём скорости различных компонент процесса имеют различный порядок величины по принятому малому параметру асимптотического решения.

Влияние продольной неоднородности волноводного канала на распространение импульса описывается в рамках асимптотического решения нелинейного волнового уравнения благодаря тому, что коэффициенты уравнения для огибающей импульса являются функциями от продольной координаты. Для продольных неоднородностей некоторого специального вида, тем не менее, удаётся в явном виде построить солитонное решение. Это позволяет наглядно проиллюстрировать трёхмасштабный характер изучаемого волнового процесса и получить явные формулы для параметров импульса. В случае же продольной неоднородности общего вида вариации амплитуды, формы, ширины и скорости импульса аналитически описываются с помощью специальных асимптотических методов, применимых либо при малых возмущениях, либо при возмущениях произвольной величины на малых расстояниях. Особый подход также требуется для исследования нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков, а также режима распространения, при котором длина волны высокочастотного заполнения лишь незначительно отличается от длины волны нулевой дисперсии.

Приведём распределение материала между главами диссертации и укажем, в каких работах соответствующие основные результаты были опубликованы. Список публикаций по теме диссертации помещён ниже.

В Главе 1 исследуется слабо нелинейный процесс распространения короткого оптического импульса в градиентном планарном волноводе со слабой продольной неоднородностью, допускается также изогнутость волновода. Производится асимптотическое решение двумерного нелинейного волнового уравнения. Помимо этого, исследуется динамика слабо нелинейных двумерных волновых пучков, что позволяет выяснить и аналитически описать связь слабо нелинейных мод с высокочастотными модами линейного уравнения Гельмгольца. Основные результаты главы опубликованы в монографии, статьях 2, 6, 14, 15 и сборниках трудов конференций 1, 4.

Глава 2 посвящена исследованию слабо нелинейной динамики пикосекундного и субпикосекундного оптического импульса в градиентном световоде при допущении продольной неоднородности световода и пространственной искривлённости его оси. В рамках последовательной асимптотической процедуры осуществлено выделение линейной компоненты процесса и описана модовая структура импульса. Для огибающей импульса выведено нелинейное уравнение Шредингера с коэффициентами, зависящими от медленной продольной координаты. Рассмотрено распространение импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения (несущей), слабо нелинейная динамика этого процесса в существенном обусловливается соотношением между глубиной модуляции и шириной спектра импульса. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения построено и для случая, когда глубина модуляции много меньше ширины спектра, и для режима, когда величины этих двух характеристик соизмеримы. Относящиеся к отмеченным задачам результаты представлены в статьях 8, 11, 12, 20, 21, 22 и сборнике трудов конференции 5.

Глава 3 несколько отличается от всех других глав предметом и применяемым методом исследования. Если в других главах, так или иначе, конструируются асимптотические решения тех или иных задач, то в этой главе исследуется локальная и глобальная разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера, а методы исследования взяты из арсенала теории дифференциальных уравнений в частных производных. Принципиальная новизна проведённого исследования определяется тем, что коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера зависят от "временной" переменной, разрешимость устанавливается в классе быстро убывающих функций, используются также методы теории пространств Соболева. Полученные в главе результаты представляют самостоятельный интерес для теории нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами, а для целей настоящей работы они позволяют рассчитать длину световодной трассы, в пределах которой гарантированно сохраняется локализованный по продольной координате характер импульса. Основные результаты главы опубликованы в монографии и в статьях 3, 4, 5.

Предмет Главы 4 относится к нелинейной акустике, здесь исследуется распространение акустических импульсов в градиентном волноводном слое со слабой продольной неоднородностью. Вывод из системы гидродинамических уравнений Эйлера нелинейного волнового уравнения с квадратичной нелинейностью скорости звука позволил получить явное выражение для коэффициента, характеризующего нелинейность, и тем самым установить, при каких значениях показателя адиабаты среда является фокусирующей или дефокусирующей для акустического излучения. Отдельно оценено влияние слагаемых, содержащих изменение энтропии, и показано, что неадиабатическими слагаемыми при выводе нелинейного волнового уравнения допустимо пренебрегать. Основные результаты главы изложены в статьях 1, 13, 23.

Глава 5 посвящена исследованиям нелинейной динамики огибающей импульса в различных режимах распространения, методика исследования состоит в асимптотическом решении модификации нелинейного волнового уравнения, соответствующей физическому содержанию задачи. Для описания влияния продольной неоднородности рассматривается нелинейное уравнение Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. Разрабатываются два асимптотических подхода: один из них подразумевает, что продольная неоднородность в определённом смысле является малой и плавной, и позволяет построить решение для всей трассы распространения, другой подход не требует дополнительных ограничений на характер продольной неоднородности, зато применим он лишь на малых расстояниях вдоль оси волновода. Оба подхода в пределах своей применимости обеспечивают явные формулы, описывающие вариации амплитуды, формы, длительности и скорости импульса под влиянием продольной неоднородности волноводного канала.

Аналогичная ситуация имеет место и при изучении эффектов нелинейности и дисперсии высших порядков. Рассматривается нелинейное уравнение Шредингера с дополнительными членами, характеризующими самоукручение огибающей и дисперсию третьего порядка; одно асимптотическое решение строится в предположении малости коэффициентов при возмущающих слагаемых, другое - в предположении малости расстояния распространения, первое справедливо на произвольных дистанциях, зато при втором не ограничивается величина исследуемых нелинейных и дисперсионных эффектов.

Особый предмет представляет собой режим распространения импульсов, при котором длина волны высокочастотного заполнения близка к длине волны нулевой дисперсии, интерес к таким импульсам инициирован, прежде всего, работами в области волоконнооптических коммуникаций. Моделирование этого режима осуществляется нелинейным уравнением Шредингера, дополненным членом с третьей производной, решающим фактором, определяющим динамику огибающей, является соотношение между величиной дисперсии второго и третьего порядка. Это соотношение, в свою очередь, зависит от разности между длиной волны высокочастотного заполнения и длиной волны нулевой дисперсии. Если эта разность ещё достаточно значительна, то дисперсия третьего порядка может рассматриваться как возмущающий эффект, ведущий к образованию связанных состояний из светлых и тёмных солитонов. Если же длина волны высокочастотного заполнения берётся из непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии, то влияние дисперсии третьего порядка становится преобладающим, здесь требуется применять малоамплитудное приближение, позволяющее описать существенно друтую нелинейную структуру - солитон на пьедестале.

Результаты Главы 5 применимы к волновым процессам любой физической природы, если только эволюция огибающей импульса подчиняется возмущённому нелинейному уравнению Шредингера. Основные результаты главы опубликованы в монографии, в статьях 7, 9, 10, 16, 17, 18, 19 и в сборниках трудов конференций 2, 3, 6.

Подробно о содержании глав говорится во вводных разделах к ним. Там же приводится и обзор литературы по соответствующему предмету исследования.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография

И.А.Молотков, С.А.Вакуленко, М.А.Бисярин. Нелинейные локализованные волновые процессы. - М., Янус-К, 1999. 176 с.

Статьи

1. М.А.Бисярин. Распространение неадиабатического возмущения в релаксирующей среде // Физика горения и взрыва. 1987. Т.23, №3.

2. И.А.Молотков, М.А.Бисярин. Распространение коротких импульсов в нелинейных и неоднородных световодах // В сб.: Проблемы теоретической физики. Т. 3. - Л., изд-во ЛГУ, 1988.

3. М.А.Бисярин. О локальной разрешимости нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1989. Вып.2.

4. М.А.Бисярин. Нелинейное уравнение Шредингера с переменными коэффициентами : сосредоточенное решение и его разрушение // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1988. Т. 173.

5. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция огибающей импульса в нелинейном световоде со слабой продольной неоднородностью // Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 67, №2.

6. М.А.Бисярин. Волноводное распространение слабо нелинейных пучков в неоднородной среде // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1990. Вып.1.

7. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Влияние нео д нор одно стей оптического волокна, а также нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на параметры солитонных импульсов // Известия РАН. Серия физическая. 2001. №6.

8. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Модовая структура и огибающая короткого импульса в градиентном световоде с продольной неоднородностью и с пространственной кривизной//Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, №6.

9. И.А.Молотков, М.А.Бисярин. Яркие и темные импульсы в оптических волокнах в окрестности длины волны нулевой дисперсии // Квантовая электроника. 2004. Т. 34, №2.

10. Л.Д.Бахрах, М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Сверхкороткие импульсы в нелинейных неоднородных средах // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. № 7.

11. М.А.Бисярин. Короткие импульсы с линейной частотной модуляцией в градиентных световодах//Известия вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, №1.

12. М.А.Бисярин. Мощные импульсы с сильной линейной частотной модуляцией в градиентных волноводах // Вестник СПбГУ. Сер. физ., хим. 2006. Вып. 2.

13. М.А.Бисярин. Акустические импульсы конечной амплитуды в волноводном слое с продольной неоднородностью // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т.48, № 6.

14. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Self-action of short pulses in nonhomogeneous graded-index light guides // Optical and Quantum Electronics. 1992. Vol. 24, №3.

15. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Finite-amplitude pulses in light guides with quadratic profile of the refractive index // Proceedings of the SPIE. 1996. Vol. 2943.

16. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of transverse and longitudinal inhomogeneities of optical waveguide on propagation of nonlinear pulses // Journal of Technical Physics. 1996. Vol. 37, № 3-4.

17. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Distortions of the pulse shape in inhomogeneous graded-index light guides // Proceedings of the SPIE. 1999. Vol. 3609.

18. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Weak-nonlinear propagation of subpicosecond pulses in graded-index light guides with a small longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2000. Vol. 3927.

19. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in graded-index optical fibers under the influence of weak longitudinal inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects // Proceedings of the SPIE. 2001. Vol. 4579.

20. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in optical fibres with transverse and longitudinal inhomogeneities // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol. 17, № 2/3 .

21. M.A.Bisyarin. Nonlinear evolution of a pulse with a linear frequency modulation in a graded-index waveguide // International Journal of Geomagnetism and Aeronomy. 2005. Vol. 6, № 2, doi: 10.1029/2005GI000104.

22. M.A.Bisyarin. Nonlinear chirped pulses in graded-index optical fibers with longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2007. Vol. 6614, paper 661406.

23. M.A.Bisyarin. Weak-nonlinear acoustic pulse dynamics in a waveguide channel with longitudinal inhomogeneity // AIP Conference Proceedings. 2008. Vol. 1022.

Публикации в сборниках трудов конференций

1. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Распространение пикосекундных импульсов в нелинейных градиентных световодах // Волны и дифракция - 90. X Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. -Винница, 1990.

2. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция огибающей нелинейного импульса в неоднородном световоде // Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса грантов 1997 года для молодых ученых Санкт-Петербурга. - СПб., Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе, 1998.

3. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция солитона нелинейного уравнения Шредингера под действием высших дисперсионных и нелинейных членов// Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". - Уфа, 2000.

4. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Short pulses in nonlinear graded-index light guides with weak longitudinal inhomogeneity // X Topical Meeting on Gradient-Index Optical Systems. - Santiago de Compostela, 1992.

5. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Nonlinear dynamics of short pulses in optical fibres with strong transverse and weak longitudinal inhomogeneities // XXVII General Assembly of the International Union of Radio Science. - Maastricht, 2002.

6. I.A.Molotkov, M.A.Bisyarin. Coupled nonlinear structures of bright and dark solitons in the vicinity of zero-dispersion wavelength // Conference MSS-04, Institute of Space Research. - Moscow, 2004.

Тезисы докладов

1. М.А.Бисярин. Самовоздействие слабо нелинейных акустических импульсов в градиентном волноводе // Всесоюзная научная конференция "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении". - Горький, 1989.

2. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция солитонного импульса в неоднородном волноводе под действием нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков // Региональная VI конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2000.

3. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Модовая структура и огибающая короткого импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью // Региональная VII конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2001.

4. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Распространение встроенного солитона с несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии // Региональная VIII конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2002.

5. М.А.Бисярин. Распространение нелинейных чирпированных импульсов в градиентных волноводах // Региональная X конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2004.

6. М.А.Бисярин. Распространение нелинейных сильно чирпированных импульсов в градиентных волноводах // Региональная X конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2004.

7. М.А.Бисярин. Слабо нелинейный акустический импульс в волноводном слое с продольной неоднородностью // Региональная XII конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2006.

8. M.A.Bisyarin. Propagation of finite-amplitude pulses in gradient waveguides // I European Fluid Mechanics Conference. - Cambridge, 1991.

9. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Finite-amplitude pulses in light guides with quadratic profile of the refractive index // International Conference "GradientIndex Optics in Science and Engineering". - Kazimierz-Dolny, 1995.

10. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of transverse and longitudinal inhomogeneities of light guides on propagation of nonlinear pulses // International Conference on Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems. - Zakopane, 1995.

-2811. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of optical fiber inhomogeneities on the performance of soliton systems // International Conference "Materials and Devices for Photonic Circuits", SPIE's 44th Annual Meeting. - Denver, 1999.

12. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Distortions of the pulse shape in inhomogeneous graded-index light guides // International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation". - San Jose, 1999.

13. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Weak-nonlinear propagation of subpicosecond pulses in graded-index light guides with a small longitudinal inhomogeneity // International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation - II". - San Jose, 2000.

14. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in optical fibres with transverse and longitudinal inhomogeneities // Applied Nonlinear Dynamics. From Semiconductors to Information Technologies. - Thessaloniki, 2001.

15. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in graded-index optical fibers under the influence of weak longitudinal inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects // Asia-Pacific Optical and Wireless Communications Conference. - Beijing, 2001.

16. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Influence of optical fiber inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects o the performance of soliton systems // X International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2000.

17. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Nonlinear dynamics of optical solitons in graded-index light guides with longitudinal inhomogeneities // XI International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2003.

18. M.A.Bisyarin. Nonlinear chirped pulses in graded-index optical fibres with longitudinal inhomogeneity // XII International Conference "Laser Optics". -St.Petersburg, 2006.

19. M.A.Bisyarin. Weak-nonlinear acoustic pulse -dynamics in a waveguide channel with longitudinal inhomogeneity // 18 International Symposium on Nonlinear Acoustics. - Stockholm, 2008.

Депонированная рукопись

М.А.Бисярин. Звуковые импульсы конечной амплитуды в нелинейном неоднородном волноводном слое // Деп. в ВИНИТИ 24.05.89 № 3464-В89.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Локализация слабо нелинейного волнового процесса в среде, характеризующейся двумя масштабами неоднородности в направлении распространения и перпендикулярно к нему, обеспечивается качественно различающимися механизмами. Само образование волноводного канала и осевое сосредоточение волнового поля в нём являются следствием сильной поперечной неоднородности среды. Нелинейность процесса проявляется в динамике огибающей, и в первую очередь, в образовании солитона огибающей. Параметры солитона изменяются в процессе распространения импульса под влиянием слабой продольной неоднородности и изогнутости волноводного канала.

2. Слабо нелинейный режим распространения короткого импульса в градиентном волноводе адекватно моделируется нелинейным волновым уравнением и может быть асимптотически охарактеризован посредством единого малого параметра. Этим параметром определяется порядок величины амплитуды импульса, а квадратом этого параметра характеризуется продольная неоднородность волноводного канала и его кривизна.

3. Динамика слабо нелинейного короткого импульса в градиентной волноводной структуре со слабой продольной неоднородностью характеризуется тремя масштабами. Высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна. Соотношения между фазами высокочастотного заполнения и огибающей различаются для различных распространяющихся мод. Распространение огибающей вдоль волновода происходит со скоростью, отличающейся от фазовой скорости высокочастотного заполнения, и сопровождается медленными вариациями амплитуды, ширины и формы.

4. Моды слабо нелинейного режима распространения в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью имеют линейные аналоги, которые, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют высокочастотным модам.

5. Динамика огибающей слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью удовлетворяет возмущенному нелинейному уравнению Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. Для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей волноводного канала существует интервал, на котором гарантированно сохраняется сосредоточенный характер импульса. При определенных ограничениях на продольную неоднородность такая сосредоточенность сохраняется на произвольно больших расстояниях вдоль волноводного канала.

6. Влияние дисперсии и слабой нелинейности высших порядков на огибающую короткого импульса может быть взаимно скомпенсировано, что позволяет минимизировать искажения формы импульса в процессе его распространения. Этот эффект аналогичен образованию солитонов огибающей в результате совместного действия нелинейности и дисперсии в главном порядке.

7. Распространение излучения с длиной волны, близкой к длине волны нулевой дисперсии, инициирует образование связанных нелинейных структур. Качественный состав и динамика этих структур определяются величиной отстройки длины волны высокочастотного заполнения импульса от длины волны нулевой дисперсии. Если отстройка превышает установленную величину, то образуется связанное состояние из светлых и тёмных солитонов огибающей. В непосредственной же окрестности длины волны нулевой дисперсии формируется особая нелинейная структура - солитон на пьедестале.

8. Слабо нелинейная динамика импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения существенно различается в зависимости от того, является ли глубина модуляции много меньшей ширины спектра или эти две величины соизмеримы. На этой основе производится классификация импульсов на чирпированные и сильно чирпированные. Динамика огибающей сильно чирпированного импульса оказывает влияние на распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. И в том и в другом случае коэффициент модуляции может задаваться лишь в определенных соотношениях с параметрами поперечной и продольной неоднородности волноводного канала.

9. Система гидродинамических уравнений Эйлера, применённая к описанию слабо нелинейного процесса распространения короткого акустического импульса в градиентном волноводном слое с продольной неоднородностью, редуцируется к нелинейному волновому уравнению с 3 кубичной нелинейностью. Значение показателя адиабаты / = —

3 3

разделяет среды на фокусирующие (/> —) и дефокусирующие (/< —) акустическое излучение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представляемая диссертационная работа посвящена изучению слабо нелинейных волновых процессов электромагнитной и акустической природы, протекающих в градиентных волноводных каналах. В диссертации рассмотрены, проанализированы и решены некоторые важные и актуальные задачи нелинейной волновой динамики. Решение каждой из них представляет самостоятельный интерес как для общей теории нелинейных локализованных волновых процессов, так и для той специальной области физики, проблемами которой данная задача инициирована. Объединяют же эти задачи в рамках единой темы исследования общие свойства рассматриваемых процессов, обусловленные их фундаментальной природой как нелинейных волновых процессов, и определённая системность математических методов исследования. Принципиальный элемент новизны решения поставленных задач заключается во введении в рассмотрение продольной неоднородности градиентного волноводного канала, а также искривлённости его оси.

Возможность объединения методик изучения электромагнитных и акустических - весьма разных с физической точки зрения - процессов обусловлена тем, что они могут моделироваться с помощью нелинейного волнового уравнения с квадратичной зависимостью квадрата преломления среды от амплитуды волнового поля. В случае оптического излучения в планарных структурах или оптических волокнах зависимость свойств среды от амплитуды распространяющейся электромагнитной волны вводится посредством материальных уравнений: при вычислении поляризация среды учитывается кубичное по электрическому полю слагаемое. Иная ситуация при описании нелинейных акустических волн, установление применимости к ним нелинейного волнового уравнения представляет собой результат автора: зависимость квадрата скорости звука от амплитуды акустического поля редуцируется непосредственно из системы гидродинамических уравнений Эйлера, нелинейной изначально. Здесь речь может идти, таким образом, об упрощении вида нелинейности.

Другим, и не менее важным, общим элементом рассматриваемых задач нелинейной волновой динамики является обобщённое нелинейное уравнение Шредингера, выводимое в рассматриваемых задачах для огибающей распространяющегося импульса. Коэффициенты этого уравнения выражаются через распределение волнового поля в поперечном сечении градиентного волноводного канала и являются функциями от продольной координаты, посредством этого и учитывается продольная неоднородность волноводного канала. В диссертации проведено исследование общих свойств разрешимости нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами и построены асимптотические решения обобщённых нелинейных уравнений Шредингера, относящихся к различным режимам распространения импульсов.

Материал диссертации разбит на пять глав в соответствии с различными объектами исследования. Имеется, однако, определённое родство Глав 1 и 2, в них обоих рассматривается распространение короткого импульса в оптическом волноводе и в качестве модельного принимается нелинейное волновое уравнение с кубичной нелинейностью. В Главе 1 в качестве оптического волновода выступает градиентная планарная структура, и, как следствие, решается двумерная (плоская) задача, физической же средой в Главе 2 является градиентное оптическое волокно, и нелинейное волновое уравнение записывается и решается в трёх пространственных координатах. Несмотря на специфику двумерной и трёхмерной задач, основные выводы основные выводы относятся к ним обеим. Процесс распространения короткого оптического импульса в градиентном оптическом волноводе формируется как комбинация различных компонент, которые характеризуются соответствующими малыми параметрами (малость амплитуды, соотношение масштабов неоднородности в различных направлениях, соотношение периода колебаний и длительности импульса и т.д.). Принципиально важным результатом работы является установление возможности адекватного описания процесса распространения импульса с помощью единого малого параметра. Этим параметром задаётся порядок величины амплитуды импульса, а второй степенью этого параметра характеризуется продольная неоднородность градиентного волноводного канала и его кривизна (плоская кривизна в двумерной задаче и кривизна и кручение оси световода в трёхмерном случае). Разработанный автором асимптотический метод и предложенный анзатц позволяют в ходе асимптотического решения нелинейного волнового уравнения естественным образом разделить процесс распространения импульса на составляющие. Образование волноводного канала и сосредоточение волнового поля в окрестности его оси происходит в линейном режиме и является следствием сильной поперечной неоднородности среды; нелинейность процесса проявляется в динамике огибающей.

В целом, динамика слабо нелинейного короткого импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью характеризуется тремя масштабами. Высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна, при этом соотношения между фазами высокочастотного заполнения и огибающей различаются в зависимости от распространяющейся моды. Распространение огибающей вдоль волновода происходит со скоростью, отличающейся от фазовой скорости высокочастотного заполнения, и сопровождается медленными вариациями амплитуды, ширины и формы вследствие продольной неоднородности и изогнутости волноводного канала.

Кроме задачи о распространении импульса в Главе 1 рассмотрена также вспомогательная задача о слабо нелинейной эволюции двумерного пучка в среде с различными масштабами неоднородности в продольном и поперечном направлениях. Её анализ позволил установить, что моды слабо нелинейного режима распространения в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью имеют линейные аналоги, взаимно однозначно соответствующие высокочастотным модам.

И в двумерном, и в трёхмерном оптическом волноводе огибающая короткого импульса подчиняется обобщённому нелинейному уравнению Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. В процессе вывода этого уравнения получены выражения для коэффициентов, связывающие их с поперечной неоднородностью волновода, при этом поперечная неоднородность проявляется в соответствующих выражениях как непосредственно, так и через распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. В зависимости коэффициентов обобщённого нелинейного уравнения Шредингера от медленной продольной координаты проявляется слабая продольная неоднородность оптического волновода. Анализ уравнения для огибающей позволяет для некоторых специальных типов продольной неоднородности выписать солитонное решение, которое наглядно демонстрирует трёхмасштабность процесса и в явном виде представляет формулы для амплитуды, формы, ширины и скорости огибающей импульса в зависимости от поперечной и продольной неоднородности волновода.

Кроме амплитудной модуляции, в Главе 2 изучено также распространение импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения. Главный вывод, который следует из проведённого исследования, заключается в том, что слабо нелинейная динамика такого импульса существенно различается в зависимости от соотношения между глубиной модуляции и шириной спектра немодулированного импульса. Следует подразделять импульсы на чирпированные и сильно чирпированные, у первых глубина линейной частотной модуляции много меньше ширины спектра импульса, а сильно чирпированные импульсы отличает то, что эти две характеристики соизмеримы. Решения нелинейного волнового уравнения построены в обоих случаях, установлены соотношения, связывающие коэффициент линейной частотной модуляции с параметрами поперечной и продольной неоднородности световода. Принципиально динамика сильно чирпированного импульса отличается тем, что она оказывает влияние на распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. Это требует для описания более сложного математического метода.

Исследование нелинейной динамики импульса подразумевает построение асимптотических решений уравнений для огибающей. Однако перед обращением к разнообразным асимптотическим процедурам необходимо установить разрешимость этого уравнения в подходящем классе функций. Проблеме разрешимости уравнения для огибающей посвящена Глава 3. Предметом главы является задача Коши для нелинейного уравнения Шредингера с коэффициентами, зависящими от "временной" переменной, начальные условия выбираются из множества быстро убывающих функций. Методами теории дифференциальных уравнений в частных производных выясняются ограничения на переменные коэффициенты, при выполнении которых сформулированная задача Коши локально или глобально разрешима в пространстве быстро убывающих функции. Условия локальной разрешимости позволяют оценить протяжённость участка волноводного канала, в пределах которого гарантированно сохраняется сосредоточенный характер импульса, соответствующие численные расчёты проведены и результаты представлены для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей. Следует подчеркнуть, что результаты Главы 3 значительно выходят за рамки, необходимые для целей представляемой диссертации, они весьма важны и актуальны для теории нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами.

Глава 4 посвящена нелинейной акустике. В большинстве работ в этой области анализ распространения акустического импульса базируется на системе уравнений Эйлера или Навье-Стокса, или, наоборот, сразу же постулируется нелинейное уравнение Шредингера, которое и служит отправной точкой анализа. Первый подход ведёт к громоздким специфическим вычислениям, и в них скрываются общие черты, присущие всем нелинейным волновым процессам независимо от физической природы. Что же касается другого метода, то нелинейное уравнение Шредингера описывает только эволюцию огибающей, вне рассмотрения оказывается поперечная структура волнового поля импульса, что делает метод неприменимым к волноводным задачам. В Главе 4 устанавливается применимость нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью к описанию слабо нелинейных акустических волновых процессов. Достигается это путём непосредственного вывода нелинейного волнового уравнения из системы уравнений Эйлера, для чего используется разложение плотности и давления в ряд вплоть до кубичных слагаемых. Такая точность аналитических вычислений требует учёта влияния изменений энтропии в процессе распространения. В работе рассмотрено влияние неадиабатичности процесса распространения импульса в среде с релаксацией, изучены режимы, когда время релаксации среды соизмеримо с длительностью импульса или много больше его. В обоих случаях получены численные оценки влияния непостоянства энтропии на параметры импульса, эффект оценивается как достаточно малый. Это оправдывает реализованный метод вывода нелинейного волнового уравнения и даёт возможность судить о её точности.

В результате вывода нелинейного волнового уравнения из системы гидродинамических уравнений Эйлера получена формула, выражающая коэффициент квадратичной нелинейности с показателем адиабаты среды. Анализ этой формулы показал, что значение показателя адиабаты, равное служит граничным значением между фокусирующими и дефокусирующими средами. Если показатель адиабаты превосходит это граничное значение, то в среде происходит фокусировка акустического излучения, аналогично фокусировке электромагнитного пучка в среде с положительным коэффициентом Керра. Если же показатель адиабаты меньше это соответствует отрицательному значению коэффициента

Керра, и среда оказывается дефокусирующей для акустического излучения.

Таким образом, слабо нелинейная динамика короткого акустического импульса в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью и кривизной может моделироваться нелинейным волновым уравнением. Это позволяет применить к акустическому процессу методы исследования, изложенные в Главе 1, и тем самым устанавливаются общие черты электромагнитного и акустического процессов. Огибающая акустического импульса также подчиняется нелинейному уравнению Шредингера с переменными коэффициентами, но здесь строится более интересное для нелинейной акустики решение в виде тёмного солитона.

В Главе 5 исследуется нелинейная динамика огибающей короткого и сверхкороткого импульса в различных режимах распространения. Изучается влияние на параметры солитона нелинейного уравнения Шредингера слабой продольной неоднородности, нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков. Особое внимание уделяется режиму распространения, при котором длина волны высокочастотного заполнения импульса лишь на малую величину отличается от длины волны нулевой дисперсии. В случае малой и плавной продольной неоднородности построено асимптотическое решение нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами, справедливое на произвольных расстояниях вдоль трассы распространения. Решение этого же уравнения при произвольной продольной неоднородности осуществлено асимптотическим методом, малым параметром в котором является сама продольная координата, то есть, метод справедлив лишь на малых расстояниях вдоль волноводного канала. В обоих случаях выписаны явные выражения, характеризующие вариации амплитуды, формы, ширины и скорости импульса в процессе его распространения под действием продольной неоднородности волновода.

Решение обобщённого нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами, характеризующими дисперсию третьего порядка и самоукручение огибающей импульса, позволяет описать влияние этих эффектов на стандартный солитон нелинейного уравнения Шредингера. Здесь также потребовалось разработать два асимптотических подхода: один, при малых коэффициентах при возмущающих слагаемых, справедлив на произвольных расстояниях, другой применим при произвольных величинах коэффициентов, но лишь на малых расстояниях вдоль волноводного канала. Установлена аналогия с известным эффектом образования солитона огибающей как результата взаимодействия в главном порядке дисперсии и нелинейности. В работе указано соотношение между коэффициентами дисперсии третьего порядка и самоукручения, при котором эти два эффекта компенсируют друг друга, вследствие чего форма импульса остаётся постоянной даже в приближении, учитывающем эти два эффекта. Этот вывод, помимо чисто теоретического, имеет и важное практическое применение, поскольку предоставляет способ минимизации искажений формы импульса в процессе его распространения.

Нелинейная динамика импульса с длиной волны несущей, близкой к длине волны нулевой дисперсии, моделируется обобщённым нелинейным уравнением Шредингера с дополнительным слагаемым, соответствующим дисперсии третьего порядка. И эту задачу также невозможно решить одним методом: различные асимптотические подходы требуются в двух интервалах величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии. Если разница между длиной волны несущей и длиной волны нулевой дисперсии ещё не слишком мала, то влияние дисперсии третьего порядка может трактоваться как эффект, возмущающий процесс распространения стандартного солитона нелинейного уравнения Шредингера. Этот эффект описан аналитически, он состоит в возбуждении примесных солитонов светлого и тёмного типов, и огибающая распространяющегося импульса представляет собой связанное состояние основного и примесного солитонов.

Принципиально важным результатом Главы 5 является установление граничной величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии. Выделяется непосредственная окрестность длины волны нулевой дисперсии, в пределах которой именно дисперсия третьего порядка является определяющим фактором динамики импульса. В этом интервале длин волн необходимо использовать малоамплитудное приближение, с его помощью аналитически описывается формирование уединённой волны на пьедестале - особой нелинейной структуры, характерной именно для данного режима распространения. Эта уединённая волна представляет собой солитон уравнения Кортевега - де Фриза, его амплитуда, ширина и скорость выражаются через нелинейные и дисперсионные характеристики среды распространения.

В представленной диссертации с единых позиций теории нелинейных локализованных волновых процессов разработаны асимптотические методы и получено аналитическое описание нелинейной динамики электромагнитных и акустических волн, модулированных по амплитуде и частоте и распространяющихся в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью. Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М., Мир, 1987.

2. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М., Мир, 1996.

3. Агранович В.М., Бабиченко B.C., Черняк В.Я. Нелинейные поверхностные поляритоны // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1980. Т. 32, вып. 8.

4. Андреев В.Г., Карабутов A.A., Руденко О.В., Сапожников O.A. Наблюдение самофокусировки звука // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1985. Т. 41, вып. 9.

5. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М., Наука, 1988.

6. Ахманов С.А, Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. О самофокусировке и самоканализации интенсивных световых пучков // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т.50, № 6.

7. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде // Успехи физических наук. 1967. Т. 93, №1.

8. Ахмедиев H.H. О новом классе нелинейных поверхностных волн : несимметричные моды в симметричной слоистой структуре // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1982. Т.83, №2.

9. Ахмедиев H.H., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Точные решения первого порядка нелинейного уравнения Шредингера // Теоретическая и математическая физика. 1987. Т. 72, № 2.

10. Ахмедиев H.H., Корнеев В.И. Модуляционная неустойчивость и периодические решения нелинейного уравнения Шредингера // Теоретическая и математическая физика. 1986. Т. 69, № 2.

11. П.Ахмедиев H.H., Мельников И.А., Назаркин A.B. Распространение фемтосекундного оптического импульса в области прозрачности нелинейной среды // Краткие сообщения по физике. 1989. № 2.

12. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., Наука, 1972.

13. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод : Линейные и нелинейные волны. Л., Изд-во ЛГУ, 1985.

14. Базаров E.H., Кухта A.B., Полухин А.Т. Неустойчивость оптического пучка в изогнутом одномодовом световоде // Квантовая электроника. 1984. Т. 11,№3.

15. Баранов В.А., Лопатников С.Л., Черкашин Ю.Н. Явление нелинейного захвата в рамках геометрической оптики // Распространение радиоволн и плазменные неустойчивости в ионосфере и магнитосфере. Сб. ст. / М., ИЗМИР АН, 1974.

16. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М., Наука, 1982.

17. Беланов A.C., Головченко Е.А., Дианов Е.М., Никонова З.С., Прохоров A.M., Серкин В.Н. Проблемы передачи информации оптическими солитонами // Труды ИОФАН. Т. 5. Волоконная оптика. М., 1987, с.35-59.

18. Белов A.B., Курков A.C., Мирошниченко С.И., Семенов В.А. Одномодовые волоконные световоды с модифицированной дисперсией // Труды ИОФАН. Т. 39. Волоконная оптика. М., 1993, с. 148-167.

19. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т. 51, № 5.

20. Бессонов Н.М., Вакуленко С.А. Связанные состояния кинков в нелинейных неоднородных средах // Теоретическая и математическая физика. 1996. Т. 107, № 1.

21. Богданов A.B., Вакуленко С.А., Стрельченя В.М. Распространение возмущений в нелинейных средах с дисперсией и диссипацией // Численные методы механики сплошной среды. 1980. Т. 11, № 3.

22. Боев А.Г. Нелинейные поверхностные электромагнитные волны на границе идеального проводника // Доклады Академии Наук УССР. Сер. А. 1982. №6.

23. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М., Наука, 1973.

24. Бункин Ф.В., Кравцов Ю.А., Ляхов Г.А. Акустические аналоги нелинейных оптических явлений // Успехи физических наук. 1986. Т. 149, №3.

25. Вакуленко С.А. Действие возмущения на солитоны некоторых нелинейных уравнений // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1979. Т.89.

26. Вакуленко С.А., Молотков И.А. Волны в нелинейной неоднородной среде, сосредоточенные в окрестности заданной кривой // Доклады Академии Наук СССР. 1982. Т. 262, № 3.

27. Вакуленко С.А., Молотков И.А. Стационарные волновые пучки в сильно нелинейной трехмерной неоднородной среде // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1985. Т. 148.

28. Вакуленко С.А., Молотков И.А. Волны в слоистой нелинейной среде // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1987. Вып. 2.

29. Вахитов Н.Г., Колоколов A.A. Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности // Известия вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16, № 7.

30. Весницкий А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенных параметрических систем. Горький, изд-во ГГУ, 1977.

31. Вильяме Ф.А. Теория горения. М., Наука, 1971.

32. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, 1990.

33. Владимиров А.Г., Розанов Н.Н. Об устойчивости и осцилляциях двумерных солитонов, описываемых возмущенным нелинейным уравнением Шредингера // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 89, № 5.

34. Владимиров М.В. О разрешимости смешанной задачи для нелинейного уравнения типа Шредингера // Доклады Академии Наук СССР. 1984. Т. 275, № 4.

35. Владимиров М.В., Жилейкин Я.М. Распространение оптических пучков в нелинейных слабопоглощающих средах // Современные проблемы математического моделирования : Сб. ст. / Под ред. Е.А.Гребеникова, В А.Морозова. М., изд-во МГУ, 1984.

36. Власов С.Н. О структуре волновых пучков в нелинейной кубичной среде // В кн. : Волны и дифракция 85. IX Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн (г. Телави, 1985). Т. 2. Тбилиси, 1985. С. 145-148.

37. Власов С.Н., Гурбатов С.Н. К теории самовоздействия интенсивных световых пучков в плавнонеоднородных средах // Известия вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19, № 8.

38. Волоконно-оптические датчики / Т.Окоси, К.Окамото, М.Оцу, Х.Нисихара, К.Кюма, К.Хататэ ; Под. ред. Т.Окоси : Пер. с япон. Л., Энергоатомиздат, 1990.

39. Выслоух В.А. Эксперименты с оптическими солитонами // Успехи физических наук. 1982. Т. 136, № 3.

40. Выслоух В.А., Чередник И.В. Моделирование самовоздействия сверхкоротких импульсов в волоконных световодах методом обратной задачи рассеяния // Доклады Академии Наук СССР. 1986. Т. 289, № 2.

41. Гидроупругие колебания в машинах / Сб. ст. М., Институт машиноведения, 1983.

42. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л., ГИТТЛ, 1950.

43. Громов Е.М. , Коробов A.C. , Тютин В.В. Короткие солитоны огибающей в неконсервативных средах // Известия вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44, № 7.

44. Громов Е.М., Таланов В.И. Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1996. Т. 110, № 1.

45. Грудинин А.Б., Дианов Е.М., Коробкин Д.В.,Прохоров А.М.,Серкин В.Н., Хайдаров Д.В. Распад фемтосекундных импульсов в одномодовых волоконных световодах // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1987. Т. 46, № 5.

46. Грудинин А.Б., Дианов Е.М., Коробкин Д.В., Хайдаров Д.В. Фемтосекундная структура излучения стоксовых компонент ВКР : Генерация солитонов в ОВС // Труды ИОФАН. Т. 23. Волоконная оптика. 1990. С. 3-26.

47. Грудинин А.Б., Меньшов В.Н., Фурса Т.Н. О распространении фемтосекундных солитонов в одномодовых волоконных волноводах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1990. Т. 97, № 2.

48. Гуревич A.B., Питаевский Л.П. Нелинейная динамика разреженной плазмы и ионосферная аэродинамика // Вопросы теории плазмы. Вып. 10. М., Атомиздат, 1980.

49. Дианов Е.М., Мамышев П.В., Прохоров A.M. Нелинейная волоконная оптика//Квантовая электроника. 1988. Т. 15, № 1.

50. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., Мир, 1988.

51. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М., Наука, 1986.

52. Дьяков С.П. Ударные волны в релаксирующей среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1954. Т. 27, № 6.

53. Еременко В.А., Молотков H.A. Особенности поведения волновых пучков в средах с насыщающейся нелинейностью // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, № 6.

54. Ерохин Н.С., Сагдеев Р.З. Особенности самофокусировки и поглощения энергии мощных волновых пучков в неоднородной плазме // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1982. Т. 83, №1.

55. Жибер A.B., Шабат А.Б. О задаче Коши для нелинейного уравнения Шредингера// Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 1.

56. Заболотская Е.А., Шварцбург А.Б. Нелинейный акустический волновод // Акустический журнал. 1987. Т. 33, № 2.

57. Зарембо JI.K., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика. М., изд-во МГУ, 1984.

58. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Оптические солитоны и квазисолитоны // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1998. Т. 113, № 5.

59. Захаров В.Е., Соболев В.В., Сынах B.C. Исследование поведения световых пучков в нелинейных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 60, № 1.

60. Зельдович Я.Б. О возможности ударных волн разрежения // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1946. Т. 16, № 4.

61. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Физматгиз, 1963.

62. Земсков В.Р. Эволюция огибающей фемтосекундного светового импульса в волоконном световоде // Журнал технической физики. 1992. Т. 62, №11.

63. Итс А.Р., Капаев A.A., Новокшенов В.Ю., Фокас A.C. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. Москва, Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2005.

64. Камчатнов A.M. О распространении ультракоротких периодических импульсов в нелинейных волоконных световодах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1990. Т. 97, № 1.

65. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М., Наука, 1973.

66. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1977. Т. 73, № 2.

67. Карпман В.И., Маслов Е.М. Структура хвостов, образующихся под действием возмущения на солитон // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1978. Т. 75, № 2.

68. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам. М., Физматлит, 2005.

69. Кондратьев И.Г., Пермитин Г.В., Смирнов А.И. Распространение широких волновых пучков в плавно неоднородных средах // Известия вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23, № 10.

70. Кудряшов H.A. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва, Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.

71. Кудряшов О.И. Об особенностях решений нелинейных уравнений типа Гинзбурга Ландау // Сибирский математический журнал. 1975. Т. 16, №4.

72. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика : В 10 т. Т. 6. Гидродинамика. М., Наука, 1988.

73. Лебле С.Б. Волноводное распространение нелинейных волн в стратифицированных средах. Л., Изд-во ЛГУ, 1988.

74. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М., Л., ГИТТЛ, 1950.

75. Литвак А.Г., Миронов В.А. О поверхностных волнах на границе раздела нелинейных сред // Известия вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11, № 12.

76. Луговой В.Н., Прохоров A.M. Теория распространения мощного излучения в нелинейной среде // Успехи физических наук. 1973. Т.111, №2.

77. Маймистов А.И. Фотоника. Нелинейные оптические явления в планарных световодах. М., изд-во МИФИ, 1987.

78. Маймистов А.И. Эволюция уединенных волн, близких к солитонам нелинейного уравнения Шредингера // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1993. Т. 104, № 5.

79. Маймистов А.И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника. 2000. Т. 30, № 4.

80. Малкин А.И., Мягков H.H. О возможности образования акустических структур в неравновесной химически-реагирующей среде // Письма в Журнал технической физики. 1984. Т. 10, № 10.

81. Мамышев П.В., Черников C.B., Дианов Е.М. Генерация высокочастотной последовательности солитонов и подавление ВРМБ в солитонных линиях связи // Труды ИОФАН. Т. 39. Волоконная оптика. 1993. С. 3-25.

82. Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. К теории поглощения звука в жидкостях // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1937. Т. 7, № 3.

83. Манцызов Б.И. Оптический зумерон как результат биений внутренних мод брэгговского солитона // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2005. Т. 82, № 5.

84. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М., Наука, 1987.

85. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М., Наука, 1977.

86. Михайлов A.B., Новокшенов В.Ю. Отображение за период для нелинейных импульсов в оптических кабелях с управлением дисперсией// Теоретическая и математическая физика.2003.Т. 134,№ 1.

87. Молотков И.А. Аналитические методы в теории нелинейных волн. М., Физматлит, 2003.

88. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Эволюция волнового пучка в неоднородной и сильно нелинейной среде // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1985. Вып. 2.

89. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. Л., Изд-во ЛГУ, 1988.

90. Молотков И.А., Манаенкова Н.И. Анализ поведения импульсов в фемтосекундном диапазоне на основе системы уравнений двухуровневого приближения // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, №5.

91. Молотков И.А., Повлсен Й.Х., Манаенкова Н.И. Особенности поведения огибающей солитонного импульса в нелинейной среде в субпикосекундном диапазоне // Известия вузов. Радиофизика. 1998. Т. 41, №9.

92. Накоряков В.Е., Борисов A.A. Распространение возмущений в среде с релаксацией или химической реакцией // Физика горения и взрыва. 1976. Т. 12, №3.

93. Никонова З.С., Серкин В.Н. Фемтосекундные импульсы света в волоконных световодах // Труды ИОФАН. Т.23. Волоконная оптика. 1990.

94. Новиков С.П. Периодические задачи для уравнения Кортевега де Фриза // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8, № 3.

95. Оокоси Т. Оптоэлектроника и оптическая связь. М., Мир, 1988.

96. Островский Л.А. Нелинейная акустика // Препринт НИРФИ, № 32. Горький, 1973.

97. Островский Л.А. Приближенные методы в теории нелинейных волн // Известия вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, № 4.

98. Пермитин Г.В. О возможности сопоставления поля широкого волнового пучка в плавно неоднородной среде с полем пучка в вакууме // Известия вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16, № 2.

99. Петрунькин В.Ю., Котов О.И. Квантовая оптика. СПб., изд-во СПбГПУ, 2003.

100. Плотников П.И., Соколовский Я. Стационарные краевые задачи для3уравнений Навье Стокса с показателем адиабаты // Доклады

101. Академии Наук. 2004. Т. 397, № 2.

102. Полякова A.JL, Солуян С.И., Хохлов Р.В. К вопросу о распространении конечных возмущений в релаксирующей среде// Акустический журнал. 1962. Т. 8, № 1.

103. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький, изд-во ГГУ, 1985.

104. Руденко О.В., Солуян С.Т. Теоретические основы нелинейной акустики. М., Наука, 1975.

105. Самсонов A.M. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения // Доклады Академии Наук СССР. 1984. Т. 277, №2.

106. Сверхкороткие световые импульсы / Под ред. С.Шапиро. М., Мир, 1981.

107. Семенов В.Е., Розанов H.H., Высотина Н.В. Сверхузкие пучки электромагнитного излучения в средах с керровской нелинейностью // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1999. Т. 116, № 2.

108. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. М., Наука, 1980.

109. Субочев В.Ю., Цупин В.А. Асимптотические солитонообразные решения нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами // Теоретическая и математическая физика. 1983. Т. 56, № 1.

110. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М., Наука, 1988.

111. Таланов В.И. О самофокусировке электромагнитных волн в нелинейных средах // Известия вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7, № 3.

112. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., Наука, 1986.

113. Теория солитонов / Под ред. С.П.Новикова. М., Наука, 1980.

114. Турицын С.К. Пространственная дисперсия нелинейности и устойчивости многомерных солитонов // Теоретическая и математическая физика. 1985. Т. 64, № 2.

115. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., Мир,1977.

116. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М., Мир, 1980.

117. Хасегава А., Кодама Ю. Передача сигналов оптическими солитонами в одномодовом волокне // Труды ИИЭР (IEEE). 1981. Т. 69, № 9.

118. Шабат А.Б. О задаче Коши для уравнения Гинзбурга Ландау // Динамика сплошной среды. Вып. 1. Новосибирск, 1969. С. 180 -194.

119. Abdullaev F.K., Darmanyan S.A., Bischoff S., Christiansen P.L., Sorensen M.P. Modulational instability in optical fibers near zero dispersion point // Optics Communications. 1994. Vol. 108, № 1.

120. Abdullaev F.K., Darmanyan S.A., Bischoff S., Sorensen M.P. Modulational instability of electromagnetic waves in media with varying nonlinearity // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1997. Vol. 14, № 1.

121. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. Nonlinear evolution equations of Painleve type // Lettere al Nuovo Cimento. 1978. Vol. 23, № 9.

122. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type // Journal of Mathematical Physics. 1980. Vol. 21, № 4,5.

123. Ablowitz M., Segur H. Exact linearization of a Painleve transcendent // Physical Review Letters. 1977. Vol. 38, № 20.

124. Adams M.J., Payne D.N., Sladen F.M.E., Hartog A.H. Wavelength-dispersive properties of glasses for optical fibres : the germania enigma // Electronics Letters. 1978. Vol. 14, № 22.

125. Afanasjev V.V., Kivshar Y.S., Menyuk C.R. Effect third-order dispersion on dark solitons // Optics Letters. 1996. Vol. 21, № 24.

126. Anderson D. Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fibers // Physical Review. Ser. A. 1983. Vol. 27, № 6.

127. Bendow B., Gianino P., Tzoar N., Jain M. Theory of nonlinear pulse propagation in optical waveguides // Journal of the Optical Society of America. 1980. Vol. 70, № 5.

128. Bhushan A.S., Coppinger F., Jalali B. Time-stretched analog-to-digital conversion // Electronics Letters. 1998. Vol. 34, № 9.

129. Boardman A.D., Egan P. S-polarized waves in a thin dielectric film asymmetrically bounded by optically nonlinear media // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1985. Vol. QE-21, № 10.

130. Buchholz H. Die Quasioptik der Ultrakurzwellenleiter // Elektrische Nachrichtentechnik. 1938. Bd. 15, Heft 10, S. 297-320.

131. Buryak A.V., Akhmediev N.N. Stability criterion for stationary bound states of solitons with radiationless oscillating tails // Physical Review. Ser. E. 1995. Vol. 51, №4.

132. Chiao R.Y., Garmire E., Townes C.H. Self-trapping of optical beams // Physical Review Letters. 1964. Vol. 13, № 15.

133. Christodoulides D.N., Joseph R.I. Exact radial dependence of the field in a nonlinear dispersive dielectric fiber : bright pulse solutions // Optics Letters. 1984. Vol. 9, № 6, p. 229-231.

134. Christodoulides D.N., Joseph D.N. Dark solitary waves in optical fibers // Optics Letters. 1984. Vol. 9, № 9, p. 408-410.

135. Christodoulides D.N., Joseph R.I. Femtosecond solitary waves in optical fibres // Electronics Letters. 1984. Vol. 20, № 16.

136. Coddington E.A., Levinson N. Theory of ordinaiy differential equations. New York, Toronto, London, McGraw-Hill Book Company, 1955.

137. Cohen L.G., Mammel W.L., Jang S.J. Low-loss quadruple-clad single-mode lightguides with dispersion below 2 ps/(km-nm) over the 1.28 1.65 pm wavelength range // Electronics Letters. 1982. Vol. 18, № 24.

138. Comly J.C., Yariv A., Garmire E.M. Stable, chirped, ultrashort pulses in lasers using the optical Kerr effect // Applied Physics Letters. 1969. Vol. 15, №5.

139. Coppinger F., Bhushan A.S., Jalali B. Time magnification of electrical signal using chirped optical pulse // Electronics Letters. 1998. Vol. 34, № 4.

140. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. New York, Interscience Publishers, Inc., 1953.

141. Desyatnikov A., Maimistov A., Malomed B. Three-dimensional spinning solitons in dispersive media with the cubic-quintic nonlinearity // Physical Review. Ser. E. 2000. Vol. 61, № 3.

142. Dragoman D., Meunier J.P. Recovery of longitudinally variant refractive index profile from the measurement of the Wigner transform // Optics Communications. 1998. Vol. 153, № 4-6.

143. Dysthe K.B., Juren C., Stenflo L. On resonant interactions of atmospheric waves // Physica Scripta. 1974. Vol. 9, № 4.

144. Elgin J.N. Soliton propagation in an optical fiber with third order dispersion //Optics Letters. 1992. Vol. 17,№20.

145. Feireisl E., Novotny A., Petzeltová H. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier Stokes equations // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. 2001. Vol. 3, p. 358-392.

146. Ferrando A., Zacarés M., P. Fernández de Córdoba. Ansatz-independent solution of a soliton in a strong dispersion-management system // Physical Review. Ser. E. 2000. Vol. 62, № 5.

147. Gambling W.A., Matsumura H., Ragdale C.M. Mode dispersion, material dispersion and profile dispersion in graded-index single-mode fibres // Microwaves, Optics and Acoustics. 1979. Vol. 3, № 6.

148. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation // Physical Review Letters. 1967. Vol. 19, p. 1095.

149. Gatz S., Hermann J. Soliton propagation in materials with saturable nonlinearity // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1991. Vol. 8,№11.

150. Georges T. Soliton interaction in dispersion-managed links // Journal of hte Optical Society of America. Ser. B. 1998. Vol. 15, № 5.

151. Gibbon J.D., Radmore P., Tabor M., Wood D. The Painlevé property and Hirota's method // Studies in Applied Mathematics. 1985. Vol. 72, № 1.

152. Golovchenko E.A., Dianov E.M., Mamyshev P.V., Prokhorov A.M. Optical fibre-grating pulse compression // Optical and Quantum Electronics. 1988. Vol. 20, № 4.

153. Gordon J.P. Theory of the soliton self-frequency shift // Optics Letters. 1986. Vol. 11, №10.

154. Gordon J.P., Haus H.A. Random walk of coherently amplified solitons in optical fiber transmission// Optics Letters. 1986. Vol. 11, № 10.

155. Grimshaw R. Slowly varying solitary waves. II. Nonlinear Schrôdinger equation // Proceedings of the Royal Society of London. 1979. Vol. A368, №1734, p. 377-388.

156. Halbout J.-M., Grischkowsky D. 12-fs ultrashort optical pulse compression at a high repetition rate // Applied Physics Letters. 1984. Vol. 45, p. 1281.

157. Hasegawa A. Optical solitons in fibers : theoretical review // In: Optical Solitons Theory and Experiment / Ed. by J.R.Taylor. Cambridge University Press, 1992. P. 1-29.

158. Hasegawa A. Soliton-based ultra-high speed optical communications // Pramana Journal of Physics. 2001. Vol. 57, № 5-6.

159. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in optical communications. Oxford, Oxford University Press, 1995.

160. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers // Applied Physics Letters. 1973. Vol. 23 : I. Anomalous dispersion / №3 ; H. Normal dispersion / №4.

161. Haus H.A., Chen Y. Dispersion-managed solitons as nonlinear Bloch waves // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1999. Vol. 16, № 6.

162. Hayata K., Koshiba M. Bright-kink symbions resulting from the combined effect of self-trapping and intrapulse stimulated Raman scattering // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1994. Vol. 11, № 1.

163. Helczynski L., Anderson D., Hall B., Lisak M., Sunnerud H. Chirp-induced splitting of pulses in optical fibers // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 2002. Vol. 19, № 3.

164. Hondros A., Debye P. Elektromagnetische Wellen an dielektrischen Drähten // Annalen der Physik. Vierte Folge. 1910. Bd. 32, S. 465-476.

165. Hong W.-P. Modulational instability of optical waves in the high dispersive cubic-quintic nonlinear Schrödinger equation // Optics Communications. 2002. Vol. 213, № 1-3.

166. Jain M., Tzoar N. Propagation of nonlinear optical pulses in inhomogeneous media // Journal of Applied Physics. 1978. Vol. 49, № 9.

167. Jeffrey A., Kawahara T. Asymptotic methods in nonlinear wave theory. Boston, London, Melbourne, Pitman Books Ltd., 1982.

168. Jones C.K.R.T., Moloney J.V. Instability of standing waves in nonlinear optical waveguides // Physics Letters. Ser. A. 1986. Vol. 117, № 4.

169. Jörgens K. Das Anfangswertproblem im großen für eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen//Mathematische Zeitschrift. 1961. Bd. 77, Heft 4.

170. Joseph R.I., Christodoulides D.N. Bright-dark solitary wave pairs resulting from stimulated Raman scattering and loss // Optics Letters. 1992. Vol. 17, № 16.

171. Jovanoski Z., Towers I.N., Ansari N.A., Sammut R.A. Approximate analysis of circular bends in nonlinear planar waveguides // Optics Communications. 2005. Vol. 244, № .

172. Kaier R.S., Sharma A.K., Kumar H., Kamal T.S. Validity of third-order dispersion term for single-mode fiber near zero dispersion wavelength // Optics Communications. 2002. Vol. 213, № 1-3.

173. Kamchatnov A.M., Steudel H. On the evolution of an optical pulse with initial chirp in a nonlinear fiber at the zero dispersion point // Optics Communications. 1999. Vol. 162, №

174. Kamke E. Differentialgleichungen reeller Funktionen. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., 1950.

175. Kapila A.K., Matkowsky B.J., A. van Harten. An asymptotic theory of deflagrations and detonations // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1983. Vol. 43, №3.

176. Karpman V.I., Rasmussen J.J., Shagalov A.G. Dynamics of solitons and quasisolitons of the cubic third-order nonlinear Schrôdinger equation // Physical Review. Ser. E. 2001. Vol. 64, № 2.

177. Kath W.L., Mecozzi A., Kumar P., Goedde C.G. Long-term storage of a soliton bit stream using phase-sensitive amplification : effects of soliton -soliton interactions and quantum noise // Optics Communications. 1998. Vol. 157, №1-6.

178. Kato T. On nonlinear Schrôdinger equations // Annales de l'Institut Henri Poincaré. Physique Théorique. 1987. Vol. 46, № 1.

179. Kaup D.J. A perturbation expansion for the Zakharov-Shabat inverse scattering transform // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1976. Vol. 31, №1.

180. Kavian O. A remark on the blowing-up of solutions to the Cauchy problem for Nonlinear Schrôdinger equations // Transactions of the American Mathematical Society. 1987. Vol. 299, № 1.

181. Keener J.R., Maclaughlin D.W. Solitons under perturbations // Physical Review. Ser. A. 1977. Vol. 16, № 2.

182. Keiser G. Optical fiber communications. New York, McGraw-Hill Book Company, 1983.-306195. Keller J.B., Millman M.H. Finite-amplitude sound-wave propagation in a waveguide // Journal of the Acoustical Society of America. 1971. Vol. 49, № 1 (pt.2).

183. Kim W.-S., Moon H.-T. Soliton-kink interactions in a generalized nonlinear Schrodinger system // Physics Letters. Ser. A. 2000. Vol. 266, № 4-6.

184. Kinsler P., New G.H.C. Few-cycle pulse propagation // Physical Review. Ser. A. 2003. Vol. 67, №2.

185. Kivshar Yu.S. Perturbation-induced dynamics of small-amplitude dark optical solitons // Optics Letters. 1990. Vol. 15, № 22.

186. Kivshar Yu.S. Dark optical solitons near zero-dispersion wavelength // Optics Letters. 1991. Vol. 16, № 12.

187. Kivshar Yu.S. Stable vector solitons composed of bright and dark pulses // Optics Letters. 1992. Vol. 17, № 19.

188. Kivshar Yu.S., Afanasjev V.V. Drift instability of dark solitons in saturable media// Optics Letters. 1996. Vol. 21, № 15.

189. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E. Self-focusing and transverse instabilities of solitary waves // Physics Reports. 2000. Vol. 331, № 4.

190. Kodama Y. Optical solitons in a monomode fiber // Journal of Statistical Physics. 1985. Vol. 39, № 5-6.

191. Kodama Y., Ablowitz M. Perturbations of solitons and solitary waves // Studies in Applied Mathematics. 1981. Vol. 64, № 3.

192. Kodama Y., Kumar S., Maruta A. Chirped nonlinear pulse propagation in a dispersion-compensated system // Optics Letters. 1997. Vol. 22, № 22.

193. Kodama Y., Hasegawa A. Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric guide // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1987. Vol. QE-23, №5.

194. Lakoba T.I., Agrawal G.P. Effects of third-order dispersion on dispersion-managed solitons // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1999. Vol. 16, №9.

195. Lions J.-L. Mathematical topics in fluid dynamics. Oxford, Oxford Science Publication. Vol. 1. Incompressible models. 1996. Vol. 2. Compressible models. 1998.

196. Lopez Lago E., R. de la Fuente. Copropagation of two waves of different frequencies and arbitrary initial polarization states in an isotropic Kerr medium // Physical Review. Ser. A. 1999. Vol. 60, № 1.

197. Luke J.C. A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems // Proceedings of the Royal Society. Ser. A. 1966. Vol. 292, № 1430.

198. Marcatili E.A.J. Bends in optical dielectric guides // The Bell System Technical Journal. 1969. Vol. 48, № 7.

199. Marcuse D. Light transmission optics. New York, Cincinnati, Toronto, London, Melbourne, Van Nostrand Reinhold Company, 1982.

200. Marcuse D. Principles of optical fiber measurement. New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco, Academic Press, 1981.

201. Micallef R.W., Love J.D., Kivshar Yu.S. Nonlinear bent single-mode waveguide as a simple all-optical switch // Optics Communications. 1998. Vol. 147, №4-6.

202. Miller S.E. Integrated Optics : An Introduction // The Bell System Technical Journal. 1969. Vol. 48, № 7.

203. Milne W.E. The behavior of a boundary value problem as the interval becomes infinite // Transactions of the American Mathematical Society. 1928. Vol. 30, №4.

204. Mitschke F.M., Mollenauer L.F. Discovery of the soliton self-frequency shift// Optics Letters. 1986. Vol. 11, № 10.

205. Miyagi M. Relationship between field shift and phase constant change in two-dimensional three-layered dielectric or hollow waveguide due to uniform bends // Optical and Quantum Electronics. 1989. Vol. 21, № 1.

206. Mollenauer L.F., Gordon J.P., Islam M.N. Soliton propagation in long fibers with periodically compensated loss // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1986. Vol. QE-22, № 1.

207. Mollenauer L.F., Stolen R.H. Soliton laser // Optics Letters. 1984. Vol. 9, №1.

208. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers // Physical Review Letters. 1980. Vol. 45, p. 1095.

209. Molotkov I.A., Eremenko V.A., Anderson D., Lisak M. Stationary high intensity wave beams in media with saturable nonlinearity // Phisica Scripta. 2000. Vol. 61, №4.

210. Molotkov I.A., Vakulenko S.A. Wave beams in an inhomogeneous medium with saturated nonlinearity // Wave Motion. 1988. Vol. 10, № 4.

211. Montant S., Le Calvez A., Freysz E., Ducasse A., Couzi M. Time-domain separation of nuclear and electronic contributions to the third-order nonlinearity in glasses // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1998. Vol. 15, № 11.

212. Morse P.M., Feshbach H. Methods of theoretical physics. New York, Toronto, London, McGraw-Hill Book Company, 1953.

213. Morse P.M., Uno Ingard K. Theoretical Acoustics. New York, St. Louis, San Francisco, Toronto, London, Sydney, McGraw-Hill Book Company, 1968.

214. Nakkeeran K. Exact soliton solutions for a family of N coupled nonlinear Schrodinger equations in optical fiber media // Physical Review. Ser. E. 2000. Vol. 62, № 1.

215. Nozaki K. Solitons as invariant tori in the perturbed nonlinear Schrodinger equation // Physica D. Nonlinear Phenomena. 1986. Vol. 23, № 1-3.

216. Nozaki K., Taniuti T. Envelope solitons in nonlinear acoustics // Physica D. Nonlinear Phenomena. 1986. Vol. 18, № 1-3.

217. Okoshi T. Optical fibers. New York, Academic Press, 1982.

218. Okoshi T. Planar circuits for microwaves and lightwaves. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, Springer-Verlag, 1985.

219. Peleg A., Chertkov M., Gabitov I. Interchannel interaction of optical solitons // Physical Review. Ser. E. 2003. Vol. 68, № 2.

220. Petermann K. The mode attenuation in general graded core multimode fibres // Archiv für Elektronik und Übertragungstechnik. 1975. Bd. 29, Heft 7/8, S. 345-348.

221. Rosales R.R., Majda A. Weakly nonlinear detonation waves // SLAM Journal of Applied Mathematics. 1983. Vol. 43, № 5.

222. Rothenberg J.E. Pulse splitting during self-focusing in normally dispersive media // Optics Letters. 1992. Vol. 17, № 8.

223. Rottwitt K., Hermann B., Povlsen J.H. Elgin J.N. Adiabatic soliton transmission at very high bit rates // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1995. Vol. 12, № 7.

224. Ruiyu Hao, Lu Li, Zhonghao Li, Guosheng Zhou. Exact multisoliton solutions of the higher-order nonlinear Schrödinger equation with variable coefficients // Physical Review. Ser. E. 2004. Vol. 70, № 6.

225. Sansone G. Equazioni differenziali nel campo reale. Bologna, Nicola Zanichelli Editore, 1948.

226. Schäfer T., Mezentsev V., Spatschek K.H., Turitsyn S.K. The dispersion-managed soliton as a ground state of a macroscopic nonlinear quantum oscillator // Proceedings of the Royal Society. Ser. A. 2001. Vol. 457, № 2006.

227. Schlosser W. Der rechteckige dielektrische Draht // Archiv der elektrischen Übertragung. 1964. Bd. 18, Heft 7, S. 403-410.

228. Schriever O. Elektromagnetische Wellen an dielektrischen Drähten // Annalen der Physik. Vierte Folge. 1920. Bd. 63, Heft 23, S. 645-673.

229. Segur H., Ablowitz M.J. Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a Painleve transcendent // Physica D. 1981. Vol. 3, № 1-2.

230. Shagalov A.G. Modulational instability of nonlinear waves in the range of zero dispersion // Physics Letters. Ser. A. 1998. Vol. 239, № 1-2.

231. Shvartsburg A.B. Subsonic solitons in the ionosphere // Physics Letters. Ser. A. 1978. Vol. 68, № 2.

232. Shvartsburg A.B., Zuev M.A. The non-linear Schrödinger equation and the non-stationary evolution of the intense localized wave field // Optical and Quantum Electronics. 1980. Vol. 12, № 2.

233. Snyder A.W., Love D. Optical waveguide theory. London, New York, Chapman and Hall, 1983.

234. Stegeman G.I., Seaton C.T. Nonlinear integrated optics // Journal of Applied Physics. 1985. Vol. 58, № 12.

235. Stolen R.H. Nonlinearity in fiber transmission // Proceedings of the IEEE. 1980. Vol. 68, №12.

236. Stolen R.H., Gordon J.P., Tomlinson W.J., Haus H.A. Raman response function of silica-core fibers // Journal of the Optical Society of America. Ser. B. 1989. Vol. 6, № 6.

237. Stolen R.H., Lin C. Self-phase-modulation in silica optical fibers // Physical Review. Ser. A. 1978. Vol. 17, № 4.

238. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. Self-trapped optical beams : Spatial solitons // Pramana Journal of Physics. 2001. Vol. 57, № 5-6.

239. Taniuti T., Nishihara K. Nonlinear waves. Boston, London, Melbourne, Pitman Books Ltd., 1983.-312262. Titchmarsh E.C. Eigenfimction expansions associated with second-order differential equations. Oxford, Clarendon Press, 1962.

240. Trippenbach M., Band Y.B. Effects of self-steepening and self-frequency shifting on short-pulse splitting in dispersive nonlinear media // Physical Review. Ser. A. 1998. Vol. 57, № 6.

241. Turitsyn S.K., Aceves A.B., Jones C.K.R.T., Zharnitsky V., Mezentsev V.K. Hainiltonian averaging in soliton-bearing systems with a periodically varying dispersion //Physical Review. Ser. E. 1999. Vol. 59, № 4.

242. Tzoar N., Jain M. Self-phase modulation in long-geometry optical waveguides// Physical Review. Ser. A. 1981. Vol. 23, № 3.

243. Vach H., Seaton C.T., Stegeman G.I., Khoo I.C. Observation of intensity-dependent guided waves // Optics Letters. 1984. Vol. 9, p. 238.

244. Vakulenko S.A., Molotkov I.A. Whitham's and Fermat's principles for the problem of evolution of wave beams in a nonlinear inliomogeneous medium // American Mathematical Society Translations. 1993. Vol. 157.

245. Wang T., Li H., Huang D., Yin D. Dark soliton propagation in a dispersion-managed system with periodically inhomogeneous perturbations // Optics Communications. 2005. Vol. 252, № 4-6.

246. Weyl H. Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen // Mathematische Annalen. 1910. Bd. 68, S. 220-269.

247. Whitham G.B. Non-linear dispersive waves // Proceedings of the Royal Society. 1965. Vol. A 283 , p. 238.

248. Wilson C.R. Auroral infrasonic waves // Journal of Geophysical Research. 1969. Vol. 74, №7.

249. Yang J., Malomed B.A., Kaup D.J. Embedded solitons in second-harmonic-generating systems//Physical Review Letters. 1999. Vol. 83, № 10.

250. Yeh C., Bergman L.A. Existence of optical solitons on wavelength division multiplexed beams in a nonlinear fiber // Physical Review. Ser. E. 1999. Vol. 60, № 2.

251. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of "Solitons" in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Physical Review Letters. 1965. Vol. 15, №6.

252. Zahn H. Über den Nachweis elektromagnetischer Wellen an dielektrischen Drähten // Annalen der Physik. Vierte Folge. 1916. Bd. 49, Heft 8, S. 907-933.

253. Zharnitsky V., Grenier E., Turitsyn S.K., Jones C.K.R.T., Hesthaven J.S. Ground states of dispersion-managed nonlinear Schrödinger equation // Physical Review. Ser. E. 2000. Vol. 62, № 5.

254. Zozulya A., Diddams S., Clement T. Investigation of nonlinear femtosecond pulse propagation with the inclusion of Raman, shock and third-order phase effects // Physical Review. Ser. A. 1998. Vol. 58, № 4.