Применение методов теории операторов в исследовании волноведущих систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

1 Задача возбуждения электромагнитного волновода.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Спектральная задача.

1.3 Решение задачи возбуждения волновода.

1.4 Счетность частот отсечки.

1.5 Моды полого волноводу.

1.6 Излучение в ближнюю зону.

1.7 Вещественные собственные значения.

1.8 Применение смешанных конечных элементов

2 Задача рассеяния на неоднородности в волноводе.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Применение вариационного метода для задачи рассеяния на проницаемом теле.

2.3 Спектральные свойства задачи рассеяния.

2.4 Ловушечные моды гофрированного волновода.

2.5 Собственные значения оператора Лапласа в деформированных полосах.

2.6 Периодические структуры.

2.7 Применение принципа Релея к задаче о рассеянии в диэлектрическом слое и задаче о периодических системах.

3 Задача рассеяния в нерегулярном электромагнитном волноводе.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Полнота системы нормальных волн

3.3 Парциальные условия излучения.

3.4 Вариационная постановка задачи.

3.5 Задача рассеяния в полом волноводе.

3.6 Рассеяние на диэлектрическом теле.

3.7 Применение принципа Релея.

3.8 О разрешимости задачи рассеяния.

3.9 Представление поля в виде разложения по функциям Боргниса.

Математические задачи теории волноводов являются предметом непрерывных исследований в области теоретической физики, математической физики и математического моделирования. Это связано в первую очередь с большим практическим значением исследования процессов распространения волн в волноведущих системах в связи с задачами проектирования радиофизических и акустических устройств. С другой стороны, строгие математические модели теории волноводов приводят к новым неклассическим задачам, имеющим фундаментальное значение для развития собственно математической физики и математического моделирования [1].

Первые исследования по теории волноводов были посвящены изучению задач, допускающих аналитическое решение. Основным предметом исследования являлись задачи, обладающие специальной симметрией, для которых изучался вопрос о существовании решений в виде бегущих волн. В этих работах [2]-[4] была доказана принципиальная возможность передачи энергии по волноводам. В работах [5]-[8] впервые рассматривались некоторые случаи задачи об излучении тока в волноводе, в частности рассматривалась задача для электрических и магнитных диполей в волноводе прямоугольного и круглого сечения.

Работами, ознаменовавшими новый этап в развитии теории волноводов, явились работы А.А.Самарского и А.Н.Тихонова 1947-1948 гг. [9]

11]. В этих работах задача о возбуждении полого волновода была рассмотрена в общей математической постановке без специальных предположений о форме сечения волновода. При этом был получен ряд фундаментальных результатов. Прежде всего, было установлено существование решения задачи возбуждения волновода сторонним током. Был исследован вопрос о представимости произвольного поля в волноводе в виде ряда по системе нормальных волн и строго доказана возможность подобного разложения. После этих работ, теория волноводов становится не только областью теоретической физики, но и разделом математики.

Необходимо отметить работы П.Е.Краснушкина [12]-[16], в которых был рассмотрен Ьолыпой круг вопросов, связанных с распространением волн в неоднородных средах, в частности с передачей волн по волноводам. Особенностью рассмотрения задач в волноводах является то, что область, в которой рассматривается задача, является неограниченной, по крайней мере, в одном направлении. А в так называемых открытых волноводах областью, в которой рассматривается задача, служит все трехмерное пространство. В связи с этим, необходимо поставить условия излучения, описывающие поведение решения на бесконечности. Применяются различные принципы излучения, такие как принцип предельного поглощения, принцип предельной амплитуды и условия излучения типа условий Зоммерфельда. Для задачи, описываемой уравнением Гельмгольца в полосе и цилиндре, условия излучения впервые были поставлены в работе А.Г.Свешникова [17]. Подобные условия излучения, называемые парциальными условиями излучения особенно удобны при постановке и изучении задач о волноводах, поскольку позволяют свести задачу в бесконечной области к внутренней краевой задаче с краевыми условиями неклассического типа.

В связи с широким применением не только полых волноводов, но и волноводов, заполненных средой, либо открытых волноводов, большое количество работ посвящено исследованию подобных систем. Основную сложность при рассмотрении подобных задач, в отличие от задач для полых волноводов, представляет несамосопряженный характер задачи. При исследовании задач о возбуждении и распространении электромагнитного поля по металло-диэлектрическим волноводам, с характеристиками не изменяющимися по оси волновода необходимо подчеркнуть прежде всего роль работ П.Е.Краснушкина и Е.И.Моисеева, А.С.Ильинского, Ю.В.Шестопалова и Ю.Г.Смирнова [12],[18]-[26]. В то время как изучение задачи о нормальных волнах полого волновода может быть сведено к рассмотрению краевой задачи для уравнения Гельм-гольца, для волновода, заполненного средой с изменяющимися характеристиками, это оказывается невозможным. При этом, применяются различные методы сведения системы уравнений Максвелла к рассмотрению уравнений второго порядка. В работах А.С.Ильинского, Ю.В.Шестопалова и Ю.Г.Смирнова рассматривается класс задач с кусочно постоянной диэлектрической проницаемостью. Исследуемая задача сводится к двум уравнениям Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного поля. В то же время спектральный параметр входит в граничные условия и условия сопряжения на поверхностях разрыва диэлектрической проницаемости. В результате рассматривается спектральная задача с нелинейным вхождением спектрального параметра. В работах Ю.В.Шестопалова и А.С.Ильинского [21] на основе этой постановки были установлены области локализации спектра, более того, была доказана непустота дискретного спектра для определенных задач как для экранированных волноводов, так и для открытых волноводов. В работах Ю.Г.Смирнова [22]-[25] исследовался вопрос о полноте собственных и присоединенных векторов волновода. При этом для двухслойного волновода прямоугольного сечения удалось свести задачу к возмущению квадратичного операторного пучка Келдыша и установить двукратную полноту собственных и присоединенных векторов. В работе П.Е.Краснушкина и Е.И.Моисеева [12] использовался другой подход. Система уравнений Максвелла сводилась к уравнениям относительно поперечных составляющих электрического и магнитного поля. Для случая волновода круглого сечения с зависимостью характеристик среды только от радиальной координаты, задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом задача сводится к квадратичному операторному пучку Келдыша. Установлена двукратная полнота системы собственных и присоединенных векторов и рассмотрена задача о возбуждении волновода. Для задачи возбуждения показана возможность построения приближенного решения сколь угодно близкого к точному по невязке. В то же время, несмотря на значительное продвижение в теории регулярных волноводов с неоднородным заполнением, в этих работах исследованы достаточно частные случаи задачи.

Необходимо отметить значительное продвижение в теории упругих волноводов. В работах И.И.Воровича и В.А.Бабешко [27] рассмотрены различные принципы излучения для упругой полу по л осы. Задаче возбуждения упругого полуцилиндра посвящены работы А.Г.Костюченко, А.Гараджаева и Б.М.Оразова [28]-[30]. При этом проведено исследование как спектральных свойств, так и вопроса о разрешимости задачи с условиями излучения на бесконечности. Трудности, обуславливающие отсутствие аналогичных результатов в электродинамике связаны со структурой уравнений Максвелла. Исследование спектральной задачи для системы уравнений Ламе в задаче о возбуждении полуцилиндра приводит к спектральной задаче для квадратичного самосопряженного пучка компактных операторов. Аналогичный вид можно придать задаче и в электродинамике. Однако операторы, в данном случае не будут компактными.

Наряду с теорией регулярных вдоль оси волноводов развивается теория нерегулярных волноводов [31]-[45], т.е. либо волноводов, заполненных средой, характеристики, которой изменяются вдоль продольной координаты, либо волноводов, геометрия которых не являются всюду цилиндрической. Такими являются, например, изогнутые волноводы, либо локально расширяющиеся или сужающиеся деформированные цилиндры, представляющие собой участки сочленения двух волноводов различного сечения. При изучении процесса распространения поля по волноводам был предложен ряд методов, из которых особо отметим метод поперечных сечений, предложенный С.А.Щелкуновым, и развивавшийся в работах Б.З.Каценеленбаума, [44]-[45] и неполный метод Галеркина, применение которого к задаче расчета нерегулярного волновода было предложено в работах А.Г.Свешникова [32]-[35]. При этом применение неполного метода Галеркина позволило не только вычислять поле в волноводе при помощи ЭВМ, но и установить энергетические оценки, из которых в случае наличия в среде поглощения, следует существование и единственность решения [35]. Вопрос о возможности применения принципа предельного поглощения, т.е. перехода к пределу для решения при стремлении мнимой части диэлектрической и магнитной проницаемости к нулю является весьма сложным, и в настоящее время решение этой задачи в общем случае отсутствует. Для частного случая регулярного волновода принцип предельного поглощения был обоснован в работе [31]. В нерегулярном волноводе возможно существование решений однородных уравнений, локализованных вблизи неоднородности. Впервые в работе Ф.Релиха 1948 г. [46] было доказано существование подобных решений для оператора Лапласа с условиями Дирихле в полуцилиндре, соединяющемся с телом достаточно большого объема. При этом, особенностью задачи является то, что подобные решения отвечают вещественным, а не комплексным с малой мнимой частью, как в открытых резонаторах, собственным значениям, и соответствующие собственные функции имеют конечную энергию. После фундаментальной работы Релиха последовала работа Д.Джонса 1953 г. [47], в которой был доказан ряд принципиальных результатов для локально расширяющихся цилиндров. Рассматривалась опять задача для оператора Лапласа с условиями Дирихле. При этом было доказано отсутствие точек сгущения собственных значений.

Подобные решения получили название ловушечных мод. Ловушеч-ные моды были обнаружены в различных задачах акустики, квантовой механики и теории упругости [48]-[57]. К примеру в работе П.Экснера и П.Шебы [53] обнаружено существование изолированного собственного значения для случая локально гладко изогнутой полосы. В работе [56] получен аналогичный результат для L - образной полосы. Одновременно в 1989 г. [58] А.С. Сухининым была рассмотрена задача об операторе Лапласа с условиями Неймана в полосе с разрезом параллельным оси волновода, на котором ставятся условия Неймана. При этом доказано существование по крайней мере одного собственного значения, которое оказывается при постановке условий Неймана, погруженным в непрерывный спектр. Данная задача соответствует задаче о рассеянии звуковой волны на пластине в канале. Большой интерес вызывают спектральные свойства задачи о рассеянии акустической волны на произвольном препятствии в канале. В работе Д.В.Эванса, М.Левитина, Д. Васильева [55] для случая, когда препятствие является симметричным относительно оси волновода, установлен критерий существования по крайней мере одного собственного значения. В работе 1997 г. В.Буллы, Ф.Гестези, В.Ренгера и Б.Саймона [54] рассмотрена задача для деформированной полосы с условиями Дирихле и установлен критерий существования изолированной точки дискретного спектра. Для установления непустоты дискретного спектра применялось два метода. Первый связан с применением принципа Релея для неограниченных операторов. Второй заключается в сведении исходной задачи к уравнению типа уравнения Шре-дингера в полосе и применению принципа Ьирмана-Швингера. При этом устанавливается существование изолированной точки дискретного спектра, расположенной ниже границы непрерывного спектра. Этот эффект исследовался в дальнейшем рядом авторов [54],[57], получившими в том числе асимптотические оценки собственного значения. Значительное количество работ посвящено сведению задачи для нерегулярного волновода к применению результатов для оператора Шредингера.

Для задач о рассеянии в канале для рассматриваемой геометрии препятствия рассматривается дополнительное условие Дирихле на оси канала, что приводит к поднятию границы непрерывного спектра. В то же время вопрос о дискретном спектре, расположенном выше границы непрерывного, в целом не исследован.

К данному классу задач по используемым методам изучения примыкает вопрос о распространении волн вдоль решеток и периодических систем. Следует отметить ограниченное число строгих результатов, полученных при исследовании периодических систем [63]-[67]. Часто применяется подход, основанный на замене периодической гофрированной границы прямолинейной с импедансным условием [62]. Однако этот метод позволяет исследовать волны лишь для периодических поверхностей с малой глубиной гофра, причем частота должна быть мала. Этот метод не получил какого-либо обоснования.

Начиная с работ [34],[35] большое внимание привлекают вопросы математического моделирования в теории волноводов. При этом широкое применение получили проекционные методы. Различные результаты, полученные при применении метода Галеркина в случае базисных функций с нелокальным носителем нашли отражение в [59]. Применение метода конечных разностей применительно к векторным операторам было начато в работах В.И.Лебедева [68]-[69^ Начиная с 70-х годов, популярность приобретает применение вариационно-разностных методов, в частности метода конечных элементов. Применение стандартного метода лагранжевых конечных элементов приводило, однако, к возникновению решений нефизического типа - "духов" [70]-[71]. С конца 80-х широкую популярность приобрел метод смешанных конечных элементов. Метод смешанных конечных элементов был предложен в работе Равья-ра и Тома 1976 г. [72] в связи с проблемой аппроксимации векторного поля в пространстве H(div). Проблема аппроксимации векторных полей встает в связи с различными задачами математической физики. В этой работе рассматривалось двумерное пространство. Для трехмерных задач смешанные конечные элементы были построены в работе Неделека [73],[74]. Смешанные конечные элементы применялись к задаче расчета мод волноводов в большом количестве работ [75]-[81], в которых задача рассматривается в различных математических постановках.

В то же время эти работы посвящены вычислительным и алгоритмическим вопросам, возникающим при решении задачи. Математическое исследование задачи проводилось в работе А.Бермудеса и Д.Педрейры [82], а также в работе [83]. Однако в этих работах использовалась некоторая модельная постановка задачи, которая рассматривается как спектральная задача относительно частоты поля, а не постоянной распространения. Это приводит к задаче для самосопряженного оператора, в то время как типичные спектральные задачи теории волноводов не являются самосопряженными. В целом, анализ задачи основан на применении к данной задаче результатов работы Деклу, Нассифа и Раппаза [84], в которой установлен критерий сходимости собственных значений и корневых векторов при применении проекционного метода для случая несамосопряженного некомпактного оператора.

Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач.

1. Постановка и исследование задачи излучения и распространения волн в регулярном электромагнитном волноводе. Исследование спектральных свойств задачи. Доказательство полноты системы корневых векторов волновода. Определение области локализации и асимптотики собственных значений и доказательство существования вещественных собственных значений. Постановка условий излучения и исследование проблемы разрешимости задачи возбуждения волновода. Доказательство существования и единственности решения в определенном функциональном классе. Выделение класса токов, излучающих поле в ближнюю зону и не возбуждающих бегущие волны.

2. Исследование задачи дифракции в нерегулярном акустическом волноводе и ее спектральных свойств. Применение вариационного метода для различных задач о нерегулярных волноводах, таких как волновод с проницаемым рассеивателем, локально расширяющийся волновод, вол-новодный тройник, волновод с идеально жестким препятствием и ряда других. Разработка единого метода исследования этих задач. Вариационный учет парциальных условий излучения. Доказательство фред-гольмовой разрешимости задачи рассеяния в нерегулярном волноводе. Доказательство непустоты дискретного спектра нерегулярного волновода, т.е. доказательство существования так называемых ловушечных мод. Выделение класса волноводов, в которых существует бесконечное число ловушечных мод. Применение разработанного метода к задаче о распространении волн вдоль периодических линий.

3. Постановка и исследование задачи дифракции в нерегулярном электромагнитном волноводе. Применение вариационного метода и учет условий излучения. Доказательство фредгольмовой разрешимости задачи рассеяния в нерегулярном полом волноводе. Доказательство существования ловушечных мод в полом волноводе с определенной геометрией сечения. Исследование задачи о рассеянии на диэлектрическом теле. Доказательство существования бесконечного числа ловушечных мод для определенного типа диэлектрических тел.

4. Математическое изучение вопросов применения вариационно-разностных методов в теории волноводов. Доказательство отсутствия нефизических решений при применении метода смешанных конечных элементов. Исследование вопроса о сходимости собственных значений и корневых подпространств дискретной задачи к собственным значениям и корневым подпространствам дифференциальной.

Работа состоит из 3 глав, введения и заключения. Объем работы составляет 210 стр., включая 8 рис. и списка литературы, содержащего 154 работы.

Перейдем к краткому описанию содержания работы.

В первом параграфе первой главе предложена новая математическая постановка задачи о регулярных электромагнитных волноводах [89],[90]. В математической электродинамике, при рассмотрении полей с гармонической зависимостью от времени, в качестве основных рассматриваются вихревые уравнения Максвелла. Уравнения для операторов дивергенции при не равной нулю частоте электромагнитного поля рассматриваются в качестве их следствий. В диссертационной работе применяется принципиально иной подход. Считаем, что ось z направлена вдоль оси волновода.

Вместо рассмотрения задачи относительно пары векторов Н = (Нх, Ну, Hz) и Е = (Ех, Еу, Ez) задача рассматривается относительно векторов А\ = [Bx,By,Ez) и А2 = (Dx,Vy,Hz). В качестве основных выбираются уравнения для дивергенций и те четыре уравнения из вихревых уравнений, в которые входят производные по координате z. Оставшиеся два уравнения являются следствиями основных уравнений при определенных дополнительных условиях и выступают в качестве дополнительных дифференциальных условий.

Во втором параграфе изучается спектральная задача теории регулярных волноводов. Исследование вопроса о решениях модового вида однородной системы уравнений Максвелла в определенном функциональном пространстве приводит непосредственно к рассмотрению спектральной задачи для операторного пучка Келдыша [89]-[90]. При этом для волновода произвольного поперечного сечения, с неоднородным и анизотропным в поперечном сечении заполнением доказана полнота системы собственных и присоединенных векторов волновода. Установлены область локализации и асимптотика спектра [93],[95]. Доказано, что спектр задачи расположен симметрично относительно вещественной оси и асимптотически приближается к отрицательной полуоси. Для исследования спектральных свойств задачи в работе доказаны теорема о декомпозиции двумерного векторного поля и специальная теорема вложения [90],[93].

Третий параграф посвящен постановке условий излучения и доказательству существования решения задачи возбуждения волновода. Прежде всего доказана теорема о разложении вектора тока на ток, возбуждающий поле лишь в ближней зоне, тождественно равное нулю в дальней зоне и ток, возбуждающий бегущие и затухающие нормальные волны [89],[90]. Отметим, что в работе П.Е.Краснушкина и Е.И.Моисеева [12], применяемая постановка позволяет вычислять поле только в дальней зоне в случае произвольной компоненты jz, являющееся комбинацией нормальных волн.

При рассмотрении задачи о возбуждении волновода с неоднородным в поперечном направлении заполнением непосредственная постановка парциальных условий излучения сталкивается с необходимостью доказательства сходимости разложений по системе собственных и присоединенных векторов волновода. В настоящее время вопрос о том, является ли система собственных и присоединенных векторов операторного пучка Келдыша базисом остается открытым [124]. В связи с этим мы ставим условия излучения следующим образом. Будем требовать, чтобы поле, возбуждаемое в волноводе в дальней зоне было представимо в виде суммы конечного числа бегущих волн и вектора, описывающего затухающую часть поля, и являющегося элементом пространства Li. Для решения задачи возбуждения, ток, возбуждающий бегущие и затухающие волны представляется в виде суммы двух частей, для каждой из которых рассматривается своя краевая задача. Для тока, возбуждающего бегущие волны, в качестве краевых условий ставятся парциальные условия излучения. При этом задача сводится к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для тока возбуждающего затухающие волны в качестве краевого условия выступает требование принадлежности решения L2. В результате удается доказать существование решения задачи о возбуждении неоднородного волновода.

В четвертом параграфе рассматривается вопрос о частотах отсечки, т.е. значениях частоты к, которым соответствуют решения однородных уравнений Максвелла, не зависящие от продольной координаты z. Доказано существование счетного числа частот отсечки с точкой сгущения на бесконечности, установлена асимптотика частот отсечки. Изучение поведения частот отсечки является важным, поскольку рассмотрение задачи возбуждения волновода возможно лишь при частотах не равных частотам отсечки.

В пятом параграфе доказано, что система корневых векторов полого волновода не только полна, но и является базисом. В этом случае квадраты постоянных распространения являются вещественными, присоединенные векторы отсутствуют. В рассматриваемом случае собственные векторы являются ортогональными. При этом, собственные векторы выражаются через собственные функции задачи Дирихле и Неймана, рассматриваемой в поперечном сечении.

Шестой параграф посвящен рассмотрению вопроса о токе, возбуждающем поле в ближней зоне, и не возбуждающего бегущие волны. При этом рассматривается система уравнений первого порядка.

В седьмом параграфе доказано существование вещественных собственных значений. Для доказательства задача рассматривается относительно частоты поля, в то время как постоянную распространения считаем заданной. Рассматриваемая задача сводится к спектральной задаче для самосопряженного оператора.

Восьмой параграф посвящен исследованию вопроса о применении метода конечных элементов в спектральной теории волноводов. Изучается вопрос о применении смешанных конечных элементов к задаче вычисления мод волновода с диэлектрическим заполнением. При этом рассматривается спектральная задача для несамосопряженного некомпактного оператора. В работе доказана сходимость собственных значений и корневых векторов, дискретной задачи к решениям дифференциальной. Основным моментом доказательства является теорема вложения для векторных функциональных пространств.

Вторая глава посвящена исследованию задачи рассеяния в нерегулярном акустическом волноводе и задаче рассеяния в электромагнитном волноводе в скалярном приближении. Основное внимание уделено изучение спектральных свойств задачи. Для постановки задачи используются парциальные условия излучения, введенные в [34]-[35] А.Г.Свешниковым, позволяющие перейти от рассмотрения задачи в цилиндре к задаче в ограниченной области с краевыми условиями нелокального вида.

Задача описывается уравнением типа Гельмгольца. При этом не вводятся предположения о наличии затухания у препятствия. В работе доказана фредгольмова разрешимость задачи. Основным моментом, используемым при изучении задачи, является введение специального функционального пространства в определение которого входит учет парциальных условий излучения.

В то же время могут существовать частоты, при которых задача неразрешима. Этим частотам соответствуют решения однородной задачи, называемые ловушечными модами [49], которые локализованы вблизи неоднородности и имеют конечную энергию. Вопрос о существовании подобных решений имеет принципиальное значение [60]. Это связано со следующим неклассическим характером задачи. Непрерывный спектр занимает полуось [&i,oo), к\ > 0, где к\ - наименьшая частота отсечки. При этом лишь конечное число собственных значений может быть расположено в промежутке (0, ki). Таким образом, в случае существования бесконечного числа собственных значений, у которых отсутствуют, как было показано Д.Джонсом [47],конечные точки сгущения, они оказываются погруженными в непрерывный спектр. Одним из первых примеров задачи математической физики с собственными значениями, погруженными в непрерывный спектр, явилась спектральная задача для оператора Шредингера с медленно убывающим осциллирующим потенциалом, построенным Вигнером и Фон Нейманом [125]. Другим примером является задача о ловушечных модах в канале со свободной поверхностью, которые были открыты Урселом в 1951 г. [126] и исследовались Кузнецовым, Мотыгиным, Эвансом, Макайвером и другими [128]-[130]. Однако принципиальным является то, что во всех этих задачах существует лишь конечное число собственных значений, погруженных в непрерывный спектр.

В первом параграфе рассматривается постановка задачи о рассеянии на проницаемом акустическом препятствии в волноводе с идеально мягкими и идеально жесткими стенками. Вводятся условия излучения и задача в бесконечном цилиндре сводится к задаче в конечной области с неклассическими краевыми условиями.

Во втором параграфе применяется вариационный метод для задачи рассеяния на проницаемом препятствии в волноводе. В работе вводится функциональное пространство специального типа со скалярным произведением, учитывающим условия излучения вариационным способом [91]. Доказанная лемма о полноте введенного функционального пространства позволяет применять вариационный метод к исследованию задачи. Это позволяет доказать фредгольмову разрешимость задачи.

Третий параграф посвящен спектральным свойствам задачи. Основным результатом является доказательство существования собственных значений. Исходная задача в цилиндре сводится к задаче с вхождением спектрального параметра в уравнение Гельмгольца и нелинейным вхождением в граничные условия. Для установления этого результата разработан метод, основанный на рассмотрении вспомогательной задачи относительно нового спектрального параметра. Исследуя зависимость этого параметра от частоты поля доказывается существование собственного значения исходной задачи. Доказывается, что обобщенное решение краевой задачи с парциальными условиями излучения является классическим.

Четвертый параграф посвящен обнаруженному эффекту существования ловушечных мод в гофрированных волноводах. При этом поле ло-вушечной моды убывает степенным, а не экспоненциальным образом.

В пятом параграфе рассмотрено применение принципа Релея к задаче о рассеянии на диэлектрическом теле погруженном в диэлектрический слой в волноводе. Задача рассматривается в скалярном приближении. Установлена граница непрерывного спектра. Доказана непустота дискретного спектра.

В шестом параграфе рассматривается применение метода, разработанного в третьем параграфе к различным задачам теории нерегулярных волноводов. Исследована задача об акустическом волноводе с абсолютно жестким препятствием. Установлен критерий, позволяющий определить, области частот возникновения ловушечных мод. В том числе рассмотрен случай, когда препятствием является абсолютно жесткая пластина. Рассмотрена задача о согнутой полосе. При этом допускается наличие угловых точек на границе полосы. В применявшихся ранее методах [53],[57] необходимым условием была гладкость границы. Изучена задача о* локально расширяющемся волноводе при произвольном неосе-симметричном расширении. Исследована задача о волноводном тройнике. При этом оказывается возможным изучение задач достаточно единообразным методом. Основным результатом является доказательство существования собственных значений. Приведены примеры задач с точками дискретного спектра, погруженными в непрерывный.

В седьмом параграфе рассматривается применение рассмотренного метода к вопросу о существовании бегущих волн, распространяющихся вдоль периодических структур. Рассмотрена как задача для периодической структуры из проницаемых тел, так и задача о решетке из упругих тел. Задача рассматривается в двумерном и трехмерном случае. В работе доказано существование решений с условиями Флоке и антипериодических решений.

В третьей главе рассматриваютя задачи о нерегулярных электромагнитных волноводах. Исследуется проблема разрешимости задачи рассеяния и спектральная задачи.

В первом параграфе рассматривается трехмерная электродинамическая постановка задачи.

Второй параграф посвящен постановке условий излучения. Представимость произвольного решения уравнений Максвелла в виде суммы ТЕ и ТН мод была доказана в работе А.Н.Тихонова и А.А.Самарского путем построения потенциалов Герца по продольным компонентам электрического и магнитного поля. В работе дано доказательство подобной представимости при помощи функций Боргниса.

Третий параграф посвящен исследованию вопроса о полноте модовых решений вида Hn(x,y)el'inZ в в поперечном сечении волновода. При поиске решений подобного вида задачи для уравнения rotrotH — к2Н = О приходим к спектральной задаче для квадратичного операторного пучка, рассматриваемой относительно постоянной распространения уп. Доказано, что система собственных векторов Нп, отвечающих как положительным, так и отрицательным 7 полна в поперечном сечении в пространстве (L2)3, в то время как система собственных векторов, соответствующих только положительным, или только отрицательным 7, т.е. собственным векторам, связанным с переносом поля в +оо или — оо в поперечном сечении, не полна в (Дг)3 В то же время решение однородной системы уравнений Максвелла представимо в виде ряда по системе собственных векторов, соответствующих волнам бегущим в одном направлении.

В четвертом параграфе рассматриваются вариационные постановки задачи рассеяния в нерегулярном волноводе. При этом парциальные условия излучения учитываются в вариационном функционале. Впервые вариационный учет парциальных условий излучения был осуществлен в работах А.Г.Свешникова [34]-[35], в которых, однако, задача рассматривалась относительно попереченых компонент поля. В настоящей работе задача рассматривается относительно векторов Е и Н в трехкомпонент-ной постановке для уравнения относительно, например, магнитного поля, вида rote~lrotH — k2fiH = 0 Это позволяет рассматривать задачи с произвольной геометрией, не обязательно топологически эквивалентной цилиндрической, в том числе задачи в многосвязных областях и волно-водные тройники.

Пятый параграф посвящен доказательству фредгольмовой разрешимости задачи и доказательству непустоты дискретного спектра. Для исследования задачи вводится специальное функциональное пространство, в котором возможно применение вариационного метода. Доказана компактность вложения этого пространства в (L2)3. Рассмотрена задача о рассеянии в полом цилиндрическом волноводе с диэлектрическим телом и задача о локально расширяющемся полом волноводе. Доказано существование ловушечных мод. При этом для доказательства применяется метод, предложенный в главе 2. Следует отметить существенно более сложный характер задачи, чем в скалярном случае. Это связано с возникновением зависимости мод от параметра к. При этом для задачи о локально расширяющемся волноводе доказана непустота дискретного спектра.

В шестом параграфе рассматривается вопрос о существовании ловушечных мод при помощи принципа Релея. Установлено существование бесконечного числа ловушечных мод в волноводе для определенного класса диэлектрических тел.

В седьмом параграфе рассматривается вопрос о фредгольмовой разрешимости задачи рассеяния в волноводе в иной постановке. Доказывается Фредгольмова разрешимость для полого волновода с локальной магни-тодиэлектрической неоднородностью. Для рассмотрения задачи используется постановка, предложенная в главе 1. При этом не накладываются ограничения на величину диэлектрической и магнитной проницаемости.

Результаты работы неоднократно докладывались на международных и всероссийских конференциях

1. Международной конференции, посвященной 75-летию члена корреспондента РАН профессора Л.Д.Кудрявцева "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва. 1998.

2. Международной конференции "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения". Москва. Август 16-21. 1999.

3. Международной конференции "День дифракции". Санкт-Петербург. Май. 29-31. 2000.

4. 55 научной сессии НТО им. Попова. Москва. 1999.

5. Международной конференции, посвященной 100 - летиию И.Г.Петровского "Differential equations and related topics". Москва. Май 22-27. 2001.

6. Международных конференциях " Лазеры в науке, технике, медицине: 1994. 1998: 1999.

7. Конференции "Тихоновские чтения". Октябрь 30-31. 2001.

8. Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн. Москва. Декабрь 19-23. 2001.

Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах:

1. Семинаре "Математические методы электродинамики" физического ф-та МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством профессоров А.Г.Свешникова и А.С.Ильинского.

2. Семинаре "Спектральная теория операторов" ф-та ВМиК МГУ под руководством чл.-корр. РАН Е.И.Моисеева.

3. Семинаре "Несамосопряженные операторы" кафедры функционального анализа и теории функций мех.-мат. ф-та МГУ под руководством профессоров А.Г.Костюченко и А.А.Шкаликова.

4. Семинаре кафедры математики физического ф-та МГУ под руководством проф. Бутузова В.Ф.

Основные результаты опубликованы в 36 работах [88]-[123].

Заключение.

Приведем основные результаты, полученные в работе

1. В работе предложено новое представление системы уравнений Максвелла. Основной системой уравнений не является вихревая подсистема, как в общепринятом подходе. В результате удается решить ряд задач теории регулярных электромагнитных волноводов с анизотропным и переменным в поперечном сечении заполнением. Доказана полнота системы корневых векторов волновода в определенном, порождаемом краевой задачей функциональном пространстве. Установлены специальные теоремы о декомпозиции и компактности вложения векторных полей. Получены асимптотики и области локализации собственных значений спектральной задачи. Получена оценка снизу числа положительных вещественных собственных значений, соответствующих распространяющимся волнам. Доказано существование счетного числа критических частот, которым соответствуют решения системы уравнений Максвелла, не имеющие зависимости от координаты, направленной вдоль оси волновода, и получены асимптотики критических частот. Поставлены условия излучения в полубесконечных участках цилиндра. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи излучения в волноводе при данных условиях излучения. Выделен класс токов, излучающих поле только в ближнюю зону и не возбуждающих бегущие волны. Исследован вопрос о применении метода смешанных конечных элементов к спектральной задаче теории регулярных волноводов. Доказана сходимость метода и отсутвие нефизических решений.

2. Исследована задача о рассеянии в нерегулярном акустическом волноводе, описываемая уравнением типа Гельмгольца. Использован вариационный метод учета парциальных условий излучения, для чего введено специальное функциональное пространство. Доказано существование и единственность решения задачи рссеяния за исключением счетного числа частот. Исследована проблема существования ловушечных мод. Применен метод, основанный на сведении исходной задачи в цилиндре к внутренней краевой задаче с нелинейным вхождением спектрального параметра в краевые условия на сечениях цилиндра. Подобный метод оказывается достаточно общим и позволяет рассматривать спектральные свойства различных задач единообразно. Доказана непустота дискретного спектра задачи рассеяния на проницаемом препятствии в волноводе. Установлено существование ловушечных мод в локально расширяющемся цилиндре при произвольной, не обязательно осесимметричной деформации, в задаче о рассеянии на идеально жестком теле, в том числе на бесконечно тонкой пластине,в волноводных тройниках и изогнутых волноводах в случае наличия угловых точек границы. Рассмотрен вопрос о волноводных свойствах периодических структур, сводимый в работе к существованию ловушечных мод. Доказано существование бегущих волн, удовлетворяющих условиям Флоке или условиям антипериодичности и экспоненциально убывающим в направлении перпендикулярном направлению распространения. Доказано существования подобных решений для произвольной периодической системы проницаемых тел в трехмерном случае. Установлен волноводный эффект для волноводной решетки, состоящей из произвольной формы идеально жестких пластин.

3. Исследована задача о рассеянии в нерегулярном электромагнитном волноводе. Нерегулярность может заключаться либо в деформации полого цилиндра, либо в наличии диэлектрического тела в цилиндре. Получено разложение поля в полубесконечных цилиндрах по функциям Боргниса. Поставлены условия излучения в векторных постановках задачи относительно только электрического или только магнитного поля. Использована вариационная постановка задачи, в которой учтены условия излучения. Введены функциональные пространства, в которых установлено существование и единственность решения, за исключением счетного числа частот. Доказано существование ловушечных мод в локально расширяющемся волноводе и волноводе с диэлектрической неоднородностью. Установлено существование бесконечного числа ловушечных мод в волноводе с произвольным сечением и заполнением в виде вставки.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность професорам А.Н.Боголюбову и А.Г.Свешникову за постоянное внимание и поддержку в работе.

1. А.С.Ильинский, В.В.Кравцов, А.Г.Свешников. Математические модели электродинамики. М.-Изд-во Высш.школа. 1991.

2. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. JI. Изд-во ВКАС. 1949.

3. Слэтер Дж. Передача ультракоротких радиоволн. 1946. ОГИЗ.

4. Houdras D., Debye P. Electromagnetische wellen an dielectrischen drahten // Ann. Phys. 1910. v.32. P. 465-476.

5. Де Бройль JI. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах. 1948. ОГИЗ.

6. Shelkunoff S.A. // Теория распространения плоских электромагнитных волн. Proc. Inst. Rad. Eng. 1936. 24. p.1936.

7. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. 1937. М. JI. ОНТИ.

8. Кисунько Г.В. К теории возбуждения радиоволновода.// ЖТФ. 1946. 16. с.565.

9. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов I.// ЖТФ, 1947. т. 17. N 11. с.1283-1296.

10. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов II.// ЖТФ, 1947. т. 17. N И. с.1283-1296.

11. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. // ЖТФ. 1948. т.18. N 7. с.959-970.

12. Краснушкин П.Е., Моисеев Е. И. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводе. ДАН, 264, N 5,1123-1127,1982.

13. Краснушкин П.Е. О волноводах в изогнутых трубах. В кн.: Уч. записки МГУ. Физика, кн. 2. Т. И. N 8. М. Изд-во МГУ. 1949.

14. Краснушкин П.Е. Взаимодействие модулированных нормальных волн // ДАН СССР. 1978. Т. 239. N 4. С. 815-818.

15. Краснушкин П.Е., Федоров Е.К. О кратности волновых чисел нормальных волн в слоистых средах // Радиотехника и электроника. 1972. Т. 17. N 6. С. 1129-1140.

16. Веселов Г.И., Краснушкин П.Е. О дисперсионных свойствах двухслойного экранированного круглого волновода и комплексных волнах в нем // ДАН. 1981. Т. 260. N 3. С. 576-579.

17. Свешников А.Г. Принцип излучения. // ДАН. 1950. Т. 3. N 5. С. 517-520.

18. Ильинский А.С., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. Изд. МГУ, 1989.

19. Ильинский А.С. Обоснование метода расчета собственных волн ми-крополосковой линии передачи // Диф. уравнения. 1981. Т. 17. N 10. С. 1868-1874.

20. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М. Изд.-во МГУ. 1983.

21. Ильинский А.С., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. Изд. МГУ, 1989.

22. Смирнов Ю.Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения для системы эллиптических уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1991, т.27, N 1, с.140-147.

23. Смирнов Ю.Г. О полноте системы собственных и присоединенных волн частично заполненного волновода с нерегулярной границей / / ДАН СССР, 1987. т.297. N 4. с. 829-832.

24. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Вариационный метод в задаче о собственных волнах частично заполненного волновода с нерегулярной границей //В кн.: Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1998. с. 127-137.

25. Смирнов Ю.Г. Применение метода операторных пучков в задаче о собственных волнах частично заполненного волновода // ДАН СССР, 1987. т.297. N 4. с. 829-832.

26. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Математические модели распространения колебаний в щелевой линии передачи. // ЖВМ и МФ, т.27, N 2, с. 252-261.

27. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.-Наука. 1979.

28. Костюченко А.Г., Оразов Б.М. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные операторные пучки. Труды семинаров им. И.Г.Петровского, т.6, 1981, с.97-146.

29. Гараджаев А., Оразов Б.М. Об условиях затухания решений и принципе излучения для одного дифференциального уравнения. Диф. уравн., 19, N б, с.944-954, 1983.

30. Костюченко А.Г., Оразов Б.М. О некоторых свойствах корней самосопряженного квадратичного пучка. Функц. анализ и его приложения, 9, в.4 , 1975, с.28-40.1 31. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волноводов. // ДАН, 1951, т.80, N 3, 345-347.

31. Свешников А.Г. К изгибу волноводов // ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1. N 4. С. 737-741.

32. Свешников А.Г. Волны в изогнутых трубах // Радиотехника и Электроника. 1958. Т. 3. N 5. С. 641-648.

33. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета электромагнитных полей в нерегулярных волноводах // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. N 2. С. 314-326.

34. Свешников А.Г. Обоснование методов исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. N 5. С. 935-955.

35. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Расчет волноводных переходов // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. N 3.

36. Ильинский А.С., Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах переменного сечения. М. Изд-во МГУ. 1970.

37. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.Изд.-во МГУ. 1987.

38. Ильинский А.С., Свешников А.Г. Методы исследования нерегулярных волноводов // ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8. N 2. С. 363-373.

39. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Применение итерационного метода к исследованию плоских волноводов с неоднородным заполнением // ЖВМиМФ. 1974. т. 14. N 4. с.947-954.

40. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Расчет плоского волноводного трансформатора конечно-разностным методом. В кн.: Вычислительные методы и программирование, вып. 28. 1978. с.118-133.

41. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Применение итерационного метода к расчету плоского волновода с неоднородным заполнением. В кн.: Вычислительные методы и программирование, вып. 24. 1975. с.262-279.

42. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Обоснование конечно-разностного метода расчета оптических волноводов // ЖВМиМФ. 1979. т. 19. N 6. с.1496-1505.

43. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Наука.

44. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотнаяч электродинамика. М.: Наука.

45. Rellich F., Das Eigenwertproblem von in Halbrohren. // Studies and essays presented to R. Courant. N-Y., 1948. S. 329-344.

46. Jones D.S., The eigenvalues of V2w + Aw = 0 when the boundary conditions are on semi-infinite domains. Proc. Camb. Soc.1953. 49. P. 668-684.

47. Малюжинец Д.Г. Пример двумерных собственных функций в бесконечном волноводе. // Труды Акуст. ин. 1971. Вып. 15. С. 70-73.

48. Абрамян А.К., Индейцев Д.А. Ловушечные моды колебаний в мембране с неоднородностью. // Акуст. журн. т.44. N 4. С.437-442.

49. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Г. Высокочастотный резонанс в полу ограниченных телах с включениями. / / МТТ. 1990. т.З. С. 74-84.

50. Бобровницкий Ю.И., Коротков М.П. Резонансные волны в упругих телах с включениями. // Акуст. журн. 1991. т.37. N 5. С. 872-877.

51. Абрамян А.К., Индейцев Д.А. Колебания динамических механических систем бесконечной длины //Сб. Моделирование в механике. 6(23). N 2. Сиб. отдел. РАН, 1992. с. 3-12.

52. Exner P., Seba P. Bound states in curved quantum waveguides // J. Math. Phys. 30. 1989. 2574-2580.

53. Bulla W., Gesztesy F., Renger W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum wavwguides Proceedings of AMS. 125. N 5. 14871495.

54. Evans D.V., Levitin M., Vassiliev D. Existence theorems for trapped modes // J. Fluid Mech. 261. 1994. 21-31.

55. Exner P., Vugalter S.A. Bound-state asymptotic estimates for window-coupled Dirichlet strips and layers //J. Phys. A: Math. Gen. 30. 1997. 7863-7878.

56. Exner P., Seba P., Tater M., Vanek D. Bound states and scattering in quantum waveguides coupled laterally through a boundary window // J. Math. Phys. 37. 1996. 4867-4887.

57. СухининС.В. Эффект волновода // ПМТФ. 1989. N 2. с.92-101.

58. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967.

59. Werner P., Resonanzphanomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern. // Z. angew. Math. Mech. 1987. 67 . N 4. S.43-54.

60. Morgenrother K., Werner P. On the instability of resonances in parallelplane waveguides. // Math. Methods in Applied Sciences. V.ll. 1989. p. 279-315.

61. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. M. Радио и связь. 1988.

62. Сухинин С.В. Эффект шепчущей поверхности // ПММ. 1999. т.636. N 6. с. 923-937.

63. Сухинин С.В. Эффект волновода одномерно-периодической проницаемой структуры // ПМТФ. 1990. N 4. с.77-85.

64. Сухинин С.В. Волноводное и аномальное свойство ножевой решетки // ПМТФ. 1998. 39. N 6. с.46-56.

65. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Упругие волны, локализованные около периодических семейств дефектов // ДАН. 1999. 368. N 6. 771773.

66. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в теории дифракции. Киев. Наук, думка. 1973.

67. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. Часть 1 // ЖВМ и МФ. 1964. т. 4. N3. с.449-465.

68. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. Часть 2 // ЖВМ и МФ. 1964. т. 4. N4. с.649-659.

69. Lynch D.R., Paulsen K.D. Origin of vector parasites in finite-element Maxwell solutions. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 3, pp. 383390., 1991.

70. Paulsen K.D, Lynch D.R. Elimination of vector parasites in finite-element Maxwell solutions. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 3, pp. 395-400., 1991.

71. Raviart P.A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems. In A. Dold, B. Eckman. eds. Mathematical aspects of finite element methods. Lecture notes Math. 606. Springer. Berlin Heidelburg New York, pp. 292-315 1976.

72. Nedelec J.C. Mixed finite elements in Rs. Numer. Math. 35, pp. 315-341 1980.

73. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in Rz. Numer. Math. 50, pp. 57-81 1986.

74. Hano M. Finite-element analysis of dielectric loaded waveguides. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-32, 10, pp. 1275-1279, 1984.

75. Angkaew Т., Matsuhara M., Kumagai N. Finite-element analysis of waveguide modes: a novel approach that eleminates spurious modes. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-35, 2, pp.117-123, 1987.

76. Lee J.F., Mittra R. Notion of the application of edge elements for modeling three dimensional inhomogeneously-filled cavities. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 9, pp.1767-1774, 1992.

77. Lee J.F., Sun D.K., Cendes Z.J. Full-wave analysis of dielectric waveguides using tangential vector finite elements. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 8, 1262-1269, 1991.

78. Bierwirth K., Shulz N., Arndt K. Finite-difference analysis of rectangular dielectric waveguide structures. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.MTT-34, 11, 1986.

79. Patric S.S., Webb K.J. A variational vector finite difference analysis for dielectric waveguides. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 40, 4, pp.692-698.

80. Bossavit A., Mayergoyz. Edge-elements for scattering problems. IEEE Trans. Magn., vol.25, pp.2816-2821., 1989

81. Bermudes A., Pedreira D.G. A finite element method for computation of waveguides. Numer. Math. 61, N 2, p. 39-57. 1992.

82. Kikuchi F. Mixed and penalty formulations for finite element analysis of an eigenvalue problem in electromagnetism. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 64, pp. 509-521. 1987.

83. Descloux J., Nassif N., Rappaz J. On spectral approximation. The problem of convergence. Error estimates for the Galerkin method. RAIRO Analyse Num./Num.Anal. 12, N 2, pp. 97-112 1978.

84. Келдыш M.B. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. ДАН, 1951, т.87, N 1, с.11-14

85. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. УМН, 1971, 87, с.11-14.

86. Зильберглейт А.С. , Копилевич Ю.И. Спектральная теория волноводов. Ленинград, Изд. Физ.-тех. института. 1983

87. Делицын A. JI. О проблеме применения метода конечных элементов к задаче вычисления мод волноводов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1999. т. 39. N 2. С. 315-322.

88. Боголюбов А.Н., Делицын A.J1., А.Г.Свешников //О задаче возбуждения волновода с неоднородным заполнением // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1999. т. 39. N 11. С.1869-1888.

89. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI., Свешников А.Г. О полноте системы собственных и присоединенных функций волновода // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1998. т. 38. N 11. С. 1883-1901.

90. Делицын A.JI. О задаче рассеяния на неоднородности в волноводе // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 2000. Т.40. N 4. С.606-610.

91. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI., Малых М.Д. О системе корневых векторов цилиндрического волновода. Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 2001. Т. 41. N 1. С.126-129.

92. Делицын A. JI. Об одном подходе к задаче о полноте системы собственных и присоединенных волн волновода // Дифференциальные уравнения 2000. N 5.

93. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI, Свешников А.Г. О полноте корневых векторов радиоволновода // Доклады РАН. 1999. т. 369. N 4. С. 1-3.

94. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Свешников А.Г. Об условиях разрешимости задачи возбуждения волновода // Доклады РАН. 2000.

95. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Математическое моделирование волноведу-щих структур на основе метода конечных разностей // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи совр. радиоэл. 1998. N 5. С. 39-54.

96. Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Sveschnikov A.G. On the existence of the solution of Maxwell equations in a wavwguide // Functional differentional equations. 2001. v.8. p.57-68.

97. Боголюбов A.H, Делицын A.JI., Свешников А.Г. Возбуждение волноводов с неоднородным заполнением // Прикладная математика и информатика. МГУ. Труды ф-та ВМиК. 2001. с.80-90.

98. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI., Свешников А.Г. О задаче возбуждения бегущих волн в радиоволноводе током // Радиотехника и электроника. 2000. N 9. С.1-5.

99. Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Mogilevskii I.E. Variational finite-difference method of waveguide system modeling and spectral problems of waveguide theory // J. Comm. Tech. El. 2000. V.45. Suppl.2. P. 126130.

100. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Свешников А.Г. О возбуждении волновода со сложным заполнением // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 1999. N 4. С. 6-9.

101. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Свешников А.Г. О корневых векторах волновода со сложным заполнением // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 1999. N 6. С. 48-50.

102. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI. Применение методов типа Ланцоша в задаче расчета мод волновода // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 1996. N 1. С. 9-13.

103. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 1996. N 1. С. 9-13.

104. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Свешников А.Г. О волноводе в режиме невозбуждения волн // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 2000 N 1.

105. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Новая постановка задачи расчета мод волновода методом конечных элементов // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 1994. N 6. С. 48-50.

106. Sveschnikov A.G., Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Krasilnikova A.V., Minaev D.V. Calculation of dielectrical waveguide systems using finite-difference method // Computers and Mathematics with Applications. 2000. V.40. 1387-1395.

107. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Малых М.Д. О вещественных ре-зонансах в волноводе с неоднородным заполнением // Вестн. Моск. ун-та. сер. физ., астрон. 2001. N 5. С.23-25.

108. Боголюбов А.Н., Делицын А. Л., Малых М.Д., Свешников A.F. О базисности системы корневых векторов радиоволновода.// Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 2000. N 6. С. 17-20.

109. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О ловушечных модах волноведущих систем // Вестн. Моск. ун-та. сер. физ., астрон. 2001. N 6. С.65-66.

110. Боголюбов А.Н., Делицын М.Д., Могилевский И.Е. О математическом обосновании вариационно-разностного подхода к численному моделированию волноведущих систем // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 1998. N 5. С. 14-17.

111. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Математическое моделирование волноведущих систем. Труды 12 всероссийской школы конференции по дифракции и распространению волн. с.5-19.

112. Делицын А.Л. Спектральные свойства задачи о нерегулярном волноводе // Вестн. Моск. ун-та. сер. физика, астрон. 2001. N 3. С.75-76.

113. Делицын А.Л. Векторные функциональные пространства и проблема полноты корневых векторов волновода. Труды международной конференции " Функциональные пространства. Дифференциальные операторы". Москва. 1998.

114. Delitsyn A.L. Spectral problems of the theory of waveguides. Тезисы докладов международной конференции "Day of Difraction" May 2931. Санкт.-Петербург. 1999.

115. Боголюбов A.H., Делицын А.Л., Красильникова А.В., Минаев Д.В. Конечно-разностные методы расчета волноВедущих систем // Тезисы докладов 5 международной конференции " Лазеры в науке, технике, медицине". Суздаль. 1994. С.43-44.

116. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Красильникова А.В., Минаев Д.В. Задачи анализа и синтеза волноведущих структур // Тезисы докладов 8 международной конференции " Лазеры в науке, технике, медицине". Пушкинские горы. 1998.

117. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е. Вариационно-разностные методы в теории волноведущих систем // Тезисы докладов 9 международной конференции " Лазеры в науке, технике, медицине". Сочи. 1999.

118. Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Sveschnikov A.G. Mathematical problems of the theory of waveguides // Тезисы докладов международной конференции International conference on differential and functional differential equations. Moscow. 1999. p. 20.

119. Delitsyn A.L. The spectral properties of some operators of mathematical physics in deformed cylinders / / Тезисы докладов международной конференции Differential equations and related topics. Moscow. 2001. May 22-27. P.104-105.

120. Боголюбов A.H., Делицын A.JI., Могилевский И.Б., Свешников А.Г. Резонансы в нерегулярных волноводах // Радиоэлектроника и связь на рубеже тысячилетий. Тезисы 55 научной сессии НТО им. Попова. Май 17-19. 2000. с.175.

121. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Математические задачи теории волноводов // Радиоэлектроника и связь на рубеже тысячилетий. Тезисы 55 научной сессии НТО им. Попова. Май 17-19. 2000. с.175.

122. Маркус А.С. Спектральная теория полиномиальных операторных пучков. Кишинев. Штиница. 1986.

123. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. М. Мир. 1982.

124. Ursell F. Trapped modes in the theory of surfaces waves // Proc. C. Ph. Soc. 1951. 47. 347-358.

125. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М. Физматгиз. 1963.

126. Kuznetsov N., Mclver P. On uniquness and trapped modes in the water-wave problem for a surface-piercing axisymmetric body // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1997. 50. N 4. 565-580.

127. Kuznetsov N., Porter R., Simon M.J. Uniquness and trapped modes for surface-piercing cylinders in oblique waves // J. Fluid Mech. 1988. 365. 351-368.

128. Mclver M. An example of non-uniqueness in the two-dimensional linear water-wave problem // J. Fluid Mech. 1966. 315. 257-266.

129. Дюво Г., Лионе Ж.-Л., Неравенства в механике и физике. М.: Мир, 1980.

130. Girault V., Raviart RA. Finite Element methods for Navier-Stokes Equations. Theory and algorithms. Springer. 1986.

131. Курант R, Гильберт Д. Методы математической физики, т. 2, Го-стехиздат. 1951.

132. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965.

133. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Об одной спектральной задаче теории диэлектрических волноводов // ЖВМ и Мат. Физ. 1999.

134. Уэйт Р., Митчел Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1986.

135. Galie А.Т., Kerkhoven Т., Ravaioli U. Iterative solution of the eigenvalue problem for a dielectric waveguide. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-40, 4, pp. 699-705, 1992.

136. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М. : Наука, 1973.

137. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. Труды Всесоюзного математического съезда, т. 1963, 101-120.

138. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977.

139. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М. : Мир, 1980.

140. Rappaz J., Approximation of the spectrum of non-compact operator given by the magnetohydrodynamic stability of plasma. Numer. Math. 28, pp. 15-24. 1977.

141. Gruber R., Rappaz J. Finite Element Methods in Linear Ideal Magnetohydrodynamics. Springer, Heidelberg Berlin New York. 1985.

142. Нага M., Wada Т., Kikuchi F. A three dimensional Analysis of RF electromagnetic fields by the finite element method. IEEE Trans. Magn. 19, N 6, pp. 2417-2420 1983.

143. Roberts J.E., Thomas J.M. Mixed and Hybrid Methods. In P.G. Ciarlet, J.L. Lions,eds., Handbook on Numerical Analysis, Vol.2. Finite Element Methods, North Holland, Amsterdam.

144. Bossavit A. Simplicial finite element for scattering problems in electromagnetism. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 76, pp. 299-316 1989.

145. Bossavit A. Solving Maxwell equations in closed cavity and the question of spurious modes. IEEE Trans. Magn. 26, N 2, pp. 702-705 1990.

146. Rahman M.A., Davies J.B. Penalty function improvement of waveguides solution by finite elements. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. MTT-32, N 8, pp. 922-928. 1984.

147. Neittaanmaki P., Picard R. On the convergence of the finite element approximation of eigenfrequencies and eigenvectrs to Maxwell's boundary value problem. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 6, pp. 255-271 1981.

148. Renger W., Bulla W. Existence of bound states in quantum wavwguides under weak solutions // Lett. Math. Phys. 35. 1995. 1-12.

149. Goldstone J., Jaffe R.L. Bound states in twisting tubes // Phys. Rev. B45. 1992. 14100-14107.

150. Шестопалов В.П., Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.

151. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М. Наука. 1979.

152. Илларионов Ю.А., Раевский С.Б., Сморгонский В.Я. Расчет гофрированных и частично заполненных волноводов. М. Сов. радио. 1980.