Распространение и излучение электромагнитных волн в волноводах произвольного поперечного сечения с нестационарным и неоднородным заполнением

Геворкян, Эдуард Аршавирович

Распространение и излучение электромагнитных волн в волноводах произвольного поперечного сечения с нестационарным и неоднородным заполнением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Геворкян, Эдуард Аршавирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Распространение и излучение электромагнитных волн в волноводах произвольного поперечного сечения с нестационарным и неоднородным заполнением»

Автореферат диссертации на тему "Распространение и излучение электромагнитных волн в волноводах произвольного поперечного сечения с нестационарным и неоднородным заполнением"

На правах рукописи

ГЕВОРКЯН Эдуард Аршавирович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ С НЕСТАЦИОНАРНЫМ И НЕОДНОРОДНЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Барсуков Кир Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Лукин Дмитрий Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Черкашин Юрий Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Кюркчан Александр Гаврилович

Ведущая организация: Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) (МИРЭА)

Защита состоится 2004 г. в_/£_

оо

часов

на заседании диссертационного совета Д '212.156.03 в Московском физико-техническом институте (государственный университет) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский переулок, д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственный университет).

Автореферат разослан " $ (¿/¿пЯ^У 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент Коршунов Сергей Михайлович

/////^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Распространение электромагнитных волн, излучение равномерно движущихся источников и граничные задачи в неограниченных и ограниченных средах, диэлектрическая и магнитная проницаемости которых мощной волной накачки различной природы (электромагнитная волна, ультразвуковая волна и т.д.) периодически модулированы в пространстве и во времени по закону бегущей волны, представляют собой одни из основных задач электромагнитной теории.

Начало теоретических и экспериментальных исследований распространения электромагнитных волн в периодических средах связано с предсказанием Бриллюэна идеи дифракции света в модулированных средах. В дальнейшем продолжались исследования в области распространения электромагнитных волн в периодических средах и возрос интерес исследователей к теоретическим и экспериментальным исследованиям излучения равномерно движущихся источников в периодических средах. При этом основное внимание физиков было уделено не только исследованию излучения Вавилова-Черенкова, впервые теоретически рассмотренного в неограниченном пространстве И.М.Франком и И.Е.Таммом в 1937 году, но и исследованию переходного излучения, предсказанного и теоретически рассмотренного в неограниченном пространстве И.М.Франком и В.Л.Гинзбургом в 1946 году и впервые рассмотренного в волноводе К.А.Барсуковым в 1959 году. Однако в научной литературе большая часть подобных исследований относится к электродинамике периодически нестационарных и неоднородных сред в неограниченном пространстве, в то время как те же самые вопросы в волноводах произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным заполнением остаются еще мало изученными и отсутствует достаточно строгая теория электродинамических явлений в подобных системах. Между тем исследование этих явлений представляет большой интерес и с точки зрения развития теории и с точки зрения возможности практического применения волноводов с периодически модулированным заполнением в электронике СВЧ. Так, например, волноводы с периодически нестационарным и неоднородным заполнением находят широкое применение при конструировании многочастотных лазеров, преобразователей мод, пара-

метрических усилителей и генераторов СВЧ, основанных на черен-ковском и переходном излучении.

Представленная диссертационная работа посвящена построению последовательной аналитической теории электромагнитных явлений в ограниченных периодически нестационарных и неоднородных средах, а именно, в волноводах произвольного поперечного сечения с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением и призвана в определенной степени восполнить существующий пробел в этой области.

Цели работы

Основной целью диссертационной работы является построение достаточно строгой аналитической теории электродинамики периодически нестационарных и неоднородных ограниченных сред и изучение электромагнитных явлений в областях «слабого» и «сильного» взаимодействия между распространяющейся волной и волной модуляции среды. Достижение вышеуказанной цели осуществляется решениями нижеприведенных основных задач в рамках рассмотрения линеаризованной модели периодического изменения параметров среды (диэлектрической и магнитной проницаемостей) в регулярном волноводе произвольного поперечного сечения:

1. Исследование распространения поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно--магнитных (ТМ) волн в волноводе произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным заполнением (диэлектрическая и магнитная проницаемости модулированы в пространстве и во времени по гармоническому закону) в областях слабого и сильного взаимодействия между сигнальной волной и волной модуляции заполнения.

2. Исследование излучения источников, равномерно движущихся в волноводе произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в областях слабого и сильного взаимодействия между волной излучения и волной модуляции заполнения волновода.

3. Исследование отражения и прохождения электромагнитных волн от периодически модулированных в пространстве и во времени диэлектрической пластины и полуограниченного пространства в волноводе произвольного поперечного сечения в областях

слабого и сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в том, что впервые:

1. Построена последовательная и достаточно строгая аналитическая теория распространения поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) волн и излучения равномерно движущихся источников в волноводе произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в предположении малого индекса модуляции заполнения волновода.

2. Исследованы особенности распространения электромагнитных волн и черенковского и переходного излучения равномерно движущихся источников в волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени диэлектрическим заполнением в частотной области сильного взаимодействия сигнальной волны и волны излучения с модулированным заполнением. Ширина этой области пропорциональна индексу модуляции заполнения. Из физических соображений на основе требования выполнения условия Вуль-фа-Брэгта выведено аналитическое выражение для частоты сильного взаимодействия, вокруг которой происходит значительный энергообмен между распространяющейся в волноводе волной и волной модуляции заполнения. Полученные аналитические выражения для потерь энергии равномерно движущихся источников в области сильного взаимодействия излучения с периодически модулированным диэлектрическим заполнением волновода, возникновение которого возможно для коротковолновой модуляции, показывают, что нечеренковские потери энергии источников на излучение не зависят от индекса модуляции заполнения волновода и оказываются на несколько порядков больше, чем в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода.

3. На основе предлагаемой теории исследования нестационарных и неоднородных сред развит аналитический метод решения граничных задач отражения и прохождения электромагнитных волн от периодически модулированной в пространстве и во времени диэлектрической пластины конечной толщины, помещенной в волновод произвольного поперечного сечения. Получены обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощ-

ности на различных гармониках в областях слабого и сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. Установлено, что коэффициенты отражения и прохождения по мощности в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины в зависимости от толщины пластины имеют осциллирующий характер с резко выраженными главными и второстепенными максимумами. Огибающие главных максимумов являются возрастающими функциями в зависимости от толщины модулированной пластины с различными законами возрастания. Показано, что в случае обратной модуляции имеет место эффект усиления по мощности при определенном значении индекса модуляции пластины. При этом по мере возрастания скорости волны модуляции пластины, коэффициент отражения по мощности увеличивается и может стать намного больше единицы. Это обстоятельство может служить основой для использования модулированной пластины в качестве параметрического усилителя в различных областях электроники СВЧ.

Научная и практическая значимость результатов диссертационной работы определяется следующим.

Построенная аналитическая теория распространения и излучения электромагнитных волн в волноводах произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в областях слабого и сильного взаимодействия сигнальной волны и волны излучения с модулированным заполнением призвана в определенной степени восполнить существующий пробел как в теории электродинамики нестационарных и неоднородных ограниченных сред, так и в теории периодических структур. Разработанный в диссертационной работе аналитический метод может быть успешно применен и при решении задач распространения волн различной природы в периодических структурах, встречающихся в голографических исследованиях, в исследованиях явлений, связанных с волнами и частицами в кристаллах, в области строительной техники, машиностроения и технической акустики, а также в области биофизики при изучении сложных структур глаз насекомых.

Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы как в дальнейших теоретических и экспериментальных, так и прикладных исследованиях параметрического взаи-

модействия электромагнитных волн с периодически и многоперио-дически модулированными в пространстве и во времени средами. Они могут найти широкое практическое применение в различных областях электроники и интегральной оптики при усовершенствовании конструирования генераторов с распределенной обратной связью, параметрических усилителей, генераторов второй гармоники, многочастотных лазеров с распределенной обратной связью (РОС лазеров) и с распределенным брэгговским отражением (РБО лазеров), преобразователей мод с использованием тонкопленочных волноводов, преобразователей низкой и высокой частоты, двухлучепре-ломляющих фильтров, призменных поляризаторов, дифракционных решеток и т.п.

Ряд результатов диссертационной работы может быть использован в учебном процессе при чтении курсов лекций по электродинамике нестационарных и неоднородных сред и теории периодических структур.

Достоверность полученных результатов основывается на следующих факторах. При построении аналитической теории электродинамики периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах основывались на классический аппарат уравнений Максвелла, на обобщенный принцип излучения и на известные свойства решений уравнений Матье-Хилла. Обосновано нахождение приближенных решений поставленных задач и определены границы области их применимости. Многие результаты для некоторых частных случаев, получаемые из общих результатов соответствующими предельными переходами находятся в согласии с ранее известными.

Научные положения, выносимые на защиту.

магнитного (ТМ) полей соответственно. Решение полученных уравнений методом разложения потенциалов и в ряд по собственным функциям второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода дает возможность в единственном предположении малых индексов периодической модуляции диэлектрической и магнитной проницаемостей заполнения волновода получить достаточно простые аналитические результаты, справедливые в довольно широкой области изменения параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие распространяющейся сигнальной волны и волны излучения движущихся источников с модулированным заполнением волновода.

2. Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением представляются в виде набора пространственно-временных гармоник. В области слабого (нерезонансного) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода на основной гармонике амплитуда поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода, а на первых боковых гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени. В узкой области синхронного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения поле в волноводе модулируется только по фазе с периодом волны модуляции заполнения волновода.

левой и минус первой гармониками. В результате этого амплитуда волны на минус первой гармонике оказывается одного порядка с амплитудой волны на нулевой гармонике, в то время, как амплитуда волны на плюс первой гармонике оказывается зависящей от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени. При распространении сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода в противоположных направлениях сильное взаимодействие происходит между нулевой и плюс первой гармониками.

4. В области слабого взаимодействия волны излучения равномерно движущихся источников с волной периодической модуляции диэлектрического заполнения волновода, когда направления движения источников и волны модуляции совпадают, амплитуда поля черенковского излучения на основной гармонике не зависит от индекса модуляции заполнения волновода, а амплитуды полей переходного излучения на первых боковых гармониках зависят от индекса модуляции заполнения волновода в первой степени. При этом потери энергии источников на черенковское излучение не зависят от индекса модуляции заполнения волновода, в то время как потери энергии источников на переходное излучение пропорциональны индексу модуляции заполнения волновода во второй степени. Спектр излучения существенным образом зависит от соотношения скорости движения источника и фазовой скорости света в невозмущенном заполнении волновода. Сильное взаимодействие между излученной волной и волной периодической модуляции заполнения волновода возможно в случае коротковолновой модуляции заполнения при выполнении условия возникновения черенковского излучения и когда источник обгоняет волну модуляции. Подобное взаимодействие происходит вокруг частоты сильного взаимодействия, аналитическое выражение для которой получается из физических соображений. Нечеренковские потери энергии источников в области сильного взаимодействия не зависят от индекса модуляции заполнения волновода и поэтому оказываются на несколько порядков больше, чем в области слабого взаимодействия.

полнения волновода. Из-за периодической нестационарности и неоднородности заполнения волновода в выражениях для потерь энергии частицы на излучение ТЕ и ТМ волн в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением помимо члена, не зависящего от индекса модуляции, появляются члены, зависящие от индекса модуляции в первой и во второй степенях. Спектр излучения заряженной частицы имеет сложный характер и включает спектр основного и дополнительного излучений на основной и на боковых гармониках. Возникновение излучения Вавилова-Черенкова в области сильного взаимодействия излучения со стационарным, но периодически неоднородным заполнением волновода возможно только при наличии в волноводе коротковолновой модуляции. В выражениях для потерь энергии излучения в этом случае в области сильного взаимодействия к известному члену черенковско-го излучения добавляется член пропорциональный индексу модуляции заполнения в первой степени.

6. Черенковское и переходное излучение заряженной частицы при ее равномерном движении перпендикулярно оси прямоугольного волновода, где помещена немодулированная диэлектрическая пластина конечной толщины, отличается характерными особенностями. Наличие в волноводе диэлектрической пластины конечной толщины приводит к явно выраженным резонансным эффектам, и излученная энергия уменьшается с ростом номера волны. Черенковское излучение, генерируемое частицей в пластине вокруг определенной частоты в виде явно выраженного пика, запирается в нее из-за многократных отражений в пластине. Эффект «запертого» излучения с дискретным спектром существует и в определенной области частот переходного излучения. В этой области частот пластина является своеобразным резонатором с собственными частотами.

висят от индекса модуляции пластины, а на боковых гармониках они пропорциональны индексу модуляции пластины во второй степени. Формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для полубесконечного периодически модулированного заполнения волновода получаются из полученных общих результатов переходом к пределу при стремлении к бесконечности толщины модулированной пластины. Коэффициент отражения по мощности в области сильного взаимодействия сигнальной волны со стационарной, но неоднородной диэлектрической пластиной в неограниченном пространстве с ростом индекса модуляции быстрее стремится к единице, а коэффициент прохождения по мощности быстрее стремится к нулю по мере стремления толщины пластины к бесконечности.

8. В области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции диэлектрической пластины (случай прямой модуляции) коэффициенты отражения и прохождения по мощности на минус первой гармонике в поле вне пластины оказываются не зависящими от индекса модуляции модулированной пластины. В случае обратной модуляции оказываются не зависящими от индекса модуляции пластины коэффициенты отражения и прохождения по мощности на плюс первой гармонике в поле вне пластины. Эффект усиления по мощности в отраженном поле возможен только для коротковолновой модуляции пластины.

9. Коэффициенты отражения и прохождения по мощности в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины в неограниченном пространстве в зависимости от толщины пластины имеют осциллирующий характер с резко выраженными главными и второстепенными максимумами. Огибающие главных максимумов являются возрастающими функциями в зависимости от толщины модулированной пластины с различными законами возрастания. В случае прямой модуляции максимальные значения коэффициента отражения по мощности на минус первой гармонике уменьшаются и по мере уменьшения индекса модуляции пластины при фиксированном значении диэлектрической проницаемости немо-дулированной пластины, и по мере возрастания значения диэлектрической проницаемости немодулированной пластины при фиксированном значении индекса модуляции пластины. В случае обратной модуляции имеет место эффект усиления по мощности в поле вне модулированной пластины при определенном значении индекса моду-

ляции пластины, причем по мере возрастания скорости волны модуляции пластины коэффициент отражения по мощности растет и может стать намного больше единицы. Это открывает возможность использования периодически модулированной пластины в качестве параметрического усилителя в различных областях электроники СВЧ.

Публикации и апробация

. Все основные результаты диссертации отражены в публикациях. По теме диссертации опубликовано 29 научных работ. Некоторые из них выполнены совместно с К. А. Барсуковым, с которым были проведены неоднократные обсуждения полученных результатов, приводящих к формулировкам некоторых выводов. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на Международном симпозиуме по переходному излучению частиц высоких энергий (г. Ереван, 1977 г.), на 15-ом Международном симпозиуме URSI по электромагнитной теории (Санкт-Петербург, 1995 г.), на 4-ой Международной конференции по свойствам электропроводимости и по оптическим свойствам неоднородных сред (Москва — Санкт-Петербург, 1996 г.), на 16-ом Международном симпозиуме URSI по электромагнитной теории (Салоники, 1998 г.), на 7-ой Международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории (Харьков, 1998 г.), на 8-ой Международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории (Харьков, 2000 г.), на 9-ой Международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории (Киев, 2002 г.), на 5-ом Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), на 5-ом Международном симпозиуме по физике и технике миллиметровых, субмиллиметровых волн и микроволн (Харьков, 2004 г.), на Общероссийском научном семинаре по математическому моделированию волновых процессов (Москва, 2003 г.). Ряд результатов был представлен также на 17-ом Международном симпозиуме URSI по электромагнитной теории (Виктория, 2001 г.).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех частей (шести глав), заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 218 страниц шрифтом 14 pt, включая 42 страницы иллюстраций. Список литературы содержит 184 наименования.

Благодарности

Научным консультантом автора на всех этапах данного исследования был профессор Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета, доктор физико-математических наук Кир Александрович Барсуков. Неоднократное обсуждение с ним получаемых в ходе исследования результатов сыграли важную роль в проведении данного научного исследования.

Автор выражает благодарность участникам различных научных международных конференций, которые приняли участие в дискуссиях по результатам диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении характеризована тема исследования, дан краткий обзор научной литературы, описано краткое содержание диссертации и приведены научные положения, выносимые на защиту.

Первая глава первой части диссертационной работы посвящена построению аналитической теории распространения свободных электромагнитных волн в волноводе произвольного сечения, диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения которого волной накачки модулированы в пространстве и во времени по гармоническому закону в рамках линеаризованной модели их изменения

(1) (2)

где тЕ и т^ индексы модуляции, и - скорость волны модуляции,

и - волновое число и частота волны модуляции, и

диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения в отсутствии волны модуляции.

Рассматривается регулярный идеальный волновод произвольного поперечного сечения с осью ог, диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения которого модулированы в пространстве и во времени по законам (1) и (2). Сигнальная волна с частотой О)0 распространяется в подобном волноводе вдоль его оси. Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе

описываются с помощью продольных составляющих Н2 и Ег магнитного и электрического векторов, представляющих потенциалы для ТЕ и ТМ полей и удовлетворяющих дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами

А хНг+/1

А ±Ег+е

дг

д_ дг

1 дН2 ц дг

1 дЁ,У

/л д

?"а7

£ С

2 ы

дН. д]к

е дг

ч >

где А±=д2/дх2 +д2/ду

Нг=МНг, Ег=£Е2.

Если в (3) и (4) перейти к новым переменным

= 0,

(3)

(4)

е г 4 = г - Ш, 7] =----

II ч/«

двумерный оператор Лапласа,

(5)

их, озеЛ^Дё)'

1-Р'

где ¡}2 = и2£0/л0/сг, и искать решения полученных дифференциальных уравнений в частных производных в виде разложения по ор-тонормированным собственным функциям .у) и (х, у) соответственно второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода

/7=0

(6)

(7)

я-0

то получим обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которым удовлетворяют

величины НП2 ) и Ет ). Последние с помощью замены переменных

5 =

°1-/?2 г

2еп

жш

£0М0

(8)

(9)

преобразуются к дифференциальным уравнениям второго порядка с периодическими коэффициентами, являющимися уравнениями Ма-тье-Хилла. Эти уравнения далее решаются в единственном предположении малости индексов модуляции заполнения волновода [тс «1, тм «1). Это оправдано тем, что обычно в реальном эксперименте индексы модуляции очень малы и могут меняться от 10"4 до 4-10-2 (последнее значение зарегистрировано в голографи-ческих решетках в хромированной желатине). При этом, если скорость волны модуляции и<0Яиср , где иср = с///0 есть скорость света в немодулированной среде, то наряду с те и тм оказывается малым и параметр I — (те + тр)/?2 /Ь «1, где Ь — \~р2.

Отметим, что функции ц/п{х,у) и у/п{х,у), входящие в выражения (6) и (7), удовлетворяют уравнениям Гельмгольца с соответствующими граничными условиями на поверхности волновода

А±%(х,у)+ЛУп(х,У) = 0,-

дп

= 0.

(х,у) + %¥„ (х,у) = 0, % (х,у)\г =0,

где 2 - контур поперечного сечения волновода, Я—нормаль к !л и Лп - собственные значения второй и первой краевых задач, соответствующих собственным функциям (*,}>) и х¥п (х, у).

В первом приближении по малым параметрам те, т^, I уравнения Матье-Хилла можно представить в виде

¿2Нт(з)

ей2 ¿гЁя(*)

+ £вкпе™Н„{*) = О,

*=-1 1

где

к1ьг

в"жЖ*

ку

о,

Ш>

ш>

2 (у 4

2 Г2

и 1-21,2 „2 Я0О ^И

-ши-т^ш™.

кЖ

Ш=ГТ*оРо-Я2пЬ. с

Решения уравнений (10) и (11) ищутся в виде

к=-1

£с*йе2'\

А=-1

(10) (И)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

где С"к и С"к пока неизвестные коэффициенты, а характеристические показатели Д, и могут быть действительными, чисто мнимыми или комплексными. Подставляя (18) и (19) в (10) и (11) получаем однородные системы уравнений для определения С^* и С,". Равенство нулю основных определителей этих систем с точностью

до членов порядка т2е, т2м,£2 включительно приводит к дисперсионным уравнениям поставленной задачи

При выполнении условий

\-в0п>3„~£, \1-в"Л>ёп~И

(22)

(величины и вЦ не очень близки к единице), когда попадаем в

область слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода, в нулевом приближении по малым параметрам тЕ, тм, I дисперсионные уравнения (20) и (21) имеют решения вида

Тогда для коэффициентов С"; и С", в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода с учетом (23) получим выражения

где Сд и Сд определяются из условия нормировки.

Теперь, из соотношений Н2 = Нг ///, Е2 = Ег / е с учетом (6), (7), (23), (24) и переходом к переменным г и / с помощью (5) после некоторых преобразований получим аналитические выражения для потенциалов Нг и Ех электромагнитных ТЕ и ТМ полей в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения, которые в первом приближении по малым параметрам те, I имеют вид

(23)

(24)

ТМ поле

А . „ д\£Ё , чп

с „=0 ot

(35)

«=о д 2

где индекс т означает поперечные составляющие, 10 есть орт оси

ох, V есть двумерный оператор набла.

Как показывают (25) и (26) ТЕ и ТМ поля в волноводе с периодически модулированным заполнением представляют собой набор пространственно-временных гармоник с различными амплитудами. При этом в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода на нулевой (основной) гармонике амплитуда поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода, в то время, как на плюс и минус первых (боковых) гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени.

Заметим, что если /лп и //п являются решениями дисперсионных уравнений (20) и (21), то Д, + 2у и /лп+ 2у {у-0,± 1) также являются решениями данных уравнений. Это обстоятельство приводит к тому, что при Д, —>Д, + 2у и //„—>//„ + 2у имеем

а0-»а0+ук0и, Р0п -> Р™ +у к0(у = 0, ±1}

При фиксированных частотах и поперечных волновых числах имеется множество продольных волновых чисел. Тогда пользуясь принципом суперпозиции ТЕ и ТМ поля в волноводе можно представить в виде

Н2 =—¿Ф.ьу)с"0 ¿г; , (36)

Мо И=0 и=-1 ¿=-1

Ег у)С"0 ±а; ±У- > (37)

и=0 1/=-1 А=-1

где

РГ ^р^+кк0, сок =со0+кк0и, рГ =р™+кк0, (38)

а величины а" и а" подлежат определению.

В наборе пространственно-временных гармоник ТЕ и ТМ полей в волноводе присутствуют волны и с положительными и с отрицательными групповыми скоростями. Фундаментальные свойства групповой скорости сохраняются и в случае среды с пространственно-временной периодичностью, если переносимую энергию усреднять как в пространстве, так и во времени. При этом удовлетворяется обобщенное условие излучения, т.е. волны с положительной групповой скоростью распространяются направо, а волны с отрицательной групповой скоростью - налево от источника излучения или от границы раздела.

Найдены выражения для потенциалов Нz и Ег ТЕ и ТМ полей в приближении геометрической оптики и при анизотропном модулированном заполнении волновода (параграф 8), в случае неограниченной периодически нестационарной и неоднородной среды (параграф 10), и в случаях только периодически неоднородного и только периодически нестационарного заполнения волновода (параграф 7). В параграфе 9 рассмотрен случай двупериодического модулированного заполнения волновода и получены выражения для потенциалов ТЕ и ТМ полей в первом приближении по индексу модуляции заполнения волновода. Параграф 6 посвящен выводу формулы, выражающей закон сохранения энергии в нестационарных и неоднородных средах (обобщенная формула Умова-Пойнтинга). В параграфе 11 наше внимание обращено выяснению особенностей распространения электромагнитных волн с немагнитным модулированным заполнением в узкой области синхронного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода (в области «sonic region»), которая определяется условием

2 11 2

(40)

Ширина этой области мала и порядка индексу модуляции заполнения волновода. В этой области удается найти только асимптотическое выражение для поля, которое показывает, что в области sonic region поле в волноводе модулируется только по фазе с периодом волны модуляции.

Вторая глава первой части диссертационной работы посвящена выяснению особенностей распространения электромагнитных волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным немагнитным заполнением в области сильного (резонансного) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода, когда происходит значительный энергообмен между ними.

Эффект сильного взаимодействия между сигнальной ТЕ волной и волной модуляции имеет место, когда выполняется условие

(41)

(42)

(43)

(44)

В пересчете на частоты условие (41) перепишется в виде

й>0, - Аа0 <а)0< , + Дй>0, (45)

где частота сильного взаимодействия СО0! и величина Ай)0 выражаются формулами

(47)

В области частот сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода дисперсионное уравнение (20) имеет комплексные решения

(48)

где величина в" с точностью до 1г имеет вид

(49)

Тогда для величин и V" (рассматриваем ТЕ поле) с учетом (48) имеем оценку

П~1, г;

16Д

(50)

Как видно из (50) амплитуда поля на минус первой гармонике не зависит от индекса модуляции, в то время, как на плюс первой гармонике она пропорциональна £ Е. Иными словами, в области

сильного взаимодействия происходит значительный энергообмен между сигнальной волной и волной модуляции заполнения волновода и помимо нулевой гармоники существенную роль играет отраженная минус первая гармоника на частоте

= «о,,-Ки^^-Р.)

(51)

где

Когда волна модуляции распространяется в направлении, противоположном направлению распространения сигнальной волны, то помимо нулевой гармоники важную роль будет играть отраженная плюс первая гармоника на частоте

Комплексные решения (48) дисперсионного уравнения в частотной области сильного взаимодействия приводят к комплексным выражениям для продольных волновых чисел, действительные части которых отрицательны при выполнении условия ?\пРе < 1 (это неравенство выполняется уже при значениях АЛ^/к^ <0.14). Соответствующие поля при этом оказываются нестабильными по г.

В параграфе 14 приводится физическое объяснение эффекта сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода, которое основано на выполнении условия Вуль-фа-Брегга первого порядка. При этом учтено, что из-за движения волны модуляции угол падения сигнальной волны на максимумы уп-

^гл г? п

лотнения заполнения волновода и угол отражения от них различны, а частоты отраженной и падающей волн связаны

соотношением

Ф^тфнл=а>0 ътф"о. (53)

На основании этого выводится аналитическое выражение для частоты сильного взаимодействия, которое совпадает с (46). Получены также выражения для частоты сильного взаимодействия при анизотропном модулированном заполнении волновода, в частных случаях периодически нестационарной и неоднородной среды в неограниченном пространстве, периодически стационарной, но неоднородной и периодически однородной, но нестационарной среды в волноводе и в неограниченном пространстве, а также для случая двупериодически нестационарного и неоднородного заполнения волновода. Результаты, полученные в выше указанных частных случаях, совпадают с ранее известными результатами.

Во второй части диссертационной работы развитым в первой части методом строится аналитическая теория переходного излучения источников, движущихся равномерно в регулярном волноводе произвольного поперечного сечения с немагнитным заполнением, диэлектрическая проницаемость которого модулирована в пространстве

и во времени по закону (1). Математически задача сводится к интегрированию неоднородных дифференциальных уравнений Матье-Хилла в предположении малости индекса модуляции заполнения волновода те

Третья глава второй части диссертации посвящена исследованию переходного излучения источников (заряженная частица, магнитный момент, бесконечная нить с током), движущихся равномерно со скоростью вдоль оси волновода с немагнитным периодически нестационарным и неоднородным заполнением. Найденные поля движущихся источников в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением и в первом приближении по малому индексу заполнения показывают, что амплитуда поля излучения на нулевой гармонике (излучение Вавилова-

вения) не зависит от индекса модуляции заполнения волновода, а амплитуды поля излучения на минус и плюс первых гармониках (переходное излучение) пропорциональны индексу модуляции заполнения волновода в первой степени.

Полные потери энергии движущихся источников на излучение в области слабого взаимодействия, усредненные по периоду 2ж/к0{о—и), представляющего время прохождения источником одного периода модуляции заполнения, найдены по величине тормозящей силы, действующей на источник со стороны создаваемого им поля (ниже приводятся результаты для заряженной частицы). Анализ полученных выражений показывает, что усредненные потери энергии на черенковское излучение на частоте

не зависят от индекса модуляции заполнения волновода, тогда, как на минус и плюс первых гармониках они пропорциональны квадрату индекса модуляции заполнения. Полученное дисперсионное уравнение поставленной задачи

Черенкова, если выполняется условие

Лпи

(54)

и-и

) с \и~и

позволяет найти спектр излучения движущихся источников в виде

*= **о(и"и) (* = 0,±1,...), (56)

, и I— 1—т]е0 сое <р с

где (р есть угол между волновым вектором частоты со = [оу-(и-и)кк0и]/(и-и) и скоростью источника.

Из (56) следует, что спектр излучения существенным образом зависит от соотношения скорости движения источников и фазовой скорости света в невозмущенном заполнении волновода, т.е. от величины . Зависимости волновых чисел и угла излучения (р

от частоты (диаграммы Бриллюэна) при [о^/с)< 1 и [и^/с)>\ различны, причем в случае {и^/с)> 1 на нулевой гармонике возможно

возникновение излучения Вавилова-Черенкова под углом, определяющимся из условия

™<рсег ------(57)

В параграфе 18 выясняются некоторые особенности излучения движущихся источников в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода, определяющейся условием |/-0оя|<£я, которое с учетом Ц0—1 и с точностью до

членов порядка I е принимает вид

*о=-

-Г**'1

Vе- У

(58)

Очевидно, что последнее условие выполняется только для че-ренковской скорости движущегося источника, когда и > {с/ф^) при

условии и-и <с2/е0. Это означает, что в рассматриваемом приближении (к = 0, ± /) для возникновения сильного взаимодействия

между гармониками к = 0 и к - -1 источник должен обогнать волну модуляции. Как следует из (58), при заданных и всегда можно

подобрать нужную скорость источника для возникновения сильного взаимодействия.

Эффект сильного взаимодействия между волной излучения и волной модуляции допускает наглядное физическое объяснение. При выполнении условия возникновения излучения Вавилова-Черенкова движущийся в волноводе источник излучает под углом

по отношению к направлению его движения.

Излученная волна многократного отражается от максимумов уплотнений модулированного заполнения волновода, отстоящих друг от друга на расстоянии . Пусть волна падает на уплотнения под

углом и отражается от них под углом . Эти углы из-за движения волны модуляции различны и связаны соотношением

Частоты падающей и отраженной волн ( (Осег и (О) удовлетворяют аналогичному (53) условию. Если теперь требовать выполнение условия Вульфа-Брегга первого порядка

и пользоваться связью между (О и (3, то с учетом (59) и (57) получим аналитическое выражение для частоты сильного взаимодействия между нулевой и минус первой гармониками

, и ~ и I—

1 +—е0 соб^

СОЪф =---—--

с с

(59)

причем при выполнении условия

(60)

где к0 определяется формулой (58). Переходное излучение на минус

первой гармонике при этом происходит под углом (р, который определяется из соотношения

(63)

Любопытно отметить, что если черенковское излучение движущегося источника направлено вперед по направлению движения источника, то переходное излучение на минус первой гармонике в области сильного взаимодействия направлено назад.

Получено также выражение нечеренковских потерь энергии источника на минус первой гармонике в области сильного взаимо-

действия (на плюс первой гармонике потери пропорциональны тс )

(64)

где есть координаты точки пересечения траектории источ-

ника с поперечным сечением волновода.

Из (64) видно, что в области сильного взаимодействия нече-ренковские потери энергии движущегося источника не зависят от индекса модуляции заполнения те и при выполнении определенного условия могут быть больше черенковских потерь.

В параграфе 19 получены формулы для частоты сильного взаимодействия и для потерь энергии источников на излучение в указанной области в случае стационарного, но периодически неоднородного заполнения волновода. Показано, что сильное взаимодействие в этом случае реализуется при определенном соотношении

между размерами волновода и длины волны модуляции и имеет место для коротковолновой модуляции заполнения волновода.

В четвертой главе второй части диссертационной работы рассмотрено переходное излучение частицы с зарядом q, движущейся равномерно со скоростью д(р, 0, 0) перпендикулярно оси прямоугольного волновода (ось oz) с немагнитным заполнением, диэлектрическая проницаемость которого периодически меняется в пространстве и во времени по закону (1). Решения соответствующих неоднородных уравнений Матье-Хилла для потенциалов поперечно-электрического (ТЕ) и поперечно-магнитного (ТМ) полей в предположении малости индекса модуляции заполнения волновода приводят к выражениям для ТЕ и ТМ полей излучения движущейся частицы в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением. Последние показывают, что из-за нестационарности и неоднородности заполнения в пределах изменения х от О до в волноводе появляются три характерные области

и и

г<—а.+и^ —а, +иКг<Ш, г>Ы, (65)

и и

в которых поля излучения имеют различные значения. Другими словами, поля излучения оказываются несимметричными по координате г, в отличие от случая однородного и стационарного заполнения волновода. При этом средняя область по мере пролета частицы через волновод движется со скоростью й{0,0, и) в положительном направлении оси ог.

Потери энергии заряженной частицы на излучение для ТЕ и ТМ полей в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением находятся по величине тормозящей силы, действующей на частицу со стороны создаваемого ею поля. Оказывается, что в них помимо члена, не зависящего от индекса модуляции заполнения, появляются члены, зависящие от индекса модуляции заполнения волновода в первой и во второй степенях. Полученные дисперсионные уравнения задачи позволяют найти спектр переходного излучения заряженной частицы в виде (ТЕ волна)

«о =0}о,сег. -зк0и, (67)

где частота черенковского излучения (при выража-

ется формулой

(68)

Как следует из (66) и (67), спектр излучения имеет сложный характер и включает спектр основного и дополнительного излучений на основной и на боковых гармониках. При этом (66) при 5 = О определяет спектр дополнительного излучения на нулевой гармонике, а при 5 = ±1 определяет спектр основного излучения на боковых гармониках, а (67) при 5 = 0 определяет спектр основного излучения на нулевой гармонике (излучение Вавилова-Черенкова), а при $ = ±1 определяет спектр дополнительного излучения на боковых гармониках.

В параграфе 24 исследованы особенности излучения движущейся заряженной частицы в области сильного взаимодействия излучения со стационарным, но периодически неоднородным заполнением волновода, имеющего место вокруг частоты

(69)

Возникновение излучения Вавилова-Черенкова в области сильного взаимодействия оказывается возможным для коротковолновой модуляции заполнения волновода при выполнении условий

(70)

где я? есть поперечный размер прямоугольного волновода по координате у, п = 0,1,2,....

Полученное выражение для потерь энергии заряженной частицы на излучение в области сильного взаимодействия (ТЕ волна)

32д2я2п231

С а\агКт

1 , Ъ(°1Еь т

■ / \

БШ2 СО0 ят а1

-- ■—•

ах ) 2

(72)

Соп

ТОП

а.

а>0с!со0,

где , , показывает, что в нем к известному чле-

ну черенковского излучения добавляется член, пропорциональный индексу модуляции заполнения в первой степени.

Отметим также, что в спектре переходного излучения существует область частот (ТЕ волна)

лм

т„

<о0<

пт

ч 2.

(73)

где волны в волноводе не распространяются, и переходное излучение заряженной частицы оказывается запертым в модулированном заполнении волновода. Ширина этой области мала и пропорциональна индексу модуляции заполнения

Л с Ай)0 =-=^1».

(74)

Для выяснения влияния конечных размеров среды на свойства излучения движущегося источника в параграфе 25 решается задача излучения заряженной частицы в однородной стационарной пластине с диэлектрической проницаемостью в прямоугольном волноводе при ее равномерном движении со скоростью и (и, 0, 0) через пластину конечной толщины перпендикулярно оси волновода в пределах от х- 0 до х= а! . Полученные выражения для потерь энергии заряженной частицы на переходное излучение (ТЕ и ТМ волны) позволяют

выявить непрерывный характер спектра излучения частицы, в котором могут отсутствовать частоты, удовлетворяющие определенным условиям. Выяснено, что наличие в волноводе диэлектрической пластины приводит к явно выраженным резонансным эффектам и излученная энергия уменьшается с ростом номера волны. Если толщина пластины «тонкая» (длина волны в пластине много больше ее толщины), то к энергии переходного излучения добавляется член, пропорциональный квадрату толщины пластины. Когда / с > 1, то наряду с переходным излучением на частоте возни-

кает и излучение Вавилова-Черенкова с выраженным пиком шириной . При этом излучение на черенковской частоте, генерируемое частицей в пластине, запирается в ней из-за многократных отражений в пластине. Подобный эффект запертого излучения в пластине имеет место и для определенной части переходного излучения. Спектр этого излучения является дискретным, а сама пластина при этом оказывается эквивалентной своеобразному резонатору с собственными частотами.

Третья часть диссертационной работы посвящена построению аналитической теории отражения и прохождения электромагнитных волн от границ периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводе произвольного поперечного сечения. Такие граничные задачи представляют интерес и с теоретической точки зрения, и с точки зрения возможности разностороннего использования ограниченных модулированных сред в СВЧ электронике.

В пятой главе третей части рассматривается распространение электромагнитной ТЕ волны с единичной амплитудой и частотой а>о в волноводе произвольного поперечного сечения, где помещена немагнитная пластина (щ =1) тол щ(С^ н <ы), диэлектрическая проницаемость которой модулирована в пространстве и во времени по закону (1). На основе результатов первой части диссертационной работы продольную составляющую магнитного вектора, являющуюся потенциалом ТЕ поля в волноводе, в первом приближении по индексу модуляции пластины в разных областях волновода можно представить в виде:

I область z £0, s = 1, ц = 1

Hi ^%{xty)±bS

(76)

где

О),

о>,

гя - 0 З2 Г" - * г2 1 о - Л| 2 Ап ' 1 i - 1"Т ~ '

Ь™/ - амплитуды отраженных от пластины волн.

II область 0 <d, £= s0 fl+me cos k0 (z-ut)], fi = 1

H" jOZlk' + (77)

где

pnv _ pnv , tt ynv p\k-v\ ek ~re0 Twt0) Y e,k-y 1 с >

ли _ ККЪе , Д2

re'

-Qo -

2 и

vn0 -.

04f

(78)

(79)

(80) (81)

ifiM-к 2кУ

Рд и anv соответствуют волнам в пластине с положительной, а

и änv - волнам с отрицательной групповой скоростью. III область, z >d, е= 1, fi = 1

,(?iz-^t)

к=-1

ЯГ

(82)

г trans.

где D^ — амплитуды прошедших через пластину волн.

Подстановка (75), (76), (77) и (82) в известные граничные условия при z = 0 uz = d

dz dz

а тт trans.

" (84)

Я"1- _L Uref- — JJ,! zn + "zn ~Hzn '

(83)

ttII _ тт Irons. n zn n zn '

dHt

дг дг

приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд. Решая эту систему, ограничиваясь первым приближением по малому индексу модуляции пластины, получаем обобщенные формулы Френеля для гармонически нестационарной и неоднородной пластины в волноводе. Они позволяют вычислить коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной и на боковых гармониках по формулам

(85)

Полученные коэффициенты отражения и прохождения по мощности для основной и боковых гармоник, вычисленные по формулам (85) в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины показывают, во первых, что они имеют существенную и сложную зависимость от толщины пластины ф во вторых, что если на нулевой гармонике они не зависят от индекса модуляции пластины, то на минус и плюс первых гармониках они пропорциональны квадрату индекса модуляции пластины. В параграфе 28 рассмотрен частный случай полубесконечного периодически модулированного в пространстве и во времени заполнения волновода. Формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной и на боковых гармониках в области слабого взаимодействия сигнальной волны с полубесконечным модулированным заполнением получены из соответствующих результатов для модулированной пластины предельным переходом, когда толщина пластины стремится к бесконечности.

В шестой главе третьей части диссертационной работы исследуются особенности отражения и прохождения электромагнитных ТЕ волн от границ периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводе в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции. При одинаковом направлении распространения сигнальной волны и волны модуляции пластины (прямая модуляция) вокруг частоты (46) происходит сильное взаимодействие между сигнальной волной и волной модуляции, и в поле вне пластины наряду с основной гармоникой важную роль играет и минус первая гармоника. При этом коэффициенты отражения и прохождения по мощности на минус первой гармонике выражаются формулами

В* _ Ун {Л„ Ре ) 3 Г>е/., 11 ^ грх

улчп+Р*У 1

где

(87)

л/^о V ко

а величины не зависят от индекса модуляции

пластины. Коэффициенты отражения и прохождения по мощности на плюс первой гармонике при этом оказываются пропорциональными квадрату индекса модуляции пластины. В случае распространения сигнальной волны и волны модуляции пластины в противоположных направлениях (обратная модуляция) сильное взаимодействие между ними происходит вокруг частоты (52), и в поле вне пластины помимо основной гармоники важную роль играет плюс первая гармоника и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на плюс первой гармонике, которые получаются из (86) заменой ре на — @Е , оказываются не зависящими от индекса модуляции пластины, в то время, как на минус первой гармонике они пропорциональны квадрату индекса модуляции пластины. При этом эффект усиления по мощности возможен только при коротковолновой модуляции пластины (т}„-/Зе -»О, {а12п Д. ->1). В параграфе 30 исследуется отражение и прохождение электромаг-

(86)

нитной ТЕ волны от периодически нестационарной и неоднородной пластины толщины d в неограниченном пространстве в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. Получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения по мощности на минус первой и плюс

первой гармониках в случаях соответственно прямой (Т?^, 7^,) и обратной (/^, Т* ) модуляции пластины. В частности, в случае обратной модуляции они имеют вид

(88)

не зависят от индекса модуляции

где величины

пластины.

Полученные аналитические выражения для , Т*х (прямая модуляция) и для (обратная модуляция) позволяют провести численный и графический анализ их зависимости от различных параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие сигнальной волны с волной модуляции пластины в области сильного взаимодействия. В частности, показан осциллирующий характер зависимости коэффициентов отражения и прохождения по мощности от толщины пластины с явно выраженными главными и второстепенными максимумами. Установлено, что в случае обратной модуляции при определенном значении индекса модуляции пластины имеет место эффект усиления по мощности в поле вне модулированной пластины.

В параграфе 31 исследовано отражение и прохождение электромагнитных волн от стационарной, но периодически неоднородной диэлектрической пластины толщины d, помещенной в волновод произвольного поперечного сечения. С помощью найденных формул Френеля получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения по мощности в зависимости от толщины пластины в области сильного взаимодействия сигнальной волны с модулированной пластиной. Для ТЕ волн они имеют вид

где £ = Д5-

Проведен графический и численный анализ коэффициентов отражения и прохождения по мощности в зависимости от толщины пластины при различных значениях характерных параметров модулированной пластины в неограниченном пространстве. Результаты этого анализа показывают, что с ростом индекса модуляции пластины коэффициент отражения по мощности Я быстрее стремится к единице, а коэффициент прохождения по мощности / быстрее стремится к нулю по мере стремления толщины пластины к бесконечности.

В заключении приводятся некоторые возможные направления дальнейших исследований в области электродинамики нестационарных и неоднородных сред.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена последовательная аналитическая теория распространения электромагнитных волн и излучения равномерно движущихся источников в волноводе произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным диэлектрическим заполнением в предположении малых индексов модуляции заполнения волновода.

однородные волновые уравнения для указанных потенциалов в предположении малых индексов модуляции заполнения волновода сведены к однородным и неоднородным дифференциальным уравнениям Матье-Хилла, решения которых ищутся в виде разложения в ряд по собственным функциям второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода.

3. Показано, что поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением представляются в виде набора про-странсвенно-временных гармоник с различными амплитудами. При этом в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода на основной гармонике амплитуда поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода, а на боковых гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени.

Установлено, что в области синхронного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения поле в волноводе модулируется только по фазе с периодом волны модуляции заполнения волновода.

4. Получено условие, при выполнении которого имеет место сильное (резонансное) параметрическое взаимодействие между сигнальной волной и волной модуляции заполнения волновода, когда происходит значительный энергообмен между ними. Показано, что частотная ширина области сильного взаимодействия пропорциональна индексам заполнения волновода в первой степени. Из физических соображений на основе требования выполнения условия Вульфа-Брэгга первого порядка аналитически выведено выражение для частоты, вокруг которой происходит сильное взаимодействие между сигнальной волной и волной модуляции заполнения волновода. Дисперсионное уравнение в этой области имеет комплексные решения, приводящие к нестабильности соответствующих полей. Показано, что при совпадении направлений распространения сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода сильное взаимодействие происходит между основной и минус первой гармониками. При этом амплитуда волны на минус первой гармонике не зависит от индексов модуляции заполнения волновода и оказывается одного порядка с амплитудой волны на основной гармонике. Амплитуда волны на плюс первой гармонике при этом оказы-

вается пропорциональным индексам модуляции заполнения волновода. При распространении сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода в противоположных направлениях сильное взаимодействие происходит между основной и плюс первой гармониками.

5. Исследовано излучение источников, движущихся равномерно вдоль оси волновода с периодически модулированным вдоль оси диэлектрическим заполнением. Методом, развитым в первой части диссертационной работы, неоднородные волновые уравнения в частных производных сведены к неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнениям Матье-Хилла. В предположении малого индекса модуляции заполнения волновода найдены поля движущихся источников в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода. Показано, что амплитуда поля черенковского излучения на основной гармонике не зависит от индекса модуляции заполнения волновода, а амплитуды полей переходного излучения на первых боковых гармониках зависят от индекса модуляции заполнения волновода в первой степени. Полученные выражения для полных потерь энергии движущихся источников на излучение в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода показывают, что че-ренковские потери не зависят от индекса модуляции заполнения волновода, в то время как потери энергии на переходное излучение пропорциональны индексу модуляции во второй степени.

Получено дисперсионное уравнение задачи излучения источников, движущихся в волноводе с периодически модулированным заполнением. Показано, что спектр излучения существенным образом зависит от соотношения скорости движения источника и фазовой скорости света в невозмущенном заполнении волновода.

6. Установлено, что сильное взаимодействие между излучением и модулированным заполнением волновода имеет место для коротковолновой модуляции заполнения волновода при выполнении условия возникновения черенковского излучения и когда источник обгоняет волну модуляции. Получено аналитическое выражение для частоты сильного взаимодействия. Показано, что в области сильного взаимодействия нечеренковские потери энергии источников на излучение не зависят от индекса модуляции заполнения волновода и поэтому оказываются на несколько порядков больше, чем в области

слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода.

7. Исследовано черенковское и переходное излучение заряженной частицы, движущейся равномерно перпендикулярно оси прямоугольного волновода (ось 02) с периодически модулированным вдоль оси заполнением. Установлено, что при этом в волноводе появляется область, которая движется по оси волновода со скоростью волны модуляции заполнения по мере пролета заряженной частицы через волновод. Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в этом случае оказываются несимметричными по координате ъ. Показано, что из-за нестационарности и неоднородности заполнения волновода в выражениях для потерь энергии частицы на излучение ТЕ и ТМ полей в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением помимо члена, не зависящего от индекса модуляции, появляются члены, зависящие от индекса модуляции в первой и во второй степенях. Найден спектр излучения заряженной частицы и показано, что он имеет сложный характер и включает спектр основного и дополнительного излучений на основной и на боковых гармониках.

8. Получены потери энергии частицы на излучение в области сильного взаимодействия в случае стационарного и неоднородного заполнения волновода. Выяснено, что возникновение излучения Ва-вилова-Черенкова в области сильного взаимодействия возможно только при наличии в волноводе коротковолновой модуляции. Показано, что в выражениях для потерь энергии излучения в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением к известному члену черенковского излучения добавляется член, пропорциональный индексу модуляции заполнения в первой степени.

ный квадрату толщины пластины. Установлено, что вокруг определенной частоты в спектре переходного излучения появляется пик черенковского излучения при выполнении условия его возникновения. Определена ширина этого пика. Показано, что излучение, генерируемое частицей в пластине вокруг черенковской частоты, запирается в нее из-за многократных отражений в пластине. Выявлен эффект запертого излучения в пластине и в определенной области частот переходного излучения. Спектр запертого излучения оказывается дискретным, а пластина является своеобразным резонатором с собственными частотами.

10. Исследовано отражение и прохождение электромагнитных волн от периодически модулированной диэлектрической пластины конечной толшины, помещенной в волновод произвольного поперечного сечения. В предположении малого индекса модуляции пластины получены обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мошности на различных гармониках в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. Показано, что коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной гармонике не зависят от индекса модуляции пластины, а на боковых гармониках они пропорциональны индексу модуляции пластины во второй степени. Переходом к пределу при стремлении толшины пластины к бесконечности получены обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на различных гармониках в случае полубесконечного периодически модулированного заполнения волновода.

11. Найдены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения по мощности на различных гармониках в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции диэлектрической пластины в волноводе в предположении малого индекса модуляции пластины. Показано, что в случае прямой модуляции коэффициенты отражения и прохождения по мощности на минус первой гармонике в поле вне пластины оказываются не зависящими от индекса модуляции пластины. В случае обратной модуляции в поле вне пластины не зависят от индекса модуляции пластины коэффициенты отражения и прохождения по мощности на плюс первой гармонике. Установлено, что при этом эффект усиления по мощности на плюс первой гармонике возможен только для коротковолновой модуляции пластины.

12. Получены аналитические выражения коэффициентов отражения и прохождения по мощности на основной и на боковых гармониках в области сильного взаимодействия для периодически модулированной пластины в неограниченном пространстве в случаях прямой и обратной модуляций. Проведен графический и численный анализ зависимости коэффициентов отражения и прохождения по мощности от различных параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие сигнальной волны с волной модуляции пластины в области сильного взаимодействия. Показано, что коэффициенты отражения и прохождения по мощности в области сильного взаимодействия в зависимости от толщины пластины имеют осциллирующий характер с резко выраженными главными и второстепенными максимумами. Огибающие главных максимумов являются возрастающими функциями в зависимости от толщины модулированной пластины с разными законами возрастания. Установлено, что в случае прямой модуляции максимальные значения коэффициента отражения по мощности на минус первой гармонике уменьшаются как по мере уменьшения индекса модуляции пластины при фиксированном значении диэлектрической проницаемости не-модулированной пластины, так и по мере возрастания значений диэлектрической проницаемости немодулированной пластины при фиксированном значении индекса модуляции пластины.

13. Показано, что в случае обратной модуляции имеет место эффект усиления по мощности в поле вне модулированной пластины при определенном значении индекса модуляции пластины. При этом установлено, что по мере возрастания скорости волны модуляции пластины коэффициент отражения по мощности растет и может стать намного больше единицы. Это обстоятельство открывает возможность использования периодически модулированной пластины в качестве параметрического усилителя в различных областях микроэлектроники и электроники СВЧ.

14. Найдены формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для периодически модулированной в пространстве диэлектрической пластины в волноводе и в неограниченном пространстве в области сильного взаимодействия сигнальной волны с модулированной пластиной. Показано, что с ростом индекса модуляции пластины коэффициент отражения по мощности быстрее стремиться к единице, а коэффициент прохождения по

мощности быстрее стремится к нулю по мере стремления толщины пластины к бесконечности.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. К теории распространения электромагнитных волн в волноводе с нестационарным неоднородным заполнением // Радиотехника и электроника. - 1983. - Т. 28. -Вып. 2.-С. 237-241.

[2] Gevorkyan E.A. Electromagnetic waves in a waveguide with a periodically modulated filling // Proceedings of International Symposium on Electromagnetic Theory. Thessaloniki, Greece, May 25 - 28. -1998.-V. 1.-P. 69-70.

[3] Барсуков К.А., Геворкян Э.А., Звонников НА. Распространение электромагнитных волн при их взаимодействии с волной диэлектрической проницаемости // Известия ЛЭТИ. - 1975. — Вып. 161. -С. 127-130.

[4] Барсуков КА., Геворкян Э.А., Звонников Н.А. О распространении электромагнитных волн в периодически нестационарной и неоднородной среде // Радиотехника и электроника. - 1975. - Т. 20. -№5.-С. 908-913.

[5] Gevorkyan EA. Electromagnetic waves in a waveguide with a space-time multiperiodic dielectric filling // Proceedings of International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kharkov, Ukraine. June 2 - 5. - 1998. - V. 2. - P. 853.

[6] Геворкян Э.А. Распространение электромагнитных волн в волноводе с многопериодически нестационарным неоднородным заполнением // Известия Национальной Академии Армении. Физика. -2000.-Т.35.-№1.-С. 14-19.

[7] Gevorkyan E.A. Transverse-magnetic electromagnetic waves in a waveguide with space-time multiperiodically modulated filling // Proceedings of International Conference on Mathematical Methods in

Electromagnetic Theory. Kharkov, Ukraine. September 12-15. - 2000. -V.I.-P. 150-152.

[8] Gevorkyan E.A. On the theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with a multiperiodically modulated dielectric lilling // Book of Abstracts of the Fourth International Conference on Electrical Transport and Optical Properties of Inhomogeneous Media. Moscow - St. Petersburg, Russia, July 23 - 30. - 1996. - P. 69.

[9] Gevorkyan E.A. On the theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with a multiperiodically modulated dielectric filling // Physica A. - 1997. - V. 241. - P. 236 - 239.

[10] Геворкян Э.А. О распространении электромагнитных ТМ волн в волноводе с нестационарным заполнением // Известия ЛЭТИ. - 1975. - Вып. 179. - С. 46 - 48.

[11] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. Переходное излучение в волноводе с нестационарным неоднородным заполнением. Труды международного симпозиума по переходному излучению частиц высоких энергий. Ереван, ЕрФИ, Май 12 - 17. - 1977. — С. 534 - 539.

[12] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. Об излучении заряженной частицы, движущейся в волноводе с нестационарным и неоднородным заполнением // Известия АН Армянской ССР. Физика. - 1976. -Т. 11.-Вып. 1.-С. 44-50.

[13] Gevorkyan EA On the radiation of magnetic moment moving in a waveguide with space-time periodic filling // Proceedings of International Symposium on Electromagnetic Theory. Victoria, Canada, May 13-17.-2001.-V.I.-P. 107-109.

[14] Геворкян Э.А. Излучение движущейся нити с током в волноводе с нестационарным и неоднородным заполнением // Известия ЛЭТИ. - 1976. - Вып. 205. - С. 54 - 58.

[15] Геворкян ЭА. О переходном излучении в волноводе с нестационарным неоднородным заполнением при пролете заряжен-

ной частицы перпендикулярно оси волновода // Известия АН Армянской ССР. Физика. - 1986. - Т. 21. - Вып. 2. - С. 55 - 58.

[16] Геворкян Э.А. О переходном излучении заряженной частицы в волноводе с периодически нестационарным неоднородным заполнением // Сборник научных трудов МЭСИ. - М.: МЭСИ. -1985.-С. 71-74.

[17] Геворкян Э.А. О переходном излучении в волноводе с периодически неоднородным заполнением при пролете заряженной частицы перпендикулярно оси волновода // Известия АН Армянской ССР. Физика. - 1984. - Т. 19. - Вып. 3. - С. 123 - 128.

[18] Барсуков К.А., Беглоян Э.А., Газазян Э.Д., Геворкян Э.А., Лазиев Э.М. О переходном излучении в диэлектрической пластине в волноводе при пролете заряда перпендикулярно оси волновода // Известия АН Армянской ССР. Физика. - 1972. - Т. 7. - Вып. 6. - С. 397-405.

[19] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. Электромагнитные волны в волноводе с нестационарной неоднородной диэлектрической пластиной // Радиотехника и электроника. - 1986. - Т. 31. - Вып. 9. - С. 1733-1738.

[20] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. Взаимодействие электромагнитных волн с полубесконечным нестационарным неоднородным диэлектрическим заполнением волновода // Известия АН Армянской ССР. Физика. - 1982. - Т. 17. - Вып. 5. - С. 237 - 241.

[21] Геворкян Э.А. О распространении электромагнитных волн в волноводе с полубесконечным нестационарным неоднородным диэлектрическим заполнением // Межвузовский сборник научных трудов. Вычислительная математика и математическая физика. -М.: МГПИ.- 1987.-С. 114-120.

[22] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. К теории взаимодействия электромагнитных волн с периодически нестационарной неодно-

родной диэлектрической пластиной // Радиотехника и электроника. -1994.-Т. 39.-Вып. 7.-С. 1170-1178.

[23] Барсуков К.А., Геворкян ЭА К теории взаимодействия электромагнитных волн с периодически неоднородной диэлектрической пластиной // ЖТФ. - 1993. - Т. 63. - Вып. 12. - С. 89 - 94.

[24] Барсуков К.А., Геворкян Э.А. К теории отражения и прохождения электромагнитных волн при их взаимодействии с периодически неоднородной диэлектрической пластиной в волноводе // Известия АН Армянской ССР. Физика. - 1989. - Т. 24. - Вып. 3. -С. 106-111.

[25] Gevorkyan E.A. On the method of solution of the wave equation with periodic coefficients // Proceedings of International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kiev, Ukraine, September 10- 13.-2002.-V. 2.-P. 373-375.

[26] Barsukov K.A., Gevorkyan E.A. On the theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with a periodically modulated dielectric slab // Proceedings of International Symposium on Electromagnetic Theory. St. Petersburg, Russia, May 23 - 26. - 1995. - P. 36 - 38.

[27] Геворкян Э.А. О потенциалах поля в волноводе с нестационарным неоднородным заполнением // Междуведомственный тематический научный сборник. Рассеяние электромагнитных волн.

- Таганрог: ТРТУ. - 2002. - № 12. - С. 55 - 58.

[28] Gevorkyan E.A. Electromagnetic waves in a waveguide of an arbitrary cross section with space-time periodic dielectric filling // Book of Abstracts of the Fifth International Congress on Mathematical Modelling. Dubna, Russia, September 30 - October 6. - 2002. - V. 1. - P. 199.

[29] Gevorkyan E.A. On the theory of electrodynamics of space

- time periodic medium in the waveguide // Proceedings of the Fifth International Kharkov Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves. Kharkov, Ukraine, June 21

- 26. - 2004. - V. 1. - P. 296 - 298.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 11.09.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 3,0. Тираж 130 экз. Заказ 305. Тел. 939-3890, 939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

»1818t

РНБ Русский фонд

2005-4 15137

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Геворкян, Эдуард Аршавирович

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ I. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД В ВОЛНОВОДАХ.

ГЛАВА I. Электромагнитные волны в волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением.

§ 1. Волновые уравнения в нестационарной и неоднородной среде.

§ 2. Волновые уравнения для потенциалов ТЕ и ТМ полей в волноводе с модулированным в пространстве (по Z) и во времени заполнением.

§ 3. Метод решения волновых уравнений для потенциалов

ТЕ и ТМ полей в волноводе с периодически модулированным в пространстве (по Z) и во времени заполнением.

§ 4. Дисперсионное уравнение.

§ 5. Свободные электромагнитные ТЕ и ТМ волны в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением.

§ 6. Закон сохранения энергии в нестационарных и неоднородных средах обобщенная теорема Умова-Пойнтинга).

§ 7. ТЕ и ТМ волны в волноводе в предельных случаях стационарного неоднородного и однородного нестационарного заполнения.

§ 8. ТЕ и ТМ волны в волноводе в приближении геометрической оптики и в случае анизотропного модулированного заполнения.

8.1 Приближение геометрической оптики.

8.2 Случай анизотропного модулированного заполнения модулированный одноосный кристалл).

§ 9. Случай двупериодически нестационарного и неоднородного заполнения волновода.

§ 10. Электромагнитные волны в неограниченной периодически нестационарной и неоднородной среде.

§11. Характер распространения электромагнитных волн при условии их синхронного взаимодействия с волной модуляции заполнения волновода.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.

ГЛАВА II. Особенности распространения электромагнитных волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в области «сильного» (резонансного) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции.

§ 12.Частотная область сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода.

§ 13.Характер поведения различных гармоник в области сильного взаимодействия.

§ 14.Физическое объяснение эффекта сильного взаимодействия.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ II.

ЧАСТЬ И. ИЗЛУЧЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ, ДВИЖУЩИХСЯ

РАВНОМЕРНО В ВОЛНОВОДАХ С ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕСТАЦИОНАРНЫМ И НЕОДНОРОДНЫМ

ЗАПОЛНЕНИЕМ.

ГЛАВА III. Переходное излучение и излучение Вавилова-Черенкова источников, движущихся равномерно вдоль оси волновода с периодически модулированным заполнением.

§15. Поля движущихся источников.

15.1 Поле движущейся заряженной частицы.

15.2 Поле движущегося магнитного момента.

§16. Потери энергии движущихся источников на излучение.

16.1. Потери энергии движущейся заряженной частицы.

16.2. Потери энергии движущегося магнитного момента.

§ 17.Дисперсионное уравнение. Спектр излучения движущихся источников.

§ 18.Особенности излучения движущихся источников в области сильного взаимодействия.

§ 19.Случай стационарного неоднородного заполнения волновода.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ III.

ГЛАВА IV. Переходное излучение и излучение Вавилова-Черенкова заряженной частицы, движущейся равномерно перпендикулярно оси волновода с периодически нестационарным и неоднородным заполнением.

§ 20.Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное

ТМ) поля движущейся частицы.

§ 21.Потери энергии движущейся частицы на излучение.

§ 22.Дисперсионное уравнение и спектр излучения.

§ 23.Излучение движущейся частицы в волноводе со стационарным неоднородным заполнением

§ 24.Характер излучения в области сильного взаимодействия.

§ 25.Переходное, черенковское и «запертое» излучение в однородной стационарной пластине в волноводе.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ IV.

ЧАСТЬ III. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД В ВОЛНОВОДАХ.

ГЛАВА V. Отражение и прохождение электромагнитных волн от границ периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводе.

§ 26.Электромагнитные волны в периодически нестационарной и неоднородной диэлектрической пластине в волноводе.

§ 27.Обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для периодически нестационарной и неоднородной диэлектрической пластины.

§ 28.Случай полубесконечного модулированного заполнения волновода.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ V.

ГЛАВА VI. Особенности отражения и прохождения электромагнитных волн от границ периодически нестационарных и неоднородных сред в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции.

§ 29.Обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для периодически модулированной пластины и для полубесконечного модулированного заполнения в области сильного взаимодействия.

§ 30. Анализ характера отражения и прохождения электромагнитных волн от периодически модулированной пластины в неограниченном пространстве в области сильного взаимодействия.

30.1. Сигнальная волна и волна модуляции имеют одинаковые направления распространения (прямая модуляция).

30.2. Сигнальная волна и волна модуляции имеют противоположные направления распространения (обратная модуляция).

§ 31.Коэффициенты отражения и прохождения по мощности для стационарной и периодически неоднородной пластины в области сильного взаимодействия.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ VI.

Введение диссертация по физике, на тему "Распространение и излучение электромагнитных волн в волноводах произвольного поперечного сечения с нестационарным и неоднородным заполнением"

Распространение волн в неограниченных и ограниченных средах, диэлектрическая и магнитная проницаемости которых мощной волной накачки различной природы (электромагнитная волна, ультразвуковая волна и т.д.) периодически модулированы в пространстве и во времени по закону бегущей волны, представляет собой одну из основных задач электромагнитной теории.

Начало теоретических и экспериментальных исследований в этой области обычно связывают с именем Бриллюэна, который предсказал идею дифракции света в средах, модулированных с помощью волны накачки [1-2]. После выхода научных работ Е.С.Касседи, А.А.Олинера [3], К.А.Барсукова, Б.М.Болотовского [4-5] и Е.С.Касседи [6], в которых авторы рассматривали распространение электромагнитных волн и излучение движущихся источников в неограниченных средах с пространственно-временной периодичностью, исследования в электродинамике нестационарных и неоднородных неограниченных сред были продолжены в основном в трех важных направлениях. Первое направление связано с дальнейшими исследованиями различных аспектов и особенностей распространения электромагнитных волн и решениями граничных задач в периодически нестационарных и неоднородных неограниченных средах [7-25], [173175]. Второе направление связано с продолжением исследований переходного излучения и излучения Вавилова-Черенкова источников, движущихся в неограниченных периодически модулированных в пространстве и во времени средах [26-30]. Третье направление относится к анализу влияния не только основной модулирующей волны, но и ее гармоник на характеристики распространяющейся сигнальной волны [31-35].

Отметим, что наряду с появлением вышеуказанных работ, относящихся к электродинамике периодически нестационарных и неоднородных неограниченных сред, было также опубликовано большое количество работ, в которых авторы исследовали как различные аспекты распространения и излучения электромагнитных волн, так и особенности их отражения и прохождения в гармонически модулированных в пространстве или во времени неограниченных средах [36-70], [168], [171], [172], [180].

Позже, начиная с шестидесятых годов, в литературе стало появляться небольшое количество работ, посвященных вопросам электродинамики периодически нестационарных и неоднородных ограниченных сред. Они касались исследованию распространения электромагнитных волн и излучения источников в волноводах с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением [71-84].

Такой возросший интерес к периодически и многопериодически модулированным средам объясняется возможностью их широкого применения в различных областях электроники сверхвысоких частот (СВЧ электроника), микроэлектроники, тонкопленочной и интегральной оптики, физики ионосферы, радиолокационной океанографии, оптической голографии, акустооптики, интегральной и оптической электроники, рентгеновской дифрактометрии и т.д., благодаря двум важным свойствам периодически модулированных сред:

1) собственные волны в периодически модулированных средах представляют собой бесконечный набор пространственно-временных гармоник;

2) в периодически модулированных средах могут распространяться только волны, лежащие в пределах жестко ограниченных полос пропускания.

Так, например, ими пользуются при конструировании генераторов с распределенной обратной связью, полосовых фильтров, параметрических усилителей, нелинейных генераторов второй гармоники, модуляторов, антенн с периодически модулированной замедляющей структурой, многочастотных лазеров с распределенной обратной связью (РОС лазеров) и с распределенными брэггов-скими отражателями (РБО лазеров), брэгговских резонаторов и фильтров, преобразователей мод с использованием тонкопленочных волноводов, брэгговских отклоняющих устройств, преобразователей низкой и высокой частоты, оптических усилителей и генераторов бегущей волны, перестраиваемого акустического фильтра, решеточных устройств, призменных поляризаторов, двухлучепреломляющих фильтров, диффракционных решеток, голограмм, лазеров на свободных электронах, светофильтров Шольца и т.д. [45, 85-88, 183].

Излучение Вавилова-Черенкова, возникающего при равномерном движении источников, когда их скорость движения больше фазовой скорости света в среде, впервые теоретически рассмотрено И.М.Франком и И.Е.Таммом в 1937 году [89]. В 1946 году И.М.Франком и В.Л.Гинзбургом впервые был предсказан и теоретически исследован новый тип излучения движущихся источников, возникающего при их пересечении границы раздела сред с разными значениями диэлектрической проницаемости и названного переходным излучением [90].

Дальнейшее развитие теории переходного излучения связано с теоретическим обнаружением в 1959 году Г.М.Гарибяном в неограниченном пространстве [91] и К.А.Барсуковым в волноводе [92] рентгеновского переходного излучения, обладающего интересными физическими и практически используемыми свойствами (например, для регистрации и идентификации заряженных частиц высоких энергий). Были проведены всесторонние экспериментальные и теоретические исследования в этой области (см. [93-113], [176-179] и указанную там литературу).

Параметрическое взаимодействие различных типов волн (ультразвуковая волна, электромагнитная волна, альвеновская волна, плазменная волна и т.д.) в общем случае является нелинейным процессом. Но если одна из них значительно сильнее остальных, то допустимо линейное приближение. Влияние сильной волны накачки на среду, в которой она распространяется, можно учесть в виде изменений параметров среды. В большинстве случаев подобное влияние представляют в виде периодической модуляции в пространстве и во времени диэлектрической и магнитной проницаемостей среды в линейном приближении. Таким образом, среда с пространственно-временной периодичностью - эта линейная идеализация среды, физические свойства которой существенно нелинейны.

При исследовании распространения электромагнитных волн в периодически модулированных в пространстве и во времени средах физики-теоретики в основном пользуются следующими методами: методом, основанным на теории Флоке-Блоха (представление полей в виде бесконечного набора пространственно-временных гармоник [3], [6]), методом связанных мод Когельника [114], [13], [115] и модифицированным методом связанных мод [116].

Как уже отмечалось выше, вопросы электродинамики неограниченных периодически нестационарных и неоднородных сред довольно хорошо изучены, в то время как те же самые вопросы в волноводах с периодически нестационарным и неоднородным заполнением остаются еще мало изученными, и отсутствует достаточно строгая теория электродинамических явлений в подобных системах. Между тем исследования этих явлений представляют большой интерес и с точки зрения развития теории, и с точки зрения практического приложения волноводов с периодически модулированным заполнением в радиотехнике СВЧ.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию и построению аналитической теории распространения, отражения и прохождения электромагнитных волн, излучения движущихся источников в волноводах произвольного поперечного сечения с периодически нестационарным и неоднородным заполнением и призвана в определенной степени восполнить существующий в данной области пробел.

В первой части диссертационной работы рассматривается распространение свободных электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения, диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения которого сильной волной накачки модулированы в пространстве и во времени по гармоническому закону (рассматривается линейное приближение) (см. (1.29), (1.30)). Волновые уравнения относительно продольных составляющих Hz и Ez соответственно для поперечно-электрической (ТЕ) и поперечно-магнитной (ТМ) полей, получающихся из классических уравнений Максвелла-Минковского, представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с периодическими коэффициентами. Эти уравнения с помощью замены переменных, предложенной К.А. Барсуковым в работе [72], приводятся к дифи ференциальным уравнениям в частных производных относительно новых переменных, решения которых ищутся в виде разложений по ортонормированным собственным функциям первой и второй краевых задач для поперечного сечения волновода. В результате этого приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка, которые с помощью новой замены переменных преобразуются в дифференциальные уравнения Матье-Хилла. При решении последних основываемся на теорему Флоке, пользуясь предположением малости индексов модуляции заполнения волновода и ограничиваясь рассмотрением основной (нулевая) и первых боковых (минус и плюс первая) гармоник.

Полученные аналитические выражения для ТЕ и ТМ полей в случаях од-нопериодически и двупериодически нестационарного и неоднородного заполнения волновода оказываются справедливыми в довольно широкой области изменения параметров, характеризующих взаимодействие сигнальной волны с волной модуляции заполнения. Они позволяют далее исследовать особенности распространения ТЕ и ТМ волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в областях «слабого» (глава I) и «сильного» (глава II) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения. В узкой области синхронного взаимодействия этих волн (в области «sonic region»), ширина которой порядка индексам модуляции, удается найти только асимптотические выражения для полей и выяснить общий характер их поведения. Получены выражения для полей в приближении геометрической оптики, в случаях анизотропного модулированного заполнения и неограниченной нестационарной и неоднородной среды, а также в предельных случаях только неоднородного и только нестационарного заполнения волновода. В § 14 дано физическое объяснение эффекта сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода и получено выражение для частоты, вокруг которой имеет место это взаимодействие и происходит значительный энергообмен между нулевой и минус первой гармониками. В § 6 формулируется закон сохранения энергии в нестационарных и неоднородных средах (обобщенная теорема Умова-Пойнтинга).

Во второй части диссертационной работы, развитым в первой части методом строится аналитическая теория излучения источников, движущихся равномерно вдоль оси (глава III) и перпендикулярно оси (глава IV) регулярного волновода с немагнитным заполнением, диэлектрическая проницаемость которого модулирована в пространстве и во времени по гармоническому закону. Математически задачи сводятся к интегрированию неоднородных дифференциальных уравнений Матье-Хилла. Решая последние, основываясь на результаты первой части диссертационной работы, удается найти выражения для полей и потерь энергии источников на излучение в областях слабого и сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода. Проведен анализ дисперсионных уравнений и найдены спектры излучения движущихся источников. Исследованы особенности излучения в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода. Получены результаты в частных случаях стационарного неоднородного и стационарного однородного заполнения. В § 25 исследуется черенковское, переходное и «запертое» излучение заряженной частицы в однородной стационарной диэлектрической пластине в волноводе при ее равномерном движении через пластину перпендикулярно оси волновода.

Построению аналитической теории отражения и прохождения электромагнитных волн от границ периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводе посвящена третья часть диссертационной работы. На основании результатов, полученных в первой части диссертационной работы, решается задача распространения электромагнитных волн в волноводе, где помещена гармонически модулированная в пространстве и во времени диэлектрическая пластина. В предположении малого индекса модуляции пластины найдены поля, обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной и первых боковых гармониках в областях слабого (глава V) и сильного (глава VI) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. В § 29 проведен подробный анализ характера отражения и прохождения для гармонически модулированной пластины в неограниченном пространстве в области сильного взаимодействия в случаях прямой и обратной модуляции пластины. Рассматриваются также, как частный случай полубесконечного модулированного заполнения волновода, так и частный случай наличия в волноводе стационарной и гармонически неоднородной диэлектрической пластины.

В результате проведенного исследования выносятся на защиту следующие основные научные положения:

1. Параметрическое взаимодействие электромагнитных волн и излучения движущихся источников с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением в волноводе произвольного поперечного сечения может быть описано однородным и неоднородным обыкновенными дифференциальными уравнениями Матье-Хилла, которым удовлетворяют продольные составляющие магнитного (Hz) и электрического (Ez) векторов, выбранные в качестве потенциалов для поперечно-электрического (ТЕ) и поперечно-магнитного (ТМ) полей соответственно. Решение полученных уравнений методом разложения потенциалов Hz и Ez в ряд по собственным функциям второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода, дает возможность в единственном предположении малых индексов периодической модуляции диэлектрической и магнитной проницаемостей заполнения волновода получить достаточно простые аналитические результаты, справедливые в довольно широкой области изменения параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие распространяющейся сигнальной волны и волны излучения движущихся источников с модулированным заполнением волновода.

2. Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением представляются в виде набора пространственно-временных гармоник. В области слабого (не резонансного) взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода на основной гармонике амплитуда поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода, а на первых боковых гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени. В узкой области синхронного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения поле в волноводе модулируется только по фазе с периодом волны модуляции заполнения волновода.

3. При выполнении определенного условия существует частота, вокруг которой происходит сильное (резонансное) взаимодействие сигнальной волны с модулированным в пространстве и во времени заполнением волновода, когда происходит значительный энергообмен между ними. Ширина частотной области сильного взаимодействия мала и пропорциональна индексам модуляции заполнения волновода в первой степени. Оказывается возможным вывод аналитического выражения частоты сильного взаимодействия из физических соображений на основе требования выполнения условия Вульфа-Брэгга. Дисперсионное уравнение в области сильного взаимодействия имеет комплексные решения, приводящие к нестабильности соответствующих полей. В случае распространения сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода в одном направлении, сильное взаимодействие в первом приближении по индексам модуляции заполнения волновода происходит между нулевой и минус первой гармониками. В результате этого амплитуда на минус первой гармонике оказывается одного порядка с амплитудой волны на нулевой гармонике, в то время как амплитуда волны на плюс первой гармонике оказывается зависящей от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени. При распространении сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода в противоположных направлениях сильное взаимодействие происходит между нулевой и плюс первой гармониками.

4. В области слабого взаимодействия волны излучения источников с волной периодической модуляции диэлектрического заполнения волновода, когда направления движения источников и волны модуляции совпадают, амплитуда поля черенковского излучения на основной гармонике не зависит от индекса модуляции заполнения волновода, а амплитуды полей переходного излучения на первых боковых гармониках зависят от индекса модуляции заполнения волновода в первой степени. При этом потери энергии источников на черенковское излучение не зависят от индекса модуляции заполнения волновода, в то время как потери энергии источников на переходное излучение пропорциональны индексу модуляции заполнения волновода во второй степени. Спектр излучения существенным образом зависит от соотношения скорости движения источника и фазовой скорости света в невозмущенном заполнении волновода. Сильное взаимодействие между излученной волной и волной периодической модуляции заполнения волновода возможно в случае коротковолновой модуляции заполнения при выполнении условия возникновения черен-ковского излучения и когда источник обгоняет волну модуляции. Подобное взаимодействие происходит вокруг частоты сильного взаимодействия, аналитическое выражение для которой получается из физических соображений. Не-черенковские потери энергии источников в области сильного взаимодействия не зависят от индекса модуляции заполнения волновода и поэтому оказываются на несколько порядков больше, чем в области слабого взаимодействия.

5. В процессе излучения заряженной частицы, движущейся равномерно перпендикулярно оси прямоугольного волновода с периодически модулированным вдоль оси заполнением, появляется область, которая, по мере пролета заряженной частицы через волновод, движется по оси волновода со скоростью волны модуляции заполнения волновода. Из-за периодической нестационарности и неоднородности заполнения волновода в выражениях для потерь энергии частицы на излучение ТЕ и ТМ волн в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением помимо члена, не зависящего от индекса модуляции, появляются члены, зависящие от индекса модуляции в первой и во второй степенях. Спектр излучения заряженной частицы имеет сложный характер и включает спектр основного и дополнительного излучений на основной и на боковых гармониках. Возникновение излучения Вавилова-Черенкова в области сильного взаимодействия излучения со стационарным, но периодически неоднородным заполнением волновода возможно только при наличии в волноводе коротковолновой модуляции. В выражениях для потерь энергии излучения в этом случае в области сильного взаимодействия к известному члену черенковского излучения добавляется член, пропорциональный индексу модуляции заполнения в первой степени.

6. Черенковское и переходное излучение заряженной частицы при ее равномерном движении перпендикулярно оси прямоугольного волновода, где помещена нсмодулированная диэлектрическая пластина конечной толщины, отличается своими характерными особенностями. Наличие в волноводе диэлектрической пластины конечной толщины приводит к явно выраженным резонансным эффектам, и излученная энергия уменьшается с ростом номера волны. Черенковское излучение, генерируемое частицей в пластине вокруг определенной частоты в виде явно выраженного пика, запирается в нее из-за многократных отражений в пластине. Эффект «запертого» излучения с дискретным спектром существует и в определенной области частот переходного излучения. В этой области частот пластина является своеобразным резонатором с собственными частотами.

7. Разработанный в первой части диссертационной работы метод позволяет найти обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения для периодически модулированной в пространстве и во времени диэлектрической пластины в волноводе произвольного поперечного сечения при параметрическом взаимодействии сигнальной электромагнитной волны с модулированной пластиной. В области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной гармонике не зависят от индекса модуляции пластины, а на боковых гармониках они пропорциональны индексу модуляции пластины во второй степени. Формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для полубесконечного периодически модулированного заполнения волновода получаются из полученных общих результатов переходом к пределу при стремлении к бесконечности толщины модулированной пластины. Коэффициент отражения по мощности в области сильного взаимодействия сигнальной волны со стационарной, но неоднородной диэлектрической пластиной в неограниченном пространстве с ростом индекса модуляции быстрее стремится к единице, а коэффициент прохождения по мощности быстрее стремится к нулю по мере стремления толщины пластины к бесконечности.

8. В области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции диэлектрической пластины ( случай прямой модуляции) коэффициенты отражения и прохождения по мощности на минус первой гармонике в поле вне пластины оказываются не зависящими от индекса модуляции модулированной пластины. В случае обратной модуляции оказываются не зависящими от индекса модуляции пластины коэффициенты отражения и прохождения по мощности на плюс первой гармонике в поле вне пластины. Эффект усиления по мощности в отраженном поле возможен только для коротковолновой модуляции пластины.

9. Коэффициенты отражения и прохождения по мощности в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины в неограниченном пространстве в зависимости от толщины пластины имеют осциллирующий характер с резко выраженными главными и второстепенными максимумами. Огибающие главных максимумов являются возрастающими функциями в зависимости от толщины модулированной пластины с различными законами возрастания. В случае прямой модуляции максимальные значения коэффициента отражения по мощности на минус первой гармонике уменьшаются и по мере уменьшения индекса модуляции пластины при фиксированном значении диэлектрической проницаемости немодулированной пластины, и по мере возрастания значения диэлектрической проницаемости немодулированной пластины при фиксированном значении индекса модуляции пластины. В случае обратной модуляции имеет место эффект усиления по мощности в поле вне модулированной пластины при определенном значении индекса модуляции пластины, причем, по мере возрастания скорости волны модуляции пластины, коэффициент отражения по мощности растет и может стать намного больше единицы. Это открывает возможность использования периодически модулированной пластины в качестве параметрического усилителя в различных областях электроники СВЧ.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [122], [123], [126], [127], [139], [140], [141], [142], [143], [146], [147], [149], [150], [151]. [154], [155], [157], [158], [162], [163], [164], [165], [166], [167], [169], [170], [181], [182], [184].

ЧАСТЬ I. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД В ВОЛНОВОДАХ

Первая часть диссертационной работы посвящена исследованию распространения свободных электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения, диэлектрическая и магнитная проницаемости которого модулированы в пространстве и во времени.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ VI

1. Исследовано отражение и прохождение электромагнитных волн от периодически нестационарной и неоднородной диэлектрической пластины конечной толщины, помещенной в волновод произвольного поперечного сечения, в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. В предположении малого индекса модуляции пластины найдены коэффициенты отражения и прохождения по мощности на различных гармониках.

2. Показано, что когда направления распространения сигнальной волны и волны модуляции совпадают (прямая модуляция), то в поле вне пластины помимо нулевой гармоники важную роль играет и минус первая гармоника. Коэффициенты отражения и прохождения по мощности на минус первой гармонике в поле вне пластины оказываются не зависящими от индекса модуляции пластины.

3. Показано, что в случае распространения сигнальной волны и волны модуляции пластины в противоположных направлениях (обратная модуляция) в поле вне пластины помимо основной гармоники важную роль играет плюс первая гармоника и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на плюс первой гармонике оказываются не зависящими от индекса модуляции пластины. При этом эффект усиления по мощности на плюс первой гармонике возможен только для коротковолновой модуляции пластины.

4. Исследовано отражение и прохождение электромагнитных волн от периодически нестационарной и неоднородной пластины в неограниченном пространстве в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. Получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения по мощности на минус первой и на плюс первой гармониках соответственно в случаях прямой и обратной модуляции пластины. Проведен графический и численный анализ зависимости коэффициентов отражения и прохождения по мощности от различных параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие сигнальной волны с волной модуляции пластины в области сильного взаимодействия. Показано, что коэффициенты отражения и прохождения по мощности в области сильного взаимодействия в зависимости от толщины пластины имеют осциллирующий характер с резко выраженными главными и второстепенными максимумами, причем главные максимумы коэффициентов отражения по мощности больше соответствующих максимумов коэффициентов прохождения. При этом огибающие главных максимумов для коэффициентов отражения и прохождения на минус первой гармонике в случае прямой модуляции, и на плюс первой гармонике в случае обратной модуляции являются возрастающими функциями в зависимости от толщины модулированной пластины, причем законы возрастания в зависимости от значений параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие сигнальной волны с модулированной пластиной, могут быть разными.

5. Установлено, что в случае прямой модуляции максимальные значения коэффициента отражения по мощности на минус первой гармонике уменьшаются по мере уменьшения индекса модуляции пластины при фиксированном значении диэлектрической проницаемости немодулированной пластины. Аналогичное поведение максимальных значений коэффициентов отражения по мощности наблюдается, когда при фиксированном значении индекса модуляции значение диэлектрической проницаемости немодулированной пластины возрастает.

6. Показано, что в случае обратной модуляции коэффициент отражения по модности на плюс первой гармонике при определенном значении индекса модуляции пластины оказывается больше единицы, то есть имеет место эффект усиления по мощности в поле вне модулированной пластины. Установлено, что при фиксированном значении диэлектрической проницаемости немодулированной пластины по мере возрастания скорости волны модуляции пластины коэффициент отражения по мощности растет и может стать намного больше единицы. Это обстоятельство открывает возможность использования периодически нестационарной неоднородной пластины в качестве параметрического усилителя в различных областях микроэлектроники и электроники СВЧ.

7. Рассмотрено отражение и прохождение электромагнитных волн от периодически модулированной в пространстве диэлектрической пластины в волноводе произвольного поперечного сечения. Найдены формулы Френеля в области сильного взаимодействия сигнальной волны с модулированной пластиной. Получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения по мощности в зависимости от толщины пластины в области сильного взаимодействия сигнальной волны с модулированной пластиной и проведен их графический и численный анализ при различных значениях параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие сигнальной волны с периодически неоднородной пластиной в неограниченном пространстве. Показано, что с ростом индекса модуляции пластины коэффициент отражения по мощности быстрее стремится к единице, а коэффициент прохождения по мощности быстрее стремится к нулю по мере стремления толщины пластины к бесконечности.

194

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему:

2. Предложено при решении задач электродинамики периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводе произвольного поперечного сечения (задачи распространения, излучения движущихся источников, граничные задачи) в качестве потенциалов поперечно-электрического (ТЕ) и поперечно-магнитного (ТМ) полей выбрать продольные составляющие магнитного (Hz) и электрического (Ez) векторов соответственно. Полученные однородные и неоднородные волновые уравнения для указанных потенциалов в предположении малых индексов модуляции заполнения волновода сведены к однородным и неоднородным дифференциальным уравнениям Матье-Хилла, решения которых ищутся в виде разложения в ряд по собственным функциям второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода.

3. Показано, что поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением представляются в виде набора пространственно-временных гармоник с различными амплитудами. При этом в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода на основной гармонике амплитуда поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода, а на боковых гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени.

4. Получено условие, при выполнении которого имеет место сильное (резонансное) параметрическое взаимодействие между сигнальной волной и волной модуляции заполнения волновода, когда происходит значительный энергообмен между ними. Показано, что частотная ширина области сильного взаимодействия пропорциональна индексам заполнения волновода в первой степени. Из физических соображений на основе требования выполнения условия Вульфа-Брэгга первого порядка аналитически выведено выражение для частоты, вокруг которой происходит сильное взаимодействие между сигнальной волной и волной модуляции заполнения волновода. Дисперсионное уравнение в этой области имеет комплексные решения, приводящие к нестабильности соответствующих полей. Показано, что при совпадении направлений распространения сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода сильное взаимодействие происходит между основой и минус первой гармониками. При этом амплитуда волны на минус первой гармонике не зависит от индексов модуляции заполнения волновода и оказывается одного порядка с амплитудой волны на основной гармонике. Амплитуда волны на плюс первой гармонике при этом оказывается пропорциональным индексам модуляции заполнения волновода. При распространении сигнальной волны и волны модуляции заполнения волновода в противоположных направлениях сильное взаимодействие происходит между основной и плюс первой гармониками.

5. Исследовано излучение источников, движущихся равномерно вдоль оси волновода с периодически модулированным вдоль оси диэлектрическим заполнением. Методом, развитым в первой части диссертационной работы, неоднородные волновые уравнения в частных производных сведены к неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнениям Матье-Хилла. В предположении малого индекса модуляции заполнения волновода найдены поля движущихся источников в области слабого взаимодействия излучения с модулированными заполнением волновода. Показано, что амплитуда поля черенковского излучения на основной гармонике не зависит от индекса модуляции заполнения волновода, а амплитуды полей переходного излучения на первых боковых гармониках зависят от индекса модуляции заполнения волновода в первой степени. Полученные выражения для полных потерь энергии движущихся источников на излучение в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением волновода показывают, что черенковские потери не зависят от индекса модуляции заполнения волновода, в то время как потери энергии на переходное излучение пропорциональны индексу модуляции во второй степени.

7. Исследовано черенковское и переходное излучение заряженной частицы, движущейся равномерно перпендикулярно оси прямоугольного волновода (ось OZ) с периодически модулированным вдоль оси заполнением. Установлено, что при этом в волноводе появляется область, которая движется по оси волновода со скоростью волны модуляции заполнения по мере пролета заряженной частицы через волновод. Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в этом случае оказываются не симметричными по координате z. Показано, что из-за нестационарности и неоднородности заполнения волновода в выражениях для потерь энергии частицы на излучение ТЕ и ТМ полей в области слабого взаимодействия излучения с модулированным заполнением помимо члена, не зависящего от индекса модуляции, появляются члены, зависящие от индекса модуляции в первой и во второй степенях. Найден спектр излучения заряженной частицы и показано, что он имеет сложный характер и включает спектр основного и дополнительного излучений на основной и на боковых гармониках.

8. Получены потери энергии частицы на излучение в области сильного взаимодействия в случае стационарного и неоднородного заполнения волновода. Выяснено, что возникновение излучения Вавилова-Черенкова в области сильного взаимодействия возможно только при наличии в волноводе коротковолновой модуляции. Показано, что в выражениях для потерь энергии излучения в области сильного взаимодействия излучения с модулированным заполнением к известному члену черенковского излучения добавляется член, пропорциональный индексу модуляции заполнения в первой степени.

9. С целью выяснения влияния конечных размеров среды на излучение движущихся источников, исследовано черенковское и переходное излучение заряженной частицы при ее равномерном движении перпендикулярно оси прямоугольного волновода, где помещена немодулированная диэлектрическая пластина конечной толщины. Показано, что наличие в волноводе диэлектрической пластины приводит к явно выраженным резонансным эффектам и излученная энергия уменьшается с ростом номера волны. В случае тонкой пластины (длина волны в пластине много больше ее толщины) к энергии переходного излучения добавляется член, пропорциональный квадрату толщины пластины. Установлено, что вокруг определенной частоты в спектре переходного излучения появляется пик черенковского излучения при выполнении условия его возникновения. Определена ширина этого пика. Показано, что излучение, генерируемое частицей в пластине вокруг черенков-ской частоты, запирается в нее из-за многократных отражений в пластине. Выявлен эффект запертого излучения в пластине и в определенной области частот переходного излучения. Спектр запертого излучения оказывается дискретным, а пластина является своеобразным резонатором с собственными частотами.

10. Исследовано отражение и прохождение электромагнитных волн от периодически модулированной диэлектрической пластины конечной толщины, помещенной в волновод произвольного поперечного сечения. В предположении малого индекса модуляции пластины получены обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на различных гармониках в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции пластины. Показано, что коэффициенты отражения и прохождения по мощности на основной гармонике не зависит от индекса модуляции пластины, а на боковых гармониках они пропорциональны индексу модуляции пластины во второй степени. Переходом к пределу при стремлении толщины пластины к бесконечности получены обобщенные формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности на различных гармониках в случае полубесконечного периодически модулированного заполнения волновода.

11. Найдены аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения по мощности на различных гармониках в области сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции диэлектрической пластины в волноводе в предположении малого индекса модуляции пластины. Показано, что в случае прямой модуляции коэффициенты отражения и прохождения по мощности на минус первой гармонике в поле вне пластины оказываются не зависящими от индекса модуляции модулированной пластины. В случае обратной модуляции в поле вне пластины не зависят от индекса модуляции пластины коэффициенты отражения и прохождения по мощности на плюс первой гармонике. Установлено, что при этом эффект усиления по мощности на плюс первой гармонике возможен только для коротковолновой модуляции пластины.

12. Получены аналитические выражения коэффициентов отражения и прохождения по мощности на основной и на боковых гармониках в области сильного взаимодействия для периодически модулированной пластины в неограниченном пространстве в случаях прямой и обратной модуляций. Проведен графический и численный анализ зависимости коэффициентов отражения и прохождения по мощности от различных параметров, характеризующих параметрическое взаимодействие сигнальной волны с волной модуляции пластины в области сильного взаимодействия. Показано, что коэффициенты отражения и прохождения по мощности в области сильного взаимодействия в зависимости от толщины пластины имеют осциллирующий характер с резко выраженными главными и второстепенными максимумами. Огибающие главных максимумов являются возрастающими функциями в зависимости от толщины модулированной пластины с разными законами возрастания. Установлено, что в случае прямой модуляции максимальные значения коэффициента отражения по мощности на минус первой гармонике уменьшаются как по мере уменьшения индекса модуляции пластины при фиксированном значении диэлектрической проницаемости немодулированной пластины, так и по мере возрастания значений диэлектрической проницаемости немодулированной пластины при фиксированном значении индекса модуляции пластины.

14. Найдены формулы Френеля и коэффициенты отражения и прохождения по мощности для периодически модулированной в пространстве диэлектрической пластины в волноводе и в неограниченном пространстве в области сильного взаимодействия сигнальной волны с модулированной пластиной. Показано, что с ростом индекса модуляции модулированной пластины коэффициент отражения по мощности быстрее стремится к единице, а коэффициент прохождения по мощности быстрее стремится к нулю по мере стремления толщины пластины к бесконечности.

В заключении отметим некоторые возможные направления дальнейших исследований в области электродинамики нестационарных и неоднородных сред.

1. Представляется интересным исследование переходного излучения источников в периодически нестационарной и неоднородной пластине в волноводе при их движении вдоль и перпендикулярно оси волновода. Это может привести к выявлению любопытных эффектов.

2. Стоит применить разработанный в диссертации метод для рассмотрения вопросов устойчивости и неустойчивости заряженных пучков, движущихся в волноводе с периодически модулированным в пространстве и во времени заполнением.

3. Представляет большой интерес рассмотрение распространения и излучения электромагнитных волн в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным плазменным заполнением.

4. Стоит провести детальное исследование взаимодействия электромагнитных волн в волноводе с многопериодически нестационарным и неоднородным заполнением.

5. Интересно продолжить более детальные исследования распространения электромагнитных волн в волноводе с модулированным в пространстве и во времени анизотропным заполнением.

201

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Геворкян, Эдуард Аршавирович, Москва

1. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах: Перевод с французского. - М.: ИЛ, 1959. - 457с.

2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Перевод с английского. М.: Наука, 1973.-719 с.

3. Касседи Е.С., Олинер А.А. Дисперсионные соотношения для сред с пространственно-временной периодичностью. Часть I. Устойчивые взаимодействия // ТИИЭР. 1963. - Т. 51. - № 10 - С. 1330 - 1347.

4. Барсуков К.А., Болотовский Б.М. Об излучении заряженной частицы, движущейся в нестационарной неоднородной среде // Известия вузов. Радиофизика. 1964. - Т. 7. - № 2. - С. 291 - 299.

5. Барсуков К.А., Болотовский Б.М. Излучение осциллятора в неоднородной и нестационарной среде // Известия вузов. Радиофизика. — 1965. — Т. 8. № 4.-С. 760-767.

6. Касседи Е.С. Дисперсионные соотношения для сред с пространственно-временной периодичностью. Часть II. Неустойчивые взаимодействия // ТИИЭР. 1967. - Т. 55. - № 7. - С. 37 - 52.

7. Peng S.T., Cassedy E.S. Scattering of light waves at boundaries to parametri-cally modulated media. Proceedings of the Symposium on Modern Optics. Brooklyn. N.Y.: Politecnic Press. - 1967. - V. MRI - 17. - P. 299 - 342.

8. Cassedy E.S. Waves guided by a boundary with time-space periodic modulation // Proceedings of the IEEE. 1965. - V. - 112. - P. 269 - 279.

9. Holberg D.E., Kunz K.S. Parametric properties of fields in a slab of time-varying permittivity // IEEE. Transactions on Antennas and Propagation. — 1966. — V. AP — 14. — № 2. - P. 183- 194.

10. Сешадри C.P. Коэффициенты отражения и пропускания периодической диэлектрической пластины // ТИИЭР. -1978. Т. 66. - №6. - С. 86 - 87.

11. Chu R.S., Kong J.A. Modal theory of spatially periodic media // IEEE. Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1977. - V.MTT-25. - №1. -P. 18-24.

12. Quate C.F., Wilkinson D.W., Wilslow D.K. Interaction of light and microwave sound // Proceedings of IEEE. 1965. - V. 53. - P. 1604 - 1623.

13. Tamir Т., Wang H.C., Oliner A.A. Wave propagation in sinusoidally stratified media // IEEE. Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1964. — V. MTT 12. - P. 324 - 335.

14. Tamir T. Scattering of electromagnetic waves by a sinusoidally stratified half space. Часть II. Diffraction aspects at the Reyleigh and Bragg wave lengths // Canadian Journal of Physics. 1966. - V.44. - P. 2461 - 2494.

15. Burchhardt. Diffraction of a plane wave at a sinusoidally stratified dielectric grating // Journal of Optical Society of America. 1966. - V.56. - P. 1502 - 1509.

16. Chu R.S., Tamir T. Guided wave theory of light diffraction by acoustic microwaves // IEEE. Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 1969. - V. MTT - 17. - № 11.-P. 1002-1020.

17. Барсуков К.А., Звонников H.A. Отражение и прохождение электромагнитных волн на границе полубесконечной нестационарной и неоднородной среды // Известия АН Армянской ССР. Физика. 1975. -Т. 10 - №1 — С. 26-32.

18. Katsu Rokushima, Jiro Yamakita, Shizuo Mori, Kenji Tominaga. Unified approach to wave diffraction by space time periodic anisotropic media // Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 1987 - V. MTT - 35.-№l 1 — P. 937-945.

19. Аверков С.И., Болдин В.П. Волны в нестационарных неоднородных средах без дисперсии // Известия вузов. Радиофизика. — 1980. Т. 23 - № 9 — С. 1060- 1066.

20. Голокоз П.П., Обозненко Ю.Л. Амплитудная независимость брэгговской дифракции света на бегущей ультразвуковой волне // Радиотехника и электроника. 1987. - Т. 32. - Вып. 1.- С. 15 - 21.

21. Гулин О.Э., Темченко В.В. К вопросу о распространении волн в однородной среде с пространственно-временными периодическими неоднородно-стями // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 27.12.1988 № 9039 - В 88.

22. Купченко Л.Ф., Асташев Ю.В., Кийло О.И., Голтвянский И.Н. К вопросу об амплитудной независимости света при брэгговской дифракции на бегущей ультразвуковой волне // Радиотехника и электроника. — 1989. — Т. 34.-№7.-С. 1341 1346.

23. Аскне Дж. Обобщение закона Брэгга на пространственно-временные периодические среды // ТИИЭР. 1971. - Т. 59. - № 9. - С. 79 - 80.

24. Askne J. Electromagnetic wave propagation through time-space periodic cold plasma // International Journal of Electronics. 1971- V. 30. - P. 201 - 208.

25. Sailing He, Yidong Hu, Staffan Strom. Electromagnetic reflection and transmission for a stratified bianisotropic slab // IEEE. Transactions on Antennas and Propagation. -1994. V. AP. 42. - № 6. - P. 856 - 858.

26. Elachi Ch. Cerenkov and transition radiation in space-time periodic media // Journal of Applied Physics. 1972. - V. 43. - № 9.- P. 3719 - 3723.

27. Elachi Ch. Dipole antenna in space-time periodic media // IEEE. Transactions on Antennas and Propagation. 1972. - V. AP - 20. № 3. p. 280 - 287.

28. Elachi Ch. Electromagnetic wave propagation and wave-vector diagram in space-time periodic media // IEEE. Transactions and Antennas and Propagation. 1972. - V. AP - 20. - P. 534 - 536.

29. Гинзбург В.Л., Цитович B.H. О переходном рассеянии // ЖЭТФ. 1973. -Т. 65.-Вып. 5(11).-С. 1818-1824.

30. Колесов В.В. Об излучении электромагнитных волн в нестационарных и неоднородных магнитных средах // Известия вузов. Радиофизика. 1989. -Т. 32.-№10.-С. 1275-1284.

31. Рао. Распространение электромагнитной волны в диэлектрической среде, модулированной в пространстве и во времени нелинейной волной накачки // ТИИЭР. 1968. - Т. 65. -№9. - С. 244 - 245.

32. Рао. Параметрические взаимодействия в диэлектрической среде, модулированной в пространстве и во времени волной накачки, содержащей вторую гармонику // ТИИЭР. 1969. - Т. 57. - №12. - С. 85 - 87.

33. Гуляев Ю.В., Проклов В.В., Шкердин Г.Н. Дифракция света на звуке в твердых телах // УФН. 1978. - Т. 124. -№1. - С. 61 - 111.

34. Петрунькин В.Ю., Водоватов И.А. Многочастотная дифракция света на ультразвуке // Известия вузов. Радиофизика. 1984. - Т. 27. - №3. — С. 332-340.

35. Столяров С.Н. Брэгговское преобразование волн в однородных периодических структурах с учетом более высоких порядков теории возмущений // Физические основы твердотельных устройств обработки информации. — М.: МФТИ. 1989.-С. 37-41.

36. Хачатрян Б.В. Об излучении осциллятора, движущегося в неоднородной среде // Известия вузов. Радиофизика. — 1963. Т. 6. - №5. - С. 904 - 908.

37. Yeh С., Cassey K.F., Kaprielian Z.A. Transverse magnetic wave propagation in sinusoidally stratified dielectric media // IEEE. Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1965. - V. MTT - 13. - P. 297 - 302.

38. Tamir Т., Wang H.C. Scattering of electromagnetic waves by a sinusoidally stratified half-space // Canadian Journal of Physics. 1966. - V. 44. - P. 2073 -2093.

39. Casey K., Yeh C. Transition radiation in periodically stratified plasma // Physical Revue A. 1970.-V. 2.-P. 810-818.

40. Kogelnik H., Shank C.V. Stimulated emission in a periodic structure // Applied Physics Letters.-1971.-V. 18.-P. 152-154.

41. Аскарьян Г.А., Погосян B.A. Волны и силы в однородной среде, свойства которой меняются во времени // ЖЭТФ. -1973. Т. 65. - №1(7). - С. 117 -122.

42. Elachi Ch. Magnetic wave propagation in periodic media // IEEE. Transactions of Magnetism. 1975. - V. MAG. - 11. - P. 36 - 39.

43. Elachi Ch., Jaggard D., Yeh C. Transients in a periodic slab. Coupled waves approach // IEEE. Transactions on Antennas and Propagation. 1975. - V. AP -23.-P. 352-356.

44. Chu R.S., Tamir T. Bragg diffraction of Gaussian beams by periodically modulated media // Journal of Optical Society of America. 1976. - V. 66. - P. 220 - 226.

45. Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах. Обзор // ТИИЭР. 1976. - Т. 64. -№ 12. - С. 22 - 58.

46. Ruis Т.М., Wright C.L., Smith J. Characteristics of electromagnetic waves propagating in time varying media // IEEE. Transactions on Antennas and Propagation. 1978. - V. AP - 26. - № 2. - P. 358 - 361.

47. Seshadri S.R. First and second-order Bragg interactions on an active medium // Journal of Applied Physics. 1978. - V. 49. - № 2. - P. 562 - 568.

48. Jaggard D.L., Mickelson A.R. The reflection of electromagnetic waves from almost periodic structures // Applied Physics. 1979. - V. 9. - P. 405 - 412.

49. Chen Ch.H. An integral equation formulation of the direct scattering problem for an inhomogeneous slab // IEEE. Transactions on Antennas and Propagation. 1978. - V. AP - 26. - P. 797 - 800.

50. Chen Ch.H., Kiang Y.W. A variational theory for wave propagation in a one-dimensional inhomogeneous medium // IEEE. Transactions on Antennas and Propagation. 1980. - V. AP - 28. - № 6. - P. 762 - 769.

51. Джагард Д.JI. Векторные уравнения связанных мод для модулированных периодических сред // ТИИЭР. 1980. - Т. 68. - № 12. - С. 109 - 110.

52. Болотовский Б.М., Давыдов В.А., Рок В.Е. Об излучении электромагнитных волн при мгновенном изменении состояния излучающей системы // УФН. 1978. - Т. 126. - №2. - С. 311 - 321.

53. Столяров С.Н., Филатов Ю.А. Отражение электромагнитных волн от неоднородных слоев // Радиотехника и электроника. 1983. - Т. 28. - № 12. -С. 2330-2335.

54. Бондарев В.П. Отражение электромагнитных волн от пластины с модулированной диэлектрической проницаемостью // Известия вузов. Радиофизика. 1984. - Т. 27. -№ 12. - С. 1567 - 1574.

55. Гудзенко А.И., Сотин В.Е. Собственные волны двумерных прямоугольных решеток // Радиотехника и электроника. 1986. - Т. 31. - №12. — С. 2357-2363.

56. Бондарев В.П. К устойчивости электромагнитных колебаний в резонаторе, заполненном нестационарной средой // Известия вузов. Радиофизика. 1986. - Т. 29. - № 4. - С. 470 - 476.

57. Гудзенко А.И., Сотин В.Е. Брэгговское рассеяние на пластине с двухмерной периодической модуляцией показателя преломления // Радиотехника и электроника. 1987. - Т. 32. - № 12. - С. 2497 - 2505.

58. Копенкин А.Н., Кураев А.А., Слепян А.Я., Слепян Г.Я., Черепенин В.А. Аналитико-числовой метод исследования дифракции волн на периодических структурах с некоординатной формой периода // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33. - №2. - С. 247-254.

59. Карпов С.Ю., Столяров С.Н. Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью // УФН. 1993. -Т. 163. - №1. — С 63 - 89.

60. Карпов С.Ю., Константинов О.В., Райх М.Э. Модификационная теория возмущений для расчета зонной структуры в однородном периодическом потенциале // ФТТ. 1980. - Т. 22. - Вып. 11. - С. 3402 - 3408.

61. Мартынов Н.Н., Столяров С.Н. К теории распространения волн в периодических структурах // Квантовая электроника. 1978. - Т. 5. - Вып. 8. -С. 1853 - 1855.

62. Жиляев Ю.В., Константинов О.В., Панахов М.М., Романов Ю.Ф. Отражение плоской электромагнитной волны от границы среды с синусоидальной модуляцией диэлектрической проницаемости // ФТТ. 1977. - Т. 19. -Вып. 6.-С. 1798-1805.

63. Гуревич С.А., Карпов С.Ю., Портной E.JI. Фазовые особенности отражения света брэгговским зеркалом, обусловленные скачком диэлектрической проницаемости на его границе // Письма ЖТФ. 1985. - Т. 11. — Вып. 16.-С. 989-993.

64. Боготовский Б.М., Воловельский В.Е., Мартынов Н.Н., Столяров С.Н. Приближенные аналитические решения в периодически неоднородныхсредах и расчет коэффициента отражения: Препринт — № 101. ФИАН. М.: 1989.-44 с.

65. Давыдов В.А. К теории резонатора с нестационарным заполнением // Радиотехника и электроника. 1982. - Т. 27. - Вып. 7. - С. 1291 - 1293.

66. Костанян Ф.А., Мергелян О.С., Рахматуллаев P.M. Излучение движущихся зарядов в гиротропных неоднородных диэлектриках при наличии границ раздела // Известия АН Узбекской ССР. Серия физико-математических наук. — 1981.-№3.-С. 80-88.

67. Cassey K.F. Cerenkov radiation in a periodic laminar dielectric // Canadian Journal of Physics. 1968. - V. 46. - P. 1957 - 1966.

68. Cassey K.F. Dipole radiation in a periodically stratified medium // Canadian Journal of Physics. 1968. - V. 46. - P. 2543 - 2551.

69. Синицын В.Г. Потенциалы Герца для неоднородных сред // Радиотехника и электроника. 1992. - Т. 37. - № 9. - С. 1537- 1544.

70. Kasraian М., Seshadri S.R. Thin film devices based on second-order Bragg interaction // Journal of Applied Physics. 1993. - V. 73. - № 2. - P. 548

71. Sfifion J.C. Action of progressive disturbance on a guided electromagnetic wave // IRE. Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1960. - V. MTT - 8. - № l.-P. 18-29.

72. Барсуков K.A. К теории волновода с нестационарным заполнением // Радиотехника и электроника. 1964. - Т. 9. - № 7. - С. 1173 - 1178.

73. Elachi Ch., Yeh С. Periodic structures in integrated optics // Journal of Applied Physics. 1973. - V. 44. - P. 3146 - 3152.

74. Elachi Ch., Yeh C. Mode conversion in periodically disturbed thin-film waveguides // Journal of Applied Physics. 1974. - V. 45. - P. 3494 - 3499.

75. Elachi Ch., Evans G., Yeh C. Transversely bounded DFB lasers // Journal of Optical Society of America. 1975. - V. 65. - P. 404 - 412.

76. Elachi Ch., Evans G., Yeh G. Fiber and diffused waveguide structures for distributed feedback lasers // IEEE. Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1975. - V. MTT - 23. - P. 532 - 534.

77. Peng S.T., Tamir Т., Bertoni H.L. Theory of periodic dielectric waveguides // IEEE. Transactions on Theory and Techniques. 1975. — V. MTT - 23. - P. 123-133.

78. Seshadri S.R. TE-TE mode coupling at oblique incidence in a periodic dielectric waveguide // Applied Physics. 1981. - V. 25. - P. 211 - 220.

79. Benlarbi В., Russell P.St.J., Solymar L. Bragg diffraction of gaussian beams by thick gratings: numerical evaluations by plane-wave decomposition // Applied Physics. 1982. - V. 28. - № 4. - P. 383 - 390.

80. Крехтунов B.M., Тюлин B.A. Дифракция электромагнитных волн на двумерно-периодической волноводно-диэлектрической решетке // Радиотехника и электроника. 1983. - Т. 28. - С. 209 - 216.

81. Chapman J.M., Kevorkian J. Propagation of a laser beam in a time-vaiying waveguide // Journal of Applied Physics. 1978. - V. 49. - № 9. - P. 4722 -4736.

82. Granatstain V.L., Schlesinger S.P., Herndon M., Parker R.K., Pasour J.A. Production of megawatt submillimeter pulses by stimulated magneto Raman scattering // Applied Physics Letters. - 1977. - V. 30. - №8. - P. 384 - 386.

83. Tseng S.C.C., Reisinger A.R., Geiss E.A., Powell C.L. Mode conversion in magneto-optic waveguides subjected to a periodic permalloy structure // Applied Physics Letters. 1974. - V. 24. - P. 265 - 267.

84. Гайдук В.И., Палатов К.И., Петров Д.М. Физические основы электроники СВЧ. М.: Советское радио, 1971.-600 с.

85. Ярив А. Квантовая электроника и нелинейная оптика: Перевод с английского. М.: Советское радио, 1973. - 455 с.

86. Волноводная оптоэлектроника / Под редакцией Т.Тамира: Перевод с английского. М.: Мир, 1991. - 575 с.88